EXERCICE 1. Corrigé ECRICOME Eco 2012 par Pierre Veuillez

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "EXERCICE 1. Corrigé ECRICOME Eco 2012 par Pierre Veuillez"

Transcription

1 Corrigé ECRICOME Eco par Pierre Veuillez EXERCICE (M 3 (R), +,.) désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coeffi cients réels. Deux matrices A et B de M 3 (R) étant données, on suppose qu il existe une matrice L appartenant à M 3 R telle que : L = AL + B. On définit la suite de matrices (U n ) nn de M 3 (R) de la manière suivante : { U M 3 (R) n N, U n+ = AU n + B. Pour n = : L + A (U L) = L + U L = U Soit n N tel que U n = L + A n (U L) alors U n+ = AU n + B = A L + A n (U L) + B = AL + A n+ (U L) + B = L + A n+ (U L) car AL + B = L Conclusion : U n = L + A n (U L) pour tout n N Dans la suite du problème les matrices A et B sont choisies de telle sorte que : A = , B = On note : Id l endomorphisme identité de R 3 ; a l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est la matrice A ; b l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est la matrice B ; Im (b) l image de l endomorphisme b ; Im (Id a) l image de l endomorphisme Id a.. Prouver que le vecteur u = (x, y, z) appartient à l image de b si et seulement si x + y + z = La question n est pas classique en ECE. On peut l attaquer par la voie habituelle : Im (b) = Vect ((3,, ), (,, ), (,, )) et comme (3,, )+(,, )+(,, ) = alors Im (b) = Vect ((,, ), (,, )) et on reprend par l équation : x + y + z = x = y + z qui a pour solutions : E = Vect ((,, ), (,, )) Reste à montrer l égalité des deux. Les familles génératrices sont libres ( vecteurs non proportionnels). Les deux sous espaces sont donc de dimension. DS Page /??

2 de plus (,, ) et (,, ) satisfont l équation x + y + z = donc Im (b) E et comme les deux ont même dimension Im (b) = E. La méthode systématique est de déterminer à quelles conditions (x, y, z) appartient à Im (b) : si il existe (α, β, γ) tel que b ((α, β, γ)) = (x, y, z) ce que l on résout : B α β γ = x y z 3α β γ = x α γ = y α β γ = z α = y + γ 3 (y + γ) β γ = x (y + γ) β γ = z α = y + γ α = y + γ β = x + 3y + γ β = x + 3y + γ (y + γ) ( x + 3y + γ) γ = z y + x = z On peut donc trouver (α, β, γ) (infinité de valeurs suivant γ R) si et seulement si x+y+z = Pour Im (Id a) on détermine sa matrice dans la base canonique : I A = Avec la première colonne qui est l opposé de la somme des deux dernières. Im (Id a) = Vect (( 3,, 3), ( 3, 4, )) Famille libre et génératrice donc base de Im (Id a) et dim (Id a) = de plus ( 3,, 3) et ( 3, 4, ) satisfont l équation x + y + z = donc appartiennent à Im (b) donc Im (Id a) Im (b) et ils ont la même dimension Conclusion : Im (b) = Im (Id a) 3. Soit P = On doit montrer que les colonnes sont propres et forment une base : A = = donc (,, ) est vecteur propre de a associé à la valeur propre. A = = Donc (,, ) est vecteur propre de a associé à la valeur propre. A = = Donc (,, ) est vecteur propre de a associé à la valeur propre 3 Comme les 3 valeurs propres de a endomorphisme de R 3, (dimension 3 )sont distinctes, alors C = ((,, ), (,, ), (,, )) est une base de R 3. Conclusion : P la matrice de passage de la base canonique de R 3 à une base de vecteurs propres de a. DS Page /??

