Commande par calculateur Introduction à la représentation d état

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1 Commd r clclr Irodcio à l rrésio d é

2 SIRE Chir I CNDUIE DE PRCESSUS PR CCUEUR. Prici d commd.. Schém d rici.. Echillog, qificio rolio d'ordr.3. Schéms fociols. scs mérils.. Covrissr mériq logiq.. Covrissr logiq mériq.3. Irrios mérills 3. scs logicils 3.. rgigrmms 3.. Dérolm ds irrios 3.3. Chroogrmm d'irrio 4. Syhès roché ds sysèms commdés r clclr Chir II EUDE HERIQUE DES SYSEES ECHNINNES. Echillog idél.. Défiiio.. Rrésio mhémiq.3. rsformé d lc échilloé o lsé.4. licios. Sysèms liéirs lsés.. Schém d s.. Eml : l sysèm à mémoir.3. Vlr d l sori sls iss d'échillog.4. Cs d lsirs rsmics 3. rsformés z 3.. Défiiio 3.. Proriéés 3.3. Emls 3.4. rsformé z modifié 4. Silié 5. Scr d sigl échilloé 5.. Irréio grhiq 5.. Rcosiio d sigl i.. filrg rès échillog 5.3. Choi d l ériod d échillog 5.4. Filrg v échillog filrg d l msr oroir d'omiq d l'enise

3 Chir III REPRESENIN D E. Noio d é. Défiiio d l é d sysèm 3. No icié d l rrésio d é 4. io d l mric d rsfr à rir d l rrésio d é 4.. Uicié d l rrésio r mric d rsfr 4.. Vlrs rors d l mric d é, ôls zéros d l mric d rsfr 5. io d rrésio d é à rir d l focio d rsfr 5.. Form coiq commdl 5.. Form coiq osrvl 5.3. Form coiq modl 6. Solio d l éqio d é : 6.. Cs d sl vril d é 6.. Cs mlivril 6.3. Proriéés d l mric d rsiio 7. Silié, govrilié osrvilié d sysèm 7.. Silié d sysèm liéir ivri 7.. Govrilié 7.3. srvilié 8. Rrésio ms discr ds sysèms à ms coi 8.. Discréisio roché 8.. Discréisio roché d l éqio d é 8.3. Discréisio c d l éqio d é oroir d'omiq d l'enise 3

4 Chir CNDUIE DE PRCESSUS PR CCUEUR oroir d'omiq d l'enise 4

5 - Prici d commd : commd d rocsss r clclr s géérlis grâc à l'évolio ds microrocssrs. clclr s ilisé ds ocl d'ssrvissm or rmlcr l réglr logiq. clclr s ls sol d'mloi ; ls rmèrs d réglg l srcr d l loi d commd so modifiés r rogrmmio lô q r modificio d câlg vc réglr logiq. is sro il s ossil d'élorr ds lois d commds oimls o liéirs or mi ilisr ls ossiiliés chologiqs d rocsss rél à ssrvir. Ds l cofigrio l ls siml d' ssrvissm moo vril, l clclr ssr ls focios d comrr d réglr. Clclr Cosig - Régl r oi d commd Cr Procsss à ssrvir Sori is l clclr s cor ls rform ds l cs d rocsss coml où l coissc d lsirs grdrs rrésivs s écssir. Cosig Clclr Cr s Procsss à ssrvir Es d sysèm Ds l cs d' codi oiml, o irodir ds l rogrmm ds crièrs d rformc or rmr, r ml : - réos ms miiml ; - réos miimis l'iégrl d crré d l'rrr : J ε d ; - fociom miimis cosommio d'érgi ; - l liiso vc sml srvisr ; - l srvillc ds défs oroir d'omiq d l'enise 5

6 -- Schém d rici : - sysèm moo vril : Ds l ocl d'ssrvissm, il f lcr ds irfcs vc l clclr mériq : cr d covrsio mériq logiq CN sori d clclr cr d covrsio logiq mériq CN ré d clclr. Cosig Clcl r mériq o d sori d'ré E géérl, l CN rvill vc ds mos d is,5 oc l CN vc ds mos d is,5 oc. codsr doi êr d o qlié rmr o mii d l sio y d o l dré d l covrsio ; il ssr l focio loqr d l dré slm. Esi, l vlr s mémorisé ds l clclr. C loqr s ir CN figr s ds l schém fociol d l ssrvissm. Cr CN Cr C o U y Procss s coi cr CN écssi échillor loqr ssociés ; l locg s rélisé r codsr. mlificr sivr limi l déchrg d codsr y y i Cr Cd élcroiq i c - à rir d clclr C y Chrg d codsr Covrsio d y Déchrg codsr cor d fi i c Frmr vrr échillor cr CN comor rgisr or mémorisr l grdr mériq U, is covrissr mériq logiq do l grdr d sori logiq U, l grd ssi logms q l rgisr chg s d co. rgisr ssr doc l focio d locg d l dré d l ériod d'échillog. C loqr doi êr ris com ds l schém fociol d l ssrvissm. U U Rgisr CN U oroir d'omiq d l'enise 6

