[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer"

Transcription

1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des points de discontinuité de f est au plus dénombrable. Exercice [ 0045 ] [Correction] Existe-t-il une fonction continue f de R dans R envoyant les rationnels dans les irrationnels et les irrationnels dans les rationnels? Exercice 3 [ ] [Correction] On souhaite établir que l ensemble N) des parties de N n est pas dénombrable. Pour cela on raisonne par l absurde et l on suppose qu il existe une bijection ϕ de N vers N). Établir une absurdité en introduisant l ensemble A {n N n / ϕn)} Exercice 4 [ ] [Correction] On appelle nombre algébrique, tout nombre complexe x solution d une équation de la forme a n x n + + a x + a 0 0 avec a 0, a,..., a n Z et a n 0 On appelle degré d un nombre algébrique x, le plus petit n N tel que x soit solution d une équation comme ci-dessus. a) Quels sont les nombres algébriques de degré? b) Montrer que l ensemble des nombres algébriques de degré au plus n est dénombrable. c) L ensemble de tous les nombres algébriques est-il dénombrable? Exercice 5 [ ] [Correction] b) Soit u n ) n N une suite d éléments de [0 ; ]. Montrer n N, [0 ; ] \ n 0 [u + ; u + + ] c) On peut alors construire une suite x n ) n N d éléments de [0 ; ] vérifiant n N, x n / n 0 [u + ; u + + ] Justifier qu on peut extraire la suite x n ) n N une suite convergeant vers un élément l de [0 ; ]. d) Exploiter les idées précédentes pour établir que [0 ; ] n est pas dénombrable. Exercice 6 [ 0440 ] [Correction] Montrer que l ensemble des parties finies de N est dénombrable. Etude de sommabilité Exercice 7 [ 063 ] [Correction] Déterminer selon α R la nature de la somme m,n m + n) α Exercice 8 [ ] [Correction] Pour quels α > 0, la famille suivante est-elle sommable? ) p + q ) α p,q) N

2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Sommation par paquets Exercice 9 [ 047 ] [Correction] Établir que pour x ] ; [, x n x n n n dn)x n en notant dn) le nombre de diviseurs positifs de n. Exercice 0 [ 044 ] [Correction] Convergence et calcul, pour z complexe tel que z <, de z n z n+ Exercice [ 0636 ] [Correction] On note l Z) l ensemble des suites complexes u u n ) sommables. a) Soit u, v l Z). Montrer que pour tout n Z, la famille u v n ) Z est sommable. b) Pour u, v l Z), on pose u v) n Z u v n. Montrer que u v l Z) et que u n u v) n c) Montrer que la loi ainsi définie est commutative, associative et possède un neutre. d) La structure l Z), ) est-elle un groupe? v n Permutation des termes Exercice 4 [ 0030 ] [Correction] Soient n 0 u n une série absolument convergente et v n u σn) avec σ SN). Montrer que la série n 0 v n est absolument convergente de même somme de un. Exercice 5 [ 003 ] [Correction] Soit σ : N N une application bijective. a) Déterminer la nature de b) Même question pour n n σn) σn) Exercice 6 [ 0963 ] [Correction] Si σ est une bijection de N sur N, montrer la divergence de la série σn) Exercice 7 [ 045 ] [Correction] Soit σ une permutation de N. Étudier la nature des séries de termes généraux n Exercice [ ] [Correction] Soit q C avec q <. Montrer que la famille q n ) est sommable et calculer sa somme. Exercice 3 [ ] [Correction] Soit r [0 ; [ et θ R. Justifier l existence et calculer r n e inθ a) nσn) Exercice 8 [ ] [Correction] Soit σ une permutation de N. Quelle est la nature de b) σn) n c) σn) n ln n? σn) n ln n d) σn) n 3

