TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences

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1 E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M2 FE 3 e année Physique appliquée TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences Exercice n o 1 : Interférences à deux ondes, conditions de cohérence I- Ondes cohérentes, ondes incohérentes Soient deux ondes lumineuses monochromatiques, de pulsations ω 1 et ω 2 dont les champs électriques ont pour expressions : E 1 (M, t) = A 1 (M) cos(ω 1 t Φ 1 (M)) e 1 et E2 (M, t) = A 2 (M) cos(ω 2 t Φ 2 (M)) e 2 avec e 1 et e 2 deux vecteurs unitaires. Pour simplifier l étude, on suppose que ces deux ondes sont dans le même état de polarisation, de sorte que leurs amplitudes instantanées soient additives. 1. Donner les expressions de I 1 (M) et I 2 (M) les intensités au point M des deux ondes considérées prises séparément. 2. Calculer l intensité de l onde résultante I(M) en fonction de I 1 (M), I 2 (M), ω 1, ω 2, Φ 1, Φ Définir les notions d ondes cohérentes et d ondes incohérentes. 4. Donner une condition nécessaire de cohérence concernant les pulsations. 5. Définir et donner l expression du contraste C. II- Condition de cohérence temporelle 1. En pratique deux sources ponctuelles isochrones ne sont pas cohérentes. Expliquer pourquoi. 2. Expliquer alors comment obtenir deux sources ponctuelles S 1 et S 2 cohérentes. 3. Établir la condition de cohérence temporelle. 4. Réécrire la formule des interférences à deux ondes en introduisant l ordre d interférence p(m). 5. Retrouver cette formule en utilisant les amplitudes complexes des deux ondes cohérentes. Exercice n o 2 : Détermination de l écart angulaire séparant deux étoiles I- Questions préliminaires 1. Soient deux sources S 1 et S 2 cohérentes. Donner l équation des surfaces d égal éclairement lorsque les deux sources sont dans un milieu homogène. Tracer l allure de l intersection de ces surfaces par un plan contenant le segment S 1 S On place un écran perpendiculairement à la direction (S 1 S 2 ). Quelle est la forme des franges d interférence? 3. On place un écran parallèlement à la direction (S 1 S 2 ). Quelle est la forme approchée des franges d interférence? II- Trous d Young Deux trous, séparés d une distance a = S 1 S 2, sont éclairés par une source ponctuelle S (cf figure n 1). Le phénomène de diffraction (cf Cours-TD n 11) permet aux rayons issus de S 1 et de S 2 de se rencontrer au point M. On observe la figure d interférence dans le plan focal image d une lentille convergente L de focale f. 1

2 Figure n o 1 : Trous d Young 1. Donner, sans faire de calcul, la forme de la figure d interférence observée sur l écran. Dans la suite de l exercice, l étude est menée dans le plan Oxz. 2. Tracer, sur la figure n 1, les rayons issus des sources S 1 et S 2 qui interfèrent au point M de coordonnées (x, 0, 0). 3. En déduire la différence de marche au point M en fonction a, x et f. 4. Expliciter alors l intensité lumineuse I(x) le long de l axe Ox. On introduira l interfrange i et on supposera que la répartition de la lumière via la diffraction se fait de façon uniforme. III- Application à l astronomie Les trous d Young étudiés précédemment sont maintenant placés devant l objectif d un télescope modélisé par la lentille convergente L (cf figure n 2). Ce télescope pointe vers une source supposée à l infinie et constituée de deux étoiles E 1 et E 2. On cherche dans ce qui suit à déterminer θ l écart angulaire entre les deux étoiles. Figure n o 2 : Trous d Young appliqués à l astronomie 1. On note I 1 (x) l intensité qui serait reçue par le détecteur (matrice CCD) dans le plan focal image du télescope si l étoile E 1 était seule. a) Déterminer x 1 l abscisse du point où la différence de marche entre les rayons issus de S 1 et S 2 éclairées par E 1 est nulle. b) En déduire I 1 (x). 2. Établir de même l expression de l intensité I 2 (x) qui serait reçue par le détecteur si l étoile E 2 était seule. 3. Donner l expression de l intensité totale I(x) (on supposera que les deux étoiles émettent la même quantité de lumière). 4. Calculer le contraste C et tracer son allure en fonction de a (on fera apparaître une distance caractéristique notée l S ). 5. Comment peut-on déterminer θ? Cette méthode fut utilisée par A. Labeyrie et ses collaborateurs en 1978 pour étudier la distance séparant les deux composantes de l étoile Capella dans la constellation du Cocher pendant une révolution complète de l une autour de l autre. 2