3 4. Les vecteurs étant propre, la matrice de a dans cette base est D = mat C (a) = / /3 On calcule leurs images par b : (si on nous avait fait calculer P, on aurait aussi pu passer par la formule de changement de base) 3 B = = donc b ((,, )) = coordonnées : (,, ) dans C 3 B = = donc b (,, ) = (,, ) coordonnées (,, ) dans :C 3 B = = donc b (,, ) = (,, ) et on cherche ses coordonnées sur ((,, ), (,, ), (,, )) : x + y = y = x (,, ) = x (,, ) + y (,, ) + z (,, ) x z = z = x + x + y + z = x = Donc (,, ) = (,, ) + (,, ) et a pour coordonnées (,, ) dans C Conclusion : B = 5. d après la formule de changement de base, A = mat B (a) = mat B (C) mat C (a) mat C (B) = P D n P. Pour n = : P D P = I = A Soit n N tel que A n = P D n P alors A n+ = A n A = P D n P P D n P = P D n+ P Conclusion : pour tout entier naturel n, A n = P D n P 6. On a D = / diagonale donc D n = (/) n et avec /3 (/3) n E =, F = et G = on a donc avec E = P E P et de même pour F et G. Il reste donc à calculer P : ( ( ) n ( ) n ) A n = P E + F + G P 3 ( ) n ( ) n = E + F + G 3 DS Page 3/??

4 L L L : L 3 L L + L L L 3 L + L 3 L L 3 L 3 Donc P = et E = P = = 7. Soit L = p q r DL = / p q = et B = /3 r 3 p = p + Donc L = DL + B p = q = q = r = r + r = 3 3 et L = / /3 L = DL + B 8. Comme A = P DP et que B = P B P (changement de base) alors Conclusion : L = AL + B. P L P = P DP P L P + P B P = AL + B 9. On passe par les matrices associées dans C : DS Page 4/??

5 E L = p q = r et donc EL = P E P P L P = P E L P =. On a U n = L + A n (U L) avec A n = E + ( n ( ) F + n 3) G On a ( ) n ( car < et de même n 3) donc comme sommes et produit, leurs limites (termes d un produit de matrices) L + A n (U L) tend vers L + E (U L) = L + EU EL et comme EL = alors Conclusion : chacun des coeffi cients de la matrice U n a pour limite, lorsque n tend vers +, les coeffi cients de la matrice EU + L. Conclusion : exercice calculatoire, question sur Im incongrue. Fausse piste entre 8 et 9 EXERCICE. Partie I. Étude d une fonction f. On considère la fonction définie sur l ensemble des réels positifs par : f (x) = e x si x > x f () =. On a e h = + h + h + h ε (h) avec ε (h) quand h donc f (x) = ( x + x + x ε (x) ) x = x + xε (x) (DL d ordre ) Donc f (x) = f () quand x + et f est continue en +. De plus, f est continue sur, + comme quotient (x ) de fonctions continues. Conclusion : f est continue sur, +. Le taux d accroissement en est : f (x) f () x = x + xε (x) x = + ε (x) Conclusion : f est dérivable en et f () = 3. Comme x, alors f est dérivable sur, + comme quotient de fonctions dérivables et, pour x > f (x) = e x x ( e x ) x donc avec ϕ (x) = e x (x + ) on a x > f (x) = ϕ (x) x DS Page 5/??

6 4. ϕ est dérivable sur R x ϕ (x) ϕ (x) f (x) f (x) et en + : ϕ (x) = e x (x + ) + e x = xe x f (x) = e x x + on a Étudier les variations de ϕ ;. En déduire le tableau de variation f qui sera complété par la limite de f en +. Partie II. Étude d une suite. On introduit la suite (u n ) n N définie par : n N u n = e u n + u du. Pour minorer l intégrale, on travaille sur le contenu. D où peut venir le ln? D où viendra le e? Pour tout u, n : u/n n/n = donc e u/n e et e n u. +u +u Comme les bornes sont croissantes on a alors e u n + u du e + u du = e ln ( + u)n Conclusion : pour tout entier naturel n non nul u n ln (n + ) e et par minoration u n +. f est continue sur, donc f (x) dx existe 3. On fait réapparaître l intégrale pour u n : a Utiliser un changement de variable affi ne pour montrer que, pour tout entier naturel n non nul : n + u du u n = = n + u du e u/n + u du e u/n + u du On fait le changement de variable x = u/n u = nx : du = ndx : u = x = : u = n x = donc + u du u n = n e x + nx dx que l on majore à nouveau : pour tout x > : + nx > nx donc n e x + nx f (x) n + nx n nx = x d où DS Page 6/??

