THÉORIE DE LA MESURE. Notes de cours de B.Demange

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1 THÉORIE DE LA MESURE Notes de cours de B.Demnge Cours donné en

2 2 INTRODUCTION Ce cours pour but de donner une bonne définition de l intégrle de fonctions d une ou plusieurs vribles réelles, qui donne lieu à des espces de fonctions intégrbles stbles pr pssge à l limite (en un sens à préciser). L intégrle clssique de Cuchy ou de Riemnn est ssez limitée de ce point de vue, l pluprt des théorèmes de pssge à l limite nécessitnt une convergence uniforme. L pproche de l théorie de l mesure est qu une intégrle est une ire. Au lieu d pproximer les fonctions pr d utres fonctions qu on sit intégrer, on pproxime des ensembles pr des ensembles élémentires dont on connit l ire. L ensemble A = {(x, y) t.q. f(x) y g(x)}, où f et g sont deux fonctions continues sur [, b] telles que f g, est un ensemble élémentire dont l ire est µ(a) := b (g(x) f(x))dx. Soit A l fmille de ces ensembles. L fmille A contient l pluprt des figures géométriques usuelles simples du type rectnges, cercles, tringles,... Le but de l théorie de l mesure est d étendre l fonction d ensembles µ : A R + à une fmille ssez grosse, i.e. intuitivement, une fmille stble pr découpge, recollge, et pssge à l limite. On poser que l mesure de l réunion disjointe d une fmille d ensembles que l on sit mesurer est l somme des mesures : µ(a) = µ(a n ) pour tout ensemble A R 2 pouvnt s écrire sous l forme A = + A n, vec A n A deux-à-deux disjoints. Pour que cette nouvelle définition de µ soit cohérente vec l ncienne, il fut démontrer que si A A est prtitionné pr une suite A n A, vec A n A deux-à-deux disjoints, on µ(a) = µ(a n ). Cette propriété s ppelle l σ-dditivité. C est une conséquence du lemme de Dini : pour toutes fonctions f, f n : [, b] R + continues positives, telles que pour tout t [, b], f(t) = b f n (t), l série est en fit uniformément convergente, d où f = b On dispose donc d une fonction mesurnt l ire d ensembles élémentires (les domines délimités pr des grphes), qui est σ-dditive, et on cherche à l étendre à une fmille mximle tout en grdnt l σ-dditivité. Il y des restrictions ux ensembles que l on peut mesurer, ce qui complique énormément l théorie. Il est possible de montrer, vi l xiôme du continu de l théorie des ensembles (toute prtie de R non dénombrble est en bijection vec R), qu on ne peut ps définir l ire de toute prtie de R 2. Ceci est vri en toute dimension d illeurs : on ne peut ps définir l longeur de toute prtie de R, le volume de toute prtie de R 3... ˆ L étude des mesures et de l intégrle ssociée. On construit une intégrle qui de bonnes propriétés vis-à-vis du pssge à l limite (théorème de convergence dominée). Cette prtie est l plus fcile de l théorie. ˆ L construction des mesures elles-même. L mesure de Lebesgue est l plus importnte, mis on obtient en corollire d utres mesures similires : les mesures de Hussdorf et de Stieljes. ˆ Les pplictions de l théorie : en nlyse (espces L p ), en géométrie (intégrtion sur les sous-vriétés) et probbilités. f n.

3 Tble des mtières 1 Les mesures 7 I Préliminires I.1 Clculs sur [, + ] I.2 Séries sur [, + ] I.3 Fonctions indictrices I.4 Imges réciproques II Mesures II.1 Applictions σ-dditives II.2 σ-lgèbres II.3 Espces mesurés II.4 σ-lgèbre engendrée II.5 Ensembles mesurbles u sens de Borel II.6 Trnsport de mesures et de tribus III Exemples fondmentux d espces mesurés Intégrtion 15 I Fonctions mesurbles I.1 Définition I.2 Composition I.3 Pssges à l limite I.4 Exemples fondmentux II Intégrle des fonctions à vleurs dns [, + ] II.1 Décomposition en série II.2 Définition de l intégrle II.3 Linérité et croissnce II.4 Théorème de convergence monotone et lemme de Ftou II.5 Reltion de Chsle II.6 Une propriété remrquble de l intégrle III Fonctions sommbles III.1 Fonctions à vleurs dns R III.2 Fonctions à vleurs dns C IV Théorème de convergence dominée de Lebesgue V Integrles à prmètre V.1 Continuité sous l intégrle V.2 Dérivtion sous l intégrle

4 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Comment construire des mesures 29 I Mesures extérieures I.1 Applictions σ-sous-dditives I.2 Mesure extérieure cnonique I.3 Lien vec les mesures II Critères de mesurbilité II.1 Cs des espces métriques II.2 Cs des mesures extérieures cnoniques III Unicité des constructions III.1 Mesures finies III.2 Mesures σ-finies L mesure de Lebesgue et ses corollires 35 I L mesure de Lebesgue sur R d I.1 Construction pr mesure extérieure I.2 Générlistion du volume I.3 Crctéristion I.4 Ensembles et fonctions mesurbles II Générlistions de l mesure de Lebesgue II.1 Mesures de Hussdorf II.2 Propriétés des mesures de Hussdorf II.3 Définition lterntive de l mesure de Lebesgue II.4 Longeur, ire, surfce de prties courbées de R d II.5 Mesures de Lebesgue-Stieljes Intégrtion et dérivtion sur un intervlle [, b] 45 I Intégrtion sur [, b] I.1 Fonctions mesurbles bornées I.2 Intégrle indéfinie I.3 Approximtion des fonctions sommbles I.4 Compenstions dns les intégrles II Dérivtion sur [, b] II.1 Nombres dérivés II.2 Intégrle d une dérivée II.3 Dérivée d une intégrle II.4 Dérivée d une fonction monotone III Fonctions à vrition finie III.1 Vrition totle III.2 Crctéristion III.3 Dérivtion III.4 Lien vec les mesures Théorèmes de Fubini 61 I Produit de deux espces mesurés I.1 Tribu produit I.2 Mesure produit II Théorème de Fubini-Tonelli III Théorème de Fubini-Lebesgue

5 TABLE DES MATIÈRES 5 7 Théorème du chngement de vrible 67 I Cs des pplictions linéires II Mesure des sous-vriétés plongées II.1 Rppels du cours de clcul différentiel II.2 Théorème du chngement de vrible pour les mesures II.3 Corollires II.4 Démonstrtion III Intégrtion sur les sous-vriétés plongées III.1 Mesure volume d une sous-vriété plongée III.2 Théorème du chngement de vribles III.3 Dimension Espces de Lebesgue L p 73 I Espces L p I.1 Préliminires I.2 Définition I.3 Inéglité de Hölder I.4 Inéglité de Minkowski II Espces L p II.1 Définition II.2 Complétude II.3 Espce L Appliction ux séries de Fourier 79 I Définitions des séries de Fourier I.1 Définition géométrique I.2 Définition nlytique I.3 Inéglité de Bessel II Convergence des séries de Fourier II.1 Convergence dns L 2 (, 1) II.2 Convergence normle II.3 Condition de Dini II.4 Condition de Dirichlet Construction de mesures pr dulité 87 I Liens entre intégrle et formes linéires I.1 Théorème de Stone-Dniell I.2 Rppels sur l méthode de Crthéodory I.3 Démonstrtion du théorème de Stone-Dniell II Théorème de Fubini pour les produits infinis Exercices pr chpitre 93

