Les mesures de performance ajustée au risque

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1 Chapitre chapitre 1 6 Les mesures de performance ajustée au risque Les mesures de performance traditionnelles développées au chapitre 5 offrent l avantage d être simples d utilisation et d interprétation Pour cette raison, leur usage professionnel s est très vite répandu En dehors des limites déjà mises en évidence, elles ne sont pas adaptées aux besoins des investisseurs et des gestionnaires, notamment lorsqu ils pratiquent des gestions actives faisant appel, entre autres, à la définition d un portefeuille de référence spécifique ou à des mesures de risque différentes de la variance des rendements Dans ce chapitre, nous suivons la logique de la typologie présentée au chapitre 4 Nous nous situons dans le même cadre d analyse que les mesures de Sharpe, Jensen et Treynor Autrement dit, l objectif poursuivi est de mesurer l habileté du gestionnaire dans le cadre de la sélection d actifs, et ce, à l aide de mesures standardisées Nous distinguerons les mesures en fonction du type de risque auxquelles elles font principalement référence : le risque total, systématique ou spécifique Le découpage du chapitre sera organisé en fonction de ces trois catégories de risque, dont chacune fera l objet d une section distincte Dans un premier temps, nous étudierons les mesures fondées sur le risque total, dont le ratio de Sharpe est la racine principale La deuxième section sera consacrée à l estimation de la performance ajustée au risque systématique, à l instar du ratio de Treynor et de l alpha de Jensen Dans la troisième section, nous développerons les mesures axées sur le risque spécifique du portefeuille, dont le ratio d information est le représentant le plus connu Enfin, la dernière section fournira les clés permettant de déterminer le contexte dans 135

2 Performance de portefeuille lequel l utilisation de l une ou l autre mesure de risque s avère adéquate 1 Au sein de chacune des trois premières sections, nous organiserons l analyse des mesures suivant qu elles présentent un rapport entre le rendement et le risque, de la forme générique Rendement excédentaire Performance =, ou bien qu elles délivrent une différence entre une Risque mesure de rendement et une pénalité pour le risque, qui emprunte plutôt la forme suivante : Performance = Rendement excédentaire Pénalité pour le risque 1 Les mesures fondées sur le risque total Parmi les trois mesures traditionnelles développées dans la foulée du CAPM et présentées au chapitre précédent, le ratio de Sharpe est la seule qui fait référence à la droite de marché des capitaux, la CML, et utilise donc une mesure de risque total au dénominateur Pour rappel, le ratio de Sharpe s écrit : S = R p R f σ p Ce ratio s applique donc en principe à un portefeuille censé être parfaitement diversifié, au point de prétendre à remplacer le portefeuille de marché pour l investisseur actif 11 La performance basée sur un rapport entre le rendement et une mesure du risque total Si l on examine attentivement les composantes du ratio de Sharpe, il présente deux caractéristiques majeures : Le numérateur Le ratio de Sharpe suppose que la mesure adéquate de revenu pour l investisseur est l excédent du portefeuille par rapport à l actif sans risque Le dénominateur Comme nous sommes dans le contexte spécifique du CAPM, la mesure du risque employée par tous les agents économiques est l écart type (ou, de manière équivalente, la variance) des rendements des portefeuilles Si nous ne tenons pas compte de ces deux hypothèses, nous pouvons néanmoins encore estimer la performance d un portefeuille Ce chapitre n a pas la prétention de dresser un catalogue exhaustif des mesures de performance proposées dans la littérature et évoquées dans le cadre du chapitre 4 Pour un inventaire (en principe) à jour au moment de la parution de cet ouvrage, le lecteur pourra se reporter aux articles de Cogneau et Hübner (2009a, 2009b) qui affichent cet objectif Nous examinons donc ici les mesures les plus populaires et/ou les plus aisées à mettre en úuvre Certaines mesures plus complexes, très peu usitées en pratique et/ou dont la valeur ajoutée n est pas remarquable, ne seront pas traitées dans cet ouvrage

3 111 Le numérateur : le rendement excédentaire n est pas la mesure de richesse L investisseur peut légitimement considérer que le rendement excédentaire d un portefeuille activement géré n est pas convenablement exprimé par la différence entre le rendement total du fonds et le taux d intérêt sans risque, comme défini dans le ratio de Sharpe En effet, le taux sans risque R f représente le taux de rendement «de réserve» de l investisseur, c est-à-dire le rendement au-delà duquel il considère que le portefeuille aura obtenu une prime justifiée par le risque encouru Rien n empêche de définir une autre valeur de référence : dans ce cas, on généralise le ratio de Sharpe par la mesure de Roy Cette mesure considère un rendement de réserve de l investisseur R L, sur lequel celui-ci va déterminer le niveau de rendement excédentaire de portefeuille : Roy = R p R L σ p Dans le cas extrême où l investisseur a une valeur de réserve nulle (R L = 0), le rendement excédentaire du portefeuille sera simplement son rendement brut Plus vraisemblablement, l investisseur présentant de l aversion au risque spécifiera une valeur de réserve au moins égale au taux sans risque, ce qui signifie que R L R f Cette mesure peut aboutir à modifier des classements opérés suivant le ratio de Sharpe Ainsi, prenons l exemple suivant Le portefeuille A a un écart type de 10 % et un rendement espéré de 9 %, tandis que le portefeuille B a un écart type de 20 % et un rendement espéré de 11 % Si le taux sans risque R f est de 5 %, le ratio de Sharpe de A sera de (9 % 5 %)/10 % = 0,4, tandis que celui de B sera de (11 % 5 %)/20 % = 0,3 Si nous spécifions à présent un rendement de réserve supérieur au taux sans risque, à savoir R L = 8 %, nous aurons une mesure de Roy pour A égale à (9 % 8 %)/10 % = 0,1, tandis que B verra sa performance égale à (11 % 8 %)/20 % = 0,15 La figure 61 illustre ce phénomène En pointillés, les demi-droites correspondent au ratio de Sharpe, et en continu, elles correspondent à la mesure de Roy Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque Figure 61 Comparaison graphique des mesures de Sharpe et de Roy R p A : (9 %, 10 %) B : (11 %, 20 %) R L = 8 % Rf = 5 % σ p En général, plus la valeur de réserve sera élevée, plus les portefeuilles assurant un rendement important seront avantagés C est le cas du portefeuille B dans notre exemple 137

