Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014

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1 Corrigé du baccalauréat ES Asie 9 juin 4 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Proposition : fausse f (4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C ; cette droite passe par les points C et D. Son coefficient directeur est égal à y C y D = x C x D 4 =. Proposition : fausse Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes ; cela se produit lorsque sa dérivée est décroissante sur cet intervalle. D après le graphique et le texte, la dérivée de f est nulle en x =, puis est positive entre et et est à nouveau nulle en x = ; donc f n est pas décroissante sur [ ; ] et donc la fonction f n est pas concave sur cet intervalle. Proposition : vraie La fonction f est positive sur [; ] donc f (x) dx est égale à l aire du domaine compris entre la courbe, l axe des abscisses, et les droites d équations x = et x = (aire hachurée en rouge sur le dessin du milieu). Cette aire est comprise entre (aire du rectangle de gauche) et (aire du rectangle de droite) : Aire égale à f (x)dx Aire égale à Proposition 4 : fausse Les solutions de l équation f (x)=ln sont les abscisses des deux points d intersection de C et de la droite d équation y = ln ; cette équation a donc deux solutions sur [ ; 5]. (C ) D (T ) y = ln C 4 5

2 accalauréat ES A. P. M. E. P. EXERCICE 5 points Enseignement obligatoire et spécialité L On s intéresse aux résultats d un concours où l on ne peut pas se présenter plus de deux fois. Partie A : étude des résultats de mai Les statistiques dressées à partir des résultats de la session de mai ont permis d établir que :. 6 % des personnes qui présentaient le concours le présentaient pour la première fois donc P(C )=,6 ; % de ceux qui le présentaient pour la première fois ont été admis donc P C (R)=, ; 4 % de ceux qui le présentaient pour la seconde fois l ont réussi donc P C (R)=,4. On peut donc construire un arbre pondéré regroupant les résultats précédents et en déduire d autres probabilités :, R,6 C,=,9 R,4 R,6=,4 C,4=,6 R. «La personne s est présentée au concours pour la première fois et a été admise» est l événement C R : P(C R)=P(C ) P C (R)=,6,=,6. «La personne est admise au concours» est l événement R. D après la formule des probabilités totales : P(R)=P(C R)+P(C R)=,6+,4,4 =,6+,6=, 4. Sachant que cette personne a réussi le concours, la probabilité qu elle l ait présenté pour la première fois est P R (C ) : Partie : résultats des établissements P R (C )= P(C R) P(R) =,6, =,7. L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% du pourcentage d étudiants admis est : [ ] p( p) p( p) I = p,96 ; p+,96 n n Le groupe est de 4 personnes donc n = 4 et le taux de réussite global est de % donc p =, : [,,78,,78 I =,,96 ;,+,96 ] [,6;,8] 4 4. Le pourcentage de reçus dans l établissement étudié est de 6 % soit,6 ; ce nombre appartient à l intervalle de fluctuation I donc on peut considérer que le taux de réussite de 6 % est un résultat «normal». L affirmation du directeur de l établissement est donc erronée. Asie 9 juin

3 accalauréat ES A. P. M. E. P. EXERCICE 5 points Enseignement de spécialité Partie A Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprès de deux fournisseurs A et H. Les constats faits les premières semaines conduisent à modéliser l évolution du choix du fournisseur pour les commandes d une semaine à l autre par un graphe probabiliste de sommets A et H où : A désigne l état : «La commande est passée auprès du fournisseur A» ; H désigne l état : «La commande est passée auprès du fournisseur H». ( ),95,5. On dessine le graphe probabiliste associé à la matrice de transition M = :,,9,5,95 A H,9, Pour tout entier naturel n, on note : a n la probabilité de l évènement : «La semaine n, l entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A» ; h n la probabilité de l évènement : «La semaine n, l entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur H» ; P n la matrice ( ) a n h n correspondant à l état probabiliste pour la semaine n.. Comme + ( ) =, la matrice P = correspond à un état probabiliste. Pour qu elle corresponde à l état stable, il faut de plus que P M = P. ( ) ( ) (,95,5 P M = =,,9,95+,,5+ ),9 ( ) ( ),95+,,5+,9 = = = P ( ) Donc la matrice P = correspond à l état stable du système. Cela signifie que, si une année les commandes se répartissent en proportion de pour le four- nisseur A et de pour le fournisseur H, il en sera de même l année suivante et donc toutes les années qui suivront.. On donne P = (,4,6 ) et on rappelle que P k = P M k, pour k entier naturel. On cherche n tel que a n > h n ; pour cela on calcule, à la calculatrice : P = P M = (,44,56 ) ; P = P M = (,474,56 ) et P = P M = (,59,497 ) C est donc à partir de la troisième semaine que, pour la première fois, la probabilité que l entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu elle les commande auprès du fournisseur H. Partie Le directeur de l entreprise E rend visite à ses fournisseurs, il se rend du fournisseur A au fournisseur H et souhaite effectuer le moins de kilomètres possible. Son assistant dresse un graphe qui schématise les trajets, en kilomètres, entre les six villes de la région, notées ; C ; D ; E ; F et G et les deux sites, A et H. L algorithme de Dijkstra va donner tous les trajets les plus courts partant du sommet A : Asie 9 juin