6 6 TABLE DES MATIÈRES

7 Chpitre 1 Les mesures Références : Rudin, Dudley, Wgschl. I Préliminires I.1 Clculs sur [, + ] L droite réelle chevée est l ensemble [, + ] = R {+, }, ussi noté R. Elle est munie : ˆ d une reltion d ordre en posnt x + pour tout x [, + ]. ˆ d une topologie définie pr l convergence des suites (vers une limite finie ou infinie). ˆ d une ddition et d une multipliction nturelles prolongent les lois + et usuelles sur R. Les opértions non utorisées sont (+ ) + ( ) et ( ) + (+ ) et on prendr toujours comme convention ± = ± =. On vérifier fcilement que + et sont ssocitives, commuttives et distributives l une pr rpport à l utre (là où elles sont définies). De plus l ddition est continue (là ou elle est définie) et l multipliction est continue suf en (, ± ) et (±, ). L propriété de l borne supérieure est vlide : toute prtie non vide de [, + ] dmet une borne inférieure et supérieure. De plus [, + ] est compct. Toute fonction f : [, b] [, + ] continue et strictement monotone est un homéomorphisme (où < < b < + ). I.2 Séries sur [, + ] Les séries sur [, + ] sont convergentes (vers l borne supérieure de leurs sommes prtielles). Les propriété de commuttivité des séries sur [, + [ restent vries pour les série sur [, + ] : ˆ si (x n ) n N est une suite de [, + ], pour toute bijection ϕ : N N, on x n = x ϕ(k). ˆ si x n et y n sont deux suites de [, + ] on x n + y n = x n + y n. ˆ si (x k,l ) (k,l) N 2 est une suite double de [, + ], on x k,l = x k,l. l=1 l=1 7

8 8 CHAPITRE 1. LES MESURES I.3 Fonctions indictrices Les fonctions indictrice sont une commodité d écriture permettnt de trnsformer des opértions ensemblistes (intersections, unions... ) en des opértions sur des fonctions. On fixe un ensemble de référence X sur lequel on trville. Si E est une prtie de X, l fonction indictrice de E, notée 1 E est l fonction vlnt 1 sur E et sur X \ E. Avec ces conventions, 1 = et 1 X = 1. On pr exemple 1 E F = min(1 E, 1 F ) = 1 E 1 F, 1 E F = mx(1 E, 1 F ), 1 E F + 1 E F = 1 E + 1 F, 1 X\E = 1 1 E, 1 E\F = mx(1 E 1 F, ) = 1 E (1 1 F ), 1 E F = 1 E 1 F, E F 1 E 1 F, E = F 1 E = 1 F, E F = 1 E + 1 F = 1 E F Si (E n ) n N est une suite de prties de X, on 1 ne n = inf n 1 E n, 1 nen = sup 1 En 1 En, n et surtout, un ensemble E est prtitionné pr une suite d ensembles E n deux-à-deux disjoints, si et seulement si 1 ne n = 1 En. L ensemble des prties de X ser noté P(X) et l ensemble des fonctions indictrices 2 X. I.4 Imges réciproques Définition 1. Soient X et Y deux ensembles et f : X Y une fonction. Pour tout A Y on pose f 1 (B) = {f B} = {x X t.q. f(x) B}. Proposition 1. Soient X et Y deux ensembles, f : X Y une fonction, et A, A n Y. On f 1 ( A n ) = f 1 (A n ), f 1 ( A n ) = n N n N n N n N f 1 (A n ) et f 1 (Y \ A) = X \ f 1 (A). En prticulier, l imge réciproque d une union disjointe est l réunion disjointe des imges réciproques. Si X et Y sont des ensembles, f : X Y est une fonction, x X et E Y, on noter pr 1 f(x) E l quntité 1 f 1 (E)(x), i.e. 1 si f(x) E et sinon. II II.1 Mesures Applictions σ-dditives Définition 2. Soit X un ensemble, A une fmille de prties de X contennt, et µ : A [, + ] une fonction d ensembles, telle que µ( ) =. On dit que µ est σ-dditive si pour tout A A, pour toute suite d ensembles A n A deux-à-deux disjoints tels que A = + A n, on µ(a) = µ(a n ).

9 II. MESURES 9 Exemple 1 : l mesure de comptge est définie pour tout A X pr µ(a) = Crd(A) N {+ }. Exemple 2 : on fixe x X. L mesure de Dirc en x est définie pr δ x (E) = 1 x E = 1 si x E et si x / E. Exemple 3 : si I est un intervlle on définit l longeur de I pr l(i) = sup(i) inf(i). On propose de montrer en TD que c est une ppliction σ-dditive. Exemple 4 : si f, g : [, b] R sont deux fonctions continues telles que f g, on définit l ire de l région comprise entre f et g pr b (g(x) f(x))dx. Voir TD. Exemple 5 : soit X = {, 1} N l fmille des suites de et de 1, A l fmille des ensembles A X de suites commençnt pr une suite finie fixée x 1,..., x n. On pose µ(a) = 2 n. On peut vérifier que cette fonction d ensemble est σ-dditive (ce n est ps tout-à-fit évident). Remrque : pour qu une ppliction σ-dditive soit considérée comme une mesure, on donner ussi une condition sur l fmille A : il fut que A soit ssez riche, pour que ses éléments soient effectivement prtitionnbles. Il existe plusieurs structures intéressntes sur les fmilles d ensembles, déduites des structures d lgèbre de Bool : les nneux, les lgèbres... L notion l plus intéressnte pour l théorie de l mesure est l notion de σ-lgèbre. II.2 σ-lgèbres Définition 3. Une σ-lgèbre (ou encore une tribu) sur un ensemble X est une fmille de prties de X contennt et X, stble pr complémentire et pr réunions dénombrbles. Exemple : les fmilles {, X} et P(X) sont respectivement l plus petite et l plus grosse des σ-lgèbres. Tout ensemble construit à prtir d un nombre fini ou dénombrbles d opértions,, \ sur des éléments de A, est donc dns A. Le fit de pouvoir effectuer un nombre d énombrble d opértions est fondmentl pour les pssges à l limite. II.3 Espces mesurés Définition 4. Une mesure est une ppliction σ-dditive sur une σ-lgèbre de prties d un ensemble X. Définition 5. Un espce mesurble est un couple (X, A), où A est une σ-lgèbre sur X. Un espce mesuré est un triplet (X, A, µ), où A est une σ-lgèbre sur X et µ une mesure sur A. Remrque : l fmille des intervlles n est ps une σ-lgèbre, ni l fmille des ensembles compris entre deux grphes de fonctions continues. Ces deux fmilles ne sont que stbles pr intersections finies. Il est possible d étendre l longeur et l ire à des σ-lgèbres plus grosses, c est l objet des chpitres 3 et 4. Proposition 2. Soit (X, A, µ) un espce mesuré. (1) Pour tous A, B A tels que A B, on µ(a) µ(b). (2) Pour tout A A et toute suite A n A tels que A + A n, on µ(a) (3) Si A n A est une suite croissnte, de réunion A, on lim µ(a n ) = µ(a). µ(a n ).