4 Performance de portefeuille 112 Le dénominateur : la variance n est pas la mesure de risque Que se passe-t-il si le postulat selon lequel la variance est la mesure de risque accepté par tous les investisseurs n est pas respecté? Dans ce cas, il suffirait «simplement» de remplacer le dénominateur du ratio de Sharpe par la valeur prise par le risque total du portefeuille Le choix de la variance s explique si les rendements proviennent d une distribution normale Dans ce cas, la variance ne détermine le risque que dans la mesure où elle augmente de façon monotone avec le risque de perte sur un investissement Puisque toute variation positive par rapport à la moyenne est exactement compensée par une variation négative avec la même probabilité, une mesure de variabilité rend adéquatement compte du risque de perte Par contre, si la distribution des rendements n est pas uniquement caractérisée par son espérance et sa variance ce qui est le cas en pratique il devient ardu de justifier le choix de cette mesure de risque Si deux distributions avec la même variance ne présentent pas les mêmes profils de perte, alors elles doivent nécessairement présenter un risque différent Les modifications du dénominateur du ratio de Sharpe visent donc à identifier spécifiquement une mesure de risque de perte Deux directions ont été prises dans ce contexte : les moments partiels inférieurs et la valeur-au-risque Moments partiels inférieurs Pour une distribution de rendements donnée, le moment partiel inférieur (MPI) d ordre k autour de la valeur de réserve R L est simplement égal à l espérance de la différence positive entre la valeur critique et le rendement à la puissance k Cela s écrit : MPI(k,R L )= R L (R L R) k df(r) ( ) k = E max(r L R,0) La semi-variance par rapport au taux sans risque est un cas particulier intéressant du MPI pour k = 2 et R L = R f, puisque l on cherche alors la variance des rendements excédentaires du portefeuille par rapport au taux sans risque à condition que ce rendement excédentaire soit négatif, c est-à-dire qu il représente la matérialisation du risque pour l investisseur Dans ce cas, on a : SV (R f ) MPI(2,R f )= E( max(r f R,0) ) 2 En remplaçant le risque par son expression du MPI, on obtient un ratio de Sharpe modifié pour ne tenir compte que du risque de perte Valeur-au-risque Dans ce cas, la perspective empruntée est celle de l investisseur qui se soucie uniquement du risque de catastrophe, à savoir l événement grave qui se produit rarement S il fixe une probabilité α de survenance de cet événement, la valeur-au-risque correspondante sur un horizon donné, notéevar α, se définit par la perte maximale par rapport à la valeur de réserve telle qu il y a une probabilité α que la perte observée soit plus élevée 2 : Généralement, la VaR est exprimée en unité monétaire, et non en pourcentage de rendement, comme c est le cas ici En outre, la définition usuelle de la VaR se réfère à la perte absolue (c est-à-dire par rapport à un rendement

5 Pr R L R VaR α =1 α Par exemple, dans le cas d une distribution normale des rendements, la VaR à 5 %, qui correspond à la perte maximale observée dans 5 % des cas, est égale à : VaR 5% = R L E(R)+1,645σ(R), la valeur de 1,645 correspondant au 95 e percentile de la distribution normale standard (noté Z 95% ) Le cas de la distribution normale présente un intérêt limité étant donné que la VaR est une fonction monotone croissante de la variance des rendements Par contre, cette approche peut s avérer intéressante lorsque les rendements ne suivent pas une distribution normale, par exemple une distribution asymétrique ou avec des queues épaisses Traditionnellement, le degré d asymétrie de la distribution est mesuré par le troisième moment centré de celle-ci, tandis que l épaisseur des queues de la distribution des rendements c est-à-dire le poids relatif des valeurs extrêmes est mesurée par le quatrième moment centré : ( ) 3 μ 3 = E R E(R) μ 4 = E( R E(R) ) 4 On standardise généralement ces valeurs pour définir le coefficient d asymétrie (skewness), qui est égal à S(R)= μ 3 σ 3, et le coefficient d aplatissement (kurtosis) (R) égal à K(R)= μ 4 σ 4 (R) 3 Il est ainsi possible de les comparer à ceux d une loi normale, tous deux égaux à 0 Si l on veut réaliser une approximation de la VaR à l aide des quatre premiers moments de la distribution des rendements, on peut alors utiliser l approximation de Cornish-Fisher, qui définit la valeur-au-risque modifiée (MVaR) par la formule suivante : MVaR α = R L E(R)+ z 1 α σ(r) Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque z 1 α = Z 1 α 1 6 Z 2 ( 1 α 1)S(R) Z 3 ( 1 α 3Z 1 α )K(R) Z 3 1 α 5Z 1 α ( ) S(R) ( ) 2 Il faut noter que la VaR présente plusieurs défauts majeurs en tant que mesure du risque, car elle n est pas «cohérente» 3 Pour corriger ce défaut, on recourt alors à la valeur-au-risque conditionnelle (CVaR), également connue sous le nom de «pénurie attendue» (par rapport à la VaR), qui se définit par la perte espérée conditionnellement à ce qu elle soit supérieure à la VaR : CVaR α = E( R L RR L R > VaR α ) de 0), et non par rapport à une valeur de réserve, comme c est le cas ici Enfin, par convention, la VaR représente une perte, et donc est un nombre positif 3 Par exemple, la VaR n est pas subadditive, c est-à-dire que la VaR d un portefeuille n est pas nécessairement inférieure ou égale à la moyenne pondérée des VaR de ses composantes, alors qu elle devrait l être grâce à l impact de la diversification 139

