A pprendre à ra is onner à l'éc ole

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1 A pprendre à ra is onner à l'éc ole l'e x e m p le d e la g é o m é trie C liq u e z p o u r m o d ifie r le s ty le d e s s o u s -titre s d u m a s q u e Thierry DIAS, HEP Lausanne

2 A p p r e n d r e à r a is o n n e r à l'é c o le 1. E n s e ig n e r / a p p r e n d r e la g é o m é tr ie 1.1 a p p r e n d r e e n m a th é m a tiq u e s 1.2 la g é o m é tr ie à l'é c o le 1.3 p r o g r a m m e s e t r e c o m m a n d a tio n s 2. R a is o n n e r 2.1 r a is o n n e r e n m a th é m a tiq u e s 2.2 r a is o n n e m e n t e t c o g n itio n 3. A p p r e n d r e à r a is o n n e r 3.1 d é m a r c h e 3.2 s itu a tio n s 3.3 a c tiv ité s 3.4 p r o g r a m m a tio n

3 si vous n'aimez pas prendre des notes rendez-vous ici pour un téléchargement gratuit et légal!

4 ra is onner en g éom étrie : entrons da ns le vif du s ujet! c o m m e n t re p ro d u ire e x a c te m e n t c e tte fig u re e n g a rd a n t to u te s s e s p ro p rié té s? réponse vers 11h45

5 1. enseigner / apprendre la géométrie apprendre en mathématiques la géométrie à l'école programmes et recommandations

6 1.1 apprendre en mathématiques la culture scientifique : des attitudes des connaissances

7 E N S E IG N E R qu est-ce qui se passe ici??? A P P R E N D R E à la re c h e rc h e d 'u n m o d è le d 'a p p re n tis s a g e 1.1 Apprendre en mathématiques

8 A P P R E N D R E e n m a th é m a tiq u e s? u n "P O U R Q U O I" u n "C O M M E N T " u n e ra is o n U TILITA IR E D é c rire e t a g ir s u r le ré e l, a n tic ip e r le s é v è n e m e n ts u n e ra is o n D 'E TR E D é v e lo p p e r s e s c a p a c ité s d e ra is o n n e m e n t, c o m p re n d re le m o n d e COMPETENCES ATTITUDES 1.1 Apprendre en mathématiques

9 ATTITUDES : Vers la construction d une culture scientifique L e s m a th é m a tiq u e s, la te c h n o lo g ie e t le s s c ie n c e s e x p é rim e n ta le s fo n t p a rtie d e la c u ltu re a u s e n s o ù e lle s p e rm e tte n t d e s e c o n s tru ire u n e re p ré s e n ta tio n g lo b a le e t c o h é re n te d u m o n d e e t d e m ie u x c o m p re n d re s o n e n v iro n n e m e n t q u o tid ie n. 1.1 Apprendre en mathématiques

10 1.2 enseigner la géométrie géo : la terre - metrikos : mesure

11 c o n n a is s a n c e s, te c h n iq u e s, m é th o d e s es pa c e pla n re p é ra g e o rie n ta tio n re la tio n s e t p ro p rié té s s o lid e s fig u re s p la n e s c o m p é te n c e s e t s a v o irs : p lu ri-d is c ip lin a ire c o m p é te n c e s e t s a v o irs : m a th é m a tiq u e s 1.2 Enseigner la géométrie

12 s e re p é re r, s e s itu e r, d é c rire v é c u p e rç u c o n ç u 1.2 Enseigner la géométrie

13 deux g éométries : empirique et théorique de je vois à je sais du dessin à la figure de l'objet concept au 1.2 Enseigner la géométrie

14 d'une g éom étrie à l'a utre : du type em pirique a u type théorique illustration : C o m m e n t ré s o u d re c e p a ra d o x e p e rc e p tif?? 1.2 Enseigner la géométrie

