ECGE Statistiques en économie et gestion : TP 1

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1 ECGE 14 - Statistiques en économie et gestion : TP 1 Exercice 1 Un dé parfaitement équilibré est lancé. Soit X la variable aléatoire (v.a.) correspondant au résultat obtenu avec le dé. a) Justifer pourquoi X est une v.a. S agit-il d une v.a. continue ou discrète? b) Donner la distribution de X. c) Calculer l espérance et la variance de X. d) Recommencer en supposant que le dé est pipé de sorte que le 6 ait deux fois plus de chance de sortir que chacun des autres numéros (P(X=6)=/7). Soit la fonction : 1/(b - a) f ( x) = 0 si a x b sinon a) Vérifier que cette fonction est une densité, laquelle? b) Déterminer sa fonction de distribution. n n c) Calculer l espérance et la variance de cette loi. (Rq: n k 1 k b a = ( b a) b a ) k= 0 n 1 Exercice 3: A l aide de tables statistiques (cf tables Thomas pp ) Calculer les probabilités suivantes avec Z ~ N (0,1): a) P (Z > 1.6) b) P ( 1.96 < Z < 1.96) c) P (Z <.5) d) P (9.9 < X < 10.1), X ~ N (10, (0.)²) e) P (15 < X < 17), X ~ N (0, 5) - Si la taille moyenne des hommes adultes en Belgique est de 175 cm avec une variance égale à 5 cm² et que les tailles suivent une loi normale, quelle est la probabilité qu un homme adulte tiré au sort ait une taille supérieure à 180 cm? - A partir de quel seuil, seul 5% des hommes ont une taille plus grande que ce seuil?

2 Exercice 1 ECGE14 Statistique en économie et gestion : TP En 1980, la population américaine comportait environ 100 millions d adultes (5 ans et plus) qui se répartissaient de la façon suivante en fonction du niveau d instruction X et du sexe Y : X Y 0 (masculin) 1 (féminin) 0 (Primaire et inférieur) (Secondaire) (Supérieur) On suppose qu un institut de sondage tire au hasard un adulte de cette population; on note X et Y respectivement son niveau d instruction et son sexe. a) Déterminer les lois marginales de X et Y; calculer E (X) et E (Y), Var (X) et Var (Y) b) Déterminer les lois conditionnelles de X Y = y. Calculer E (X Y = y). Retrouver E (X), c) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? Calculer le coefficient de corrélation. Un ascenseur peut supporter une charge limite de 500 kg et au maximum 30 personnes. Si les poids des individus utilisant l ascenseur suivent une loi normale et ont une moyenne de 80 kg et un écart-type de 10 kg, quelle est la probabilité qu un groupe de 30 personnes dépasse la charge maximale. Qu en serait-il si les poids des individus ne suivent pas une loi normale? Exercice 3 Si l âge de tous les étudiants d un auditoire ont une moyenne de 19 ans et un écart-type de ans, quelle est la probabilité que l âge moyen de 50 étudiants tirés au hasard soit supérieur à 19.5?

3 Exercice 4 Un investisseur s intéresse aux performances financières, à la rentabilité du titre «X» (titre présent sur le marché boursier depuis plusieurs dizaines d années). Pour ce faire, il observe les rendements de ce titre sur les cinq dernières années (en pourcent) :.1 ; 3.5 ;.8 ;.6 ; 4 a) Calculez la variance des rendements de X sur les cinq dernières années. b) Estimez la variance des rendements de X à l aide des cinq valeurs dont l investisseur dispose. c) Comparez les deux valeurs obtenues. d) Calculez le rendement moyen de X sur les cinq dernières années. e) Estimez le rendement moyen de X à l aide des cinq valeurs dont l investisseur dispose.