6 Performance de portefeuille En d autres termes, il est question ici d évaluer l ampleur de la perte anticipée en cas de catastrophe, et non d estimer le seuil au-delà duquel on parle de catastrophe, ce que représente la VaR Dans tous les cas, le ratio de Sharpe modifié reprend la mesure de risque correspondant (VaR, MVaR ou CVaR) au dénominateur de la formule originale 113 Les deux arguments simultanément : le numérateur et le dénominateur Comme nous venons de le voir, la modification du numérateur et du dénominateur du ratio de Sharpe introduit une valeur de réserve du rendement, R L Certains auteurs ont donc proposé des mesures qui utilisent de manière cohérente cette valeur de réserve, de part et d autre de la barre de fraction Le plus connu est le ratio de Sortino, proposé en 1991 par Sortino et van der Meer, qui associe le numérateur de la mesure de Roy et la racine carrée de la semi-variance (le «semi-écart type») au dénominateur : Sortino = R p R L SV (R L ) Dans l exemple développé précédemment, nous pourrions considérer que le fonds A présente un semi-écart type de 8 % tandis que le fonds B a un semi-écart type de 30 % Avec le même rendement de réserve de 8 %, le ratio de Sortino de A est de (9 % 8 %)/8 % = 0,125, tandis que celui de B est de (11 % 8 %)/30 % = 0,1 L asymétrie vers la gauche des rendements de B pénalise sa mesure de risque, ce qui réduit sa performance Kaplan et Knowles (2004) ont proposé une version générique de la performance fondée sur le numérateur de la mesure de Roy et de l utilisation des moments partiels inférieurs (MPI) au dénominateur, sous la forme du coefficient kappa d ordre k : R p R L κ k = k MPI(k,R L ) Ainsi, le ratio de Sortino est égal à κ 2 Reste la mesure permettant de tenir compte de l asymétrie de la distribution par le truchement du kappa d ordre 3 : κ k = 3 1 T T t=1 R p R L max( R pt R f,0) 3 Il est évident que ce ratio a un caractère supplétif par rapport au ratio de Sortino ou à d autres mesures que nous verrons au chapitre suivant, tel que l oméga 12 La performance fondée sur une différence entre le rendement et une pénalité pour le risque total 140 Comme nous l avons vu au chapitre précédent, l alpha de Jensen, en dépit de ses défauts, présente un avantage majeur sur les ratios de Sharpe et de Treynor : il s exprime sous forme de rendement (en pourcents), et peut donc être facilement interprété et expliqué

7 sans connaissances particulières en finance Il est alors naturel de constater qu un certain nombre d efforts ont été déployés afin de présenter la performance dans une forme similaire Cela signifie que la pénalité pour le risque du portefeuille n est plus exprimée sous forme multiplicative, mais bien sous forme soustractive La surperformance d un gestionnaire se représente dès lors par le niveau de la différence entre la mesure de richesse produite (le rendement) et la déduction de cette richesse pour compenser le risque pris 121 L indice M² Le ratio de Sharpe, très utilisé par les sociétés de mesure de performance, nécessite un effort de compréhension de la part des investisseurs, qui ne maîtrisent pas les concepts de la théorie financière Modigliani et Modigliani (1997) ont proposé une nouvelle mesure appelée M 2, qui permet de savoir si le rendement d un portefeuille est suffisamment élevé compte tenu de son risque L idée consiste à utiliser la possibilité de prêter et d emprunter au taux sans risque pour ajuster le risque du portefeuille à celui du marché, mesuré par un indice par exemple, et à calculer ensuite le rendement de ce portefeuille pour le confronter à celui du marché L avantage de cette méthode est qu elle permet de comparer directement des niveaux de rendement et qu elle est compréhensible par n importe quel investisseur Formellement, si σ P est l écart type des rendements du portefeuille P, en empruntant ou prêtant un montant d au taux sans risque, il est possible de construire un nouveau portefeuille de risque identique à celui du marché σ m : σ(p)= ( 1+ d)σ p =σ m, Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque où σ(p) est le risque du nouveau portefeuille Le montant d à prêter ou à emprunter est donc égal à : d = σ m σ p 1 Si l on tient compte des intérêts à payer ou à recevoir sur la somme empruntée ou prêtée, la rentabilité du nouveau portefeuille est : R(P)= ( 1+ d)r p dr f, où R p est la rentabilité du portefeuille initial Si l on remplace d par sa valeur, on obtient : R(P)= σ m σ p R p 1 σ m σ p R f = σ m σ p ( R p R f )+ R f Soit E(P) le rendement du portefeuille de risque identique au portefeuille de marché en excès du taux sans risque (R(P) R f ), et r p le rendement du portefeuille initial P en excès du taux sans risque (R p R f ) Le rendement du portefeuille peut s exprimer en termes de rendement excédentaire : 141

