Université d été Solvabilité 2 Juillet 2011

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1 LES INDICATEURS OPERATIONNELLES LIÉS À L ORSA Version 1.0 Universié d éé Solvabilié 2 Juille 2011 Frédéric PLANCHET Acuaire Associé Marc JUILLARD Acuaire

2 Préambule L aricle 45 de la Direcive Solvabilié 2 dispose que les compagnies d assurance doiven prouver au régulaeur le respec permanen des exigences de capial. Pour répondre à ces demandes du régulaeur, il convien donc de projeer le bilan sur l horizon du plan sraégique, ce qui es un exercice poeniellemen complexe. On propose ici une approche robuse e opéraionnelle pour mesurer l inceriude sur le aux de couverure des engagemens prenan en compe les principales sources d inceriude : - le risque de arificaion e de provisionnemen ; - le risque financier ; - le risque business. Le modèle proposé s appuie sur un cadre général décri dans Guiber e al. [2010] auquel une dimension emporelle es ajouée. 2

3 1. Appéi pour le risque 2. Modèle de base SOMMAIRE Solvabilié 2 Pilier 2 3. Applicaion numérique 3403 / ORSA 3

4 1. Appéi du risque 1.1. Définiion e principes Le schéma global de l appéi pour le risque es le suivan (cf. Insiu des Acuaires [2010]) : 4

5 1. Appéi du risque 1.2. Appéence au risque Les dimensions La compagnie, connaissan le niveau maximal de risque auquel elle peu faire face, a la capacié de déclarer son appéence pour le risque (cee déclaraion inégran les caracères négaifs e posiifs du risque). Cee appéence au risque doi prendre en compe l ensemble des dimensions sraégiques (mais agrégées) de l enreprise, qui son éablies en analysan les diverses problémaiques des paries prenanes : 5

6 1. Appéi du risque 1.2. Appéence au risque Les seuils de probabilié Il fau alors définir, pour chaque dimension, le cadre de valorisaion (compable / économique), le niveau de la probabilié conrôlé e l horizon de suivi. 1= résula non aein 2= alere sur les résulas pour le marché 3= pere sur l année 4= raing sous surveillance 5= dégradaion significaive du raing 6= inervenion du régulaeur 6

7 1. Appéi du risque 1.2. Appéence au risque Les mesures de risque Ces mesures doiven : êre inelligibles par l ensemble des paries prenanes ainsi elles doiven êre le plus simple possible (pour un acionnaire le risque de déviaion du résula ou de la MCEV es un indicaeur compréhensible). pouvoir se veniler par la suie par caégorie de risque (ie module de risque els que décri dans le pilier 1 sous SII). 7

8 1. Appéi du risque 1.3. Tolérance au risque Pour rendre opéraionnel l analyse précédene, il es nécessaire de raduire l appéence pour le risque au niveau de chacune des caégories de risques. Les faceurs de risque à inégrer doi : prendre en compe ous les faceurs de risque significaifs y compris ceux liés au faceur de risque business. êre en ligne avec le plan sraégique de la compagnie e mere en avan les préférences des managers ; aribuer une capacié de prise de risque à chaque preneur de risque. Le calcul des olérances au risque uilise la carographie des risques. 8

9 1. Appéi du risque 1.3. Tolérance au risque Méhode d allocaion proporionnellemen au poids des modules du Pilier 1 proporionnellemen à la diversificaion apporée par chaque périmère. proporionnellemen à une mesure de performance. Cee approche priorise la performance financière rapporée à un niveau de risque maximal ; selon une foncion d uilié spécifique, adapée aux prioriés de l enreprise. 9

10 1. Appéi pour le risque 1.4. Limies de risque e suivi Les limies concernen direcemen l acivié opéraionnelle e doiven êre raduies de manière opéraionnelle. Aussi le fai de reenir comme unique indicaeur le monan maximal de SCR es raremen suffisan. L enreprise élabore un éa de suivi de l'appéi pour le risque (Risk Appeie Dashboard). Il a pour obje de d analyser la consommaion du capial 10

11 1. Appéi pour le risque 2. Modèle de base SOMMAIRE Solvabilié 2 Pilier 2 3. Applicaion numérique 3403 / ORSA 11

