MODELISATION ET ANALYSE DE LA SERIE CHRONOLOGIQUE DE PRODUCTION D EAU DE CONSOMMATION PAR LISSAGE EXPONENTIEL

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1 Courrier du Savoir N 18, Mars 2014, pp MODELISATION ET ANALYSE DE LA SERIE CHRONOLOGIQUE DE PRODUCTION D EAU DE CONSOMMATION PAR LISSAGE EXPONENTIEL A. MESSAMEH, N. LOUDJANI, M. T.BOUZIANE Laboraoire de Recherche en Hydraulique Souerraine e de Surface LARHYSS Faculé des Sciences e de la echnologie, Universié de Biskra Algérie a.messameh@univ-biskra.dz RESUME L'analyse des séries emporelles e plus pariculièremen la prévision à cour e moyen erme, a connu un développemen imporan. La prévision es fondamenale dans la mesure où elle es à la base de la prise de décision opimale. Prévoir le comporemen fuur d'une série chronologique, nécessie l'uilisaion de plusieurs méhodes de prévision, car nous avons consaé que la fiabilié d'une méhode de prévision ne dépend pas seulemen de sa complexié héorique, mais aussi des données, de l'informaion disponible e du champs d'applicaion. L objecif de la modélisaion de la série emporelle observée es de prédire son comporemen fuur à ravers la déerminaion d un lisseur approprié de la série des données observées. Dans cee éude Le problème de lissage es raié de façon non paramérique en uilisan les lisseurs exponeniels qui permeen d accorder un poids plus imporan aux valeurs récenes de la chronique. Un modèle de prévision de la producion d eau de consommaion à parir des champs capan de la ville de Biskra es proposé. Les données hebdomadaires proviennen de l Algérienne Des Eaux (ADE), couvren la période de janvier 2009 à Décembre L ensemble des résulas a permis de faire la prévision à un horizon donnée après le calage e validaion de modèle e de fournir quelques élémens de réponse sur la forme de la série à long erme e sur la série des résidus obenue (série observée série lissée). MOTS CLÉS: modélisaion, séries chronologique, prévision, lissage exponeniel, Biskra ABSTRACT The ime series analysis and forecasing especially he shor and medium erm, has been an imporan developmen. Forecasing is fundamenal o he exen ha i is based on he opimal decision making. Predic he fuure behavior of a ime series requires he use of several mehods of forecasing, because we found he reliabiliy of a predicion mehod depends no only on is heoreical complexiy, bu also daa, he available informaion and applicaion fields. The objecive of modeling he observed ime series is o predic is fuure behavior by he deerminaion of an appropriae smoohing of he observed series daa. In his sudy he problem of smoohing is reaed using exponenial smoohing which allows giving more weigh o recen values of he ime series. A predicive model for he producion of drinking waer from fields capuring of Biskra ciy is proposed. Weekly daa from he Public auhoriy (ADE) cover he period from January 2009 o December The resuls led o he forecas horizon given afer calibraion and validaion model and provide some answers in he form of long-erm series and residual series obained (observed series - smoohed series). KEYWORDS: modeling, ime series, forecasing, exponenial smoohing, Biskra 1 INTRODUCTION La ville de Biskra es siuée au Sud-Es de l Algérie, dans une zone semi-aride. La pluviomérie moyenne annuelle dans la région es faible mais les variaions inerannuelles son rès fores. Les Ressources mobilisées proviennen de 58 forages reparaien en deux grands champs capan : Champ capan exerne e champ capan inerne : (Source ADE) Le premier champ capan exerne de l oued Biskra consiué de 12 forages es siué au Nord de la ville de Biskra. Ce champ alimene 03 zones: cenre-ville, El- Alia Nord e zone Oues. La profondeur varie enre 130 à 150 m. Le second champ capan exerne (El-Megloub) es consiué de 9 forages plus récen de 8-23 ans, mais conrairemen ils son plus profonds allan jusqu au 200 m. La oalié de ces forages, desserven la ville de Biskra à parir d un réservoir de 500 m 3 servan comme une saion collecrice, à ravers un réseau d adducion de 38 Km à l excepion des 2 forages desservan les localiés de Choucha e de Hadjeb-ville. Universié Mohamed Khider Biskra, Algérie, 2014