10 1 CHAPITRE 1. LES MESURES (4) Si A n A est une suite décroissnte, d intersection A, et si µ(a 1 ) < +, on lim µ(a n ) = µ(a). Démonstrtion. (1) : on µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) µ(a). (2) : on pose B 1 = A A 1 et pour tout n > 1, B n = A A N \ (A 1 A n 1 ). On obtient insi une prtition de A, donc (3) : en posnt A = on A = + k= µ(a) = µ(b n ) µ(a n ). n 1 (A k+1 \ A k ), A n = (A k+1 \ A k ) et ces réunions sont disjointes. Donc k= n 1 µ(a n ) = µ(a k+1 \ A k ) k= k= µ(a k+1 \ A k ) = µ(a). (4) : l suite B n = A 1 \ A n est croissnte de réunion B = A 1 \ A. Donc µ(b n ) µ(b). Pr (1), tous les ensembles considérés sont de mesure finie. On en déduit que µ(a n ) = µ(a 1 ) µ(b n ) µ(a 1 ) µ(b) = µ(a). Remrque : l propriété (4) ressemble fortement à de l compcité : pour toute suite décroissnte A n A telle que < inf n µ(a n ) < +, on n N A n. Ceci suggère que l existence des mesures sur des σ-lgèbres ser en générl compliqué à démontrer et lié à l topologie. Définition 6. Soit (X, A, µ) un espce mesuré. L msse de l mesure µ est s vleur mximle, i.e. µ(x). Une mesure est dite finie si µ(x) < +. Une mesure de probbilité est une mesure de msse 1. Un espce probbilisé (ou espce de probbilité) est un espce mesuré de msse 1. II.4 σ-lgèbre engendrée Intuitivement, l σ-lgèbre engendrée pr une fmille d ensembles A (pr exemple les intervlles, les crrés... ) est l fmille des ensembles que l on construit récursivement vec les opértions, et \. Le problème est que l fmille des ensembles insi obtenus n est ps une σ-lgèbre en générl (ce n est qu une lgèbre). On est donc mené à considérer une définition implicite : Définition 7. Soit X un ensemble, et A une fmille de prties de X. L σ-lgèbre engendrée pr A est l plus petite σ-lgèbre contennt A, pour l reltion d inclusion. On l note σ(a). Démonstrtion de l existence. L intersection de toutes les σ-lgèbres contennt A est une σ-lgèbre contennt A, et c est pr définition l plus petite. Remrquer qu il existe toujours une telle σ-lgèbre : l fmille de toutes les prties de X. Toute l difficulté de l théorie de l mesure est qu il n y ps de description explicite des éléments de σ(a), suf cs prticuliers. Exemple 1 : Soit X = {1, 2, 3, 4} et A = {{1, 2}, {2, 3}}. Alors σ(a) = P(X). Exemple 2 : Soit X = {1, 2, 3, 4} et A = {{1, 2}}. Alors σ(a) = {, {1, 2}, {3, 4}, X}. Exemple 3 : Soit X un ensemble, et A une fmille de prties de X. Si A est fini lors σ(a) est fini. Si A est infini lors σ(a) est infini non dénombrble (TD).

11 II. MESURES 11 On ser très souvent mené à montrer qu une propriété (P ), vrie pour les éléments d une fmille d ensembles A, est vrie pour tout élément de σ(a), bien qu on ne sche ps décrire ses éléments. On deux méthodes, l première étnt un cs prticulier très simple de l seconde : Méthode 1 : Soit C l fmille des prties de X vérifint l propriété (P ). Si C contient A et si C est une σ-lgèbre, lors σ(a) C. C est pr définition de σ(a). Si cette méthode ne mrche ps (pr exemple si on n rrive ps à montrer que C est stble pr intersections finies, ce qui rriver dns u moins deux théorèmes fondmentux), on utilise une vrinte : Méthode 2 : Méthode des clsses monotones. Lemme 1 (des clsses monotones). Soit X un ensemble, A et C deux fmilles de prties de X. Si (1) pour toute suite finie A 1,..., A n A, on A 1 A n C, (2) X C et pour tous E, F C tels que E F, on F \ E C, (3) et pour toute suite croissnte E n C, on E n C. Alors σ(a) C. Remrque : une collection C vérifint (2) et (3) s ppelle une clsse monotone. On vérifier fcilement qu une clsse monotone stble pr intersections finies est une σ-lgèbre. L méthode 1 est donc un cs prticulier de l méthode 2. Démonstrtion. Soit C l intersection de toutes les fmilles C vérifint (1), (2) et (3). C vérifie encore ces trois conditions, et c est l plus petite de ces fmilles. Donc C C, et pr (1) on A C. On démontre que C (et non ps C) est une σ-lgèbre. Soit C l fmille des E C tels que E A C pour tout A A. C vérifie clirement (1). Les deux identités ( ) (E \ F ) A = (E A) \ (F A) et En A = (E n A) montrent que C vérifie (2) et (3). Donc C = C, i.e. pour tout A A et tout E C, on A E C. Soit C l fmille des E C tels que E F C pour tout F C. Le point précédent montre que C vérifie (1). Pour les même risons, C vérifie (2) et (3). Donc C = C, i.e. C est stble pr intersections finies. Comme X C, (2) montre que C est stble pr complémentire. C est donc stble pr réunions finies, et pr (3), C est stble pr réunions dénombrbles : C est une σ-lgèbre. On A C, donc σ(a) C C. Nous utiliserons surtout le corollire suivnt du lemme des clsses monotones : Corollire 1. Soit X un ensemble, A une fmille de prties de X stble pr intersections finies, et C une clsse monotone contennt A. Alors σ(a) C. Démonstrtion. Comme A est stble pr intersections finies, (1) équivut à A C. II.5 Ensembles mesurbles u sens de Borel Définition 8. Soit X un espce topologique. L tribu de Borel sur X est l σ-lgèbre engendrée pr les ouverts. On l note B(X). On ppelle ses éléments les boréliens de X ou les ensembles mesurbles u sens de Borel. Une mesure de Borel sur un espce topologique X est une mesure sur B(X). Proposition 3. Tout intervlle de R (respectivement [, + ]) est un borélien de R (resp.[, + ]).

