BTSA Aménagement Paysager

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1 BTSA Aménagement Paysager MODULE M41 COURS ET EXERCICES DE GÉOMÉTRIE Version 1.0 Septembre 2009

2 Géométrie vectorielle Vecteurs Nous partirons de la notion de vecteur lié. s On appelle vecteur (ou bipoint) un segment orienté du plan ou de l espace ; donc la donnée de deux points distincts ou non dont l un sera désigné comme origine, l autre comme extrémité du segment considéré. Un vecteur lié d origine A et d extrémité B, sera noté AB. Sa norme notée AB est égale à la distance entre A et B. Pour un rappel, voir le diaporama sur les Vecteurs sur le site du lycée. 1.2 Orientation de l espace Soient O un point de l espace et A, B, C trois points tels que OA= i ; OB= j ; OC= k avec i, j, k non coplanaires. Les physiciens imaginent un observateur nommé «observateur d Ampère» situé le long du segment[oc] les pieds en O. Il regarde[oa] et[ob]. On a alors l une des dispositions suivantes : [OA] est à droite, i, j, k est une base directe. [OA] est à gauche, i, j, k est une base indirecte. Si i, j, k est une base directe et si de plus i, j, k sont orthogonaux deux à deux, le repère O; i, j, k est dit orthogonal direct. Si de plus, les trois vecteurs de base ont la même norme, O; i, j, k est dit orthonormal direct. Remarque Dans la suite du cours, le repère sera toujours orthonormal.

3 BTSA AP 3 Cours et exercices 1.3 Repérage dans l espace Soit l espace rapporté au repère orthonormal O; i, j, k, à chaque point M de l espace correspond un triplet unique de nombres(x, y, z) tel que : OM= x i+ y j+ z k (x, y, z) s appelle les coordonnées de M. OM = x 2 + y 2 + z 2 Soient A et B les points de coordonnées respectives(x A, y A, z A ) et(x B, y B, z B ). Le vecteur AB a pour composantes x B x A AB y B y A z B z A Remarque Les coordonnées des points s écrivent en lignes(x, y, z) et les composantes des vecteurs en colonnes. MÉTHODE 1 Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k, soient A le point de coordonnées (2; 5; 1), B le point de coordonnées(3; 5; 2) et C le point de coordonnées(3; 7; 2). 1. Déterminer les composantes des vecteurs AB et AC. 2. Calculer la distance AB. 1.4 Produit scalaire Soient u et v deux vecteurs non nuls et A un point. Soient B et C les points définis par AB= u et AC= v. On désigne par H le projeté orthogonal de C sur(ab) et K le projeté orthogonal de B sur(ac). Le produit scalaire des vecteurs u et v noté u. v est : u. v= AB. AC= AB. AH= AC. AK Le produit scalaire des vecteurs u et v peut aussi être défini par u. v= u v cosbac= u. v cos( u, v)

4 Cours et exercices 4 BTSA AP Dans un repère orthonormal O; i, j x x avec u et v y y, on a u. v= x x + y y Dans un repère orthonormal O; i, j, k x x avec u y et v y, on a u. v=x x + y y + zz z MÉTHODE 2 Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k, soient A le point de coordonnées (2; 5; 1), B le point de coordonnées(3; 5; 2) et C le point de coordonnées(3; 7; 2). Calculer le produit scalaire AB. AC. 1.5 Produit vectoriel Soient u et v deux vecteurs de l espace orienté. Le produit vectoriel de u par v est le vecteur u v défini par : 1. Si u et v sont colinéaires, u v= 0 2. Si u et v ne sont pas colinéaires, le vecteur u v est orthogonal à u et v et la base( u, v, w) est une base directe. 3. La norme du vecteur u v est : u v = u. v. sin α. α est la mesure de l anglebac avec u= AB et v= AC. z Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k x avec u y et v z yz z y u v zx xz x y y x MÉTHODE 3 Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k, soient A le point de coordonnées (2; 5; 1), B le point de coordonnées(3; 5; 2) et C le point de coordonnées(3; 7; 2). Calculer le produit vectoriel AB AC. 1.6 Méthodes s Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur produit vectoriel est nul. L aire d un parallélogramme ABCD est la norme du produit vectoriel AB AD. Pour déterminer l angle géométrique entre deux vecteurs quand on connaît leurs composantes AB. AC on utilise le produit scalaire cosbac= AB. AC x y z,