2 A. MESSAMEH & al Un champ capan inerne comporan 18 forages implanés selon les besoins à l inérieur de la ville de Biskra, avec une profondeur varie enre m. Deux nouveaux champs ( Droh e Oued Zmor). L ADE unié de Biskra, prend en charge la gesion de l eau du cinq (05) communes en maière : Producion, disribuion, mainenance, e enreien des réseaux d AEP. Elle assure l approvisionnemen en eau poable des habians, par l exploiaion de (58) forages de la Wilaya de BISKRA e (31) réservoirs d une capacié de m 3, à ravers un réseau d AEP de ml don ml réseau adducion e ml réseau disribuion. Figure 1: Données de producion de l eau de la Ville de BISKRA ( ) (Forage F1 champ capan oued El Hai) 2 DONNEES ET METHODES 2.1 Données Toues les données uilisées dans cee éude proviennen de l organisme publique chargé de la gesion e la producion d eau poable l Algérienne des Eaux (ADE). Pour analyser la demande de l eau sur le errioire de la wilaya de Biskra, nous avons examiné ces données regroupées dans deux ypes de bases de données. La première regroupe la raison sociale de l abonné, son adresse, son code clien e son ype. La deuxième renferme le code abonné, son ype, dae de facuraion, monan facuré, ancien solde, nouveau solde, quanié rimesrielle consommée, quaniés consommées de la première à la quarième ranche. Il es imporan de bien idenifier le cycle de l eau de consommaion à l inérieur de la zone d éude. La consommaion d'eau poable, depuis le capage de l'eau jusqu'à son reje dans le milieu naurel, se caracérise par un cycle consiué de plusieurs phases : le capage, le raiemen, la disribuion, l'uilisaion e l'évacuaion e l'épuraion. (Source ADE) Tou au long du cycle de l eau de consommaion, diverses données son, dans la majorié des cas, recueillies sysémaiquemen. Parmi celles-ci, on rerouve principalemen les volumes de producion d eau poable. Ces données prises quoidiennemen formen des séries emporelles. Cee présenaion sur le cycle de l eau de consommaion ainsi que sur les modes de gesion acuels démonre que les séries emporelles enregisrées s inscriven à l inérieur d un processus complexe e que leur analyse mérie une aenion pariculière. La simple visualisaion des données de producion sur une période de plusieurs années amène à consaer la présence de endances e de cycles répéiifs. On peu facilemen cibler les périodes de fores consommaions e leurs ampliudes vis-à-vis les périodes de consommaions. La figure 01 monre les données de producion (volume produi ) d un forage F1 du champ Capan Oued el Hai pour une période de deux ans C es en visualisan des séries de consommaion d eau poable en foncion du emps que l idée es venue de considérer comme un processus possédan deux composanes principales; une déerminise e un aure aléaoire. La composane déerminise sera uilisée pour la généraion d un modèle de la consommaion d eau poable. Nous allons essayer de répondre à la quesion suivane: Quelle es la méhode de prévision la plus adéquae pour prédire la consommaion fuur? 2.2 Méhodes L analyse des séries chronologiques es basée sur ces rois élémens : Décrire, Expliquer e Prévoir. L applicaion sur une série de données de producion d eau poable des diverses echniques conduisan à la généraion d un modèle de consommaion. Ce modèle peu êre la juxaposiion par addiion ou par muliplicaion des composanes déerminise e sochasique. Auremen di, de endance, des variaions saisonnières e des variaions accidenelles. Ces composanes peuven êre inerpréer comme des faceurs expliquan les variaions de la variable éudiée [5], [1] La représenaion graphique des observaions perme d apprécier l évoluion de la producion d eau poable hebdomadaire en foncion du emps. Cee représenaion es rès uile pour le choix d un modèle, elle peu faire apparaire l évoluion des phénomènes (la endance, variaion saisonnière, variaion aléaoire, corrigé des variaions saisonnières CVS). A ire d illusraion, considéran le forage F1 du champ capan inerne: Le graphique 02 présene les variaions emporelles de la demande de l eau sur l ensemble de la période, on observe une fore variaion dans l année Une première analyse de ces graphiques monre une fore volailié de la demande d eau hebdomadaire e un recul de la consommaion depuis roisième semaine

