- PROBLEME D OPTIQUE 1 -

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1 - 1 - ENONCE : «Appareil photographique» I. OBJECTIF STANAR On assimile l objectif d un appareil photographique à une lentille mince convergente () de centre O et de distance focale image f. a distance d entre () et l écran (E) où se trouve la pellicule sensible est variable, ce qui permet d effectuer la mise au point. Sauf à la question I.1.c), on ne tiendra pas compte des effets de diffraction et le problème sera traité dans le cadre de l optique géométrique. a pellicule sensible est composée de cristaux de sels d argent (halogénures) pris dans une gélatine (polyesters, par exemple) : les cristaux ayant été «activés» par les photons ( on parle d image latente) seront plus facilement réduits en argent métallique par l action du révélateur ; l image est ensuite stabilisée par l action du fixateur, qui débarrasse la pellicule des sels d argent non réduits (zones de l image faiblement éclairées). A ce stade, l image apparaît en négatif, puisque les zones sombres du sujet photographié correspondent aux zones transparentes (dépourvues de dépôts d argent) de la pellicule fixée et inversement. Il faut bien comprendre qu un objet ponctuel (exemple d une étoile sur un fond obscur) donnera une tache correspondant à la taille d un cristal de sel d argent : il s agit du «grain» de la pellicule, qui dépend essentiellement de sa sensibilité (en photographie numérique, on retrouve cette notion de «pixel», où la taille minimale de l image d un point correspond à celle d une cellule élémentaire de semi-conducteur du capteur CC). 1.1) Mise au point de l objectif On désire photographier des objets dont la distance x à () varie de x à l infini : dans quel domaine doit pouvoir varier d? Calculer les valeurs extrêmes, min et 1.) Ouverture et temps de pose ans des conditions d éclairement d d, de d lorsque x 6 cm et f 5 mm? E (en W. m ) données et pour une sensibilité de pellicule donnée (celle-ci, exprimée en «iso», correspond à l énergie nécessaire à l activation «satisfaisante» des cristaux d halogénures d argent), les deux autres paramètres sur lesquels peut agir le photographe sont : le diamètre du diaphragme circulaire () qui limite le faisceau lumineux entrant dans la lentille () ; ce diamètre est variable afin d intercepter plus ou moins de lumière. On appelle «ouverture relative» de l objectif le rapport : f 1, où N est le «numéro de diaphragme» N es valeurs usuelles de N sont : ;,8 ; 4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16 Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A.

2 le «temps d exposition» (ou «vitesse») laquelle la pellicule reçoit des photons. es valeurs usuelles de T e, exprimées en secondes sont : Exprimer le lien entre les deux suites, ; ; ; ; ; ; ; T e, qui correspond à la durée pendant N et T e ; proposer des couples ( NT), e équivalents. 1.3) Ouverture et distance hyperfocale liée au grain orsque l appareil est mis au point sur l infini, un point situé à l infini donne, après développement, une tache due à la taille g du «grain» de l émulsion de la pellicule : pour les applications numériques, on prendra g µ m. Compte tenu des lois de l optique géométrique, un point A, situé à distance finie sur l axe, donne, de toute manière, une tache dans le plan focal de la lentille (). a) Etablir, en s appuyant sur une figure, l expression de la distance hyperfocale, définie par la distance minimale entre le point A et la lentille pour que la taille de la tache donnée par A reste inférieure à celle du grain ; on exprimera le résultat en fonction de g, f et N. Calculer la valeur numérique de pour N,8 puis pour N 16. b) a profondeur de champ, P r, est la zone de l espace objet donnant une image «nette», c est-à-dire pour laquelle un point objet donne une tache image de taille inférieure à celle du grain : quel est, qualitativement, le lien entre N et P r? entre f et P r? c) On sait qu une ouverture circulaire de diamètre diffracte principalement dans λ un cône de demi angle d ouverture θ 1,, avec ici λ,6µ m! (jaune). On souhaite opérer à N 11 : le phénomène de diffraction est-il à prendre en compte? Commenter. 1.4) Amélioration de la profondeur de champ Nous avons remarqué précédemment que, l appareil étant réglé à l infini, un point situé à l infini donne de toute manière une tache liée à la taille du grain: il parait donc possible, en faisant la mise au point à distance finie, de garder «nette» (au moins suffisamment ) l image d un point situé à l infini. a) En raisonnant sur une figure simple, déterminer la valeur d de d permettant de diminuer la distance hyperfocale, c est-à-dire d augmenter la profondeur de champ ; exprimer le résultat en fonction de g, f et N. Calculer numériquement d pour N,8 et N 16. en fonction de et de b) éterminer la nouvelle distance hyperfocale et l évaluer approximativement f. c) Certains appareils bon marché sont «sans mise au point» : la focale et le numéro de diaphragme sont fixés par le constructeur. Commenter les choix retenus, ainsi que leurs inconvénients éventuels. Page Christian MAIRE EduKlub S.A.

