SEANCE 1. Séquence 9 SEQUENCE 9 ORDRE. JE REVISE LES ACQUIS DE LA 5 e 1) a < b < c b < a < c c < a < b c < b < a 4,819 4,82 4,821 4,83 3) = >
|
|
- Aurore St-Jacques
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Séquence 9 SEQUENCE 9 ORDRE Ce que tu devais faire JE REVISE LES ACQUIS DE LA 5 e a < b < c b < a < c c < a < b c < b < a 4,819 4,82 4,821 4,83 3 < = > ) 5) b est un nombre négatif b = 1,71 b < 0 SEANCE 1 Les commentaires du professeur On range les nombres a, b et c du plus petit au plus grand. Un nombre négatif est toujours plus petit que n importe quel nombre positif. Le plus petit des deux nombres négatifs est celui qui a la plus grande distance à zéro. Le plus petit des trois nombres est donc le nombre négatif qui a la plus grande distance à zéro, c est donc b. Ensuite on trouve a et enfin le nombre positif c. On voit mieux en écrivant : 4,830 < x < 4,800 N importe quel nombre à la fois plus grand que 4,83 et plus petit que 4,8 (on dit compris strictement entre 4,83 et 4,8) convient. 4,83 ne convient pas car 4,83 < 4,83 est faux. 3 1, 5 2 = et 14 1, 4 10 = On a : 1,5 > 1,4. 4) Tu as vu en 5ème que si a et b sont des nombre positifs tels que b 0 : Si a < b alors a 1 b < a Si a = b alors 1 b = a Si a > b alors 1 b > 5) b est le nombre qui, ajouté à 8,91, donne 7,2. 8,91 + ( 1,7 = 7,2 D où : b= 1,71 b = 1, Cned, Mathématiques 4 e
2 Séquence 9 6) De deux nombres positifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro. De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. De deux nombres de signes contraires, le plus petit est le négatif. 6) Tu as vu en 5ème que : De deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro ; donc le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. On dit encore le plus petit de deux négatifs est le plus éloigné de zéro ; le plus grand est le plus proche de zéro. On rappelle que zéro est plus petit que n importe quel nombre positif et plus grand que n importe quel nombre négatif. Le nombre zéro est plus petit que n importe quel nombre négatif. 7) x > 5 x < 18 x = 4 x > 3 7) Pour mieux comprendre, il peut être utile de représenter les nombres sur une droite graduée. Par exemple, si x=4,2 alors x > 4 est vrai mais x > 5 est faux. Par exemple, si x=18 alors x > 4 est vrai mais x > 19 est faux. x>4 veut dire x est strictement plus grand que 4 ce qui signifie que x ne peut être ni égal à 4 ni plus petit que 4. Si x est strictement plus grand que 4, il est donc strictement plus grand que 3. 8) x < 7 et 9 > x x < 5 et x > 2 x > 4 et x < 0 x < 2 et 2 < x 8) Pense à placer les nombres sur une droite graduée! Par exemple 6 est à la fois plus petit que 7 et plus petit que 9, n importe quel nombre plus petit que 7 convient. 5< 2 donc aucun nombre ne peut être à la fois plus petit que 5 et plus grand que 2. Par exemple 3, n importe quel nombre à la fois plus grand que 4 et plus petit que 0 convient. On dit qu un tel nombre est compris entre 4 et 0 ou encore qu il est encadré par 4 et 0. N importe quel nombre compris entre 2 et 2 convient (par exemple. EXERCICE 1 n = 27 ou n < 27 x = 18 ou x > 18 Pour exprimer que n = 27 ou n < 27 on écrira que n 27. Pour exprimer que x = 18 ou x > 18 on écrira que x 18. EXERCICE 2 5,08 > 3 donc 5,08 est l abscisse d un point de la demi-droite noire. 4,7 < 3 donc 4,7 est l abscisse d un point de la demi-droite bleue. 2,8 > 3 donc 2,8 est l abscisse d un point de la demi-droite noire. 2,8 > 3 donc 2,8 est l abscisse d un point de la demi-droite noire. 3,1 < 3 donc 3,1 est l abscisse d un point de la demi-droite bleue. 2,999 > 3 donc 2,999 est l abscisse d un point de la demi-droite noire. 3,009 < 3 donc 3,009 est l abscisse d un point de la demi-droite bleue. Cned, Mathématiques 4 e 245
3 Séquence 9 L abscisse de n importe quel point de la demi-droite bleue est plus petite ou égale à 3. L abscisse de n importe quel point de la demi-droite noire est plus grande que 3. Les commentaires du professeur : On dit que l abscisse de n importe quel point de la demi-droite bleue est plus petite ou égale à 3 car le point d abscisse 3 est bien sur cette demi-droite (le petit «trait» correspondant à 3 est représenté en bleu). EXERCICE 3 Les commentaires du professeur : On fait attention au sens du crochet! EXERCICE 4 a) l inégalité est large, le crochet est donc tourné vers la demidroite. b) l inégalité est stricte, le crochet n est donc pas tourné vers la demi-droite. c) l inégalité est large, le crochet est donc tourné vers la demidroite. d) l inégalité est stricte, le crochet n est donc pas tourné vers la demi-droite. a) x 4 b) x 0 On fait attention au sens du crochet! c) x 2,8 d) x < Cned, Mathématiques 4 e
4 Séquence 9 EXERCICE 5 Ce problème semble difficile! a) La calculatrice affiche : pour π : SEANCE 2 Sans calculatrice, le problème semble impossible à résoudre. a) La calculatrice affiche effectivement le même nombre. Il faut se méfier de la calculatrice, nous allons le voir par la suite pour : La calculatrice affiche le même nombre! b) Les nombres ne sont pas nécessairement égaux car la calculatrice a sûrement affiché des valeurs approchées de chacun des deux nombres. c) J effectue π à l aide de ma calculatrice. Elle affiche : Les nombres π et ne sont pas égaux, car sinon la calculatrice aurait affiché 0. b) Effectivement, les nombres affichés sont arrondis au 9ème chiffre après la virgule. Ce n est pas parce que la calculatrice affiche la même chose que les nombres sont égaux. c) La calculatrice nous donne un résultat important : la différence des deux nombres n est pas nulle : elle est en fait négative. Les deux nombres ne sont donc pas égaux. Remarques : Nous pouvions deviner la réponse : Nous savions déjà que le nombre π ne peut pas s écrire sous la forme d une fraction. Si c était le cas, ce nombre ne s écrirait pas π mais uniquement sous forme de fraction! Nous n avons pas répondu au problème, qui était de savoir lequel de ces deux nombres était le plus grand. Nous répondrons à ce problème à la fin de la séance. EXERCICE 6 a b a b signe de a b «a < b» ou «a > b» négatif a < b 4,2 9,7 13,9 positif a > b positif a > b négatif a < b positif a > b négatif a < b Il semble que : lorsque la différence a b est positive, on ait : a > b. lorsque la différence a b est négative, on ait : a < b. Cned, Mathématiques 4 e 247
5 Séquence 9 Ali a raison, si a > b alors a b est la distance des points A et B ayant pour abscisses respectives a et b sur une droite graduée. Une distance est toujours positive donc b a > 0. Si a < b alors la distance des deux points A d abscisse a et B d abscisse b est b a. b a est donc positif donc son opposé a b est négatif. Les commentaires du professeur : Nous avons démontré dans le que : si a > b alors a b > 0 si a < b alors a b < 0 Pour s en rappeler, il suffit de penser à la distance de deux points d abscisses a et b! EXERCICE 7 AB = 3 ( 7) = = 4 AC = 2 ( = = 5 Si M est sur [AC) alors : x 3 D où : AM = x ( = x + 3 Si M est sur [AB) alors : x 3 D où : AM = 3 x Les commentaires du professeur : Pour calculer la distance de deux points, on calcule la différence entre la pus grande abscisse et la plus petite. Les abscisses de A et B sont respectivement 3 et 7, comme 3 > 7 on a AB = 3 ( 7) Les abscisses de A et C sont respectivement 3 et 2, comme 2 > 3 on a AC = 2 ( On a vu en 5ème qu une distance est un nombre toujours positif. Tu peux vérifier sur ta figure les résultats obtenus pour AB et AC par le calcul. EXERCICE 8 Les commentaires du professeur : Prenons un exemple : x + 7 > 0 revient à écrire : x ( 7) > 0 On applique le «Je retiens» précédent : Si x ( 7) > 0 alors x > Cned, Mathématiques 4 e
