Géométrie au cycle 3 Troyes 30 novembre Fabien EMPRIN Maître de Conférences -Directeur Adjoint chargé de la formation CEREP URCA - IUFM CA -

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1 Géométrie au cycle 3 Troyes 30 novembre 2011 Fabien EMPRIN Maître de Conférences -Directeur Adjoint chargé de la formation CEREP URCA - IUFM CA -

2 Plan de l intervention Les objets 3D : 1. Les solides : introduction 2. Qu est-ce que connaître un solide? 3. Connaître un solide par ses propriétés : Deviner un solide 4. la problématique du VU et du SU : Communiquer un solide 5. Patrons : Boucher le trou 6.Synthèses et idées forces Les objets 2D : Concepts de // et perpendiculaire 1. La problématique du dessin 2. Les concepts géométriques 3. Place des figures planes

3 Les objets 3D

4 1. Les solides : introduction Les programmes

5 Les programmes d enseignement Cycle 1 Découvrir les formes et les grandeurs En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d abord des propriétés simples (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance. compétences se situer dans l espace et situer les objets par rapport à soi se repérer dans l espace d une page ; comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des relations dans le temps et dans l espace.

6 Les programmes d enseignement Cycle 2 Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. [ ] Ils utilisent un vocabulaire spécifique. Compétences situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ;

7 Les programmes d enseignement Cycle 3 L objectif principal de l enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. Compétences Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face. Compétences de fin de cycle reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels

8 Pour l enseignement Deux champs Le repérage Les objets 3D Des questions Qu est-ce que connaître un solide? Quelle place du vocabulaire?

9 2. Qu est-ce que connaître un solide? Au regard des programmes et de la problématique du spatial et du géométrique

10 Qu est-ce que reconnaître un solide? Le nommer? C est un isocaèdre tronqué Ou ballon de foot

11 Qu est-ce que reconnaître un solide? En reconnaître un dessin? René Magritte

12 Quel dessin? Ceci est-il un cube?

13 Le reconnaître en vrai? Ceci est-il un cube?

14 Et celui-ci?

15 Connaître ses propriétés? le cube est un antidiamant d'ordre 3 à sommets réguliers et angles dièdres égaux. Ou encore les cubes sont les seuls polyèdres dont toutes les faces sont carrées ;

16 Connaître ses propriétés? Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. De plus : Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales. Les faces opposées sont parallèles. Les faces adjacentes sont perpendiculaires Tous les angles dièdres sont droits. Les diagonales s'intersectent en un unique point, le centre de symétrie du cube, l'isobarycentre des huit sommets.

17 Quelques précisions, concernant le 3D: Les solides sociaux On les épure de leurs propriétés qualitatives Les maquettes Espace physique (monde réel) Les objets géométriques Ensemble de propriétés On ne conserve que les propriétés Espace théorique (monde de la pensée) Relation entre les différents types de solides

18 Du spatial Les objets spatiaux : TOUT le contenu de l espace sensible, en particulier: tous les objets sociaux et professionnels. mais beaucoup d autres choses également. À voir! Les relations spatiales : la position et le repérage des objets entre eux (distances, repères, positions etc.). l association d objets (et donc leur fabrication). Et bien d autres choses encore à voir!

19 au géométrique Les objets géométriques: Ce sont des objets théoriques (3D et/ou 2D), donc mentaux, donc idéaux (donc qui n existent pas!). Ils seront, à terme, parfois définis par un texte. Par exemple: cube, tétraèdre, carré ; segments, rectangle, triangle.. etc. Parfois non: points, droites, Les relations géométriques entre les objets idéaux: parallélisme, perpendicularité, appartenance, incidence, intersection, distance, etc.