7 - Sysèm mli vrils : Cosig ogiq d cd CRE Rgisr Rgisr CN CN Vois d Clcl r mériq C N B Rgisr CRE CN lil Vois clclr s rlié rés soris r ds crs CN CN cocés sr so s, vc omr d vois d mois si r cr. U cr CN comor covrissr r voi d sori. Ell ossèd s ror logiq d commd or ovoir sélcior sori r l clclr U cr CN comor q' sl covrissr ssocié à loqr, échillor l mlilr, cci or 8 o 6 vois d'cqisiio. -- Echillog, qificio rolio d'ordr : y vlr qifié r l CN ± récis siv l méril échillog idél vlr rolé mémorisé vlr y évol d mièr coi focio d ms. chq échillog o oi vlr échilloé échillog idél. covrissr do vlr qifié lié à l récisio d CN is l vlr s mémorisé r d iss d'échillog vlr rolé r loqr o rolr d ordr.ds cris cs ciols, o ilis ds rolrs d'ordr sérir. oroir d'omiq d l'enise 7

8 -3- Schéms fociols : - Corrcr échillo y U B U Sysèm coi y Ds c schém, o rrov l'échillor l loqr sr l loi d commd U d sysèm coi. d loqr s d miir commd r iss sccssifs d'échillog or ilor l sysèm coi. Rmrqos q l rôl d loqr s ssré r l rgisr d CN qi mémoris l vlr r ls iss d'échillog. mii d U s écssir or q l sysèm coi soi iloé, d'où l résc oligoir d loqr sr l schém. Por l'cqisiio d sigl y, l loqr hysiqm idissl 's s il or l rrésio vc l schém fociol cr l clclr ilis q l vlr y. r schém simlifié : ε - ε Dz mériq U H B.G U y B G coi Schém vc l rsformé z : - εz Dz Uz Hz yz - scs mérils : -- Covrissr mériq logiq : U ds ricis ilisés s l covrissr à rés odérés. s mos covris so géérl d is. ms d covrsio s d à 4 micro scods slo ls mérils. oroir d'omiq d l'enise 8

9 - Prici d rélisio : covrsio d' mo d 4 is. Doé mériq mis form r logiq 3. R U Ur sio d référc U Ur R Réqi U 3 R Ur.R 4.R 8.R 6.R d'où U Ur sio mi sori : sio mii : Précisio mérill : 3 5 U Ur 6 U. Ur U Ur,65. Ur 6 Por CN d is l récisio s d / Ur, Ur. -- Covrissr logiq mériq : Il is d omr ricis d rélisio : d d sci, odério, dol, sio fréqc. s mos covris so géérl d is o 6 is. fréqc d'échillog s viros d, à 4 msc. Prici d fociom : y logiq à covrir vlr - ε Y covri ε ogiq d'évolio mériq C.N. rdr d covrsio Fi d covrsio Vlr mériq covri U ordr d covrsio rriv. vlr à covrir y s mémorisé à l'ré d l ms d covrsio. logiq d'évolio mériq voi ds vlrs mériqs sccssivs sr l CN. vril y covri s comré à y. q ls d vlrs so s égls l loc o liéir délivr l vlr ; si ls vlrs so égls ds l'irvll d récisio d CN, l vlr rî, ordr d fi d covrsio s émis l doé mériq covri s disoil sr l s d doés d clclr. logiq d évolio r d i d oids l ls élvé vrs l i d oids l ls fil corrsod covrissr à odério. oroir d'omiq d l'enise 9

10 -3- Irrios mérills : U.C. R.. R.. IRQ Bs Cr C.N. Cr C.. N V.I.. Rgisrs Comr s IRQ Eré 'ré IRQ commd ls irrios iv d microrocssr µ. C irrio êr gééré soi r : - ré d'horlog érir sr VI o PI, - comr décomr ir VI rogrmmé ds mod rééiif jsl. 3- scs logicils : 3-- rgigrmms : Cosidéros clclr mériq cocé à rocsss à ssrvir. clclr ossèd rogrmm ricil qi gèr différs âchs : gsio d' écr, d' clvir, d' imrim, c.. Cs âchs so scrés rmc r l clclr. rogrmm d commd d sysèm s écé sos irrio cdcé échillog. Dé iiilisi âch âch âch Progrmm ricil Dmd d'irri o Ror d'irri o Dé cqisiios ds msrs Clcls ds lois d ffcios ds RI Progrmm d commd 3-- Dérolm ds irrios : rocédr ds irrios s dérol d l mièr siv : irrio mérill lié à l ériod d'échillog, rrê d rogrmm cors âch cor, svgrd d comr d rogrmm, ds rgisrs d doés d'drsss d microrocssr ds il, oroir d'omiq d l'enise

