"Apprendre à raisonner en géométrie"

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1 D1; D2 "Apprendre à raisonner en géométrie" 1. INTRODUCTION D3 définitions Traditionnellement, la géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Elle peut être encore affine, projective, hyperbolique, elliptique, sphérique, synthétique, analytique. On peut encore ajouter la géométrie des groupes, l'algèbre linéaire, la topologie, la géométrie algébrique... On se limitera ici à la géométrie euclidienne et à sa construction chez l'enfant. objectifs traditionnels D : "L'enseignement de la géométrie, tel qu'il figure dans les programmes officiels et tel qu'il est conçu dans les instructions les accompagnant, répond parfaitement au double caractère que les instructions officielles ont voulu imposer à l'enseignement primaire. C'est à la fois un enseignement utilitaire et un enseignement éducatif. Utilitaire, la géométrie l'a été dès sa naissance et elle l'est restée par ses applications tout au long des siècles. A l'école primaire, son enseignement est conçu de façon à doter nos élèves de connaissances qui leur seront d'un grand secours dans la vie. Êducative, la géométrie ne l'est pas dans une moindre mesure. Par I'examen des figures et l'étude de leuls propriétés, elle développe l'esprit d'observation. Par l'emploi des instruments, elle accroît l'habileté manuelle et la dextérité. Par son objet même, elle donne à l'enfant le sens de la rigueur et de la précision." objectifs école D5 Le jeune enfant, comme nous tous, vit dans un espace tridimensionnel. Cet espace, que l'on appellera espace vécu, est complexe, difficilement perceptible par l'enfant dans sa globalité. C'est le rôle de la géométrie, mais pas seulement de la géométrie, d'amener l'enfant à comprendre cet espace, à le structurer et pour cela à le simplifier. Puisque l'espace vécu est trop complexe, trop vaste pour être perçu globalement, il faudra en extraire les caractéristiques essentielles. Cette abstraction est la partie des mathématiques que l'on appelle la géométrie. La géométrie a pour but initial de représenter l'espace. Cette représentation se fait généralement sur une feuille de papier, c'est à dire sur un espace plan. Par conséquence cette représentation est un modèle dans lequel seules certaines caractéristiques des objets de l'espace sont conservées. Elle obéit à un certain nombre de conventions que les enfants de Maternelle ou de Cycle II sont loin de connaître.mais si l'on ne connaît pas le code de la représentation, il est impossible de comprendre la représentation. Donc, tout notre travail en géométrie consistera à faire comprendre ce code aux enfants de l'école primaire. D6 Le deuxième objectif de la géométrie est l'étude des objets qu'elle a elle-même engendrés, de leurs propriétés, de leurs relations. On est là dans un domaine très théorique, inhérent à sa genèse, que l'on va construire progressivement. L'enfant va intégrer un monde abstrait fait d'objets, de représentations, de figures, de dessins. Il va apprendre à utiliser un vocabulaire propre à la géométrie voire sémantiquement opposé à celui du monde de tous les jours. Il va utiliser des instruments spécifiques (qui utilise un compas, une équerre en dehors de l'école?) et accèder enfin au nirvana du raisonnement géométrique, au plaisir de la démonstration, à la joie de l'argumentation, à la jubilation de la mise en rapport de ses qualités d'observation, d'intuition, de rigueur avec ses propres connaissances.