20 Quand on demande à un élève de - se déplacer, - se repérer, - construire les objets, - de dessiner dans l espace graphique etc On met à l épreuve ses connaissances spatiales. Donc la plupart des tâches demandées sont des tâches Donc la plupart des tâches demandées sont des tâches spatiales

21 Premier enjeu de l apprentissage Aider les élèves à passer du spatial au géométrique Passer de la perception à la connaissance des solides par leurs propriétés Un moyen : les situations de communication.

22 3. Connaître un solide par ses propriétés : Deviner un solide Un situation de communication

23 Un exemple de situation de communication Consigne et phase de recherche Analyser les variables de la situation Phase de questions Classer les questions des élèves Identifier ce qui est en jeu dans les phases d échanges Vérification, validation, mise en commun Quelle est la trace écrite?

24 Consigne et travail des élèves

25 La situation 2 élèves: associés à une maquette L activité du portrait. (Voir ERMEL p. 479) Groupe émetteur Gr. de 4 élèves, associé à: - soit une feuille et du matériel, - soit à un stock de solides. G1: gr. récepteur G2: gr. récepteur G3: gr. récepteur L enjeu: en posant des questions fermées au gr. récepteur, chaque gr. récepteur doit: - soit reconnaître le solide dans le stock. - soit le construire avec du matériel (polydron ou pailles)

26 Variable : le lot de solides (tous les groupes ont le même):

27 Le vecteur de la communication ICI : Question fermées Dessin, questions ouvertes.. Mimes, modelages

28 Communication

29 Les différents types de questions Méthaphores / vocabulaire usuel ça ressemble à une maison Vocabulaire pseudo géométrique C est un losange Est-ce qu il a un sommet principal? Vocabulaire géométrique Combien de faces? Au moins? Exactement? Plus de?

30 Validation mise en commun

31 Institutionnalisation Le langage non géométrique est disqualifié car non partagé et ne permettant pas de trouver de façon fiable (sauf sommet principal peut-être) On connait un polyèdre en connaissant : Nombre de faces Nature des faces Nombre de sommets Nombre d arrêtes Rq pour les étudiants : pour les polyèdres (sans trous) : formule d Euler : f-a+s=2

32 Objectif de la situation: 1) Définir les propriétés géométriques des faces qui composent un solide. utilisation du 2D pour le 3D et réciproquement 2) Déterminer les relations qui lient les différents composants d un solide, ainsi que les propriétés numériques qui les déterminent (S, F, A). 3) Définir un vocabulaire spécifique désignant les propriétés géométriques d un solide le vocabulaire géométrique est la meilleure réponse au problème posé

33 4. la problématique du VU et du SU : Communiquer un solide Une autre situation de communication

34 ABCDEFGH est un cube Quelle(s) est(sont) l (les) affirmation(s) vraie(s)? a) ABFE, CBFG, ACGE et BDHF sont des carrés. b) (AC) (BD). c) (AG) (GE). d) (AC) // (GE). e) (AE) // (BF) // (CG) // (DH). f) (CE) (AG). g) (AE) (HG).

35 Les connaissances concernant les représentations des objets 3D (spatiaux et géométriques) sont particulièrement difficiles. Nous nous appuyons sur les travaux de F. Colmez et B. Parzysz qui proposent une analyse en fonction de deux pôles antagonistes: le «VU» et le «SU»: Le VU Le percept: ce que l on voit de l objet Le conflit cognitif Je dois prendre conscience de la nécessaire perte d informations, et laquelle?... Le SU Le concept: ce que l on conçoit de l objet On a tendance à représenter l objet comme on le voit On a tendance à représenter l objet en fonction de ce que l on sait (prop. géométriques)

36 Bernard Parzysz et François Colmez (1993) ont étudié l évolution de conflit du dessinateur entre le vu et le su. Ils ont proposé pour cela à des élèves des toutes les classes depuis le CE2 jusqu à la 2nde de représenter sur une feuille de papier uni, la pyramide posée sur le bureau de leur professeur. La pyramide était «squelettique» puisque réalisée à l aide de pailles, elle était régulière et à base carrée ce qui signifie que toutes les arêtes issues du sommet avaient la même longueur. Les élèves dessinent la pyramide

