Examen Final Corrigé rédigé par Paul Brunet et Laure Gonnord

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1 Mster Info MIF15 Complexité et Clculbilité Exmen Finl Corrigé rédigé pr Pul Brunet et Lure Gonnord Durée 1H30 Notes de cours et de TD utorisées. Livres et ppreils électroniques interdits. Le brème est donné à titre indictif. 1 Mchines de Turing Soit M = (K, Σ, Γ, δ, q 0, F ) l mchine de Turing d étt initil q 0, vec ccepttion pr étt finl (unique étt cceptnt q 6 ), d lphbet Σ = {, b}, d lphbet de rubn Γ = {, b, X, Y, #}, vec l fonction de trnsition δ schémtisée pr le dessin ci-dessous : #/#D Y/Y D q 0 q 1 q 5 Y/Y D /XD #/#S /D Y/Y D q 2 X/XD q 6 b/y D q 3 q /G 4 b/y G Y/Y G Question 1 (1 point) Le mot 2 b 4 est-il ccepté pr M? Donner les configurtions successives. Prtnt de l configurtion initile (#bbbb#, q0), on obtient sns ucun problème que ce mot est reconnu. Question 2 (1 point) Sns donner les configurtions successives, dire si les mots 2 b 3 et 2 b 5 sont cceptés pr M. Aucun de ces deux mots n est ccepté, le premier mot bloque l mchine en q 3, le deuxième dns l étt q 1. MIF15 Complexité et Clculbilité, Mster Info /8

2 Question 3 (2 points) Quel lngge est reconnu pr cette mchine de Turing? On justifier proprement pr double inclusion. Le lngge est L = { n b 2n n 1}. Il est clir qu un mot de L est ccepté pr l mchine de Turing (exhiber une dérivtion qui rélise n fois le cycle (q 1, q 2, q 3, q 4, q 1 )). Dns l utre sens, un chemin cceptnt de l mchine de Turing forcément pris n > 1 fois le cycle (q 1, q 2, q 3, q 4, q 1 ), et ce cycle pour effet de remplcer un pr X et deux b pr un seul Y. Il est ssez clir ensuite que les mots reconnus sont uniquement de l forme i b j. Pr construction, l prtie de droite (l fin de l exécution) de M n est prise que lorsqu il ne reste plus de à lire dns le mot, et cette prtie est bloqunte s il reste des b. Ceci montre l inclusion inverse. Question 4 (2 points) Modifier cette mchine pour reconnître le lngge { n+1 b 2n n 1}. Justifier. Il suffit d jouter un étt q 7, entre q 0 et q 1, qui remplce le premier pr un X vnt d exécuter l mchine M sur le reste du mot. q 0 #/#D q 7 /XD q 1 Y/Y D q 5 Y/Y D /XD #/#S /D Y/Y D q 2 X/XD q 6 b/y D q 3 b/y G q 4 /G Y/Y G 2 Fonctions primitives récursives et µ-récursives Question 5 (1 point) Sous quelle(s) condition(s) (suffisnte(s)) une fonction définie pr cs est-elle primitive récursive? On donner un énoncé précis, qu on ne demnde ps de prouver, et que l on considérer comme vri pour l suite. Soit f : N p N et g : N p N deux fonctions primitives récursives et π : N p {0, 1} un prédict primitif récursif, lors h : N p N définie pr : { f(x 1,..., x p ) si π(x 1,... x p ) = 1 h(x 1,..., x p ) = g(x 1,..., x p ) sinon est primitive récursive. MIF15 Complexité et Clculbilité, Mster Info /8

3 Question 6 (1 point) Montrer que l fonction mx n : N n N qui à (x 1,... x n ) ssocie le mximum des n entiers x 1,... x n est primitive récursive. On peut considérer cquis que le prédict est primitif récursif. On ttend une rédction vec des rguments précis, mis sns forcément détiller l utilistion des opérteurs Comp, Rec, id,... On montre pr récurrence sur n 2 que le mx n-ire est primitif récursif : { Pour n = 2, mx 2 (x 1, x 2 ) = x 1 si x 2 x 1 x 2 sinon. et l question précédente suffisent à conclure. Supposons que mx n d rité n 2 soit primitif. Alors, en écrivnt : mx n+1 (x 1,..., x n, 0) = mx n (x 1,..., x n ) { m + 1 si mx n (x 1,..., x n ) m + 1 mx n+1 (x 1,..., x n, m + 1) = mx n (x 1,..., x n ) sinon. Ceci montre que mx n+1. est primitive récursive. Question 7 (1 point) Montrer, en utilisnt le schém de minimistion ( schém-µ ), que les fonctions suivntes sont µ-récursives : () f(n) = n si n est un crré prfit, indéfini sinon. (b) f(x, y) = E(x/y) l prtie entière de l division de x pr y. Sns trop de suspense : () f(n) = µ.k[k 2 = n] (b) f(x, y) = µ.k[k y > x] 1. 3 Grmmires Question 8 (1 point) Quels lngges sont engendrés pr les grmmires suivntes : () G = ({S, A}, {, b, c}, R, S) vec R = {S S ba, A ba c}. (b) G = ({S}, {}, R, S) vec R = {S SS }. On justifier soigneusement, mis rpidement. Pr flemme du correcteur, on donne uniquement les lngges. () L(G) = bb c. (b) L(G) = { 3k k impir}. Question 9 (2 points) Donner des grmmires pour les lngges suivnts : MIF15 Complexité et Clculbilité, Mster Info /8