2 2. OBJETS GEOMETRIQUES objets physiques D7 Ils permettent une approche concrète de l'espace puis une approche modélisée. C'est une étape indispensable en cycle 1 mais très souvent aussi en cycles 2 et 3 voire ensuite. Ils visualisent ce que l'on a du mal à imaginer, conceptualiser. Photos D8 Ce sont des rerprésentations de la réalité non modélisées mais "exactes", conformes mais déformées car adoptant un point de vue de représentation. C'est parfois une étape indispensable entre réalité et concept. Objets graphiques D9 à D11 Dessins à main levée : ils sont le reflet de l'évolution de l'enfant, de sa conception de l'espace : Dessins instrumentés : ils ne sont possibles qu'une fois l'évolution vers l'espace euclidien accomplie. Ils nécessitent un apprentissage spécifique et conduisent à la réalisation de tracés de figures. Trois stades principaux du développement de l'enfant permettent d'accèder successivement au tracé expert : la maitrise de l'espace topologique, puis de l'espace affine et enfin de l'espace euclidien. Objets géométriques D12 à D17 Ce sont les briques de la géométrie. Ils sont de deux sortes : Les objets simples : point, droite, segment, cercle. Les objets composés : deux droites, puis trois (triangles), quatre (quadrimatères) et davantage (polygones). 3. LANGAGE vocabulaire D18 La géométrie, comme domaine intellectuellement construit, comporte des termes spécifiques qu'on ne trouve que dans son usage ou presque: segment, équerre, perpendiculaire, polygone, quadrilatère...chaque terme a une signification précise et désigne un concept donné. Ce vocabulaire doit être mis à la disposition des élèves progressivement. Ils ne peuvent ni le deviner ni le déduire puisqu'il est conventionnel. Par contre ils doivent apprendre ces termes et leur signification en les utilisant, les répétant, les réutilisant...dans des situations qui les y amènent. D19 La géométrie emploie d'autre part des termes polysémiques, ce qui pose davantage de problèmes aux enfants : centre, droit, arête, sommet...il faudra donc bien marquer la différence de sens avec les acceptations sociales de ces mots. D20 Troisième source de difficultés, la géométrie emploie un vocabulaire qui est devenu familier à l'élève mais qui désigne pour lui des objets concrets et matériels : carré, triangle...et qui sont sources de quiproquos entre le concept et une représentation prototypique d'une forme qui le représente. D21 Enfin le langage géométrique emploie une syntaxe caractéristique : "construis à l'aide du gabarit", "reproduis la figure"... qui est parfois difficile à comprendre. Représentations D22 La géométrie utilise des codes de représentation qui n'ont rien de naturel : pointillés pour les arêtes non vues en perspective, codes d'isométrie, d'angle droit... Certains objets ont plusieurs représentations possibles : le point! Injonctions D23 Elles donnent la nature de la tâche demandée et doivent donc être parfatement définies et connues des élèves puisqu'elles donnent le contrat du travail à effectuer : Observer, reconnaitre, nommer, décrire, tracer, représenter, construire, reproduire, expliquer, argumenter, raisonner, valider.

3 Chacun de ces verbes doit faire l'objet d'un apprentissage propre au cours de la scolarité à l'école. 4. INSTRUMENTS supports D24 Les premiers instruments sont composés des matériels de manipulation. Encore une fois ils sont indispensables notamment chez les jeunes enfants. Les différents papiers : D25 quadrillé, pointé (réseau droit ou en quinconce), uni qui déterminent la procédure à mettre en oeuvre et la difficulté de la tâche. L'écran de l'ordinateur D26 qui permet une souplesse d'utilisation sans égale : on recommence autant de fois qu'on veut, on "fait bouger" les figures... règle non graduée (feuille pliée une fois) : D27 Tracer une droite, un segment entre deux points, vérifier l'alignement sont ces attributs essentiels. Souvent elle est remplacée par la règle plate graduée, dommage! règle graduée : Mêmes utilisations et en plus : tracer un segment de dimension donnée, reporter des longueurs de segments, comparer des longueurs de segments... équerre (feuille pliée deux fois): D28 Tracer un angle droit, deux droites perpendiculaires, vérifier ces propriétés, puis tracer des parallèles ou les vérifier gabarits d'angles : D29 Tracer des angles donnés, vérifier l'égalité des angles compas : D30 Tracer un cercle de centre donné, un arc de cercle, reporter des longueurs de segments, comparer des longueurs de segments calque : D31 Reporter un objet, tracer un symétrique, vérifier une symétrie axiale ACTIVITES Je propose de les regrouper en trois domaines de complexité croissante : Dans le groupe 1 : elles concernent l'approche des objets, leur classification, leurs caractéristiques, leur connaissnace. dans le groupe 2 : elles nécessitent que l'élève agisse, applique des règles ou des conventions, mette en oeuvre ses connaissances, réflechisse. Dans le groupe 3 :elles mettent en oeuvre la conceptualisation et le raisonnement, Groupe 1 (G1) D32 Manipuler : des solides, des formes... C'est une étape indispensable, notamment en cycle 1 mais pas seulement. Il faut donner aux élèves qui en ont besoin ce recours tout au long de la scolarité primaire et même après : tangram par exemple, visualisation de la géométrie dans l'espace pour des adultes...d33 Observer : Apprendre à observer une figure géométrique pour comprendre sa construction. Ce n'est pas toujours simple... Jeu du portrait : Des figures tracées, visibles de tous les élèves, identifiées par une lettre ou un numéro. Choisir une figure et placer sa référence (lettre ou numéro) dans une enveloppe. Demander aux élèves de poser des questions pour trouver la figure choisie. Les questions posées ne doivent permettre qu une réponse par «oui» ou «non» Compter le nombre de rectangles qui s entrelacent (référence revue Grand N) Essayer d en trouver le plus possible. Compter le nombre de cubes composant un solide. Certains cubes peuvent ne pas être visibles sur la représentation Prendre des photos de solides (composés de plusieurs éléments) avec différents angles de vue, apparier les différentes photos d un même solide, indiquer le placement du photographe pour