3 II. TEEOBJECTIF On se propose de photographier une tour AB haute de 5 m et distante de km..1) Encombrement de l objectif standard Quelle serait la taille de l image AB sur la pellicule si la mise au point était faite avec l objectif standard de la première partie? Quelle serait alors la valeur numérique de «l encombrement» de l objectif, c est-à-dire la distance de l objectif à la pellicule?.) Agrandissement d un téléobjectif Pour agrandir l image, on considère le système formé par une lentille convergente ( 1 ) de distance focale 5 f OF mm, suivie d une lentille divergente ( f O F mm, la distance entre les deux lentilles étant OO 1 31, mm. ) de distance focale Soit AB l image de AB par ( 1 ) : indiquer la nature de AB pour la lentille ( ) et préciser la position de AB par rapport à O et F (foyer objet de la deuxième lentille). Faire la construction géométrique donnant l image A" B " de la tour à travers le système des deux lentilles..3) Comparaison entre un objectif standard et un téléobjectif a) éterminer la position de A" B " par rapport à O, puis en déduire la taille de cette image et la comparer à celle de AB. Evaluer l encombrement du téléobjectif ainsi monté. b) Quelle serait la distance focale f u d une lentille convergente unique qui donnerait de la tour la même taille d image A" B " que le téléobjectif? Comparer son encombrement à ceux calculés précédemment et conclure. ************** après le concours Mines-Ponts 93, première épreuve P Page 3 Christian MAIRE EduKlub S.A.

4 CORRIGE : «Appareil photographique» 1.1) a formule de conjugaison des lentilles avec origine au centre s écrit : p + p f x d f (1) min et d correspond à xmin x d d correspond à x f x f 54,5 mm x dmin f 5 mm Rq : l écart entre dmin et d est relativement faible, ce qui ne fait donc pas varier notablement l encombrement de l appareil ; la variation de d est assurée par la «bague de mise au point» (action manuelle et/ou motorisée). 1.) Pour un éclairement E, l énergie lumineuse W reçue par la pellicule pendant un f 1 W E π Te E π T e 4 4 N temps T e vaut : Pour une distance focale et une sensibilité de pellicule données, cette énergie doit être T e constante le rapport N doit être constant C est pourquoi les temps d exposition forment une suite géométrique de raison, lorsque les numéros de diaphragme forment une suite géométrique de raison. Ainsi, deux couples équivalents sont ( N 8 ; T e 1/15 ) et ( N 5,6 ; T e 1/ 5 ). Rq : pour un photographe, les deux couples précédents ne sont pas équivalents, car la durée 1/15 peut être jugée trop longue pour un objet en mouvement comme une voiture (risque de flou) ; nous verrons par la suite l importance du numéro de diaphragme dans la «profondeur de champ». 1.3.a) a mise au point se faisant sur l infini, on sait que la pellicule (E) se trouve à une distance f de la lentille ; on peut alors raisonner sur la figure ci-dessous : () (E) A x f d a e point A donne sur lécran une tache de diamètre a ; le théorème de Thalès fournit: a d f d () Par ailleurs, la relation (1) conduit toujours à : xf d x f (3) Page 4 Christian MAIRE EduKlub S.A.

