Séquences de synchronisation sur les réseaux de Petri

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1 Séquences de synchronisation sur les réseaux de Petri Marco Pocci (a), Isabel Demongodin (b), Norbert Giambiasi (c), Alessandro Giua (d) (a) (c) LSIS, Université d Aix-Marseille, France (d) DIEE, Université de Cagliari, Italie { (a) marco.pocci, (b) isabel.demongodin, (c) norbert.giambiasi}@lsis.org, (d) giua@diee.unica.it Résumé Dans le domaine des systèmes à événements discrets, une classe importante de problèmes de test est de déterminer l état final après l exécution d une séquence de test. Ce problème a été complètement résolu dans les années 60 à l aide des séquences de positionnement et de séquences synchronisation pour les machines à états finis avec entrées/sorties. Dans cet article, on propose une première approche pour résoudre le problème de synchronisation sur les systèmes représentés par une classe de réseaux de Petri synchronisés. On montra que, quel que soit le nombre de jetons que le réseau contient, une séquence de synchronisation peut être calculée en fonction de sa structure, évitant ainsi le problème d explosion de l état. Mots-clés Problèmes de test, systèmes à événements discrets, réseaux de Petri, séquences de synchronisation. Publié comme : M. Pocci, I. Demongodin, N. Giambiasi, A. Giua, "Séquences de synchronisation sur les réseaux de Petri," JDMACS 11 : 4èmes Journées Doctorales MACS (Marseille, France), June 2011.

2 I. Introduction Les problèmes fondamentaux de test de Machine à État Finis (MEF) et les techniques pour résoudre ces problèmes ont été introduit dans l article de Moore [1] et ont été repris en détail par Lee et Yannakakis [2]. Ils ont définit cinq problèmes fondamentaux de test : i) détermination de l état final après un test; ii) identification d état; iii) vérification d état; iv) tests de conformité; v) identification de machine. Parmi ces derniers, on considère le problème de la détermination d un état final après un test. Ce problème a été abordé et résolu complètement essentiellement autour des années 60 en utilisant les séquences de positionnement (SP) et les séquences de synchronisation (SS). Une SP est une séquence d entrée qui ramène une MEF d un état initial supposé inconnu à un état qui peut être déterminé par la séquence d événements de sortie observée. Une SS est une séquence d entrée qui ramène une MEF de quelque soit l état initial toujours supposé inconnu dans un état connu indépendamment de la séquences de sortie. Plusieurs approches ont été proposées pour obtenir une SS pour un MEF. Hennie [3] et Kohavi [4] ont utilisé la méthode de l arbre de synchronisation. Construire l arbre des successeurs jusqu au premier noeud identifiant la SS la plus courte prend un temps exponentiel. C est pourquoi cette méthode ne convient que pour les petits MEF. Pomeranz et al. dans [5] ont proposé la méthode de SP; cette stratégie atténue le besoin d une machine d avoir une SS, mais par contre nécessite l observation des sorties produites afin de déterminer l état final. Pixley dans [6] et Rho dans [7] ont donné une procédure de décision : en ayant suffisamment de temps et de la mémoire, la méthode permet de calculer une SS si la machine en a une. Le principal inconvénient est que la longueur de la SS peut être énormément loin de la limite inférieure. Enfin Eppstein [8] a donné un algorithme, basé sur le travail de Natarajan [9], Cet algorithme, qui en temps polynomial soit trouve des séquences ou prouve qu ils n en existent pas, a été décrit par Lee et al. [2] et adapté pour les SS. Peu de travaux ont été développés dans le domaine de test des systèmes modélisés par les réseaux de Petri (RdP). Jourdan et Bochmann [10] ont étudié le problème de tester automatiquement les RdP, afin d assurer la conformité et donc que l implantation d une spécification donnée