11 chrgm d vcr d'irrio ds l comr d rogrmm, rdémrrg d microrocssr, écio d rogrmm d commd, ror d rogrmm d'irrio vc rsiio ds rgisrs svgrdés ds l il rmi r l comr d rogrmm, rdémrrg d microrocssr d'où l rris d rogrmm cors Chroogrmm d'irrio : figr ci-dssos mor l dérolm d rogrmm d'irrio : IR Q Dd d'ir cqisiio s ds msrs CN Néglig l Clcls lois d cd ffcio s ds soris CN Rris rogrmm ricil RI 3 ms d réos d clclr Rgrdos ds l ms l'cqisiio d y l'ffcio d U : Y Y Y 3 3 U U- - U U N ris com d y coïcid s vc l'riio d U ; il y déclg lié ms d réos d clclr. Doc ls échillors d'ré d sori s mêm ms ds l srcr d commd r clclr. ms d rvil d clclr s rgé r d civiés : d l ms sivi d sysèm coi d l ms - écio ds âchs d rogrmm ricil. oroir d'omiq d l'enise

12 E géérl, l ms d réos d clclr s rès i dv l ériod d'échillog. Ds l si d cors, os cosidérros q ls échillors so sychros. 4- Syhès roché ds sysèms commdés r clclr : Soi modèl d sysèm : - ε Dz U B U G y Rgrdos l'llr d l commd U : U f U f [- /] cor f rrés l focio U lié à commd coi. focio sclir s l commd d U lié loqr. doc rcr focio f [-/] qi s l grdr filré d l commd d U loqé. Doc l'sml "échillor loqr" êr ssimilé à rrd r égl à /. Rélié B -/. Rrd r éqivl schém d sysèm commdé r clclr dvi schém coi. - ε D -/. U G y syhès lors s rélis r ds méhods clssiqs : méhod hrmoiq, méhod morll vc l'roimio d Pdé. /. /. U fois l corrcr dimsioé, il sffi lors d l discréisr or oir ss éqios récrrs. oroir d'omiq d l'enise

13 Chir EUDE HERIQUE DES SYSEES ECHNINNES oroir d'omiq d l'enise 3

14 - Echillog idél : -- Défiiio : 'échillog d' focio f cosis à rmlcr c focio r si discoi d ss vlrs f sls iss d'échillog oé f *. f f * f f * Rrésio mhémiq : Soi l focio i défii r : i δ δ δ... δ... i δ C focio rrés ri d'imlsios iirs o ig d Dirc. rimr l ssg d f à f * modl f r l ri d'imlsios. f f * i Doc : f * f i f δ rsformé d lc échilloé o lsé : liqos l rsformé d lc à l focio f * : f * F* f δ - d'où rès clcls : F * f - oroir d'omiq d l'enise 4

15 Rmrq : défiissos l'oérr z os l chgm d vril z, lors os oos l rsformé z : f Fz - f z Z[f*] Z[f*] -4- licios : - Sysèms lsés à mémoir : cs ds clclrs mériqs vlr réll d f s cosrvé r d iss d'échillog ; c qi rvi à mémorisr o loqr l vlr d l focio. f f f Sysèm à mémoir f Ficivm o divis l'oério ffcé r c sysèm d ris sccssivs : - échillog idél, - mis mémoir d l vlr r l loqr d'ordr oé B. f f* B f Sysèm à mémoir - modlio d'imlsio mlid : msr f à chq is d'échillog s hysiqm rrésé r imlsio d lrgr cos h h << d hr f. f f f odlr f Comm h <<, f êr cosidéré roimivm comm l rodi d f* r l qié h. f f* h f oroir d'omiq d l'enise 5

16 c- odlio d'imlsio dré : li d modlr ls cré mlid o ls modl dré : l lrgr d cré msr l vlr d f vc hr cos. f f f modlr f Si l lrgr miml ds cré s rès i r ror à, o schémis c disosiif r l'ssociio cscd d' échillor d' gi. f f* Gi cos f - Sysèms liéirs lsés: -- Schém d s : Soi sysèm liéir lsé cosié d' échillor d' sysèm liéir. écrir : * H y X X* Y Y H X * H - - Eml : l sysèm à mémoir. Cosidéros H comm é loqr d'ordr zéro : * B y X X* Y D'où : Y B - X* B oroir d'omiq d l'enise 6

17 Plços os r d iss d'échillog : y l vlr y s mi cos r l loqr, doc y corrsod à cré d hr or < d'où : y [U- U-] or : y [U- U-] Uilisos l rsformé d lc : Y Y X* D'où l focio d rsfr d loqr d'ordr zéro : B -3- Vlr d l sori sls iss d'échillog : Nos vos d voir q l sori s doé r S H E* ; l coissc d s à o is s comliqé à oir. Pr cor, ls vlrs d s sls iss d'échillog so fcils à coîr r rlio siml r l'ré échilloé l sori échilloé. * H y X X* Y y* Y* E cosidér l rsformé d lc échilloé os oos l rlio siml : Y* H* X* Nos vos rodi lgériq r H* X* or oir Y*. Chrchos à coîr y l sori sls iss d'échillog : Soi h l réos imlsioll d l rsmic H. Pr licio d rici d srosiio sysèm liéir d H, o oir l réos y r sommio ds réoss d sysèm à chq imlsio d'échillog : oroir d'omiq d l'enise 7