7 et comme intégrales de fonctions continues par morceaux, (ou en vérifiant l inégalité également pour x = ) car e x sur, + et Conclusion : 4. On a finalement du u +u n n e x + nx dx f (x) dx ln (n + ) u n f (x) dx étant une constante par rapport à n. Donc et par encadrement, u n ln (n + ) et u n ln (n + ) Conclusion : u n ln (n + ) quand n + f (x) dx f (x) dx f (x) dx ln (n + ) u n ln (n + ) Bilan : exercice progressif et qui demande des initiatives. EXERCICE 3. Soit n un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d un lot du n feuilles originales qu elle a numérotées l,,, n. Elle photocopie ces n feuilles originales et souhaite que chaque original soit agrafé avec sa copie. L entreprise programme le photocopieur afin que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant. suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L entreprise décide donc de placer les n originaux et les n copies dans une boite. Une personne est alors chargée du travail suivant : elle pioche simultanément et au hasard feuilles dans la boite. S il s agit d un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la, boite et elle recommence. On modélise l expérience par un espace probabilité (Ω, B, P). Soit T n la variable aléatoire égale au nombre de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient n originaux et n copies (soit n feuilles). On considère l événement A n : «à l issue de la première pioche, les deux feuilles piochées ne sont pas agrafées» et a n sa probabilité c est-à-dire que a n = P (A n ).. il y a n feuilles dans la boite. Les premières pioches sont ((ni) ordre ni répétition) les combinaisons de deux feuilles parmi n. n n (n ) (équiprobables) Il y en a = Les pioches formant un couple sont déterminées par la feuille originale (parmi n) il y en a n Donc P ( ) n A n = (n ) = n et P (A n) = n = n n Conclusion : a n = n n. Étude de T. On suppose dans cette question que n =, c est-à-dire que la boite contient deux originaux et deux copies. DS Page 7/??

8 a) Pour vider la boite, il faut et suffi t d avoir d abord un premier couple, les feuilles restantes seront alors agrafées à la pioche suivante. Donc (T = k) signifie que l on n a pas eu de couple jusqu à k, et que l on en a eu un à la k ème pioche. En notant S i (succès) le fait d avoir un couple à la ième pioche et E i sinon, on a donc : (T = k) = E S k et P (T = k) = P (E ) P E (E ) P E E k (S k ) Tant que l on n a pas eu de couple, on est avec une boite contenant les 4 feuillets et la probabilité de ne pas piocher un couple est donc a. Conclusion : pour tout entier k : P (T = k) = ( a ) (a ) k b) S = T Donc S (Ω) = N et (S = k) = (T = k + ) donc P (S = k) = ( a ) (a ) k Conclusion : S G ( a ) donc E (S ) = a et V (S ) = a ( a ) et comme T = S + alors V (T ) = V (S ) et E (T ) = E (S ) + Conclusion : E (T ) = + a a et V (T ) = a ( a ) 3. Étude de T 3. On suppose dans cette question que n = 3, c est-à-dire que la boite, contient trois originaux et trois copies. a) Comme il y a 3 paires à reformer, (T 3 = ) est impossible et P (T 3 = ) = (T 3 = 3) signifie que l on a fait des paires à chaque pioche : Donc (T 3 = 3) = S S (on a alors S 3 ) et P (T 3 = 3) = P (S ) P S (S ) = ( a 3 ) ( a ) car quand on a fait le premier couple, il reste 4 feuilles. b) ( A 3, A 3 ) est un système complet d événements, donc pour tout k (impossible sinon) que : P (T 3 = k + ) = P A3 (T 3 = k + ) P (A 3 ) + P A3 (T 3 = k + ) P ( A 3 ) = a 3 P (T 3 = k) + ( a 3 ) P (T = k) avec P A3 (T 3 = k + ) = P (T 3 = k) car, quand on n a pas fait de couple au premier on est encore avec les 6 feuillets dans la boite et il ne reste que k pioches à faire pur finir en k + picoches. et P A3 (T 3 = k + ) = P (T = k) car un couple ayant été agrafé, il ne reste que coules dans la boites et k pioches à faire pour la vider. c) Courageusement, par récurrence : Pour k = : ( a ) ( a 3 ) (a3 ) (a ) = P (T 3 = ) DS Page 8/??