5 BTSA AP 5 Cours et exercices MÉTHODE Calculer l angle géométrique entre les vecteurs u 2 et v MÉTHODE 5 Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k, soient les points A(3; 1; 2), B(4; 2; 1) et C(2; 1; 4). 1. Les points A, B et C sont-ils alignés? 2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en B. 3. Soit D le point de l espace tel que AB= CD. Déterminer les coordonnées de D. 4. Calculer l aire du parallélogramme ABDC. 1.7 Exercices Exercice 1 Avec les vecteurs u et v suivants, calculer le produit scalaire u. v, dans l espace muni d un repère orthonormal : u 2 et v 1 2. u 1 et v Exercice 2 Avec les vecteurs u et v suivants, déterminer les composantes du produit vectoriel u v dans l espace muni d un repère orthonormal : u 2 et v 1 2. u 1 et v Exercice 3 Soit trois points A(3; 1), B(0; 2) et C(4; 3) dans un plan muni d un repère orthonormal O ; i, j. 1. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme. 2. Calculer les coordonnées du vecteur AB AC, produit vectoriel des vecteurs AB et AC. 3. En déduire l aire du parallélogramme ABDC. 4. Calculer la distance AB. 5. En déduire la hauteur du parallélogramme ABDC, par rapport à la base[ab]. Exercice 4 Dans l espace muni d un repère cartésien O ; i, j, k, on a les points A(1; 2; 1), B(0; 0; 3) et C(2; 2; 1). 1. Déterminer l angleabc. 2. Déterminer l angleacb. 3. Expliquer comment on peut très simplement calculer l anglebac. Exercice 5 ABCDEFGH est un cube d arête 5 cm. 1. Calculer le produit scalaire AB. HC. 2. Calculer le produit scalaire AB. GD. 3. Calculer le produit scalaire AG. EC. 4. Calculer le produit scalaire AB. BH. Exercice 6 L espace orienté est muni d un repère orthonormal direct O ; i, j, k. On considère les points A(4; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) et D( 2; 2; 0). 1. Représenter ces points dans un repère orthonormal direct. 2. Calculer les coordonnées du vecteur AB AD, produit vectoriel des vecteurs AB et AD. 3. En déduire l aire du triangle ABD. Exercice 7 Dans l espace muni d un repère cartésien O ; i, j, k, on a les points : A(1; 3; 2), B(2; 0; 3) et C(0; 1; 1). Déterminer les coordonnées des points M vérifiant les relations suivantes : 1. AM+ BM+ CM= 0 2. AM+2 BM+ CM= 0 3. AM+ BM CM= 0

6 Systèmes de coordonnées Coordonnées polaires Dans le plan muni d un repère orthonormal O; i, j les coordonnées polaires d un point M(x, y) sont les nombresρ etθ tels que : ρ= OM θ= i, OM Si x 0 alors x=ρ cos(θ) y=ρ sin(θ) avecρ= y x 2 + y 2 etθ= arctan x Remarque arctan représente la fonction arctangente (réciproque de la fonction tangente). MÉTHODE 6 Dans un plan muni d un repère orthonormal O; i, j, on a le point M(4, 3). Déterminer ses coordonnées polaires. 2.2 Coordonnées cylindriques Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k les coordonnées cylindriques d un point M(x, y, z) s obtiennent par association des coordonnées polaires dans le plan muni du repère orthonormal O; i, j et de la côte z du point M. On obtient alors le triplet(ρ,θ, z). Le point M est le projeté orthogonal de M sur le plan O; i, j.

