Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
|
|
- Robin Boutin
- il y a 2 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle. On appelle fonction logarithme népérien la primitive de 7! 1/ qui s annule en 1. Elle est notée ln. La fonction logarithme (ou logarithme népérien) elle est définie, continue, dérivable sur l intervalle ]0, +1[. Sa dérivée en vaut (ln) 0 () = 1. Puisque la fonction 7! 1/ est strictement positive pour tout >0, la fonction ln est strictement croissante c est-à-dire pour tout >ystrictement positifs, on a ln() > ln(y). Proposition 1.1 La fonction ln vérifie : pour tout et tout y 2]0, +1[. ln(y)=ln()+ln(y), Démonstration. Soit y>0 fié, on pose f : 7! ln(y) et on vérifie que f est aussi une primitive de 7! 1/ sur ]0; +1[. Par suite f ne diffère de ln que d une constante que l on détermine en prenant =1. On obtient alors le résultat. On en déduit une epression pour le logarithme d un quotient Corollaire 1.1 La fonction ln vérifie : ln =ln() y ln(y), pour tout et tout y 2]0, +1[. 37
2 38 Quelques fonctions usuelles Démonstration. On choisit d abord dans la proposition précédente y =1/, ce qui donne 0 = ln(1) = ln 1 1 =ln() +ln, d où ln 1 = ln (). Puis, dans la proposition précédente, on remplace y par 1/y et l on obtient le résultat. Ensuite, nous obtenons une epression pour le logarithme d une puissance rationelle Corollaire 1.2 La fonction ln vérifie : pour tout 2]0, +1[. ln ( p )=p ln(), p 2 Q, Proposition 1.2 La fonction logarithme vérifie :!1 ln() =+1 et!0 + ln() = 1 ; La fonction ln croît moins vite qu une fonction linéaire à l infini ln() =0!1 Comparaison de la fonction ln et d une fonction linéaire en zéro :!0 ln() =0. Démonstration. Soient n 2 N et 3 n. Alors ln() ln(3 n )=n ln(3) et donc ln() n (car ln(3) > 1) d où l premier point de la Proposition ln() =+1.!+1 Ensuite, par composition du résultat précédent, on déduit que 1 ln =+1!0 + d où le deuième résultat puisque ln(1/) = ln. C est ainsi que!0 + ln() = 1. Puis pour démontrer que ln() =0,!1 p on étudie la fonction 7! f() où f() =ln(), et l on montre que f est croissante sur ]0, 4[ et décroissante sur [4, 1[. D où pour tout >0, f() apple f(4) apple 0, c est-à-dire ln() apple p. Ainsi pour tout >0, ln() apple 1 p,
3 Fonctions logarithme et eponentielle 39 et donc pour tout >1, 0 < ln() En passant à la ite, on a alors ln()!1 Pour le dernier résultat on écrit que apple 1 p. =0. ln() = ln(1/) 1/ =0 et donc le dernier résultat en faisant tendre vers zéro. Graphe de la fonction 7! ln(). 1.2 La fonction eponentielle La fonction 7! ln() est continue et strictement croissante sur ]0, +1[ à valeur dans R. Elle est donc bijective sur cet intervalle. Définition 1.2 La bijection réciproque de 7! ln() est définie sur R et à valeur dans ]0, +1[. Cette fonction est notée 7! e ( eponentielle de ). On a alors la proposition suivante : y = e, =ln(y) et y 2]0, 1[.
4 40 Quelques fonctions usuelles Proposition 1.3 La fonction eponentielle est dérivable et vérifie : pour tout 2 R. (e ) 0 = e, Démonstration. Soit 2 R et y = e, on a alors =ln(y) et D où (e ) 0 = dy d = y = e On en déduit alors d dy = 1 y. Proposition 1.4 La fonction eponentielle vérifie : pour tout et tout y 2 R. Démonstration. On fie y 2 R et pose e +y = e e y, g() = e+y e. On calcule alors g 0 () et montrons que g est constante et comme g(0) = e y, on obtient le résultat. On rappelle aussi son sens de variation Proposition 1.5 La fonction eponentielle est strictement croissante sur R, c est-à-dire si a<b alors e a <e b Ainsi pour tout réel a, e a > 1 équivaut à a>0. Les propriété des ites en 1 et +1 Proposition 1.6 On a! 1 e =0. On en déduit que l ae des abscisses est asymptote à la courbe représentant la fonction eponentielle en 1. Proposition 1.7 On a!+1 e =+1. Démonstration. Considérons la fonction f() =e (+1), on a alors f 0 () =e 1 0 pour tout 0, on a donc e +1pour 0 et!+1 +1=+1 donc le résultat. Dans cette démonstration, on a vu que la fonction eponentielle tendait plus vite vers l infini que 7! +1lorsque tend vers l infini. On peut en fait démontrer que la fonction eponentielle tends plus vite vers l infini que n importe quelle fonction polynômiale. Finalement, la fonction eponentielle est croissante sur R, e 0 = 1 et e 1 = e. La fonction eponentielle étant la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien, sa courbe représentative dans un repère orthonormé est la symétrique par rapport à la droite d équation y = de celle de la fonction ln.