12 2. Modèle de base 2.1. Le cadre de référence Le modèle présené ci-après perme de gérer les conras d assurance non vie à faible duraion. Il se place dans un cadre ou la poliique d ORSA es éablie sur la base d un modèle inerne : Cee équaion pouvan se récrire : SCR : P A L 0 99, 5% 1 1 F 1 C 1 L 1 P SCR L P SCR 1 L 99, 5% 1 R 1 Aussi, la connaissance de la loi de e donc de mener le processus d ORSA. revien à connaire le monan de SCR 12

13 2. Modèle de base 2.1. Le cadre de référence L une des principales problémaiques ce siue au niveau du calcul de la marge pour risque conenue dans le monan des provisions bes esimae. Afin de soluionner ce problème on fixe l hypohèse suivane : où D désigne la duraion du passif. RM D SCR On noera que cee simplificaion revien à considérer, qu en run off, les variables aléaoires SCR e BELprésenen une évoluion de leur espérance qui es proporionnelle. Oure le fai que cee hypohèse es proposée par l EIOPA, elle revien à considérer qu une diminuion de x% du BEL implique une diminuion de x% du risque e donc du SCR. 13

14 2. Modèle de base 2.1. Le cadre de référence Sur la base de cee simplificaion, l équaion présenée ci-avan devien : SCR F 1 1 D 1 BEL 1 C 1 1 BEL SCR VaR ; 99, 5% BEL 1 D 1 R 1 Cee expression n'es ouefois pas simple à manipuler car elle fourni une équaion implicie en SCR qui ne peu êre résolue que numériquemen. 14

15 2. Modèle de base 2.2. La dynamique des faceurs de risque Il s agi mainenan de spécifier les différens faceurs inervenans dans l équaion précédene. Quare faceurs de risque son reenus dans le modèle : les coisaions; le bes esimae (risque de arificaion passée); le raio combiné (risque de arificaion fuure e risque de frais); le rendemen de l'acif. Les calculs son menés en deux éapes : dans un premier emps on choisi une dynamique emporelle pour les faceurs de risque, dans un second emps, on en dédui les équaions d'évoluion des aures variables d'inérê elles que les presaions e la valeur de l'acif. 15

16 2. Modèle de base 2.2. La dynamique des faceurs de risque On suppose que condiionnellemen à l informaion disponible en, l évoluion des faceurs de risque à la dae es définie par : C 2 2 c 1 C exp c c e 1, c BEL BEL C 2 2 p 1 expp p e 1, p 1 1 où les e i son des bruis blancs gaussiens indépendans. 2 a 1 S exp a a e 1, a e exp 1, Le aux de variaion des provisions μ p doi êre impacé par l effe d'acualisaion e le niveau des presaions réglées : r ln p 1 avec φ consane. S 2 16

17 2. Modèle de base 2.3. Aures équaions d évoluion Via l équaion relaive au processus d évoluion du bes esimae, on a : Cee équaion radui la consommaion des provisions en run-off : la variaion endancielle du bes esimae es la conséquence de l'effe de désacualisaion minoré des presaions servies. En idenifian les deux ermes de l équaion, on rouve alors : Avec 1 2 p BEL 1 1 C 1 BEL exp r p e 1, p 1 2 F BEL C

18 2. Modèle de base 2.3. Aures équaions d évoluion On peu alors modéliser l ensemble des élémens du bilan simplifié : A A R F C 1 1 L BEL RM BEL D SCR F BEL C e consruire la disribuion du aux de couverure des engagemens réglemenaires : A L SCR Mais pour que le modèle soi uilisable en praique il fau êre capable de calculer le SCR de manière analyique. 18

19 2. Modèle de base 2.4. Formule explicie pour le SCR projeé Tou se ramène donc à déerminer la loi condiionnelle en de : 1 1 c BEL C R 1 avec c SCR BEL 1 D Compe enu de la forme des lois condiionnelles des variables BEL, C e 1+R, on approche la loi de xhi par une loi log-normale don les paramères son choisis pour que les deux premiers momens soien exacs. 19

20 , 2. Modèle de base 2.4. Formule explicie pour le SCR projeé On rouve après quelques calculs : avec : 2 ln 1 2 a a ln a p 1 c e BEL c e C e 1 2 c 2 2 2p 1 c BEL e e 2 p c c c c c e C e C e e c p 1 c e BEL c C e c 2 20

21 , 2. Modèle de base 2.4. Formule explicie pour le SCR projeé Le SCR se calcule alors via la formule fermée suivane : SCR 1 1 exp 99, 5% BEL 1 D Cee équaion nécessie la mise en œuvre d'une résoluion numérique. Une méhode par dichoomie es suffisane pour résoudre numériquemen cee équaion. 21