37 Les représentations obtenues permettent aux auteurs de dégager trois types de productions graphiques : des productions où le su est insuffisant car le dessin ne rend pas compte de la tridimensionnalité, elles sont présentes au CE2 surtout ; des productions qui rendent compte du su de manière compatible avec le vu qui est premier, ces productions sont présentes du CM à la 3e ; des productions résultant d une reconstruction mentale de l objet, le vu est représenté de manière compatible avec le su qui est premier, elles apparaissent en classe de 3e.

38 Les évolutions du dessin de la pyramide et de ses propriétés au cours du temps: du CE2 à la 3ème.

39 La situation «communiquer le solide» Les élèves sont par binômes : A et A ; B et B Les binômes A, B, C, ont un solide Les binômes A, B, C ont un autre solide Il faut faire un dessin pour que le groupe récepteur puisse retrouver le solide dans un lot (CE) / construire le solide avec du matériel (CM2)

40 Exemple de travaux d élèves Les faces et les patrons

41 Les dessins en 3D et les «vues» Les parties cachées sont assumées

42 L association de plusieurs représentations

43 Les situations, une progression: Devinez le solide (CE2): c est une situation de communication, il s agit de trouver un solide dans un lot. Habiller le solide (CE2): c est trouver les bonnes faces d un solide. C est une situation de communication. Construire un solide (CE2): c est encore une situation de communication, déterminer les bonnes faces dans un catalogue afin de construire un solide identique. Représenter le solide 1 (CE2): C est dessiner un solide pour le reconnaître dans un lot. Assemblons les faces (CM1): C est construire un solide à partir d une représentation plane. Aborder la notion de patron. Représenter un solide 2 (CM2): C est une situation de communication. Il s agit de faire le schéma d un solide afin qu un autre puisse le construire avec un matériel donné.

44 5. Patrons : Boucher le trou Une situation d action Rôle du dessin à main levée Place des mises en commun

45 3D 2D : le patron Situation «grand tétra» Consigne: Construire le grand tétraèdre en assemblant les bandes Dessiner «à main levée» le patron du solide qui manque au centre boucher le trou. Mise en commun : anticiper si le patron fonctionne. Construction du patron et validation Un élève peut alors soit tester son patron soit en changer en fonction de la mise en commun

46 Le GRAND tetra

47 Procédures et résultats d élèves: Procédure 1: faces séparées ou assemblages qui ne se plient pas. Procédure 2: Ils «bouchent» les trous apparents seulement. Procédure 3: ils construisent un tétraèdre. Procédure 3 : un patron d octaèdre, mais oublient des faces. Procédure 4: Ils forment 2 pyrami-des. Procédure 5: Ils obtiennent un patron correct.

48 Spécificités de la situation Situation de synthèse autour du concept de patron Mise en commun préalable à la validation Utilisation du schéma pour augmenter les possibles et limiter le temps de construction

49 Les situations, une progression: Assemblons les faces (CM1): C est construire un solide à partir d une représentation plane. Aborder la notion de patron. Patrons de solides (CM1): Chercher le maximum de patrons du cube. Cube tronqué (CM1): A partir d un solide non-usuel, communiquer la procédure de construction à partir d un schéma. Boucher le trou 1 (CM1): Trouver le solide qui bouche un trou. Faire le schéma du patron (pyramide). Patron de pavé (CM2): Reproduire un pavé non accessible directement à l identique. Boucher le trou 2 (CM2): de même que celle-ci-dessus, mais le «trou» est plus compliqué (octaèdre).

