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1 Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale à. O peut vérifier l exactitude de ce résultat pour =, = 3, etc : pour = : pour = 3 : + = 3 et = 6 et ( + ) = 3 3(3 + ) = 6 Même si o le vérifie jusqu à = 00, cela e démotre pas que ce résultat est vrai pour tout. Pour effectuer cette démostratio, o dispose d u outil particulier : le raisoemet par récurrece. Idée : Le raisoemet par récurrece "est u istrumet qui permet de passer du fii à l ifii" (Poicaré). Le pricipe est le suivat : si o peut se placer d abord sur u barreau d ue échelle, et si o peut esuite passer d u barreau quelcoque à so suivat, alors o peut gravir tous les barreaux de cette échelle.. Pricipe de récurrece Pour démotrer par récurrece qu ue propositio P est vraie pour tout etier aturel 0, ( 0 u etier aturel quelcoque, e gééral 0 ou ), o procède e trois étapes : Iitialisatio : o vérifie que P 0 est vraie, c est-à-dire que P est vraie pour = 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : O suppose que pour u etier k quelcoque, la propositio P k est vraie. Sous cette hypothèse, o démotre que la propositio P k+ est vraie. C est le passage d u barreau quelcoque au suivat. Coclusio : P est vraie pour tout etier 0..3 Exemple Motros que ( + ) q = =. q= Iitialisatio : motros que P est vraie au rag, c est-à-dire que P est vraie : ( + ) = ; c est vérifié. Hérédité : supposos que, pour u certai rag k, P k est vraie, c est-à-dire que : k(k + ) k =. (k + )(k + ) Motros alors que P k+ est vraie : c est-à-dire que : (k + ) =. Berelas-Bays Lycée Les Eucalyptus

2 ( ) k(k + ) k Or (k + ) = + (k + ) = (k + ) + (k + )(k + ) =. cqfd ( + ) Coclusio : la propriété P est vraie pour tout, c est-à-dire : =. Comportemet d ue suite umérique Par "étudier le comportemet de la suite (u )", o sous-eted étudier les propriétés du ombre u lorsque l etier deviet de plus e plus grad (variatios, ecadremet, comportemet à l ifii... ).. Suites majorées, miorées, borées Défiitios Soiet M et m deux ombres réels. O dit que la suite (u ) est : majorée par M si pour tout N, u M. miorée par m si pour tout N, u m. borée si pour tout N, m u M. Exemples ( ) Soit la suite = {/; /; /3;...}. Pour tout N, > 0. Cette suite est doc miorée par 0, mais aussi par tout réel égatif : u miorat est doc pas uique. Soit la suite ( ) 0 = {0; ; 4;...}. Pour tout N, 0. Cette suite est aussi miorée par 0 et par tout réel égatif ; e plus ici, 0 est le miimum de la suite atteit au rag 0.. Limite fiie d ue suite Défiitios La suite (u ) admet pour ite le réel l si tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les valeurs de u à partir d u certai rag. O écrit alors : u = l Berelas-Bays Lycée Les Eucalyptus

3 Iterprétatio graphique : u b u p l a p.3 Limite ifiie d ue suite Défiitios Soit A R. La suite (u ) admet pour ite + (resp. ) si tout itervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) cotiet toutes les valeurs de u à partir d u certai rag. O écrit alors : u = + (resp. ) Iterprétatio graphique : u u p A p.4 Limites des suites usuelles Théorèmes = + = 0 Pour tout etier k : Preuve de = + = 0 k = + = + : soit A u réel quelcoque. = + = 0 k = 0 Berelas-Bays 3 Lycée Les Eucalyptus

4 Si A 0 alors > A pour tout ; o choisit doc N =. Si A > 0, pour tout etier > A, o a > A, car la foctio carrée est strictemet croissate sur ]0; + [. Soit N le plus petit etier tel que N > A ; alors N o a > A. Doc = + 3 Opératios sur les ites 3. Somme de deux suites Somme de deux suites u l l l + + v l + + u + v l + l + + F. I. F. I. = forme idétermiée ; o e coait pas à priori la répose. 3. Produit de deux suites R. S. = règle des siges. 3.3 Quotiet de deux suites u l l 0 0 ou ± v l ± ± u v l l ± R. S. F. I. 3.4 Exemple u l l 0 l 0 ± ± v l 0 ± 0 0 l ± u l v l 0 F. I. ± R. S. ± R. S. F. I. Etudier la ite de la suite (u ) défiie sur N par : u = = et (3 + 5) = + Doc par quotiet : 3.5 Formes idétermiées = 0. Les cas des formes idétermiées écessitet ue étude particulière chaque fois qu ils se présetet. Pour les mémoriser, o les ote " ", "0 ", " 0 0 ", " ", mais ces écritures e doivet jamais être utilisées das ue rédactio. Le pricipe est toujours le même pour "lever" ue idétermiatio : il faut chager l écriture de la suite. Berelas-Bays 4 Lycée Les Eucalyptus