3 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés 3 Exercice 9 [ 0346 ] [Correction] Soit u n ) une suite réelle telle qu il y ait convergence de la série u n Soit σ une bijection de N et v n ) la suite déterminée par n N, v n u σn) a) Montrer la convergence et calculer la somme de la série v n. b) Quelle est la nature de la série u n v n? c) Déterminer les bornes supérieure et inférieure de u n v n pour σ parcourant l ensemble des bijections de N. Exercice 0 [ 034 ] [Correction] Soit z n ) une suite de complexes non nuls telles que n m z n z m Montrer la convergence de la série de terme général /z 3 n. Sommes doubles Exercice [ 0093 ] [Correction] a) Soit α >. Déterminer un équivalent à R n n+ b) Pour quels α R, la somme n+ a-t-elle un sens? α c) Montrer qu alors n+ α α p p α Exercice [ 0095 ] [Correction] Soit a un complexe de module strictement inférieur à. En introduisant la famille des nombres u p,q a pq ) pour p, q ), établir l identité p a p a p a p a p p Exercice 3 [ 0096 ] [Correction] On pose a p,q p + p + q + p p + q + p + p + q + 3 Calculer Qu en déduire? q0 p0 Exercice 4 [ ] [Correction] Existence et valeur de Exercice 5 [ 0094 ] [Correction] Justifier En déduire Qu en déduire? a p,q et a p,q p0 q0 p + q )p + q + ) p,q) N N p n,n p n,n p n p 3 4p n p n p,p n n p

4 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés 4 Produit de Cauchy Exercice 6 [ ] [Correction] Existence et calcul de n + )3 n Exercice 7 [ 0044 ] [Correction] Pour n, on pose u n v n )n n Exercice 30 [ 0435 ] [Correction] Soit u n ) n N une famille sommable. Pour tout n N, on pose v n n n u Montrer que la famille v n ) n N est sommable et exprimer sa somme en fonction de celle de la famille u n ) n N. 0 a) Montrer que les séries u n et v n convergent. b) Montrer la divergence de leur série produit de Cauchy. Exercice 8 [ ] [Correction] Soit u n ) une suite numérique. Pour tout n N, on pose v n n n u a) On suppose dans cette question la série u n absolument convergente. En observant un produit de Cauchy, montrer que la série v n converge et exprimer sa somme en fonction de celle de u n. b) On suppose dans cette question que la suite u n ) tend vers 0. Déterminer la limite de v n ) 0 c) On suppose dans cette dernière question la série u n convergente. Montrer la convergence de v n et déterminer sa somme en fonction de celle de u n. Exercice 9 [ ] [Correction] Établir avec e n ) n n.n! H n n n H n n!

5 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections 5 Corrections Exercice : [énoncé] Notons fx + ) lim fx + h) et h 0 fx ) lim fx h) + h 0 + Ces limites existent car la fonction f est monotone et l on a évidemment fx ) fx) fx + ) L ensemble des points de discontinuité de f se comprend alors comme l ensemble suivant E { x R fx ) < fx + ) } Pour chaque x appartenant à E, on peut déterminer un nombre rationnel r vérifiant r ]fx ) ; fx + )[ L application qui à x associe r définit une injection de E dans Q. L ensemble E est au plus dénombrable. Exercice : [énoncé] Une telle fonction ne prendre qu un nombre dénombrable de valeurs, or si celle-ci n est pas constante, elle prend toutes les valeurs d un intervalle non singulier ce qui constitue un nombre non dénombrable de valeurs. Une telle fonction ne peut exister. Exercice 3 : [énoncé] L ensemble A est par définition une partie de N. Puisque l application ϕ est bijective, il existe n N tel que A ϕn). Étudions alors l appartenance de n à la partie A. Si n A alors n / ϕn) mais A ϕn) : c est absurde. Si n / A alors n / ϕn) et n A : c est à nouveau absurde. b) Les nombres algébriques de degré au plus n sont les solutions des équations a n x n + + a x + a 0 0 avec a 0, a,..., a n Z et a n 0 Puisque Z Z n est un ensemble dénombrable, ces équations sont en nombre dénombrable. De plus, chacune possède au plus n solutions. On peut percevoir l ensemble des nombres algébriques comme une réunion dénombrable d ensembles tous finis, c est un ensemble dénombrable. c) L ensemble des nombres algébriques est la réunion dénombrable des ensembles précédents, c est un ensemble dénombrable. Exercice 5 : [énoncé] a) Par sommation géométrique n+ / b) La somme des longueurs des intervalles réunis vaut n 0 + < + 0 La réunion de ces intervalles ne peut recouvrir [0 ; ]. c) x n ) est une suite bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite convergente et cette dernière a sa limite dans [0 ; ]. d) Par l absurde, supposons [0 ; ] dénombrable et considérons u n ) n N une énumération de ses éléments. On reprend la suite x n ) n N construite comme ci-dessus et la limite l introduite. Puisque celle-ci est élément de [0 ; ], il existe N N tel que u N l. Puisqu il existe une suite extraite de x n ) n N, convergeant vers l, il existe une infinité de termes de cette suite dans l intervalle [l / N+ ; l + / N+ ] [u N / N+ ; u N + / N+ ] Exercice 4 : [énoncé] a) Ce sont les nombres rationnels. Or, par construction, pour tout n N, l élément x n est extérieur à cet intervalle. C est absurde!