comme RdP soit correcte. Zhu et He ont donné une intéressante classification des critères de test [11] et une théorie des tests de RdP de haut niveau [12] pour faire du test sur les systèmes de logiciels concurrents. Cet article étend les approches existantes pour les MEF à la classe de RdP synchronisés, c-à-d, des réseaux où une étiquette est associée à chaque transition. L étiquette représente un événement externe dont l occurrence provoque le franchissement de la transition, en supposant que la transition soit franchissable au marquage courant. À cause de la classe de RdP utilisée, qui ne considère pas les sorties, on ne sera intéressés qu aux SS. Il est bien notoire que un RdP borné où le nombre de jetons dans chaque place ne dépasse

3 pas un nombre fini k pour tous les marquage atteignables à partir de celle initial peut être représenté par un graphe de marquage fini, c-à-d une MEF dont le comportement est équivalent à celui du RdP [13]. Ainsi, l existence de SS pour ces modèles peut être étudié en utilisant l approche classique pour MEF avec des petits changements. Cependant une MEF est supposée être complètement spécifiée tous les événements peuvent se produire à partir de n importe quel état dans le cas du graphe de marquage du RDP, la condition n est pas généralement vraie. Ensuite, on considère la classe de graphe d état (GE) [13], RdP caractérisé par le fait que chaque transition a une seule place d entrée et une seule place de sortie. Ces réseaux sont semblables à des automates, dans le sens que le graphe de marquage d un GE avec un seul jeton est isomorphe en supposant que toutes les places peuvent être marquées au réseau lui-même. Toutefois, comme le nombre de jetons k dans le réseau augmente la cardinalité du graphe de marquage égale k m 1 où m est le nombre de places dans le réseau. On montra que pour des GE connectés, même dans le cas de plusieurs jetons, l existence de SS peut être efficacement déterminée simplement en ne regardant que la structure du réseau, évitant ainsi le problème d explosion d états. Ce papier est organisé comme suit. La section II présente le modèle de MEF et du RdP avec la méthode existante pour les MEF. La section III montre comment la méthode des MEF peut être facilement adaptée aux RdP bornés. Ensuite dans la section IV, le problème est reexaminé et d autres techniques pour le cas des GE sont proposées. La section V est consacrée à la détermination de SS en ayant la distribution initiale de jetons dans les différents composantes. Les conclusions sont tirés dans la section VI. A. Machines de Mealy II. Rappels Les machines de Mealy sont les modèles de MEF utilisés dans ce travail. Une machine de Mealy M a une structure M = (I,O,S,δ,λ), où : I, O et S sont les ensembles finis et non vides des événements d entrée et sortie et des états ; δ : S I S est la fonction de transition et λ : S I O celle de sortie. Si la machine se trouve sur l état s S et reçoit l événement i I à l entrée, elle change son état courant d une manière dépendant de δ(s,i) et produit une sortie spécifiée par λ(s,i). Les fonctions δ et λ sont supposées fonctions totales, c-à-d fonctions définies pour chaque élément (s,i) de leur domaine. Cette machine est dite complètement spécifiée pour indiquer que pour un état quelconque et pour n importe quel événement en entrée une transition d état se vérifie en produisant une sortie spécifique. On dénote le nombre d états, des événements d entrée et sortie comme n = S, p = I and q = O. On étend la fonction de transition δ à séquence des événements en entrée comme suit : pour un état initial s 1, une séquence d entrée x = a 1,...a k ramène la machine successivement aux états s i+1 = δ(s i,a i ),i = 1,...,k avec l état final δ(s 1,x) = s k+1. Egalement, on l étend pour un ensemble d états comme suit : pour un ensemble d états S S, un événement d entrée