15 1.3 programmes et recommandations instructions officielles socle commun

16 "ENSEIGNER LES MATHS" en quoi ça consiste? un QUOI un COMMENT fig u re s im p o s é e s : des c ontenus des a ttitudes p ro g ra m m e lib re : la dém a rc he les pro jets 1.3 Programmes et recommandations

17 fig u re s im p o s é e s L a p p re n tis s a g e d e s m a th é m a tiq u e s d é v e lo p p e : - l im a g in a tio n, - la rig u e u r e t la p ré c is io n, - a in s i q u e le g oût du ra is onnem ent. 1.3 Programmes et recommandations

18 C o m b ie n p o u v e z -v o u s tro u v e r d e tria n g le s à l'in té rie u r d e c e tte fig u re? 2.1 raisonner en mathématiques

19

20 P ro g ra m m e s c y c le 2 fig u re s im p o s é e s L e s é lè v e s e n ric h is s e n t le u rs c o n n a is s a n c e s e n m a tiè re d orientation e t d e repéra g e. Ils a p p re n n e n t à re c o n n a î tre e t à d é c rire d e s fig ures pla nes e t d e s s o lid e s. Ils u tilis e n t d e s in s tru m e n ts e t d e s te c h n iq u e s p o u r reproduire o u tra c er d e s fig u re s p la n e s. Ils u tilis e n t u n v o c a b u la ire s p é c ifiq u e. 1.3 Programmes et recommandations

21 P ro g ra m m e s c y c le 3 fig u re s im p o s é e s L o b je c tif p rin c ip a l d u C E 2 a u C M 2 e s t d e p e rm e ttre a u x é lè v e s d e p a s s e r p ro g re s s iv e m e n t d u n e re c o n n a is s a n c e p e rc e p tiv e d e s o b je ts à u n e é tu d e fo n d é e s u r le rec ours a ux ins trum ents de tra c é et de m es ure. 1.3 Programmes et recommandations

22 fig u re s lib re s Comment enseigner la géométrie : ð ð ð ð 1. Mettre en œuvre des situations de recherche 2. Mettre en œuvre des situations de communication 3. Faire une place aux nouvelles technologies 4. Lier la géométrie aux autres disciplines 1.3 Programmes et recommandations

23 2. raisonner maths et raisonnement logique raisonnement et cognition

24 2.1 raisonner en mathématiques déduction induction expérimentation

25 L e ra is onnem ent in te rv ie n t d a n s d e n o m b re u s e s a c tiv ité s m a th é m a tiq u e s : a rg u m e n ta tio n, p re u v e ré s o lu tio n d e p ro b lè m e s p la n ific a tio n, tri c h o ix, p ris e d e d é c is io n c o m p ré h e n s io n e t c a té g o ris a tio n 2.1 raisonner en mathématiques

26 proc es s us de ra is onnem ent induction o u analys e p rin c ip e * c o n c lu s io n déduction o u synthèse * p ré m is s e, p ro p o s itio n 2.1 raisonner en mathématiques

27 p rin c ip e c o n c lu s io n D e fa it, tro is p rin c ip a u x * ty p e s d e ra is o n n e m e n ts p e u v e n t ê tre u tilis é s e n m a th é m a tiq u e s : la d é d u c tio n, l'in d u c tio n, m a is a u s s i le ra is onnem ent expérim enta l (o u h e u ris tiq u e ) * autres raisonnements : p a r a n a lo g ie, p a r l'a b s u rd e, o u p a r ré c u rre n c e 2.1 raisonner en mathématiques

28 ne pa s m ener de c om bat entre induc tion et déduc tion d u p a rtic u lie r a u g é n é ra l d e l'e x e m p le à la th é o rie d u g é n é ra l a u p a rtic u lie r d e la th é o rie à l'e x e m p le m éthode rec om m a ndée : inves tig ation et/ou rés olution de problèm es 2.1 raisonner en mathématiques