6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections 6 Exercice 6 : [énoncé] Notons E l ensemble des parties finies de N et E n l ensemble des parties finies de 0 ; n. Puisque toute partie finie de N est nécessairement majorée, on peut affirmer l égalité E n N E n Les ensembles E n étant finis et la réunion dénombrable, on peut affirmer que E est dénombrable en tant qu ensemble infini réunion dénombrable de parties au plus dénombrables. On peut aussi propose un dénombrement expliciter. Si l on note i,..., i les éléments d une partie A finie de N, on peut lui associer l entier na) i + + i. L existence et l unicité de la décomposition d un entier en somme de puissances de assurant la bijectivité de cette association. La sommabilité de la famille étudiée équivaut à celle de p + q) α ) En regroupant par paquets selon p,q) N I n { p, q) N p + q n } celle-ci équivaut à la sommabilité de ) n qui est vraie si, et seulement si, α >. n α n Exercice 7 : [énoncé] Il s agit d une somme de termes positifs. Regroupons les termes par paquets selon la valeur de m + n et Or Exercice 8 : [énoncé] On a l encadrement m,n m,n m + n) α m,n p m+np m + n) α p p α p p p α m + n) α p p α < α > m + n) α p + q) p + q p + q) Exercice 9 : [énoncé] Pour x ] ; [, on peut écrire Par suite x x x l l x x x l l Pour chaque, la série l x l converge et la série l x l x x converge aussi. La famille x l ),l N est sommable. Réorganisons la somme selon les valeurs du produit l avec x x x l n ln n dn)x n d n Card {, l) N l n} d n apparaît alors comme étant le nombre de diviseurs positifs de n, i.e. dn).

7 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections 7 Exercice 0 : [énoncé] Puisque z <, on peut écrire par sommation géométrique et z n+ z n+ 0 z n z n z n+ z n+ 0 z n +) 0 Tout entier naturel non nul p s écrit de façon unique sous la forme p n + ) avec n, N On peut affirmer que N est la réunion des ensembles deux à deux disjoints suivants A n { n + ) N} Puisque la famille z p ) p N est sommable, on peut sommer par paquets et écrire Finalement p Exercice : [énoncé] z p m A n z m z n +) 0 z n z p z z n+ z p a) Puisque v l Z), v n n 0 et v n) est bornée par un certain M. On a u v n M u la famille u v n ) Z est sommable. b) Pour chaque Z, la famille u v n ) est sommable avec u v n u v n u v n et la famille u v n ) est aussi sommable,, par sommation Z par paquets, la famille u v n ) n,) Z est sommable. Par sommation par paquets u v n u v n < n,) Z Z Puisque u v n u v n Z Z on a obtient u v l Z). De plus, par sommation par paquets u v n u v n u v n n,) Z Z Z ce qui donne c) On a et u v) n Z u v) w) n u u v) n +ln +l+mn v n Z u v l v u) n u l Z v l u v l w m u v w)) n Pour ε définie par ε n δ n,0, u ε u ε est élément neutre. d) Considérons u définie par u n δ 0,n δ,n. Si u est inversible et v son inverse, la relation u v ε donne v n v n ε n δ 0,n. Par suite pour tout n N, v n v 0 et puisque v n 0, pour tout n n N, v n 0. De même pour tout n < 0, v n 0 Mais alors, pour n 0, v n v n δ 0,n donne 0. L élément u n est pas inversible et l Z), ) n est pas un groupe. Exercice : [énoncé] Étudions la sommabilité de q n ). On peut décomposer Z N {0} Z La sous-famille q n ) est sommable car la série géométrique q n n N converge. De même, la sous-famille q n ) est sommable.

