IX. IMAGE D UN OBJET PAR UNE LENTILLE SPHERIQUE MINCE CONVERGENTE

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1 page IX-1 IX. IMGE D UN JET PR UNE LENTILLE SPHERIQUE MINCE CNVERGENTE Nous allons utiliser les foyers 1 et leurs propriétés pour établir la position et la grandeur d une image, connaissant celles de l objet. Nous verrons d abord que, selon la position de l objet, différents cas se présentent. Chacun des cas donne lieu à une ou plusieurs applications. Nous terminerons par une étude quantitative qui s appuie sur la construction géométrique de l image et qui nous fournira les relations de conjugaison et de grandissement 2.. nalyse qualitative de l image d un objet ponctuel Sur l axe optique, deux points, le foyer objet et le centre optique, jouent un rôle particulier pour la position des objets (voir la figure 9.1). (Le troisième point particulier, le foyer image joue un rôle dans la position des images mais pas dans celle des objets.) fig. 9.1 : les points particuliers sur l'axe optique Les positions d un objet par rapport { une lentille convergente se classent donc en trois catégories : avant le foyer objet, entre le foyer objet et la lentille, et enfin après la lentille. Ce classement fait apparaître trois cas particuliers : { l infini, au foyer objet et sur la lentille. 1 Pour la définition des foyers objet et image, voir le chapitre VIII oyers des lentilles sphériques minces, paragraphes C.1.a et C.2.a. 2 Pour la définition des relations de conjugaison et de grandissement, voir le chapitre V ormation des images dans l exemple du miroir plan, paragraphes.3.c et.3.b.

2 8 8' Chapitre IX page IX-2 Nous allons commencer par un objet situé { l infini sur l axe, puis nous allons progressivement le rapprocher de la lentille et enfin terminer par un objet virtuel bjet situé à l infini sur l axe L image est au foyer image. Le faisceau de rayons parallèles est transformé en un faisceau convergent. (Voir la figure 9.2.) fig. 9.2 : objet à l'infini sur l'axe 2. bjet réel situé avant le foyer objet Partant de l infini, nous rapprochons maintenant l objet de la lentille, en restant avant le foyer fig. 9.3 : objet réel situé avant le foyer objet, comparé à un objet situé à l'infini ' objet. Nous allons comparer ces deux situations pour trouver la position de l image. (Voir la figure 9.3.) Le faisceau incident, parallèle dans le premier cas, est maintenant divergent 4. Le faisceau émergent, qui convergeait vers, est donc maintenant moins convergent. Conclusion : un objet réel situé avant le foyer donne une image réelle située après le foyer image. 3. bjet réel situé au foyer objet L image est { l infini sur l axe. Le faisceau incident divergent est transformé en un faisceau de rayons parallèles. (Voir la figure 9.4.) fig. 9.4 : objet réel situé au foyer objet 3 Sur les notions de réalité et virtualité, voir le chapitre V ormation des images dans l exemple du miroir plan, paragraphe.3.a et le chapitre VIII oyers des lentilles sphériques minces, paragraphe. 4 Pour l action d une lentille convergente sur les faisceaux lumineux voir le chapitre VII Les lentilles sphériques, paragraphe.3.

3 page IX-3 4. bjet réel situé entre le foyer objet et la lentille Partant du foyer, nous rapprochons encore l objet de la lentille. Nous allons comparer ces deux situations pour trouver la position de l image. (Voir la figure 9.5.) ' fig. 9.5 : objet réel situé après le foyer objet, comparé à un objet situé au foyer Puisque le faisceau divergent issu de émerge en un faisceau parallèle, le faisceau plus divergent issu de émerge en divergeant (il est cependant moins divergent que son faisceau incident). Les prolongements des rayons émergents se coupent en avant de la lentille. L image est donc virtuelle. lentille donne une image virtuelle (c est { dire située avant la lentille). 5. bjet situé sur la lentille 8' Conclusion : un objet réel situé entre le foyer et la ' Lorsque l objet est situé en, les rayons lumineux convergeant au centre optique ne sont pas déviés, donc l image est, elle aussi, située en. (Voir la figure 9.6.) fig. 9.6 : objet situé sur la lentille 6. bjet virtuel Nous considérons maintenant un faisceau convergent frappant la lentille. Il émerge en un faisceau plus convergent. L image est donc réelle. (Voir la figure 9.7.) ' fig. 9.7 : objet virtuel Comme un faisceau parallèle émerge en convergeant vers, le faisceau convergent émerge en convergeant vers située avant. L image est donc située entre et.