18 Por < Por < Por < 3 Por 3 < 4 Ec s o h s o h h- s o h h- h- s o h h- h- 3 h-3 sls iss d'échillog, o oi : s o h s o h h s o h h h s3 o h3 h h 3 h. m - m S * X*.H * s m h Prodi d covolio discr. C rodi d covolio discr s à rrochr d rodi d covolio coi : S X.H y σ h - σ dσ où s éqivl à σ à m. -4- Cs d lsirs rsmics : - rsmics cscd : X * X* y H Y H H y y* Y* Y H H X* Doc : [ H H ]* X* Y * - rsmics cscd sérés r échillor : * y H y y * H X X* Y Y * Y y* Y* Doc : Y * H * H * X * c- licio sysèms à ror : ε ε* H y y* H y y * G oroir d'omiq d l'enise 8

19 Doc : Y * H * H * X * * vc * o o H * [ H G ]* 3- rsformés z : 3-- Défiiio : Nos vos défii l focio échilloé f* à rir d l rsformé d lc : F * f - E os l chgm d vril z, os oos l rsformé z : f Ζ Fz f z z - s l'oérr d déclg - d' ériod d'échillog log à - oérr d'iégrio or ls sysèms cois. 3-- Proriéés : Si f ossèd rsformé d lc F lors f ossèd rsformé z oé Fz. os ls focios fi qi o ls mêms vlrs iss d'échillog o l mêm rsformé z Emls : - rsformé z d l échlo iir : ZU U z - z - z -... z -. Si géomériq d riso z -. Doc : ZU z - rsformé z d loqr ssocié à rsmic : D où y B X Xz H H y Yz oroir d'omiq d l'enise 9

20 Rmrq : Z F f z z Z F z Fz f z Doc Hz Yz Xz z z Y D où l éqio récrr : 3-4- rsformé z modifié : X Y rsformé modifié rm l coissc d f r d iss d échillog vc l défiiio siv : Fz, m z f m z vc < m < Rmrq : Fz lim z Fz, m m Fz lim Fz,m f m 3-5- Régim défiiif : si l sysèm s sl Vlr iiil f limf lim Fz z f limf m lim Fz,m m z m Vlr fil f limf lim z Fz lim z z lim z z Fz f lim f m lim z z Fz, m z Fz, m 4- Silié : Rl : ds l l d lc, l codiio sol or ls sysèms ssrvis liéirs s R i < où ls i so ls rcis d olyôm crcérisiq ; c qi corrsod dmi-l coml d gch. Ds l l z, l codiio sol s doc q ls rcis d olyôm crcérisiq z soi siés à l'iérir d crcl ié. R i < i zi z < i oroir d'omiq d l'enise

21 Emls : Rci réll : - Im R ol i - Z z z ol z i - silié > z i - < cr > Rci coml : ω Im α jω Z z z αjω - α R ol i -αjω ol z i -αjωτ silié α > z i -α < cr α > 'licio d c crièr 'é s siml, o ilis lors rsformio homogrhiq rsformé w ; cci fi corrsodr à l'iérir d crcl ié ds l l z, l dmi-l gch d l w : z w z o z w - w oroir d'omiq d l'enise

22 z z w z Pl Pl z Pl w w z w w Im Ω / Ω /4 Ω π/ Imz 3 Imw R ω. Rz 4 5 Rw 6 Sl Isl Ω /4 Ω / Sl Isl 7 6 Sl 9 Isl 8 oroir d'omiq d l'enise

23 z Pl z w Pl z z Pl w z w j j j² j j j j π/ j Ω /4 z j w j j j² j π/ j Ω / z - j ε 3 ε jε j ε w j w j ε jε ε ε - α j ω vc ω Ω / z - j ε jε 4 w w < cr < α l/ < cr < ε ; < ε jε - z w α j ω vc ω - Ω / α l/ < cr < z - - j ε ε ; < - -j π/ -j Ω / z - - j ε 8 ε 7 jε w w < cr < ε jε jε j ε w j w j ε jε ε ε j j j² j j -j -j π/ -j Ω /4 z -j w j j j² oroir d'omiq d l'enise 3