12 12 CHAPITRE 1. LES MESURES (1) les intervlles du type ], + [, vec R engendrent B(R). (2) les intervlles du type ], b], vec < < b < + engendrent B(R). (3) les intervlles du type ], + ], vec R, engendrent B([, + ]). Démonstrtion. Un intervlle de R est de qutre type : [, b], [, b[, ], b] ou [, b[. L intervlle [, b] est fermé, ], b[ est ouvert, ], b] =], b[ [b, b] et [, b[=], b[ [, ], donc tout intervlle est un borélien. Soit A l σ-lgèbre engendrée pr les intervlles du type ], + [, R. Un intervlle ouvert peut être de qutre types : ], b[, ], + [, ], b[ ou R, vec, b R et < b. On R = n N] ( ) n, + [, ], b[= R \ [b, + [= R \ ]b 1/n, + [, n N et ], b[=], + [ ], b[. Ceci prouve que A contient les intervlles ouverts. Tout ouvert est une réunion dénombrble d intervlles ouverts (ses composntes connexes), donc A contient tous les ouverts. Donc B(R) A. Comme tout intervlle ], + [ est ouvert, on A B(R). Les utres cs se trîtent de mnière similire. Remrque : on sur mesurer tous les boréliens de R (et même un peu plus). Cel inclut les ouverts, les fermés, les compcts, les G δ, les F σ, tout ensemble défini u moyen d églités ou d inéglités sur des fonctions continues, continues pr morceux, monotones... et tout ensemble construit de mnière récursive à prtir d un nombre dénombrble opértions,, \ sur des ouverts. Et il y en d utres. II.6 Trnsport de mesures et de tribus Définition 9 (σ-lgèbre et mesure induite). Soient X et Y deux ensembles, B une σ-lgèbre sur Y, et f : X Y une ppliction. Alors A = {f 1 (B); B B} est une σ-lgèbre sur X. Elle s ppelle l σ-lgèbre engendrée (ou induite) pr f sur X, notée σ(f). Si µ est une mesure sur A, lors l fonction ν définie pour B B pr ν(b) = µ(f 1 (B)) est une mesure sur B, ppelée mesure imge de µ pr f. Démonstrtion. L réunion, le complémentire, se comportent bien pr rpport à l imge réciproque. III Exemples fondmentux d espces mesurés On présente ici les mesures que l on utiliser dns le cours. À prt le premier exemple, les utres sont difficiles à construire, donc on dmettr leur existence jusqu u chpitre 3. Mesures tomiques : toute mesure sur un ensemble fini ou dénombrble est de l forme µ = x X α x δ x, vec α x [, + ]. Les mesures de probbilité sur X = {, 1} s ppellent mesures de Bernouilli. Elles sont de l forme µ = pδ 1 + (1 p)δ, vec p 1. Mesures de Lebesgue sur R : c est l plus importnte du cours. Il existe une unique mesure de Borel sur R telle que l mesure des intervlles soit leur longeur. On l note l. Elle est ussi ppelée mesure de longeur. Il est possible de l prolonger (en une mesure) sur une σ-lgèbre un peu plus grnde (l tribu de Lebesgue L(R)), mis il est impossible de l prolonger à toutes les prties de R (modulo l xiôme du continu). Du point

13 III. EXEMPLES FONDAMENTAUX D ESPACES MESURÉS 13 de vue de l théorie des ensembles, B(R) R et L(R) R R, donc L(R) beucoup plus d éléments. Mis les ensembles que l on rjoute sont de mesure de Lebesgue nulle, donc du point de vue de l théorie de l mesure, L(R) peu d intérrêt. Il n y ps de plus grosse tribu sur lquelle on peut définir l mesure de Lebesgue (ou n importe quelle mesure, suf si évidemment l mesure peut être définie sur toutes les prties). Mesures de Lebesgue-Stieljes : pour toute fonction continue et croissnte ϕ : R R, il existe une unique mesure de Borel µ telle que µ([, b]) = ϕ(b) ϕ() pour tous, b R vec b. Pour ϕ(x) = x c est l mesure de Lebesgue. Si ϕ = l esclier du dible, on obtient une mesure de probbilité pour le moins étrnge. Mesure de Lebesgue sur R n : il existe une unique mesure m sur les boréliens de R n telle que m(i 1 I 2 I n ) = l(i 1 ) l(i n ), pour toute suite d intervlles I k R. Elle permet de clculer l ire, le volume... Pour toutes fonctions f, g : [, b] R continues telles que f g, l mesure de Lebesgue de l ensemble {(x, y) [, b] R t.q. f(x) y g(x)} est bien b (g(x) f(x))dx. Mesures de Hussdorf : c est une fmille (H k ) 1 k n de mesures de Borel sur R n, permettnt de clculer l longeur, l ire, le volume... des prties courbées de R n. L mesure H 1 ser encore ppelée mesure de longeur, notée l. L longeur d un rc Γ prmétré pr une fonction f : [, 1] R n, ser l formule clssique l(γ) = 1 f (t) dt si l rc est régulier et sns point double. L ire d une surfce Σ prmétrée pr une fonction f : [, 1] 2 R 3 ser l formule clssique 1 1 Aire(Σ) = f x f y dxdy si c est une surfce plongée. L mesure de Hussdorf H n ser l mesure de Lebesgue, et l restriction de H k ux sous espces ffines de dimensions k ser l mesure de Lebesgue k-dimentionnelle. Jeu de pile ou fce : Soit Ω = {, 1} N l ensemble des suites de et de 1. Il existe une unique mesure de probbilité sur les boréliens de Ω (pour l topologie produit), telle que l probbilité qu une suite commence pr une suite donnée de longeur n, soit 2 n. Ce résultt, bien qu intuitivement évident, est en fit équivlent à l existence de l mesure de Lebesgue : si on identifie un nombre à l suite de ses chiffres en bse 2, l mesure de Lebesgue s identifie à cette mesure. Mesure de Lebesgue en dimension infinie : il existe une unique mesure de probbilité µ sur les boréliens de [, 1] N (muni de s topologie produit), telle que ( + ) + µ I n = l(i n ), pour toute suite d intervlles I n [, 1]. C est l mesure de probbilité qui modélise les suites de nombres réels choisis létoirement entre et 1 de mnière uniforme et indépendnte.

14 14 CHAPITRE 1. LES MESURES

15 Chpitre 2 Intégrtion Références : Rudin, Dudley, Wgschl. I Fonctions mesurbles I.1 Définition Définition 1. Soient (X, A) et (Y, B) deux espces mesurbles. Une fonction mesurble de (X, A) dns (Y, B) est une fonction f : X Y telle que pour tout B B, f 1 (B) A. Remrque : une fonction constnte est mesurble pr rpport à n importe quelle tribu. Cette définition est similire à l notion de continuité d une fonction entre deux espces topologiques. Proposition 1. Soient (X, A) et (Y, B) deux espces mesurbles. Soit F une fmille engendrnt B. Alors une fonction f est mesurble de (X, A) dns (Y, B) ssi pour tout B F, f 1 (B) A. Démonstrtion. L fmille C = {B Y t.q. f 1 (B) A} est une σ-lgèbre contennt F. Remrque : si Y est topologique on prend pr défut comme tribu B = B(Y ). Dns ce cs il suffit donc de vérifier que l imge réciproque d un ouvert est mesurble. L pluprt du temps, Y ser [, + ] ou C. Corollire 1. Soit (X, A) un espce mesurble. Une fonction f : X [, + ] est mesurble ssi R, {f > } := {x X t.q. f(x) > } A. Définition 2. Soient X et Y deux espces topologiques. Une fonction f : X Y est dite borélienne si elle est mesurble de (X, B(X)) dns (Y, B(Y )). Exemple : les fonctions continues de X dns Y sont boréliennes. I.2 Composition Proposition 2. Soient (X, A), (Y, B) et (Z, C) trois espces mesurbles, f : X Y et g : Y Z mesurbles. Alors g f : X Z est mesurble. Démonstrtion. Évident cr (g f) 1 (C) = f 1 (g 1 (C)). 15