8 Performance de portefeuille R(P)= σ m σ p r p + R f = E(P)+ R f, avec E(P)= σ m r σ p p Il revient au même de comparer la rentabilité des portefeuilles directement sur la base de E(P) ou de E(P) + R f, puisque ces deux mesures ne différent que par la constante que représente le taux sans risque Si l on change la place des parenthèses de la dernière équation, le ratio de Sharpe apparaît explicitement : E(P)= r p σ p σ m Classer des fonds sur la base de l indice M 2 ou du ratio de Sharpe est donc indifférent Nous pouvons illustrer l indice M 2 en prenant deux portefeuilles de risques et de rendements différents représentés à la figure 62 Le rendement du portefeuille 2 est plus élevé que celui du portefeuille 1 avec, en contrepartie, un risque aussi plus élevé La pente de la droite, correspondant au ratio de Sharpe et passant par le taux sans risque et le portefeuille 1, est plus élevée que celle passant par le portefeuille 2 Le portefeuille 1 est donc mieux classé selon ce critère que le portefeuille 2, qui ne dégage pas suffisamment de rendement pour compenser son risque L approche de Modigliani et Modigliani consiste à construire deux portefeuilles P 1 et P 2 de risque identique au risque du portefeuille de marché, en recourant à l emprunt ou au prêt de façon à lire l écart de rendement par rapport à ce portefeuille et à faire apparaître beaucoup plus clairement l excès ou le déficit de rendement de P 1 et P 2 Figure 62 La mesure de Modigliani et Modigliani R CML R 2 P P 2 1 R m P 1 P M R 1 P 2 R f σ1 σ m σ2 σp Les mesures de Graham et Harvey Dans la foulée de la mesure M², Graham et Harvey (1996) proposent deux extensions qui vont dans le sens d une meilleure prise en compte du risque inhérent au marché monétaire Ils relaxent l hypothèse d un taux sans risque totalement fixe et détermi-

9 niste, et prennent explicitement en compte la corrélation entre ce taux et le portefeuille de marché Par conséquent, si l on demeure dans le contexte du CAPM, la Capital Market Line n est plus linéaire mais concave Graham et Harvey proposent deux mesures, dénommées depuis lors les mesures GH 1 et GH 2 La première délivre le rendement du portefeuille en excédent d une combinaison entre le portefeuille de marché et l actif monétaire qui octroie le même niveau de risque que ce portefeuille La seconde fournit la différence entre, d une part, le rendement d une combinaison du portefeuille activement géré et l actif monétaire et, d autre part, le rendement du portefeuille de marché, sachant que ces deux positions présentent exactement le même risque Mathématiquement, les expressions correspondantes s écrivent comme suit : GH 1 = R p R { wm+(1 w)mon } où σ p = w 2 σ 2 m +(1 w) 2 2 σ Mon + 2w(1 w)ρ m,mon σ m σ Mon, Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque GH 2 = R { wp+(1 w)mon } R m où σ m = w 2 σ 2 p +(1 w) 2 2 σ Mon + 2w(1 w)ρ p,mon σ p σ Mon, où l indice Mon indique qu il s agit de l actif monétaire En réalité, la mesure GH 2 ne fait qu apporter la possibilité d un actif monétaire stochastique par rapport à la mesure M² ; elle ne présente donc qu une value ajoutée limitée Par contre, la mesure GH 1 livre un éclairage différent En normalisant le risque du portefeuille passif, cette mesure ramène la comparaison au niveau du risque du portefeuille activement géré L interprétation de la différence entre R p et R { wm+(1 w)mon } se rapproche donc de celle de l alpha de Jensen, si ce n est que l on se situe dans un monde de risque total (mesuré par l écart type des rendements) et non de risque systématique, comme le fait l alpha La figure 63 illustre l interprétation graphique de la mesure GH 1 Figure 63 La mesure GH 1 R m Portefeuille A GH1 B > 0 GH1 A < 0 Mon Portefeuille A 123 L indice d Aftalion et Poncet La mesure de performance d Aftalion et Poncet (1991), que nous appellerons indice AP, s appuie aussi sur la définition d un benchmark de référence L idée est de mesurer l écart de rendement dégagé par un gestionnaire par rapport à un benchmark, mais en tenant compte de la différence de risque pris Le benchmark de référence doit être le plus 143

10 Performance de portefeuille représentatif possible de l univers de gestion du portefeuille pour que l indice ait un sens Formellement, l indice s écrit : AP = R p R b PR σ p σ b Le premier terme entre crochets mesure l écart entre le rendement du portefeuille et celui du benchmark Le second terme mesure l écart entre le risque total du portefeuille et celui du benchmark Pour rendre les deux grandeurs comparables, et pouvoir soustraire le second terme du premier, on le multiplie par le prix du risque PR, qui est un rapport de rentabilité et de risque et qui doit être estimé L interprétation de l indice AP est relativement intuitive Plus le rendement du portefeuille est élevé par rapport au benchmark, plus l indice est élevé Cependant, le gestionnaire est pénalisé lorsque le risque du portefeuille s écarte de celui du benchmark La seule difficulté est l estimation du prix du risque Il exprime le supplément de rendement exigé par un investisseur pour prendre 1 % de risque supplémentaire Selon les auteurs, il serait compris entre 0,20 et 0,40 pour la France Autrement dit, pour un risque supplémentaire de 5 %, les investisseurs exigent entre 1 % et 2 % de rendement annuel en plus La valeur du coefficient de détermination du modèle apporte de l information sur la régularité de la performance Lorsqu elle s approche de 1, la gestion a répondu aux objectifs fixés ; en revanche, lorsqu elle s approche de 0 et que l indice est positif, cela signifie que le gestionnaire a eu de la chance sur la période Les mesures fondées sur le risque systématique Les mesures classiques de performance issues de la théorie moderne de portefeuille reposent sur des hypothèses contraignantes, qui ne sont pas respectées dans la réalité En particulier, la plupart des gestionnaires de portefeuille utilisent un portefeuille-étalon («benchmark») afin de mesurer leur performance relative, et ainsi de se positionner par rapport à leurs pairs Dans ce cadre, le portefeuille de marché, inobservable dans la réalité, est alors remplacé par ce benchmark Il existe deux moyens de définir ce benchmark : une méthode analytique et une méthode par comparaison Dans la première optique, le rendement du benchmark est assimilé au rendement requis sur un portefeuille fictif qui réplique l exposition aux sources de risque systématique du portefeuille On utilise donc un modèle multifacteur tel que décrit au chapitre 1 La méthode par comparaison consiste à reprendre ou créer un portefeuille en pondérant des actifs existants Il peut s agir d un ou de plusieurs indices boursiers, d un portefeuille de référence spécifique ou encore de la moyenne des rendements des OPCVM de la même famille de gestion En général, les mesures fondées sur une mesure de risque systématique reposent sur la méthode analytique Dans la sous-section suivante, nous verrons que la mesure la plus populaire qui s appuie sur le risque spécifique, le ratio d information, est très souvent définie sur base de la méthode par comparaison