29 le ra is onnem ent heuris tique, " raisonnement que l'on considère non comme final et rigoureux, mais simplement comme provisoire et plausible et dont l'objet est de découvrir la solution du problème à traiter Dans la construction d'une démonstration rigoureuse, le raisonnement heuristique jour le rôle de l'échafaudage dans la construction d'une maison" (Polya, 1945, C om m ent pos er et rés oudre un problèm e, p. 185) 2.1 raisonner en mathématiques

30 Le ra is onnem ent expérim enta l d é m a rc h e p ra tiq u é e d a n s u n e a c tiv ité d e re c h e rc h e q u i c o m p re n d p lu s ie u rs é ta p e s : la m is e e n p la c e d 'in v e s tig a tio n s, l'o b s e rv a tio n d e fa its, le re c u e il d 'in fo rm a tio n s, l'é la b o ra tio n d 'h y p o th è s e s, la d é d u c tio n d e c o n s é q u e n c e s à p a rtir d e s h y p o th è s e s, la c o n fro n ta tio n d e s p ré v is io n s d é d u ite s d e s h y p o th è s e s a v e c le s fa its o b s e rv é s (v é rific a tio n ) 2.1 raisonner en mathématiques

31 2.2 raisonnement et cognition fonctions cognitives fonctions exécutives

32 fo n c tio n s c o g n itiv e s fonctions instrumentales m é m o ire a tte n tio n la n g a g e la g n o s ie : v is io n e t im a g e rie m e n ta le la p ra x ie : g e s te s v o lo n ta ire s fonctions exécutives (fo n c tio n s d ite s "d e h a u t n iv e a u ") le ra is o n n e m e n t E n fa it, le c e rv e a u fa it a p p e l s im u lta n é m e n t à p lu s ie u rs fo n c tio n s s e lo n n o s a c tiv ité s. 2.2 raisonnement et cognition

33 1 - fo n c tio n s ré c e p tiv e s : a c q u is itio n, tra ite m e n t, c la s s ific a tio n e t in té g ra tio n d e l'in fo rm a tio n 2 - la m é m o ire e t l'a p p re n tis s a g e : s to c k a g e e t ra p p e l d e l'in fo rm a tio n 3 - la p e n s é e o u le ra is o n n e m e n t : o rg a n is a tio n e t ré o rg a n is a tio n m e n ta le s d e l'in fo rm a tio n 4 - fo n c tio n s e x p re s s iv e s : c o m m u n ic a tio n o u a c tio n fo n c tio n s c o g n itiv e s 2.2 raisonnement et cognition

34 a p p re n d re à ra is o n n e r c o n s is te à d é v e lo p p e r s e s fo n c tio n s e x é c u tiv e s c 'e s t-à -d ire à re n fo rc e r p rin c ip a le m e n t : la planification : c a p a c ité à o rg a n is e r u n e s é rie d a c tio n s la récupération active d informations en mémoire : re c h e rc h e r d e s in fo rm a tio n s c o n te n u e s e n m é m o ire la mise à jour : ra fra î c h ir le c o n te n u d e s a m é m o ire d e tra v a il l'inhibition : c a p a c ité à s e m p ê c h e r la flexibilité mentale : p a s s e r d u n c o m p o rte m e n t à u n a u tre a tte n tio n m é m o ire la n g a g e 2.2 raisonnement et cognition

35 d e u x p rin c ip a u x ty p e s d e ra is o n n e m e n t c o g n itifs : 1. in fé re n c e 2. a n a lo g ie Le raisonnement inférentiel : u tilis é fa c e à u n p ro b lè m e q u i n 'a e n c o re ja m a is é té re n c o n tré e t p o u r le q u e l il n 'y p a s d e s o lu tio n e x is ta n te à a p p liq u e r e n l'é ta t. Le raisonnement analogique : c o rre s p o n d à la ré u tilis a tio n a d a p té e d 'u n e s o lu tio n d é jà u tilis é e fa c e à u n p ro b lè m e p ré s e n ta n t d e s s p é c ific ité s c o m m u n e s a v e c c e lu i à ré s o u d re. 2.2 raisonnement et cognition

