Une introduction au codage de réseau aléatoire Correction d erreurs dans le codage de réseau

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Noëlle Gagnon
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1 Une introduction au codage de réseau aléatoire Correction d erreurs dans le codage de réseau Christine Bachoc Université Bordeaux I, IMB École de printemps Codage et Cryptographie Mars 2014, Université Joseph Fourier, Grenoble

Université Bordeaux I, IMB École de printemps Codage et

2 Erreurs Le réseau transmet des éléments (paquets) de F m q. Une insertion d erreur à l arête e est modélisée par l ajout d un paquet E e: x e = x e + E e Un effacement à l arête e est la perte de la valeur de x e. On suppose le codage linéaire aléatoire. Problème: la propagation des erreurs au cours du codage.

x e = x e + E e Un effacement à l arête e est la perte de la valeur de x e.

3 Propagation des erreurs s t

4 Propagation des erreurs s E e t

5 Propagation des erreurs s t

6 Propagation des erreurs s t

7 Propagation des erreurs s t

8 Erreurs Si X F n m q est envoyé par la source et Y reçu à destination, en présence d erreurs on a: Y = TX + UE Kschischang, Koetter, 2008: proposent de modéliser l information transmise par un sous-espace vectoriel V de F m q. Si une base de V est injectée dans le réseau, le codage linéaire préserve la propriété d appartenance: les paquets transmis au destinataire appartiennent à V. Avantage: en cas d erreur, on peut espérer que V sera modifié en V un sev proche de V au sens d une métrique raisonnable. Alors, on peut appliquer les principes des codes correcteurs d erreurs: sélectionner un ensemble de sev (code) suceptibles d être transmis, et appliquer à la réception un décodage par l élément du code le plus proche. Autre avantage: on n a pas besoin de connaitre la topologie du réseau (cas non cohérent).

Avantage: en cas d erreur, on peut espérer que V sera modifié en V un sev proche de V au sens d une métrique raisonnable.

9 Distances entre sous-espaces Subspace distance d S [Koetter Kschischang 2008]: d S (U, V ) = dim(u + V ) dim(u V ) = dim(u) + dim(v ) 2 dim(u V ) C est la distance du plus court chemin dans le graphe dont les sommets sont les sous-espaces de F m q et les arêtes relient U, V si U V et dim(v ) = dim(u) + 1. Injection distance d [Kschischang Silva 2008]: d(u, V ) = max(dim(u), dim(v )) dim(u V ) d(u, V ) mesure le plus petit nombre d erreurs insérées nécessaires pour transformer une base de U en une base de V.

les arêtes relient U, V si U V et dim(v ) = dim(u) + 1.

10 Distances entre sous-espaces Comparaison: d S (U, V )/2 d(u, V ) d S (U, V ). Égalité à gauche si dim(u) = dim(v ). Exemple: {e 1, e 2, e 3 } la base canonique de F 3 q. U = e 1, e 2, V = e 3. e 1, e 2, e 3 e 1, e 2 e 3 {0} d S (U, V ) = 3, d(u, V ) = 2. d S (U, V )/2 < d(u, V ) < d S (U, V ). {e 1, e 2 } {e 1 +(e 3 e 1 ), e 2 } {e 3, e 2 +(e 3 e 2 )} {e 3, e 3 }

U = e 1, e 2, V = e 3. e 1, e 2, e 3 e 1, e 2 e 3 {0} d S (U, V ) = 3, d(u, V ) = 2.

11 Correction d erreurs P q(m) l ensemble des sous-espaces vectoriels de F m q C P q(m) d(c) la distance minimale du code C: d(c) = min{d(u, V ) : U C, V C, U V }. ρ le nombre d effacements, t le nombre d insertions d erreurs. Théorème: [Kschischang Silva 2008] Le décodage par l élément du code le plus proche corrige correctement ρ effacements et t insertions en position quelconque ssi d(c) > 2t + ρ.

ρ le nombre d effacements, t le nombre d insertions d erreurs.