4 chaque photo soit oralement, soit sur une représentation dessinée du solide D34 Reconnaitre, nommer : Il s agit de donner un nom aux objets géométriques étudiés, de les organiser en classes ou sous ensembles différents. Le vocabulaire précis de la géométrie doit être utilisé. Groupe 2 (G2) D35 Tracer : faire un dessin à main levée puis à l'aide des instruments Tracer une figure composée de plusieurs figures géométriques que le voisin décrit. Le dessin s effectue à main levée. Vérification en regardant le modèle. D36 Construire : Construire un objet c est le produire à partir d'un texte écrit ou oral, descriptif ou prescriptif, à partir d'un schéma, d un codage, d'une photo... (éclairés ou non par du texte). Cela peut aller de la construction de figures élémentaires, simples et connues à l'utilisation d'un algorithme de construction nécessitant la maitrise des instruments et supposant une anticipation intellectuelle de la manière de faire. D37 Reproduire : Reproduire un objet, c'est en faire une copie, à l'identique, cet objet étant visible un certain moment (mais pas nécessairement pendant tout le temps de l activité). La reproduction peut être réalisée à l échelle 1 ou à une autre échelle, réalisée avec le même matériel ou non. On peut organiser l'activité avec un jeu de la marchande pour commander les pièces nécessaires à la reproduction. D38 Représenter : Représenter un objet, c est l évoquer à l aide de procédés graphiques conventionnels (dessin à main levée, codage...) pour en permettre une restitution proche de l'objet initial. Groupe 3 (G3) D39 et D40 Décrire : Décrire un objet, oralement ou par écrit, c est élaborer des messages en utilisant un vocabulaire géométrique permettant à l interlocuteur d identifier l objet, le reproduire, le représenter. Cela suppose de donner les composants, les caractéristiques d'une figure. Décrire une figure composée de plusieurs figures géométriques pour que le voisin la dessine, sans l avoir vue. Le dessin s effectue à main levée. Vérification en regardant le modèle décrit. Lister les mots mathématiques employés pour décrire la figure. Pour cette activité, l'élève devra s'approprier le vocabulaire nécessaire, identifier des composants, vérifier leur nature. Cet exercice peut aller jusqu'à élaborer un programme de construction en hiérarchisant dans le temps les différentes étapes de la construction. On est là dans la construction de la pensée et dans un travail de raisonnement. D41 Expliquer : Rendre intelligible par la démonstration ou le raisonnement. Argumenter : Raisonner selon certaines règles pour tirer méthodiquement une conséquence d une ou plusieurs propositions. Raisonner : Faire une suite d arguments qui s enchaînent. Vérifier : Montrer ou confirmer la vérité ou l exactitude d une proposition ou d une production. Valider : Recouper et vérifier avec une ou plusieurs sources une proposition ou une production qui devient alors vraie. 6. OBSTACLES ET DIFFICULTES pour l'enseignant : D42 Prééminence de l'ostention : beaucoup trop de temps consacré à la nomenclature et aux définitions, apprentissage démonstratif du maître au tableau. Approche notionnelle linéaire : le point, le segment, la droite, la perpendiculaire,... avant de confronter les élèves à des figures complexes.