36 3. apprendre à raisonner démarche : résoudre des problèmes situations : recherche, communication activités : dessiner, reproduire, décrire, construire programmation : le modèle des fonctions cognitives

37 3.1 démarche : résoudre des problèmes action formulation validation institutionnalisation

38 l activité mathématique dans la démarche de résolution de problème chercher abstraire raisonner expliquer a c c e p te r l in c e rtitu d e s e d is ta n c ie r d u m o n d e ré e l a c c é d e r a u x rè g le s d e la lo g iq u e s e x p o s e r, s e c o n fro n te r a u x a u tre s d iffic u lté s d e n s e ig n e m e n t 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

39 A C TIO N e x p é rie n c e s s e n s ib le s e t m e n ta le s m a n ip u la tio n s R E C H E R C H E m is e en C O M M U N FO R M U LATIO N m e ttre e n m o ts d é c rire fa ire d e s h y p o th è s e s VA LIDATIO N a rg u m e n te r d is c u te r p ro u v e r E N TR A IN E M E N T IN S T IT U T IO N A L IS A T IO N s ta b ilis a tio n d u s a v o ir d é fin itio n s 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

40 AC TIO N s a u re z -v o u s p a rta g e r la c o c o tte e n 4 tria n g le s a v e c 3 s e g m e n ts s e u le m e n t? 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

41 FO R M U LAT ION q u e l e s t l'é lé m e n t c o m m u n e n tre c e s 4 fig u re s? 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

42 FO R M U LAT ION 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

43 3.2 situations d'apprentissage d e s s itu a tio n s d e recherche d e s s itu a tio n s d e communication

44 s itu a tio n s d e re c h e rc h e L é lè v e a p p re n d e n s a d a p ta n t à u n m ilie u * fa c te u r d e c o n tra d ic tio n s, d e d iffic u lté s, d e d é s é q u ilib re s. L a c o n n a is s a n c e, fru it d e l a d a p ta tio n d e l é lè v e, s e m a n ife s te p a r d e s ré p o n s e s n o u v e lle s q u i s o n t la p re u v e d e l a p p re n tis s a g e. (B ro u s s e a u 9 8 ) *milieu : ensemble des paramètres qui fondent la situation (matériel, dispositif, tâche, rôle de l'enseignant ) 3.2 Situations d'apprentissage

45 Un milieu non volontairement organisé pour enseigner un savoir est insuffisant : L enseignant doit créer les conditions pour que les élèves puissent apprendre. O n a pprend à péda ler O n a pprend à fa ire du vélo s itu a tio n s d e re c h e rc h e 3.2 Situations d'apprentissage

46 e x. 1 5 té tra m in o s d e s g rille s té tra m in o s, p a v a g e s e t ra is o n n e m e n t s itu a tio n s d e re c h e rc h e 3.2 Situations d'apprentissage

47 C o m b ie n e x is te -t-il d e fo rm e s d iffé re n te s p o u r le s p e n ta m in o s? 368 solutions pour couvrir complètement une grille de 4 x 15 s itu a tio n s d e re c h e rc h e 3.2 Situations d'apprentissage

48 e x. 2 A v e c d e s p e tits c u b e s, S ib e l a c o n s tru it c e t o b je t. E lle d é c id e d e l a p p e le r «le g ra n d c u b e c re u x q u i m e s u re 4 p e tits c u b e s d e c ô té». Combien lui faut-il de petits cubes, au minimum, pour construire un «cube creux qui mes ure 7 petits cubes de côté»? s itu a tio n s d e re c h e rc h e 3.2 Situations d'apprentissage

49 s itu a tio n s d e c o m m u n ic a tio n ð Analyser, reproduire et décrire une figure ð Donner du sens à un programme de construction à voscrayons!! 3.2 Situations d'apprentissage