12 Relèvements de matrices Soit M F k m q. On associe à M le sous-espace vectoriel Λ(M) engendré par les lignes de la matrice [I k M]: D ˆ Λ(M) := Ik M E Soit G q(n, k) l ensemble des sous-espaces vectoriels de F n q de dimension k (espace Grassmannien). On a Λ(M) G q(m + k, k). Soit C F k m q, on note Λ(C) := {Λ(M) : M C}.

matrice [I k M]: D ˆ Λ(M) := Ik M E Soit G q(n, k) l ensemble des sous-espaces

13 Métrique rang L espace F k m q est naturellement muni de la métrique rang: d R (M, N) = rang(m N). On a : d(λ(m), Λ(N)) = rang(m N) = d R (M, N). Preuve: d(λ(m), Λ(N)) = dim(λ(m) + Λ(N)) min(dim(λ(m)), dim(λ(n))) D» I = dim k M E k I k N D» I = dim k M E k 0 N M = (k + rang(n M)) k = d R (M, N).

14 Espaces de Delsarte Les espaces: G q(n, k) et F k n q sont des espaces de Delsarte au même titre que l espace de Hamming et l espace de Johnson binaire. Delsarte 1973: cadre uniforme des schémas d association P-Q polynomiaux pour les codes, anticodes, formule de Mac Williams, méthode de programmation linéaire, etc.. Delsarte 1978: étude spécifique des espaces G q(n, k) (comme q-analogue du Johnson binaire) et F k n q (en particulier construction des codes de Gabidulin ). Point de vue théorie des groupes: ce sont des espaces 2-point homogènes pour l action d un groupe G. Leurs polynômes orthogonaux sont leurs fonctions zonales sphériques.

etc.. Delsarte 1978: étude spécifique des espaces G q(n, k) (comme q-analogue du Johnson binaire) et F k n q (en particulier construction des codes de Gabidulin ).

15 Space Group Polynomial Hamming space q n S q S n Krawtchouk Johnson space S n Hahn q-johnson space Gl n(f q) q-hahn Maximal totally isotropic subspaces of dimension k, for a nonsingular bilinear form: Symmetric SO 2k+1 (F q) q-krawtchouk SO 2k (F q) q-krawtchouk SO 2k+2 (Fq) q-krawtchouk Symplectic Sp 2k (F q) q-krawtchouk Hermitian SU 2k (F q 2 ) q-krawtchouk SU 2k+1 (F q 2 ) q-krawtchouk Spaces of matrices: F k n q F k n q.(gl k (F q) Gl n(f q)) Affine q-krawtchouk Skew n(f q) Skew n(f q). Gl n(f q) Affine q-krawtchouk Herm n(f q 2 ) Herm n(f q 2 ). Gl n(f q 2 ) Affine q-krawtchouk Table: Some finite two-point homogeneous spaces, their groups and their spherical functions

2k (F q 2 ) q-krawtchouk SU 2k+1 (F q 2 ) q-krawtchouk Spaces of matrices: F k n q F k n q.(gl k (F q) Gl n(f q)) Affine q-krawtchouk Skew n(f q) Skew n(f q).

16 Codes de Gabidulin Delsarte 1978 (définition et paramètres), Gabidulin 1985 (décodage), Kschischang Koetter 2008 (network coding). Analogues des codes de Reed-Solomon, en mieux! Notations: m n, F m n q {α 1,..., α m} de F q m: 2 3 a a 1n a a 2n Fm n q a m1... a mn s identifie à (F q m) n par le choix d une F q-base (x 1,..., x n) `F n q m si x j = mx a ij α i. i=1

Notations: m n, F m n q {α 1,..., α m} de F q m: 2 3 a 11... a 1n a 21... a 2n 6 4 7.

17 Polynômes linéarisés Un polynôme linéarisé à coefficients dans F q m est un polynôme de la forme: P(X) = X a i X qi, a i F q m. finie Le degré deg q (P) de P est le plus grand indice i tel que a i 0. Ensemble noté L q m[x]. C est un anneau non commutatif pour la multiplication: (PQ)(X) := P(Q(X)). Explicitement, si P(X) = P i a ix qi et Q(X) = P i b ix qi, alors (PQ)(X) = P i c ix qi avec c i = X k+l=i a k b qk l.

Ensemble noté L q m[x]. C est un anneau non commutatif pour la multiplication: (PQ)(X) := P(Q(X)).