5 a relation () peut faire intervenir le numéro de diaphragme N, soit : an d f f d d( f Na) f xf ( f Na) f ( x f ) xna en reportant dans (3), il vient : f (4) A la limite de «netteté», on a a g et x la relation (4) permet d aboutir à : Application numérique : f ( N,8)! 45 m ( N 16)! 8 m 1.3.b) orsque N augmente, la distance hyperfocale diminue En revanche, lorsque profondeur de champ l espace objet sont très étroites, comme le savent bien les paparazzi ). P r augmente. f augmente (on passe d un objectif standard à un téléobjectif), la P r diminue (pour de très longs téléobjectifs, les zones de netteté dans 1.3.c) Pour une mise au point à l infini, l image est observée dans le plan focal de la lentille (), et une construction géométrique évidente fournit pour le diamètre a de la tache centrale de diffraction : a / λ tanθ! θ a f 1,, 44λN a! 16µ m f Rq : dans ce cas, le phénomène de diffraction peut encore être négligé, mais on n est pas loin de la taille du grain et il faudrait en tenir compte pour un numéro de diaphragme de a) Tout en faisant la mise au point à distance finie, il faut qu un point situé à l infini donne sur l écran (situé à une distance d " f de la lentille) une tache de diamètre inférieur ou égal à la taille du grain ; à la limite, on a la construction ci-dessous : () (E) g e théorème de Thalès fournit: g d f d f + f f d Application numérique :,8 d 5,8 mm N d N 16 5,3 mm 1.4.b) Toujours à la limite, la mise au point peut se faire sur un point 1 A donnant sur l écran une tache de diamètre égal à g, comme on peut le constater sur la figure ci-dessous : Page 5 Christian MAIRE EduKlub S.A.

6 () (E) e théorème de Thalès fournit: A 1 g g d" d d" f d On obtient alors : d 1 g 1 f + d " d" f f f + f + f f d" f f + d " f f f d" f f + f f f d " f f f +! A.N : a relation (3) sécrit ici: d " f f, puisque d f + ; d où : ; on en déduit : N m ( 16) c) Pour ces appareils sans mise au point, le constructeur cherche à diminuer autant que possible la distance hyperfocale : il choisit une focale un peu plus courte que 5mm (autour de 4mm) et un numéro de diaphragme élevé (par exemple, N3 ou plus) on arrive à des distances hyperfocales de l ordre du mètre. es problèmes de diffraction ne sont plus du tout négligeables, mais surtout, à cause du diaphragme très «fermé», les temps d exposition sont plus longs les risques de flou sont plus élevés (on peut travailler avec des films de sensibilité plus grande, mais il y a alors plus de «grain» )..1) a tour pouvant être considérée comme située à l infini, son image sera dans le plan focal de la lentille l encombrement sera de 5mm. a taille de l image sera fournie par la formule du grandissement : f, 5 AB AB 5,15 m 1, 5 mm (5).) image AB étant située à 5mm de 1 constitue donc un objet virtuel pour la lentille ( ). O, elle se trouve entre O et F : elle Pour la construction demandée, nous allons prendre deux rayons issus du point B, l un parallèle à l axe et passant virtuellement par F, l autre passant par le centre O de la lentille ( ) et non dévié ; on obtient alors : Page 6 Christian MAIRE EduKlub S.A.

7 ( 1) ( ) O O1 F A A" B B".3.a) a formule de conjugaison des lentilles donne : OA OA" f a taille de l image finale s en déduit selon : ,1319 mm OA" , OA" 75,8 A B AB AB AB " " 4,3 OA 5 31, encombrement e est alors de : e OO 1 + O A" 31,+ 75,8 17mm 1 OA " 75,8 mm A" B" 5,3 mm.3.b) après la relation (5), une lentille unique devrait avoir une focale fu A" B"! 4 f mm AB f u telle que : Son encombrement serait alors quasiment le double de celui du téléobjectif réalisé avec deux lentilles, d où l intérêt du montage précédent qui permet de réduire l encombrement de l appareil photographique. Rq : pour de très longues focales, on utilise des objectifs catadioptriques, faisant appel à des miroirs, ce qui permet de réduire encore l encombrement du téléobjectif. *************** Page 7 Christian MAIRE EduKlub S.A.

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