50 m is e e n œ u v re p o s s ib le 1 / s ta b ilis e r u n p e u d e v o c a b u la ire 2 / é c h a n g e r, c o m m u n iq u e r, a rg u m e n te r 3 / c o n s tru c tio n d 'u n fic h ie r d e c la s s e s itu a tio n s d e c o m m u n ic a tio n 3.2 Situations d'apprentissage

51 s ta b ilis e r u n p e u d e v o c a b u la ire d is p o s itif d e tra v a il c o lle c tif, o ra l o b s e rv a tio n / d e s c rip tio n d e la fig u re m is e e n m é m o ire c o lle c tiv e d e s m o ts u tilis é s é v e n tu e lle m e n t c o n s tru c tio n d 'u n p e tit m é m o illu s tré s itu a tio n s d e c o m m u n ic a tio n 3.2 Situations d'apprentissage

52 s itu a tio n d e c o m m u n ic a tio n à l'o ra l d is p o s itif d e tra v a il b in ô m e / c o lle c tif, o ra l o b s e rv a tio n / d e s c rip tio n o ra le d e la fig u re p a r u n b in ô m e "a v e u g le " tra c é d e la fig u re p a r u n a u tre b in ô m e d 'a p rè s le s in fo rm a tio n s e n te n d u e s c o m p a ra is o n d e la fig u re m o d è le e t d e la p ro d u c tio n ré a lis é e s itu a tio n s d e c o m m u n ic a tio n 3.2 Situations d'apprentissage

53 Fig. 1 Fig. 2 m o ts in te rd its p o u r le s é m e tte u rs : c a rré, re c ta n g le m ê m e fig u re, m ê m e d im e n s io n, m a is o rie n ta tio n d iffé re n te Fig. 1 Fig. 2 s itu a tio n s d e c o m m u n ic a tio n 3.2 Situations d'apprentissage

54 - T ra c e u n c e rc le d e c e n tre O. - E n p o in tillé s, tra c e d e u x d ia m è tre s p e rp e n d ic u la ire s. - P la c e I, J, K, L a u m ilie u d e c h a q u e ra y o n. - T ra c e le s c e rc le s ( I, IO )( J, J O )(K, K O ) e t ( L, L O ) - E ffa c e le s a rc s d e c e rc le q u i s e c h e v a u c h e n t, le s tra its e n p o in tillé s e t le g ra n d c e rc le. - E n fin, tu p e u x c o lo rie r le d e s s in. - R e p a s s e s u r le s c o n to u rs a v e c to n fe u tre n o ir. s itu a tio n s d e c o m m u n ic a tio n 3.2 Situations d'apprentissage

55 s itu a tio n s d e c o m m u n ic a tio n 3.2 Situations d'apprentissage

56 3.3 activités et pratiques re p ro d u ire / d é c rire / c o n s tru ire d e s s in à m a in le v é e c o m m u n ic a tio n p ro g ra m m e s d e c o n s tru c tio n

57 trois mots-clés (types de tâ c hes ) : R eproduire : d e s fig u re s, y c o m p ris la ré a lis a tio n p ra tiq u e d e s o lid e s Décrire : d e s fig u re s, p o u r le s id e n tifie r o u le s re p ré s e n te r Construire : - d e s fig u re s, a v e c d e s m a té ria u x e t d e s o u tils m u ltip le s : rè g le, é q u e rre, g a b a rit, c a lq u e, c o m p a s - d e s s o lid e s, a v e c le s p ro b lè m e s d e fa c e s v is ib le s o u in v is ib le s, le s p a tro n s 3.3 Activités et pratiques

58 re p ro d u ire, à main levée 3.3 Activités et pratiques

59 re p ro d u ire, avec des outils re p ro d u ire 3.3 Activités et pratiques

60 re p ro d u ire 3.3 Activités et pratiques

61 re p ro d u ire 3.3 Activités et pratiques

62 re p ro d u ire 3.3 Activités et pratiques

63 3.4 programmation ré fé re n c e a u x fo n c tio n s e x é c u tiv e s : 1. a tte n tio n (g n o s ie, p ra x ie ) 2. m é m o ris a tio n 3. la n g a g e e t fig u re s p o u r ra is o n n e r