4 accalauréat ES A. P. M. E. P. A C D E F G H On garde A (A) 75 (A) 58 (A) (A) 75 (A) 58 (A) 4 () 5 () D (A) 75 (A) 5 () 5 (D) 65 (D) C (A) 5 () 65 (D) 4 (C) 45 (C) E (C) L itinéraire le plus court pour aller de A à H est : A 75 C 7 F G 49 H Il a une longueur de = 5 kilomètres. 45 (C) (E) 5 (E) F (C) (E) 5 (E) 76 (F) 57 (F) G (F) 5 (E) 5 (G) H (G) 5 E A 75 C G 49 H D 7 F Asie 4 9 juin

5 accalauréat ES A. P. M. E. P. EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats On étudie la propagation d une maladie lors d une épidémie. Partie A Soit f la fonction définie sur [ ; 6] par : f (t)= 4t ln(t) t + où t est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et f (t) est le nombre de milliers de malades comptabilisés après t semaines.. On note f la fonction dérivée de la fonction f. f (t)=4 ln(t)+4 t 6t+ = 4ln(t) 6t+ 4 t. a. On complète le tableau de variations de la fonction f : f ()=8> ; f (4)=4ln 4,> et f (6)=4ln(6) 5,8< t 4 α 6, f (t) 8 5,8 D après ce tableau de variations, l équation f (t)= admet une solution unique dans l intervalle [; 6] et cette solution, appelée α, est dans l intervalle [4; 6]. Plus précisément : f (4),4> et f (5),< donc 4<α<5. b. Du tableau de variations, on peut déduire que f (t)> sur [; α[ et que f (t)< sur ]α; 6]. Donc la fonction f est strictement croissante sur [; α] ; est strictement décroissante sur [α; 6] ; atteint un maximum pour x = α.. Le réel f (t) représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de t semaines. Partie a. L expression mathématique suivante : «sur [4 ; 6], f est décroissante» signifie que sur cet intervalle, la vitesse de propagation de la maladie diminue. b. Le nombre de malades est donné par la fonction f ; ce nombre diminue quand la fonction f est décroissante, autrement dit quand sa dérivée f est négative. D après son tableau de variations, la dérivée f s annule pour x = α et est négative sur l intervalle ]α;6]. On sait que 4<α<5 mais f (4) 8,7 et f (5) 9,9 donc f (4)< f (5). On calcule f (6) 6,7 donc f (6) < f (5). C est donc à partir de la semaine n o 6 que le nombre de malades diminue, donc après 5 semaines écoulées. On admet que la fonction G définie par G(t)=t ln(t) 6t est une primitive sur [ ; 6] de la fonction g définie par g (t)=4t ln(t).. f (t)= 4t ln(t) t += g (t) t + ; la fonction g a pour primitive la fonction G et la fonction t t + a pour primitive t t + t (primitive d une fonction polynôme). Donc la fonction f a pour primitive sur l intervalle [; 6] la fonction F définie par F (x)=t ln(t) t 6t + t.. On a trouvé que l arrondi à l entier de [F (6) F()] est. 6 6 [F (6) F ()]= f (t)dt est la valeur moyenne de la fonction f entre et 6 ; donc 6 6 le nombre moyen de malades comptabilisés entre les semaines et 6 est de milliers. Asie 5 9 juin

6 accalauréat ES A. P. M. E. P. EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats On étudie l évolution de la population d une ville, depuis le er janvier 8. Partie A : un premier modèle Pour cette partie, on admet que la population augmente de,5 % par an depuis le er janvier 8.. Une augmentation annuelle de,5 % correspond à une multiplication par +,5 soit,5. Si cette augmentation se produit pendant 6 ans, il faut multiplier par,5 6,9, ce qui correspond à une augmentation de,9%.. À partir de 8, on modélise la population de cette ville au er janvier à l aide d une suite : pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d habitants, exprimé en centaines de milliers d habitants, au er janvier de l année 8+n. a. Au er janvier 8, donc pour n =, la population de la ville était de habitants donc une centaine de milliers d habitants : u =. b. La suite (u n ) est une suite géométrique de premier terme u = et de raison q =,5 ; donc pour tout n, u n = u q n =,5 n =,5 n. c. La population aura doublé quand elle aura atteint centaines de milliers d habitants, autrement dit quand u n sera supérieur ou égal à. On résout l inéquation,5 n :,5 n ln (,5 n) ln croissance de la fonction ln n ln,5 ln propriété de la fonction ln n ln car ln,5 > ln,5 ln Or ln,5,5 donc on peut dire que le population aura doublé la e année, soit en 8+= 9. À la calculatrice, on trouve que,5,99< et que,,6>. Partie : un second modèle On modélise la population de cette ville à partir du er janvier 8 par la fonction f définie sur [ ; + [ par f (x)= +e,5x Dans l algorithme proposé dans le texte X désigne une variable entière qui représente le nombre d années écoulées depuis le er janvier 8 ; f (X ) représente le nombre d habitants en centaines de milliers. L algorithme tourne tant que f (X ), donc il s arrête dès que f (X )> ; la valeur 8 affichée en sortie de l algorithme représente donc la première année pour laquelle f (X ) est plus grand que, autrement dit la première année pour laquelle la population dépasse habitants. Ce sera en 8+8 donc en 6 avec ce modèle de développement de population. Asie 6 9 juin

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