a) Il n y a pas de contre indication à utiliser la loi normale. On peut donc utiliser des tests basés sur la loi normale comme ceux vus au cours.

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1 Probabilités et statistique Été 2006 ELEC, MICRO, MX Dr. Diego Kuonen Corrigé du TP 2 Exercice 1. Test de Student Normal Q Q Plot Sample Quantiles a) Il n y a pas de contre indication à utiliser la loi normale. On peut donc utiliser des tests basés sur la loi normale comme ceux vus au cours. b) i) > t.test(compteurs, mu=1000, alternative= two.sided, conf.level=0.95) One Sample t-test data: compteurs t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to mean of x 994 1) 1ère ligne: indique quel type de test a été effectué, ici un test t sur un échantillon. 2) 2ème ligne: le nom des données, ici compteurs. 3) 3ème ligne: on voit la valeur de la statistique observée, t obs = x 1000 s/ 10 = , puis df signifie degrees of freedom, c est le paramètre de la loi t que suit la statistique T sous l hypothèse nulle H 0 : µ = µ 0. Ici df= n 1 = 10 1 = 9. Enfin il y a la p-valeur (cf cours), c est-à-dire que le niveau α de notre test doit être inférieur à ce nombre pour qu on ne rejette pas H 0. Ici α = 0.05 > donc l hypothèse H 0 est rejetée. 4) 4ème ligne: indique l hypothèse alternative H 1 : µ µ 0. 5) 5 et 6èmes lignes: donnent un intervalle de confiance de niveau conf.level (95%) pour la moyenne µ des données. Comme cet intervalle ne couvre pas µ 0 = 1000, on voit bien ici encore que H 0 est rejetée. 6) 7, 8 et 9èmes lignes: donnent l estimation de la moyenne x = 994.

2 ii) > t.test(compteurs, mu=1000, alternative= two.sided, conf.level=0.90) t = , df = 9, p-value = percent confidence interval: Ici on voit bien que seul l intervalle de confiance est modifié lorsque l on change conf.level. L intervalle ne couvre toujours pas 1000 donc l hypothèse nulle est à nouveau rejetée. On pouvait le savoir d avance puisque α = 0.1 est encore plus grand qu avant. iii) > t.test(compteurs, mu=1000, alternative= two.sided, conf.level=0.99) ************** 99 percent confidence interval: Comme prévu, ici α = 0.01 < donc H 0 est acceptée et l intervalle de confiance couvre la valeur c) Le niveau du test α est la probabilité de faire une erreur du type on rejette H 0 alors que H 0 est vraie. Donc diminuer α impose d être de plus en plus sûr que l on ne rejette pas H 0 alors que H 0 est vraie, ainsi on va accepter plus facilement H 0 (et donc l intervalle de confiance grandit) quitte à l accepter alors que c est H 1 qui est vraie. Exercice 2. Têtes de vis > t.test(tete2vis, mu=0.73, alternative= two.sided, conf.level=0.99) t = , df = 249, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: mean of x L hypothèse nulle H 0 : µ = µ 0 = 0.73 est rejetée, selon cet échantillon les têtes de vis sont d un diamètre différent de Exercice 3. Test de Student apparié Ce test correspond au 6ème test du tableau qui a été distribué. > t.test(x=agneau[,1], y=agneau[,2], alternative= less, mu=0, paired=true, conf.level=0.95) Paired t-test data: agneau[, 1] and agneau[, 2] t = , df = 11, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 -Inf mean of the differences Les données ici sont appariées, on regarde donc la différence entre les deux régimes au sein de chaque paire d agneaux jumeaux, puis on teste si la moyenne de ces différences est nulle. Ici cela est indiqué 2

3 par la première ligne Paired t-test. Comme l indique la p-valeur (3ème ligne) de qui est plus petite que 0.05, l hypothèse nulle est rejetée et on accepte l hypothèse alternative le régime II est plus riche qui est donnée ici sous la forme true difference in means is less than 0 c est-à-dire la vraie différence des moyennes entre agneau[,1] et agneau[,2] est négative. Cela peut se voir également par le fait que 0 n est pas dans l intervalle de confiance. Noter également que l intervalle de confiance est infini à gauche comme le veut l hypothèse alternative (on fait un test unilatéral). Si, par exemple l hypothèse alternative avait été le régime I est plus riche que le II, l intervalle aurait été infini à droite, et si l hypothèse alternative avait été les deux régimes sont différents, l intervalle aurait été borné des deux côtés (comme dans les exercices précédents). Exercice 4. Une analyse de données Histogram of iqnd Histogram of iqd Frequence Frequence Meres non depressives Meres depressives QI des enfants de meres non depressives QI des enfants de meres depressives QQ plot normal des QI des enfants de meres non depressives QQ plot normal des QI des enfants de meres non depressives a) Les deux boxplots indiquent une valeur douteuse pour chaque jeu de données. Les lieux sont comparables, un peu en faveur de iqnd. La dispersion est semblable et la plus grande partie des valeurs est entre 80 et 145, disons. L histogramme de iqnd montre que sans la valeur extrême le jeu de données peut éventuellement bien s ajuster à une densité gaussienne. L histogramme iqd ne montre pas grand chose de clair, mettons cela sur le compte du nombre trop faible de données. Les QQ-plots normaux ne contre-indiquent pas l utilisation de la loi normale, si ce n est par ces deux valeurs très faibles. Encore une fois le faible nombre de données pour iqd impose la prudence pour ces conclusions. b) > t.test(iqnd, iqd, alternative= two.sided, mu=0, paired=false, conf.level=0.95) Welch Two Sample t-test 3

4 t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to mean of x mean of y Ce test (test sur la différence des moyennes pour des données non-appariées avec variances inconnues et différentes) est le 5ème de la feuille distribuée. Ici on accepte l hypothèse nulle car la p-valeur est plus grande que Donc selon ces échantillons, il n y a pas d effet de l état dépressif ou non d une mère sur le QI de son enfant. Note: df correspond à ν dans la feuille distribuée. c) > var.test(iqnd, iqd, ratio=1, alternative= two.sided, conf.level=0.95) F test to compare two variances F = , num df = 76, denom df = 13, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to ratio of variances L hypothèse d égalité des variances est acceptée. d) On doit donc utiliser la deuxième ligne de code proposée. > t.test(iqnd, iqd, alternative= two.sided, mu=0, paired=false, var.equal=true, + conf.level=0.95) Two Sample t-test t = , df = 89, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to mean of x mean of y On accepte à nouveau l hypothèse nulle. e) Dans ce cas, le fait d avoir retiré les valeurs supposées aberrantes ne change pas beaucoup les résultats, il n y a donc pas de grands débats à tenir. Si cela avait induit un rejet du test alors qu il avait été accepté auparavant il est du devoir de l ingénieur de motiver cette modification des données. Ces valeurs aberrantes sont-elles des erreurs de copie des données (auquel cas elles doivent être retirées), proviennent-elles de conditions particulières dans lesquelles l expérience s est déroulée (auquel cas rien n est sûr) ou sont-elles simplement des valeurs qui empêchent la conclusion voulue et que l on souhaiterait retirer (auquel cas c est de la manipulation malhonnête)? Une étude statistique ne peut que les révéler, pas décider pour vous de ce qu il faut en faire. 4

5 Exercice 5. Régression linéaire Il n y a pas grand chose à faire si ce n est observer les magnifiques résultats graphiques. Vitesse moyenne de marche Vitesse moyenne de marche Longueur des pas Longueur des pas 5