24 oroir d'omiq d l'enise 4

25 5- Scr d sigl échilloé : Soi sigl coi échilloé à l cdc, o : *, vc δ di q s l ériod d échillog. scr coml d c sigl s doé r l rsformé d Forir d *, c qi s écri X jω F * * [ ] rlos q l rsformé d Forir d sigl s défii r : X * [ ] jω jω F d o doc : X * * jω jω jω d δ d or l sigl s sigl ériodiq, d ériod, o doc l décomosr séri d Forir. décomosiio séri d Forir d sigl, d ériod, codi lors à : C / j ω, vc C / jω d où ω rrés l lsio d sigl, c s-à-dir ω π /, o di q ω π / s l lsio d échillog. Ds l cs d c sigl, o vérifi isém q C /, d où : jω * ror ds l rssio d X jω, il vi : X * jω soi film : jω jω j ωω * X jω X [ j ω ω ] d cos q il y ériodisio d scr, l scr d sigl iiil s réliqé vc «ériod fréqil» égl à l lsio d échillog ω. d oroir d'omiq d l'enise 5

26 5-- Irréio grhiq : Soi X jω, l scr d sigl v échillog. Sosos q l scr d mlid soi l q cli résé à l figr ci-dssos. Xjω ω ω m ω m D cs so lors disigr : l cs où ω / > ωm l cs où ω / < ωm. Cs où ω / > ω m Xjω v échillog ω ω m ω m X*jω rès échillog ω m ω m ω 3ω ω -ω -ω / ω / ω 3ω / ω scr iiil X jω s s modifié ds l irvll ω / à ω / ; doc filr vc lsio d cor ω f l q ω m < ω f < ω / rm d récérr l scr il isi d rcosir l sigl v échillog. Cs où ω / < ω m Fjω v échillog ω g ω g ω F*jω rès échillog ω g ω g ω 3Ω Ω Ω Ω / Ω / Ω 3Ω / Ω Il y chvchm ds scrs voisis ; ds l irvll ω / à ω / l scr iiil s déré. Il s s ossil ds c cs, d rsir l sigl iiil. oroir d'omiq d l'enise 6

27 héorèm d Sho : Por rcosir comlèm l sigl rès échillog à cdc π/ω, il f q l ls grd lsio co ds l scr d sigl v échillog soi ll q ω m <ω / ilisio d filr idél, rès échillog, rm d rsir l sigl v échillog. Por cl, l lsio d cor ω f d filr doi êr ll q : ω m < ω f < ω ω f X*jω ω f ω m ω m ω ω ω / ω / ω 5-- Rcosiio d sigl i.. filrg rès échillog : Il s géérl écssir d rsformr l si ds échillos sig cois comils vc ls ciors ilisés. C oério qi s r q l rcosiio d sigl d sigl coi à rir d ss échillos, s rélisé rllm à l id d loqr d sysèm qi ossèd ojors ls roriéés d filr ss s. U B U Sysèm coi y lysos l filrg rélisé r l loqr : B jω cos ω j.si ω B jω ω jω jω ω si ω si ω cos ω cos ω si ² ω D où : B [ j.si jω si ω cos ω ω ] ω lors : si ω j. cos Rmq : B jω si ω ω jω rços ds l l d Bod B jω : odl : B jω si ω ω B jω ω Ω Ω 3Ω oroir d'omiq d l'enise 7

28 rgm : B j ω ω déhsg d rrd r d vlr / C déhsg iflc cosidérl sr l silié voir méhod rrd r éqivl Choi d l ériod d échillog : filrg rélisé r l loqr l sysèm coi, s s filrg idél ssi résl--il rrr di d échillog. C rrr s défii comm l ror d l vlr qdriq moy d l rrr riss sr l sigl rsié à l vlr qdriq d cli-ci. crcérisr l réos fréqc d sysèm r s lsio d cor l ridié d décroissc d l cor d gi m d/dc. q ci-dssos, rm d dérmir, focio d m d ω, l lsio d échillog qi codi cri rrr d échillog. Pr ml, or sysèm d dièm ordr m4 d fréqc d cor Hz, échillog à Hz codi à rrr d échillog d 5%. Si l o olèr rrr d %, il f dor cdc d échillog d 3 Hz. Noos q ds l cs idél m, vricl o rov ω ω c qi corrsod héorèm d Sho. oroir d'omiq d l'enise 8

29 5-4- Filrg v échillog filrg d l msr : Il y écssié d filrr l sigl d msr v échillog. E ff, l sigl iss d cr voir lrgr d d sérir à ω / cci omm riso d ri d msr isi rîr, rès échillog rcovrm ds scrs. Por évir c héomè, il covi d filrr l sigl v échillog à l id d filr ss s do l lsio d cor s d l ordr d l d ss miml sohié or l sysèm oclé. Noos q c filr s écssirm logiq. figr siv rés l srcr géérl d sysèm ssrvi mériq. y c Cz U B U Sysèm coi y Filr Cr oroir d'omiq d l'enise 9