50 Place des mises en commun Les mises en commun de production à visée de validation. Il s agit d examiner le résultat du travail de chacun pour en déterminer la validité À utiliser quand la validation pratique est impossible Les mises en commun des procédures à visée de validation. Cette fois on examine les procédures des élèves, la validation pratique n ayant pas eu lieu au préalable. À faire avant la validation pratique, permet aux élèves de reprendre leur travail Les mises en commun des procédures sans visée de validation. Lorsque la validation pratique a eu lieu ou lorsqu elle est évidente, l enjeu de ce type de mise en commun est de repérer la pertinence, l efficacité ou la généralité des procédures employées. À utiliser s il y a reprise de la situation

51 6.Synthèses et idées forces Sur le 3D au cycle 3

52 choix didactiques: Idées-forces au sujet du contenu: Les relations «numériques» servent de passage entre les objets spatiaux et les objets idéaux. Le vocabulaire n est pas une priorité, mais un outil à la communication. La représentation n est pas une priorité, mais il est possible de la mettre à l œuvre dans des situations de communication. Les maquettes permettent la constructions «d images mentales». Le travail sur les patrons permet de proposer des problèmes intéressants (minima de papier).

53 Idées-forces au sujet des situations: L approche des concepts d objets mathématiques en épurant les objets physiques de leurs propriétés qualitatives. Le travail sur les relations d incidences et la notion de patron. Une approche de la représentation plane des objets 3D par la prise en charge du conflit entre le «VU» et le «SU». Tout ceci, en passant par la résolution de problèmes. Trois types de situations: Des situations d action pour résoudre des problèmes spatiaux: reproduction et construction de solides ou patron. Des situations de communication ou de description. Des problèmes ouverts (essais, conjectures, test, preuve)

54 Espace géométrique Espace réel 3D Ici sont en jeu des relations d incidence Les solides dont les polyèdres Permet de définir en les épurant de leurs propriétés qualitatives Permet de définir grâce à la notion de face Les solides sociaux Les maquettes Épurées de certaines propriétés qualitatives Ici sont en jeu des relations d incidence Relations entre les différents objets rencontrés par les élèves 2D Les objets 2D dont les polygones Permettent de définir Les patrons Par assemblage d un seul tenant Les empreintes et tracés de figures planes

55 Quelques éléments de synthèse sur les situations de communication

56 Le type des objets: L info: où se situe-t-elle? Comment estelle prise? Vecteur de l information: Type de la production Type de validation 3D: Espace sensible ou portion d espace. A disposition visuelle directe. Par le palpage, (donc on ne voit pas). Mimer: gestuel, message spatial. 3D: Réaliser effectivement: modelage. Théorique: mise en Boucher commun le trou, 3D: Objets sociaux de forme géométrique: C1/C2 Non à disposition Par visualisation v directe de l objet ou de l espace. Communication orale: question ouverte 3D: Réaliser Déplacement Pratique: effectivement: Deviner comparaison Représenter Sit. sur quadrillage «mime» avec du maté-riel figure un solide (paille, poly) Sit. Portrait 3D: les ma- quettes (solide carton): C1/C2/C3 A disposition de l enseignant seul. Par visualisa- tion directe du dessin. Communication orale: question fermée 3D: Réaliser en dessinant (faces ou patron) 2D: Dessin instrumenté représentation perspective.c3 C est quelqu un qui prend l info. Communication écrite: description de l objet (texte) 3D: Choisir dans un lot fourni. 2D: Dessin instrumenté d objets 2D.C3 Communication graphique, par un schéma 2D: Dessiner avec les instruments 2D: Dessin à main levée (C3). 2D: dessiner à main levée

57 Les objets 2D les concepts de parallèle et perpendiculaire

58 1. La problématique du dessin Schéma, dessin, épure

59 Place du dessin instrumenté Analyse des habiletés des élèves La situation : Vous avez un bassin Il faut éclairer ce bassin avec des spots (lumineux). Chaque coin de votre équerre représente un type de spot. Quel type de spot permet d éclairer complètement le bassin?