11 21 La performance fondée sur un rapport entre le rendement et une mesure du risque systématique Le point de départ des mesures fondées sur le risque systématique est le ratio de Treynor, qui est le pendant de celui de Sharpe : il fait référence à la SML plutôt qu à la CML Pour rappel, il se définit par : T = R p R f β p, où β p est le bêta du portefeuille, qui mesure son exposition au risque systématique par rapport à celui du marché Dans la même optique, nous avons vu que le ratio de Black- Treynor d un portefeuille est égal à son alpha divisé par son bêta : ˆT = R p R f β p (R m R f ) = α p β p β p Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque L adaptation du ratio de Treynor au contexte de modèles multifacteurs, tels que ceux décrits au chapitre 1, présente des difficultés liées au caractère multidimensionnel de l exposition au risque Considérons la spécification générique suivante : R pt R f =α p + β pk λ kt +ε pt Comment définit-on le risque systématique dans de telles conditions? Pour ce faire, il faut connaître le portefeuille de référence pour le fonds activement géré Supposons qu il soit dénommé b Dans ce cas, le même modèle multifacteur appliqué à cet étalon donne : K K k=1 R bt R f = β bk λ kt +ε bt k=1 Nous avons posé que α b = 0 puisque nous considérons que le portefeuille de référence est passif et ne doit donc pas offrir de rendement anormal Dans ce cas, la généralisation du ratio de Black-Treynor est fournie par la formule suivante (Hübner, 2005) : ˆT g = K k=1 β pk λ k α p K β bk λ k k=1 Il s agit de l alpha du portefeuille divisé par une somme pondérée de ses bêtas Ce ratio présente bien la même interprétation originale que le ratio de Black-Treynor dans le contexte du CAPM, à savoir la performance anormale (alpha) par unité de risque systématique encouru (le bêta dans le CAPM) Notons que si l on utilise la méthode par comparaison pour définir le benchmark du portefeuille, dont l alpha pourrait être positif étant donné qu il ne s agit pas nécessaire- 145

12 Performance de portefeuille ment d un portefeuille passif, le ratio de Treynor généralisé se simplifiera à travers l expression suivante : ˆT g = α p (R b α b ) (R p α p ) α b, où b est l alpha du benchmark (en principe égal à 0) Il existe par ailleurs une mesure associée au ratio de Treynor basée sur les moments partiels inférieurs, mais cette mesure, proposée en 1994, n a jamais trouvé d écho ni au niveau scientifique, ni au niveau pratique On peut considérer que les possibilités d extension des mesures de performance reliant le rendement au risque systématique sont assez limitées Ce domaine n a pas fait l objet de recherches spécifiques au-delà des mesures présentées ci-dessus 22 La performance fondée sur une différence entre le rendement et une pénalité pour le risque systématique La mesure de référence dans un contexte où le risque systématique est utilisé pour définir la pénalité à imposer au rendement est l alpha de Jensen, défini comme α p = R p R f β p (R m R f ) A priori, sa généralisation est immédiate dans un contexte multifactoriel : il suffit de prendre l ordonnée à l origine de la régression linéaire pour obtenir la mesure de performance La plupart des études empiriques réalisées à partir de modèles à plusieurs facteurs de risque utilisent d ailleurs cette mesure Il existe cependant deux avatars de l alpha de Jensen dans un contexte multifactoriel, qui présentent un intérêt particulier : l alpha conditionnel et l alpha standardisé 221 L alpha conditionnel Parmi la myriade de modèles visant à expliquer les rendements de titres financiers à l aide de combinaisons linéaires de facteurs de risque, les modèles conditionnels occupent une place à part En effet, ils postulent qu une partie des primes de risque observées à l instant t peuvent être prédites grâce à des variables, appelées «instruments», observées en t 1 D après les tenants de cette approche, il ne s agit pas à proprement parler d une rupture de l hypothèse d efficience des marchés car le processus générateur de rendements aboutit à multiplier les valeurs des instruments observées en t 1 par les facteurs observés en t Comme nous l avons vu au chapitre 1, les modèles conditionnels avec J instruments se présentent sous la forme suivante : J K J R pt R f =α p + α + β pjt pk + β pjkt j=1 j=1 λ kt +ε pt, k=1 où les α pjt =α pj z jt 1 et les β pjkt =β pjk z jt 1 sont interprétés, respectivement, comme les alphas et bêtas conditionnels de la régression, tandis que les z jt 1 sont les valeurs prises par les variables instrumentales aux périodes précédentes 146