16 16 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Définition 3. Si f : X [, + ] on définit f + = mx(f, ) et f = mx( f, ). On f +, f, f = f + + f et f = f + f. Remrque : l différence f + f toujours un sens cr on ne peut ps voir f + = f = +. Bien noter que l prtie négtive d une fonction f est mx( f, ), et non ps min(f, ) : on bien f. Corollire 2. Soit (X, A) un espce mesurble. (1) L somme (si elle un sens) et le produit de fonctions mesurbles, à vleurs dns [, + ] ou C, sont mesurbles. (2) Si f n : X [, + ] sont mesurbles, lors sup(f n ) et inf(f n ) sont mesurbles. (3) f : X [, + ] est mesurble si et seulement si f + et f sont mesurbles. (4) f : X C est mesurble si et seulement si Re(f) et Im(f) sont mesurbles. (5) Si f : X C est mesurble, lors f est mesurble. Démonstrtion. (1) : les lois + et sont continues sur C. L loi + est bien continue sur [, + ] (là où elle est définie), et l loi est continue suf en (, ± ) et (±, ). Or, on {(x, y) [, + ] 2 t.q. xy = } = [, + ] {} {} [, + ]. Cet ensemble est fermé, donc borélien, donc l loi est borélienne, cqfd. (2) : pour tout R, {x X t.q. sup(f n ) > } = {x X t.q. f n (x) > } et inf(f n ) = sup( f n ). n (3) : découle de (1) et (2). (4) et (5) : l prtie réelle, l prtie imginire, et le module complexe, sont des fonctions continues. I.3 Pssges à l limite Théorème 1. Soit (X, A) un espce mesurble, Y un espce métrique. Soit f n : X Y une suite de fonctions mesurbles, convergent simplement vers une limite f : X Y. Alors f est mesurble. Démonstrtion. Soit U un ouvert de Y, et F son complémentire. On rppelle que l fonction distnce à un ensemble est continue (et même lipschitzienne), donc chque fonction d(f n, F ) est mesurble de (X, A) dns (Y, B(Y )). Comme U est ouvert, on f(x) U si et seulement si f n (x) U (i.e. d(f n (x), F ) > ) à prtir d un rng. Cel se trduit pr f 1 (U) = {d(f n, F ) 1/k}. k N l N n l Comme f n est mesurble, chque ensemble {d(f n, F ) 1/k} est dns A (c est l imge réciproque d un fermé pr une fonction mesurble), cqfd. Définition 4. Si u n est une suite d élements de [, + ], on définit lim sup u n := n + lim sup n + k n u k et lim inf n + u n := lim inf u k. n + k n Démonstrtion de l existence des limites. L suite v n := sup k n u k est décroissnte, donc est convergente dns [, + ]. L suite w n := inf k n u k est croissnte, donc converge dns [, + ]. Proposition 3. Soit u n une suite de [, + ].

17 I. FONCTIONS MESURABLES 17 (1) lim sup u n est l plus grnde vleur d dhérence de u n, lim inf u n l plus petite. (2) lim inf u n lim sup u n, vec églité ssi l suite converge dns [, + ]. Démonstrtion. (1) : soit l [, + ] et ϕ strictement croissnte telle que u ϕ(n) l. Comme ϕ(n) n, w n u ϕ(n) v n. Pssge à l limite : lim inf u n l lim sup u n. Il reste à montrer que lim sup u n et lim inf u n sont effectivement des v.. Soit l = lim sup u n. Si l =, on u n v n, donc u n tend vers. Si l = +, on choisit k n n t.q u kn v n 1, et u kn tend vers +. Si l R, on choisit k n n tel que v n 1/n u kn v n et on u kn l. Risonnement similire pour l limite inférieure. (2) : s il y églité, u n une seule vleur d dhérence, et comme [, + ] est compct, u n est convergente. Corollire 3. Soit (X, A) un espce mesurble, et f n : X [, + ] une suite de fonctions mesurbles. Alors lim sup f n et lim inf f n sont mesurbles. Corollire 4. Soit (X, A) un espce mesurble, et f n : X [, + ] ou C une suite de fonctions mesurbles. Si l série de fonctions f n est bien définie et converge simplement, s somme est mesurble. I.4 Exemples fondmentux Proposition 4. Soient, b R vec < b. Les fonctions suivntes sont boréliennes : (1) les fonctions continues de [, b] dns C. (2) les fonctions monotones f : [, b] [, + ]. (3) toute fonction obtenue comme somme, produit et limite simple de telles fonctions. Remrque : en prticulier les fonctions en esclier, les fonctions continues pr morceux, les fonctions monotones pr morceux, et plus générlement les fonctions réglées sont boréliennes. Démonstrtion. (1) : déjà fit. (2) : si J [, + ] est un intervlle, et f est monotone, lors f 1 (J) est un intervlle, donc un borélien. Définition 5. Soit X un espce topologique. inférieurement (sci) si pour tout α R, Une fonction f : X ], + ] est dite semi-continue {x X t.q. f(x) > α} est ouvert. Une fonction f : X [, + [ est dite semi-continue supérieurement (scs) si et seulement si pour tout α R, {x X t.q. f(x) < α} est ouvert. Remrque : ce sont donc des fonctions boréliennes. Proposition 5. Les sommes finies de fonctions sci sont sci. L borne supérieure d une fmille de fonctions sci est sci, et une série de fonctions sci positives est sci. Une fonction f est sci ssi f est scs. L indictrice d un ouvert est sci et l indictrice d un fermé est scs.

18 18 CHAPITRE 2. INTÉGRATION f(x) + g(x) t Démonstrtion. Somme : soient f, g et t R. Soit x X tel que f(x) + g(x) > t, et ε =. 2 Soit η > tel que pour tout y X t.q. d(x, y) < η, f(y) > f(x) ε et g(y) > g(x) ε. Alors f(y) + g(y) > f(x) + g(x) 2ε = t, cqfd. Borne supérieure : si (f i ) i I est une fmille de fonctions s.c.i, pour tout t R, Série : si f n sont s.c.i positives, lors {sup f i > t} = i {f i > t} = réunion d ouverts. i f n = sup n n f k. Fonctions indictrices : si U est ouvert, 1 1 U (]α, + ]) vut si α 1, U si α < 1 et X si α <. Si F est fermé, 1 1 F ([, α[) vut si α, X \ F si < α 1 et X si α > 1. II Intégrle des fonctions à vleurs dns [, + ] On fixe un espce mesuré (X, A, µ). II.1 Décomposition en série Lemme 1. Si f : X [, + ] est mesurble, il existe une suite α n R + et une suite E n A tels que f = α n 1 En. Démonstrtion. On désigne pr [ ] l prtie entière d un nombre réel. Pour tout y R +, on y = n Z [2 n+1 y] 2[2 n y] 2 n+1. C est en fit l représenttion de y en bse 2. Pour le voir, remrquer que c est une série télescopique et que [2 n y] tend vers y en + et est nul si n est loin dns les négtifs. Le nombre [2 n+1 y] 2[2 n y] est le n-ième 2 n chiffre près l virgule de y en bse 2. Il vut 1 si 2k n+1 y < 2k + 2 pour un certin k N, et sinon. L réunion de ces intervlles est un borélien E n. On donc y = n+1 E n (y) pour tout y R +. n Z Soit f : X [, + ] mesurble, et pour tout k Z, F k = {x X t.q. f(x) E k } = f 1 (E k ) A, et F = {x X t.q. f(x) = + } = f 1 ({+ }) A. Pr composition on pour tout x X, f(x) = (+ )1 F (x) k+1 E k (f(x)) = k Z k Z 1 ( ) k+1 F k (x) + 1 F (x), cqfd. Lemme 2. Soient, pour n N, n, b n deux suites de R +, et A n, B n deux suites de A. On suppose que pour tout x X, n 1 An (x) b n 1 Bn (x). Alors n µ(a n ) b n µ(b n ).

