TP 5 & 6 : Graphique

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1 L1-S1-IMP Informatique Année Semestre 1 TP 5 & 6 : Graphique 1 Bases 1.1 Bibliothèque graphique Pour dessiner des figures géométriques (et autres), Caml offre une bibliothèque de fonctions graphiques. Une bibliothèque est une collection de fonctions prédéfinies. Syntaxiquement, les fonctions de la bibliothèque graphique sont préfixées de Graphics. du reste, elles se comportent comme d autres fonctions sous Caml. Voici un résumé de l utilisation de l interface graphique : Vous chargez la bibliothèque graphique. Ceci est nécessaire une fois, au début de la séance, et revient à définir les fonctions contenues dans la bibliothèque - autrement, l interpréteur de Caml ne les connaît pas. Vous ouvrez une fenêtre dans laquelle vous souhaitez dessiner des objets. Ceci se fait avec la commande Graphics.open graph avec laquelle vous spécifiez aussi les dimensions de la fenêtre (voir exemple plus bas). Vous dessinez des objets (lignes, cercles,...) à l aide de commandes spécialisées. Ces objets sont rajoutés aux objets dessinés auparavant. Vous pouvez effacer le contenu de la fenêtre à l aide de la fonction Graphics.clear graph. Pour éviter de mauvaises surprises, fermez la fenêtre avec la fonction Graphics.close graph (et non pas en cliquant sur le bouton fermer de la fenêtre). Procédez maintenant comme suit : Ouvrez le fichier tp graphique.ml que vous trouvez sur la page Web du module, et lancez l interpréteur de Caml. Avec # #use "tp_graphique.ml" ;; vous pouvez charger les fonctions du fichier. (Le deuxième # n est pas l invite de Caml, mais fait partie de la commande). Maintenant, tout est prêt pour utiliser les fonctions de la bibliothèque. Voici un dialogue typique qui permet de dessiner deux cercles : # Graphics.open_graph " 600x600" ;; (* attention à l espace devant le chiffre *) # dessiner_cercle (Graphics.red, (4., 4.), 1.2) ;; # dessiner_cercle (Graphics.blue, (4., 4.), 1.6) ;; # Graphics.clear_graph () ;; # Graphics.close_graph () ;; Ainsi, le cercle rouge a le centre à la position (4., 4.) et un rayon de 1.2. Une description plus complète de la bibliothèque graphique est disponible dans le livre Développement d applications avec Objective Caml 1, voir surtout la page sur l interface graphique 2. Le manuel de Caml 3 contient une documentation exhaustive L1-S1 Info TP5&6

2 Un dernier avertissement : Le système graphique ne reproduit pas toujours fidèlement les longueurs. Ainsi, sur l écran, une ligne de longueur 4. peut paraître plus longue dessinée horizontalement que verticalement. 1.2 Pixels et couleurs Dans un format numérique, une image est composée de points minuscules, appelés pixels (contraction de : picture element). Chaque pixel a une couleur qui est composée de certaines couleurs de base. Un schéma de codage répandu est le schéma RGB (Red, Green, Blue) où une couleur est le mélange des couleurs rouge, vert et bleu. Nous pouvons représenter une couleur par un triplet (r, g, b) où r, g, b sont des entiers entre 0 et 255 qui indiquent l intensité des couleurs de base dans la couleur composée. Ainsi, un rouge pur est représenté par (255, 0, 0), un mélange de vert et bleu par (0, 100, 100). La fonction rgb convertit un triplet (r, g, b) en un entier c = r g b qui est la représentation interne de la couleur. Vous pouvez maintenant dessiner des objets dans un grand nombre de couleurs que vous créez vous-même : # dessiner_cercle (rgb(180, 120, 60), (4., 4.), 3.5) ;; Exercice (à préparer) 1 Écrivez la fonction decoder rgb qui est l inverse de rgb : étant donné un nombre c, decoder rgb le décompose en un triplet (r, g, b) tel que c = r g b. Exemple : # decoder_rgb(graphics.red) ;; - : int * int * int = (255, 0, 0) Quel est le problème avec cette spécification? Quelle solution envisagez-vous? Votre solution: Vous pouvez maintenant décoder les couleurs blue, yellow, white, black, magenta. 2 Polygones 2.1 Polylignes Dans cet exercice, nous construirons progressivement des fonctions qui permettent de dessiner des polygones réguliers équilatéraux inscrits dans un cercle, comme le triangle, pentagone et hexagone suivants : Le principe de construction est de composer un polygone en dessinant successivement ses côtés. Dans le cas du pentagone, par exemple, on dessine d abord la ligne du point (0) vers (1), ensuite de (1) vers (2), etc. Parmi les fonctions prédéfinies, vous trouvez : dessiner ligne qui prend une couleur et les coordonnées de deux points et dessine une ligne entre ces points. dessiner polyligne qui prend une couleur et une liste de coordonnées et connecte les points représentés par la liste, selon le principe juste évoqué. Cette polyligne n est pas forcément fermée, comme on verra en section 4. L1-S1 Info TP5&6