4 8 8 Chapitre IX page IX-4 7. Conclusion Un objet réel situé avant le foyer donne une image réelle (située après le foyer image). Un objet réel situé entre le foyer objet et la lentille donne une image virtuelle. Un objet situé sur la lentille donne une image située sur la lentille. Un objet virtuel donne une image réelle (située entre et ). Un objet situé { l infini donne une image réelle située au foyer image. Un objet réel situé au foyer objet donne une image { l infini. Remarque : Les images sont réelles sauf lorsque l objet est situé entre le foyer objet et la lentille (en mettant { part le cas de l image { l infini).. Etude quantitative des deux cas objet ou image à l infini 1. bjet étendu situé à l infini a) La situation, notion de rayon angulaire Le soleil, les planètes constituent des objets étendus situés { l infini. Ces objets sont vus par nous comme des disques et nous allons nous intéresser à un rayon de ce disque. Le point situé { l infini sur l axe émet un faisceau de rayons parallèles { l axe. Le point situé { l infini hors de l axe émet un faisceau de rayons faisant l angle avec l axe 5. L objet émet donc un ensemble de faisceaux parallèles déterminés par des angles compris entre 0 et. fig. 9.8 : objet étendu situé à l'infini L angle est appelé rayon angulaire du Soleil ou de la planète ; 2 est son diamètre angulaire. b) Position et taille de l image L objet étant { l infini, son image est dans le plan focal image. 5 Sur les objets situés à l infini voir le chapitre VIII oyers des lentilles sphériques minces, paragraphe.1

5 8 8 Chapitre IX page IX-5 Chaque point { l infini hors de l axe a pour image un foyer image secondaire. En particulier le point a pour image le point S donc '.. La taille de l image est Remarquons d abord que l objet est droit, ce qui ' ' entraîne que l angle est positif. Dans le triangle rectangle en (voir figure 9.9), nous calculons : fig. 9.9 : taille de l'image ' ' 'tan f 'tan. ' ' f 'tan. L image est renversée : Le «haut» de la planète, du Soleil ou de la Lune se retrouve «en bas». L image entière est un disque de diamètre 2. Remarque : Les diamètres angulaires du Soleil et de la Lune sont de l ordre de 30 (minutes d arc), ceux des planètes de l ordre de quelques secondes d arc 6. Dans ces cas, l angle faible, donc tan (exprimé en radian), alors : ' - = - f. 2. Image étendue située à l infini a) Construction L objet étendu est alors au foyer objet. fig : objet étendu situé au foyer objet, image étendue située à l'infini est Considérons la figure Le faisceau incident émis par émerge en un faisceau parallèle { l axe formant l image. (Le faisceau incident issu de n est pas tracé sur la figure pour ne pas la brouiller.) Le faisceau incident émis par émerge en un faisceau parallèle formant l image. Chaque point S de l objet donne une image située { l infini dans la direction avec l axe optique. que fait l axe secondaire ( S) L image est formée d un ensemble de faisceaux parallèles déterminés par des angles compris entre 0 et. b) Position et rayon angulaire de l image L objet étant au foyer objet, son image est { l infini. ' 8' 8' 6 Un degré = soixante minutes d arc (1 = 60 ) et une minute d arc = soixante secondes d arc (1 = 60 ).