19 II. INTÉGRALE DES FONCTIONS À VALEURS DANS [, + ] 19 Démonstrtion. On procède pr degré de difficulté croissnt. si 1 A b1 B, vec, b R + et A, B A. Alors soit l fonction 1 A est nulle, i.e. = ou A =, soit elle est non nulle, i.e. > et A, et lors b et A B. Dns tous les cs on bien µ(a) bµ(b). N si n 1 An b1 B, vec N 2, n, b R + et A n, B A. O procède pr récurrence sur N. En multiplint l reltion N n 1 An b1 B respectivement pr 1 A2 \A 1, 1 A1 A 2, 1 A1 \A 2 et 1 X\(A1 A 2 ), on obtient : N n 1 An A2 \A 1 b1 B A2 \A 1, N n 1 An A1 A 2 b1 B A1 A 2, N n 1 An A1 \A 2 b1 B A1 \A 2, et N n 1 An\(A1 A 2 ) b1 B\(A1 A 2 ). Chcune de ces inéglités un ou deux termes en moins : le terme n = 1 est nul dns l première, les deux premiers termes se combinent dns l seconde, le terme n = 2 est nul dns l troisième et les termes n = 1 et n = 2 sont nuls dns l dernière. On obtient pr récurrence qutre reltions sur les mesures : N n µ(a n A 2 \ A 1 ) bµ(b A 2 \ A 1 ), N n µ(a n A 1 A 2 ) bµ(b A 1 A 2 ), N N n µ(a n A 1 \ A 2 ) bµ(b A 1 \ A 2 ), et n µ(a n \ (A 1 A 2 )) bµ(b \ (A 1 A 2 )). Comme les qutre ensembles A 1 \ A 2, A 1 A 2, A 2 \ A 1 et X \ (A 1 A 2 ) prtitionnent X, l somme de ces qutre reltions donne N n µ(a n ) bµ(b), pr dditivité de µ. si N M n 1 An b n 1 Bn vec N, M N, n, b n R + et A n, B n A, on procède pr récurrence sur M, on multiplie l reltion pr 1 B1 \B 2, 1 B1 B 2, 1 B2 \B 1 si n 1 An et 1 X\(B1 B 2 ), et on risonne comme ci-dessus. b n 1 Bn, vec n, b n R + et A n, B n A, on multiplie l reltion pr 1 XM vec X M = X \ (B 1 B M ). On obtient, pour tous N, M N, N n 1 An XM n 1 An X M b n 1 Bn X M = M b n 1 Bn XM. N M Le cs précédnt donne n µ(a n X M ) b n µ(b X M ) b n µ(b n ), pr croissnce de µ. On fit tendre M + (l suite X M est croissnte de réunion X), puis N +, et on le résultt. II.2 Définition de l intégrle

20 2 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Définition 6. Soit f : X [, + ] mesurble. Le nombre n µ(a n ) [, + ] est indépendnt de l suite n R + et A n A telles que f = de f pr rpport à l mesure µ, notée fdµ. n 1 An. C est pr définition l intégrle Remrque : cette définition est indépendnte de l décomposition de f choisie pr le lemme 2. L intégrle clssique des fonctions continues et continues pr morceux est définie de même, mis vec des indictrices d intervlles. En effet, on peut montrer qu une fonction en esclier f : [.b] R + se décompose sous l forme f = N n 1 In, vec n R + et I n [, b] intervlle, et qu une fonction f : [, b] R + continue, continue pr morceux, et plus générlement réglée, se représente sous forme d une série uniformément convergente f = n 1 In, vec n R +, I n [, b] intervlles, et c est une crctéristion des fonctions réglées (exo). En théorie de l intégrle de Lebesgue, les I n ne sont plus forcément des intervlles, et l série peut être simplement convergente. On obtient donc beucoup plus de fonctions intégrbles. II.3 Linérité et croissnce Proposition 6. Pour toutes fonctions f, g : X [, + ] mesurbles telles que f g, on Démonstrtion. C est exctement le lemme 2. Proposition 7. Pour toutes fonctions f, g : X [, + ] mesurbles, et tous α, β R +, on (αf + βg)dµ = α fdµ + β gdµ. fdµ gdµ. Démonstrtion. Soient k, b k R +, A k, B k A tels que f = représenttion possible de αf + βg est (αf + βg)dµ = α α k 1 Ak + k µ(a k ) + β βb k 1 Bk, donc b k µ(b k ) = α k 1 Ak et g = fdµ + β gdµ. b k 1 Bk. Alors une

21 II. INTÉGRALE DES FONCTIONS À VALEURS DANS [, + ] 21 Proposition 8 (Inéglité de Tchebitchev). Soit f : X [, + ] mesurble et α R +. On µ({x X t.q. f(x) α}) 1 fdµ. α Démonstrtion. Soit E = f 1 ([α, + ]) A. On α1 E f pr définition de E, puis on intègre. Définition 7. On dit qu une proriété P (x) dépendnt de x X est vrie presque prtout s il existe N A tel que µ(n) = et P (x) est vrie pour tout x / N. Proposition 9. Soit f : X [, + ] mesurble. On fdµ = si et seulement si f(x) = p.p. Démonstrtion. Supposons que fdµ =. Alors pr l inéglité de Tchebichev, les ensembles N n = {x X t.q. f(x) 1/n} sont de mesure nulle, pour tout n N. Ces ensembles forment une suite croissnte, donc leur réunion N est de mesure nulle. Pour tout x / N, on f(x) >. Réciproquement, supposons que f(x) = p.p. Soit N A tel que f(x) = pour tout x / N et µ(n) =. Soit n R + et A n A tels que f = Chque A n N est de mesure nulle, puisque inclus dns N, donc Proposition 1. Soit f : X [, + ] mesurble telle que n 1 An. On f = f1 N cr f(x) = si x / N, donc f = fdµ = n µ(a n N) =. fdµ < +. On f(x) < + p.p. n 1 An N. Remrque : réciproque fusse. Démonstrtion. Soit E = {x X t.q. f(x) = + }. Alors f n1 E pour tout n N, donc nµ(e) et en fisnt n + on trouve µ(e) =. fdµ, II.4 Théorème de convergence monotone et lemme de Ftou Théorème 2 (Théorème de convergence monotone, dit de Beppo-Levi). Soit (f n ) n 1 une suite de fonctions mesurbles positives. ( ) + (1) on f n dµ = f n dµ. (2) si f n f n+1 pour tout n, lors (2) si f n+1 f n pour tout n et si lim f n dµ = lim f 1 dµ < +, lors f n dµ. lim f n dµ = lim f n dµ. Remrque : dns (1), les deux séries écrites sont nécessirement convergentes (dns [, + ]). Dns (2) et (3), lim f n et lim f n dµ existent nécessirement, pr monotonie.