9 Soit k.tel que P (T 3 = k) = ( a ) ( a 3 ) (a 3 ) k (a ) k alors P (T 3 = k + ) = a 3 P (T 3 = k) + ( a 3 ) P (T = k) ( a ) ( a 3 ) = a 3 (a 3 ) k (a ) k + ( a 3 ) ( a ) (a ) k = ( a ) ( a 3 ) a 3 (a 3 ) k a 3 (a ) k + (a ) k ( ) = ( a ) ( a 3 ) (a 3 ) k (a ) k Conclusion : k, P (T 3 = k) = ( a ) ( a 3 ) (a 3 ) k (a ) k. d) On doit trouver! P (T 3 = k) = ( a ) ( a 3 ) = ( a ) ( a 3 ) (a 3 ) k (a ) k (a 3 ) h (a ) h h= ( a ) ( a 3 ) = ( a ) ( a 3 ) = a 3 a a a 3 ( a 3 ) a car a 3 < Conclusion : + P (T 3 = k) et T 3 est bien une variable aléatoire DS Page 9/??

10 e) Par le théorème de transfert : (k ) P (T 3 = k) = (k ) ( a ) ( a 3 ) (a 3 ) k (a ) k = ( a ) ( a 3 ) M h= h (a 3 ) h h (a ) h ( a ) ( a 3 ) ( a 3 ) ( a ) = ( a ) ( a 3 ) ( a ) ( a 3 ) = ( a ) ( a 3 ) = ( a ) ( a 3 ) ( a 3 ) ( a ) ( a + a 3 ) ( a + a 3 ) ( a 3 ) ( a ) (a3 a ) ( a a 3 ) ( a 3 ) ( a ) = ( a a 3 ) ( a 3 ) ( a ) = E (T 3 ) La série est absolument convergente, donc T 3 admet une espérance et calculer E (T 3 ) = ( a a 3 ) ( a 3 ) ( a ) Conclusion : Donc T 3 a une espérance et E (T 3 ) = ( a a 3 ) ( a 3 ) ( a ) + f) De même (presque...) k (k ) P (T 3 = k) = k (k ) ( a ) ( a 3 ) (a 3 ) k (a ) k = ( a ) ( a 3 ) et on doit retravailler d abord k (k ) (a 3 ) k (a ) k ( a ) ( a 3 ) ( a 3 ) 3 ( a ) 3 = ( a ) ( a 3 ) ( a ) 3 ( a 3 ) 3 ( a 3 ) 3 ( a ) 3 x 3 y 3 = (x y) ( x + xy + y ) DS Page /??

11 pour simplifier E T 3 (T 3 ) = ( a ) ( a 3 ) ( a + a 3 ) ( a ) + ( a ) ( a 3 ) + ( a 3 ) ( a 3 ) 3 ( a ) 3 = a a + + a a 3 + a a 3 + a 3 + a 3 ( a 3 ) ( a ) = a + a a 3 3a + a 3 3a ( a 3 ) ( a ) car la série est absolument convergente T 3 (T 3 ) = T 3 T 3 donc T 3 = T 3 (T 3 ) + T 3 a une espérance et E ( T 3 ) = E T3 (T 3 ) + E (T 3 ) donc T 3 a une variance et = a + a a 3 3a + a 3 3a ( a 3 ) ( a ) + ( a a 3 ) ( a 3 ) ( a ) + V (T 3 ) = E ( T 3 ) E (T3 ) et là l énoncé ne demande pas son expression... donc on s arrête Bilan : le début est déroutant, mais en restant formel (ce à quoi poussait l énoncé) les calculs ne sont pas monstrueux. DS Page /??