30 Chir 3 Rrésio d é oroir d'omiq d l'enise 3

31 - Noio d é : Cosidéros r ml l commd r l idi d mor à cor coi sosos q il focio régim o sré. R i Eré C m f J ω Sori Figr. - or à cor coi à commd r l idi ls rlios i cos sivs : di - éqio d l ri élcriq : Ri d dω - éqio d l ri méciq : J fω Cm d ω - éqios d colg élcroméciqs : Cm ci 3 E élimi l cor r cs différs rlios, o oi l éqio différill siv : d ω f RJ dω Rf c ω d J d J c 4 J os f RJ J, Rf c J c, o : J d ω dω ω d d 5 C éqio é d dièm ordr, l coissc d d codiios iiils à l is iiil s écssir sffis or q s solio soi iq : ω ω & ω & ω. D mièr géérl, l modélisio d sysèm liéir coi, codi à éqio différill d ordr : d y d m m d y dy d d d y m m m 6 m d d d d d résolio d c éqio différill d ordr m écssi doc l coissc d codiios iiils or ssrr l icié d l solio. oroir d'omiq d l'enise 3

32 oroir d'omiq d l'enise 3 U rrésio ll q 6 s di r cr ll fi rîr q l vril d ré l vril d sori y d sysèm. C rrésio s s l sl ossil, il s ff i co q éqio différill d dgré, êr rsformé, moy l irodcio d vrils idéds, sysèm d éqios différills d r ordr. s vrils irodis or rélisr c rsformio so lés ls vrils d é d sysèm. Por l morr, rros l éqio différill 5, cll-ci s écrir : d d d d ω ω ω 7 C drièr rlio êr rrésé grhiqm à l id d grh d flc siv : dω/d d ω/d ω Figr. - Grh d flc ssocié à l éqio 7 Com ds vrils ssociés soris ds iégrrs -, o oi l sysèm différil siv : ω & & 8 q l o cor écrir sos l form mricill siv : [ ] ω & & 9 s vrils so ls vrils d é d sysèm, ls éqios 9 so rscivm, l éqio d é l éqio d sori. U ll rrésio s di ir cr ls ds vrils d ré d sori, ll fi rîr ls grdrs d é d sysèm.

33 - Défiiio d l é d sysèm : D mièr géérl, l comorm dymiq d sysèm liéir d ordr mlivril à m rés r soris êr décri sos l form mricill siv : & B y C D éqio d' é éqio d sori s l vcr d é d dimsio, [ ] s l vcr d commd d dimsio m, [ ] y s l vcr d sori d dimsio r, [ ] y y s l mric d évolio d dimsio, B s l mric d ré d dimsio,m C s l mric d sori d dimsio r, D s l mric d licio dirc d l commd d dimsio r,m, c mric s géérlm ll. é d sysèm d dgré, à is qlcoq, s l sml ds vrils,,..., qi lorsq o coî l vcr d commd or, s sffis or dérmir l comorm d sysèm or. s i i à so ls vrils d é d sysèm. omr d vrils d é d sysèm s égl omr d iégrrs d grh d flc, c s ssi l dgré d sysèm o cor l omr d codiios iiils écssirs or ssrr l icié d l solio d sysèm différil. 3- No icié d l rrésio d é : Si s l vcr d é d sysèm doé, lors o vcr z l q z, vc ivrsil, s ssi vcr d é d sysèm. Cci rvi à rélisr chgm d s, s l mric d ssg. fi d oir l rrésio d é ds l ovll s, rélisos ds l chgm d vril z, o oi : y K K y r K m - - z& z B z& z B y C z D y C z D - s l mric d évolio ds l ovll s B - B s l mric d ré ds l ovll s C C s l mric d sori ds l ovll s Comm il is ifiié d mrics ossils, il is ifiié d vcrs d é doc d rrésios d é. Il êr iérss d rélisr chgm d s ds l d mr évidc cris roriéés d sysèm o or simlifir ls clcls. oroir d'omiq d l'enise 33

34 oroir d'omiq d l'enise io d l mric d rsfr à rir d l rrésio d é : rrésio r mric d rsfr d sysèm, s dscriio r, d l form géérl siv : U Y H où Y rrés l rsformé d lc d vcr d sori, d dimsio r, U s l rsformé d lc d vcr d ré, d dimsio m H l mric d rsfr d sysèm, d dimsio r,m. ir d ml, cosidéros schém fociol d l figr U U Y Y Y 3 Figr 3.- Eml d sysèm mlivril à d rés rois soris. rrésio r mric d rsfr d sysèm d l figr 3 s lors l siv : U Y U U Y Y Y H 3 D mêm q l focio d rsfr d sysèm s oi r l rsformé d lc d l éqio différill or ds codiios iiils lls, l mric d rsfr s oi r l rsformé d lc d l rrésio d é or ds codiios iiils lls. E r l rsformé d lc d l rrésio d é, o oi : U X Y U X U X Y U X X D C B I D C B 4 d où : U Y D B I C 5

