Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin durée : 3h

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin 2011 1 - durée : 3h"

Transcription

1 Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin durée : 3h - Le seul document autorisé est un résumé manuscrit du cours de trois pages maximum. - Les téléphones portables et les calculatrices ne sont pas autorisés. - Toutes les réponses doivent être soigneusement justifiées. 1. On considère sur E = C([0, 1], R) les deux normes : f 1 = 0 f(x) dx et f = sup f(x). x [0,1] On note que f 1 f, f E. a) Pour n 0, soit f n : t t n, f n E. Calculer f n 1, f n et en déduire qu il n existe pas de nombre C 0 tel que f n C f 1, pour tout f E. b) Pour n 1, soit g n (t) = min(n, 1 t ). Démontrer que g n+p g n 1 = 1 n 1, pour tout p 1. n + p En déduire que (g n ) est de Cauchy pour 1. Vérifier ensuite que (g n ) n a pas de limite dans E. Conclure. c) On suppose que E est muni de la norme. Soit A = {f E; f(x) < 1, x [0, 1]}. Montrer que A est ouvert. Déterminer son adhérence. 1 Le corrigé sera disponible à partir du 17 juin 2011 à l adresse http :// choulli/enseignement.html

2 2. On désigne par E l ensembles des suites réelles qui convergent vers 0 et par F l ensemble des suites réelles nulles à partir d un certain rang. a) Montrer que E est un espace vectoriel sur R et que F est un sous-espace vectoriel strict de E. b) Pour u = (u n ) dans E, on pose u = sup u n. n Vérifier que est une norme sur E puis montrer que F est dense dans E. c) Montrer que E est complet. Est-ce que F l est aussi? d) On note l 1 l ensemble des suites réelles sommables. On munit l 1 de la norme u 1 = n 0 u n, pour u = (u n ) l 1. i) On fixe u l 1 et on note Φ u l application : Φ u (v) = n 0 u n v n, v E. Montrer que Φ u est une forme linéaire continue sur E et calculer sa norme. ii) Montrer que Φ : u Φ u est une isométrie bijective de l 1 sur E. 3. Soit X un espace de Banach réel et Y un sous-espace vectoriel de X. a) Soient α R et f X telle que f(x) < α, pour tout x Y. Montrer alors que f = 0 sur Y (on montrera que λ f(x) < α, pour tout x Y et λ R). On pose Y = {f X ; f(x) = 0, pour tout x Y } et Y = {x X; f(x) = 0 pour tout f Y }. b) Montrer que Y et Y sont fermés et que Y = Y (supposer le contraire et appliquer le théorème de séparation de Hahn-Banach pour aboutir à une contradiction). 4. Soit X un espace métrique compact et H une famille équicontinue d éléments de C(X). Soit J = {x X; {f(x)} f H est borné}. Démontrer que J est un ouvert et fermé dans X. En déduire que si X est connexe et si J est non vide, alors H est une partie relativement compacte de C(X).

3 Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Corrigé de l examen du 16 juin a) On a S il existait C 0 tel que f n 1 = on aurait, en prenant f = f n, 0 t n dt = 1 n + 1 et f n = 1. f n C f 1, pour tout f E, 1 C n + 1 pour tout n 0, ce qui est absurde. b) On peut écrire n, pour 0 t < 1 n 2 g n (t) = 1 1 t pour t 1. n 2 D où, un simple calcul donne g n+p g n 1 = Il en résulte immédiatement (n+p) 2 0 pdt + n 2 n + p. ( 1 n)dt = 1 1 (n+p) t n 1 2 lim g n+p g n 1 = 0, pour tout p 1. n + C est-à-dire que (g n ) est de Cauchy pour 1. Si (g n ) admettait une limite g dans E, alors nécessairement g(t) = 1 t sur ]0, 1], ce qui est impossible. c) Puisque f = max x [0,1] f(x), on voit facilement que A n est rien d autre que la boule unité ouverte de E. C est donc un ouvert et son adhérence n est rien d autre que la boule unité fermée de E.