8 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections 8 Par sommation par paquets q n ) est sommable. De plus Exercice 5 : [énoncé] q n n N q n + + Exercice 3 : [énoncé] r n e Étudions la sommabilité de inθ ) On peut décomposer q n + q n + q q r n ). Z N {0} Z La sous-famille r n ) est sommable car la série géométrique r n converge. n N De même, la sous-famille r n ) est sommable. Par sommation par paquets r n ) est sommable. La somme étudiée existe et en sommant par paquets r n e inθ r n e inθ ++ r n e inθ + r eiθ r e iθ + r e iθ r e iθ r On r cos θ + r a n N Exercice 4 : [énoncé] On a n v n 0 u n < n n 0 v n est absolument convergente. Pour n N, posons pn) max { σ ) 0 n } Pour tout ε > 0, il existe N N tel que n N+ u n ε. Pour tout M pn) : M N v n u n u n ε Par suite M v n v n n N+ u n ε u n a) La série n converge absolument la famille n est sommable. Il )n en est de même de la famille permutée et la série n σn) converge. b) C est analogue, mais cette fois la famille ) série à termes positifs n Exercice 6 : [énoncé] Posons S n S n σn) diverge. S n n n+ n σn) )n n σ) σ) 4n n n est pas sommable et la n n+ σ) Or les entiers σn + ),..., σn) sont, à l ordre près, au moins égaux à,..., n et S n S n n 4n n + 8n 8 On en déduit que S n ) diverge. Exercice 7 : [énoncé] a) Étude de nσn). Notons que par permutation des termes d une série absolument convergente, la série σn) converge. Puisque 0 nσn) n + ) σn) on peut affirmer, par comparaison de séries à termes positifs, que la série étudiée converge.

9 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections 9 b) Étude de σn) n. Posons u n n u n u n σ). On observe n n+ σ) 4n d où l on conclut que la série diverge. c) Étude de σn) n ln n. Pour n assez grand, n n ln n et la série étudiée diverge. σn) n 3. σn) n n n+ σ) 4n σn) n ln n n n + 8n 8 d) Étude de n N Pour σ : n n, la série est convergente. Pour σ : p p et p + le p + -ième entier qui n est pas un carré, la série contient les termes /8p avec p N et est divergente. Exercice 8 : [énoncé] Posons On a S n S n+ S n n+) ln n+ n n+ n + σ) ln σ) n+) ln n+ car les entiers σ) de la première somme sont aux moins égaux aux entiers de la seconde. On en déduit et n n + ) S n+ S n n+3 n + ) ln 8 ln n Puisque la série /n diverge, il en de même de la série télescopique S n+ S n et la suite S n) tend vers. On en déduit la divergence de la série étudiée. n Exercice 9 : [énoncé] a) La permutation des termes d une série à termes positifs ne change ni sa nature, ni sa somme. On peut affirmer b) En vertu de la majoration v n ab u n a + b ) on a u n v n u n + vn) Par comparaison de série à termes positifs, on peut affirmer la convergence de la série u n v n... c) et u n v n u n + v n u n De plus, cette inégalité est une égalité quand σ Id N { } sup u n v n /σ bijection de N On a évidemment u n v n 0 Pour montrer que la borne inférieure cherchée est 0, montrons que l on peut rendre la somme précédente aussi petite que l on veut. Soit ε > 0. Par convergence de la série u n, il existe N N tel que nn u n ε De plus la suite u n ) tend vers 0, elle est bornée par un certain M > 0 et il existe un rang N > N tel que n N, u n ε MN + ) u n

10 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections 0 Considérons alors la bijection σ de N déterminée par N + n si n {0..., N} σn) n N si n {N,..., N + N} n sinon Pour cette permutation u n v n N u n N ε +N MN + ) + ε MN + ) u n N + ε 3ε nn On peut affirmer { } inf u n v n /σ bijection de N 0 Exercice 0 : [énoncé] Pour N N posons A N {n N, z n N}. Pour n, m A N distincts, les disques ouverts de centres z n et z m et de rayon / sont disjoints. La réunion de ces disques pour n parcourant A N, est incluse dans le disque de centre 0 et de rayon N + /. Par considération d aire, on obtient et Card A N π ) π N + ) Card A N N + ) Quitte à permuter les termes de la suite, supposons la suite z n ) croissante ceci est possible, car il n y a qu un nombre fini de termes de la suite de module inférieur à une constante donnée). En vertu de l étude qui précède > N et on en déduit zn+) + ) z p 3 O p 3/ La série permutée de terme général /z 3 n est absolument convergente et la série initiale l est aussi. Exercice : [énoncé] a) Puisque x x α est décroissante : n+ dx x α n+ n+ α α α dx n x α n α b) Par suite n+ a un sens si, et seulement si, α >. α c) Posons u,n si > n et u α,n 0 sinon. Pour tout n, 0 u,n converge et n 0 peut appliquer la formule de Fubini et affirmer 0 u,n avec convergence des séries sous-jacentes. Or u,n n+ u,n 0 α α α Exercice : [énoncé] La série p u p,q est absolument convergente et p u p,q a q a q a q a q De plus la série de terme général la règle de d Alembert. La famille u p,q ) p,q est sommable et on a q p u p,q 0 u,n converge on α est absolument convergente en vertu de u p,q p q