4 i I ramène la machine sur un ensemble d états S = s S δ(s,i). Une machine de Mealy est dite fortement connexe si il y a un chemin orienté de chaque nœud vers tous les autres. B. Séquence de synchronisation pour machines de Mealy Une SS ramène la machine vers le même état final indépendamment de l état initial et des sorties. Une séquence d entrée x est synchronisante vers l état s r ssi δ(s i,x) = δ(s j,x) = s r pour tous les couples d états s i,s j S. L information de l état courant de M après l application de x est déterminée par l ensemble σ(x) = δ(s, x), dit l incertitude de l état courant de x. x est donc une SS qui ramène la machine sur le même état final s r ssi σ(x) = s r. Étant donnée une machine de Mealy M avec n états, on construit un graphe auxiliaire A(M) avec n(n + 1)/2 nœuds, un nœud pour chaque couple désordonné d états de M (s i,s j ), en comprenant les couples (s i,s i ) du même état. Il y a un arc de (s i,s j ) vers (s p,s q ), étiqueté par un événement d entrée a I, ssi en M il y a une transition de s i vers s p et une autre de s j à s q, toutes deux étiquetées a. L algorithme suivant, dû au travail de Natarajan [9], a été introduit par Eppstein [8] et interprété et décrit par Lee et al. in [2]. On propose une possible implantation de ce travail pour déterminer une SS x qui n est pas nécessairement la plus courte possible. Algorithme 1: [14] [Détermination d une SS pour s r ] Soit M = (I,O,S,δ,λ) une machine de Mealy. 1. Soit s r l état final désiré. 2. Soit x = ε, la séquence initiale vide. 3. Soit σ(x) = {S}, incertitude de l état courant. 4. Choisir deux états s i,s j σ(x) tels que s i s j. 5. Trouver les chemin les plus courts in A(M) de (s i,s j ) à (s r,s r ) Si aucun chemin existe, terminer l algorithm, il n y a aucune SS pour s r Sinon, soit x la séquence d entrée définie par ce chemin, faire σ(x) = δ(σ(x),x ) et x = xx, 6. Si σ(x) {s r } retourner à l étape x est la SS cherchée. À partir de cet algorithme on parvient au théorème suivant, qui apporte une condition d atteignabilité sur le graphe auxiliaire nécessaire et suffisante pour l existence d une SS pour un état désiré. Théorème 2: [14]Une MEF M a une SS pour un état final s r ssi il y a un chemin orienté dans son A(M) de chaque nœud (s i,s j ), 1 i < j n, vers (s r,s r ), avec les deux éléments égaux.

5 Fig. 1 Un RdP synchronisé (a) et son graphe de marquage complètement spécifié (b). M 0 M 1 M 2 [200] T [010] T [101] T TABLE I Les marquages du RdP en Fig. 1.(A). On utilisera cette condition pour démontrer l existence d une SS. C. Réseaux de Petri synchronisés Dans cette section on rappelle les formalismes des RdP [15] utilisée dans la suite. Un réseau Place/Transition (P/T) est une structure N = (P,T,Pre,Post), où P est l ensemble de m places, T l ensemble de q transitions, Pre : P T N et Post : P T N les fonctions de pre- et post-incidence qui spécifient les arcs. Un marquage est un vecteur M : P N qui assigne à chaque place un entier non négatif de jetons ; le marquage d une place p est indiqué comme M(p). On indique N,M 0 un réseau N avec un marquage initial M 0. Une transition t est franchissable pour M ssi M Pre(,t) et par son franchissement on obtient le marquage M = M Post(,t) + Pre(,t). L ensemble de transitions franchissables pour M est indiqué comme E(M). La notation M[σ est utilisée pour noter que la séquence de transitions σ = t 1...t k est franchissable pour M ; on écrit M[σ M pour indiquer que le franchissement de σ à partir de M amène le réseau en M. L ensemble de toutes les séquences franchissables pour le marquage initial M 0 est L(N,M 0 ). Un marquage M est dit atteignable pour N,M 0 ssi il existe une séquence de franchissement σ L(N,M 0 ) tel que M 0 [σ M. L ensemble de tous les marquages atteignables de M 0 définit l ensemble de marquages accessibles de N,M 0 et il est indiqué comme R(N,M 0 ).