4 2. a) Puisque E contient la suite nulle et que la propriété de convergence vers 0 est stable par combinaison linéaire, on conclut que E est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des suites réelles. Si une suite u = (u n ) s annule à partir du rang N 1 et si une suite v = (v n ) s annule à partir du rang N 2, alors la suite λu + v s annule à partir du rang N = max(n 1, N 2 ), pour tout λ R. Comme F contient la suite nulle, on déduit que F est un sous-espace vectoriel de E. F est strictement inclus dans E car la suite u = (e n ) est dans E mais n appartient pas à F. b) Soient u = (u n ) et ɛ > 0. Puisque u n 0 quand n +, il existe N ɛ N tel que u n ɛ, pour tout n N ɛ. Si v = (v n ) F est donnée par v n = u n, n N ɛ et v n = 0 sinon, alors u v = sup n N ɛ u n ɛ. En d autres termes, toute boule de rayon > 0, centré en u, rencontre F. Ce qui équivaut à la densité de F dans E. c) Soit (u k ) une suite de Cauchy de (E) : ɛ > 0, k ɛ, u k n u l n ɛ, n N, k, l k ɛ. (1) En particulier, pour chaque n, (u k n) k est de Cauchy dans R. Puisque R est complet, u k n u n. On pose u = (u n ). Dans (1), en fixant n et en faisant l +, on obtient On en déduit Mais u kɛ n suite, ɛ > 0, k ɛ, u k n u n ɛ, n N, k k ɛ. (2) u n u kɛ n + u kɛ n u n u kɛ n + ɛ, n N. 0 quand n 0 quand n +. Donc N ɛ tel que u kɛ n ɛ, n N ɛ. Par u n 2ɛ, n N ɛ. Ceci prouve que u E. Pour terminer on note que (2) est équivaut à ɛ > 0, k ɛ, u k u ɛ, k k ɛ, ce qui signifie que (u k ) converge vers u dans E. F ne peut pas être complet. Car si ce n était pas le cas, on aurait que F est fermé et, puisqu il est dense dans E, on concluerait que F = E. Cette dernière affimation ne peut pas avoir lieu car F est sous-espace strict de E. d) i) Il est clair que Φ u est linéaire. Elle est continue puisque Φ u (v) n 0 u n v n v u n = v u 1. n 0

5 Et on a Φ u E u 1. Pour chaque k N, soit v k = (vn) k n donnée par : vn k = sgn(u n ) si n k (avec la convention que sgn(t) = 0 si t = 0) et vn k = 0 sinon. Alors v k E pour chaque k, v k = 1 (si u 0) et et donc k Φ u E Φ u (v k ) = Φ u (v k ) = u n, k n=0 Φ u E u n = u 1. n 0 On conclut que Φ u E = u 1 (vérifiée aussi si u = 0). ii) D après i), Φ(u) E = Φ u E = u 1. Donc Φ est une isométrie. On montre maintenant la surjectivité de Φ. Soit ϕ E et, si e k = (δn) k n E, k N, on pose u k = ϕ(e k ). On fixe l N et note v l, l élément de F donnée par vk l = sgn(ϕ(ek )), k l et vl k = 0 sinon. Alors u k = ϕ(e k ) = ϕ(e k )vk l = ϕ(v k ) ϕ E. k l k l k l D où u = (u k ) l 1 et u 1 ϕ E. Pour tout v = (v n ) F, on a v = n 0 v ne n (somme finie) et par suite ϕ(v) = n 0 v n ϕ(e n ) = n 0 v n u n = Φ u (v). En d autres termes, ϕ coïncide avec Φ u sur F et puisque F est dense dans E, on conclut que Φ u = ϕ. D où le résultat. 3. a) Puisque f(0) = 0, on a 0 < α. Comme Y est un sous-espace vectoriel on a x Y si x Y. Donc, pour tout x Y, on a à la fois f(x) < α et f(x) < α. D où f(x) < α. En remplaçant x par λx, on déduit que λ f(x) < α, pour tout x Y et λ R, ce qui entraine, bien évidemment, f(x) = 0, pour tout x Y. b) L application Φ x : X R : f f(x) étant continue pour tout x X, Φ 1 x ({0}) est fermé. D où Y = x Y Φ 1 x ({0}) est fermé. De façon similaire, on montre que Y est aussi fermé. Si x Y, on a f(x) = 0 pour tout f Y et donc Y Y. Par suite, Y Y car Y est fermé. Si Y n était pas égal à Y, il existerait y 0 Y \ Y. On trouverait alors, d après le théorème de séparation de Hahn Banach, f X et α R tels que f(x) < α < f(y 0 ), pour tout x Y. D après a), ceci entrainerait f(x) = 0 pour tout x Y, c est-à-dire, f Y. On aurait donc f(y 0 ) = 0 (car y 0 Y ), ce qui est en contradiction avec 0 < f(y 0 ).