13 Dans ce contexte, un gestionnaire capable d anticiper efficacement le marché (market timer) peut observer les valeurs des instruments en t 1 et prédire ainsi les éventuelles réalisations des variables croisées à l instant t Les valeurs de α pj déterminent l habileté du manager à prévoir les mouvements des primes de risque postérieurement à l observation des instruments 222 L alpha standardisé Pour tenir compte du degré de confiance que l on a dans l estimation du modèle, il est devenu courant de considérer directement l alpha standardisé (aussi appelé t, p ) comme mesure de performance : α p t α,p = σα p ( ) Considérons un modèle à deux facteurs, par exemple Les fonds X et Y présentent chacun un alpha de 1 % Cependant, l estimation des paramètres des deux modèles a été opérée dans des conditions différentes : pour le premier fonds, le modèle est de bonne qualité et les paramètres ont été estimés avec précision ; pour le second fonds par contre, il existe une forte imprécision dans la valeur des coefficients de la régression Dans notre exemple, le fonds X a un alpha standardisé de 1 %/0,25 % = 4, ce qui est généralement considéré comme significativement différent de 0 Par contre, l alpha standardisé du fonds Y est de 1 %/0,8 % = 1,25, ce qui est généralement considéré comme non significatif 4 Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque 3 Les mesures fondées sur le risque spécifique Généralement, les mesures fondées sur une mesure de risque spécifique utilisée par les praticiens reposent sur une approche par comparaison Le benchmark est dans ce cas un portefeuille existant ou qui peut être constitué sur base d actifs existants 31 La performance fondée sur un rapport entre le rendement et une mesure du risque spécifique 311 Le ratio d information (ou «appraisal ratio») Le ratio d information est le rapport du rendement d un portefeuille en excès du benchmark sur l écart type de ces écarts La formule est la suivante : RI p = ER p σ(er p ), 4 Les valeurs critiques utilisées pour ce genre de test sont généralement proches de 1,65, 1,96 et 2,32 pour des niveaux de confiance de 10 %, 5 % et 1 %, respectivement 147

14 Performance de portefeuille T ( ) où ER p = 1 R T pt R bt, et σ(er p )= t=1 T ( ) 2 1 ER T 1 pt ER p Ce dernier terme, appelé «tracking error», mesure le degré de régularité du gestionnaire dans son dépassement du benchmark Intuitivement, le ratio d information peut s interpréter comme un rapport bénéfice/ coût La tracking error est en effet le coût que doit supporter le gestionnaire qui pratique une gestion active Celui-ci peut réduire ce coût en «collant» au benchmark, mais dans ce cas, le rendement du portefeuille va aussi rejoindre celui du benchmark S il veut battre son objectif, il ne peut le faire qu en contrepartie d une prise de risque Le ratio d information est nul dans le cas d une gestion passive puisque les écarts attendus entre le rendement du portefeuille et celui du benchmark sont nuls Un bon gestionnaire de portefeuille a un ratio d information aux alentours de 0,5, et il est rare d observer des niveaux supérieurs d après les études empiriques menées sur le sujet Lorsque le ratio est identique pour deux portefeuilles, il est important de comparer ensuite leur niveau de tracking error Le niveau le plus faible est préférable Selon toute probabilité, un gestionnaire sera capable de répéter une bonne performance si son niveau de tracking error est faible La figure 64 présente l évolution de l indice CAC 40 pendant l année 2009 ainsi que la progression de deux portefeuilles dont l objectif est de faire mieux que l indice Le gestionnaire du premier portefeuille a atteint son objectif Il a suivi le marché avec beaucoup de régularité, qui n a pratiquement pas évolué au-dessous de l indice Le gestionnaire du portefeuille 2 a aussi atteint l objectif et a réussi à s éloigner de façon plus marquée de l indice à la hausse, mais aussi à la baisse pendant les premiers mois Exprimé sur base annuelle, le ratio d information du premier gestionnaire s élève à 1,24, et celui du second à 1,10 Il est donc plus élevé pour le gestionnaire qui a suivi de plus près l indice Les numérateurs, mesurant la déviation moyenne par rapport au benchmark, sont respectivement de 131 et 320 pour les portefeuilles 1 et 2, tandis que les tracking errors s élèvent respectivement à 106 et 292 Ainsi, en moyenne, le gestionnaire du second portefeuille bat plus souvent le benchmark que le premier, mais en prenant presque trois fois plus de risque sur la base du critère utilisé Son ratio d information est donc plus faible, même s il reste très élevé selon les standards professionnels Son manque de régularité le pénalise relativement au gestionnaire du premier portefeuille, qui génère un résultat moins impressionnant mais plus linéairement t=1 148

15 Figure 64 Évolution de deux portefeuilles par rapport à leur benchmark en /01/09 22/01/09 12/02/09 05/03/09 26/03/09 CAC40 Portefeuille 1 Portefeuille 2 16/04/09 07/05/09 28/05/09 18/06/09 09/07/09 30/07/09 20/08/09 10/09/09 01/10/09 22/10/09 12/11/09 03/12/09 24/12/09 Le ratio d information d un portefeuille adossé à un benchmark est identique à l alpha de Jensen divisé par l écart type des résidus de l équation dont il est issu Nous pouvons le montrer simplement en reprenant l équation qui permet de calculer l alpha avec le rendement du marché mesuré par un benchmark correspondant à l univers de gestion du portefeuille : R pt R f =α p +β p (R bt R f )+ε pt Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque Le bêta est égal à 1 si le gestionnaire choisit de suivre son benchmark L équation peut alors se récrire : R pt R b =α p +ε pt, ou encore : ER pt =α p +ε pt En calculant l espérance et l écart type des termes de cette équation et en faisant le rapport, on obtient l égalité suivante : ER p σ(er p ) = α p σ(ε p ) Si le portefeuille est bien diversifié, alors le risque non systématique est nul et le ratio ne peut pas être défini Lorsque le taux sans risque remplace le benchmark, le ratio d information est identique au ratio de Sharpe Ce choix présente toutefois l inconvénient que le ratio n est pas nul pour un gérant passif puisque la référence de calcul ne correspond pas alors à son benchmark Deux gestionnaires disposant d un niveau d information différent peuvent avoir des ratios d information identiques La seule connaissance du ratio ne permet pas d inférer la qualité des anticipations du gestionnaire Toutefois, en s appuyant sur la loi fonda- 149