6 Un RdP synchronisé [15] est une structure N,M 0,E,f telle que : i) N,M 0 est un réseau marqué; ii) E est un alphabet des événements externes ; iii) f : T E est une fonction d étiquetage que associe à chaque transition t un événement d entrée f(t). On étend la fonction d étiquetage d une transition à une séquence de transitions comme suit : soit σ = t 1 t 2...t k, f (σ) = f(t 1 )f(t 2 )...f(t k ). L ensemble T e de transitions associées à l événement d entrée e est défini comme suit : T e = {t t T,f(t) = e}. La précédente définition syntactique est aussi commune aux RdP étiquetés ainsi nommés, où, en particulier, ce type de fonction d étiquetage est appelée λ-free dans la littérature [16]. Par ailleurs, dans le cas de RdP étiqueté, l évolution est autonome et les événements sont interprétés comme sorties, mais pour les RdP synchronisés les événements sont des entrées qui conduisent l évolution du réseau comme expliqué dans la suite. Soit M le marquage courant. Une transition t T franchie seulement si : 1. t est franchissable, c-à-d t E(M); 2. l événement e = f(t) se produit. Au contraire, l occurrence d un événement associé à une transition t E(M) ne produit aucun franchissement. Si plusieurs transitions sont réceptives au même événement, elles franchissent simultanément, si il n y a aucun conflit effectif. Exemple 3: On considère le RdP synchronisé en Fig. 1(a), où soit M = [101] T le marquage courant. t 1 et t 3 sont franchissables et l occurrence de e 1 produit leur franchissement et obtient le marquage M = [110] T. En conséquence, l ensemble des marquages atteignables d un RdP synchronisé peut être soit un sous ensemble soit égal à l ensemble d atteignabilité du réseau, en dépendance de sa fonction d étiquetage. Définition 1: Un RdP N,M 0 est dit déterministe si la relation qui suit est vérifiée : M R(N,M 0 ), e E : M Pre(,t). t T e E(M) Une RdP synchronisé est déterministe si pour tous les marquages atteignables il n y a pas de conflits entre les transitions qui partagent le même événement. Un RdP est borné pour un marquage initial donné, si il existe un entier positif k tel que M R(N,M 0 ), M(p) k, p P. Un réseau borné a un ensemble de marquages atteignables borné. Dans ce cas, la dynamique du réseau peut être représentée par le graphe de marquage, un graphe orienté dont les nœuds et les arcs correspondent aux marquages atteignables et aux transitions qui causent le changement de marquage. Dans le cas de RdP synchronisé est commun de noter l événement a coté de la transition. En Fig. 1(B), en ne considérant pas les arcs interrompus, a été montré le graphe de marquage du RdP en Fig. 1(A).

7 Dans la suite, on ne s intéressera qu aux RdP bornés. III. Séquences de synchronisation pour RdP bornés L utilisation des RdP offre des avantages significatifs en raison de leur nature intrinsèquement distribués, où les notions d état (marquage) et de l action (transition) sont locales. Dans cette section, on s intéresse aux RdP synchronisés et déterministes. Comme le comportement borné du RdP peut être représenté par un graphe d accessibilité (G), il a été prouvé dans [14] qu une approche simple de détermination de SS consiste à adapter l approche classique des MEF. Une telle approche exige un graphe complètement spécifié et fortement connexe, condition généralement pas vrai pour les RdP. En fait, le graphe d atteignabilité du RdP est partiellement spécifié, car de nombreux marquages non toutes les transitions sont franchissables. Le graphe complètement spécifié G est obtenu en ajoutant sur G des boucles étiquetées e sur chaque marquage M G, tel que t E(M) : f(t) = e. Exemple 4: Considérez le RdP en Fig. 1.(A). Le marquage initiale M 0 = [2 0 0] T valide seulement t 1. Donc pour ce marquage on ajoute une boucle étiquetée e 2 et ainsi de suite. On obtient un graphe de marquage complètement spécifié comme montré en Fig. 1(B). L algorithme suivant résume l approche pour RdP : Algorithme 5: [14][Détermination d une SS qui ramène à M r ] Soit N, M 0 un RdP marqué déterministe et borné et soit M r R(N,M 0 ) le marquage final désiré. 1. Soit G le graphe de marquage de N,M 0 2. Soit G le graphe de marquage complètement spécifié. 3. Construire le graphe auxiliaire correspondant, A( G). 4. Une SS pour le marquage M r, si elle existe, est déterminable en appliquant l Algorithme 1 à A( G). On peut maintenant énoncer le théorème suivant. Théorème 6: [14]Un RdP borné et déterministe N,M 0 a une SS pour le marquage M r R(N,M 0 ) ssi la condition d atteignabilité sur son graphe auxiliaire A(G) est vérifiée, c-à-d il existe un chemin de chaque nœud (M i,m j ), M i,m j R(N,M 0 ), au nœud (M r,m r ). IV. Séquence de synchronisation pour Graphes d Etat bornés On s intéresse maintenant au problème de détermination de SS pour une classe de RdP, les Graphes d Etats (GE), supposés bornés. Définition 2: Un RdP ordinaire est un graphe d état (GE) ssi toute transition a exactement une place d entrée et une place de sortie.