7 BTSA AP 7 Cours et exercices MÉTHODE 7 Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k, on a le point A(3; 1; 2). Déterminer les coordonnées cylindriques de A. 2.3 Coordonnées sphériques Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k les coordonnées sphériques d un point M(x, y, z) sont déterminées par le triplet(ρ,θ,ϕ) déterminé de la façon suivante : ρ= OM On construit ensuite la sphère de centre O et de rayonρ. On coupe cette sphère par un plan contenant l axe z z et le point M (appelé plan méridien). Ce plan coupe le plan O; i, j au point M (ρ,θ) qui sont les coordonnées polaires de M. Enfinϕ=( OM, OM ) On a alors : x=ρ cos(ϕ)cos(θ) y=ρ cos(ϕ)sin(θ) z=ρ sin(ϕ) On en déduit : ρ= x 2 + y 2 + z 2 y θ= arctan x z ϕ= arctan x 2 + y 2 MÉTHODE 8 Dans l espace muni d un repère orthonormal direct O; i, j, k, on a le point A(3; 1; 2). Déterminer les coordonnées sphériques de A. Remarque Dans les deux systèmes de coordonnées précédents, les ρ sont différents, mais les θ sont égaux. En règle générale, pour passer des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindriques (et inversement), on passe par les coordonnées cartésiennes. Il est assez rare que l on ait besoin de cette transformation. MÉTHODE 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(2; 10 ; 5), B(1; 40 ; 3) et C(4; 20 ; 2). 1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points. 2. Déterminer une mesure de l angleabc. 2.4 Exercices Exercice 8 Dans un plan muni d un repère orthonormal O ; i, j, soit le point M de coordonnées(x, y). Déterminer les coordonnées polaires de M dans les cas suivants : 1. M( 1; 1) 2. M(0; 2) 3. M(1; 2) Exercice 9 Dans un plan muni d un repère polaire(o;ρ;θ). Déterminer les coordonnées cartésiennes( x, y) de ce point dans les cas suivants : 1. M(1; 30 ) 2. M(3; 50 ) 3. M(2; 45 )

8 Cours et exercices 8 BTSA AP Exercice 10 Dans l espace muni d un repère sphérique(o;ρ;θ;ϕ). Déterminer les coordonnées cartésiennes ( x, y, z) du point M. 1. M(2; 20 ; 40 ) 2. M(2; 30 ; 30 ) Exercice 11 Soient les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(3; 25 ; 2), B(5; 150 ; 1) et C(1; 0 ; 1). 1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points. 2. Déterminer une mesure de l angleabc. Exercice 12 Dans l espace muni d un repère sphérique, on a les points A(3; 40 ; 50 ) et B(2; 20 ; 60 ). 1. Déterminer les coordonnées cartésiennes de A et B. 2. Calculer le produit scalaire OA. OB. 3. En déduire la valeur de l angleaob. Exercice 13 Soient les points A et B de coordonnées sphériques A(3; 50 ; 35 ) et B(2; 10 ; 20 ). 1. Déterminer les coordonnées sphériques du point I, milieu de[ab]. 2. Calculer la distance AB. Exercice 14 Soient les points A et B de coordonnées cylindriques A(2; 20 ; 3) et B(1; 120 ; 1). 1. Déterminer les coordonnées cylindriques du point I, milieu de[ab]. 2. Calculer la distance AB.

9 Géométrie numérique Calculs d aires et de périmètre dans le plan Figures Périmètres Aires Tri. quelconque a+ b+c b h 2 Figures Périmètres Aires Losange Tri. équilatéral 4a D d 2 3 a 2 Carré 3a 4 Trapèze a+ b+c+ B B+ b h 2 4a a 2 Cercle Rectangle 2πR πr 2 2a+ 2b a b Pour calculer l aire d un triangle, on peut utiliser la formule de HÉRON a+ b+c Soit un triangle de côtés a, b et c. Son aire est alors A= p(p a)(p b)(p c) où p=. 2 Remarque Attention, sans la formule de HÉRON, p représente le demi-périmètre. MÉTHODE 10 Calculer l aire du triangle ABC tel que AB=3 cm, BC=5 cm et AC=6 cm.

10 Cours et exercices 10 BTSA AP 3.2 Calculs de volumes Solide Figure Aire Latérale Aire Totale Volume Parallélépipède 2b(a + c) 2(ab + ac + bc) abc Cylindre 2πRh 2πR(R+ h) πr 2 h Cône de révolution πr R 2 + h 2 πr R+ R 2 + h πr2 h 1 2 ap 1 p(a+ b) Bh Pyramide régulière a=sk p= périmètre de la base b=ok h= SO B=surface de la base Sphère 4πR 2 4πR πr3 3.3 Formules trigonométriques Relations métriques du triangle quelconque (Formules de AL-KASHI) : a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(α) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) La formule des trois sinus : triangle ABC. MÉTHODE 11 a sin(α) = b sin(β) = c sin(γ) = 2R où R est le rayon du cercle circonscrit au Calculer l angleabc du triangle ABC tel que AB=3 cm, BC=5 cm et AC=6 cm.