3 Modélisaion e analyse de la série chronologique de producion d eau de consommaion par lissage exponeniel prévision pour des séries chronologiques saionnaires, sans endance. Comme son nom l indique, la echnique du lissage double consise à effecuer un lissage de la série déjà lissée. S =ay+(1-a)s -1 (3) Ss=a S + (1-a)ss -1 (4) a 1 =a/1-a*(s-ss) (5) Figure 2: Evoluion des volumes d eau poable produi à BISKRA (Gauche : données 2009 e 2010 Droie : données de 2011, Source ADE BISKRA) PREVISION PAR LISSAGE EXPONENTIEL Les echniques de lissage exponeniel daen du débu des années soixane (Hol e Winers en 1960, Brown en 1962). Leurs performances qu elles procuren jusifien amplemen leur uilisaion. Ce ype de lissage regroupe l ensemble des echniques empiriques qui on pour caracérisiques communes d accorder un poids plus imporan aux valeurs récenes de la chronique. Nous avons examiné 03 ypes de lisseurs : [5], [2] Lissage exponeniel simple Lissage exponeniel doube Lissage de Hol-Winers Le lissage exponeniel simple Le lissage exponeniel simple perme de faire des prévisions pour des séries chronologiques don la endance es consane e sans saisonnalié. L idée de base es de calculer la prévision pour le emps +1, comme moyenne pondérée de : La dernière observaion disponible (y ) La dernière prévision calculée (ŷ -1 ) Au moyen de la formule suivane : ŷ = α*y + (1- α) ŷ-1 (1) Avec ŷ = y 1 pour une prévision iniiale. Il fau choisir la consane de lissage α, comprise enre 0 e 1 qui donne une prévision qui s ajuse le mieux au sens des moindres carrés pondères. a 0 =2s-ss (6) Où S= ŷ : es la prévision par lissage simple Ss : es le erme de lissage double LISSAGE EXPENENTIEL DE HOTL WINTERS La méhode de lissage exponeniel double perme de raier des séries présenan une endance linéaire mais sans saisonnalié. On peu égalemen d éfinir des lissages exponeniels généralises sur le même principe que les echniques d écries dans les secions précédenes permean de raier des séries avec saisonnalié. Une méhode un peu déférene a éé inroduie par Hol e Winers. Il exise une version non saisonnière de cee méhode, c es-a-dire adapée aux séries sans saisonnalié pouvan ˆêre ajusées par une droie au voisinage de T (comme pour le lissage exponeniel double). La différence enre la méhode de Hol-Winers e le lissage exponeniel double pore sur les formules de mise `a jour. Posan α = 1 - γ2 e ß =1-γ/1+γ, La mise `a jour des coefficiens du lissage exponeniel double s écri : Cas d un modèle sans saisonnalié Formule de prévision A l insan, à l horizon h Où Y (h)= S + h*t (7) Y (h) : Prévision de Y+h. S : Niveau de la endance T : pene de la endance LE LISSAGE EXPONENTIEL DOUBLE Le lissage exponeniel double généralise l idée du lissage exponeniel simple au cas où la série peu êre ajusée par une droie au voisinage de T. On cherche dans ce cas une prévision à l horizon h, Y(h) de la forme : ŷ T+h = a 0 + a 1 h (2) Les formules précédenes permeen de calculer une Formules de lissage S = Y + (1 - ) (S-1 + T-1) (8) (S -1 + T -1 ) = Y ^ : Prévision de Y en -1 T = (S - S -1 ) + (1 - ) T -1 (9) 11

4 A. MESSAMEH & al Choix des valeurs iniiales de T 0 e S 0 T 0 = Y 1 ; S 0 = Y 1 - Y 0 Choix des consanes de lissage e Y ˆ S -1 T 1 prévision de Y (10) On recherche e 2 minimisan (Y ˆ Y ) données de producion de la ville de Biskra son représenés graphiquemen pour quelques forages. Nous présenons les résulas obenus en appliquan les différenes méhodes de lissage exponeniel. Les données de série en 2011 on servi pour le calage du modèle, andis que les données de la série emporelle de 2012 son uilisées dans l éape de validaion du modèle de prévision Cas d un modèle avec endance e saisonnalié Le modèle de Hol Winers présene l avanage d inégrer une composane saisonnière e donc de réaliser le calcul de la prévision en un seul raiemen. C es ce modèle muliplicaif qui es employé le plus courammen dans les progiciels de prévision des volumes d eau poable. Trois lissages disincs son effecués : le lissage de la moyenne avec un coefficien de lissage α, avec α [0 ; 1], le lissage de la endance avec un coefficien de lissage β, avec β [0 ; 1], le lissage de la saisonnalié avec un coefficien de lissage γ avec γ [0 ; 1], Le modèle uiliser pour évaluer la foncion de la demande en eau poable s écri : Y ( h) ( S ht. ). I hs (11) 3.1 CALAGE DU MODELE DE PREVISION Applicaion de lissage simple pour quelques forages Forage F1 Champ Capan Oued El Hai Forage F4 Champ Capan Inerne Formules de lissage S -s T (13) Y Y ( ) (1-) (S-1 T 1) (12) I (S S 1) (1- ) T 1 I ( ) (1- ) I-s (14) S Forage Ras el Gueria 2 Forage Hakim Saadane Champ Capan Oued Z mor Pour les valeurs iniiales des paramères, on uilise les mêmes valeurs pour T 0 e S 0 que précédemmen. Choix des consanes de lissage, e Yˆ (S -1 T prévision 1 ) I de Y s calculée On recherche,, minimisan à l' insan -1 (Y Y ˆ ) 2 Forage 1 er Novembre Forage ZF1 Figure 3 : lissage simple de la série de producion de l eau poable de la ville de Biskra de Applicaion de lissage exponeniel double 3 RESULTATS ET DISCUSSION Les résulas de l analyse des séries emporelles des 12