60 Un spot Le mas Le bassin

61 Analyse des habiletés des élèves

62 Ce qui fait obstacle dans la situation : Les difficultés de tracé empêchent d obtenir certaines solutions L instrument équerre fait obstacle au tracé (bout émoussé) La situation ne peut pas fonctionner

63 Compléter la croix Utilisation des instruments. Observer les procédures des élèves pour compléter la croix en partant d un segment. (la vitesse de la vidéo est doublée par rapport à la réalité)

64 Compléter la croix

65 Qu apporte la schématisation des procédures?

66 Il s agit de se souvenir des procédures mises en œuvre dans la situation concernée au tableau d abord, ensuite dans le cahier mémoire. Il faudra écrire une explicitation tout de même

67 Les dessins dans l espace informatique Logiciel gratuit Déclic :

68 Spécificité de l espace informatique Dans un logiciel de géométrie dynamique (Déclic, Cabri, Atelier de géométrie, géoplan) un rectangle est un rectangle s il est résistant aux déplacement dans le LGD. Il faut donc construire le dessin en utilisant les primitives du logiciel

69 Un construction résistante

70 Le lien: référent signifié - signifiant Référent théorique : objet théorique (ou idéal) de la géométrie euclidienne : Un exemple : Le rectangle Signifié : La figure géométrique : c est justement le lien entre le référent et tous les dessins possibles. Lien que se construit le sujet au cours de son apprentissage Un cabri-rectangle Dessin «à main levée» Signifiant : Tous les dessins possibles, dans tous les espaces graphiques possibles (en particulier, l écran d ordinateur. Un dessin précis est aussi appelé épure

71 2. Les concepts géométriques Parallèle, perpendiculaire, symétrie

72 Le concept de perpendiculaire Horizontal par rapport à vertical (et vice versa) Coin du rectangle ¼ de l angle plein Pli sur pli (symétrie) Plus courte distance point droite Pour résoudre ces problèmes l élève dispose d une boîte à outils comptant des règles grandes-petites, graduées ou non, équerres, papier calque, ficelle, téquerre, réquerre,

73 Points forts, difficultés, obstacles et enjeux. 1) Points d appuis: la verticalité et l horizontalité dans l espace physique ou l espace graphique (relation spatiale entre deux objets spatiaux, par exemple 2 traits dans l espace graphique). C est une référence obligée, mais également un obstacle Passage à la relation géométrique: cette relation se doit d être reconnue comme un invariant dans une infinité de configurations spatiales et dans une «infinité» de contextes. Il doit également devenir un outil pour résoudre des problèmes spatiaux dans différents contextes. Il devra devenir, ensuite, un sujet d étude en tant que concept géométrique

74 Une «infinité» de configurations: Angle droit Dans l espace graphique Dans l espace physique Assemblage de bois Dessin ou objet de forme rectangulaire Symétrie rotation Angle droit Perpendiculaires 4 angles droits a Angle droit donc côtés perpendiculaires a 2 +b 2 =c 2 c b La médiatrice d un segment

75 Aspect : coin du rectangle La feuille est découpée ainsi: Un trait est effacé Partie 1 Partie 2

76 La feuille est découpée ainsi: Un trait est effacé Partie 1 Partie 2 Mais attention: la partie 1 reste au tableau, vous n aurez que la partie 2 à votre disposition et tous les instruments: «Vous devez reconstruire le trait qui manque afin de refaire le rectangle».