Épreuve de Mathématiques 8

Épreuve de Mathématiques 8 Lycée La Prat s Vendredi 10 avril 2015 Classe de PT Épreuve de Mathématiques 8 Durée 4 h L usage des calculatrices est interdit. La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

EMLyon 2011 - Corrigé

EMLyon 2011 - Corrigé EMLyon - Corrigé Partie I. Soit X une variable aléatoire suivant la loi E() ; une densité de X est : f(x) = { si x < e x si x et E(X) = et V (X) =.. (a) Soit n N ; n E(S n ) = E(X k ) = n par linéarité

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Agrégation interne de Sciences économiques et sociales - Session 2008 Épreuve de Mathématiques - sujet A

Agrégation interne de Sciences économiques et sociales - Session 2008 Épreuve de Mathématiques - sujet A Épreuve de Mathématiques - sujet A Exercice Une société de location de voitures possède trois agences, une à Rennes, une à Lyon, une à Marseille. Lorsqu un client loue une voiture, un jour donné, dans

Plus en détail

7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines

7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines Cours 7 FONCTIONS USUELLES Parité d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est paire si : { D est symétrique par rapport à 0 Pour tout x D, f ( x) = f (x) On

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

EMLYON 2015 S. Éléments de correction

EMLYON 2015 S. Éléments de correction EMLYON 15 S Éléments de correction ECS Lycée La ruyère, Versailles Année 1/15 Premier problème Première partie 1. On peut vérifier le critère de sous-espace vectoriel E et, pour P 1, P E et λ R, λp 1 +

Plus en détail

ALGÈBRE BILINÉAIRE 1

ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 3-8- 213 J.F.C. Eve p. 1 ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 P mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique de l algèbre bilinéaire... mentionne des erreurs à ne pas faire où des

Plus en détail

PC* Espaces préhilbertiens réels

PC* Espaces préhilbertiens réels I. Espace préhilbertien réel................................... 3 I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel................... 3 I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski..................

Plus en détail

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème,

Plus en détail

Contrôle commun : 4 heures

Contrôle commun : 4 heures Exercice 1 (5 points) Contrôle commun : 4 heures PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = ln x + x. 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +.. Étudier

Plus en détail

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f.

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f. escp-eap 2(Ecole de commerce) OPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUES I adapté en retirant certaines question qui sont du cours de PC et en ajoutant le dernier exemple.. a) question de cours b) P(f) est un polynôme

Plus en détail

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin. Jean-Baptiste Campesato 22 septembre 29 Gerschgorin est parfois retranscrit en Gershgorin, Geršgorin, Hershhornou

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

Applications linéaires, matrices, déterminants

Applications linéaires, matrices, déterminants Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit u: R 3 R défini pour tout x = (x 1, x, x 3 R 3 par u(x = (x 1 + x + x 3, x 1 + x x 3 1. Montrer que u est linéaire.. Déterminer ker(u. Allez

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1 Lycée Jean Bart MPSI & PCSI Année 213-214 Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Éléments de logique et de théorie des ensembles

Éléments de logique et de théorie des ensembles 1 Éléments de logique et de théorie des ensembles Pour les exemples et exercices traités dans ce chapitre les ensembles usuels de nombres entiers, rationnels réels et complexes sont supposés connus, au

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme...

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme... Maths PCSI Cours Espaces affines Table des matières 1 Espaces et sous-espaces affines 2 1.1 Espaces affines et translations.................................... 2 1.2 Exemples d espaces affines......................................

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercice VI. Ch6-Exercice Montrer par récurrence que En déduire que puis que k =,,..., n, d k dx k xn = n(n ) (n + k)x n k, d n dx n xn = n! d k dx k xn =

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Ó Ø Ó Ö ¾¼½ PSI Aurélien Monteillet ii Ce document contient les notes d un cours de mathématiques pour la classe de PSI. Les démonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres. Partie I

PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres. Partie I PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres Sujet complet Mines Pont 2001 - PSI Partie I 1. Premières propriétés Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Exo7 Espaces vectoriels Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Définition, sous-espaces Exercice Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : E = { f : [,] R } :

Plus en détail

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Chp. 9. Convexité Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction numérique partout définie sur C. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Définition

Plus en détail

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014 Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur http://www.mathweb.fr juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Chapitre 6. Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique. 6.1.1 Exemple introductif

Chapitre 6. Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique. 6.1.1 Exemple introductif Chapitre 6 Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique 6.1.1 Exemple introductif Problème : n matrices M i (m i, m i+1 ) à multiplier en minimisant le nombre de multiplications,

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES ENSEMBLES DE NOMBRES ENSEMBLES,,,ET: On rappelle que : désigne l ensembleprivé de 0 idem pour, et, + désigne l ensemble des réels positifs ou nuls et l ensemble des

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I

Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I Lycée Kléber Pour le 5 décembre 2014 PSI* 2014-2015 Correction du devoir maison n o 7 (Mines I PSI 2001) MATHEMATIQUES PARTIE I Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner...