6 Séquence 9 EXERCICE 9 a) Si : x 2 0 alors x 2 b) Si : x + 4 > 0 alors x > 4 c) Si : 5 5 a< alors a < d) Si : a alors a 3 e) Si : x 7,9 alors x 7,9 0 Les commentaires du professeur : On applique le «Je retiens» précédent. Prenons un exemple : x + 4 > 0 c est-à-dire : x ( 4) > 0 d où : x > 4. EXERCICE 10 a) x y = 8,9 donc : x y > 0 d où : x > y. On n oublie pas que comparer deux nombres consiste à dire lequel des deux est le plus grand ou s ils sont égaux. b) x y = 0 donc : x = y. c) x y = 10 4 donc : x y < 0 d où : x < y. d) x y = 2 3 donc : x y > 0 d où : x > y. c) 10 4 = 0,000 1 donc 10 4 < 0. d) = = donc 2 3 > 0 EXERCICE 11 a) 3,21 a la plus grande distance à zéro donc : 3,21 < 3,201 a) On pouvait également étudier le signe de la différence : 3,21 ( 3,20 = 3,21 + 3,201 = 0,009 D où : 3,21 ( 3,20 < 0 Conclusion : 3,21 < 3,201 b) = = Comme 117 < 120 on a : D où : < < b) On pouvait également étudier le signe de la différence : = = D où : > 0 soit > c) Je tape π sur une calculatrice. La calculatrice affiche 0,0076 Le résultat est négatif. On a donc : < π 4. e) On pouvait également déterminer la valeur exacte de (c est-à-dire 0,007) et une valeur approchée de π 4. On compare alors les deux nombres obtenus. Conclusion : il n est pas toujours judicieux, pour comparer deux nombres, d étudier le signe de leur différence. Dans certains cas, comme par exemple dans l exercice suivant, c est nécessaire! Cned, Mathématiques 4 e 249
7 Séquence 9 EXERCICE 12 J effectue π Elle affiche : Le résultat est négatif On a donc : π < à l aide de ma calculatrice. On retrouve ici l exercice par lequel on a commencé la séance. On a maintenant les moyens permettant de résoudre le problème! EXERCICE 13 SEANCE 3 Moyenne d Hugo = = Avec 18 au dernier devoir Hugo aura pour moyenne 13. Il a donc raison! Moyenne de Lindsay 6+ 14,5+ 8, = = 8,5 4 4 Avec 5 au dernier devoir Lindsay aura 8,5 de moyenne et non 13. Elle a donc tort! a) La moyenne du trimestre est b) si : a+ b+ c+ x = 13 4 alors : a + b + c + x = 4 13 D où : x = 4 13 (a + b + c) a+ b+ c+ x 4 La note cherchée est bien la différence du produit de 4 par 13 et de la somme des trois notes connues, la formule trouvée par Ali est exacte. c) Lindsay x = 4 13 (6 + 14,5 + 8,5) = = 23 Noémie x = 4 13 (17,5 + 18,5 + 18) = = 2 Lindsay et Noémie ont un problème car 23 et 2 ne correspondent pas à des notes sur 20. Pour calculer la moyenne de quatre notes, on ajoute les quatre notes et on divise le résultat par 4. Quand Lindsay a trouvé 5, elle s est trompée dans les priorités des calculs. Lindsay a calculé d abord 13 6 ce qui est faux car, en l absence de parenthèses, on effectue toujours en priorité les multiplications. a) b) On écrit que la moyenne vaut 13. On utilise ensuite la définition du quotient : le quotient de a + b + c + x par 4 vaut 13 donc a+ b + c + x est égal au produit de 4 par 13. Pour que l inconnue soit isolée dans le membre de gauche, on soustrait de 4 13 la somme a + b + c. c) Pour Lindsay et Noémie il ne sera pas possible d avoir pour moyenne 13. En effet les trois premières notes de Lindsay sont «trop basses» et même avec la note maximale 20, Lindsay n aurait que 12,25 de moyenne. En effet : calcul de la moyenne avec 20 : 6+ 14, 5+ 8, = = 12, Au contraire les trois premières notes de Noémie sont «trop hautes» et même avec la note minimale 0, Noémie aurait déjà 13,5 de moyenne. Pour résoudre ce problème, Ali a oublié de dire que l inconnue étant une note sur 20, elle est nécessairement comprise entre 0 et 20. En mathématique on écrit : 0 x 20 Pour résoudre certains problèmes on a souvent des contraintes sur l inconnue, contraintes qui se traduisent par des inégalités ou des encadrements. 250 Cned, Mathématiques 4 e
8 Séquence 9 EXERCICE 14 On fait très attention aux «sens» des crochets! a) L amplitude de 3 < x < 3 est 3 ( soit 6. b) L amplitude de 1 y 1 est 1 ( soit 2. 1 c) L amplitude de 0 z est 1 0 soit 0, Pour calculer l amplitude d un encadrement, que les inégalités soient strictes ou larges, on calcule la différence entre le plus grand nombre et le plus petit. d) L amplitude de 3,581 t < 3,591 est 3,591 3,581 soit 0,01. EXERCICE 15 On a bien : 3 < 0 < 3 On a bien : 1 0,5 1 On a bien : 1 0 0,05 10 On a bien : 3,581 3,586 < 3,591 Les commentaires du professeur : On pouvait bien entendu choisir d autres nombres. Cned, Mathématiques 4 e 251
9 Séquence 9 EXERCICE 16 a) 7 < x < 2 3 b) x 0 2 On fait très attention aux crochets. Si le crochet est ouvert c est l inégalité stricte ; si le crochet est fermé c est inférieur ou égal. c) 0 < x 4 d) 3 10 x < 7 EXERCICE 17 mi mouche mouche coq plume légers super légers mi moyens moyens mi lourds lourds super lourds Moins de ou plus p < p < p < p < p < p < p < p < p < p < 91 p 91 EXERCICE 18 0 < a < < b < < c 90 0 < AC < 12 En effet, dans un triangle rectangle, l un des angles est droit, les deux autres sont aigus. ABC isocèle en B donc BA = BC = 6 cm. Dans tout triangle, la longueur de chaque côté est plus petit que la somme des longueurs des deux autres donc : A C< AB + BC donc AC < 12 De plus, AC est une longueur donc : AC > Cned, Mathématiques 4 e
10 Séquence 9 EXERCICE 19 Ce matin Quentin avait 23 7 soit 16 et Manon 17, donc c est Manon qui avait le plus d argent. Après avoir reçu 4, Quentin a 20 et Manon a 21. C est toujours Manon qui a le plus d argent. EXERCICE 20 SEANCE 4 Ce matin, Manon avait 1 de plus que Quentin, comme chacun a reçu la même somme, l écart reste le même. Si m désigne la somme d argent que possédait Manon ce matin et q la somme d argent que possédait Quentin ce matin ; on a m > q et m q =1 A midi, Manon a : m + 4 et Quentin a : q + 4. L écart est alors : (m + 4) (q + 4) = m + 4 q 4 = m q = 1 L écart est le même donc on comprend que Manon a toujours plus. Nous allons étudier cette propriété dans cette séance. a b comparaison de a et b c a + c b + c comparaison de a + c et b + c 5 8 a < b a + c < b + c 4,2 9,7 a > b 3 7,2 6,7 a + c > b + c 2 6 a > b a + c > b + c 3 4 a < b a + c < b + c 10 3 a > b a + c > b + c Dans les deux colonnes de «comparaison» les inégalités sont identiques. Il semble que : si a < b alors a + c < b + c si a > b alors a + c > b + c. Les remarques du professeur : On dit encore que les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b. On va voir dans l exercice suivant que ces deux propriétés sont vraies. EXERCICE 21 Si a < b alors : a b < 0 (a + c) (b + c) = a + c b c = a b Si a < b alors : a b < 0 Comme (a + c) (b + c) = a + c b c = a b On déduit que : (a + c) (b + c) < 0 D où : a + c < b + c On pourrait démontrer de la même façon que : Si a > b alors a + c > b + c et si a > b alors a c > b c Si a b alors a + c b + c et si a b alors a c b c Si a b alors a + c b + c et si a b alors a c b c EXERCICE 22 Si a < b alors : a b < 0 (a c) (b c) = a c b + c = a b On a donc : (a c) (b c) < 0 D où : a c < b c Cned, Mathématiques 4 e 253