6 page IX-6 La taille de l image est infinie. L étendue de l image est alors donnée par son rayon angulaire qui est positif car l image est droite 7. Dans le triangle rectangle en (voir la figure 9.10), nous calculons : tan ' tan ' tan ' f ' C. Les trois cas à distance finie 1. bjet étendu réel situé avant le foyer objet a) Schéma D après l analyse qualitative, la lentille convergente en donne une image réelle. ' ' fig : objet étendu réel situé avant le foyer objet b) Image de Pour construire le schéma, nous cherchons d abord { déterminer l image du point objet. Par définition, elle se trouve { l intersection des rayons issus de. Il faut donc en tracer au moins deux. Voir la figure 9.11 : Premier rayon : Le rayon issu de et passant par le centre optique n est pas dévié 8. Deuxième rayon : Le rayon issu de et parallèle { l axe optique émerge en passant par le foyer image 9. L image est { l intersection des deux rayons émergents Si nous plaçons notre œil après la lentille, nous voyons l image vers le haut de la page. 8 Voir chapitre VIII oyers des lentilles sphériques minces, paragraphe.3. 9 Voir chapitre VIII, paragraphe C.1.b. 10 Voir chapitre V ormation des images dans l exemple du miroir plan, paragraphes.1 & 2.

7 page IX-7 c) Stigmatisme La position de est trouvée, un troisième rayon n est pas nécessaire. Cependant comme nous avons { notre disposition un troisième rayon particulier, nous allons le tracer et l étudier. Troisième rayon : Le rayon issu de et passant par le foyer objet émerge parallèlement { l axe optique 11. Le stigmatisme 12 impose que le rayon émergent passe par. Voir la figure Tout rayon et tout faisceau lumineux émis par émergent en passant par. Voir la figure ' fig : stigmatisme ' Remarque : L image se forme même avec un faisceau lumineux ne frappant pas toute la lentille, ou encore en utilisant seulement un fragment de lentille. Elle est seulement moins lumineuse. d) Image de Ensuite, nous pouvons déterminer l image du point. Grâce { l aplanétisme 13, l image d un objet perpendiculaire { l axe optique est aussi perpendiculaire { l axe optique. Donc nous traçons perpendiculairement { l axe optique. La position de est alors déterminée. e) Nature et grandeur de l image Cette construction confirme que l image est réelle. Elle montre en outre que l image est renversée. Elle peut être agrandie ou réduite selon la position de l objet (voir figures 9.13). ' ' ' fig. 9.13a : image réduite fig. 9.13b : image agrandie ' 11 Voir chapitre VIII oyers des lentilles sphériques minces, paragraphe C.2.b. 12 Voir chapitre V ormation des images dans l exemple du miroir plan, paragraphe Voir le chapitre V, paragraphe.4.

8 page IX-8 f) Utilisation : projection et photographie Dans le cas de la figure 9.13a, l objectif d un appareil photo donne de la scène photographiée une image réduite sur la pellicule. Le type de situation de la figure 9.13b sert { former une image agrandie d un objet sur un écran. Par exemple, l image d un film ou d une diapositive. C est ce qu on appelle la projection. g) L œil En première approximation, l œil peut être modélisé par une lentille convergente qui fonctionne comme nous venons de le voir sur la figure 9.13a. De plus, l œil hypermétrope (pas assez convergent) est corrigé { l aide de lentilles convergentes (voir chapitre XI sur l œil). 2. bjet étendu réel situé entre le foyer objet et la lentille a) Construction Nous reprenons la même méthode de construction 14. Le rayon émis par et passant par le centre optique n est pas dévié. Le rayon émis par, parallèle { l axe optique, émerge en passant par. ' ' fig : objet étendu réel situé entre et b) Nature et grandeur de l image Les rayons émergents ne se coupent pas en avant de la lentille ; Leurs prolongements vers l arrière se coupent en. Grâce { l aplanétisme, nous en déduisons. Nous constatons donc que l image est virtuelle. De plus elle est droite et agrandie. c) Utilisation : loupe C est ainsi que fonctionne une loupe. Celle-ci donne d un objet réel situé entre le foyer et la loupe une image virtuelle agrandie. 14 Voir paragraphe C.1.