4 Exercice 1 ECGE14 Statistique en économie et gestion : TP3 Un fabricant de meubles en bois possède un grand entrepôt carré dont il désire estimer la surface. En mesurant la longueur de son bâtiment, il fait une erreur aléatoire de telle sorte que la longueur observée X 1 est une variable aléatoire normale centrée en µ (la véritable valeur mais inconnue) d écart-type σ. Conscient de son erreur, il décide de faire une seconde observation X (indépendante de la première) et ensuite d en faire une moyenne. Mais, il ne sait pas comment procéder : - Devrait-il faire la moyenne de X 1 et X d abord et élever au carré ensuite? ˆ X 1 + X ϑ 1 = - Où devrait-il d abord élever au carré et faire la moyenne ensuite? ˆ X 1 + X ϑ = Mathématiquement, cela revient à se demander laquelle des deux méthodes est la meilleure. a) Ces deux méthodes sont-elles réellement différentes ou sont-elles simplement deux façons différentes de dire la même chose? b) Lequel des deux estimateurs est le moins biaisé? c) En tant qu estimateur alternatif de la surface quel est le biais de X 1 X? Soit une variable X de moyenne µ et de variance σ². Pour estimer µ à partir d un échantillon aléatoire de taille n, 3 estimateurs sont proposés : ~ µ = X + 3, X 80 * n ˆ µ = + et µ = X n n + 1 où X est la moyenne de l échantillon. a) Montrez que les 3 estimateurs proposés sont biaisés. b) Trouvez les variances des distributions d échantillonnage pour les 3 estimateurs. c) Trouvez les estimateurs qui sont asymptotiquement non biaisés. d) Trouvez les estimateurs qui sont consistants.

5 Exercice 3 L action «X», cotée sur le NYSE (New York Stock Exchange) depuis de nombreuses années, a réalisé les rendements (en %) suivant durant le dernier quadrimestre : 3.1 ;.8 ; 3.6 ; 3.7 a) Trouvez un intervalle de confiance (IC) à 95% pour le rendement moyen de cette action sachant que σ X = b) Idem à 99%. c) Recommencez les points a) et b) en estimant la variance ( σ est inconnu et doit être estimé par S X ). Comparez tous les IC. d) Sur base de chacun de ces IC, testez l hypothèse suivante : H 0 : µ X =.7 contre H 1 : µ X.7 X

6 Exercice 1 ECGE14 Statistique en économie et gestion : TP4 On propose au ministère de l agriculture types de graines germantes. Afin de déterminer quelle est la meilleure, on choisit de manière aléatoire 7 champs d 1 Ha chacun. Chaque champ est partagé en parties égales et on ensemence 1 partie avec la graine A, l autre avec la graine B. Le choix est fait de manière aléatoire. On fait l hypothèse que la production agricole suit une loi normale. Les productions agricoles obtenues sont : Champ Graine A Graine B Quelle graine vous semble la meilleure? Basez votre réponse sur un intervalle de confiance à 95% en écrivant les hypothèses correspondantes. Comparez les résultats obtenus en tenant compte de l appariement des groupes avec ceux qui seraient obtenus en ne tenant pas compte de cet appariement. Sans recalculer, la conclusion serait-elle identique dans le cas d une hypothèse unilatérale (écrivez les hypothèses)? Un investisseur s intéresse aux performances financières d un actif X et a observé les rendements suivants (en %) : 1.3 ; 4.6 ; 3.8 ; 5. ; 5.3 ; 5.6 a) En supposant que le rendement de l actif est distribué comme une normale et que σ X = 3.5, donnez un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne du rendement de l actif. Qu en serait-il si le rendement ne suit pas une loi normale? b) Testez l hypothèse suivante : H 0 : µ X = 5 ; H A : µ X 5 (avec α=5%). Calculez et interprétez la région critique et la PVal. c) Testez l hypothèse suivante : H 0 : µ X 5 ; H A : µ X < 5 (avec α=5%). Idem. d) L investisseur observe un autre actif Y indépendant de X et observe à l aide d un échantillon (de même taille que pour X) que Y = 8. 5 avec σ Y =. 8 supposé connu. Il se demande alors si il peut considérer que le rendement moyen de l actif Y est «meilleur» que l actif X. Testez cette hypothèse avec α=5%. Donnez également l IC pour la différence moyenne entre X et Y.

7 Exercice 3 Un grand nombre d ampoules électriques couramment vendues ont l inscription suivante écrite sur leur emballage : Durée de vie moyenne : 750 heures Il semble raisonnable de considérer la durée de vie moyenne de ces ampoules comme une distribution normale. Testons : H 0 : µ = 750 conte H A : µ 750 A l aide d un échantillon de 100 ampoules, la durée de vie moyenne est estimée à 700 heures et la variance est estimée à 81 heures², devons-nous accepter ou rejeter l hypothèse H 0? Calculez et interprétez la région critique. Calculez et interprétez la PVal (approximée par la loi normale).

