TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes

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1 Master Informatique 1ere année (M1) Année TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes Résolution du problème d'aectation généralisé par relaxation lagrangienne 1 Introduction Le but de ce TP est de mettre en uvre des méthodes qui permettent de résoudre ou de borner la fonction objectif d'un programme linéaire en nombres entiers. Nous allons nous intéresser au problème d'aectation généralisé et tenter de le résoudre à l'aide de trois méthodes : la relaxation linéaire, la résolution en nombres entiers et la relaxation lagrangienne. 2 Le Problème d'aectation Généralié (PAG) Soit T = {t 1,..., t n } un ensemble de tâches et O = {o 1,..., o n } un ensemble d'ouvriers. On souhaite aecter chaque ouvrier à une seule tâche. Aussi, une tâche ne peut être réalisée que par un seul ouvrier à la fois. On suppose que l'aectation de l'ouvrier o i à la tâche t j génère un prot c ij et qu'on lui attribue un budget de réalisation a ij. On dispose d'un budget total b à ne pas dépasser. Le problème d'aectation généralisé consiste donc à trouver une aectation des ouvriers aux tâches de sorte que le prot généré soit maximum et que le budget soit respecté. Soit x = (x 11,...x 1n,..., x n1,..., x nn ) le vecteur des variables de décision (n 2 composantes). La variable x ij vaut 1 si on aecte l'ouvrier o i à la tâche t j et 0 sinon. Le problème peut être formulé en un programme linéaire en nombres entiers P AG : Maximiser ij c ij x ij P AG x ij = 1 j = 1,..., n, (1) x ij = 1 i = 1,..., n, (2) a ij x ij b (3) ij 0 x ij 1 i, j {1,..., n}, (4) x ij {0, 1} i, j {1,..., n}. (5) Les contraintes (1) et (2) sont appelées contraintes d'aectation et l'inégalité (3) est appelée contrainte budgétaire. Le problème P AG possède n 2 variables de décisions entières et 2n + 1 contraintes.

2 3 La relaxation linéaire Considérons la relaxation linéaire de P AG. Si on supprime la contrainte budgétaire, on obtient un problème d'aectation classique. La matrice des contraintes est alors totalement unimodulaire. Une matrice A R m R n est dite totalement unimodulaire si et seulement si pour chaque sous-matrice carrée T prise dans A, le déterminant de T vaut 0, 1 ou 1. Dans ce cas, les solutions de la relaxation linéaire du problème sont entières. Lorsqu'on introduit la contrainte budgétaire, la matrice des contraintes n'est plus totalement unimodulaire et le problème devient plus dicile à résoudre du fait de l'existence de solutions fractionnaires. La relaxation linéaire de P AG ne sut donc pas pour le résoudre. Il faut utiliser des méthodes telle que la méthode de séparation-évaluation (Branch-and-Bound) qui nous fournit une solution exacte. On peut aussi utiliser une méthode approchée, par exemple la méthode de relaxation lagrangienne que nous allons décrire dans la suite. 4 Relaxation lagrangienne 4.1 Présentation On considère le programme linéaire suivant : P max cx Ax = b Bx d x X Soit z, la solution optimale de P. On suppose que la résolution du problème avec seulement les contraintes Ax = b est facile à résoudre et que l'introduction des contraintes Bx d rend plus dicile le problème. L'idée de la relaxation lagrangienne est de résoudre le problème en n'utilisant que les contraintes "faciles". Pour cela, on fait entrer les contraintes "dures" dans la fonction objectif en les pondérant par un vecteur multiplicateur λ (multiplicateur de Lagrange). On obtient ainsi le programme P (λ), λ 0, relaxation lagrangienne de P : L(λ) = max cx + λ t (d Bx) P (λ) Ax = b x X Chaque composante λ j du vecteur λ est le multiplicateur de la contrainte j dans le système Bx d. Pour un problème de maximisation, P (λ) fournit une borne supérieure pour le problème P, c'est-à-dire que L(λ) z, λ 0. On résout ensuite le problème lagrangien dual (P LD) de P : P LD : L = min{l(λ), λ 0}