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... I Savoir reconnaître un produit scalaire Les applications ci-dessous sont-elles des formes bilinéaires? Si oui sont-elles symétriques? Définies?

Plus en détail

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2 Espaces euclidiens Table des matières 1 Définitions et exemples 1 Orthogonalité, norme euclidienne 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 4 Orthogonalisation de Schmidt 3 5 Sous-espaces orthogonaux 3

Plus en détail

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2 Guillaume CARLIER L1, année 2006-2007 2 Ce support de cours est basé sur le poly de Tristan Tomala des années précédentes.

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative................................... 2.2

Plus en détail

et Transversalité par Pierre Vogel

et Transversalité par Pierre Vogel Université Paris 7 Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu Géométrie des Variétés et Transversalité par Pierre Vogel Introduction Ce cours est destiné à l étude des variétés différentiables

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Rappels (1) Objectif et plan. Rappels (2) On considère le problème modèle, supposé bien posé, Chercher uh V h tel que (1) a(u, v) = b(v)

Rappels (1) Objectif et plan. Rappels (2) On considère le problème modèle, supposé bien posé, Chercher uh V h tel que (1) a(u, v) = b(v) Rappels (1) On considère le problème modèle, supposé bien posé, { Chercher u V tel que a(u, v) = b(v) v V (1) Éléments finis en 2D Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr http://cermics.enpc.fr/cours/cs (V Hilbert,

Plus en détail

Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire 2015-2016

Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire 2015-2016 Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé Prof. MOWGLI Ahmed Année scolaire 2015-2016 1 Pour des cours particuliers par petits groupes de 3 ou 4 élèves en maths et/ou physique-chimie, veuillez me contacter.

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE 2015-2016, Automne N. Débit & J. Bastien Document compilé le 13 novembre 2015 Liste des Travaux Dirigés Avant-propos iii Travaux

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte

Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte 87 Introduction Langage a n b n n est pas accepté par un automate fini. Par contre L k = {a n b n n k} est accepté. Mémoire finie, mémoire infinie,

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

La réciproque est fausse : les droites parallèles à l axe des ordonnées ne sont pas des représentations graphiques de fonction

La réciproque est fausse : les droites parallèles à l axe des ordonnées ne sont pas des représentations graphiques de fonction S Cours Les fonctions affines Par cœur : définition d une fonction affine Soit a et b deux réels. Une fonction définie sur R par : f(x) = ax + b est appelée fonction affine. De plus, a = Variation des

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012 Lycée Marlioz - Aix les Bains Bac Blanc 2012 Mathématiques - Terminale E Candidats n ayant pas choisi la spécialité maths 16 mai 2012 Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications

Plus en détail

DNS-3 À rendre le 22 février 2016

DNS-3 À rendre le 22 février 2016 DNS-3 /5 DNS-3 À rendre le 22 février 26 I Drapeau de Dijkstra On dispose de N boules numérotées et colorées noires et blanche alignées dans un ordre quelconque. On souhaite regrouper les boules de même

Plus en détail

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité Corrrigé du sujet de Baccalaurat S Pondichery 2015 Spécialité EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f(x) et la droite d équation et la droite d

Plus en détail

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014 Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 04-05 Préparation à l écrit - Samedi 3 décembre 04 Durée : 4 à 6 heures - Le sujet comporte 6 pages. Dans ce problème, on se propose de prouver

Plus en détail

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables Fonctions à deux variables ECE Lcée Carnot 5 janvier Aspect graphique Définition. Une fonction à deux variables est une application f : D R, où D est une sous-ensemble du plan R appelé domaine de définition

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé Exercice Commun à tous les candidats Baccalauréat Blanc février 25 Corrigé. Réponse d. : e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e 5,4. 2. Réponse b. : positif

Plus en détail

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales Chapitre 3 : Fonctions affines Dans tout ce chapitre, le plan est muni d un repère. 1 Rappels sur les équations de droite Une droite qui n est pas verticale a une unique équation du type y = ax + b, qu

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016 Exercice 1 Commun à tous les candidats Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 216 4 points Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des

Plus en détail

Fonctions Affines Problèmes du premier degré

Fonctions Affines Problèmes du premier degré Fonctions Affines Problèmes du premier degré Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Fonctions Affines 2 1.1 Définition Représentation graphique.................................