11 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections ce qui fournit la relation q a q a q a p a p p Par télescopage : np+ n p + p + + ) p Exercice 3 : [énoncé] D une part p0 a p,q 0 q0 p0 a p,q 0. q0 a p,q. D autre par q0 a p,q p+ p+ p0 La formule de Fubini ne s applique pas, la famille a p,q ) p,q) N sommable. Exercice 4 : [énoncé] Notons que les termes sommés sont positifs. Pour chaque q N, la série p 0 p+q )p+q +) p. Par télescopage p0 p+q )p+q +) converge car n est pas p + q )p + q + ) ) p + q p + q + q La série q p0 p+q )p+q +) q q converge aussi, on peut affirmer que la famille p + q )p + q + ) ) est sommable et sa somme vaut p0 p + q )p + q + ) p,q) N N q p0 p,q) N N Exercice 5 : [énoncé] La série converge compte tenu des critères usuels. n p p n p ) n + p p + q )p + q + ) q π 6 q De plus puis Cependant p n n p p p p ) p n,n p n p p p + ) 3 p 4p p n,n p n p,p n p n,n p n p n p n n p p 3 4p > 0 3 4n n p,p n p 3 4p n p On en déduit que la familles des /n p ) avec p, n) N, p n n est pas sommable. Exercice 6 : [énoncé] Par produit de Cauchy de série convergeant absolument n ) n + )3 n 3 3 n 3 n Exercice 7 : [énoncé] 0 a) par application du critère de Leibniz... m0 ) 3 m 9 4

12 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections b) On a or n w n n u v n ) n n n n n n n et par suite w n 0 et w n diverge grossièrement. Exercice 8 : [énoncé] n c) En permutant les sommes N v n N n 0 En évaluant la somme géométrique u N n N u 0 n n N N N v n u N + ) N u u N 0 0 et compte tenu du résultat de la question précédente N v n 0 On en déduit à nouveau que la série v n converge et u 0 a) On a v n n 0 u n v n u n La série v n est la série produit de Cauchy de u n et n. Puisqu elles sont toutes deux absolument convergentes, la série v n est absolument convergente, convergente et ) v n u n b) Soit ε > 0. Il existe N N tel que On a alors v n puis pour n assez grand ) n n N, u n ε N 0 u n + ε v n 3ε n N u n n Cte n + ε On peut affirmer que la suite v n ) converge vers 0. Exercice 9 : [énoncé] Par produit de Cauchy de séries convergeant absolument Or e n ) n n.n! n ) n n! n.n! n n ) n )!.! n! Il reste à montrer par récurrence sur n que ce qui se fait par n+ n ) ) n + n ) n ) n+ ) n ) n )!.! ) n ) n ) n n+ + ) ) n

13 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Corrections 3 Or n+ ) ) n+ n ) n + ) n + )n+ n + n + n + n+ ) ) n + n+ Exercice 30 : [énoncé] On peut écrire v n n 0 u ) n La série v n est la série produit de Cauchy de u n et. Puisqu elles n sont toutes deux absolument convergentes, la série v n est absolument convergente et ) ) v n u n n u n

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009 Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur Sup Galilée - année 2008-2009 Benoît Merlet Ces notes de cours s adressent aux élèves ayant suivi le cours. Elles contiennent peu d explications. Elles pourront

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES I. Logique. II. Ensemble. III. Relation, fonction, application. IV. Composition, réciprocité. V. Relation d

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève 30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Cours de Topologie L3-math

Cours de Topologie L3-math Cours de Topologie L3-math Renaud Leplaideur Année 2014-2015 UBO 2 Table des matières 1 Rappels, préliminaires 5 1.1 Rappels sur les ensembles........................... 5 1.1.1 Formalisme ensembliste.........................