8 Fig. 2 GE synchronisé fortement connexe. La Fig.2 présente un exemple de GE synchronisé fortement connexe. Un RdP est dit fortement connexe ssi il y a un chemin orienté reliant chaque nœud (place ou transition) à tous les autres nœuds (place ou transition) du réseau. Lorsque le marquage initial assigne au réseau un seul jeton, le graphe d atteignabilité correspondant aura autant de marquages ou d états que le nombre de places. Toutefois, si le nombre de jetons dans le marquage initial est supérieur à un, la cardinalité du graphe d atteignabilité augmente de manière significative. En effet, pour un GE fortement connexe avec m places et k jetons, la cardinalité de l ensemble des états atteignables est donnée par : R(N,M 0 ) = ( m+k 1 m 1 ) 1 (m 1)! km 1 Pour des structures non fortement connexes, il est possible de décomposer le réseau en différentes composantes définies comme suit. Définition 3: Etant donné un RdP, N = (P,T,Pre,Post). Il peut être décomposé en composantes de deux types : a) composante ergodique, (ER) si l ensemble des transitions de sortie des places est inclus dans l ensemble des transitions d entrée de ces places ; b) composante transitoire, (TR) si l ensemble des transitions de sortie des places n est pas inclus dans l ensemble des transitions d entrée de ces places. Ainsi, par définition, une composante ergodique est fortement connexe et une RdP fortement connexe identifie une seule composante fortement connexe ergodique. Un exemple de GE synchronisé non fortement connexe est présenté dans la Fig. 4. Les composantes transitoires et ergodiques sont respectivement identifiées par des carrés interrompus et pointillés. On a : TR 1 = {p 3, t 4 }, TR 2 = {p 2, t 2, t 3 }, TR 3 = {p 1, t 1 }, ER 1 = {p 6 } et ER 2 = {p 4,p 5,t 5,t 6 }. L approche que nous proposons pour la détermination de SS, si elle existe, ne nécessite pas une énumération exhaustive des états dans lesquels le système peut être. Pour décrire notre

9 contribution, nous considèrerons d abord les GE fortement connexes pour ensuite relâcher cette contrainte et résoudre le cas général. A. SS pour GE fortement connexes L approche que nous avons développée dans le cas de GE fortement connexe [14], consiste à déterminer une SS qui conduit le marquage dans une place d une composante ergodique, dans le cas d un réseau sauf (un unique jeton) puis à généraliser à k jetons. Pour ce faire, plusieurs concepts et définitions sont nécessaires. Définition 4: Etant donnés un GE synchronisé N = (P,T,Pre,Post) et le cycle orienté γ = p 1 t 1 p 2 t 2 p k t k p 1 tels que : i) p i P et t i T ; ii) p i t i et t i p i+1. Si aucun noeud (place ou transition) de ce cycle est répété, le cycle est alors dit élémentaire. Définition 5: Étant donné un GE synchronisé N = (P,T,Pre,Post). On définit le chemin allant à p r du cycle γ = p 1 t 1 p 2 t 2 p k t k p 1 comme ρ(γ,p r ) = p r+1 t r+1 p r+2 t r+2 p k t k p 1 t 1 t r 1 p r. Ce chemin est construit en ouvrant le cycle γ, en le terminant à la place p r et en supprimant la transition de sortie de p r (i.e. t r p r ). On introduit maintenant le concept de séquence de transitions synchronisante qui permet de déterminer SS. Définition 6: Soient γ = p 1 t 1 p 2 t 2 p k t k p 1 un cycle orienté et ρ(γ,p r ) le chemin terminant sur p r. Soit σ la séquence de transitions obtenue en éliminant les places de ρ(γ,p r ). Cette séquence σ, est dite séquence de transitions synchronisante si les conditions suivantes sont vérifiées : C1) ils n existent pas deux transitions t,t T telles que t σ, t σ, et