11 Séquence 9 EXERCICE 23 On a : a b Si on ajoute 5 aux deux membres de a b, on ne change pas l inégalité, donc : a + 5 b + 5. Si on soustrait 4,2 aux deux membres de a b, on ne change pas l inégalité, donc : a 4,2 b Si on soustrait 3 aux deux membres de a b, on ne change pas l inégalité, donc : 3 + a b 3. Si on ajoute 9 aux deux membres de a b, on ne change pas l inégalité, donc : a + 9 b + 9 c est-à-dire : b + 9 a + 9. EXERCICE 24 x est un nombre relatif tel que x > 4. a) x + 7 > donc x + 7 > 3 On a ajouté 7 aux deux membres. b) 3 + x > 3 + ( 4) donc 3 + x > 1 On a ajouté 3 aux deux membres. c) x 0,9 > 4 0,9 donc x 0,9 > 4,9 On a soustrait 0,9 aux deux membres. d) x + 4 > donc x + 4 > 0 On a ajouté 4 aux deux membres. EXERCICE 25 a) 7 > 3 donc > 3 d où : x > y 7 7 On a soustrait 2 7 aux deux membres. b) 11 < 7 donc < 7+ d où : x < y 3 3 On a ajouté 4 3 aux deux membres. c) 5 > 7 donc π 5 > π 7 d où : x > y On a ajouté π aux deux membres. EXERCICE 26 a < x < b signifie x > a et x < b x > a donc x + c > a + c x < b donc x + c < b + c On a donc : a + c < x + c < b + c a < x < b signifie x > a et x < b x > a donc x c > a c x < b donc x c < b c On a donc : a c < x c < b c On applique les propriétés : «Si a < b alors a + c < b + c» «Si a > b alors a + c > b + c» aux deux inégalités d un encadrement. On applique les propriétés : «Si a < b alors a c < b c» «Si a > b alors a c > b c» aux deux inégalités d un encadrement. 254 Cned, Mathématiques 4 e
12 Séquence 9 EXERCICE 27 a) 3,141 5<π< 3, , <π+ 1< 3, ,141 5 <π+ 1 < 4,141 6 On applique le «Je retiens» vu précédemment. b) 3,141 5<π< 3, , ,14<π 2,14< 3, ,14 1,001 5 <π 2,14 < 1,001 6 c) 3,141 5<π< 3, , ,5<π 3,5< 3, ,5 0,358 5 <π 3,5 < 0,358 4 EXERCICE 28 Hugo pèse exactement 59 kg. Si p désigne le poids du chien, on peut écrire : 68,6 < p + 59 < 68,7 En soustrayant 59, on obtient : 68,6 59 < p < 68,7 59 D où : 9,6 < p < 9,7. le poids du chien d Hugo est compris entre 9,6 kg et 9,7 kg. EXERCICE 29 SEANCE 5 3,80 < 4 donc la chambre de Lindsay est effectivement moins longue que celle de Noémie. Cependant, pour affirmer qu elle est moins grande, il faut connaître les largeurs des deux pièces et calculer leurs aires. Aire en m 2 de la chambre de Lindsay : 3,80 3 = 11,40 Aire en m 2 de la chambre de Noémie : 4 3 = 12 11,40 < 12 donc Lindsay a la plus petite chambre. On constate que les aires sont rangées dans le même ordre que les longueurs cela est dû au fait que les largeurs sont égales. On peut écrire : 3,80<4 et 3,80 3 < 4 3 La deuxième inégalité est obtenue à partir de la première en multipliant chaque membre par 3. On peut faire le rapprochement avec les propriétés vues à la séance 4 mais on va découvrir dans cette séance qu avec la multiplication il faudra être plus «prudent». Cned, Mathématiques 4 e 255
13 Séquence 9 EXERCICE 30 a b comparaison comparaison c ac bc de a et b de ac et bc 2 5 a < b 0,1 0,2 0,5 ac < bc 2 5 a > b ac > bc 3 7 a < b ac < bc 8 1 a > b ac > bc 3 6 a > b ac > bc Dans les colonnes de «comparaison» les inégalités sont identiques. Il semble que si c est un nombre positif, on a : si a < b alors ac < bc si a > b alors ac > bc. EXERCICE 31 4 m = 4 ( 5, = 20,8 4 n = 4 3 = 12 5,2 < 3 donc m < n 20,8 > 12 donc 4 m > 4n On a donc : m < n mais 4m > 4n EXERCICE 32 a b comparaison comparaison c ac bc de a et b de ac et bc 2 5 a < b 0,1 0,2 0,5 ac > bc 2 5 a > b ac < bc 3 7 a < b ac > bc 8 1 a > b ac < bc 3 6 a > b ac < bc Dans les colonnes de «comparaison» les inégalités ne sont pas identiques, elles sont «de sens contraire». Il semble maintenant que si c < 0, alors : si a < b alors ac > bc si a > b alors ac < bc. Les commentaires du professeur : On peut penser qu en multipliant les deux membres d une inégalité par un nombre positif le sens de l inégalité est conservé ; alors qu en multipliant par un négatif le sens est changé. Autrement dit, on peut penser que : Si c positif alors ac et bc sont rangés dans le même ordre que a et b. Si c négatif alors ac et bc sont rangés dans l ordre inverse de a et b. Nous allons démontrer cette propriété dans l exercice suivant. 256 Cned, Mathématiques 4 e
14 Séquence 9 EXERCICE 33 Comme a < b alors a b < 0 a b est donc négatif. Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif, comme a b est négatif et c est positif on conclut que le produit (a b) c est négatif. (a b) c = ac bc a < b donc a b est négatif donc (a b) c est négatif. or c est positif comme (a b) c = ac bc on en déduit que ac bc est négatif. D où : ac bc < 0 Donc : ac < bc. On a démontré que si : a < b et c > 0 alors ac < bc. EXERCICE 34 a < b donc a b est négatif donc (a b) c est positif. or c est négatif On n oublie pas que le produit de deux nombres négatifs est positif. comme (a b) c = ac bc on en déduit que ac bc est positif. D où : ac bc > 0 Donc : ac > bc. On a démontré que si : a < b et c < 0 alors ac > bc. EXERCICE 35 A et N sont placés dans le même ordre que les points A et N. On a : 2 < 0,5 et 3 ( < 3 0,5. AN = 0,5 ( = 0,5 + 2 = 2,5 et A N = 1,5 ( 6) = 1,5 + 6 = 7,5 Remarque : A N = 3 AN Cned, Mathématiques 4 e 257
15 Séquence 9 E et D sont placés dans l ordre inverse des points E et D. On a : 4 > 5 et 2 ( 4) < 2 ( 5). ED = 4 ( 5) = = 1 et E D = 10 8 = 2. Remarque : E D = 2 ED Les commentaires du professeur : Les points A et N restent dans le même ordre que A et N, cependant l écart est modifié. Les points A et N sont «trois fois plus éloignés» que les ponts A et N, le «trois» correspond au multiplicateur de leurs abscisses. Les points E et D sont dans l ordre inverse des points E et D, ici les points E et D sont «deux fois plus éloignés» que les points E et D, le «deux» correspond au multiplicateur sans le signe. EXERCICE 36 s t donc 4s 4t car 4 est positif. s t donc 2s 2t car 2 est négatif. s t donc 3 s 3 t car 1 3 est positif. On se souvient que : diviser par 3 revient à multiplier par 1 3. s 1 = s 3 3 t 1 et = t 3 3 s t donc 3s 3t 3 car est négatif s 3 = s 4 4 et 3t 3 = t 4 4 EXERCICE 37 On sait que a > 4 3a > 3 ( 4) donc 3a > 12 On a multiplié par 3 qui est positif. 5a < 5 ( 4) donc 5a < 20 On a multiplié par 5 qui est négatif. a 1 a 4 1 > 4 donc > car on a multiplié par qui est positif donc l ordre est conservé. a < 1 ( 4) donc a < 4 car on a multiplié par 1 qui est négatif. On n oublie pas que : a = 1 a. a désigne l opposé de a. 258 Cned, Mathématiques 4 e