6 4. Si J =, alors le résultat est démontré. On suppose alors que J. Soit x J. Puisque H est équicontinue, il existe η > 0 (en prenant ɛ = 1 dans la définition) tel que f(y) f(x) 1, y B(x, η), f H, et donc f(y) f(x) + f(y) f(x) f(x) + 1, y B(x, η), f H. Puisque {f(x)} f H borné, il en de même de {f(y)} f H, pour tout y B(x, η), ce qui montre que J est ouvert. On montre à présent que J est fermé. Soit x = lim n x n, (x n ) une suite d éléments de J. De nouveau l équicontinuité de H entraine l existence d un η > 0 tel que f(y) f(x) 1, y B(x, η), f H, Mais il existe n 0 un entier tel que x n0 B(x, η). Par suite, sup f H f(x) 1 + sup f(x n0 ), f H Il en résulte que x J et par conséquence J est fermé. Si X est connexe et J est non vide alors J = X puisque l on sait, d après ce qui précède, que J est un ouvert et fermé de X. On applique alors le théorème d Ascoli pour conclure que H est relativement compact dans C(X).

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Espaces métriques complets. Espaces de Banach

Espaces métriques complets. Espaces de Banach Chapitre 5 Espaces métriques complets. Espaces de Banach La droite réelle est complète, car toute suite numérique de Cauchy converge. Cette propriété n est plus vraie pour le corps des nombres rationneles,

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières.

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières. Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M Hadamard 25-26 TD7 Exercice Sous-espaces fermés de C ([,] formé de fonctions régulières. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de C ([,] muni de la convergence

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES

LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES Topologie Générale Philippe Charpentier Université Bordeaux I Année universitaire 2000-01 PHILIPPE CHARPENTIER UNIVERSITÉ BORDEAUX I LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES PURES 351,

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R TOPOLOGIE 1) DISTANCE, ESPACES MÉTRIQUES a : distances : d'après le cours de M. Nicolas Tosel professeur en MP* au Lycée du Parc, Lyon Année 2004 2005 une distance est une application d de E dans R + telle

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

et Transversalité par Pierre Vogel

et Transversalité par Pierre Vogel Université Paris 7 Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu Géométrie des Variétés et Transversalité par Pierre Vogel Introduction Ce cours est destiné à l étude des variétés différentiables

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul Différentiel et Équations Différentielles D. Azé Université Paul Sabatier Toulouse 2008 Table des matières 1 Généralités sur les espaces normés 3 1.1 Espaces

Plus en détail

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < +

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Chapitre 6 Les espaces L p 6.1 Définitions et premières propriétés 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Soient (E, T,m) un espace mesuré, 1 p < + et f M = M(E, T) (c est-à-dire f : E R, mesurable). On remarque

Plus en détail

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin. Jean-Baptiste Campesato 22 septembre 29 Gerschgorin est parfois retranscrit en Gershgorin, Geršgorin, Hershhornou

Plus en détail

3 Equations de Laplace et de Poisson

3 Equations de Laplace et de Poisson 3 Equations de Laplace et de Poisson 3. Formule d intégration par parties Soit un domaine borné à bord régulier de classe C. On note ν = ν(x) le vecteur normal extérieur au point x. Pour toutes fonctions

Plus en détail

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants :

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants : Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo Un peu de topologie Enseignants : F. Golse (golse@math.polytechnique.fr), Y. Laszlo (laszlo@math.polytechnique.fr), C. Viterbo (viterbo@math.polytechnique.fr)

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

Examen du 12 juin durée : 3h

Examen du 12 juin durée : 3h Master de Mathématiques Aalyse Foctioelle Exame du 1 jui 13 1 - durée : 3h Le seul documet autorisé est u résumé mauscrit du cours de trois pages maximum. Les téléphoes portables et les calculatrices e

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f.

