Approche multimodèle

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Viviane Duval
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1 Prévision des épisodes de pollution Approche multimodèle G. Mourot, K. Gasso, J. Ragot Centre de Recherche en Automatique de Nancy

2 Plan Introduction Présentation de l approche multi-modèle Prévision des maxima d ozone Conclusions 2

3 3

4 Objectifs du projet Partenaires : réseaux lorrains Pollution par l ozone (O 3 ) Effets nocifs sur la santé et sur l environnement Définition de normes sur la qualité de l air Seuil d alerte de la population : 80 µg/m 3 Information du public, des autorités préfectorales Mesures de restriction temporaires 4

sur la qualité de l air Seuil d alerte de la population : 80 µg/m 3

5 Objectifs du projet Données provenant des réseaux Données météorologiques METEO-FRANCE Modèles du taux d ozone Prévision à long terme (24h) Prévision à moyen terme (4 à 6h) Prévision à court terme (h) Š Taux maxima d ozone Š Indicateur de dépassement de seuil Affiner la prévision de la veille (correction ou confirmation) Suivi de l évolution du taux d ozone en période de crise 5

terme (h) Š Taux maxima d ozone Š Indicateur de dépassement de seuil Affiner la prévision de la

6 Identification de systèmes dynamiques non linéaires Modèle d un système MISO ( t) F[ ϕ ( t),θ] y = Représentation Approche globale ¾ Modèles d Hammerstein, Wiener ¾ NARMAX, Approche locale ¾ Modèles flous ¾ RFBR ¾ Réseaux de neurones (MLP). ¾ Multi-modèle 6

globale ¾ Modèles d Hammerstein, Wiener ¾ NARMAX, Approche

7 7

8 Illustration de l approche multi-modèle modèle Fonctions de validité Fonctions d activation Modèle global = interpolation de modèles locaux 8

9 Formulation mathématique Modèle global F : y( t) ω ( z( t), β ) f ( ϕ( t), θ ) Modèle local affine : yi ( t) = T a ( t) i = M i= ϕ θ avec ϕ ( t) Fonction d activation : ω i ( z( t), β ) = M ρ j= ( z( t), β ) ( z( t), β ) Variables caractéristiques z(t) i ρ j i j i i a ϕ = ( t) ρ ( z( t), β ) : fonction de validité i i Z : espace caractéristique ou espace de fonctionnement 9

= M ρ j= ( z( t), β ) ( z( t), β ) Variables caractéristiques z(t) i ρ j i j i i a ϕ = ( t) ρ

10 Problématique d identification Optimisation paramétrique T : modèles locaux T θ = θ θ M E : fonctions de validité β = β β Optimisation structurelle Structure des modèles locaux Choix des variables caractéristiques z(t) Décomposition de Z en zones de fonctionnement T M 0

Optimisation structurelle Structure des modèles locaux Choix des

11 Problématique d identification Décomposition en zones de fonctionnement z 2 Partition grille z 2 Partition k-d z 2 Classification z 2 Z i z z z modalités sur chaque support Découpage suivant un arbre de décision Reconnaissance de formes

Classification z 2 Z i z z z modalités sur chaque support

12 Définition mathématique de la grille Multi-modèle à n z variables caractéristiques z à z nz Définir p j modalités P l, j sur le support de z j P l,j Fonction de validité individuelle P l, j 0.5 µ, j µ 2, j µ 3, j Zone Z i Nombre de zones : Fonction de validité M = 0 n z p j j= ρ n = z ( ) i t j= µ l, j z j 2

P l,j Fonction de validité individuelle P l, j 0.

13 Fonctions de validité individuelles Approximation de trapèzes à dérivée non continue par des fonctions sigmoïdes à dérivée continue Fonctions de validité de z j µ, j = ~ µ, j µ ~ ~ 2, j = µ, j µ 2, j µ = ~ µ 3, j 2, j z j 3

sigmoïdes à dérivée continue Fonctions de validité de z j

14 Fonction sigmoïde Définition des fonctions sigmoïdes + z tanh j 2 ( t) σ ~ l, j l, j = µ c l, j l =,, p Centre c k, j = a + a 2k, j 2k, j a2k, j a2k, j Dispersion σ k, j = γ A A 2 A 3 A 4 a z c a 2 a 3 c 2 a 4 Contraintes inégalités sur les paramètres a s,j z < a < a < < a < z min, j, j 2, j 2 p 2, j max, j j 4