16 Séquence 9 EXERCICE 38 SEANCE 6 On a 6 < 8 donc en multipliant les deux membres de l inégalité par 1, on obtient : 1 6 > 1 8 c'est-à-dire 6 > 8. On rappelle que 1 a = a qui est l opposé de a. Deux nombres opposés sont de signes contraires. 6 est l opposé de 6 et 8 est l opposé de 8. On suppose a < b, En multipliant les deux membres de l inégalité par 1, on obtient : 1 a > 1 b c'est-à-dire a > b. Deux nombres relatifs sont rangés dans l ordre inverse de leurs opposés. EXERCICE 39 Les points A ; E ; F ; I ; L ; R et T ont pour abscisses respectives 2 ; 5 ; 7,5 ; 6 ; 1 ; 7 et 3. Les points A ; E ; F ; I ; L ; R et T sont placés dans l ordre inverse des points A ; E ; F ; I ; L ; R et T. Les points A et A sont symétriques par rapport au point O. Les points E et E ; F et F ; I et I ; L et L ; R et R ; T et T sont, de la même façon, symétriques par rapport au point 0. Les commentaires du professeur : Dire que les points A et A sont symétriques par rapport à O signifie que O est le milieu de [AA ] Le point O d abscisse 0 est le milieu de [AA ] ; [EE ] ; [FF ] ; [II ] ; [LL ] ;[RR ] et [TT ]. En effet les points A et A sont à la même distance de 0 car leurs distances à zéro sont égales. Idem pour les autres points. EXERCICE 40 a < x < b signifie x > a et x < b x > a et c > 0 donc cx > ca x < b et c > 0 donc cx < cb On multiplie par c qui est positif donc l ordre est conservé. On a donc : cx > ca et cx < cb ce qui signifie que : ca < cx < cb EXERCICE 41 3,1415 < π < 3,1416 donc : 100 3,1415 < 100 π < 100 3,1416 donc : 314,15 < 100 π < 314,16 Cned, Mathématiques 4 e 259
17 Séquence 9 3,141 5 < π < 3,141 6 donc : 2 3,141 5 < 2 π < 2 3,141 6 donc : 6,283 < 2 π < 6, ,1415 < π < 3,1416 donc : 3 2 3,141 5 < 3 π 3 < 2 2 3,141 6 donc : 4, < 3 π < 4, ,141 5 < π < 3,141 6 L amplitude de cet encadrement de π est : 3, ,141 5 = 0,000 1 soit ,15 < 100 π < 314,16 L amplitude de cet encadrement est : 314,16 314,15 = 0,01 = ,283 < 2 π < 6,283 2 L amplitude de cet encadrement est : 6, ,283 = 0,000 2 = , < 3 π < 4, L amplitude de cet encadrement est : 4, , = 0, = 1, On a : 0,01= 100 0,0001 ou 10 2 = L amplitude de l encadrement de 100 π est 100 fois plus grande que celle de l encadrement de π. On a : 0,000 2 = 2 0,000 1 L amplitude de l encadrement de 2π est 2 fois plus grande que celle de l encadrement de π. On a : 0, =1,5 0,000 1 L amplitude de l encadrement de 3 π est 1,5 fois plus grande que 2 celle de l encadrement de π. On peut rapprocher ces remarques de l exercice 35. On voit sur la représentation graphique que si l on choisit un nombre entre 2 et 0,5, son «triple» sera entre 6 et 1,5. Autrement dit, si 2 < x < 0,5 alors 6 < 3x < 1,5 le premier encadrement a pour amplitude 2,5 et le deuxième 3 2,5 soit 7,5. Ces amplitudes correspondent aux distances calculées dans cet exercice. EXERCICE 42 Si x désigne la largeur en m de la chambre d Ali, on a : 2,9 < x < 3. Pour encadrer l aire, on encadre 3,9 x. Comme 2,9 < x < 3 alors 3,9 2,9 < 3,9 x < 3 3,9 D où : 11,31 < 3,9x < 11,7 La chambre de Lindsay a une aire de 11,4 m 2 et celle de Noémie 12 m 2. D après l encadrement ci-dessus, on peut dire que la chambre d Ali est plus petite que celle de Noémie. On ne peut pas comparer avec celle de Lindsay. Rangeons ces aires dans l ordre croissant : 11,31 < 11,4 < 11,7 < 12 On sait que l aire en m 2 de la chambre d Ali est au maximum égale à 11,7. Elle est donc plus petite que l aire de la chambre de Noémie. Par contre, on ne sait pas si elle est inférieure ou supérieure à 11,4 car n importe quelle valeur entre 11,31 et 11,7 est possible. Les chambres de Lindsay et Ali pourraient très bien avoir la même aire. On ne peut pas préciser davantage. 260 Cned, Mathématiques 4 e
18 Séquence 9 EXERCICE 43 SEANCE 7 a) 10 7 = Comme 10 4 > 1, on a donc : 10 7 > 10 3 b) 4 10 < car 10 = = > 1 On a donc : 10 4 < 10 6 c) = = = = < donc 10 5 < EXERCICE 44 La calculatrice affiche La troncature au millième de 54 est 2, L arrondi au millième de 54 est 2, L encadrement demandé : 2,347 < < 2,348 EXERCICE 45 On a travaillé dans cet exercice sur des exemples, mais on pourrait démontrer que de façon générale : Deux puissances de 10 sont rangées dans le même ordre que leurs exposants. Pour déterminer la troncature au millième il suffit de supprimer tous les chiffres à droite du chiffre des millièmes. Cet encadrement répond bien à la question : d une part les nombres ont trois chiffres après la virgule, d autre part son amplitude est 0,001. a) La troncature au centième de a est 41,53. Le chiffre des millièmes peut être : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. b) L encadrement demandé est : 41,53 a < 41,54 Les commentaires du professeur : Le nombre a peut être égal à sa troncature au centième donc on doit écrire dans l encadrement du côté de 41,53. Par contre, a ne peut pas être égal à 41,54 sinon sa troncature au centième ne serait pas 41,53 mais 41,54. Le nombre qui a pour abscisse a se trouve «quelque part» dans l intervalle bleu ci-dessous. Cned, Mathématiques 4 e 261
19 Séquence 9 EXERCICE 46 L arrondi au dixième d un nombre b est 6,4. L écriture avec deux chiffres après la virgule de b peut être : 6,35 ; 6,36 ; 6,37 ; 6,38 ; 6,39 ; 6,40 ; 6,41 ; 6,42 ; 6,43 ou 6,44. L encadrement demandé est : 6,35 b < 6,45 Les commentaires du professeur : b peut être égal à 6,35 mais pas à 6,45. A partir de 6,35 et jusqu à 6,44 l arrondi au dixième est 6,4. Avant 6,35 par exemple pour 6,34 l arrondi au dixième est 6,3 donc pas 6,4 et pour 6,45 l arrondi au dixième est 6,5. Le nombre qui a pour abscisse b se trouve «quelque part» dans l intervalle bleu ci-dessous. EXERCICE 47 49,432 x < 49,433 L amplitude de cet encadrement est 0,001 ou ,185 y < 601,195 L amplitude de cet encadrement est 0,01 ou ,95 z < 8,05 L amplitude de cet encadrement est 0,1 ou On dit encore que : 49,432 x < 49,433 est un encadrement au millième de x 601,185 y < 601,195 est un encadrement au centième de y 7,95 z < 8,05 est un encadrement au dixième de z. 262 Cned, Mathématiques 4 e
20 Séquence 9 EXERCICE a = ( ) = ( ) = ( ) = b = ( ) + = On a donc : a < b SEANCE 8 Il suffit d écrire plus simplement les expressions a et b pour voir que : a < b a = 4 10 = = = 4,8 10 b = 3, On a donc : a > b a = 5π 4 et b = 3π 4 5 > 3 donc 5π > 3π et 5π 4 > 3π 4 On a donc : a > b On a : 4,8 >3,15. D où le résultat. On multiplie par π qui est positif puis on soustrait 4, l ordre est conservé. 4) 2π+ 9 a = et b = π+ 9 3 a b = = 2 π π+ = ) Pour comparer a et b on calcule leur différence. or π >3 d où : 2π < 6 On a donc : 2π ( 6) < 0 Le nombre 2π +6 est négatif, donc : On a donc : a < b 2π < 0 EXERCICE 49 On sait que : 2,1 < x < 2,09 Alors : 6,3 < 3 x < 6,27 D où : 0,7 < 3x + 7 < 0,73 On sait que : 2,1 < x < 2,09 On a donc : x > 2,1 et x < 2,09 D où : 5x < 5 ( 2, et 5x > 5 ( 2,09) c'est-à-dire : 5x < 10,5 et 5x > 10,45 D où : 10,45 < 5 x < 10,5 Enfin : 13,45 < 5 x +3 < 13, 5 On multiplie chaque nombre par 3 qui est positif donc l ordre est conservé. On ajoute 7 à chaque nombre donc l ordre est conservé. On multiplie chaque nombre par 5 qui est négatif donc l ordre est inversé. Dans l encadrement 10,45 < 5x < 10,5 On remarque que : 10,45 = 5 ( 2,09) et 10,5= 5 ( 2,. Cned, Mathématiques 4 e 263
21 Séquence 9 EXERCICE 50 5x donc : 5x c'est-à-dire : 5x On a : 5x D où : x 14 7x 3 > 18 donc : 7x > c'est-à-dire : 7x > On a : ( 7 x ) < 21 ( ) 7 7 D où : x < 3 10x D où : 10x c'est-à-dire : 10x 5 D où : 0,1 ( 10x) 0,1 5 D où : x 0,5 1 On soustrait 6 puis on multiplie par qui est positif donc 5 l ordre est conservé. 1 On ajoute 3, l ordre est conservé puis on multiplie par qui est 7 négatif donc l ordre est inversé. On soustrait , l ordre est conservé puis on multiplie par 10 (ou 0, qui est négatif donc l ordre est inversé. 4) 6x 2 5 < 3 7 donc : 5 6 x 2 5 < ) On multiplie d abord par 5, ensuite on ajoute 2 et enfin on multiplie par 6 1 à chaque fois l ordre est conservé. c'est-à-dire : 6x 2 < 15 7 D où : 6x < c'est-à-dire : 6x < 29 7 D où : 1 6 6x < On a donc : x < = + = Cned, Mathématiques 4 e