22 22 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Lemme 3. Soient f, g : X [, + ] mesurbles telles que f g. Il existe h : X [, + ] mesurble telle que g = f + h. Démonstrtion. On pose h(x) = g(x) f(x) si f(x) < + et h(x) = si f(x) = +. On bien g = f + h. Un utre écriture pour h est h = g1 E f1 E, vec E = {x X t.q. f(x) < + } = f 1 ([, + [) A. Les deux fonctions g1 E et f1 E sont donc mesurbles, et leur différence est bien définie, donc h est mesurble. Démonstrtion. (1) : pour tout n on une représenttion de f n sous l forme f n = représenttion possible de f n est f n = ( ) + f n dµ = k,n 1 Ak,n. Donc ( + ) k,n µ(a k,n ) = f n dµ. k,n 1 Ak,n. (2) : on pose g 1 = f 1, et pour tout n 2, soit g n : X [, + ] telle que f n = f n 1 + g n. Pr linérité et (1), ( ) n n ( ) + g k dµ = g n dµ et g k dµ = g k dµ. Or f n = n g k et donc lim f n = g k, cqfd. (3) : pour tout n 1, soit g n : X [, + ] mesurble telle que f n = f n+1 + g n. Une récurrence immédite n 1 donne f 1 = f n + g k et donc f 1 = lim f n + g k. Pr linérité et (1) : f 1 dµ = n 1 f n dµ + et pr pssge à l limite dns l première, L série lim f n dµ + g k dµ, g k dµ = lim f 1 dµ = lim f 1 dµ = f n dµ + f n dµ + lim f n dµ + g k dµ = g k dµ est donc finie, on peut l retrncher de chque membre, cqfd. g k dµ g k dµ. En prticulier f 1 dµ < +. Théorème 3 (Lemme de Ftou). Soit f n : X [, + ] une suite de fonctions mesurbles. On ( ) ( ) lim inf f n dµ lim inf f n dµ. n + n + Démonstrtion. Soit g n = inf k n f k et I n = inf k n f k dµ. Pour tout k n on g n f k donc g n dµ f k dµ k n donc g n dµ I n. Ensuite on psse à l limite en utilisnt le théorème de convergence monotone. Une

23 II. INTÉGRALE DES FONCTIONS À VALEURS DANS [, + ] 23 II.5 Reltion de Chsle Définition 8. Soit E A et f : X [, + ] une fonction mesurble. On définit l intégrle de f sur E pr rpport à (X, A, µ) pr fdµ := (f1 E )dµ. Théorème 4. Soit f : X [, + ] mesurble. L ppliction E fdµ est une mesure sur A. On l ppelle l mesure de densité f pr rpport à µ. Démonstrtion. Pour tout E A, soit E E ν(e) := Soit E n A, deux-à-deux disjoints, et E leur réunion. On 1 E = Le théorème de convergence donne ν(e) = E fdµ. 1 En donc f1 E = ν(e n ). f1 En. Théorème 5. Soit f : X [, + ] une fonction mesurble, et ν l mesure de densité f pr rpport à µ. Pour toute fonction g : X [, + ] mesurble, on gdν = gfdµ, (2.1) ce qui justifie l nottion dν = fdµ. Démonstrtion. On pose f = gdν = k 1 Ak et g = ( + fgdµ = l=1 b l ν(b l ) = l=1 l=1 l=1 b l 1 Bl, vec k, b l R + et A k, B l A. On k b l 1 Ak B l ) dµ = l=1 ( ) + b l k 1 Ak B l dµ = k b l µ(a k B l ) l=1 b l k µ(a k b l ). II.6 Une propriété remrquble de l intégrle Proposition 11. Soit (X, A, µ) un espce mesuré et f : X [, + ] une fonction mesurble. Alors l intégrle de f ne dépend que des vleurs de µ sur les ensembles {f > t}, vec t >. Plus précisément, fdµ = lim 2 n µ({f > k2 n }). n +

24 24 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Démonstrtion. Soit f n définie pr f n (x) = si f(x) =, et sinon f n (x) = k, où k est l unique entier tel 2n que k < 2 n f(x) k + 1. Alors f n+1 (x) = 2k 2k + 1 ou 2n+1 2. On voit donc que f n+1 n converge en croissnt vers f (simplement). Un utre écriture pour f n, utilisnt les fonctions indictrices, est Donc f n dµ = f n = Crd(N [, 2 n f(x)[ = 2 n 1 2 n f>k2 n. 2 n µ({f > k2 n }). Or pr convergence monotone, f n dµ Corollire 5. L intégrle ne dépend ps de l σ-lgèbre rendnt l fonction mesurble. fdµ, cqfd. III III.1 Fonctions sommbles Fonctions à vleurs dns R Définition 9. Soit f : X R. On dit que f est intégrble (ou sommble) si elle est mesurble et si f dµ < +. Alors f + et f ont une intégrle finie. On pose fdµ := f + dµ f dµ. L ensemble des fonctions intégrbles est noté L(X, A, µ) ou pour simplifier L(µ). Démonstrtion. f + f et f f. Théorème 6. L intégrle insi définie vérifie les propriétés suivntes : (1) l nouvelle définition de l intégrle est cohérente vec celle des fonctions positives. (2) L(X, A, µ) est un espce vectoriel et l intégrle est une forme linéire. (4) l intégrle est croissnte, et vérifie l inéglité tringulire : fdµ f dµ. Démonstrtion du théorème. (1) : cr si f, f = et f + = f. (2) : soient f, g L(X, A, µ) et h = f + g. On pour tout x X, h + (x) + f (x) + g (x) = h (x) + f + (x) + g + (x). Donc pr linérité de l intégrle des fonctions positives : h + dµ + f dµ + g dµ = h dµ + f + dµ + g + dµ, cqfd. (2.2) Si λ R + on pr linérité de l intégrle des fonctions positives, (λf) + dµ = λ(f + )dµ = λ f + dµ et (λf) dµ = λ f dµ,

25 IV. THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE DE LEBESGUE 25 donc λfdµ = λ fdµ. Enfin, ( f)dµ = ( f) + dµ ( f) dµ = f dµ f + dµ = fdµ. (4) : si f et g sont sommbles et f g lors g = (g f) + f donc gdµ = fdµ + (g f)dµ. Or g f donc (g f)dµ R +, et donc fdµ gdµ. L inéglité tringulire découle lors des reltions f f et f f. III.2 Fonctions à vleurs dns C Définition 1. Une fonction f : X C est sommble elle est mesurble et si Re(f) et Im(f) sont sommbles. On pose fdµ = Re(f)dµ + i Im(f)dµ. f dµ < +. Alors On utiliser ussi l nottion L(X, A, µ). Démonstrtion. on Re(f) f et Im(f) f. Proposition 12. L définition est cohérente, L(X, A, µ) est un C-espce vectoriel et l intégrle est C-linéire. On de plus l inéglité tringulire fdµ f dµ. Démonstrtion. Évident suf l inéglité tringulire. On choisit θ R tel que fdµ = e iθ fdµ. Alors ( ) fdµ = Re e iθ fdµ = Re(e iθ f)dµ f dµ. IV Théorème de convergence dominée de Lebesgue Théorème 7 (de convergence dominée de Lebesgue). Soient f n : X C une suite de fonctions sommbles, convergent simplement vers une fonction f : X C. On suppose qu il existe une fonction ϕ : X [, + ] telle que ϕdµ < + et f n (x) ϕ(x) x X n N. Alors (1) l fonction f et les fonctions f n sont sommbles. (2) lim f f n dµ =. n + (3) lim f n dµ existe et vut fdµ.