3 Fig. 1 Polygones Remarque (coordonnées) : Pour faciliter les calculs, la fonction dessiner ligne (comme dessiner cercle vue plus haut) prend comme coordonnées des couples de flottants, qu elle convertit en couples d entiers (qui représentent des pixels). Exercice 2 Pour comprendre l utilisation de ces fonctions, écrivez les fonctions suivantes : 1. construire carre qui prend comme argument les coordonnées de l origine d un carré (son coin inférieur gauche) et la longueur de ses côtés, et construit la liste des coordonnées de ses quatre coins. 2. dessiner carre qui prend une couleur, les coordonnées de l origine et la longueur des côtés d un carré, et le dessine, en utilisant construire carre et dessiner polyligne. 3. Testez la fonction, par exemple : # dessiner_carre (Graphics.blue, (2., 4.), 3.) ;; Remarque (caractères accentués) : Il faut se rendre à l évidence que la plupart des programmes que vous utilisez ont été développés dans (et pour) un contexte international. Par conséquent, beaucoup de compilateurs digèrent très mal des identificateurs avec caractères accentués (le même vaut pour des systèmes d exploitation et les noms de fichiers). Il est conseillé de se limiter aux caractères ASCII, donc dessiner carre au lieu de dessiner carré. 2.2 Construction de Polygones Dans le cas général d un polygone inscrit dans un cercle, la première étape consiste à déterminer les coordonnées (x, y) des points où les sommets du polygone touchent le cercle englobant. Le principe de construction est décrit dans la figure 2 : Nous supposons que nous connaissons les coordonnées (xc, yc) du centre du cercle, son rayon r et l angle a du rayon par rapport à la verticale. Exercice (à préparer) 3 À l aide de rapports trigonométriques simples, donnez une formule pour calculer les coordonnées (x, y). Votre solution: Écrivez la fonction point sur cercle qui prend les coordonnées (xc, yc), le rayon r et l angle a (tous des flottants) et renvoie le couple (x, y). L1-S1 Info TP5&6

4 Remarque (angles) : Les angles ne sont pas mesurés en degrés, mais en multiples de π. Donc, 2π correspond à (xc, yc) 1 (x, y) y yc a x xc r 3 2 Fig. 2 Coordonnées d un point sur un cercle Exercice 4 Vous pouvez maintenant générer à la main un triangle : 1. Écrivez une fonction construire triangle qui prend les coordonnées (xc, yc) du centre et le rayon r du cercle dans lequel on veut inscrire le triangle, et qui retourne la liste de ses sommets. Déterminez ses trois sommets à l aide de la fonction point sur cercle. Quel est le point initial qui correspond à (0) dans la figure 2? Quel est l angle a? 2. Écrivez la fonction dessiner triangle pour effectivement dessiner le triangle. Cette fonction prend, en plus de (xc, yc) et r, une couleur en paramètre. Exemple d utilisation : # dessiner_cercle (Graphics.blue, (4., 5.), 1.);; # dessiner_triangle (Graphics.red, (4., 5.), 1.);; En généralisant la fonction dessiner triangle, notre but est d obtenir la fonction dessiner polygone qui prend comme argument supplémentaire le nombre n de sommets du polygone. Ainsi, l appel dessiner_polygone (Graphics.green, (4., 5.), 2., 5);; dessinera un pentagone vert de centre (4., 5.) et rayon 2. La fonction dessiner polygone s appuie sur une fonction construire polygone qui prend comme paramètres : les coordonnés (xc, yc) du centre du cercle englobant, son rayon r, l angle a entre deux sommets du polygone, le nombre n de sommets, la position actuelle pos {0... n} sur le cercle. Voir la figure 2 pour n = 5. Exercice 5 Écrivez la fonction construire polygone : Elle calcule d abord le point p sur le cercle à la position pos actuelle (utiliser la fonction point sur cercle). Si pos = n, on a fait un tour complet du cercle, et on renvoie la liste [p]. Sinon, on rajoute p à la liste des points construits récursivement à partir de la position pos + 1. Exercice 6 Il est maintenant facile d écrire la fonction dessiner polygone, qui dessine les lignes du polygone à partir de la position 0. Quel est l angle entre deux sommets du polygone? L1-S1 Info TP5&6

