a) Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous la forme de fractions irréductibles : C = 7 36 R = 36 4 (2 5)²

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1 ème Fiches Révisions revet lanc 1/8 Puissances, Fractions : Effectuer les calculs suivants (donner l écriture scientifique de et écrire sous forme d un entier ou d une fraction). 1 = 15 x 10- x (10 ) 4 x x 10 5 = = 6.0 x 10-6 = a) Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous la forme de fractions irréductibles : 5 = = = b) En électricité, pour calculer des valeurs de résistances, on utilise la formule : 1 R = 1 R R Sachant que R 1 = 9 Ohms et R = 1 Ohms, détermine la valeur de R. = = 15 = ( 5)² = R = On donne : = ( -4 + x 7 ) : 14 alculer les nombres et. Ecrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles. = - 44 = Racines carrées : En indiquant les calculs intermédiaires, écrire sous la forme d'un nombre entier et sous la forme a (avec a entier). =( 1)( +1) = = ( 1)( + 1) = = + 1 = 6 1 = 5 = = = = = = 0 1) Ecrire = sous la forme a b, où a est un entier relatif et b un entier naturel. ) Soient a = 5 + et b = 5 alculer a, b et ab. 1) = = x 4 x x 5 x + 9 x = x x x 5 x + x = = - ) a = ( 5 + )² a = 4x5 + x 5 x + 9 a = b = ( 5 - )² b = 4x5 - x 5 x + 9 b = ab = ( 5 + ) x ( 5 ) ab = ( 5 )² - ² ab = 4x5 9 ab = 0 9 = 11 On donne = 4 et = + 4 alculer les valeurs exactes de +, -, et x. + = ( - 4 )+ ( + 4 ) + = = = 6 x = ( - 4 ) x ( + 4 ) x = ( ) - (4) x = x = Fiches révisions ollège J. JURES. El Othmani P

2 ème Fiches Révisions revet lanc /8 - = ( - 4 )- ( + 4 ) - = = = - 8 = ( - 4 ) = ( ) - x x 4 + (4) = = = On donne : = et D = 5 0 x 45 x 5 alculer les nombres et D en donnant les résultats sous la forme a b où a et b sont des entiers et b est le plus petit possible. - alculer E sachant que E = = = 5x 4 x x 5 = 5x x 5 + x 5 = = 1 5 D = 5 0 x 45 x 5 D = 10 5 x 5 x 5 D = 0 5 x 5 x 5 D = 0 x 5 x 5 D = Écrire les nombres et D sous la forme a + b 10 où a et b sont des entiers: = ( 5 ) ² et D = = 7 10 D= Identités remarquables et Equations produit : On considère l'expression suivante : = ( x ) + ( x ) ( x + 1 ) 1. Développer et réduire.. Factoriser.. Résoudre l'équation : ( x ) ( 4x 1 ) = alculer pour x = 1. = 4x 9 x +. = (x ) (4x 1) 1. x = ou x = E = (4-5) E = 4² - x4x E = E = = 7, 5 Soit E = ( x - )² Développer et réduire E.. Factoriser E.. alculer E pour x = Résoudre l'équation ( x + 1 ) ( x - 7 ) = 0 1. E = 4x ² 1x 7. E = (x + 1) (x 7). E = x = - 1 ou x = 7 1. Développer et réduire l'expression : P = (x + 1) (x + ). Factoriser l expression : Q = (x + 7) - 5. est un triangle rectangle en ; x désigne un nombre positif ; = x + 7 et =5. Faire un schéma et montrer que : = x + 14x P = x + 14x Q = (x + 1)(x + ) donc Q = P.. est un triangle rectangle en. D'après le théorème de Pythagore alors : = + (x + 7) = 5 + = (x + 7) 5 = Q donc P = = x + 14x + 4. On considère l expression = (x ) (x ) (x ). 1. Développer et réduire.. Factoriser.. Résoudre l équation = alculer pour x =. Fiches révisions ollège J. JURES. El Othmani P