77 Situation n 2 : Les 3 parties sont montrées juxtaposées aux élèves, mais seule la partie 2 est disponible Consigne: vous devez tracer le trait de telle façon que si l on replace les 3 parties, côte à côte, les traits recomposent le rectangle original Partie 1 Partie 2 Partie 3 La relation de perpendicularité entre «traits» sera susceptible de se transformer en une relation géométrique (donc théorique) entre droites

78 Aspect : pli sur pli C La feuille est découpée afin que l élève ne puisse pas se repérer pour le tracé C est un pli, fait de telle façon que le trait (A, B) se replie sur luimême A B Après avoir montré et fait réaliser sur une feuille le pli (pointé ensuite par un trait au feutre) et fait constater que le trait «coïncide avec lui-même» après le pliage sur ce pli, on donne une autre feuille sans pli, avec «l interdiction momentanée» de plier. Problème : avec les instruments (dans la «boîte à outils»), il s agit de tracer un trait qui passe par B (puis C), de telle façon que si l on plie la feuille sur ce trait le trait du départ «coïncide sur lui-même». La validation se fera par pliage

79 Aspect : plus courte distance Comment faire pour aller chercher de l eau par le plus court chemin

80 Soit une feuille avec un point au milieu. Aspect ¼ de l angle plein Il s agit de placer sur le point, côte à côte, des «coins» afin de recouvrir toute la feuille. et seulement ceux qui le permette «sans trou ni recouvrement» «coin» à 95 ça se ferme presque avec 4 «coins»!

81 Voici des exemples d assemblages Problème: construire, au moyen des instruments de la «boîte à outils», des «coins» tels que l assemblage de 4 de ces «coins» couvre la feuille exactement Validation: théorique et (seulement) ensuite pratique

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83 Parallélisme : aspects du concept Les points sont similaires. Voici quelques configurations (dans l espace graphique ou physique, pour certaines): Droites qui ne se coupent jamais Translation de l une vers l autre. Considération strictement théorique. Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. Les côtés opposés dans un rectangle, sont parallèles.

84 Aspect penché pareil : le matériel Une feuille avec un trait oblique et un point Un calque qui coulisse sur le bord droit avec le même trait oblique

85 Aspect penché pareil : la tâche Problème : dessiner le trait qui passe par le point et qui est «penché pareil» que le trait existant. La validation se fera avec le calque coulissant

86 Aspect écart constant Partie 1 Partie 2 Partie 3 Un camion laisse des traces dans le sable sur la partie 1, il traverse la marre, passe dans la partie 2, et dans la partie 3. Mais, dans la partie 2, le vent a effacé une trace.. On retrouve les deux traces dans la partie 3. On donne seulement la partie 2 aux élèves, la partie 1 est posée dans un endroit éloigné de la classe, la partie 3 est cachée et servira, plus tard, à valider. Problème : Les élèves doivent re-tracer (avec les outils appropriés de la «boîte à outils») la trace des roues de droite, exactement, sur la partie 2 en allant chercher les informations nécessaires sur la partie 1.

87 Aspect : côtés d un trapèze Sur le même modèle que rectangle à terminer : trapèze à terminer

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89 Situation de synthèse : rotonde fonctionnement de la rotonde

90 La tâche Dessiner les rails sur le disque central de la rotonde (le centre est donné)

91 Situation de synthèse : communiquer un dessin Faire un message pour communiquer ces différentes figures Pour que le groupe récepteur la retrouve parmi ce lot

92 Situations de synthèses et problèmes ouverts Est-il possible de construire un triangle avec 1 angle droit? Est-il possible de construire un triangle avec 2 angles droits? Est-il possible de construire un quadrilatère avec deux angles droits? Est-il possible de construire un quadrilatère avec trois angles droits?

93 Triangle à 2 angles droits?

94 Quadrilatère à 2 angles droits?

95 Quadrilatère à 3 angles droits?

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97 3. Place des figures planes Un problème ouvert et une situation de synthèse

98 Tous les quadrilatères: une situation de synthèse Durée Modalités de travail tâche enjeu 5 Individuel Feuille blanche Dessiner tous les quadrilatères différents que tu peux à main levée 15 Groupe de 4 Sur une feuille, dessiner à main levée tous les quadrilatères différents que le groupe a trouvés 20 Mise en commun Chaque groupe, un par un vient dessiner au tableau un quadrilatère qui n y est pas déjà 10 Synthèse collective Rédaction d une affiche pour la classe Faire émerger les représentations et augmenter le nombre de productions Éliminer les «monstres». Régler les problèmes de tailles et d orientation par des arguments collectifs que le groupe a trouvés des arguments collectifs Permettre à tous les groupes de contribuer au travail collectif en évitant le jugement du travail de chaque groupe Qu est-ce que ce travail nous apprend?