9 page IX-9 d) Suite de la construction et stigmatisme Pour compléter la construction, considérons le rayon émis par et semblant provenir de. Il émerge parallèlement { l axe optique. Le prolongement vers l arrière de cet émergent passe par. Voir la figure Grâce au stigmatisme, tout rayon et tout faisceau émis par émerge ' ' en semblant provenir de. Voir la figure bjet étendu virtuel fig : stigmatisme a) Construction Sur la figure 9.16 nous reprenons la même méthode de construction 15. Le rayon incident passant par le centre optique et se dirigeant vers n est pas dévié. L incident parallèle { l axe optique et se dirigeant vers, émerge en passant par. ' ' fig : objet étendu virtuel b) Nature et grandeur de l image Les rayons émergents se coupent en. Grâce { l aplanétisme, nous en déduisons. Et nous constatons que l image est réelle, droite et réduite. c) Utilisation : association de lentilles Ce type de situation nécessite deux lentilles : Une première lentille forme d un objet réel, une image réelle. Cette image sert d objet virtuel pour la seconde 16. Nous reviendrons dans le chapitre XII sur quelques associations de lentilles. 15 Voir paragraphe C Voir chapitre VIII oyers des lentilles sphériques minces, paragraphe.1.

10 page IX-10 d) Suite de la construction et stigmatisme Sur la figure 9.16, pour compléter la construction, considérons le rayon incident passant par et se dirigeant vers. Il émerge parallèlement { l axe optique et passe par. Grâce au stigmatisme, tout rayon et tout faisceau incident se dirigeant vers l objet émerge en passant par l image. Voir la figure ' ' fig : stigmatisme 4. Conclusion Dans les trois cas, la méthode de construction est toujours la même. Seules la disposition des rayons et leurs parties réelles ou virtuelles changent. Cependant chaque cas possède son propre intérêt pratique. D. Relations de conjugaison et de grandissement Nous allons déterminer quantitativement la position et la grandeur de l image connaissant celles de l objet. 1. rientation de l espace. Relation de conjugaison. Grandissement transversal 17 L axe optique est orienté dans le sens de la lumière incidente. L axe perpendiculaire { l axe optique est orienté vers le haut de la page. La relation de conjugaison donne la position de l image en fonction de celle de l objet (et des caractéristiques du système optique). Le grandissement transversal est le quotient de la taille algébrique de l image par celle de l objet : ' ' 17 Voir note 2.

11 page IX Etude du schéma a) Rappel du schéma I ' J ' fig : construction de l'image d'un objet étendu Nous raisonnerons sur le premier cas que nous avons rencontré (objet réel situé avant le foyer) mais les démonstrations que nous ferons et les relations que nous allons obtenir sont valables dans les trois cas à distance finie. b) Les trois paires de triangles semblables Considérons la figure Les triangles J et forment une première paire de triangles semblables ; Une deuxième paire est formée des triangles et I ; Et enfin la troisième, des triangles et. Les différents rapports de similitude s écrivent donc : (1) (2) (3) J ' ' ' ' ' I ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' car J ' ' car I ien que les positions des triangles changent, nous retrouvons les mêmes paires de triangles semblables dans les deux autres cas (considérer les figures 9.14 et 9.16). 3. Les relations de grandissement a) Grandissement de Descartes (origine au centre optique) La relation (3) donne immédiatement le grandissement en prenant le centre optique comme origine : ' ' '

12 page IX-12 b) Grandissements de Newton (origines aux foyers) La relation (1) donne immédiatement le grandissement en prenant le foyer objet comme origine : ' ' f ' La relation (2) donne immédiatement le grandissement en prenant le foyer image comme origine : ' ' ' ' ' ' ' f Pour aider { la mémorisation de ces formules, on peut remarquer que l image, lorsqu elle est présente, est toujours au numérateur tandis que l objet, lorsqu il est présent, est toujours au dénominateur. 4. Les relations de conjugaison a) Relation de conjugaison de Descartes La comparaison des relations (2) et (3) donne : ' ' ' ' ' ' ' 1 ' ' ' ' En divisant les deux membres par ' ' ' f ' Cette relation peut aussi s écrire : ' ' 1/ mesure la convergence du faisceau incident : si > 0, le faisceau est convergent ; si <0, le faisceau est divergent ; Plus est grand, moins le faisceau est convergent ou divergent. De même avec ' pour le faisceau émergent. Donc la formule de Descartes montre qu une lentille mince convergente augmente toujours la convergence du faisceau incident, et ceci d une quantité égale à la vergence de la lentille.