3 Exercice n o 3 : Interféromètre de Michelson, étude spectrale d une diode laser On considère un interféromètre de Michelson schématisé sur la figure ci-contre. Il est constitué de deux miroirs M 1 et M 2 et d une lame séparatrice (Sep) perpendiculaires au plan de la figure. L ensemble est placé dans l air assimilé au vide. On utilisera un trièdre orthonormé direct ( e x, e y, e z ). L origine des axes est au milieu O de la séparatrice. La séparatrice est inclinée à 45 par rapport à l axe des x. Dans ce problème, la séparatrice (Sep) est semi-réfléchissante et son épaisseur est supposée nulle. La réflexion et la transmission sur la séparatrice n introduisent aucun déphasage. Le miroir M 1 a son centre O 1 sur l axe Ox et il est perpendiculaire à cet axe. Il est seulement mobile en translation le long de l axe Ox. Le miroir M 2 a son centre O 2 sur l axe Oy. O 2 est fixe, le miroir M 2 est toujours perpendiculaire à M 1. Les deux miroirs sont à des distances différentes de O : OO 1 = D + d, OO 2 = D. La distance d est réglable. Une lentille mince convergente L, de distance focale f, a son axe optique confondu avec l axe Oy. Un écran E est placé après la lentille dans son plan focal image. On désigne par O 3 le centre de l écran et par P un point de l écran. Pour éclairer l interféromètre de Michelson on utilise un laser avec une lame diffusante placée à sa sortie. Le laser et la lame sont équivalents à une source étendue S, envoyant des rayons lumineux dans toute les directions sur la lame séparatrice. On ne considérera que les rayons réfléchis une seule fois sur la séparatrice et les miroirs. I- Interférences lumineuses 1. Rappeler brièvement les conditions à remplir pour observer des interférences entre deux ondes lumineuses. 2. Démontrer la formule donnant l intensité d interférence de deux ondes, de même amplitude, de longueur d onde dans le vide λ 0 et ayant une différence de marche δ II- Figure d interférences Pour une source monochromatique, de longueur d onde dans le vide λ 0, on observe des anneaux d interférence sur l écran dans le plan focal de la lentille L. 1. À quoi est équivalent le dispositif interférométrique? 2. Expliquez pourquoi on observe des anneaux d interférence. 3. Qu observe-t-on pour d = 0? 4. Dans le cas d une source étendue, les franges d interférence sont localisées à l infini (c est-à-dire dans le plan focal image de L). Expliquer pourquoi. III- Intensité d interférences 1. Soit δ la différence de marche entre deux ondes qui interfèrent en un point P de l écran tel que O 3 P = x. Calculer δ en fonction de i, l angle d incidence sur l un des miroirs. 2. La lentille étant utilisée dans le cadre de l approximation de Gauss, exprimer δ en fonction de x. 3. Déterminer la loi I(x) de l intensité d interférence en ce point P. 4. Dans cette question, on suppose qu à l origine O 3 l ordre d interférence est entier. Déterminer le rayon ρ n du nième anneau brillant en fonction de n, f, λ 0 et d. Commenter. IV- Largeur spectrale de la lumière du laser La lumière du laser n est pas rigoureusement monochromatique. La répartition spectrale est donnée en fonction du nombre d onde σ = 1/λ. L intensité lumineuse di émise entre σ et σ + dσ est donnée par : [ di = J(σ)dσ = J 0 exp ( σ σ0 a ) 2 ] dσ. J 0 est une constante, a (tel que a << σ 0 ) mesure la largeur spectrale en nombre d onde, σ 0 = 1/λ 0 est le nombre d onde moyen du laser. 1. Largeur de raie. Exprimer la largeur à mi-hauteur de la raie δλ (en longueur d onde), en fonction de a. 3