22 Séquence 9 EXERCICE 51 Les points de la partie du plan à la fois hachurée en gris et en bleu ont des coordonnées (x, y) vérifiant à la fois : 1 x 3 et 2,5 y 4. Les commentaires du professeur : La partie hachurée deux fois est un rectangle dont les sommets ont pour coordonnées ( 1 ; 2,5) ; ( 1 ; 4) ;( 3 ; 4) et (3 ; 2,5). EXERCICE 52 Le chemin en pointillés noir a pour longueur : Le chemin bleu a pour longueur : a π 2 + b π 2 c π 2 Les longueurs a, b et c sont les longueurs des côtés d un triangle, or dans un triangle la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, donc : π π < c π a π b π < + D où : c ( a b) c < a + b c'est-à-dire : Conclusion : le chemin le plus court est le chemin en pointillés noirs. La longueur d un cercle est égale au produit de son diamètre par π, donc pour le demi-cercle on divise par 2. On multiplie par 2 π qui est positif donc l ordre est conservé. Cned, Mathématiques 4 e 265
23 Séquence 9 EXERCICE 53 SEANCE 9 Si x > 1 alors : x 2 > x On a multiplié par x qui est positif donc l ordre est conservé. Si x 3 alors x 2 3 x et 3 x 9 donc x 2 3 x 9 donc : x 2 9 Si x 4 alors x 2 4 x et 4 x 4 ( 4) On a multiplié d une part par x qui est négatif et d autre part par 4 qui est négatif. On a donc : x 2 4 x 16 d où : x ) Si 2 < y < 3 alors y > 2 et y < 3 donc : y 2 > 2y et 2y > 4 y 2 < 3y et 3y < 9 On a donc : y 2 > 4 et y 2 < 9 D où : 4 < y 2 < 9 Les commentaires du professeur : On a : x > 1 donc x est positif. 0n a multiplié d une part par x qui est positif et d autre part par 3 qui est positif donc l ordre est conservé. On a multiplié d une part par x qui est négatif et d autre part par 4 qui est négatif donc l ordre est inversé. 4) On a multiplié par y puis par 2 l inégalité y > 2 et par y puis par 3 l inégalité y < 3. Tous ces multiplicateurs sont positifs donc l ordre est conservé. EXERCICE 54 3 < T < 5 donc : 1,8 3 < 1,8 T < 1,8 5 soit : 5,4 < 1,8 T < 9 On a donc : 37,4 < 1,8 T + 32 < 41 La température à l intérieur d un réfrigérateur est comprise entre 37,4 F et 41 F. T 18 donc : 1,8T 1,8 ( 18) c'est-à-dire 1,8T 32,4 D où 1,8T , soit 1,8T ,4 La température maximale pour un produit surgelé est 0,4 F. 266 Cned, Mathématiques 4 e
24 Séquence 9 JE M EVALUE z 0 z 3 0 z z 0 4) 8 < > = ) B < A A B A < B 6) x > 4 x > 8 8 > x 7) 3y 12 3y 12 3y = 12 3y 12 Il ne fallait pas oublier 4 : l inégalité est encore vraie pour x = 4. L inégalité n est pas vraie pour x = 2. On soustrait 3 aux deux membres de l inégalité. On obtient alors : z D où : z 3 0. On en déduit ensuite que : ( (z 0. D où : z c est-à-dire 3 z 0. 4) Comme la différence est positive, on a donc : 8 5 > 9 6 Les deux nombres sont donc différents. 5) B = 1, = 1, Comme 1,2 < 1,3 on a : B < A. On a donc : B A. 6) On a : x > 2 6 On a donc : x > 8 Comme : x > 8 on a : x < 1 ( 8) soit : x < 8 c est-à-dire 8 > x. 7) Comme y 4, on a : 3 y 3 4 soit 3 y 12. Comme y 4, on a : 3 y 3 4 soit 3y 12 Cned, Mathématiques 4 e 267
25 Séquence 9 8) m + π < n + π m π < n π n 1 > m m < 2 3 n 9) 0,6345 x < 0,6350 0,6335 x < 0,6345 0,6344 x < 0, ) L arrondi au dixième de y est 7,3 L arrondi au centième de y est 7,32 La troncature au dixième de y est 7,3 La troncature au centième de y est 7,31 8) On peut ajouter n importe quel nombre aux deux membres d une inégalité sans en changer le sens. 9) 10) Si tu n as pas compris, reporte-toi à l exercice Cned, Mathématiques 4 e
26 Séquence SEQUENCE 10 PROPORTIONNALITE Ce que tu devais faire JE REVISE LES ACQUIS DE LA 5 e 1 m 40 2 m 2 m 40 SEANCE 1 Les commentaires du professeur Si l âge et la taille étaient proportionnels, alors en doublant l âge on devrait doubler automatiquement la taille. Ici, il est bien entendu impossible que la taille de Jules soit 2m40 : Cela signifie que les deux grandeurs (âge et taille) ne sont pas proportionnelles. oui non Dans ce cas, en doublant la distance parcourue, on doublera automatiquement la quantité de carburant utilisée. Cela signifie que les deux grandeurs sont bien proportionnelles. 2 raisonnements sont possibles : Dans la première série (nombres de la 1 ère ligne), on est passé de 5 à 10 : La valeur a doublé. Dans la 2ème série (nombres de la 2ème ligne), la valeur devrait doubler, et donc passer de 3 à 6. oui non Ou bien : Le coefficient de proportionnalité de ce tableau serait le nombre qui permet le «passage» de la 1 ère à la 2 ème ligne. C est donc le nombre qui multiplié par 5 donne 3 soit 3 5. Alors le nombre «en-dessous» de 10 devrait s obtenir par 3 l opération, 10 ce serait donc 30 c est à dire 6, et non ) 4) Le coefficient est le nombre qui multiplié par 5 donne 3 c est-àdire ) 5) Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est le nombre qui permet le «passage» de la 1 ère à la 2 ème ligne. C est donc le nombre qui multiplié par 7 donne 5 soit 5. 7 x = x = x = x = Alors le nombre «en-dessous» de 10 s obtient par l opération Autre raisonnement : Dans la première série (nombres de la 1 ère ligne), on est passé de 7 à 10 : la valeur a été multipliée par Dans la 2ème série (nombres de la 2ème ligne), la valeur x sera 10 donc obtenue par l opération 5. 7 On dira par la suite que le coefficient de proportionnalité permettant le «passage» de la 1 ère à la 2 ème ligne est le coefficient de proportionnalité du tableau. Cned, Mathématiques 4 e 269
27 270 Séquence 10 6) A et B A et D 7) D et C B et C 6) Souviens-toi du vocabulaire : Dans un repère, l axe horizontal est l axe des abscisses, l axe vertical est l axe des ordonnées. L ordonnée d un point correspond donc sur le dessin à sa «hauteur» 7) Les longueurs sur le plan sont 100 fois plus grandes que les distances réelles. Les longueurs sur le plan sont 100 fois plus petites que les distances réelles. Pour passer des distances réelles aux longueurs sur le plan, on multiplie par 100. Pour passer des distances réelles aux longueurs sur le plan, on divise par 100. Pour passer des longueurs sur le plan aux distances réelles, on multiplie par 100. Pour passer des longueurs sur le plan aux distances réelles, on divise par 100. Dire que plan est à l échelle réalité signifie que c est de la EXERCICE 1 Si je double (par exemple) la longueur de fil, alors je doublerai la masse. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. Si je multiplie par 5 (par exemple) la quantité de tomates, alors je multiplierai par 5 le prix à payer ; ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. On utilise ici la première définition de 2 grandeurs proportionnelles, en se demandant ce qui se passerait dans la vie courante. Evidemment, il faut supposer que la situation est «ordinaire» : c est-à-dire par exemple qu il n y a pas de promotion spéciale. Pour un triangle équilatéral, le périmètre s obtient en multipliant le côté par 3. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. 4) Si je multiplie par 10 (par exemple) la durée de son trajet, alors je multiplierai par 10 automatiquement la distance parcourue. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. 5) Le volume d un parallélépipède rectangle s obtient par la formule : aire de base hauteur. Le volume en cm 3 du parallélépipède rectangle est : volume = 12 hauteur le volume s obtient en multipliant la hauteur par 12. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. 6) Si les deux grandeurs étaient proportionnelles, alors en doublant la première (l âge de Safia), on devrait doubler automatiquement la seconde (sa pointure) : Elle chausserait donc du 66 à 24 ans! Ces deux grandeurs ne sont donc pas proportionnelles. On utilise ici la deuxième définition de 2 grandeurs proportionnelles 4) Ce raisonnement n est valide que si la vitesse reste constante pendant toute la durée du déplacement. 5) 6) 270 Cned, Mathématiques 4 e