16 Performance de portefeuille mentale de la gestion active de Grinold et Kahn (1999), il est possible de faire le lien entre le ratio et le coefficient d information : PI p = IC p L p, où IC p est le coefficient d information du gestionnaire du portefeuille P mesuré par la corrélation moyenne entre ses prévisions et les réalisations de rendements, et L p est le nombre de prévisions effectuées durant la période de référence conduisant à autant de décisions Une amélioration du ratio d information provient donc d une amélioration des prévisions ou alors d une augmentation de celles-ci L amélioration des prévisions est le résultat soit d une meilleure information, soit de l habileté d analyse et de formulation des prévisions du gestionnaire 312 L interprétation statistique du ratio d information La formule du ratio d information telle que présentée dans la dernière équation est proche de celle de la t-statistique, qui mesure la significativité de la rentabilité excédentaire Elle est le rapport entre l alpha et son écart type 5 La seule différence est que le ratio d information est calculé avec des valeurs annualisées Le ratio d information d un portefeuille peut être réécrit de la façon suivante : où T est la période d estimation du ratio RI p = t α,p T, Pour un niveau du ratio d information, il est alors possible de calculer le nombre d années d observation nécessaires pour juger des qualités d un gestionnaire pour un intervalle de confiance donné Il suffit d effectuer le calcul suivant : T = t α, p RI p Pour être sûr à 90 % (correspondant à une t-statistique de 1,645) que le ratio d information de 0,5 d un gestionnaire soit significatif, il faut un historique de 10,9 années : T = 1, ,5 =10,89 Le tableau 61 présente le nombre d années nécessaires pour trois intervalles de confiance et différents niveaux du ratio d information pour juger des qualités d un gestionnaire Tout au moins dans le cas du CAPM ou d un modèle à un facteur Ce n est plus vrai si on calcule le RI sur un modèle à plusieurs facteurs

17 Tableau 61 : Nombre d années nécessaires pour juger des qualités d un gestionnaire Ratio d information Intervalle de confiance 80 % 90 % 95 % 0,4 10,2 17,0 24,0 0,5 6,6 10,8 15,5 0,6 4,6 7,5 10,7 0,7 3,4 5,5 7,8 0,8 2,6 4,2 6,0 0,9 2,0 3,3 4,7 1,0 1,6 2,7 3,8 Plus le ratio d information est élevé, moins il est nécessaire de disposer d un historique important pour porter un jugement Compte tenu des niveaux habituellement observés, il faut un historique relativement long à l échelle de la durée de vie d un gestionnaire pour pouvoir lui attribuer les mérites d un ratio d information positif avec une certaine fiabilité de jugement! Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque 313 Les autres mesures fondées sur le risque spécifique Prolongeant la démarche de Jensen, Moses, Cheyney et Veit (1987) ont mis au point une mesure de performance relative permettant de classer les portefeuilles L alpha de Jensen correspond au rendement du portefeuille qui ne peut pas s expliquer par le CAPM : α p = R p R f β p (R m R f ) Le risque total du portefeuille par rapport au marché peut s exprimer par un simple rapport : I p = σ p σ m Le bêta qui mesure le risque systématique peut s exprimer de plusieurs façons : β p = σ pm σ m = ρ pm σ p σ m σ m 2 = ρ pm σ p σ m Le dernier rapport a l avantage de mettre en évidence que le bêta est forcément inférieur à I p puisque la corrélation peut être égale au maximum à 1 dans le cas d un portefeuille efficient Le risque non systématique du portefeuille peut s exprimer, quant à lui, comme la différence entre I p et le bêta du portefeuille : δ p = I p β p = σ p ρ pm σ p = σ p 1 ρ σ m σ m σ pm m ( ) Si le portefeuille est efficient, le coefficient de corrélation est égal à 1 et le risque non systématique est nul Dans tous les autres cas, il est positif 151

18 Performance de portefeuille Le rapport α p δ p mesure alors le rendement en excès du marché, par unité de risque non systématique, qui peut être éliminé par diversification Les gestionnaires peuvent être classés sur la base de ce ratio Mais pour distinguer ceux qui battent le marché, il faut le diviser par la prime de risque du marché : I MCV = α p (R m R f ) δ p Un gestionnaire qui bat le marché a un indice supérieur à 1 L avantage de cette mesure est de faire apparaître clairement l arbitrage que fait le gestionnaire entre le niveau de diversification du portefeuille et sa performance par rapport au marché Elle reste cependant peu utilisée dans la pratique Plus récemment, Bodson, Cavenaile et Hübner (2010) ont mis en évidence une adaptation du ratio d information, afin d identifier de manière plus évidente l existence d une éventuelle persistance dans les performances de gestionnaires de portefeuille Ils partent du principe que, lorsque les hypothèses sous-jacentes à un modèle factoriel standard sont respectées, le risque total se décompose de manière additive en une partie systématique et une partie spécifique sur base de l identité suivante : σ 2 p =σ 2 K k=1 β pk λ kt +σ 2 ( ε p ) Dans ces conditions, la performance du portefeuille ajustée par rapport à son niveau de risque spécifique est équivalente au rendement du portefeuille en quelque sorte «magnifié» par le multiplicateur du risque spécifique dans son risque total Plus ce multiplicateur est élevé, moins le risque spécifique intervient dans le risque total du portefeuille Le ratio mis au point par ces auteurs est le suivant : ratio 2 = R p σ p 2 σ 2 ( ε p ) Ce ratio n est autre que le rendement du portefeuille multiplié par 1 plus le rapport entre le risque systématique et le risque spécifique 32 La performance fondée sur une différence entre le rendement et une pénalité pour le risque spécifique 152 La littérature spécialisée, qu elle soit scientifique ou professionnelle, n est pas prolixe dans le développement de mesures de performance fondées sur le risque spécifique Néanmoins, dans le cadre de la recherche d indicateurs de persistance dans la performance (voir chapitre 9), Bodson, Cavenaile et Hübner (2010) ont mis au point deux mesures fondées sur le risque spécifique La première, ratio 2, est plutôt assimilée à un ratio (voir ci-dessus) La seconde peut être considérée comme représentant une différence Elle s exprime comme suit :