5 Modélisaion e analyse de la série chronologique de producion d eau de consommaion par lissage exponeniel Champ capan Oued El Hai Forage F1 Forage F4 Champ Capan Inerne VALIDATION DU MODELE DE PREVISION Après la déerminaion des différenes composanes de la série de producion de l eau poable e après l opimisaion des différens coefficiens uilisés par les 03 méhodes de lissage exponeniel par le solveur d Excel basé sur la méhode de Simplex. La prévision de la série des données de producion réalisée semble donner de bons résulas, comme illusrer dans les graphes suivans : Forage Ras El-Gueria 2 Forage Hakim Saadane Champ Capan Oued Z mor a)lissage simple b)lissage double Forage 1 er Novembre Forage ZF1 c)prévision de lissage d) Lissage simple+l. double+ Volume produi Figure 4: Producion de l eau de consommaion (2011), prévision par lissage exponeniel double Champ capan Oued El Hai e) Prévision de Hol f) Prévision de Winers Figure 06: Prévision par lissage exponeniel 2012 du forage1 (Champ capan Oued el Hai) Forage F1 Forage F2 Champ Capan inerne La figure 06 illusre une comparaison de demande de l eau poable observée de l année 2012 e la prévision hebdomadaire obenue par lissage exponeniel, les valeurs des consanes de lissage de la méhode de Hol-Winers son obenues par solveur d Excel en minimisan l erreur quadraique. Les paramères opimaux doiven êre comprise enre 0 e 1: α= 0, , ß= 0, , γ= 0, Forage Ras El Gueria-2 Forage Hakim Saadane Champ Capan Oued Z mor Forage 1er Novembre Forage FZ1 Figure 5 : Producion de l eau de consommaion (2011), prévision par lissage exponeniel double Forage Hakim Saadane Malgré que les méhodes de lissage exponeniel soien faciles à mere en œuvre après l idenificaion des différenes composanes de la série des données brues : la endance, la composane saisonnière e la composane accidenelle. Cependan le choix des paramères de lissage n es pas oujours facile à faire. En examinan les courbes de lissage e de prévision, nous pouvons dire que la qualié de prévision es saisfaisane pour les deux méhodes : lissage exponeniel simple e double. 13

6 A. MESSAMEH & al Les figures 3 e 4 monren une excellene qualié de prévision noammen pour les forages 1 e 4. Par conre, les prévisions données par la méhode de Hol-Winers son moins bonnes (voir la figure 6 graphique G). a)lissage simple b)lissage double comprendre les mécanismes du processus de consommaion d eau poable. L analyse par les séries chronologiques perme de reconnaire les variaions cycliques e endances dans les habiudes de consommaion des habians. Après avoir obenu les résulas de prévision par les rois méhodes, nous avons consaé que la qualié de prévisions donnée par la méhode de lissage simple es mieux que la méhode de Hol-Winers. Donc la fiabilié d'une méhode de prévision ne dépend pas seulemen de sa complexié héorique, mais aussi des données, de l'informaion disponible e des champs d'applicaion. L applicaion de lissage exponeniel sur les séries corrigées des variaions saisonnières pourrai améliorer davanage la qualié de prévision. c)prévision de lissage e)lissage simple+l double+ Volume produi f) Prévision de Hol G) Prévision de Winers Figure 07 : Prévision de producion de l eau par lissage exponeniel 2012 avec α=0, , ß=0, , γ=0, CONCLUSION Nore éude a poré sur l'analyse e la modélisaion des séries chronologiques représenan l'évoluion de la producion d eau de la consommaion hebdomadaire de la ville de Biskra. L uilisaion des différenes echniques pour l analyse des séries emporelles perme de mieux REFERENCES [1] BOURBONNAIS, R. e TERRAZA, M. (2004). Analyse des séries emporelles, Dunod, Paris. [2] MÉLARD, G. (1990a). Méhodes de prévision à cour erme, Ediions de l'universié de Bruxelles, Bruxelles, e Ediions Ellipses, Paris. [3] MÉLARD, G. (1990b). Méhodes numériques dans la modélisaion de séries chronologiques, Cahiers du Cenre d'eudes de Recherche Opéraionnelle 32, [4] Delignières, D., Ramdani, S., Lemoine, L., Torre, K., Fores, M. & Nino, G. (2006).Fracal analysis for shor ime series: A reassessemen of classical mehods. Journal of Mahemaical Psychology, 50, [5] R. Azenco and D. Dacunha-Caselle. Séries d observaions irrégulières. Modélisaion e prévision. Masson,