11 BTSA AP 11 Cours et exercices 3.4 Exercices Exercice 15 Calculer l aire du triangle ABC tel que : 1. AB=2 cm ; BC=3 cm ; AC=4 cm 2. AB=4 cm ; BC=4 cm ; AC=4 cm Exercice 16 Calculer l angleabc dans les cas suivants : 1. AB=2 m ; BC=3 m ; AC=4 m 2. AB=4 m ; BC=4 m ; AC=4 m Exercice 17 Calculer l aire latérale d un parallélépipède dont les côtés mesurent l= 2 dm ; L=3 dm ; h=1 dm Exercice 18 Calculer l aire latérale d un cylindre de rayon 3 m et de hauteur 2 m. Exercice 19 Calculer le volume d un cône de rayon 4 dm et de hauteur 3 dm. Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. Déterminer l aire d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R, en fonction de R. 2. Déterminer le périmètre d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R, en fonction de R. 3. Calculer le rayon du cercle contenant le potager de Joachim, au dm près. 4. Calculer la longueur de grillage nécessaire pour entourer le potager, au dm près. 5. Joachim pose un poteau de 3 àchaque angle, le grillage coûte 2,5 par mètre. Calculer le prix du grillage avec les poteaux. 6. Joachim a eu ses semences pour 20. Il a déposé une couche de 2 cm d engrais naturel qu il achète par sacs de 50 litres pour 4 le sac. Calculer l investissement de Joachim en semences et engrais. 7. Il a récolté 200 g par pied, en moyenne, et il sait que le kg de choux de Bruxelles se vend aux alentours de 2. Déterminer le bénéfice de Joachim. Exercice 21 Frédéric a construit un bassin à tortues qui a la forme d un tétraèdre régulier renversé. Il souhaite y déposer une dizaine de tortues, et il sait que chaque tortue nécessite 40 litres d eau, au minimum. Son bassin doit être rempli jusqu à 10 cm du bord. 1. Déterminer le volume d un tétraèdre régulier de côté c, en fonction de c. 2. Dans ce tétraèdre, dont on suppose la profondeur supérieure à 10 cm, déterminer la surface d une base qui se trouverait à 10 cm de profondeur, en fonction de c. 3. Exprimer le volume d eau dans le bassin de Frédéric, en fonction de c. 4. Déterminer la valeur de c qui correspond aux 10 tortues de Frédéric. 5. Le bassin est rempli par un jet d eau qui débite 2,5 litres par minute. En combien de temps le niveau voulu est-il atteint? Exercice 22 Dans le jardin d Hortense se trouve un parterre qui a la forme d un trapèze isocèle dont les dimensions sont les suivantes : B=2 m, b=1,2 m et h= 80 cm. 1. Sur ce parterre, Hortense veut planter des pétunias, à raison de 1 par dm 2. Combien de pieds de pétunias doit-elle acheter? 2. Pour entourer ce parterre, Hortense plante des pieds de géranium tous les 6 cm. Combien de pieds de géranium doit-elle acheter? 3. Sachant que le pied de pétunia coûte 2,25 et que le pied de géranium coûte 1,5, quelle est la dépense que Hortense doit envisager?

12 Géométrie analytique Équation de droites dans un plan Dans le plan muni d un repère orthonormal O; i, j, on considère une droite passant par A et de vecteur directeur u Tout point M de cette droite est tel que : AM= t u, t α. β Ce qui donne en prenant pour coordonnées de A(x A, y A ) et de M(x, y) appelées équations paramétriques de la droite(d). x xa = tα (1) y y A = tβ (2) En éliminant t entre les équations(1) et(2) on obtient l équation cartésienne de(d) de la forme : ax+b y+ c= 0 a Le vecteur n de coordonnées n est orthogonal à la droite(d). b b Le vecteur d de coordonnées d est aussi directeur à la droite(d). a MÉTHODE 12 Donner les coordonnées des vecteurs n et d respectivement orthogonal et directeur de la droite d équation 3x 2y+ 5=0.

13 BTSA AP 13 Cours et exercices 4.2 Équation de plan dans l espace Dans l espace muni d un repère orthonormal O; i, j, k, on considère un plan passant par A et ayant pour vecteurs α α directeurs : u β et v β. γ γ Tout point M du plan(p) précédent est défini par : AM= t u+ t v avec(t, t ) 2 Ce qui donne en prenant successivement pour coordonnées de A(x A, y A, z A ) et M(x, y, z) x x A = tα+ t α (1) y y A = tβ+ t β (2) appelées équations paramétriques du plan(p). z z A = tγ+ t γ (3) En éliminant t et t entre les équations(1),(2),(3), on obtient l équation cartésienne de(p) sous la forme : ax+ b y+ cz+d= 0 a De plus, le vecteur n dont les coordonnées sont n b est orthogonal au plan(p). c MÉTHODE 13 Dans l espace muni d un repère orthonormal, déterminer une équation cartésienne du plan(abc), où A(1; 2; 3), B( 1; 2; 1) et C(0; 3; 3). 4.3 Équations de droites de l espace Dans l espace muni d un repère orthonormal O; i, j, k, on considère une droite(d) passant par A de coordonnées(x A, y A, z A ) et de vecteur directeur u β. γ α Tout point M de cette droite est tel que : AM= t u, t