13 page IX-13 b) Relation de conjugaison de Newton La comparaison des relations (1) et (2) donne : ' ' ' 2 ' '.. ' f. f ' f ' La formule de Newton montre que ' et sont toujours de signes contraires : si l objet est avant le foyer objet, l image est après le foyer image (l objet et l image sont alors tous les deux réels) ; si l objet est après le foyer objet (objet réel entre le foyer objet et la lentille ou objet virtuel après la lentille), l image est avant le foyer image (image virtuelle avant la lentille ou image réelle entre la lentille et le foyer image). c) pplication : objet situé à l infini Combien la distance entre l objet et la lentille doit-elle valoir pour que celui-ci puisse être considéré comme étant { l infini? - Lorsque l objet peut être considéré comme étant { l infini, alors l image peut être considérée comme étant au foyer image : ' ' ' Pour pouvoir faire cette approximation, il faut et il suffit que : 1 1 ' c est { dire ' Donc, pour être considéré comme étant { l infini, il faut et il suffit que l objet soit situé { une distance grande devant la distance focale image. - Nous pouvons reprendre cette étude en raisonnant de façon qualitative sur les grandeurs caractéristiques. Nous nous interrogeons sur la valeur { donner { la distance de l objet { la lentille, donc sur une distance. Quelles sont les distances caractéristiques d une lentille? Réponse : son épaisseur, les rayons de courbure des dioptres, sa largeur, sa distance focale. Parmi ces distances laquelle intervient pour caractériser la distance d un objet { la lentille? Réponse : la distance focale, comme nous l avons vu dans l analyse qualitative des différents cas. Nous concluons donc qu un objet est { une distance pratiquement infinie de la lentille si cette distance est grande devant la distance focale. - Nous pouvons aussi reprendre cette étude de façon quantitative : «Combien de fois la distance focale doit-elle être contenue dans la distance?»

14 page IX-14 La réponse dépend nécessairement de la précision désirée. Cette précision dépend de la distance. Nous allons choisir par exemple = f /10. (La distance focale est ainsi prise comme unité de mesure.) La relation de conjugaison de Newton donne rapidement le résultat cherché : ' '. f ' 2 2 f ' 2 10 f '. ' f ' 10 f ' D où : f ' 10 f ' 11 f ' 11 f ' Si nous avions choisi = f /100, nous aurions trouvé = 101f, etc. Donc le rapport à fixer entre et f dépend uniquement de la précision désirée. Selon la position de l objet, différents cas se présentent qui se traitent tous avec la même méthode et qui possèdent tous des applications (projection, photo, loupe, associations de lentilles). L étude quantitative nous a conduits aux relations de conjugaison et aux grandissements de Descartes et Newton. Dans le chapitre suivant nous étudierons les lentilles divergentes et nous verrons que la conclusion est sensiblement la même.

15 page IX-15 Résumé Selon la position de l objet, cinq cas se présentent : Trois cas à distances finies : Un objet réel situé avant le foyer donne une image réelle, située après le foyer image, agrandie ou réduite. pplications : projection, photographie. Un objet réel situé entre le foyer objet et la lentille donne une image virtuelle, agrandie. pplication : la loupe. Un objet virtuel donne une image réelle, située entre et, réduite. pplication : associations de lentilles. Deux cas où l une des positions est à l infini : Un objet situé { l infini donne une image réelle située au foyer image. Un objet réel situé au foyer objet donne une image { l infini. pplication : les lunettes astronomiques. Relations de conjugaison et grandissements Grandissement de Descartes (origine au centre optique) ' ' ' Grandissements de Newton (origines aux foyers) ' ' f ' ' ' ' ' ' ' ' f Relation de conjugaison de Descartes ' ' f ' Relation de conjugaison de Newton 2 ' '.. ' f. f ' f '