3 ème Fiches Révisions revet lanc /8 1. = x 5x +. = (x ) (x 1). x = ou x =1 4. = 1 Soit D = (4x ) ( x + ) 1) Développer, réduire et ordonner D. ) Factoriser D. ) Résoudre l équation : (5x 1) (x 5) = D = 15x² -8x +5. D = (5x 1) (x 5). x = 1 5 = 0, ou x = 5 On considère l'expression E = 9x² 5 + (x+5)(x ) 1. Développer et réduire E.. Factoriser 9x² 5, puis factoriser E.. Résoudre l'équation (x + 5)(4x 7)=0. 1. E = 1x² - x x² - 5 = (x) - (5) E = (x + 5) (4x - 7). x = - 5 ou x = 7 4 Statistiques et Pourcentages : Un antiquaire souhaite vendre une armoire au prix initial de 80 euros (80 ) 1. Ne parvenant pas à la vendre, il décide d'accorder une remise de 0 % sur son prix initial. alculer le nouveau prix de l'armoire.. La vente ne se faisant pas, il décide d'accorder une remise de 114 sur le prix initial de 80. alculer le pourcentage de la réduction faite sur le prix initial. 1. Le nouveau prix de l'armoire est 04.. Le pourcentage de la réduction faite sur le prix initial est de 0 %. Voici le diagramme représentant la répartition des notes obtenues par les élèves d une classe de troisième lors d un contrôle de français : les notes sur 0 sont reportées en abscisses, le nombre d élèves est reporté en ordonnées : 1. Quel est l effectif de cette classe de troisième?. alculer la moyenne des notes obtenues en donnant le résultat sous sa forme décimale exacte 1. L'effectif est 5 élèves.. La moyenne est donc de 10, Une usine teste des ampoules électriques, sur un échantillon, en étudiant leur durée de vie en heures. Voici les résultats : d : durée de vie en heures nombre d ampoules 1000 d < d < d < d < d < Quel est le pourcentage d ampoules qui ont une durée de vie de moins de 1400 h?. alculer la durée de vie moyenne d une ampoule. Fiches révisions ollège J. JURES. El Othmani P

4 ème Fiches Révisions revet lanc 4/ ampoules ont été testées. 010 ampoules ont une durée de vie inférieure à 1400 heures.,5% des ampoules testées ont une durée de vie inférieure à 1400 h.. La durée de vie moyenne est heures. Le groupe des onze latinistes de la ème du collège a obtenu les notes suivantes à un devoir : 7 ; 9 ; 9,5 ; 9,5 ; 10 ; 10 ; 1 ; 14 ; 16 ; 16 ; 19 1) alculer la moyenne du groupe. ) Déterminer la médiane de cette série. 1) La moyenne des onze notes est environ 1 ) La médiane de cette série est 10. ette note partage la série en deux groupes de même effectif. Dans une entreprise, les salaires ont été augmentés de 1,5% le 1er janvier ) En décembre 1998, le salaire de Monsieur Martin était de alculer son salaire en janvier ) On désigne par x le salaire d'un employé en décembre 1998 et par y son salaire en janvier Exprimer y en fonction de x. Donner le résultat sous la forme y = a x, a étant le nombre décimal. ) En janvier 1999, le salaire de Monsieur Durand est de 74.86F. Quel était son salaire en décembre 1998? 1) Le salaire de Monsieur Martin en janvier 1999 est environ ) y = 1,015x ) Le salaire de Monsieur Durand en décembre 1998 était de 74 Exemples d utilisation du Théorème de Pythagore : On connaît côtés du triangle rectangle, il permet de calculer la longueur du troisième côté. L 9? 1 i) Le triangle LI est rectangle en. ii) Son hypoténuse est [IL]. iii) L énoncé de Pythagore permet d écrire : IL² = I² + L² iv) D après les données, on a: I = 1 et L = 9 donc IL² = = 5 donc IL = 15 cm I, P M? 6,5 i) Le triangle MNP est rectangle en P. ii) Son hypoténuse est [MN]. iii) L énoncé de Pythagore permet d écrire : MN² = MP² + PN² iv) D après les données, on a: MN = 6,5 et MP =, donc 6,5² =,² + PN² 4,5= 10,89 + PN² on a PN² = 4,5-10,89 = 1,6 donc PN = 5,6 cm N Exemples rédigés : Les triangles suivants sont-ils rectangles? 4,8 5,5 7, i) [] est le plus grand côté. ii) On calcule =7,² = 5,9. On calcule + = 4,8²+5,5² = 5,9 iii) On compare : on a l égalité ² = ²+² d après la réciproque de l énoncé de Pythagore, le triangle est rectangle en. R 4 6 S 7 i) [ST] est le plus grand côté. ii) On calcule ST =7² = 49. On calcule RS +RT = 4²+6² = 5 iii) On compare : on a ST² RS²+RT² donc d après la contraposée du théorème de Pythagore le triangle RST n est pas rectangle. T Fiches révisions ollège J. JURES. El Othmani P