Plus en détail

À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats

À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats 1 À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats Cette note est écrite comme une section 7 du chapitre VIII du livre Algèbre Commutative. Méthodes Constructives.

Plus en détail

Exercices sur les équations différentielles :

Exercices sur les équations différentielles : Université de Rennes 200-20 Licence de mathématiques L2-ED Exercices sur les équations différentielles : Une mise en jambes Exercice. Parmi les espaces suivants, lesquels sont des espaces vectoriels sur

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont

Plus en détail

Espaces euclidiens. 1 Produit scalaire 2 1.1 Définition... 2 1.2 Exemples fondamentaux... 2 1.3 Cauchy-Schwarz... 3 1.4 Norme associée...

Espaces euclidiens. 1 Produit scalaire 2 1.1 Définition... 2 1.2 Exemples fondamentaux... 2 1.3 Cauchy-Schwarz... 3 1.4 Norme associée... Maths PCSI Cours Table des matières Espaces euclidiens 1 Produit scalaire 2 1.1 Définition...................................... 2 1.2 Exemples fondamentaux.............................. 2 1.3 Cauchy-Schwarz..................................

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé)

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau.

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Gilles arbou.m.l.a Ecole Normale Supérieure de achan 61, avenue du Président Wilson 9435 achan edex Résumé. - On étudie les solutions

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans

Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires dans Sommaire Sandrine CHARLES 1 Introduction... 3 2 Rappels sur les formes de Jordan réelles dans... 4 2.1 Deux valeurs propres réelles distinctes

Plus en détail

Chapitre 4 : Géométrie plane

Chapitre 4 : Géométrie plane hapitre 4 : Géométrie plane I Rappels et compléments sur les vecteurs I Vecteurs et géométrie Égalité de deux vecteurs : = D ssi D est un parallélogramme (éventuellement aplati) D ddition de vecteurs :

Plus en détail

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Arithmétique Algorithmique http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Partie III Algorithmes classiques 1 Coût de la multiplication et de la division 2 Exponentiation rapide 3 Algorithme d Euclide

Plus en détail

Sujet n 1. Sujet n 2

Sujet n 1. Sujet n 2 Exercices d oraux Consignes : L oral comporte deux questions dont une de spécialité pour le candidats concernés. L épreuve est constituée d une préparation d une vingtaine de minutes suivie d un entretien

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi mai Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez

Plus en détail

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème :

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème : Chapitre 1 Ce que dit le programme Le second degré CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Second degré Forme canonique d une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant.

Plus en détail

Au menu. Cours 7: Classes Probabilistes. Application : Calcul de la médiane. Sous menu. Retours sur quelques algorithmes.

Au menu. Cours 7: Classes Probabilistes. Application : Calcul de la médiane. Sous menu. Retours sur quelques algorithmes. Au menu Cours 7: Classes Probabilistes Olivier Bournez bournez@lix.polytechnique.fr LIX, Ecole Polytechnique Retours sur quelques algorithmes Quelques résultats INF561 Algorithmes et Complexité 1 2 Sous

Plus en détail

f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = a = ax 2+ b ax 1 b x 2 x 1 x 2 x 1 Soit a= 1 5 3+6 = 2 3

f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = a = ax 2+ b ax 1 b x 2 x 1 x 2 x 1 Soit a= 1 5 3+6 = 2 3 I FONCTION AFFINE ÉFINITION Soit a et b deu réels. La fonction f définie sur R par f() = a + b est une fonction affine. EXEMPLES La fonction f définie surrpar f()= 2 3 est une fonction affine avec a= 2

Plus en détail