64 1. a tte n tio n o b s e rv e r a tte n tiv e m e n t re p ro d u ire p ré c is é m e n t 3.4 Programmation

65 1. a tte n tio n o b s e rv e r a tte n tiv e m e n t re p ro d u ire p ré c is é m e n t 3.4 Programmation

66 2. je u x d e m é m o ire o b s e rv e r ra p id e m e n t re p ro d u ire p ré c is é m e n t? a id e? 3.4 Programmation

67 2. je u x d e m é m o ire o b s e rv e r le s é ta p e s d 'u n p ro g ra m m e re -c o n s tru ire la fig u re un beau programme : celui du pentagone régulier 3.4 Programmation

68 3. je u x d e la n g a g e c o m m e n t d é c rire c e tte fig u re? 3.4 Programmation

69 3. je u x d e la n g a g e P o u r re p ro d u ire c e tte fig u re, O lg a a c o m m e n c é p a r tra c e r u n c a rré, p u is e lle a m a rq u é q u a tre s o m m e ts p a r d e s p o in ts. Te rm in e s o n d e s s in. la n g a g e e t fig u re s p o u r ra is o n n e r 3.4 Programmation

70 "C o n tin u e z à fa ire p é tille r le s c e rv e a u x à tra v e rs le s m a th é m a tiq u e s, à s u s c ite r le s in te llig e n c e s d e s ê tre s e t d e s c h o s e s e n d o n n a n t a u x é lè v e s le g o û t d e s a v o ir e t d a p p re n d re." m erc i de votre attention

71 s o lu tio n d e la fle u r!

72 T hierry D IA S, H E P d e L A U S A N N E th ie rry.d ia h e p l.c h h ttp ://p e rs o.o ra n g e.fr/d ia s.th ie rry h ttp ://w w w.la trib u d e s m a th s.m a g n a rd.fr

73

74 C onc epts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp "U n c o n c e p t e s t u n trip le t d e tro is e n s e m b le s C = (S, I, S ) S : e n s e m b le d e s s itu a tio n s q u i d o n n e n t s e n s a u c o n c e p t (la ré fé re n c e ) I : e n s e m b le d e s in v a ria n ts s u r le s q u e ls re p o s e l o p é ra tio n a lité d e s s c h è m e s (le s ig n ifié ) S : e n s e m b le d e s fo rm e s la n g a g iè re s e t n o n la n g a g iè re s q u i p e rm e tte n t d e re p ré s e n te r s y m b o liq u e m e n t le c o n c e p t, s e s p ro p rié té s, le s s itu a tio n s e t le s p ro c é d u re s d e tra ite m e n t (le s ig n ifia n t)"

75 d'après Gérard Vergnaud les obstacles que ce concept permet de dépasser les procédures que ce concept permet de remplacer avantageusement l'ensemble des problèmes qui peuvent être traités en utilisant ce concept l'ensemble des images mentales Un concept se caractérise par des définitions, des propriétés un langage : signes, syntaxe, vocabulaire des savoir-faire, des techniques

76 B E R T H E L O T R. & S A L IN M.H.,L enseignement de la géométrie à l E cole primaire, G ra n d N n 5 3 (p ), IR E M d e G re n o b le, B E R T H E L O T R. & S A L IN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3, G ra n d N n 5 6 (p ), IR E M d e G re n o b le, B E R T H E L O T R. & S A L IN M.H., L enseignement de la géométrie au début du collège. C omment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive?, P e tit x n 5 6, IR E M d e G re n o b le, IR E M D E L IL L E, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IR E M d e L ille, C D D P N o rd - P a s d e C a la is, H O U D E M E N T C., K U Z N IA K A., Géométrie et paradigmes géométriques, P e tit x n 5 1, p. 5 à 2 1, IR E M D E G re n o b le,

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