28 Séquence ) Le volume d un cube s obtient par la formule : arête arête arête Pour une arête de 3 cm, on obtient : volume = soit 27 cm 3. 7) On pourrait se dire a priori (c est-à-dire sans chercher à creuser la question) qu en multipliant par 4 (par exemple) l arête d un cube, on multiplie sûrement par 4 son volume. En faisant un dessin, on voit que ce n est pas le cas : En multipliant l arête par 4, on obtient un cube d arête 12 cm. Le nouveau volume est soit cm 3. Le volume n a pas été multiplié par 4. Les deux grandeurs ne sont donc pas proportionnelles. le cube de départ on multiplie par 4 l arête Dans le nouveau cube, il y a beaucoup plus que 4 fois le volume de départ On pourrait aussi commencer à remplir un tableau avec ces deux grandeurs, et se poser la question : «Est-ce un tableau de proportionnalité?» Arête (en cm) Volume (en cm 3 ) ) Le périmètre d un disque s obtient par la formule : 2π rayon, c est à dire en multipliant le rayon toujours par le même nombre 2π. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. 8) EXERCICE 2 a) Le premier quotient est = = = = Les trois quotients sont égaux à 2, le tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient (de 3 proportionnalité) est 2 3. Les commentaires du professeur : La difficulté de l exercice consiste à prouver sans utiliser la calculatrice que les quotients sont égaux (ou ne le sont pas). Ici, on peut chercher à écrire toutes les fractions sous la forme de fractions de dénominateur 3 pour pouvoir les comparer. On y parvient et on s aperçoit que les trois fractions sont égales. On aurait également pu écrire les trois fractions sous la forme de fractions de dénominateur 12 ou 15. b) On cherche à comparer 0,3 3, 0,5 5, 0,9 1,4 et Le quatrième quotient est 1, ,9 2 0,9 1,8 = = Cned, Mathématiques 4 e 271
29 272 Séquence 10 Comme 1,4 1,8 et sont deux quotients qui ne sont pas égaux, le tableau n est pas un tableau de proportionnalité. Les commentaires du professeur : On voit assez bien que pour trois nombres de la 1 ère ligne du tableau, il suffit de multiplier par 0,1 pour obtenir le nombre qui se trouve juste en dessous. Ce n est pas le cas pour 7 car le nombre qui se trouve en dessous de lui n est pas 0,7 mais 0,9. On pouvait également procéder ainsi : Pour prouver que deux des quotients ne sont pas égaux, on compare 0,9 7 facilement les écrire à l aide du même dénominateur 14). 1,4 et un autre quotient, par exemple (car on va pouvoir 14 c) = = = ,1 10 = = Les cinq quotients ne sont pas égaux, le tableau n est pas un tableau de proportionnalité. d) = = , , = = = = = = = = Les trois quotients sont égaux à 1, le tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient de 4 proportionnalité est 1 4. Les commentaires du professeur : Une technique marche toujours (mais elle est parfois laborieuse) : elle consiste à écrire tous les quotients sous la forme de fractions irréductibles. EXERCICE 3 J étudie les rapports : 5 9 ; ; ; ; ; ; ; les cinq premiers sont égaux, mais on n obtient pas la même valeur pour les trois derniers (par exemple, une valeur approchée du premier quotient est 0,56 alors qu une valeur approchée du dernier quotient est 0,37). Attention à la phrase : «Si tous les rapports ne sont pas égaux, alors ce n est pas un tableau de proportionnalité» Elle signifie qu un seul rapport non égal aux autres suffit à répondre : «ce n est pas un tableau de proportionnalité». Le prix de la recharge et de la durée de communications ne sont pas des grandeurs proportionnelles. 272 Cned, Mathématiques 4 e
30 Séquence EXERCICE 4 SEANCE 2 Quand on a un tableau de proportionnalité, on dit généralement qu il a un coefficient de proportionnalité : le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la ligne du dessus à celle du dessous. En fait, il y en a un autre : celui qui permet de passer de la ligne du dessous à celle du dessus. 1 er tableau Le coefficient de proportionnalité est le nombre qui multiplié par 6 donne 15 soit er tableau : «Le» coefficient de proportionnalité de ce tableau est le nombre qui permet le «passage» de la 1 ère à la 2 ème ligne. x est donc le produit de 4 par D où : x= 4 6 2ème tableau Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 27 On ne demande pas de faire le calcul y= ème tableau Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 15 soit 3. 5 z= ème tableau Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est t = 72 : 9 11 EXERCICE 5 Si je multiplie par 5 (par exemple) la distance parcourue, alors je multiplierai par 5 la quantité de carburant consommée. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. Evidemment, il faut supposer que la situation est «régulière» : on roule à vitesse stabilisée, et la consommation du scooter est toujours la même. Cned, Mathématiques 4 e 273
31 274 Séquence 10 distance (en km) consommation (en L) distance (en km) consommation (en L) 75 7, ,2 0,4 4 0, ,5 112,5 56, ,5 Les commentaires du professeur : Voici, représentées par des flèches, les multiplications ou divisions que l on pouvait utiliser pour le premier tableau. Voici, représentées par des flèches, les multiplications ou divisions que l on pouvait utiliser pour le deuxième tableau. EXERCICE 6 Si je multiplie par 6 (par exemple) le nombre de personnes, alors je multiplierai par 6 les doses des ingrédients. Ces deux grandeurs sont bien proportionnelles. Le tableau serait le suivant : nombre de personnes 3 7 quantité de farine (en g) 240 x Le coefficient de proportionnalité est : x = 7 80 soit : x = 560 g = 80 La quantité de farine pour 1 personne serait 240 : 3 soit 80 g. D où pour 7 personnes : 7 80 soit 560 g. La méthode du passage par l unité (calcul de la dose pour une personne) conduit aux mêmes opérations que l utilisation du coefficient de proportionnalité! 274 Cned, Mathématiques 4 e