26 26 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Démonstrtion. On f n ϕ et f ϕ, donc pr croissnce de l intégrle, f n et f sont sommbles. Soit g n = 2ϕ f f n. C est une fonction mesurble et positive puisque f f n f + f n 2ϕ. Pr hypothèse, g n converge simplement vers 2ϕ. Le lemme de Ftou donne 2ϕdµ lim inf g n dµ. n + Or lim inf g n dµ = 2 ϕdµ lim sup f f n dµ, donc l suite f f n dµ = une limite supérieure n + n +. Comme elle est positive, c est qu elle tend vers. Pour (3) remrquer que fdµ f n dµ f f n dµ. Théorème 8 (de convergence dominée pour les séries). Soit f n : X C une suite de fonctions mesurbles, telles que f n dµ < +. Alors chque f n est sommble, l série de fonctions f n (x) converge p.p vers une fonction S : X C sommble, l série f n dµ est convergente dns C, et f n dµ = Sdµ. Démonstrtion. Soit ϕ(x) = f n (x). C est une fonction mesurble positive d intégrle finie. Elle est donc finie presque prtout, et l suite de fonctions S n (x) = f f n converge donc presque prtout. Soit N A de mesure nulle telle que S n (x) converge pour tout x / N. On note S(x) cette limite, et on pose S(x) = si x N. Pr construction, S n 1 X\N converge simplement vers S, donc S est mesurble. De plus S n ϕ pour tout n N. Le théorème de convergence dominée donne le résultt. Corollire 6 (Reltion de Chsle). Soit f : X C sommble et E n deux-à-deux disjoints. L série E n fdµ est convergente, et une suite d ensembles mesurbles ne n fdµ = E n fdµ. Remrque : on donc une ppliction σ-dditive qui n est ps positive. On ppelle cel une mesure signée. Corollire 7 (Réciproque du théorème de convergence dominée). Soient f, f n : X C mesurbles telles que f f n dµ =. Il existe une sous-suite (f nk ) k N convergent vers f presque prtout. lim n + Démonstrtion. Soit ϕ n = f g n. Soit n k telle que ϕ nk dµ 2 k. On donc théorème de convergence dominée pour les séries donne en prticulier ϕ nk p.p. ϕ nk dµ < +. Le

27 V. INTEGRALES À PARAMÈTRE 27 V Integrles à prmètre V.1 Continuité sous l intégrle Théorème 9. Soit (X, A, µ) un espce mesuré, (Y, d) un espce métrique. Soit f : X Y C une fonction telle que (1) pour tout y Y, f(, y) est mesurble. (2) pour tout x X, f(x, ) est continue, (3) il existe ϕ : X [, + ] d intégrle finie, telle que pour tout (x, y) X Y, f(x, y) ϕ(x). Alors pour tout y Y, x f(x, y) est sommble, et F (y) := f(x, y)dµ(x) est une fonction continue sur Y. X Démonstrtion. Soit y Y. On X f(x, y) dµ(x) X ϕ(x)dµ(x) < +, donc f(, y) est sommble. F est donc bien définie. Montrons qu elle est continue. Soit (y n ) n 1 une suite de Y convergent vers y. Pour tout x, f(x, y n ) converge vers f(x, y). Pr le théorème de convergence dominée, f(x, y n ) existe et vut f(x, y)dµ, cqfd. lim n + X X V.2 Dérivtion sous l intégrle Théorème 1. Soit (X, A, µ) un espce mesuré, I un intervlle ouvert de R, non vide. Soit f : X I C une fonction telle que (1) pour tout t I, f(, t) est mesurble et sommble. (2) pour tout x X, f(x, ) est dérivble sur I. (3) il existe ϕ : X [, + ] d intégrle finie, telle que pour tout (x, t) X I, t f(x, t) ϕ(x). Alors pour tout t I, t f(, t) est mesurble et sommble sur X. Soit, pour t I, F (t) := f(x, t)dµ(x). F est dérivble sur I et pour tout t I, F (t) = X t f(x, t)dµ(x). X

28 28 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Démonstrtion. On considère une suite quelconque t n I tendnt vers t, telle que t n t pour tout n N. Et on pose n (x, t) = f(x, t n) f(x, t). t n t Pr l inéglité des ccroissements finis, n (x, t) ϕ(x) pour tous (x, t) X I. De plus n converge simplement vers t f. Ceci prouve que t f est sommble. Le théorème de convergence dominée montre que F (x, t n ) F (x, t) t fdµ = lim. n + t n t Remrque : Pr l inéglité des ccroissements finis, on peut supposer dns (1) que f(, t) est sommble pour une vleur de t, cr (3) impliquer qu elle l est pour tout t I. On lisse en exercice l générlistion du théorème de dérivtion dns pour les cs où l on doit dériver plusieurs fois sous l intégrle.

29 Chpitre 3 Comment construire des mesures L méthode l plus générle pour construire des mesures est celle utilisée originellement pr Lebesgue, et qui été méliorée pr Crthéodory. On définit l mesure extérieure et intérieure d un ensemble rbitrire. Si elles sont égles, on dit que l ensemble est mesurble, et on montre que l ppliction insi définie est σ-dditive. I Mesures extérieures I.1 Applictions σ-sous-dditives Définition 1. Soit X un ensemble, A une fmille de prties de X, et µ : A [, + ] une fonction telle que µ( ) =. On dit que µ est σ-sous-dditive si pour tout A A, pour toute suite A n A (n N ), A + A n µ(a) Remrque : une ppliction σ-sous-dditive est donc croissnte. µ(a n ). Définition 2. Une mesure extérieure est une ppliction µ : P(X) [, + ] σ-sous-dditive. I.2 Mesure extérieure cnonique Proposition 1. Soit X un ensemble, A une fmille quelconque de prties de X contennt, et µ : A [, + ] une ppliction telle que µ( ) =. Pour tout E X on pose { + } µ (E) = inf A k, µ(a k ), vec A k A et E k 1 vec l convention µ (E) = + s il n existe ps de telle suite A k. Alors : (1) µ est une mesure extérieure. (2) si µ est σ-sous-dditive, lors µ prolonge µ. µ s ppelle l mesure extérieure cnonique ssociée à µ. 29

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