99 Évacuer le problème de la taille Des élèves dessinent beaucoup de carrés puis s arrêtent on n y arrivera jamais Arguments des autres : c est la même forme, grande ou petite c est comme la couleur. Si tu en es là, un carré rouge et un carré bleu c est pas le même alors tu vois ça peut pas aller, il faut faire un seul carré et puis des «pas carrés».

100 Le travail d une classe (22 élèves) Figures correctes quantité Carré 22 Rectangle 22 Losange 20 Trapèze isocèle 9 Trapèze rectangle 10 Quadrilatère à deux angles droits 1 Quadrilatères 1 angle droit 1 Chevron avec un angle droit 2 Chevron isocèle 6 Chevron quelconque 3 Quadrilatère quelconque 2 parallélogramme 2 Cerf-volant 1 Figures non correctes Étoile 4 branches 2 Trapèzes redondants 4 Chevrons redondants 1 Forme arrondie 2 Triangles 4 Figure ouverte 1 Beaucoup plus de 4 côtés 3

101 Le travail des groupes Ce qui reste au tableau Fiche Bilan Carré X X X X X X X Rectangle X X X X X X X Losange X X X X X X X Trapèze rectangle X X X X X Trapèze isocèle X X X X X X X Trapèze quelconque X X X Quadrilatère avec un angle droit X X X X Quadrilatère quelconque X Cerf-volant X X parallélogramme X X X Chevron avec un angle droit X X Chevron isocèle avec un angle X X droit Chevron isocèle X X X X Non correctes Figure avec des courbes X Redondance des trapèzes X X Redondance chevron isocèle X

102 Échanges lors de la mise en commun : le codage Un nouveau dessin ressemble beaucoup à un dessin déjà présent (premier avec le second) L élève qui vient de dessiner dit alors «oui mais nous il n y a pas d angles droits là et là (où il a les flèches) c est donc pas le même» L enseignante «comment expliquer aux autres sur le dessin ce que vous avez voulu dessiner?» Les élèves décident : De mettre de la même couleur les côtés parallèles. De mettre des mesures fictives pour côter la figure et montrer les côtés de même mesure. De coder les angles droits par le codage usuel.

103 Mise en commun : les propriétés Les élèves débattent sur le fait que les deux trapèzes ci-contre sont identiques ou non : c est le même parce qu il y a deux angles droits et deux côtés parallèles oui mais là c est bancal et là c est pas bancal c est pas le même parce que même si on le tourne c est pas le même Un élève propose de découper. il y en a un qui vient plus du carré et l autre qui vient plus du losange c est pas la taille qui est important celui-là (le second) il suffit de l étendre et de le retourner et c est le même. Oui mais alors si tu étends le carré tu as un rectangle c est bien pas pareil Oui mais là t as pas de côtés égaux et là non plus alors que sur le carré t as tous les côtés égaux. Les élèves finissent par conclure que «c est plus simple de regarder les propriétés» Lors du bilan les élèves restent sans exception sur les propriétés et non plus sur les aspects perceptifs ou liés à l orientation.

104 Conclusion de cette situation Il faut distinguer enjeu de la situation et tâche de l élève: L enjeu est de se rendre compte que les figures géométriques sont définies par leurs propriétés géométriques La tâche est de trouver tous les quadrilatères possibles (donc ce n est pas grave si on ne les trouve pas tous) La mise en commun doit permettre à tous de s exprimer: La mise en commun doit permettre à tous de s exprimer: il faut donc bien réfléchir aux modalités