32 Séquence EXERCICE 7 Le tableau est le suivant : durée de la cueillette (en h) 4 x quantité cueillie (en kg) 3 7 Le coefficient de proportionnalité est 3 4. x = 7 : 3 4 = = 28 3 Comme le tiers d une heure égale 20 minutes, alors 28 tiers valent minutes soit 560 minutes, c est-à-dire 9 h 20 min. EXERCICE 8 On peut dire aussi que 28 3 = et on obtient 9 h 1 3 soit 9 h 20 min. Une route 3 fois plus longue serait représentée par un segment 3 fois plus long sur la carte. La situation est donc une situation de proportionnalité. En utilisant exactement ce raisonnement, une route de 21 km sera donc représentée par un segment de 3 17,5 cm soit 52,5 cm. Si je multiplie par 10 (par exemple) la durée de son trajet, alors je multiplierai par 10 la distance parcourue. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. J utilise par exemple un tableau de proportionnalité : durée du trajet (en min) 90 x distance parcourue (en km) Le coefficient de proportionnalité est On a : 25 x = 15 soit : x = 15 = 54 soit 54 min. 25 Attention, si on multiplie par 10 l âge de Vincent, cela ne multiplie pas par 10 l âge de son petit frère, car ils auront 8 ans d écart toute leur vie!! Ces deux grandeurs ne sont donc pas proportionnelles. Quand Vincent aura 48 ans, son petit frère aura 48 8 soit 40 ans. 4) Si on achète 9 $ avec 6,13, alors on aura 5 fois plus de Dollars avec 5 fois plus d Euros. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. J utilise par exemple un tableau de proportionnalité : montant en $ 9 20 montant en 6,13 x Le coefficient de ce tableau est 6,13 6,13. On a : x = soit : x 13,62 5) Avec une somme 6 fois plus importante, j achèterais 6 fois plus de livres : ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. Cned, Mathématiques 4 e 275
33 276 Séquence 10 Avec 35 je peux acheter 50 livres. Avec 38,5 je peux acheter 55 livres. 110 livres de poche coûtent livres coûtent 7,7. EXERCICE 9 Le coefficient d agrandissement du triangle est le nombre qui permet le «passage» de la mesure 5 cm à la mesure 8 cm. C est donc le nombre qui multiplié par 5 donne 8 soit 8 5 Remarque : Puisque AB C est un agrandissement de ABC, cela signifie que les deux triangles peuvent être dessinés dans la configuration du théorème de Thalès. Il est donc possible de tracer le nouveau triangle sans calculer les côtés manquants ; il suffit en effet de tracer ABC, de placer B tel que AB = 8 cm, et de tracer par B la parallèle à (BC). Ce coefficient d agrandissement s applique alors à tous les côtés du triangle ABC : AC devient = 48 c est-à-dire 9,6 cm. 5 BC devient 3,5 8 5 = 28 c est-à-dire 5,6 cm. 5 Il suffit maintenant de tracer un triangle correspondant à ces mesures. 276 Cned, Mathématiques 4 e
34 Séquence EXERCICE 10 SEANCE 3 a) Les rapports 7 5 et x sont égaux. 9 b) On a : 7 = x, donc d après l égalité des produits en croix : 5 x = D où : 5 x = 7 9. c) On a alors : 7 9 x =. 5 Les rapports 7 5 et 3 sont égaux donc d après l égalité des produits en croix : 7 y = 5 3 y D où : y = EXERCICE 11 1 er tableau 10 x = x = = ème tableau 8 y = 12 7 y = = 10,5 3 ème tableau 3,6 z = 4 4,5 z = 4 ème tableau 18 l = l = 5 ème tableau 0,18 u = 0,3 36 u = 4 4, ,8 10 = = = = 5 3, 6 3, 6 2 1, = = ,3 36 0, ,6 = = = 60 0,18 0, , 01 Cned, Mathématiques 4 e 277
35 278 Séquence 10 EXERCICE 12 Le tableau n est pas un tableau de proportionnalité car : 10 4 = 2,5 et 180 = 3 Ces deux quotients ne sont pas égaux. 60 masse suspendue m (en g) allongement constaté a (en mm) On obtient pour cette partie du tableau un ensemble de points alignés avec l origine. Les commentaires du professeur : On ne conserve que les colonnes pour lesquelles les rapports casedu bas sont égaux. casedu haut 278 Cned, Mathématiques 4 e
36 Séquence Sur la portion de droite tracée, on place le point P d abscisse 50 g et on lit son ordonnée : 20 mm. Dans la partie coloriée du tableau : Cette partie constitue un tableau de proportionnalité. Comme l allongement d une masse de 10 g est 4 mm et celui d une masse de 40 g est 16 cm, l allongement d une masse de 50 g (10 g + 40 g) est mm soit 20 mm. 4) Pour une masse de 21 g le graphique n a pas une précision suffisante. En revanche, on peut utiliser la partie encadrée du tableau. Le coefficient de proportionnalité est 10 4 soit 2,5. L allongement qui correspond à une masse de 21 g est donc 2,5 21 mm soit 52,5 mm. EXERCICE 13 point A point B point C point D abscisse du point ordonnée du point point E point F point G point H abscisse du point ordonnée du point point I point J point K point L abscisse du point ,5 ordonnée du point Ce n est pas un tableau de proportionnalité, car, par exemple, le rapport 3 n est pas égal au rapport Ce n est pas un tableau de proportionnalité, car, par exemple, le rapport 2 n est pas égal au rapport C est un tableau de proportionnalité, car tous les rapports sont égaux à 2. On obtient pour ce tableau (et seulement pour celui-ci) un groupe de points alignés avec l origine. Cned, Mathématiques 4 e 279
37 280 Séquence 10 EXERCICE 14 Dans le triangle OBB : A appartient à [OB) A appartient à [OB ) (AA ) est parallèle à (BB ) SEANCE 4 Je peux appliquer la propriété de Thalès dans ce triangle. La propriété de Thalès permet d écrire : OA OA' AA' = = OB OB' BB' On a donc OA' AA' xa ya = soit : = OB' BB' xb y. B On peut alors écrire l égalité des produits en croix : x A y B = x B y A Cette égalité permet d affirmer que le tableau est bien un tableau de proportionnalité. L égalité des produits en croix a été vue dans la séquence 1 séance2 La propriété utilisée ici est celle du cadre «Je retiens» de la séance 3. EXERCICE 15 Je cherche une représentation graphique qui soit un ensemble de points alignés avec l origine du repère. Seuls le cas 1 et le cas 4 conviennent. Les points du graphique 2 ne sont pas alignés. Les points du graphique 3 sont bien alignés, mais ne sont pas alignés avec l origine du repère. EXERCICE 16 La représentation graphique est un ensemble de points alignés avec l origine du repère. On peut donc affirmer que les deux grandeurs sont proportionnelles. La propriété utilisée ici est celle du cadre «Je retiens» vu précédemment. Dans ce cas, le tableau obtenu sera un tableau de proportionnalité. Le voici : durée (en min) quantité d eau (en L) 3 4, Cned, Mathématiques 4 e
Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailDiviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000
Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailPetit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailMathématiques et petites voitures
Mathématiques et petites voitures Thomas Lefebvre 10 avril 2015 Résumé Ce document présente diérentes applications des mathématiques dans le domaine du slot-racing. Table des matières 1 Périmètre et circuit
Plus en détailSommaire de la séquence 8
Sommaire de la séquence 8 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon départ.......................................................................................
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailEVALUATIONS MI-PARCOURS CM2
Les enseignants de CM2 de la circonscription de METZ-SUD proposent EVALUATIONS MI-PARCOURS CM2 Mathématiques Livret enseignant NOMBRES ET CALCUL Circonscription de METZ-SUD Page 1 Séquence 1 : Exercice
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailLe seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détail- affichage digital - aiguille
. Lire l heure On peut lire l heure sur une horloge, un réveil, une montre à : - affichage digital - aiguille A) La lecture sur un système digital est très simple, il suffit de lire les nombres écrits
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailLE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Plus en détail1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..