35 mric d rsfr d sysèm s écri doc : I B D H C Uicié d l rrésio r mric d rsfr : Soi l rrésio d é : & B y C D 7 l mric d rsfr s écri lors : I B D H C 8 Rélisos l chgm d s l q z, l rrésio d é d sysèm dvi ds l ovll s : - - z& z B y C z D 9 l mric d rsfr s écri lors ds l ovll s : I B D H' C or, sch q K K, o ssi I [ ] [ I ] I ror ds l rssio d H, o oi : I B D C I B D H H' C C qi mor i q l mric d rsfr s iq. 4.. Vlrs rors d l mric d é, ôls zéros d l mric d rsfr : s vlrs rors d l mric d évolio d dimsio, so ls rcis λ i d l éqio crcérisiq : I d λ 3 oroir d'omiq d l'enise 35

36 os ls rrésios d é rlivs à mêm sysèm o ls mêms vlrs rors. Comm os l vos v, si s l mric d chgm d s, lors l mric d évolio ds l ovll s s écri '. s vlrs rors so lors doés r : I d[ λi ] d d λi d d λ 4 cr d d, o doc cor écrir : d d λi d d λi d d λi d d λi 5 c qi mor i q ls vlrs rors d l mric d évolio so ivris r chgm d s. mric d rsfr d sysèm H C I B D cor s écrir : H [ C dj I B D d I ] 6 d I Zéros d sysèm Pôls d sysèm dédi doc q ls vlrs rors d l mric d évolio d sysèm so ls ôls d l mric d rsfr H, d I s l olyôm crcérisiq d sysèm do ls rcis i so ls ôls d l mric d rsfr : I ρ d 7 i i 5- io d rrésio d é à rir d l focio d rsfr : Soi H l focio d rsfr d sysèm, o : m m m m H C I B D 8 E doé l mlilicié ds rrésios d é ossils l icié d l focio d rsfr, il is lsirs fços d ssr d l focio d rsfr à l rrésio d é. Nos vrros rois codis à ds forms coiqs rmrqls : - form coiq commdl o govrl - form coiq osrvl - form coiq modl. oroir d'omiq d l'enise 36

37 oroir d'omiq d l'enise Form coiq commdl : Soi l focio d rsfr d sysèm d ré U d sori Y : U Y H m m m m 9 c focio d rsfr cor s écrir, irodis vril irmédiir V, sos l form siv : vc V Y U V U V V Y U Y H m m m m 3 o doc : V V V V Y V V V U V m m m m 3 d où l grh d flc siv : d y/d d - y/d dy/d - d y/d d - y/d y Figr 4. - Grh d flc ssocié à 3 [ ] y & & & & 3

38 oroir d'omiq d l'enise Form coiq osrvl : Soi l focio d rsfr d sysèm d ré U d sori Y : U Y H 33 c focio d rsfr cor s écrir à l id ds isscs égivs d : U Y 34 o doc : Y U Y U Y U Y 35 d où l grh d flc siv : y Figr 5. - Grh d flc ssocié à 35 [ ] y & & & & 36

39 oroir d'omiq d l'enise Form coiq modl : Soi l focio d rsfr d sysèm d ré U d sori Y : U Y H 37 Si ls i i à so ls ôls disics d H, lors c focio d rsfr cor s écrir rélis décomosiio éléms simls : [ ] i i i i i i H U Y vc 38 o lors l grh d flc siv : y Figr 6. - Grh d flc ssocié à 38 [ ] y & & & 39 oi rrésio d é vc digol. s éléms d l digol so ls ôls d sysèm.

40 oroir d'omiq d l'enise 4 7- Solio d l éqio d é : 7-- Cs d sl vril d é : d c y & 4 - Résolio d l éqio homogè ss scod mmr : l l d d d d & 4 d où l solio d l éqio homogè : 4 focio s lé focio d rsiio. - Résolio d l éqio comlè r l méhod d vriio d l cos : & & 43 ror ds l éqio différill 4 il vi : & & 44 d où iégr : d d d & 45 d où l solio d l éqio comlè : forcé Régim Régim lir d Cs mlivril : y D C B & 57

41 oroir d'omiq d l'enise 4 - ric d rsiio : rocèd comm or sysèm d rmir ordr géérlis l focio d rsiio. ll mric d rsiio l mric défii r l dévlom séri d ylor :!!! I 48 o vérifi fcilm q : I d d 49 - Solio d l éqio homogè : & 5 D rès 5, l mric d rsiio s solio d l éqio homogè soi : 5 c- Résolio d l éqio comlè r l méhod d vriio d l cos : & & 5 ror ds l éqio différill 4 il vi : B B & & 53 d où iégr : d d d B B & 54 d où l solio d l éqio comlè : forcé Régim Régim lir d B 55 régim lir rrés l réos à l codiio iiil vc l ré ll. régim forcé r q o sos ll or < rrés l réos à l ré vc l codiio iiil ll.