5 Exemple : u = = + et ( 5) =, doc 3 5 = F. I. (" "). Chagemet d écriture : u = (3 5 ) = + et Exemple : u = (3 + 5) = + et (3 5 ) = 3, doc par produit u = +. ( + 7) =, doc u = F. I. (" "). Chagemet d écriture : u = (3+ 5 ) = 3+ 5 ( + 7, ( 0), ) + 7 (3 + 5 ) = 3 et Exemple 3 : u = = + et ( + 7 ) =, doc par quotiet u = 3. ( ) =, doc u = F. I. (" "). ) = ( ) Chagemet d écriture : u = = ( = + et 4 Limites et comparaiso 4. Comparaiso ( ) =, doc par produit u = + Théorèmes Soiet deux suites (u ) et (v ) et u etier aturel N tels que pour tout etier N, u v. Mioratio : si u = +, alors v = + Majoratio : si v =, alors u = Démostratio du théorème de mioratio (ROC) : O suppose que u = + Il s agit de démotrer que tout itervalle de la forme ]A; + [ cotiet toutes les valeurs de v à partir d u certai rag. Soit A u réel. Comme u = +, l itervalle ]A; + [ cotiet tous les u à partir d u rag p : p, u > A. Alors pour tout p, o a v u > A, doc v ]A; + [. O e déduit que v = + La démostratio est aalogue pour le théorème de majoratio. Théorème "des gedarmes" (admis) O cosidère trois suites (u ), (v ) et (w ). Soit u etier N et u réel l. O suppose que pour tout etier N, o a u v w. Si les suites (u ) et (w ) coverget vers la même ite l, alors la suite (v ) coverge égalemet vers l. Berelas-Bays 5 Lycée Les Eucalyptus

6 4. Cas des suites mootoes et covergetes Théorème Soit ue suite (u ) covergeat vers u réel l. Si la suite (u ) est croissate, alors elle est majorée par l, c est-à-dire que pour tout etier aturel, u l. 5 Covergece de certaies suites 5. Covergece des suites mootoes Théorème Si (u ) est ue suite croissate et majorée, alors elle coverge. Si (u ) est ue suite décroissate et miorée, alors elle coverge. Attetio : Ce théorème e doe pas la valeur de la ite de la suite, mais seulemet so existece et u majorat, ou u miorat, de la suite. Corollaire : ue suite croissate o majorée a pour ite +. Preuve (ROC) : soit (u ) ue suite croissate o majorée et soit A R. Comme (u ) est pas majorée, il existe au mois u etier p tel que u p > A. Comme (u ) est croissate, o a p, u u p, d où p, u > A. Doc à partir du rag p, tous les termes de la suite appartieet à ]A; + [. Coclusio : u = + 5. Limite d ue suite géométrique Théorème Soit q u réel. Si q >, alors la suite (q ) diverge vers + : q = +. Si < q <, alors la suite (q ) coverge vers 0 : q = 0. Si q, alors la suite (q ) diverge et admet pas de ite. Preuve pour q > (ROC) : motros d abord par récurrece la propriété P : pour tout N, avec a réel positif, ( + a) + a. Iitialisatio : pour = 0, ( + a) 0 = et + 0 a = ; doc P 0 est vraie. Hérédité : supposos que pour u certai etier k, P k est vraie, soit ( + a) k + ka et motros alors que P k+ est vraie, c est-à-dire ( + a) k+ + (k + )a ; ( + a) k+ = ( + a) k ( + a) et ( + a) k + ka d après l hypothèse de récurrece. O e déduit que ( + a) k+ ( + ka)( + a) car + a > 0. Aisi : ( + a) k+ + ka + a + ka + (k + )a car ka > 0, et P k+ est vraie. Coclusio : Nous avos motré la propriété P pour tout N : si a 0, ( + a) + a. O pose maiteat q = + a avec a > 0, doc q >. Alors q + a, d après la propriété P. Or ( + a) = +, car a > 0. Doc d après le théorème de mioratio : q = +. Berelas-Bays 6 Lycée Les Eucalyptus

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