f(t) = f(t ); C2) si γ n est pas un cycle élémentaire, alors les transitions en conflit structurel appartenant à σ ne doivent pas avoir le même événement d entrée. Un premier résultat [14] concernant la détermination de SS dans le cas d un unique jeton sur un GE synchronisé fortement connexe peut maintenant être établi. Proposition 7: Etant donné un GE synchronisé fortement connexe, N = (P,T,Pre,Post), avec un unique jeton et p r P la place qui caractérise l état final recherché. On détermine la séquence de transitions synchronisante, σ, à partir du chemin ρ(γ,p r ) terminant sur p r, où γ est le cycle orienté qui contient toutes les places du GE. La séquence de synchronisation qui conduit le jeton dans la place p r, est donnée par w = f (σ). Ce résultat est étendu [14] pour k jetons. Proposition 8: Soit un GE synchronisé fortement connexe, N = (P,T,Pre,Post), avec k jetons et p r P la place qui caractérise l état final recherché. Soit w la SS pour la place p r déterminée pour le cas d un seul jeton en Proposition 7. La séquence de synchronisation qui conduit les k jetons vers p r est donnée par w k. Exemple 9: On considère le RdP en Fig.2 avec 2 jetons.on veut déterminer une SS qui conduit

10 Fig. 3 GE synchronisé non fortement connexe avec 2 composantes TR et 1 composante ER. ces jetons à la place p 3. Soient γ = p 1 t 1 p 2 t 2 p 3 t 5 p 2 t 4 p 4 t 3 p 1 et ρ(γ,p 3 ) = p 2 t 4 p 4 t 3 p 1 t 1 p 2 t 2 p 3. La séquence de transitions synchronisante correspondante est σ = t 4 t 3 t 1 t 2 et donc w = f (σ) = e 4 e 3 e 1 e 2. w 2 = e 4 e 3 e 1 e 2 e 4 e 3 e 1 e 2 est la séquence de synchronisation cherchée. B. SS pour GE non fortement connexes Contrairement aux machines à états finis, toujours considérées fortement connexes, on s intéresse aux réseaux connectés mais non fortement connexes. Dans cette section, on montre comment l existence de SS dépend de l interconnexion entre les composantes ergodiques et transitoires. Plus particulièrement, nous présentons les résultats obtenus [14] pour un GE non fortement connexe décomposable en une composante ER et plusieurs composantes TR. Dans le cas plus général, plusieurs composantes ER et plusieurs composantes TR interconnectés, nous avons montré [14] qu il n existe pas de SS. Proposition 10: [14] On considère un GE synchronisé non fortement connexe, N = (P,T,Pre,Post), avec un seul jeton, et décomposable en une seule composante ER et µ composantes transitoires TR 1,TR 2,...,TR µ. Soit σ = σ 1 t 1...σ µ t µ, où le couple (σ i,t i ) est déterminé comme suit : soit t i une transition d une p TR i à une p ER tel qu il n existe aucune t p qui ramène à TR i tel que f(t ) = f(t i ); soit σ i la séquence de transitions synchronisante de l ensemble des places de TR i à la place p. Soit σ la séquence de transitions synchronisante de l ensemble des places de ER à la place p r. La séquence de synchronisation qui conduit l unique jeton à la place p r ER est donnée par f (σ)f (σ ). On étend maintenant ce résultat pour le cas de k jetons. Proposition 11: [17] On considère un GE synchronisé non fortement connexe N = (P,T,Pre,Post) avec k jetons, et décomposable en une seule composante ER et µ composantes transitoires TR 1,TR 2,...,TR µ. Une SS pour N qui conduit tous les jetons dans la place p r, peut être déterminée comme suit. Soit σ 1 t 1...σ µ t µ les couples de séquence de transitions synchronisante et transition déterminés pour le cas d un seul jeton pour chaque composante transitoire. Soit σ la séquence de transitions synchronisante de toutes les places de ER à p r.