42 7-3- Proriéés d l mric d rsiio : I B B si dig λ i si slm si BB 58 λi lors : dig 59 - [ ] 6 d d cr ls mrics [ ] I - doc ssi : I comm 6 [ ] Silié, govrilié osrvilié d sysèm : cosidèr ds c ri l cs ds sysèms cois liéirs ivris : & B y C D Silié d sysèm liéir ivri : éd d l silié diffèr s d l méhod clssiq où ll s fi r l m ds ris rélls ds rcis d olyôm crcérisiq. v q l évolio d sysèm doé à li-mêm évolio lir s décri r l éqio qi rrés l évolio ds vrils d é focio ds différs codiios iiils. sysèm s symoiqm sl si lim lim. Cci s ossil q si os ls vlrs rors d so à ri réll égiv. U mric do ls vlrs rors so os à ri réll égiv s di mric d Hrwiz. 6-- Govrilié : U sysèm liéir ivri s di govrl commdl si so é êr rsféré d é iiil qlcoq à é fil qlcoq ms fii sos l ff d vcr d commd. mor q sysèm l q 63 s govrl si : [ B B B B] rg Go vc Go 64 Cl sigifi q ls commds «ffc» os ls vrils d é. oroir d'omiq d l'enise 4

43 6-3- srvilié : U sysèm liéir ivri s di osrvl s il is is l q l coissc d l ré d l sori sr l irvll d ms [, ], soi sffis or dérmir l é iiil. mor q sysèm l q 63 s osrvl si : rg vc C C C C 65 Cl sigifi q ls soris so «ffcés» r os ls vrils d é. 8- Rrésio ms discr ds sysèms à ms coi : Cosidéros l éqio différill siv : d f 66 d l rolèm d l discréisio d éqio différill ll q 66 cosis à clclr à ds iss mlils d s d ms élémir di s d l discréisio. 8-- Discréisio roché : éqio 66 cor s écrir sos l form siv : d f d 67 rolèm cosis doc à iégrr l éqio 67 r d iss sccssifs mlils d s d l discréisio, il s gi doc d clclr : [ ] d f d 68 où s omr ir, o doc : [ ] f d 69 s différs roimios résl d l fiss vc lqll s clclé l iégrl rés ds l rlio 69. oroir d'omiq d l'enise 43

44 8--- éhod d rcgl iférir : f f[] f d f f Figr 7. - roimio r l méhod d rcgl iférir. discréisio r l méhod d rcgl iférir cosis à rochr l ir sos l cor d f r d iss sccssifs r l rcgl iférir f : f d f 7 rlio 69 s écri doc : [ ] [ ] f f 7 c drièr rlio s à rrochr d 66, o doc : [ ] d d 7 c s l roimio i co d Elr. oroir d'omiq d l'enise 44

45 8--- éhod d rcgl sérir : f f[] f d f [ ] f Figr 8. - roimio r l méhod d rcgl sérir. discréisio r l méhod d rcgl sérir cosis à rochr l ir sos l cor d f r d iss sccssifs r l rcgl sérir f[] : f d f 73 rlio 69 s écri doc : [ ] [ ] f [ ] f [ ] 74 c drièr rlio s à rrochr d 66, o doc : [ ] d d 75 oroir d'omiq d l'enise 45

46 8--3- éhod d rèz : f f[] f f d f [ ] f f Figr 9. - roimio r l méhod d rèz. discréisio r l méhod d rèz cosis à rochr l ir sos l cor d f r d iss sccssifs r l ir d rèz : f d f [ ] f 76 rlio 69 s écri doc : [ ] [ ] f [ ] f [ ] f f 77 c drièr rlio s à rrochr d 66, o doc : [ ] d d d d 78 cos q c drièr roimio rélis l moy ds d roimios récéds. oroir d'omiq d l'enise 46

47 oroir d'omiq d l'enise Discréisio roché d l éqio d é : Soi sysèm liéir ivri à ms coi : y D C B & 79 coiss 79, il s gi d dérmir l sysèm à ms discr corrsod : [ ] y D C G F 8 d rs rms, il s gi d dérmir ls mrics F G d l rrésio à ms discr focio ds mrics B d l rrésio à ms coi. Ds l si, fi d simlifir ls oios, os écriros or [] or. 8---Uilisio d l roimio d Elr : D rès 7, os ovos écrir : y y D C B I D C B 8 doc : B G I F Uilisio d l roimio d rèz : D rès 7, os ovos écrir : [ ] [ ] y D C B 83 y D C B I I I 84 doc : B I G I I F 85

48 8-- Discréisio c d l éqio d é : Nos vos v q l solio géérl d l éqio d é s écri d l fço siv : B d 86 l discréisio c d sysèm coi corrsod cosis à clclr c solio r d iss discrs sccssifs, o lors : [ ] B d 87 or, s cos r d iss sccssifs, figr Figr. - s cos r éqio 87 s écri doc : [ ] db 88 clcl d l iégrl do : [ ] - [ ] - [ ] I d 89 ror ds 88 il vi : I B - 9 o doc idifi vc 8 : F G - I B 9 oroir d'omiq d l'enise 48