1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailSÉQUENCE 4 Séance 1. Séquence. Je revise les acquis de l école 1) c) 2) a) 3) d) 4) c) Exercice 1
c Séquence 4 Ce que tu devais faire Je revise les acquis de l école 1) c) 2) a) 3) d) 4) c) Exercice 1 SÉQUENCE 4 Séance 1 Les commentaires du professeur 1) Pour calculer combien Paul dépense, on effectue
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailPARTIE NUMERIQUE (18 points)
4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème
Plus en détailEXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES)
EXAMEN : CAP ADAL SESSION 20 N du sujet : 02. FOLIO : /6 Rédiger les réponses sur ce document qui sera intégralement remis à la fin de l épreuve. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice : (7
Plus en détailNotion de fonction. Série 1 : Tableaux de données. Série 2 : Graphiques. Série 3 : Formules. Série 4 : Synthèse
N7 Notion de fonction Série : Tableaux de données Série 2 : Graphiques Série 3 : Formules Série 4 : Synthèse 57 SÉRIE : TABLEAUX DE DONNÉES Le cours avec les aides animées Q. Si f désigne une fonction,
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailEVALUATIONS FIN CM1. Mathématiques. Livret élève
Les enseignants de CM1 de la circonscription de METZ-SUD proposent EVALUATIONS FIN CM1 Mathématiques Livret élève Circonscription de METZ-SUD page 1 NOMBRES ET CALCUL Exercice 1 : Écris en chiffres les
Plus en détailSOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... LES MESURES
SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... LES MESURES MES 1 Les mesures de longueurs MES 2 Lecture de l heure MES 3 Les mesures de masse MES 4 Comparer des longueurs, périmètres.
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détailDécouverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS
Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Mémento Ouvrir TI-Nspire CAS. Voici la barre d outils : L insertion d une page, d une activité, d une page où l application est choisie, pourra
Plus en détailLivret de formules. Calcul Professionnel Boulangère-Pâtissière-Confiseuse AFP Boulanger-Pâtissier-Confiseur AFP
Version 2: 13.11.2014 Livret de formules Calcul Professionnel Boulangère-Pâtissière-Confiseuse AFP Boulanger-Pâtissier-Confiseur AFP Economie d entreprise Boulangère-Pâtissière-Confiseuse CFC Boulanger-Pâtissier-Confiseur
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailTrois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur
29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailLecture graphique. Table des matières
Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................
Plus en détailPlus petit, plus grand, ranger et comparer
Unité 11 Plus petit, plus grand, ranger et comparer Combien y a-t-il de boules sur la tige A? Sur la tige B? A B Le nombre de boules sur la tige A est plus grand que sur la tige B. On écrit : > 2 On lit
Plus en détailProblèmes de dénombrement.
Problèmes de dénombrement. 1. On se déplace dans le tableau suivant, pour aller de la case D (départ) à la case (arrivée). Les déplacements utilisés sont exclusivement les suivants : ller d une case vers
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailLa question est : dans 450 combien de fois 23. L opération est donc la division. Le diviseur. Le quotient
par un nombre entier I La division euclidienne : le quotient est entier Faire l activité division. Exemple Sur une étagère de 4mm de large, combien peut on ranger de livres de mm d épaisseur? La question
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailÉVALUATION EN FIN DE CM1. Année scolaire 2014 2015 LIVRET DE L'ÉLÈVE MATHÉMATIQUES
ÉVALUATION EN FIN DE CM1 Année scolaire 2014 2015 LIVRET DE L'ÉLÈVE MATHÉMATIQUES NOM :....... Prénom :....... Né le :./../ École :............ Classe : Domaine Score de réussite NOMBRES ET CALCUL GÉOMÉTRIE
Plus en détailVision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007
Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................
Plus en détailNombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN
Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Table des matières. Introduction....3 Mesures et incertitudes en sciences physiques
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailL analyse boursière avec Scilab
L analyse boursière avec Scilab Introduction La Bourse est le marché sur lequel se traitent les valeurs mobilières. Afin de protéger leurs investissements et optimiser leurs résultats, les investisseurs
Plus en détailSommaire de la séquence 12
Sommaire de la séquence 12 Séance 1................................................................................................... 367 Je redécouvre le parallélépipède rectangle..........................................................
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détailPrénom : MATHÉMATIQUES. 120 minutes Compas, règle métrique, rapporteur, équerre, calculatrice non programmable
Admission en 8 VSG 8 VSB cocher la voie visée MATHÉMATIQUES Durée Matériel à disposition 120 minutes Compas, règle métrique, rapporteur, équerre, calculatrice non programmable Rappel des objectifs fondamentaux
Plus en détailLes Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.
Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles
Plus en détailLes probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances
Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailIndications pour une progression au CM1 et au CM2
Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Objectif 1 Construire et utiliser de nouveaux nombres, plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues. Introduction : Découvrir
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailCercle trigonométrique et mesures d angles
Cercle trigonométrique et mesures d angles I) Le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique de centre O est un cercle qui a pour rayon 1 et qui est muni d un sens direct : le sens inverse
Plus en détail«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.
«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailCorrection du bac blanc CFE Mercatique
Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Plus en détailCours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année
Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailStatistique : Résumé de cours et méthodes
Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère
Plus en détailSommaire de la séquence 10
Sommaire de la séquence 10 Séance 1................................................................................................... 305 Je calcule la longueur d un cercle.......................................................................
Plus en détailProblèmes sur le chapitre 5
Problèmes sur le chapitre 5 (Version du 13 janvier 2015 (10h38)) 501 Le calcul des réactions d appui dans les problèmes schématisés ci-dessous est-il possible par les équations de la statique Si oui, écrire
Plus en détailLa C.A.O (Conception Assistée par Ordinateur). Le logiciel de C.A.O.
CAO1 La C.A.O (Conception Assistée par Ordinateur). Aujourd'hui, lorsque des ingénieurs décident de concevoir un nouveau produit, ils n'utilisent plus de stylo. Les plans sont réalisés sur ordinateur.
Plus en détailEté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
Plus en détailEXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG
Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détailConstruction de la bissectrice d un angle
onstruction de la bissectrice d un angle 1. Trace un angle. 1. 2. Trace un angle cercle. de centre (le sommet de l angle) et de rayon quelconque. 1. 2. 3. Trace Le cercle un angle cercle coupe. de la demi-droite
Plus en détailSommaire de la séquence 10
Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détailUFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES
Université Paris 13 Cours de Statistiques et Econométrie I UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 Licence de Sciences Economiques L3 Premier semestre TESTS PARAMÉTRIQUES Remarque: les exercices 2,
Plus en détailLA PUISSANCE DES MOTEURS. Avez-vous déjà feuilleté le catalogue d un grand constructeur automobile?
LA PUISSANCE DES MOTEURS Avez-vous déjà feuilleté le catalogue d un grand constructeur automobile? Chaque modèle y est décliné en plusieurs versions, les différences portant essentiellement sur la puissance
Plus en détailpoint On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets».
Déplacer un objet Cliquer sur le bouton «Déplacer». On peut ainsi rendre la figure dynamique. Attraper l objet à déplacer avec la souris. Ici, on veut déplacer le point A du triangle point ABC. A du triangle
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailProposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailLes problèmes de la finale du 21éme RMT
21 e RMT Finale mai - juin 2013 armt2013 1 Les problèmes de la finale du 21éme RMT Titre Catégorie Ar Alg Geo Lo/Co Origine 1. La boucle (I) 3 4 x x rc 2. Les verres 3 4 x RZ 3. Les autocollants 3 4 x
Plus en détailMesures et incertitudes
En physique et en chimie, toute grandeur, mesurée ou calculée, est entachée d erreur, ce qui ne l empêche pas d être exploitée pour prendre des décisions. Aujourd hui, la notion d erreur a son vocabulaire
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailEXCEL TUTORIEL 2012/2013
EXCEL TUTORIEL 2012/2013 Excel est un tableur, c est-à-dire un logiciel de gestion de tableaux. Il permet de réaliser des calculs avec des valeurs numériques, mais aussi avec des dates et des textes. Ainsi
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détail