4 () Les mots sur l lphbet {, b} qui sont égux à leur mot miroir. (b) Les mots sur l lphbet {, b, c} qui contiennent utnt de que de b. () S S bsb b ε (b) Autnt de que de b n est ps difficile à réliser, et ensuite on bricole pour jouter des c un peu prtout : S CCSCbC CbCSCC ε C C cc ε Une utre solution, en utilisnt une grmmire contextuelle : S ABS cs ε AB BA Ac ca A Bc cb B b Pour cette grmmire, on introduit utnt de que de b et un nombre rbitrire de c, puis on mélnge les lettres pour obtenir le mot recherché. Il resterit à justifier. 4 Indécidbilité : le Problème de Correspondnce de Post. Soit Σ un lphbet fini, et P Σ Σ un ensemble fini de dominos étiquetés pr des mots sur l lphbet Σ (des pires de mots, donc). Le Problème de Correspondnce de Post (PCP), introduit pr Emil Post en 1946, consiste à déterminer s il existe une séquence de dominos de P tels que le mot obtenu pr l concténtion des premières composntes est identique à celui formé pr l concténtion des secondes composntes. Plus formellement, on cherche à déterminer l existence d une suite (u i, v i ) 0 i n telle que : 0 i n, (u i, v i ) P et u 0 u 1 u n = v 0 v 1 v n. Question 10 (2 points) Résoudre PCP à l min pour les instnces suivntes. Si une correspondnce existe, on l donner explicitement. Sinon, on justifier soigneusement qu une telle correspondnce n existe ps. () P 0 = {(, ), (, )} ; (b) P 1 = {(b, b), (bb, b), (b, bb)} ; (c) P 2 = {(, b), (b, b), (b, b), (bb, b)} ; (d) P 3 = {(b, bb), (, b), (b, bb), (bb, bb)}. MIF15 Complexité et Clculbilité, Mster Info /8

5 Les solutions qui suivent mélngent deux nottions, l nottion pr pire (guche, droite) qui est celle de l énoncé et l nottion pr domino hut, qui est plus lisible. bs () On une correspondnce, en fisnt en hut comme en bs., ce qui donne (b) Une telle correspondnce n existe ps. En effet, une correspondnce ne peut démrrer pr les pires 1 ou 3 prce qu lors le mot de guche commence pr b et celui de droite pr b. Si elle commence pr l deuxième pire, lors à guche on bb et à droite b, du coup comme ucune des deux utres pires ne contient un mot qui commence pr b comme deuxième composnte, on est obligé de rjouter une occurence de l pire 2. Seules les pires 2 peuvent donc être enchînées pour créer une correspondnce. Comme les mots de l pire 2 ont des tilles différentes, on ne pourr jmis obtenir de correspondnce. (c) Il existe une correspondnce : b bb b b b. Cel donne des deux côtés bbb. (d) Impossible ussi, cr les pires 3 et 4 font grossir le mot de droite (plus vite que celui de guche), et on n ucune possibilité de rétblir l tille. De plus on ne peut démrrer une correspondnce pr 1 ou 2. Question 11 (1 point) Donner un lgorithme pour décider PCP dns le cs où Σ ne contient qu une seule lettre. Soit Σ = {}, on peut remrquer que pour tout mot w Σ, on w = w. On peut montrer qu il existe une correspondnce dns P si et seulement si : soit on u v P tel que u = v ; soit il existe u 1 v 1, Si il existe u v u 2 v 2 P tels que u 1 > v 1 et u 2 < v 2. P tel que u = v, l séquence contennt uniquement u v est une correspondnce, puisque u = u = v = v. Si il existe u 1 u, 2 P tels que u v 1 v 1 > v 1 2 et u 2 < v 2, lors v 2 u 2 > 0 et u 1 v 1 > 0 et l séquence u 1 v 1 v 2 u 2 u 2 v 2 forme une correspondnce cr on obtient en hut u 1 v 1 u 1 ( v 2 u 2 ) u 2 ( u 1 v 1 ) = u 1 v 2 + u 1 u 2 u 1 u 2 u 2 v 1 = u 1 v 2 u 2 v 1 qui est égl à v 1 ( v 2 u 2 ) v 2 ( u 1 v 1 ), le mot qu on obtient en bs. Si en revnche on n est ps dns cette sitution, cel signifie que soit u v P, u > v ; MIF15 Complexité et Clculbilité, Mster Info /8