8 Exercice 1 ECGE14 Statistique en économie et gestion : TP4 On propose au ministère de l agriculture types de graines germantes. Afin de déterminer quelle est la meilleure, on choisit de manière aléatoire 7 champs d 1 Ha chacun. Chaque champ est partagé en parties égales et on ensemence 1 partie avec la graine A, l autre avec la graine B. Le choix est fait de manière aléatoire. On fait l hypothèse que la production agricole suit une loi normale. Les productions agricoles obtenues sont : Champ Graine A Graine B Quelle graine vous semble la meilleure? Basez votre réponse sur un intervalle de confiance à 95% en écrivant les hypothèses correspondantes. Comparez les résultats obtenus en tenant compte de l appariement des groupes avec ceux qui seraient obtenus en ne tenant pas compte de cet appariement. Sans recalculer, la conclusion serait-elle identique dans le cas d une hypothèse unilatérale (écrivez les hypothèses)? Un investisseur s intéresse aux performances financières d un actif X et a observé les rendements suivants (en %) : 1.3 ; 4.6 ; 3.8 ; 5. ; 5.3 ; 5.6 a) En supposant que le rendement de l actif est distribué comme une normale et que σ X = 3.5, donnez un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne du rendement de l actif. Qu en serait-il si le rendement ne suit pas une loi normale? b) Testez l hypothèse suivante : H 0 : µ X = 5 ; H A : µ X 5 (avec α=5%). Calculez et interprétez la région critique et la PVal. c) Testez l hypothèse suivante : H 0 : µ X 5 ; H A : µ X < 5 (avec α=5%). Idem. d) L investisseur observe un autre actif Y indépendant de X et observe à l aide d un échantillon (de même taille que pour X) que Y = 8. 5 avec σ Y =. 8 supposé connu. Il se demande alors si il peut considérer que le rendement moyen de l actif Y est «meilleur» que l actif X. Testez cette hypothèse avec α=5%. Donnez également l IC pour la différence moyenne entre X et Y.

9 Exercice 3 Un grand nombre d ampoules électriques couramment vendues ont l inscription suivante écrite sur leur emballage : Durée de vie moyenne : 750 heures Il semble raisonnable de considérer la durée de vie moyenne de ces ampoules comme une distribution normale. Testons : H 0 : µ = 750 conte H A : µ 750 A l aide d un échantillon de 100 ampoules, la durée de vie moyenne est estimée à 700 heures et la variance est estimée à 81 heures², devons-nous accepter ou rejeter l hypothèse H 0? Calculez et interprétez la région critique. Calculez et interprétez la PVal (approximée par la loi normale).

10 Exercice 1 ECGE14 Statistique en économie et gestion : TP5 En finance, la volatilité est une mesure de l'instabilité du cours d'un actif financier et est donc un indicateur primordial pour la fluidité du marché. Elle sert de paramètre de quantification du risque de rendement et de prix d'un actif financier. Un marché qui stagne est un marché à volatilité très faible. Un trader souhaite investir dans un actif financier seulement si la variabilité de son rendement n excède pas 65 et a estimé la variance de ce rendement à 70 à l aide de 5 observations. Tester (α 5%) l hypothèse que la variance du rendement de cet actif financier n excède pas 65. Calculez et interprétez la région critique. Soient groupes de 30 personnes : un groupe d experts comptables (A) et un groupe de personnes non comptables (B). Une même déclaration d impôts leur est soumise et ils la remplissent individuellement. La variance des sommes déclarées pourrait être plus faible dans le groupe A. La variance estimée dans le groupe A est de et dans le groupe B de a) Testez l hypothèse d égalité des variances des populations contre l alternative d une plus grande variance pour le groupe B. b) Testez l hypothèse d égalité des variances des populations contre l alternative de variances différentes. Exercice 3 A l aide d un échantillon de 0 observations mensuelles, un analyste financier voudrait estimer une relation linéaire (une droite dans ce cas-ci) avec comme variable dépendante le taux de rentabilité du stock d une société («rate of return») et comme variable indépendante le taux de rentabilité de l indice Standard et Poor's 500 («Standard and Poor s 500 Index» ou «S&P 500», le S&P 500 est l index boursier contenant les 500 valeurs américaines les plus importantes). Les informations suivantes sont disponibles : a) Estimer la régression linéaire de Y sur X. b) Interprétez la valeur estimée de la pente. c) Interprétez la valeur estimée de l ordonnée à l origine. d) Calculez le coefficient de détermination de cette régression en sachant que