22 , 2. Modèle de base 2.5. Prise en compe de plusieurs lignes d affaires L'uilisaion praique du modèle proposé ici implique de pouvoir prendre en compe plusieurs lignes d'affaires adossées à un acif général, auremen di de disinguer des BEL e des coisaions par ligne. Dans ce cas on a : 1 n j1 c BEL C j j j j R 1 e on peu donc uiliser encore une approximaion par une loi log-normale de la loi condiionnelle de xhi, seul le calcul des deux premiers momens du numéraeur es modifié. Il es simple de prendre en compe la dépendance enre les branches, pour auan que celle-ci soi mesurée par des coefficiens de corrélaion enre les lois normales sous-jacenes. On prend ainsi en compe l'effe de l'évoluion des primes sur le mix-produi e peu idenifier des arbirages dans le poliique de souscripion. 22

23 1. Appéi pour le risque 2. Modèle de base SOMMAIRE Solvabilié 2 Pilier 2 3. Applicaion numérique 3403 / ORSA 23

24 , 3. Applicaion numérique 3.1. Paramérage Soi une compagnie d assurance commercialisan un conra frais de sané : raio combiné moyen de 100 % ; commercialisaion de 75 M de coisaions e allocaion 20 % d acions e 80 % d obligaions (OAT 1 an) ; raio de couverure iniiale du SCR de 204 % ; plan sraégique : mainenir le profil de risque acuel. Après validaion saisique du caracère log-normale de ses risques les paramères respecifs son esimés : 24

25 , 3. Applicaion numérique 3.1. Paramérage Préalablemen à la mise en œuvre à propremen parler, on valide le caracère log-normale la loi de xhi. Le es de Jarque-Bera uilisé en général pour des échanillons de grande aille, condui à une p-valeur de 35 %. 25

26 , 3. Applicaion numérique 3.2. Définiion de l appéi pour le risque La compagnie se fixe comme appéi pour le risque un raio de couverure annuel du SCR supérieur à 150% dans 95% des cas e ce sur les 5 prochaines année. évoluion des fonds propres économiques supérieure à -19% dans 80% des cas. Les résulas du modèle ainsi paraméré son présenés ci-après : 26

27 , 3. Applicaion numérique 3.3. Paramérage 27

28 3. Un exemple 3.3. Adéquaion du plan sraégique e de l ORSA Les résulas présenés ci-avan indiquen que sur la base du plan sraégique acuel l ensemble des conraines définies dans le cadre de la définiion de l appéi du risque es vérifiée. Cependan, la compagnie doi fixer des limies de risque e donc définir des inervalles d allocaions. Deux soluions son alors envisageables : eser plusieurs ypes d allocaions fixées arbirairemen ; définir l ensemble des allocaions permean de respecer l appéi du risque défini par la compagnie. 28

29 3. Un exemple 3.4. Conraine sur le SCR Sur la base de la connaissance des processus d évoluion de l acif e du passif, la compagnie projee l évoluion du quanile à 95% du raio de couverure à 1 an en foncion des diverses allocaions possibles. 29

30 3. Un exemple 3.4. Conraine sur le SCR Le graphique précéden indique que : plus la compagnie accroi son volume de coisaions, plus son allocaion acion doi êre faible ; cerains volumes de coisaions fon apparaîre une conraine d allocaion acion minimale. Cependan cee allocaion minimale es rès faible. Avan de fixer des conraines liées à la solvabilié, la compagnie analyse les conraines liées aux fonds propres. 30

31 3. Un exemple 3.5. Conraine sur les fonds propres Sur la base de la connaissance des processus d évoluion de l acif e du passif, la compagnie projee l évoluion du quanile à 80% du raio d évoluion des fonds propres économiques à 1 an en foncion des diverses allocaions possibles. 31

32 3. Un exemple 3.5. Conraine sur les fonds propres Le graphique précéden indique que plus la compagnie accroi son volume de coisaions, plus son allocaion acion doi êre faible. Aussi la compagnie doi en premier lieu exprimer sa préférence de risque : «préfère--elle allouer du risque à l acif ou au passif». En général, il es logique de privilégier les risques de passif, liés au développemen de l acivié. La conraine associée à la valeur moyenne des fonds propres économiques à 1 an fai apparaîre une conraine d allocaion maximale sur les obligaions : «pour une cible de 80 M de coisaions, l allocaion obligaaire ne doi pas dépasser 91% (quand pour une cible de 75 M de coisaions l allocaion maximale es de 93%) 32