3 On a alors la relation : cx z = L L(λ), λ 0, x X. La solution L fournie par P LD constitue donc une borne supérieure de la solution optimale z de P. Dans certains cas, la solution obtenue pour P LD est égale à la solution optimale de P. La relaxation lagragienne permet donc d'approcher la solution optimale du problème P en en fournissant une borne supérieure pour le cas de la maximisation. A ce stade, on se pose la question de savoir comment résoudre le problème P LD dont la valeur optimale est la plus petite prise par L(λ). Il est bien sûr exclu d'énumérer toutes les valeurs possibles de λ et de résoudre le programme P (λ). Plusieurs méthodes existent pour permettre le calcul des diérents L(λ). Nous allons ici présenter la méthode du sous-gradient. 4.2 La méthode du sous-gradient Etant donnée une fonction convexe f : R n R, un sous-gradient en un point a R n est un vecteur γ(a) R n tel que f(b) f(a) + γ(a) t (b a), b R n. Dans le cas d'un fonction linéaire f(x, λ) = cx + λ t (d Bx), le sous-gradient en λ est de la forme γ(x) = f(x,λ) λ = d Bx. L'objectif est de résoudre P LD, c'est-à-dire de minimiser les valeurs L(λ) fournies par P (λ) (qui est un problème de maximisation). Ainsi, si γ(x) < 0, alors la contrainte Bx d est violée. Il faut donc augmenter son inuence dans P (λ). Si au contraire, γ(x) > 0 alors la contrainte Bx d est satisfaite et il faut diminuer son inuence dans P (λ). Enn, si γ(x) = 0, alors la contrainte Bx d est saturée et il ne sert à rien de modier son inuence. La modication de l'inuence de Bx d se résume par la formule de mise à jour de λ : λ k+1 = λ k ρ k γ k où ρ k est un pas de déplacement. Comme on a λ 0, il faut prendre λ k+1 = 0 si λ k+1 < 0. Cela revient donc à λ k+1 = max{0, λ k ρ k γ k }. La résolution de la relaxation lagrangienne en utilisant le sous-gradient peut être représentée par l'algorithme suivant : Générer le vecteur initial de multiplicateur λ 0 ; repeat Résoudre le programme P (λ k ). Soit x k et L(λ k ) la solution optimale et le cout de la solution. Déterminer le sous-gradient γ k = d Bx k. Mettre à jour le vecteur λ k+1 = max{0, λ k ρ k γ k }. until (STOP) Retourner x k Choix du pas ρ k La suite des pas (ρ k ) doit être choisie de telle sorte que la convergence de l'algorithme ne soit pas trop lente ni trop rapide. Elle peut être choisie selon l'une des trois règles suivantes :

4 (1) choisir (ρ k ) telle que k=1 ρ k =, lim k ρ k = 0. Par exemple, ρ k = 1 k satisfait ces conditions mais la convergence est trop lente pour être d'un intérêt pratique. (2) choisir (ρ k ) telle que ρ k est une suite géométrique décroissante. On xe une valeur initiale ρ 0 et un nombre 0 < τ < 1 avec ρ 0 susamment haute. Donc, ρ k = ρ 0 τ k. Pour éviter que la convergence soit trop rapide, on eectue l'opération ρ k = ρ 0 τ k à chaque N itérations. On peut par exemple prendre N = n (n est le nombre de variables du problème). (3) choisir (ρ k ) telle que ρ k = τ k (L(λ k ) z ) avec τ d Bx 2 k = ( 1 2 )k. z étant la valeur de la solution optimale de P, on ne peut évidemment pas l'utiliser dans le calcul de ρ k (puisque c'est elle qu'on cherche à approcher). On utilise plutôt une borne inférieure de z en choisissant une solution réalisable z = cx du problème P (Cf. "Recherche d'une solution réalisable pour le problème d'aectation généralisé"). L'algorithme s'arrête lorsque ρ k est susamment faible. Lorsque z = cx est choisi telle que z < L, la convergence vers 0 de la suite ρ k n'est pas assurée. Lorsqu'au bout d'un certain nombre d'itération, la valeur de ρ k n'évolue pas (état stationnaire autour d'une valeur non nulle), on peut augmenter la valeur de z d'une certaine quantité tendant à la rapprocher de la solution optimale L. 5 Application au problème d'aectation généralisé Il y a plusieurs façons d'appliquer la relaxation lagrangienne au problème d'aectation généralisé, suivant la contrainte que l'on souhaite relaxer. 5.1 Relaxation de la contrainte budgétaire On fait entrer la contrainte budgétaire (3) dans la fonction objectif. Puisqu'il n'y a qu'une seule contrainte à relaxer, le vecteur λ se réduit à une seule composante que nous désignerons par λ. La fonction de Lagrange associée s'écrit alors : L(x, λ) = ij c ij x ij + λ(b ij a ij x ij ). En factorisant, on obtient : L(x, λ) = ij (c ij λa ij )x ij + λb. Le problème P AG(λ) devient donc :