11 ECGE14 Statistique en économie et gestion : TP6 Exercice 1 La moyenne de QI (variable X) de 100 étudiants de première candidature est de 15, avec pour écart-type 10. Leur note en statistique (variable Y) est corrélée positivement avec ce QI : le coefficient de corrélation vaut 0,8. Un ajustement linéaire par moindres carrés permet d estimer cette note en statistique à partir du QI par la relation suivante : Y = , X. a) Quelle est la part de la variation totale de Y expliquée par sa relation linéaire en X (en %)? b) Quelle est la moyenne des notes en statistique? c) Un étudiant a un QI de 90 (X) et une note en statistique de 19. Donnez l estimation du QI que cet étudiant devrait avoir, étant donné qu il a eu 19 en statistique, et ce, à partir d un ajustement linéaire des QI en fonction de la note en statistique (Y). d) Quelle est la part de la variation totale de X non expliquée par cette seconde relation d ajustement linéaire (en %)? Supposons que pour un échantillon aléatoire de 4 familles, nous observons les revenus annuels et les épargnes correspondantes suivantes : Famille Epargne (Y) Revenu (X) A,0 B,0 18 C 1,6 17 D 3, 7 a) Calculer l estimation de la droite de régression Y = ˆ α + ˆ βx. b) Construire l intervalle de confiance à 95% pour la pente βˆ. c) Faire figurer sur un graphique les 4 points et la droite ajustée, indiquer alors au mieux possible, les diverses pentes acceptables découlant du calcul de l intervalle de confiance de βˆ. d) En partant de b), quelles sont, parmi les hypothèses suivantes, celles qui doivent être rejetées (pour un risque de 5%)? H : β 0 0 = H : β 0, 05 0 = H : β 0, 1 0 = H : β 0, 5 0 =

12 Exercice 3 Les données ci-dessous reprennent la part des dépenses en nourriture (Y) dans les dépenses totales (X) d un ménage X Y 85,653 5,9 911,113 57,66 69,63 307,88 590,346,39 438,68 16,0 National Bureau of Economic Research: En supposant que cette relation peut être approximée par une fonction de type double logarithmique, estimez le coefficient β de la régression. Quelle est l interprétation de ce coefficient dans ce cas particulier? Exercice 4 En 1970, un échantillon de 50 nord-américains dont l âge variait entre 35 et 54 ans a permis d obtenir la relation suivante entre leur revenu annuel et la durée de leurs études en années (X) : Y = X. Le revenu moyen était de Y = et le temps moyen des études était de X = 11 avec 50 ( i X ) = 900 i= 1 X. L écart-type résiduel autour de la droite de régression ajustée était s = a) Calculer un intervalle de confiance à 95% pour la pente de la droite ajustée. b) La relation entre revenus et années d études est-elle statistiquement significative au seuil α = 5%? c) Prédire le revenu d un homme qui a fait 10 années d études (X = 10). Calculez un intervalle de prédiction avec α = 5%. d) Prédire le revenu moyen d un homme qui a fait 10 années d études. Calculez l IC.

13 ECGE14 Statistique en économie et gestion : TP7 Exercice 1 Une étude a été menée en vue de déterminer l effet de l année X sur le prix de location de maisons unifamiliales Y (en milliers de francs). Les données de cette étude sont : X Y a) Ajustez la droite des moindres carrés (Y en fonction de X). b) Peut-on admettre que chaque année le prix augmente de 1000 francs? Répondez au moyen d un test d hypothèse à 5%. c) Construisez un intervalle de prédiction pour le prix de location pour l année X = 78. Interprétez l intervalle obtenu. d) On pose X * = X 71 et l on considère à présent l ajustement de Y en fonction de X *. Que deviennent le estimations des paramètres obtenus en a) et la qualité de l ajustement? La "loi de Okun" dit que pour chaque pourcent de chômage en plus (en moins), le PIB réel diminue (augmente) de. %. Cette loi a été «testée» de 1969 à 005 en ajustant une régression linéaire de Y (taux de croissance du PIB réel) sur X (changements du taux de chômage) et ce dans 5 pays différents. Les 5 pentes estimées ( βˆ ) sont : ; -.01 ; ; -.35 ; A quoi sont dues les différences de valeurs entre ces 5 estimations? Calculez le biais théorique de l estimateur βˆ ainsi que le biais observé et comparez. Exercice 3 Une entreprise fabriquant des peintures mesure la dureté de ses peintures après différents temps pour déterminer après combien de temps la peinture peut être considérée comme sèche. A l aide d un échantillon, la dureté d une peinture a été mesurée après les temps suivants en minute (Variable X) : 1 ; 3 ; 5 ; 9 et 14. Les duretés correspondantes (Variable Y) ont été mesurées à : 0,001 ; 0,477 ; 0,699 ; 0,954 et 1,146. Calculez la statistique de Durbin-Watson et interprétez la valeur obtenue.

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