5 3 Transformations On s intéresse maintenant à définir une classe de transformations appelées isométries, qui déplacent une figure sans la déformer. On peut montrer 4 que toute isométrie peut être construite à partir de transformations très élémentaires, à savoir des translations, inversions (réflexions sur l abscisse), rotations autour de l origine du système des coordonnées. Nous définissons ces opérations pour les polylignes introduites dans la section 2.1. Elles peuvent donc être appliquées aux polygones, comme dans la section 2.2, ou à des courbes, comme dans la section Isométries simples La démarche est uniforme : Nous définissons les opérations d abord pour un seul point, avant des les étendre aux polylignes. Puisque ces dernières sont des listes de points, nous conseillons d utiliser la fonction appliquer a. (dx, dy) (x, y) (x, y) φ (x, y) Fig. 3 Translation, inversion, rotation autour de l origine Exercice 7 1. Définissez la fonction translation point qui prend un vecteur (dx, dy) (le déplacement le long de l abscisse respectivement ordonnée) et un couple (x, y) (les points à déplacer) et retourne le couple de points après translation. 2. Définissez la fonction translation polyligne qui applique une translation (dx, dy) à une polyligne. 3. Testez votre fonction avec quelques polygones construits en section 2.2, par exemple : # let tr1 = (construire_triangle ((4., 4.), 3.)) ;; val tr1 : (float * float) list = [(4., 7.); ( , ); ( , ); (4., 7.)] # dessiner_polyligne (Graphics.red, tr1) ;; 4 voir cours d Algèbre : groupe des isométries L1-S1 Info TP5&6

6 # dessiner_polyligne (Graphics.green, translation_polyligne ((3., 1.5), tr1)) ;; Exercice 8 1. Définissez la fonction inversion point qui transforme (x, y) en (x, y) (pour des nombres flottants!). Ceci revient à une réflexion du point le long de l abscisse. 2. Définissez la fonction inversion polyligne correspondante. 3. Testez la fonction sur une liste de points. Les effets sont éventuellement difficiles à visualiser avec dessiner polyligne, puisque les points négatifs se trouvent en dehors de la fenêtre. Exercice 9 1. Définissez la fonction rotation orig point qui effectue une rotation avec l angle φ d un point (x, y) autour de l origine du système de coordonnées 5 2. Définissez la fonction rotation orig polyligne correspondante. 3. Testez la fonction, par exemple : dessiner_polyligne (Graphics.blue, rotation_orig_polyligne (pi /. 12., tr1)) ;; 3.2 Isométries composées On utilise maintenant les fonctions définies précédemment pour construire des transformations plus complexes. Exercice 10 On définit la fonction rotation polyligne qui effectue la rotation d une polyligne pts avec l angle φ autour d un point (rx, ry) quelconque (et pas uniquement l origine du système des coordonnées). Pour ce faire, 1. on effectue une translation de pts vers l origine (donc, avec un vecteur de déplacement ( rx, ry)), 2. on effectue la rotation autour de l origine, 3. on effectue une translation en sens inverse. Exemple : # let p1 = (4., 4.) ;; val p1 : float * float = (4., 4.) # let c1 = construire_carre (p1, 3.) ;; val c1 : (float * float) list = [(4., 4.); (7., 4.); (7., 7.); (4., 7.); (4., 4.)] # dessiner_polyligne (Graphics.red, c1) ;; # dessiner_polyligne (Graphics.green, rotation_polyligne(pi /. 4., p1, c1)) ;; Exercice 11 (Optionnel) D une manière analogue, une réflexion le long d une ligne quelconque (fonction reflexion polyligne) peut être obtenue, essentiellement, par une composition d une rotation (comme dans l exercice précédent), éventuellement une translation, une inversion (comme dans l exercice 8) et une translation / rotation en sens inverse. La ligne est donnée par les coordonnées de deux de ses points. Plusieurs solutions sont possibles avec les fonctions définies plus haut développez les détails! Exemple : 5 Regardez l article correspondant sur Wikipedia : si vous ne connaissez pas la formule. L1-S1 Info TP5&6