15 Optimisation paramétrique Critère quadratique J g = 2 N ( y( t) yˆ ( t ) t= T Multi-modèle : y( t Θ) = ω ( z( t), β ) ϕ ( t) M, θ i= i a 2 i Θ = β θ y( t,4) non-linéaire par rapport à E Méthode de Levenberg-Marquardt (LM) Fonctions de sensibilité y( t,4) linéaire par rapport à T Moindres carrés (MC) + Régularisation (ridge) 5

non-linéaire par rapport à E Méthode de Levenberg-Marquardt (LM) Fonctions de

16 Optimisation structurelle Partition grille [ ] Structure des modèles locaux J VALIDATION Trouver les variables caractéristiques z j Variables d entrée u j Ordres : n y, n uj et retards : nk uj [2 ] [ 2 ] [ 2] J VALIDATION J VALIDATION J VALIDATION Trouver le nombre de partitions p j sur l axe z j Recherche incrémentale Choix d une structure initiale [2 2 ] [ 3 ] [ 2 2] J VALIDATION J VALIDATION J VALIDATION Simplification par élimination des paramètres superflus 6

VALIDATION J VALIDATION Trouver le nombre de partitions p j sur l axe z j Recherche incrémentale Choix d une

17 Inconvénients de la partition grille Caractère combinatoire de la grille Existence de zones vides Elimination de modèles locaux Existence de zones «redondantes» Fusion de modèles locaux 7

vides Elimination de modèles locaux Existence

18 8

19 Prévision des taux maxima d ozone Objectif : élaboration d un modèle de prévision du jour J pour le jour J+ (lendemain) Période : er Avril au 30 Septembre Années d étude : 995 à 999 Variables : ozone et variables météorologiques 9

(lendemain) Période : er Avril au 30 Septembre Années d

20 Analyse des maxima horaires d ozone Histogramme des maxima horaires journaliers 0.25 Pourcentage O3max Dépassement du seuil de 80 µg/m 3 (.78% des points) Valeurs inférieures à 00 Pg/m 3 (49.3% des points) 20

21 Synthèse des autres variables Résultats de l analyse bivariée Contraintes d exploitation Température valeur maximale entre 2h et 4h TU valeur minimale entre h et le lever du jour Vitesse du vent valeur moyenne entre 2h et 4h TU Humidité relative valeur moyenne entre 0h et 4h T 2

22 Modèle ARX Modèle de prévision linéaire O ( J + ) = a O ( J) + a O ( J ) + b ' T( J + ) + b HR ( J + ) 3max 3max 2 3max 2 + b HR ( J) + b T ( J) + b V ( J + ) + b 22 moy 3 max 4 moy 0 moy 'T = T max T min : variation de température Paramètres du modèle linéaire a a 2 b b 2 b 22 b 3 b 4 b

23 Performances du modèle linéaire P g /m 3 A n n é e P g /m 3 P ré v is io n M e s u re P g /m 3 A n n é e M e s u re P ré v is io n

24 Modèle de prévision non-linéaire Structure des modèles locaux = modèle de prévision linéaire O ( J + ) = a O ( J) + a O ( J ) + b ' T( J + ) + b HR ( J + ) 3max 3max 2 3max 2 + b HR ( J) + b T ( J) + b V ( J + ) + b 22 moy 3 max 4 moy 0 2 modèles locaux Variable caractéristique z = 'T (t+) Paramètres du multi-modèle a a 2 b b 2 b 22 b 3 b 4 b 0 Modèle local f moy Modèle local f

25 Performances du modèle non-linéaire Comparaison avec le modèle de prévision linéaire Linéaire Erreur moyenne absolue (Pgm Ecart-type (Pgm Critère quadratique moyen Multi-modèle Erreur moyenne absolue (Pgm Ecart-type (Pgm Critère quadratique moyen

26 26

27 Conclusions Multi-modèle utilise les principales variables explicatives locales Multi-modèle modèle linéaire : résultats satisfaisants dans l intervalle [50, 30] µg/m 3 sous-estimation des niveaux supérieurs à 30µg/m 3 Phénomène à une échelle plus importante 27

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