4 Pour mesurer la largeur spectrale du laser, on utilise l interféromètre de Michelson décrit précédemment. Un moteur permet de faire translater le miroir M 1 à la vitesse constante v 0. À l instant initial t = 0, d = 0. Une cellule photoélectrique ponctuelle, placée en O 3, fournit un courant proportionnel à l intensité lumineuse au point O Déterminer l expression analytique du courant i(t) en fonction du temps. On utilisera l intégrale : + 0 [ cos[2πσδ] exp ( σ σ0 a ) 2 ] dσ a π exp[ π 2 a 2 δ 2 ] cos[2πσ 0 δ]. 3. Dans l expression de i(t), faire apparaître un terme de visibilité que l on définira. Dessiner l allure de la courbe i(t) en fonction de t. 4. La vitesse du moteur est v 0 = 1, 0 µm/s, on a toujours λ 0 = 632, 8 nm. On constate qu au bout de t 1 = 120 s, la visibilité du signal a été divisée par deux. En déduire δλ. Exercice n o 4 : Interféromètre de Michelson, interférences en lumière blanche I- Interféromètre de Michelson réglé en coin d air On considère à nouveau l interféromètre de Michelson présenté dans l exercice n 2. Cependant ici, M 1, l image par la séparatrice du miroir M 1 forme un petit angle α avec le miroir M 2, on dit alors que l interféromètre de Michelson est réglé en coin d air. Pour éclairer l interféromètre de Michelson réglé en coin d air, on dispose un diaphragme placé au foyer objet d une lentille convergente que l on éclaire avec une source monochromatique de longueur d onde dans le vide λ 0. Les rayons lumineux arrivent alors sous incidence quasi-normale sur le miroir M 2 et les franges d interférences sont localisées au voisinage du miroir M Soit M un point situé sur le miroir M 2 et repéré par sa distance d à l arête du coin d air. Déterminer la différence de marche δ(m) au point M en fonction de α et d. 2. En déduire la forme des franges d interférences et exprimer l interfrange i en fonction de λ 0 et de α. 3. Les franges étant localisées sur M 2 on ne peut pas les observer directement sur un écran. On fait alors l image de la figure d interférence sur un écran avec une lentille convergente de focale f = 10 cm. a) On place la lentille à 11 cm du miroir M 2. À quelle distance D du miroir M 2, doit-on placer l écran? b) Que vaut alors le grandissement γ du montage? c) On mesure sur l écran un interfrange de 2 mm. Calculer α sachant que λ 0 = 633 nm. Commenter. II- Interférences en lumière blanche Le diaphragme est maintenant éclairé par une source de lumière blanche : cette source émet dans tout le domaine visible, c est-à-dire de λ = 400 nm (violet) à λ = 800 nm (rouge). Dans cette partie, les longueurs d ondes sont notées λ, l indice zéro est réservé pour la longueur d onde centrale : λ 0 = 600 nm 1. Évaluer la longueur de cohérence, l, d une source de lumière blanche. Faire l application numérique et commenter. La source de lumière blanche est décrite par son spectre g(λ) : la source peut être considérée comme la superposition de sources monochromatiques émettant entre λ et λ + dλ une intensité di 0 = g(λ)dλ. 2. Établir l expression du spectre de la lumière reçue au point M associé à la différence de marche δ(m). 3. Qu observe-t-on sur l arête du coin d air? 4. Qu observe-t-on au voisinage l arête du coin d air? 5. Qu observe-t-on loin de l arête du coin d air, c est-à-dire lorsque l ordre d interférence central est élevé? 4

5 Problème : Interféromètre de Mach-Zehnder, modulation optique L interféromètre de Mach-Zehnder (cf figure n 1) comporte deux miroirs identiques M 1 et M 2 et deux lames semi-transparentes identiques L 1 et L 2. Miroirs et lames sont disposés à 45 de la direction des rayons lumineux. Un faisceau laser incident de rayons parallèles, monochromatique, de longueur d onde dans le vide λ 0 et d intensité I 0 est divisée en deux faisceaux "1" et "2" par la première lame L 1. Après réflexion sur M 1 et M 2, les faisceaux sont recombinés à la sortie de la deuxième lame L 2. Deux détecteurs identiques, D 1 et D 2, sont disponibles selon la sortie utilisée. Figure n o 1 : Principe de l interféromètre de Mach-Zehnder Dans ce problème on utilise une théorie ondulatoire scalaire de la lumière, sans tenir compte des propriétés de polarisation des différents composants. On utilisera les notations complexes et la dépendance temporelle des ondes est en exp(iωt). On prend n = 1 pour l indice de réfraction de l air. I- Interférence à deux ondes On fait interférer deux ondes monochromatiques de même amplitude et cohérentes qui présentent une différence de phase Φ. Établir l expression de l intensité d interférence I. II- Interféromètre de Mach-Zehnder Les miroirs sont parfaitement réfléchissants, leur coefficient de réflexion en amplitude est égal à moins un : ρ M1 = ρ M2 = 1. Les propriétés optiques des lames sont décrites par un coefficient de réflexion en amplitude ρ et un coefficient de transmission en amplitude τ : ρ = 1 e iπ i 2 = ; τ = Les trajets L 1 M 1 L 2 et L 1 M 2 L 2 sont identiques et on note (L 0 ) le chemin optique correspondant qui ne tient compte ni des coefficients de réflexion des miroirs ni des coefficients de réflexion ou de transmission des lames L 1 et L 2 : (L 0 ) = (L 1 M 1 L 2 ) = (L 1 M 2 L 2 ). L onde incidente a une amplitude a 0. Les détecteurs sont quadratiques : ils fournissent une intensité proportionnelle au carré du module de l onde arrivant sur le détecteur. 1. Déterminer l amplitude complexe de l onde arrivant sur le détecteur D Déterminer l amplitude complexe de l onde arrivant sur le détecteur D Déterminer les intensités détectées I 1 et I 2 sur les détecteurs D 1 et D Commenter brièvement les résultats des trois questions précédentes. III- Mesure d un indice de réfraction à l aide de l interféromètre de Mach-Zehnder On introduit, entre L 1 et M 2, une lame à faces parallèles, perpendiculairement à la direction des rayons lumineux. La lame L a un indice de réfraction n et une longueur e dans la direction de propagation de la lumière (cf figure n 2) ; elle est parfaitement transparente (le facteur de transmission de chaque face est égal à 1). 5