7 # let p0 = (2., 4.) ;; val p0 : float * float = (2., 4.) # let p1 = (10., 12.) ;; val p1 : float * float = (10., 12.) # let m = [p0; p1] ;; val m : (float * float) list = [(2., 4.); (10., 12.)] # let c1 = construire_carre ((4., 8.), 3.) ;; val c1 : (float * float) list = [(4., 8.); (7., 8.); (7., 11.); (4., 11.); (4., 8.)] # dessiner_polyligne (Graphics.black, m) ;; # dessiner_polyligne (Graphics.red, c1) ;; # dessiner_polyligne (Graphics.green, reflexion_polyligne(p0, p1, c1));; Remarque : La fonction arctan (inverse de tan) qui sert à calculer l angle d intersection d une ligne avec l abscisse, étant donnée sa pente, s écrit atan en Caml. 4 Courbes On peut approximer une courbe représentant n importe quelle fonction f dans un intervalle [inf... sup] en l échantillonant pour des points de supports x 0, x 1,..., x n dans cet intervalle, c.à.d, en calculant et dessinant la polyligne [(x 0, f(x 0 ));... ; (x n, f(x n ))]. Normalement, on obtient une meilleure approximation pour un n plus élevé, comme on peut voir dans la figure 4 avec 3 (ligne verte) respectivement 4 (ligne bleue) points de support. Fig. 4 Approximation de la courbe rouge par des polylignes Exercice 12 On commence en calculant une liste de points de support équidistants : Étant données des bornes réelles inf et sup et une distance d, calculez la liste [x 0 ; x 1 ;... x n ], où x 0 = inf, x i+1 x i = d et x n sup < x n + d. Exemple (observez les problèmes d arrondi) : # nombres_equidistants (2., 3.5, 0.4);; - : float list = [2.; 2.4; 2.8; ] Exercice 13 Il est maintenant facile d écrire une fonction construire polyligne fun qui prend comme arguments : 1. inf, sup comme dans l exercice précédent L1-S1 Info TP5&6

8 2. un entier n, pour calculer n+1 points de support (comment calculer d de la fonction nombres equidistants?) 3. une fonction de type float -> float et calcule la polyligne correspondante. Exemple : # construire_polyligne_fun (2., 3.5, 6, function x -> 2. *. x +. 3.) ;; - : (float * float) list = [(2., 7.); (2.25, 7.5); (2.5, 8.); (2.75, 8.5); (3., 9.); (3.25, 9.5); (3.5, 10.)] Exercice 14 Après construction avec construire polyligne fun, affichez les courbes avec dessiner polyligne pour quelques exemples. Il faut éviter des fonctions avec une trop forte croissance (sinon, on ne voit qu une ligne verticale) des fonctions avec une trop grande fréquence (sinon, on ne voit qu une ligne horizontale) Voici quelques candidats, à dessiner dans l intervalle [ ] : 1. la fonction f (x 3) x la fonction f ((x 5) 3 2 (x 3) x) 3. la fonction f 3 sin(x) x + 5 Variez le nombre de points de support (par exemple n = 10 ou n = 1000). (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) (x0, y0) (x0, y0 ) (x1, y1 ) (x2, y2 ) Fig. 5 Calcul de la dérivée Dans le dernier exercice, nous voulons former, de manière numérique, la dérivée f d une fonction f. Le principe est illustré dans la figure 5, où on calcule la dérivée de la courbe rouge, approximée par la courbe bleue. Pour chaque couple de points de support successifs (x i, y i ) et (x i+1, y i+1 ), on calcule un couple (x i, y i ), où : x i est situé au milieu entre x i et x i+1, donc x i = xi+xi+1 2 y i est la pente entre les points de support, donc y i = (yi+1 yi) (x i+1 x i. Exercice 15 Définissez la fonction differencier polyligne qui, pour une liste de coordonnées, calcule la liste des coordonnées de la dérivée selon le principe juste énoncé. Bien sûr, la liste de la dérivée contient un élément de moins que la liste originale. Vous pouvez maintenant tester avec des fonctions définies dans l exercice 14, par exemple : # let pl1 = construire_polyligne_fun (0., 15., 1000, f1);; val pl1 : (float * float) list =... # dessiner_polyligne (Graphics.green, pl1);; # dessiner_polyligne (Graphics.red, differencier_polyligne pl1);; L1-S1 Info TP5&6

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