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f. escp-eap 2(Ecole de commerce) OPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUES I adapté en retirant certaines question qui sont du cours de PC et en ajoutant le dernier exemple.. a) question de cours b) P(f) est un polynôme

Plus en détail

208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples

208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples On se xe un corps K = R ou C. Tous les espaces vectoriels considérés auront K comme corps de base. 1 Généralités Remarque. Tout

Plus en détail

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau.

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Gilles arbou.m.l.a Ecole Normale Supérieure de achan 61, avenue du Président Wilson 9435 achan edex Résumé. - On étudie les solutions

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre Lycée Louis le Grand, Paris, France Igor Kortchemski MP*2-2006/2007 Table des matières 1 Semaine 1 - Équivalents, développements asymptotiques,

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

1.1.1 Cas le plus général d espace topologique

1.1.1 Cas le plus général d espace topologique Chapitre 1 Topologie 1.1 Espaces topologiques 1.1.1 Cas le plus général d espace topologique Définition 1 (Topologie) Une topologie T sur l ensemble X est une partie T P (X) vérifiant : L ensemble vide

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

202 - Exemples de parties denses et applications

202 - Exemples de parties denses et applications 202 - Exemples de parties denses et applications 1 Généralités et premiers exemples 1.1 Parties denses On xe un espace métrique (X, d). Dénition 1. Soit D X. On dit que D est dense dans X si D = X. Exemple.

Plus en détail

Série n 5 : Optimisation non linéaire

Série n 5 : Optimisation non linéaire Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Série n 5 : Optimisation

Plus en détail

Exercice 3.1.1 Si f est une fonction continue sur [0, 1], montrer que l équation différentielle

Exercice 3.1.1 Si f est une fonction continue sur [0, 1], montrer que l équation différentielle Chapitre 3 FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES Exercice 3.. Si f est une fonction continue sur [, ], montrer que l équation différentielle { d 2 u = f pour < x < dx 2 (3.) u() = u() =.

Plus en détail

EMLYON 2015 S. Éléments de correction

EMLYON 2015 S. Éléments de correction EMLYON 15 S Éléments de correction ECS Lycée La ruyère, Versailles Année 1/15 Premier problème Première partie 1. On peut vérifier le critère de sous-espace vectoriel E et, pour P 1, P E et λ R, λp 1 +

Plus en détail

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Ó Ø Ó Ö ¾¼½ PSI Aurélien Monteillet ii Ce document contient les notes d un cours de mathématiques pour la classe de PSI. Les démonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Les Mathématiques pour l Agrégation. C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud

Les Mathématiques pour l Agrégation. C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud Les Mathématiques pour l Agrégation C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud 14 février 2002 Table des matières 1 Fonctions holomorphes 2 1.1 Cadre..................................

Plus en détail

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire Résumé de Ma Sup et compléments : algèbre linéaire I - Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels 1) Structure de K-espace vectoriel Soient K un sous-corps de C et E un ensemble non vide muni d une l.d.c.i.

Plus en détail

Plan du cours. Espaces métriques. Espaces vectoriels normés

Plan du cours. Espaces métriques. Espaces vectoriels normés L3 Maths, 1 er semestre 20112012 Espaces métriques Plan du cours On suppose connues les propriétés élémentaires des nombres réels et des espaces vectoriels et, uniquement pour les exemples, quelques propriétés

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé

Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé n o 1 *I : 1 Soit P E. Si on pose P = + a k X k, il existe n N tel que k > n, a k =. Donc P = { k= P k } Sup k!, k N = Max{

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques

Plus en détail

2010/2011. Espaces vectoriels

2010/2011. Espaces vectoriels Université Paris-Est Marne-la-Vallée 010/011 M1 enseignement CD/Préparation au CAPES Espaces vectoriels Dans toute la suite on considèrera des espaces vectoriels sur un corps commutatif K de caractéristique

Plus en détail

PC* Espaces préhilbertiens réels

PC* Espaces préhilbertiens réels I. Espace préhilbertien réel................................... 3 I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel................... 3 I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski..................