5 ème Fiches Révisions revet lanc 5/8 Le théorème de Thalès Sur cette figure, on a les longueurs suivantes : O = 7,5 cm O = 4 cm O = cm OD = 1,6 cm 1. Montrer que les droites (D) et () sont parallèles.. Sachant que D = 5 cm, calculer. O 1. Donc O O = O D. lors d'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut affirmer que les droites (D) et () sont parallèles. OD. Les droites (D) et () sont sécantes en O et les droites (D) et () sont parallèles. lors, d'après le théorème de Thalès, on a O O = O OD = =,5 Donc = 1.5cm D On considère la figure ci-contre. ette figure n est pas en vraie grandeur et n est pas à reproduire. Elle est fournie pour préciser la position des points. L unité est le centimètre. 1. Le triangle est rectangle en. = 5 et = 1 Démontrer que = 1.. Les points,, M sont alignés. Les points,, N sont alignés. M =,4 et N =,6 Démontrer que les droites () et (MN) sont parallèles.. alculer la longueur MN. 4. Préciser la nature du triangle MN ; justifier la réponse sans effectuer de calcul. N M 1. Dans le triangle rectangle en, le théorème de Pythagore donne : = 1.. M = d après le réciproque de la propriété de Thalès, les droites () et (MN) sont parallèles. N. d après la propriété de Thalès : MN = M =.. MN = 1. N 4. (M) est perpendiculaire à la droite (). omme la droite () est parallèle à la droite (MN), la droite (M) est aussi perpendiculaire à la droite (MN). Donc le triangle MN est rectangle en M. L unité est le centimètre. On considère un triangle. Soit E un point du segment [] ; la parallèle à la droite () passant par E coupe le segment [] au point D. On donne E = = et E = D =. 1. Montrer que ED = 1,8.. Sur la demi droite [DE), on place, comme indiqué sur la figure ci contre, le point F tel que DF =. Les droites (D) et (F) sont elles parallèles? 1. d après Thalès : E = ED donc ED = 1,8. E E = EF ED = d après la réciproque de Thalès, les droites (D) et (F) sont parallèles. Fiches révisions ollège J. JURES. El Othmani P

6 ème Fiches Révisions revet lanc 6/8 La Trigonométrie On considère la figure ci dessous où les longueurs sont données en cm : Les droites (F) et (G) se coupent en E ; Les points, G et F sont alignés ; Les droites () et (F) sont parallèles ; E = 7 ; EG = 8 ; E = 6 ; E = 90 ; G = 0. Pour chaque question suivantes, donner la valeur exacte puis arrondie à 0,1 près. 1. alculer la longueur.. alculer le longueur EF.. alculer la longueur G. 1. d après le théorème de Pythagore : = 1. d après le théorème de Thalès : EF E = EG. EF = 8 E. tan G = G G 5,1 G La figure ci-contre n'est pas à refaire sur la copie. Elle n'est pas donnée en vraie grandeur. Le rayon du cercle () de centre O est égal à cm. [ ] est un diamètre de ce cercle. Les points et D appartiennent au cercle et la droite (D) est la médiatrice du rayon [ O ]. La droite (O) coupe en T la tangente au cercle () au point. 1) Montrer que (M) et (T) sont parallèles. ) alculer, en utilisant la propriété de Thalès, la longueur OT. )a) Démontrer que le triangle O est équilatéral. b) En déduire une mesure ( en degrés ) de l'angle MO puis une mesure ( en degrés ) de l'angle DOT. 1) ( D ) est perpendiculaire à ( ) et ( T ) est aussi perpendiculaire à ( ) donc (M) et (T) sont parallèles. OT ) La propriété de Thalès permet d'écrire : O = O OM OT = 6 ) a) = O. O = O, Donc le triangle O est équilatéral. b) [ M ) est la bissectrice intérieure de l'angle O et donc MO = 0. DOT est un angle au centre et DT est un angle inscrit associé. donc DOT = 60. Dans cet exercice, toutes les longueurs données sont en centimètres. 1. Placer trois points M,, F alignés dans cet ordre tels que M = 9 et F = 6. onstruire le cercle de diamètre [ F ]. On note O son centre. Sur ce cercle, placer un point tel que = 5. Tracer la parallèle à ( F ) passant par M ; elle coupe la droite ( ) en N.. alculer N..a) Quelle est la nature du triangle F? Justifier la réponse. b) alculer la mesure de l'angle F ( on donnera la valeur arrondie au degré près ). 4. Déterminer la mesure de l'angle O. D'après la propriété de Thalès on a : N = M F N = 7, 5 cm.a) Le triangle F est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [F]. b) sin F = F = 5 F La mesure de l'angle O = 11 Fiches révisions ollège J. JURES. El Othmani P