33 3. Un exemple 3.6. Choix des limies de risques Compe enu de son mode de foncionnemen, la compagnie décide dans un premier emps de fixer ses conraines de coisaions (il s agi d une expression de sa culure du risque) : Commercialiser enre 75 M e 80 M de coisaions. Compe enu de l évoluion du risque en foncion du monan de coisaions, les conraines liées à l allocaion cible seron éablies sur la base d un monan de coisaions cible de 80 M. Cee analyse es présenée ci-après : 33

34 3. Un exemple 3.6. Choix des limies de risques SCR Probabilié à 95% L allocaion acion doi êre enre 1% e 25% 34

35 3. Un exemple 3.6. Choix des limies de risques fonds propres Probabilié à 80% L allocaion acion doi êre comprise enre 9% e 32%. 35

36 3. Un exemple 3.6. Choix des limies de risques synhèse Sur la base de l analyse présenée avan, le respec de l appéi du risque es obenu sur la base du plan sraégique suivan : commercialisaion de 75 M à 80 M ; allocaion acion comprise enre 9% e 25%. Afin de finaliser le disposiif d ORSA, il es nécessaire de prouver la bonne couverure du SCR sur oue la durée du plan sraégique : 36

37 3. Un exemple 3.6. Choix des limies de risques synhèse Sur la base de l analyse présenée avan, le respec de l appéi du risque es obenu sur la base du plan sraégique suivan : On observe qu une allocaion cible perme de vérifier la conraine iniiale sur 5 ans. En considéran un quanile sur la durée de projecion : Mais dans le cas d une conraine à 95% sur chaque année de projecion, le plan sraégique es rop risqué : 37

38 Conclusion On a décri ici un modèle simple permean, sur la base de la prise en compe des caracérisiques synhéiques des faceurs de risque de déerminer la disribuion du aux de couverure de l'exigence de marge réglemenaire sur l'horizon d'un plan sraégique. Un el modèle rouve sa place dans l'ensemble des ouils à déployer dans le cadre de l'orsa en fournissan à un organisme assureur le moyen de mesurer l'impac de choix de gesion sur sa couverure de la marge. Ce ouil, qui condui à répondre à l'exigence du régulaeur de mesurer l'effe de la producion fuure sur l'exigence de marge e sa couverure, inervien en aval du modèle uilisé dans le cadre du pilier 1, qu'il vien compléer. 38

39 Références AGENOS X. [2010] Appéi pour le risque e gesion sraégique d une sociéé d assurance non-vie, Mémoire d acuaire CEA CEIOPS [2010] Draf proposal for Level 3 Guidelines on Own Risk and Solvency Assessmen, Consulaion Paper CEIOPS [2009] Advice for Level 2 Implemening Measures on Solvency II: SCR sandard formula - Aricle 111 (f) Operaional Risk CEIOPS [2008] Own Risk and Solvency Assessmen, Issues Paper GUIBERT Q., JUILLARD M., PLANCHET F. [2010] «Un cadre de référence pour un modèle inerne pariel en assurance de personnes», Bullein Français d Acuaria, vol. 10, n 20. PLANCHET F., JUILLARD M. [2010] «Le Pilier 2 : du calcul de l'exigence de marge au piloage d'un profil de risques.», la Tribune de l Assurance (rubrique «le mo de l acuaire»), n 153 du 01/12/2010. GUIBERT Q., JUILLARD M., PLANCHET F. [2011] «Mesure de l'inceriude sur le aux de couverure des engagemens dans un cadre ORSA», Les cahiers de recherche de l ISFA, WP2142 PLANCHET F., THÉROND P.E., JUILLARD M. [2011] Modèles financiers en assurance, seconde édiion, Paris : Économisa. hp://www.ressources-acuarielles.ne 39

40 CONTACTS Frédéric PLANCHET Marc JUILLARD Quenin GUIBERT WINTER & Associés Bureau de Paris avenue de la Grande Armée F Paris +33-(0) Bureau de Lyon 55 avenue René CASSIN F Lyon +33-(0) hp://www.winer-associes.fr hp://www.ressources-acuarielles.ne hp://blog. ressources-acuarielles.ne 40

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