6 Figure n o 2 : Mesure d un indice de réfraction 1. Déterminer la différence de phase Φ introduite par la lame L entre l onde passant par le chemin L 1 M 2 L 2 et celle passant L 1 M 1 L Exprimer, en fonction de I 0 et de Φ, l intensité I 1 détectée par le détecteur D 1 en présence de la lame L. 3. Déterminer de la même manière l intensité I 2 détecté par le détecteur D Commenter le résultat de ces deux dernières questions. 5. Un dispositif électronique permet de mesurer le rapport C = (I 1 I 2 )/(I 1 + I 2 ). Exprimer C en fonction de Φ. 6. Application numérique : la lame est taillée dans un cristal possédant un indice de réfraction n tel que : 2 < n < 2, 5. Avec une lumière de longueur d onde λ 0 = 633 nm, une lame d épaisseur e = 1, 46 µm introduite dans l interféromètre provoque une annulation de I 2. Déterminer l indice de réfraction de cette lame. IV- Modulateur électro-optique par interférences Afin de fabriquer un modulateur de lumière, on introduit un cristal de Niobate de Lithium entre entre L 1 et M 2 ( cf figure n 3). Ce cristal est une lame à faces parallèles, de longueur e. Les faces perpendiculaires à la direction du rayon lumineux sont métallisées. De cette façon, on peut appliquer une tension V, de basse fréquence, entre les deux électrodes. Figure n o 3 : Modulateur électro-optique avec un Mach-Zehnder 6

7 Le cristal de Niobate de Lithium présente un effet électro-optique linéaire (effet Pockels), c est-à-dire que son indice de réfraction est une fonction affine de la tension appliquée : n = n 0 1 V 2 rn3 0 e Dans cette formule n 0 est l indice de réfraction du cristal pour V = 0 et r un coefficient électro-optique. Les deux électrodes métalliques sont très fines et ne jouent aucun rôle sur la propagation de la lumière (chacune a un facteur de transmission égal à 1). 1. Montrer que l intensité, I 1, du faisceau sortant par la sortie "1" de l interféromètre peut se mettre sous la forme : I 1 = I [ cos (Φ 0 π V )]. 2 V 0 Déterminer les expressions littérales de Φ 0 et de la tension V La longueur de la lame est choisie de façon à avoir la relation 2π λ 0 (n 0 1)e = π 2. Que devient dans ce cas l intensité I 1 du faisceau? 3. Modulation linéaire d intensité. La tension appliquée varie sinusoïdalement en fonction du temps : V = V m cos(ω m t). De plus, l effet électrooptique est un effet très faible, la tension appliquée est telle que V m << V 0. Montrer que dans ces conditions, on obtient un faisceau dont l intensité est modulée : I 1 (t) = I 0 [ 1 + µ cos(ωm t) ]. 2 Déterminer l expression littérale du coefficient de modulation µ. 4. Pour λ 0 = 633 nm, on a n 0 = 2, 286 et r = 9, m/v. Déterminer la valeur numérique de V À partir de cette valeur numérique, donner votre avis sur l utilisation pratique de ce dispositif avec ce matériau. 7

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