11 Fig. 4 GE synchronisé non fortement connexe avec 3 composantes TR et 2 ER. La séquence de synchronisation qui conduit les k jetons à la place p r ER est donnée par f (σ 1 t 1 ) k...f (σ µ t µ ) k f (σ ) k. Exemple 12: On considère le GE synchronisé de la Fig. 3, avec trois jetons dans l état initial. On veut trouver une SS qui conduit ces 3 jetons dans la place p 4. Ce réseau synchronisé est décomposable en deux composantes transitoires, TR 1 = {p 1,t 1,p 3,t 2,t 3 }, TR 2 = {p 2,t 6 }, et une composante ergodique ER 1 = {p 4,t 4,p 5,t 5 }. Soit (σ 1,t 1 ) = (t 1,t 3 ) et (σ 2,t 2 ) = (ε,t 6 ). Soit σ = t 5 la séquence de transitions synchronisante de toutes les places de ER à la place p 4, où t 4 = p 4. La séquence de synchronisation est donnée par : f (t 1 t 3 ) 3 f (t 6 ) 3 f (t 5 ) 3 = (e 1 e 3 ) 3 (e 2 ) 3 (e 5 ) 3 = e 1 e 3 e 1 e 3 e 1 e 3 e 2 e 2 e 2 e 5 e 5 e 5. Dans le cas plus général, la proposition suivante a été établie [17]. Proposition 13: [17]On considère un GE synchronisé N = (P,T,Pre,Post) avec µ composantes TR et η ER. Si η > 1 il n y a aucune SS pour ce réseau. Exemple 14: On considère le RdP de la Fig. 4 décomposable en 3 composantes TR et 2 composantes ER. Il est évident que pour une telle structure, il est impossible de trouver une séquence qui conduit les jetons de la composante T R1 dans la composante ergodique ER2 (idem pour TR3 vers ER1). Malgré cette dernière proposition, si la répartition des jetons dans les différentes composantes est connue, il est possible de déterminer SS dans certains cas. La section suivante aborde cette étude. V. Optimisation de SS Le fait de connaitre la répartition initiale du nombre de jetons dans les différentes composantes permet de minimiser SS voire de trouver des séquences de synchronisation dans le cas général de GE non fortement connexes. Proposition 15: [17]On considère un GE synchronisé non fortement connexe N = (P,T,Pre,Post)

12 avec k jetons. Le réseau a une seule composante ER et µ composantes transitoires TR 1,TR 2,...,TR µ. On suppose que la répartition des jetons dans chaque composante transitoire soit donnée par µ α = [α 1, α 2 α µ ], où α i k. Soit p r ER, la place qui caractérise l état final recherché. i=1 Soit (σ i t i ) le couple de séquence de transitions synchronisante et transition déterminé pour le cas d un seul jeton pour chaque composante transitoire TR i. Soit σ la séquence de transitions synchronisante de l ensemble de places de ER à la place p r. La séquence de synchronisation est donnée par : f (σ 1 t 1 ) α 1...f (σ µ t µ ) αµ f (σ ) k. Exemple 16: Reprenons le GE de la Fig. 3, avec trois jetons dans l état initial, et étudié dans l exemple 12. La répartition initiale des jetons dans les composantes transitoires est connue et est donnée par α = [1 2]. On désire déterminer une SS qui conduit ces jetons dans la place p 4. Au vu de la répartition, la séquence de synchronisation est donnée par : w = f (t 1 t 3 ) 1 f(t 6 ) 2 f(t 5 ) 3 = {e 1 e 3 } 1 {e 2 } 2 {e 5 } 3 = e 1 e 3 e 2 e 2 e 5 e 5 e 5. Dans la proposition Proposition 11, nous avons établi qu il n existe aucune SS, s il existe au moins deux composantes ergodiques qui sont en interaction avec des ensembles de composantes transitoires disjoints. Néanmoins, la connaissance de la distribution initiale des jetons entre les plusieurs composantes nous conduit à quelques autres analyses et extensions. Proposition 17: [17]On considère un GE synchronisé N = (P,T,Pre,Post) contenant k jetons, avec µ composantes transitoires et η ergodiques. La distribution initiale de jetons entre toutes les composantes est connue et est donnée par [α, β] = [α 1 α 2 α µ β 1, β 2 β η ], où µ η α i + β i = k. Soit σ = (σ 1 t 1 ) k 1 β 1...(σ η t η ) kη βη. Pour chaque couple (σ i,t i ), soit t i une i=1 i=1 transition d une p TR j vers une p ER i telle que : i) t p ramenante à TR j tel que f(t ) = f(t i ); ii) t ramenante d une TR p à une ER q, où p j,q i, telle que t σ,f(t ) f (σ 1 ). Soit σ i la séquence de transitions synchronisante de l ensemble des places de TR j à la place p. Soit σ = (σ 1 )k 1...(σ η) kµ, où σ i est la séquence de transitions synchronisante de l ensemble des places de ER i à la place p r,i. Soient ces séquences telles que t p r,i : f(t) σ (i+1), où σ (i+1) = (σ i+1 )k i+1...(σ η )kµ. Soit w = f (σ) et w = f (σ ). ww est une SS telle qu une place p r,i ER i de chaque composante érgodique soit marquée par exactement k i x i + β i jetons, où x i est le nombre total de jetons dans l ensemble des composantes TR connectées à ER i. Exemple 18: On considère le GE non fortement connexe de la Fig. 4 avec 4 jetons à l état initial. Soit [α, β] = [ ] la répartition initiale des jetons entre les composantes. On veut trouver une SS qui conduise 2 jetons dans la place p 4 de la composante ER 2 et 2 jetons dans p 6 de ER 1. Soient (σ 1,t 1 ) = (ε,t 1 ), (σ 2,t 2 ) = (ε,t 3 ) et donc σ = (t 1 ) 1 (t 3 ) 2 = t 1 t 3 t 3. Soit σ = (t 6 ) 2 = t 6 t 6. La SS pour le marquage demandé est donc ww = f (t 1 t 3 t 3 t 6 t 6 ) = e 1 e 2 e 2 e 3 e 3.