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Analyse. Gaëtan Bisson. bisson@gaati.org

Analyse. Gaëtan Bisson. bisson@gaati.org Analyse Gaëtan Bisson bisson@gaati.org Table des matières Nombres réels 4. Construction........................................ 4. Densité et distance..................................... 6.3 Exercices...........................................

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques Années 2004-2005-2006 LM 363 THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Cours de P. MAZET Edition 2004-2005-2006 Table des matières Table des matières

Plus en détail

Fonctions analytiques

Fonctions analytiques CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Analyse - Résumés et exercices

Analyse - Résumés et exercices Analyse - Résumés et exercices Georges Skandalis Université Paris Diderot (Paris 7) - IREM Préparation à l Agrégation Interne 6 mars 205 Table des matières Suites de nombres réels. Développement décimal

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )

Plus en détail

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences Institut de Mathématique ANALYSE MATHEMATIQUE Introduction aux espaces fonctionnels Notes du cours de la seconde candidature en sciences mathématiques ou en sciences

Plus en détail

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits. Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits 1 La qualité de la rédaction est un facteur important dans l appréciation

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot SOMMES ET PRODUITS 1 Techniques de calcul 1.1 Le symbole Notation 1.1 Soient m et n deux entiers naturels. Alors { a m + a m+1 + + a + a n si m n, a = 0 sinon. On peut aussi noter m n =m a ou encore m,n

Plus en détail

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx ECRICOME 2004 Voie Eco 1 EXERCICE 1 EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x R, f (x = 1 2 et (u n la suite de nombres réels déterminée par : { u 0 = 1 f (x dx 0 n

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS. par. Stef Graillat

SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS. par. Stef Graillat SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS par Stef Graillat Résumé. Dans cette note, nous calculons la signature de l automorphisme de Frobenius dans un corps fini. Nous serons amené pour cela à

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Cours Intégration MA62. Université de Reims

Cours Intégration MA62. Université de Reims Cours Intégration MA62 Frédéric Hérau Université de Reims mai 2006 Table des matières Introduction 2 1 Préliminaires et Rappels 3 1.1 La droite achevée R............................... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1. On pose. Vérifier que T est une tribu sur Ω.

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1. On pose. Vérifier que T est une tribu sur Ω. [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1 Probabilités Tribu Exercice 5 [ 04006 ] [correction] Soit Ω un ensemble infini et une famille de arties de Ω vérifiant n m A m = et = Ω Exercice

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

TD: Ensembles, applications, dénombrement

TD: Ensembles, applications, dénombrement Université de Provence Année 011/1 Licence Math Info ème année S3 Fondements de l Informatique 1 Ensembles et fonctions TD: Ensembles, applications, dénombrement 1. On suppose que l ensemble de tous les

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral

Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral Du Calcul d Aire......Au Calcul Intégral Objectifs Définir proprement l aire d une surface plane, au moins pour les domaines usuels (limités par des courbes simples) et fournir un moyen de la calculer.

Plus en détail

BASES DU RAISONNEMENT

BASES DU RAISONNEMENT BASES DU RAISONNEMENT P. Pansu 10 septembre 2006 Rappel du programme officiel Logique, différents types de raisonnement. Ensembles, éléments. Fonctions et applications. Produit, puissances. Union, intersection,

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30 Table des matières 1 Généralités 3 1.1 Un peu de logique................................. 3 1.1.1 Vocabulaire................................ 3 1.1.2 Opérations logiques............................ 4 1.1.3

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

MPSI FORMULAIRE LIONEL PORCHERON DANIEL PORCHERON MAGALI DÉCOMBE VASSET. Le Formulaire MPSI

MPSI FORMULAIRE LIONEL PORCHERON DANIEL PORCHERON MAGALI DÉCOMBE VASSET. Le Formulaire MPSI MPSI FORMULAIRE LIONEL PORCHERON DANIEL PORCHERON MAGALI DÉCOMBE VASSET Le Formulaire MPSI Conception et création de couverture : Atelier 3+ Collaboration technique : Thomas Fredon, ingénieur Télécom Bretagne

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390

PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 Université PARIS 6 2008/2009 Jean BERTOIN 1 Table des Matières ( ) ces parties peuvent ^etre omises en première lecture, et ne feront pas

Plus en détail