5 Maximiser ij (c ij λa ij )x ij + λb P AG(λ) x ij = 1 j = 1,..., n, x ij = 1 i = 1,..., n, x ij 0, i, j {1,..., n} P AG(λ) dans ce cas correspond à un problème d'aectation classique que nous savons résoudre. 5.2 Relaxation des contraintes d'aectation Nous allons maintenant relacher les contraintes d'aectation (1) et (2). Le vecteur λ dans ce cas est constituée de 2n composantes. Les n premières composantes seront désignées par θ i et seront associées aux n contraintes de types (1). Les n dernières composantes seront désignées par µ i et associées aux contraintes de type (2). On écrira λ = (θ, µ). La fonction de Lagrange s'écrit alors : L(x, λ) = L(x, θ, µ) = ij c ij x ij + θ t (1 i x ij ) + µ t (1 j x ij ). On obtient en factorisant : L(x, θ, µ) = ij (c ij θ j µ i )x ij + θ j + µ i. P AG(λ) s'ecrit donc : P AG(λ) Maximiser ij a ij x ij b, ij (c ij θ j µ i )x ij + 0 x ij 1 i, j {1,..., n}, x ij {0, 1} i, j {1,..., n}. θ j + µ i P AG(λ) devient alors un problème de sac-à-dos avec variables entières. 5.3 Recherche d'une solution réalisable pour le problème P Pour trouver une solution réalisable du problème d'aectation généralisé, on peut résoudre les problèmes suivants :

6 Minimiser ij a ij x ij P 1 x ij = 1 j = 1,..., n, x ij = 1 i = 1,..., n, x ij 0 i, j {1,..., n}. Maximiser ij a ij x ij P 2 x ij = 1 j = 1,..., n, x ij = 1 i = 1,..., n, x ij 0 i, j {1,..., n} P 1 et P 2 consiste à trouver les points x 1 et x 2 pour lesquels la contrainte budgétaire ax b est respectivement minimum et maximum. Si b 1 et b 2 sont les solutions optimales respectivement pour P 1 et P 2, on a b 1 b b 2. Le vecteur x 1 obtenu pour le problème P 1 sera une solution réalisable pour P AG. 6 Mise en uvre pratique 6.1 Génération des instances Il est important de générer de bonnes instances pour voir l'intérêt de la relaxation lagrangienne. Toutefois, la méthode proposée ici pour générer des instances ne garantie pas la permtinence de celles-ci. Le choix du paramètre b est très important car s'il est trop large, la contrainte ax b peut être dominée par les contraintes d'aectation. S'il est trop faible, il peut ne pas exister de solution réalisable pour le problème. On commene donc par tirer les vecteurs c et a au hasard. On résoud ensuite les problèmes P 1 et P 2 décrits dans la section précédente. Si b < b1 alors le problème P AG n'a pas de solution. Si b > b 2 alors la contrainte budgétaire est rédondante par rapport aux contraintes d'aectation. Il faut donc choisir b tel que b 1 b b 2. De plus, b doit être choisi de sorte que la contrainte ax b ne soit pas systématiquement satisfaite. Dans ce cas, le paramètre b peut être choisi telle ax < b, où x est une solution optimale du problème d'aectation classique. Pour satisfaire ces trois conditions on peut choisir b entre b 1 et ax. La formule suivante résume le choix de b : b = 0.2 b ax 6.2 Travail à réaliser (1) Utilisez CPLEX pour résoudre le problème d'aectation classique. (2) Rajoutez la contrainte ax b dans la matrice de contraintes et résolvez la relaxation linéaire du problème P AG. Observez le résultat.

7 (3) Utilisez le solveur en nombres entiers de CPLEX pour résoudre P AG. (4) Pour la contrainte budgétaire et pour les contraintes d'aectation, réécrivez la fonction objectif de Lagrange L(x, λ) et implémentez l'algorithme de la relaxation lagrangienne décrit précédemment. Compte tenu du fait qu'on résout de nombreux programmes linéaires, il est préférable de créer une fonction prenant notamment en paramètre la fonction objectif L(x, λ k ) et qui retourne une solution x k ainsi que le coût L(λ k ) associée à cette solution. (5) Faites des essais pour diérentes valeurs de n et présentez vos résultats dans un graphique qui pour chaque valeur de n donne, sur une moyenne de 5 instances, l'écart relatif entre la solution optimale fournie par CPLEX et la solution fournie par les trois types de relaxation réalisées.

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