Plus en détail

Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire 2015-2016

Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire 2015-2016 Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé Prof. MOWGLI Ahmed Année scolaire 2015-2016 1 Pour des cours particuliers par petits groupes de 3 ou 4 élèves en maths et/ou physique-chimie, veuillez me contacter.

Plus en détail

Les espaces vectoriels Partie 1

Les espaces vectoriels Partie 1 Les espaces vectoriels Partie 1 MPSI Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 1 er février 2016 1 Définition d un Espace Vectoriel Soit ( K,+, ) un corps commutatif (le programme impose K = R ou C).

Plus en détail

Analyse II. Cours de deuxième année. donné à l Ecole normale supérieure de Lyon. année universitaire 2003-2004

Analyse II. Cours de deuxième année. donné à l Ecole normale supérieure de Lyon. année universitaire 2003-2004 Analyse II Cours de deuxième année donné à l Ecole normale supérieure de Lyon année universitaire 2003-2004 Cédric Villani Unité de Mathématiques Pures et Appliquées Ecole normale supérieure de Lyon 46

Plus en détail

Techniques d Analyse par les Méthodes de Lyapunov (suite)

Techniques d Analyse par les Méthodes de Lyapunov (suite) Techniques d Analyse par les Méthodes de Lyapunov (suite) Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 1 / 24 Leçon 5 1 Désavantage de la définition de la

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Les paraboles. x ax 2 + bx + c.

Les paraboles. x ax 2 + bx + c. 1ES Résumé du cours sur le second degré. Les paraboles. On appelle fonction du second degré une fonction de la forme x ax 2 + bx + c. Bien sûr a doit être différent de 0 sinon ce n est pas une fonction

Plus en détail

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2 Guillaume CARLIER L1, année 2006-2007 2 Ce support de cours est basé sur le poly de Tristan Tomala des années précédentes.

Plus en détail

Espaces vectoriels normés MP

Espaces vectoriels normés MP Espaces vectoriels normés MP 27 décembre 2012 Faites des dessins Table des matières 1 Espaces vectoriels normés 3 1.1 Normes, espaces normés................................. 3 1.2 Normes dans les espaces

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal Cours d Analyse Semestre 1 Stéphane Attal 2 Contents 1 Les nombres réels 5 1.1 Les ensembles usuels de nombres................ 5 1.2 Ensembles ordonnés........................ 6 1.3 Le corps des nombres

Plus en détail

CONVEXITÉ ET APPLICATIONS. Rozenn Texier-Picard picard@bretagne.ens-cachan.fr. ENS Cachan Bretagne / Université Rennes 1

CONVEXITÉ ET APPLICATIONS. Rozenn Texier-Picard picard@bretagne.ens-cachan.fr. ENS Cachan Bretagne / Université Rennes 1 CONVEXITÉ ET APPLICATIONS cours rédigé par Rozenn Texier-Picard picard@bretagne.ens-cachan.fr Préparation à l Agrégation ENS Cachan Bretagne / Université Rennes 1 1 2 INTRODUCTION Bien que la notion de

Plus en détail

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES OFM FRANÇAISES MATHÉMATIQUES ENVOI NO. 3 CORRIGÉ 1 Exercices du groupe B Exercice 1. Soit n 1 un entier tel que le quotient de 2 n par n est une puissance

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Exo7 Espaces vectoriels Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Définition, sous-espaces Exercice Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : E = { f : [,] R } :

Plus en détail

AMPHI 2 : INTEGRATION. Chapitre 3. Documents disponibles sur http ://www.math.polytechnique.fr/ golse

AMPHI 2 : INTEGRATION. Chapitre 3. Documents disponibles sur http ://www.math.polytechnique.fr/ golse AMPHI 2 : INTEGRATION Chapitre 3 Documents disponibles sur http ://www.math.polytechnique.fr/ golse L intégrale de Lebesgue (1902) A la base de l analyse fonctionnelle, socle mathématique de la mécanique

Plus en détail

Chapitre 3. Espaces vectoriels

Chapitre 3. Espaces vectoriels Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 3 Espaces vectoriels Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples.