6 soit u v P, u < v. Ces deux cs étnt symétriques, on ne triter ici que le premier. Si lors pour toute séquence de dominos u 0 v 0 u n v n, on u v P, u > v, u 0 u 1 u n = u 0 + u u n > v 0 + v v n = v 0 v 1 v n. On en déduit que u 0 u 1 u n = u 0 u 1 u n v 0 v 1 v n = v 0 v 1 v n. Pr conséquent tester si il existe une correspondnce constituée de dominos de P revient à tester si il existe u 1 v 1 et u 2 v 2 dns P vérifint u 1 v 1 et u 2 v 2, ce qui est décidble. On considère mintennt une vrinte de PCP, le Problème de Correspondnce de Post Modifié (PCPM). Pour ce problème, on considère un ensemble fini de dominos P et un domino initil (u 0, v 0 ) P, et on cherche à déterminer l existence d une correspondnce qui commence pr (u 0, v 0 ). On considère comme cquis que PCPM est indécidble : en effet il existe une réduction du problème de l rrêt d une mchine de Turing vers PCPM. On v mintennt montrer que PCP est indécidble, en réduisnt depuis PCPM. On commence pr introduire deux fonctions p et s. Soit $ un nouveu symbole n pprtennt ps à Σ, pour tout mot w = 1 2 n (les i sont les lettres), on définit : { p(w) = $ 1 $ 2 $ n s(w) = 1 $ 2 $ n $ Question 12 (2 points) Montrer que les fonctions p et s vérifient les propriétés suivntes : () pour deux mots v et w, p(vw) = p(v)p(w) et s(vw) = s(v)s(w) ; Si v = 1 2 n et w = b 1 b 2 b m, lors p(vw) =p( 1 2 n b 1 b 2 b m ) =$ 1 $ 2 $ n $b 1 $b 2 $b m =($ 1 $ 2 $ n ) ($b 1 $b 2 $b m ) = p(w) p(v) s(vw) =s( 1 2 n b 1 b 2 b m ) = 1 $ 2 $ n $b 1 $b 2 $ b m $ =( 1 $ 2 $ n $) (b 1 $b 2 $ b m $) = s(w) s(v) (b) pour tout mot w, p(w)$ = $s(w). MIF15 Complexité et Clculbilité, Mster Info /8

7 p( 1 2 n )$ = $ 1 $ 2 $ n $ = $ 1 $ 2 $ n $ = $s( 1 2 n ) Soit P, (u 0, v 0 ) une instnce une PCPM, on définit P = {(p(u 0 ), $s(v 0 ))} P 1 P 2 vec : { P 1 = {(p(u), s(v)) (u, v) P } P 2 = {(p(u)$, s(v)) (u, v) P } Question 13 (2 points) Montrer que P, (u 0, v 0 ) dmet une solution pour PCPM si et seulement si P dmet une solution pour PCP. Supposons d bord que l instnce originle de PCPM une solution u 0 v 0 hut et le bs égux à un certin mot w : Grâce à l question 12, on : Pr définition de P, on p(u 0) $s(v 0 ) P ; 1 k < n, p(u n)$ P s(v n ) 2 P. Pr conséquent l séquence u 0 u 1 u n = v 0 v 1 v n = w p(w)$ =p(u 0 )p(u 1 )p(u 2 ) p(u n 1 )p(u n )$ =$s(w) p(u k ) s(u k ) P 1 P ; p(u 0 ) $s(v 0 ) =$s(v 0 )s(v 1 )s(v 2 ) s(v n 1 )s(v n ). p(u 1 ) s(v 1 ) p(u 2 ) s(v 2 ) p(u n 1 ) s(v n 1 ) p(u n )$ s(v n ) u n v n, vec le est une correspondnce de P. Si P p(u dmet une solution, on peut remrquer qu elle commence nécessirement pr 0 ) $s(v 0 ) (c est le seul domino pour lequel l prtie supérieure et l prtie inférieure commencent pr l même lettre) et finit forcément pr un domino de P 2, puisque ce sont les seuls dont les prties supérieure et inférieure finissent pr l même lettre. Pr conséquent toute solution de P est de l forme où est une solution de P. p(u 0 ) $s(v 0 ) p(u 1 ) s(v 1 ) p(u n 1 ) s(v n 1 ) u 0 v 0 u 1 v 1 u 2 v 2 u n 1 v n 1 p(u n )$ s(v n ) u n v n MIF15 Complexité et Clculbilité, Mster Info /8

8 Question 14 (1 point) En déduire que PCP est indécidble. Notons ρ(p, (u 0, v 0 )) = P, défini comme précédement. ρ est une fonction clculble, et grâce à l question 13 on sit que : (P, (u 0, v 0 )) PCPM ρ(p ) PCP. Pr conséquent ρ est une réduction de PCPM vers PCP, et comme PCPM est indécidble, PCP l est ussi. MIF15 Complexité et Clculbilité, Mster Info /8

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