19 ratio 4 = R p σ 2 K k=1 β pk λ kt = R p 1 σ 2 ( ε p ) 2 σ p σ p 2 Autrement dit, le rendement du portefeuille est amputé d une fraction correspondant à la proportion du risque systématique dans son risque total Un gestionnaire ayant eu une exposition relativement élevée au risque spécifique se verra donc pénalisé, ce qui correspond à la philosophie du ratio d information Contrairement à la mesure ratio 2, l existence d une valeur finie est garantie pour ratio 4, étant donné que le dénominateur du quotient n est pas nul (à condition bien sûr que le portefeuille n ait pas eu un rendement constant) 4 Les critères de choix d une mesure de risque par rapport à laquelle la performance est mesurée On peut légitimement se poser la question de la raison d être d un aussi grand nombre de mesures de la performance de la gestion de portefeuille Sans même avoir considéré les méthodes développées afin de tenir compte de différences dans les capacités des gestionnaires ou dans les profils d investisseurs à qui les portefeuilles sont destinés (ces thèmes seront développés au chapitre suivant), il apparaît que la liste des mesures de performance ajustées au risque ne se limite pas à celles qui ont été présentées aux chapitres 5 et 6 Parmi ce foisonnement, il en est, certes, qui sont vraisemblablement inutiles, mais sans doute pas toutes Il faut donc, à un moment donné, opérer un choix pour n en conserver qu une ou, au maximum, un nombre restreint Choisir une mesure de performance plutôt qu une autre n est pas anodin Parmi les raisons de ce choix, il faut immédiatement considérer comme mauvaise celle qui consiste à sélectionner «à la carte», en fonction d un intérêt d autopromotion totalement en porte-à-faux avec l objectif informationnel de la mesure de performance Il existe deux manières de considérer les critères de choix d une mesure de performance pour un portefeuille donné : soit en fonction de l investisseur, soit en fonction du gestionnaire Si le choix est effectué en fonction de l investisseur, le critère décisif est la manière dont le risque est mesuré Celle-ci doit être cohérente avec le but poursuivi par l investisseur lorsqu il a sélectionné son portefeuille Si, au contraire, le choix est effectué en fonction du gestionnaire, le critère décisif est l adéquation avec le type de qualité dont ce gestionnaire fait (ou ne fait pas) preuve Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque 153

20 Performance de portefeuille Le choix d une mesure de performance en fonction de l investisseur Lorsque le choix d une mesure de performance est conditionné par l usage que l investisseur fait de son portefeuille au sein de son patrimoine global, l intérêt de la démarche consiste à vérifier dans quelle mesure les qualités du gestionnaire contribuent aux objectifs de son client L opération est délicate, car il est parfaitement possible de sélectionner un excellent gestionnaire, mais dont les capacités sont de piètre utilité pour son client Pour illustrer cette situation, imaginons que l investisseur mette «tous ses úufs dans le même panier» : il confie l intégralité de son patrimoine mobilier à un seul gestionnaire, à charge pour ce dernier de faire fructifier son investissement de la meilleure manière possible Il va de soi qu un gestionnaire qui déciderait d investir toutes les liquidités disponibles dans un seul secteur par exemple les actions du secteur biotechnologique, même s il dispose d excellentes capacités de sélection, ferait supporter à l investisseur un risque spécifique qui aurait pu être diversifié, aux conséquences potentiellement très dommageables On le voit à travers l exemple précédent, le critère majeur pour sélectionner la mesure idoine est celle du risque En l occurrence, le découpage du présent chapitre n est pas innocent : nous avons utilisé les trois acceptions du risque en théorie moderne du portefeuille, à savoir le risque total, le risque systématique et le risque spécifique, pour définir des familles de mesure de performance Il doit y avoir adéquation entre la mesure de risque utilisée et la destination du portefeuille Le raisonnement est le suivant (Bodie, Kane et Marcus, 2008) : Le portefeuille activement géré représente l intégralité de l investissement dans les actifs financiers risqués La situation est très simple : l investisseur est soumis au risque total de ce portefeuille, car il n en a pas diversifié la partie spécifique Il doit utiliser une mesure de performance fondée sur le risque total du portefeuille, comme le ratio de Sharpe ou l un de ses dérivés Le portefeuille activement géré représente une partie de l investissement dans les actifs financiers risqués ; le reste, appelé le «portefeuille complément», fait l objet d une gestion passive (actif sans risque et portefeuille de marché) Dans ce cas-là, il faut s intéresser à la performance totale du patrimoine de l investisseur Considérons que le risque total est mesuré par la volatilité, de sorte que la performance globale est adéquatement estimée à l aide du ratio de Sharpe Dans ce cas, nous pouvons mettre en évidence la relation suivante : 2 S global α = S 2 p m + σ ε p ( ) 2 = S m 2 + RI p 2 Plus le carré du ratio de Sharpe est élevé, meilleure est la performance à condition que le rendement excédentaire du portefeuille soit positif En d autres termes, la mesure de la contribution du portefeuille activement géré à la performance globale est une fonction croissante à son ratio d information C est donc ce dernier, qui est une mesure fondée sur le risque spécifique, qui doit s appliquer pour mesurer la performance du portefeuille