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. 208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. Pierre Lissy May 29, 2010 Dans totue la suite, E désigne un espace vectoriel sur R ou C. 1 Norme. Espace vectoriel normé 1.1

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 4

Programmation Linéaire - Cours 4 Programmation Linéaire - Cours 4 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire Dualité 1 Dualité 2 3 Primal / Dual Dualité Les PL vont toujours par paires

Plus en détail

Université Lille I 2010-2011. Feuille 1

Université Lille I 2010-2011. Feuille 1 Université Lille I 00-0 Feuille Dans la suite D est un domaine de C, muni d une pseudo-métrique infinitésimale définie par un poids ρ. On note d la pseudo-distance induite. Exercice. On suppose ici que

Plus en détail

Espaces vectoriel normés

Espaces vectoriel normés Espaces vectoriel normés 1) Normes a) Dé nition : K R ou C. Une norme sur un K-ev E est une application E! R x 7! kxk véri ant : i) 8 x 2 E; kxk 0 et kxk 0, x 0 (vecteur nul). ii) 8 x 2 E; 8 2 K kxk jj

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006 MODÈLES DE DYNAMIQUE DES POPULATIONS N désigne l effectif d une population isolée. dn(t) dt MODÈLE DE MALTHUS (1766-1834) dn(t)

Plus en détail

1 Séancs du 14/21.11.08

1 Séancs du 14/21.11.08 1 1 Séancs du 14/21.11.08 1.1 Le rayon spectral Le spectre d un opérateur (ici, élément d une algèbre stellaire) est un compact non vide. La compacité est immédiate, car, pour z > u, u zi peut être inversé

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

Espaces vectoriels normés Classe de Spéciales MP. par Emmanuel AMIOT. 29 septembre 2014

Espaces vectoriels normés Classe de Spéciales MP. par Emmanuel AMIOT. 29 septembre 2014 Espaces vectoriels normés Classe de Spéciales MP par Emmanuel AMIOT 29 septembre 2014 Introduction Pendant pas mal de siècles, les notions de proximité, de limite étaient fondées plus sur l intuition que

Plus en détail

Suites de Cauchy et théorème du point fixe de Banach

Suites de Cauchy et théorème du point fixe de Banach ACCUEIL Suites de Cauchy et théorème du point fixe de Banach Frédéric Élie, novembre 2012 La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Relations d ordre et relations d équivalence

Relations d ordre et relations d équivalence CHAPITRE 1 Relations d ordre et relations d équivalence 1.1 Définition Une relation sur un ensemble E est un sous-ensemble R de l ensemble E E, produit cartésien de E par lui-même. Par exemple, si E =

Plus en détail

Corrigés d exercices pour le TD 5

Corrigés d exercices pour le TD 5 Corrigés d exercices pour le TD 5 Compacts? Les ensembles suivants sont-ils compacts? Justifier la réponse. 1. Z, dans l espace métrique R muni de la distance discrète. 2. {0, 1}, dans l espace métrique

Plus en détail

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Chp. 9. Convexité Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction numérique partout définie sur C. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Définition

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

Applications linéaires, matrices, déterminants

Applications linéaires, matrices, déterminants Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit u: R 3 R défini pour tout x = (x 1, x, x 3 R 3 par u(x = (x 1 + x + x 3, x 1 + x x 3 1. Montrer que u est linéaire.. Déterminer ker(u. Allez

Plus en détail

Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach

Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach E extracta mathematicae Vol. 19, Núm. 2, 233 241 (2004) Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach R. El Harti Département de Mathématiques, Faculté des Sciences et Techniques Université

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES 30-9- 2010 J.F.C. p. 1 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Exercice 1 Intersection d hyperplans. E est un espace vectoriel de dimension n sur K (n [2, + [). Q1. Montrer que si F et G sont deux

Plus en détail

Mathématiques des modèles multi-échelles. Frédéric Legoll et Mathieu Lewin

Mathématiques des modèles multi-échelles. Frédéric Legoll et Mathieu Lewin Mathématiques des modèles multi-échelles Frédéric Legoll et Mathieu Lewin Mars 213 Table des matières Introduction v 1 Rappels et compléments d analyse 1 1.1 Applications linéaires...........................

Plus en détail