18 À part la commutativité, l anneau L q m[x] a toutes les bonnes propriétés de l anneau des polynômes usuel, en particulier une division euclidienne à droite, un algorithme d Euclide étendu à droite (resp à gauche). Linéarité: si P L q m[x], pour tout x, y F q m, λ, µ F q, car P(λx + µy) = λp(x) + µp(y) (λx + µy) qi = λx qi + µy qi. (d où le nom de polynôme linéarisé) Zéros: En particulier, les zéros de P forment un F q-espace vectoriel de dimension au plus égale à deg q (P) (car leur nombre est majoré par deg X (P) = q deg q (P) ).

Linéarité: si P L q m[x], pour tout x, y F q m, λ, µ F q, car P(λx + µy) = λp(x) + µp(y) (λx + µy) qi = λx qi + µy qi.

19 Codes de Gabidulin: définition et propriétés Soit k n m, et soit {x 1,..., x n} des éléments de F q m linéairement indépendants sur F q. Gab(n, k) := (P(x 1 ),..., P(x n)) : P L q m[x], deg q (P) < k. Gab(n, k) est F q m-linéaire et de dimension k. Preuve: si (P(x 1 ),..., P(x n)) = (0,..., 0), on aurait X := x 1,..., x n q Z := zéros de P ce qui contredirait n k. Donc dim Fq m Gab(n, k) = dim Fq m { P L q m[x] : deg q (P) < k = k. Sa distance rang minimale d vérifie d = n k + 1.

.., P(x n)) : P L q m[x], deg q (P) < k. Gab(n, k) est F q m-linéaire et de dimension k. Preuve: si (P(x 1 ),.

20 Preuve de d = n k + 1 Comme Gab(n, k) est F q m-linéaire, il suffit de considérer le rang minimal de ses éléments. Soit (P(x 1 ),..., P(x n)) de rang d minimal. On considère l application linéaire ϕ : F n q F q m: ϕ(λ 1,..., λ n) = λ 1 P(x 1 ) + + λ np(x n). P est F q-linéaire donc: λ 1 P(x 1 ) + + λ np(x n) = P(λ 1 x λ nx n) Donc : dim(im ϕ) = dim(p(x)) = d et dim(ker ϕ) = dim(x Z ) donc d = dim(p(x)) = n dim(x Z ) n dim(z ) n (k 1).

On considère l application linéaire ϕ : F n q F q m: ϕ(λ 1,..., λ n) = λ 1 P(x 1 ) + + λ np(x n).

21 Borne de Singleton Théorème [Delsarte 1978] Si C F m n q pour la métrique rang, et si m n, C q m(n d+1). est un code de distance minimale d En particuler, si C est F q m-linéaire de dimension k, on a k n d + 1 ou encore d n k + 1. Conclusion: Gab(n, k) vérifie d = n k + 1 et atteint la borne de Singleton pour la métrique rang (on dit qu il est MRD).

22 Décodage des codes de Gabidulin Jusqu à (d 1)/2, on sait décoder par des algorithmes essentiellement analogues à ceux pour les codes de Reed-Solomon. Précurseur: Gabidulin (1985) exploite d algorithme d Euclide étendu. Roth (1991), Gabidulin (1992), Sidornko-Richter-Bossert (2011), Loidreau (2006), Wachter-Zeh (2013). Antonia Wachter-Zeh, phd 2013, survol complet de ces méthodes. Contrairement aux RS, il n y a pas d algorithme de décodage en liste pour les codes de Gabidulin.

23 Références P. Delsarte Bilinear forms over a finite field with applications to coding theory, JCTA 25 (3) (1978) E.M. Gabidulin Theory of codes with maximum rank distance Probl. Inf. Transm, 21 (1) (1985) R. Koetter and F. R. Kschischang, Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding, IEEE Trans. Inf. Th. 54 (2008) D. Silva and F. R. Kschischang, On metrics for error correction in network coding, IEEE Trans. Inf. Th. 55 (2009) D. Silva, F. R. Kschischang and R. Koetter, A rank-metric approach to error control in random network coding IEEE Trans. Inf. Th. 54 (2008) A. Wachter-Zeh, Decoding of block and convolutional codes in rank metric, phd thesis, 2013.

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