5 Un peu comme l'apprentissage de la musique par la connaissance rébarbative du solfège. (Jean Luc Despretz - CPC 29) Maitrise des notions et appréhension personnelle : les enseignants ont eux-mêmes un mauvais souvenir de la géométrie Manuels-fichiers : aucun d'entre eux n'est modélisant ou utilisable tel que mais beaucoup peuvent aider... Résolution de problèmes : moins évidente que dans les autres domaines à mettre en place pour l'élève : D43 Représentations de l'espace : Le micro-espace, c'est celui que l'on peut toucher, et au milieu duquel il y a d'abord la feuille de papier sur laquelle on s'exprime par l'écriture et le dessin ; c'est l'espace vécu. Le méso-espace, c'est celui que l'on peut embrasser du regard ; c'est l'espace perçu. Le macro-espace, c'est le monde qu'on ne peut appréhender que mentalement par des représentations et des reconstructions intellectuelles; c'est l'espace conçu. Langage : à apprendre et à maîtriser (voir précédemment) Tâche : très variée suivant les activités proposées, sa réalisation dépend du degré d'abstraction atteint par l'élève et est spécifique à la géométrie.. Instruments : Leur utilisation n'est pas simple et peut constituer un exercice à elle seule. 7. PROGRAMMES Instructions officielles concernant la géométrie CYCLE 1 D44 À la fin de l école maternelle l enfant est capable de : - reconnaître, nommer, décrire, comparer, ranger et classer des matières, des objets selon leurs qualités et leurs usages ; - dessiner un rond, un carré, un triangle ; - se situer dans l espace et situer les objets par rapport à soi ; - se repérer dans l espace d une page ; - comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des relations dans le temps et dans l espace. CYCLE 2 D45, D46 Géométrie Cours préparatoire Dans l espace (G1) - Situer un objet et utiliser le vocabulaire permettant de définir des positions (devant, derrière, à gauche de, à droite de...). - Reconnaître et nommer le cube et le pavé droit. Dans le plan (G1) - S initier au vocabulaire géométrique. - Reconnaître et nommer un carré, un rectangle, un triangle. Problèmes (G2) Cours élémentaire première année Dans l espace (G1-G3) - Reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé... Dans le plan (G1) - Repérer des cases, des nœuds d un quadrillage. - Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié. - Décrire un carré, un rectangle, un triangle rectangle.

6 - Reproduire des figures géométriques simples à l aide d instruments ou de techniques : règle, quadrillage, papier calque. - Reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle. - Utiliser des instruments pour réaliser des tracés : règle, équerre ou gabarit de l angle droit. - Percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques : alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs. CYCLE 3 D47, D48, D49 Cours élémentaire deuxième année Cours moyen première année Cours moyen deuxième année Géométrie Dans l espace (G1-G3) - Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. - Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. Dans l espace (G1-G3) Dans l espace (G1-G3) - Reconnaître, décrire et - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. cube, pavé, cylindre, - Reconnaître ou compléter prisme. un patron de cube ou de - Reconnaître ou compléter pavé. un patron de solide droit. Dans le plan (G1-G2) - Reconnaître, décrire, nommer et tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle. - Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu. - Construire un cercle avec un compas. - Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d une figure donnée par rapport à une droite donnée. - Reconnaître qu une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l aide du papier calque. - Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un modèle. - Construire un carré ou Dans le plan (G1-G2) - Reconnaître que des droites sont parallèles. - Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d un cercle, rayon, diamètre. - Décrire une figure en vue de l identifier parmi d autres figures ou de la faire reproduire. - Compléter une figure par symétrie axiale. - Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes. - Vérifier la nature d une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l équerre, le compas. - reproduire des figures à Dans le plan (G2-G3) - Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles. - Construire une hauteur d un triangle. - Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions). - Vérifier la nature d une figure en ayant recours aux instruments. - Reproduire un triangle à l aide d instruments.

7 un rectangle de dimensions données. - Vérifier la nature d une figure plane en utilisant la règle graduée et l équerre. partir d'une description. 8. ENSEIGNEMENT Utiliser le jeu : Le jeu du portrait : c'est un jeu qui peut se monter dès qu'on a une collection d'objets géométriques. Un élève ou un groupe d'élèves choisit un objet. La classe doit le deviner par un questionnaire discriminant, en général les réponses se limitent à oui ou non. La recherche d'un intrus D50, D51 et D52 Le jeu du géoplan D53 Les jeux de reconnaissance D54 à, D57 Utiliser la communication orale, écrite entre élèves Le jeu des émetteurs récepteurs : deux groupes d'élèves ont chacun une figure dont ils doivent élaborer un programme de construction. Chaque groupe donne son programme à l'autre qui doit alors construire la figure. La validation se fait par comparaison. Utiliser les TICE Géogebra, MathGraph, Géoplan...D58 à D60 Faire de l'interdisciplinarité Sciences, géographie, français, technologie, arts visuels... Faire des ateliers de géométrie Résoudre des problèmes de recherche D61

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