7 ème Fiches Révisions revet lanc 7/8 Exercice : revet Juin 005 : Martinique 1. Trace un cercle de centre O et de diamètre = 11 cm. Soit un point de ce cercle tel que = 6,6 cm.. Montre que est un triangle rectangle en.. alcule la distance. 4. Détermine la mesure arrondie au degré près de l angle. orrigé :. On sait que : le triangle est inscrit dans un demi-cercle de diamètre []. D après la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. Donc le triangle est rectangle en.. alcul de Dans le triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, on a : 11 6,6 6,6 cm ,56 4,56 77,44 O 11 cm 8,79 onclusion : 8,8 cm 4. alcul de la mesure de l angle Dans le triangle rectangle en, on a : 6,6 sin soit sin 11 d où 6,86 onclusion : 7 Les volumes S SD est une pyramide. Sa hauteur [SH] mesure 9 cm et l aire de sa base est 0,5 cm 1. alculer le volume de cette pyramide.. En réalisant une section plane parallèle à la base de la pyramide, on obtient une pyramide SMNKL. De plus, on sait que SM = S. alculer le volume de la pyramide SMNKL. ire de la base 1. V pyramide = hauteur = 0.5x9 = cm. La pyramide SMNKL est une réduction de la pyramide SD. Le coefficient de réduction est. V petite pyramide = 60,75 x 8 = x = 18 cm 7 M D L H N K Un cône de révolution a pour sommet le point S. Sa base est un disque de centre O et de rayon 4 cm. Sa hauteur [SO] est telle que SO =,8 cm. a. Déterminer l arrondi au degré de l angle OS. b. Déterminer le volume de ce cône et donner son arrondi au cm. S O Fiches révisions ollège J. JURES. El Othmani P

8 ème Fiches Révisions revet lanc 8/8 a. Dans le triangle OS rectangle en O, tan OS= O OS = 4.8 b. V DG = 1 4,8 47 cm. La partie supérieure d'un verre a la forme d'un cône de 6 cm de diamètre de base et hauteur S = 9cm. 1) Montrer que le volume du cône est 7 cm. ) On verse un liquide dans ce verre (comme indiqué ci-contre), le liquide arrive à la hauteur du point H. a) On suppose que HS = 4,5 cm. La surface du liquide est un disque. alculer le rayon H de ce disque (on justifiera les calculs). b) Exprimer en fonction de le volume correspondant du liquide en cm. c) On pose maintenant HS = x (en centimètres). OS 55. H Montrer que le rayon H de la surface du liquide est égal à : x. S x d) Montrer alors par le calcul que le volume, V, de liquide est donné par la formule : V = 7 cm. e) En utilisant la formule précédente, calculer le volume de liquide lorsque : HS = cm puis lorsque HS = 6 cm. Dans une boîte cubique dont l'arête mesure 7 cm, on place une boule de 7 cm de diamètre Le volume de la boule correspond à un certain pourcentage du volume de la boîte. On appelle ce pourcentage "taux de remplissage de la boîte. alculer le taux de remplissage de la boîte. rrondir ce pourcentage à l'entier le plus proche. V boîte = 7 cm = 4 cm V boule = 4, cm Le taux de remplissage est : V boule 100 = ,6 Le taux de remplissage est environ 5 %. V boîte 4 Résumé sur les formules d IRES et VOLUMES Volume d'un cube : (arête a ) V = a a a = a Volume d'un pavé droit : (Longueur L, largeur l, hauteur h ) V = L l h Volume d'un prisme droit : (ire de la base, hauteur h ) V = h Volume d'un cylindre de révolution : (Rayon R, hauteur h) V = h = R h ire latérale d'un cylindre de révolution : (Rayon R, hauteur h) = p h = R h ire totale extérieure d'un cylindre : (Rayon R, hauteur h) = R + R h Volume d'une pyramide : (ire de la base, hauteur h ) V = h Volume d'un cône de révolution : (Rayon R, hauteur h) V = h ire de la sphère (Rayon R) = 4 R = R h Volume de la boule : (Rayon R) V = 4 R Fiches révisions ollège J. JURES. El Othmani P

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