14 Cours et exercices 14 BTSA AP Ce qui donne en prenant pour coordonnées de M(x, y, z) x x A = tα y y A = tβ appelées équations paramétriques de la droite(d). z z A = tγ Remarque On peut obtenir aussi l équation d une droite(d) de l espace par l intersection de deux plans. MÉTHODE 14 Dans l espace muni d un repère orthonormal, on a le tétraèdre ABCD, avec A(1; 3; 1), B( 3; 3; 3), C( 1; 5; 1) et D(3; 1; 1). 1. Soit A le milieu de[bc]. Déterminer une équation cartésienne du plan(daa ). 2. Soit B le milieu de[ac]. Déterminer une équation cartésienne du plan(dbb ). 3. Soit C le milieu de[ad]. Déterminer une équation cartésienne du plan(bcc ). 4. Soit G le point d intersection des trois plans(daa ),(DBB ),(BCC ). Déterminer les coordonnées de G. 4.4 Exercices Exercice 23 Dans le plan muni d un repère orthonormal, déterminer une équation cartésienne de la droite définie paramétriquement par : x= 3t 1 x=t+ 2 x= y= 2t+ 1 y= 3 y=t Exercice 24 Dans l espace muni d un repère orthonormal, déterminer l équation cartésienne du plan(abc) : 1. A(4; 2; 1), B(1; 2; 3), C(3; 2; 2) 2. A( 1; 2; 2), B(3; 1; 1), C(0; 4,1) Exercice 25 Dans l espace muni d un repère orthonormal, on a le tétraèdre ABCD, avec A(1; 1; 2), B(2; 3; 2), C(3; 1; 2) et D(4; 3; 1). 1. En cherchant les points M(x, y,z) tels que AM 2 = BM 2, déterminer l équation cartésienne du plan médiateur du segment[ab]. 2. Déterminer l équation cartésienne du plan médiateur du segment[ac]. 3. Déterminer l équation cartésienne du plan médiateur du segment[ad]. 4. Déterminer l intersection O de ces trois plans. 5. Démontrer que ABCD est inscrit dans une sphère dont on déterminera le centre et le rayon. Exercice 26 Dans un plan muni d un repère cartésien, la distance d entre le point A(x A, y A ) et la droite d équation cartésienne ax+b y+ c= 0 est donnée par la formule : d= ax A+ b y A + c a 2 + b 2 1. Soit le point A(3; 2) et la droite D d équation 2x+ y= 5. Déterminer l équation de la droite D passant par A et perpendiculaire à D. 2. Déterminer les coordonnées du point B, intersection des droites D et D. 3. Calculer alors la distance AB. 4. Vérifier, sur cet exemple, la véracité de la formule ci-dessus. Exercice 27 Dans l espace muni d un repère cartésien, il existe une formule pour trouver la distance entre un point A(x A ; y A ; z A ) et un plan P d équation ax+by+cz+d= Soit le point A(1; 4; 2) et le plan P d équation x+ 2y z = 3. Déterminer les équations de la droite D passant par A et orthogonale à P. 2. Déterminer les coordonnées du point B, intersection de la droite D et du plan P. 3. Calculer alors la distance AB. 4. En se basant sur la formule de l exercice précédent, et en extrapolant, établir une formule correspondant pour un espace à trois dimensions. Vérifier la véracité de cette formule dans cet exercice.

15 Table des matières 1 Géométrie vectorielle Vecteurs Orientation de l espace Repérage dans l espace Produit scalaire Produit vectoriel Méthodes Exercices Systèmes de coordonnées Coordonnées polaires Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Exercices Géométrie numérique Calculs d aires et de périmètre dans le plan Calculs de volumes Formules trigonométriques Exercices Géométrie analytique Équation de droites dans un plan Équation de plan dans l espace Équations de droites de l espace Exercices

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