13 VI. Conclusion Cet article présente tout d abord, une extension aux réseaux de Petri synchronisés bornés, de la méthode de détermination de séquences de synchronisation prédéfinis pour les machine de Mealy. Cette méthode est établie à partir de la connaissance du marquage initial du modèle. En considérant le marquage initial inconnu, mais en supposant le nombre de jetons initialement dans le réseau, il est proposé une méthode de détermination de la séquence de synchronisation pour des structures de graphes d état fortement connexes. Cette méthode se base uniquement sur la structure du réseau et permet ainsi d éviter le problème de l explosion combinatoire du nombre d états liés au graphe de marquage nécessaire dans la technique issue des machines à états finis. Finalement, par la notion de composantes transitoires et de composantes ergodiques, il est possible de déterminer une séquence de synchronisation pour des graphes d états non fortement connexes, en supposant connue la répartition du nombre de jetons dans ces diverses composantes. Références [1] E. F. Moore : Gedanken-experiments on sequential machines. Automata Studies, Annals of Mathematical Studies, 34: , [2] D. Lee et M. Yannakakis : Principles and methods of testing finite state machine a survey. Proceedings of the IEEE, 84(8): , August [3] F. Hennie : Finite-State Models for Logical Machines. New York : John Wiley, 2 édition, [4] Zvi Kohavi : Switching and Finite Automata Theory. The McGraw-Hill College, 2 édition, [5] I. Pomeranz et S.M. Reddy : Application of homing sequences to synchronous sequential circuit testing. Computers, IEEE Transactions on, 43(5): , may [6] C. Pixley, S.-W. Jeong et G.D. Hachtel : Exact calculation of synchronizing sequences based on binary decision diagrams. Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, IEEE Transactions on, 13(8): , aug [7] June-Kyung Rho, F. Somenzi et C. Pixley : Minimum length synchronizing sequences of finite state machine. In Design Automation, th Conference on, pages , [8] David Eppstein : Reset sequences for monotonic automata. SIAM J. Computing, 19: , [9] B. K. Natarajan : An algorithmic approach to the automated design of parts orienters. In SFCS 86 : Proc. of the 27th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, pages , Washington, DC, USA, IEEE Computer Society. [10] G.-V. Jourdan et G.v. Bochmann : On testing 1-safe Petri nets. In Theoretical Aspects of Software Engineering, TASE Third IEEE International Symposium on, pages , [11] Hong Zhu et Xudong He : A methodology of testing high-level Petri nets. Information and Software Technology, 44(8): , [12] H. Zhu et X. He : A theory of testing high level Petri nets. In In Proceedings of the International Conference on Software : Theory and Practice, 16th IFIP World Computer Congress, pages , [13] T. Murata : Petri nets : Properties, analysis and applications. Proceedings of the IEEE, 77(4): , apr [14] M. Pocci, I. Demongodin, N. Giambiasi et A. Giua : Testing discrete event system : Synchronizing sequences using Petri nets. In 22nd European Modelling and Simulation Symposium (EMSS 2010), pages , FES, Morocco, October [15] R. David et H. Alla : Discrete, Continuous and Hybrid Petri Nets. Springer-Verlag, [16] S. Gaubert et A. Giua : Petri net languages and infinite subsets of N m. J. of Computer and System Sciences, 59(3): , april [17] M. Pocci, I. Demongodin, N. Giambiasi et A. Giua : Synchronizing sequences on not strongly connected Petri nets. In Symposium On Theory of Modelling and Simulation (DEVS/TMS 11), Boston, MA, USA, soumis, 2011.