5 Fonctions logarithme et eponentielle 41 Graphe de la fonction 7! e. Nous rappelons quelques propriétés algébriques fondamentales de l eponentielle Proposition 1.8 Pour tout a 2 R on a et (e a ) q = e qa pour tout a réel et q 2 Q. 1.3 Applications e a = 1 e a On généralise la fonction eponentielle comme ci-dessous Définition 1.3 Soit a>0. On pose, pour 2 R, a = e ln(a). Enonçons quelques propriétés de cette fonction. On commence par des propriétés algébriques analogues à celles démontrées pour la fonction eponentielle : 7! e Proposition 1.9 La fonction 7! a vérifie : (i) ln(a )= ln(a) pour tout 2 R. (ii) a a y = a +y pour tout,y 2 R. (iii) ( a ) y = a y pout tout,y 2 R. (iv) (ab) = a b pour a, b>0 et pour tout 2 R. Puis concernant son sens de variation, nous avons les propriétés suivantes
6 42 Quelques fonctions usuelles Proposition 1.10 La fonction 7! a est définie sur R à valeur dans R +, continue et dérivable et vérifie : (i) (a ) 0 = a ln(a) pour 2 R. (ii) Supposons que a>1, alors la fonction 7! a est strictement croissante. (iii) Supposons que 0 <a<1, alors la fonction 7! a est strictement décroissante. Démonstration. 7! a est la fonction composée des deu fonctions 7! ln(a) et y 7! e y. Cette remarque donne la continuité, la dérivabilité les égalités (iv) et (v). Les autres égalités découlent de la propriété ln(e )= et se démontrent en prenant les logarithmes de chaque membre. Comme on l a fait pour la fonction eponentielle, on peut étendre la défintion du logarithme. Définition 1.4 Soit a>0, a 6= 1. On pose, pour 2]0, +1[, log a () = ln() ln(a). On montre alors facilement les propriétés suivantes à l aide des propriétés de la fonction logarithme népérien. Proposition 1.11 La fonction 7! log a () est définie sur ]0, +1[ et vérifie : (ii) log e () =ln() pour tout >0 ; (iii) log a (a) =1; (iv) log a (y)=log a () +log a (y) pout tout, y>0 ; (v) log a ( q )=q log a () pout tout q 2 Q et pour tout >0 ; (vi) log a (b) log b (a) =1pour a, b>0. Puis concernant son sens de variation, nous avons les propriétés suivantes Proposition 1.12 La fonction 7! log a () est la fonction réciproque de 7! a. La fonction 7! log a () est définie sur ]0, +1[, continue et dérivable et vérifie : (i) (log a ) 0 () = 1, pour >0 ; ln(a) (ii) lorsque a>1, alors la fonction 7! log a () est strictement croissante tandis que si 0 <a<1, alors la fonction 7! log a () est strictement décroissante. Finalement, nous terminons avec les propriétés asymptotiques en 0 + et +1. Proposition 1.13 La fonction 7! log a () est définie sur ]0, +1[ et vérifie : Limites en 0 + (i) si a>1, on a alors!0 + log a () = 1, (ii) si 0 <a<1, on a alors!0 + log a () =+1. Limites en +1 (i) si a>1, on a alors!1 log a () =1 (ii) si 0 <a<1, on a alors!1 log a () = 1.
7 Fonctions logarithme et eponentielle 43 On termine cette section avec une généralisation se la fonction puissance qui s appuie sur les définitions précédentes. Définition 1.5 Pour tout >0 et tout 2 R, la fonction puissance -ième est la fonction 7! f = = e ln(). Elle est continue, dérivable sur ]0, +1[, de dérivée 1 en. Enfin elle est strictement croissante (resp. décroissante) si >0 (resp. si <0). Notons bien que la fonction f est seulement définie sur ]0, +1[ car il faut pouvoir calculer ln(). Cependant, pour fié, le domaine de définition de f peut changer dans le cas où est un entier. Attention pour rationnel il faudra dans certains cas distinguer deu notations : par eemple 7! 1/3 qui est définie sur ]0, +1[ et 7! 3p qui est définie sur R. La fonction puissance 7! f () = est continue et dérivable sur ]0, +1[ comme composée et on a : f () 0 = 1. Les variations de f dépendent donc du signe de. Les ites en 0 et +1 sont immédiates. L étude des branches infinies conduit à distinguer trois cas : <0 (fonction décroissante de +1 vers 0), 0 < <1 (fonction croissante de 0 vers +1, tangente verticale en 0 et branche parabolique de direction asymptotique l ae des abscisses) et >1 (fonction croissante de 0 vers +1, tangente horizontale en 0 et branche parabolique de direction asymptotique l ae des ordonnées). Graphe de la fonction 7! f () =. 1.4 Autre application : les fonctions hyperboliques Définition 1.6 Sinus hyperbolique Etant donné un réel, on appelle sinus hyperbolique de le réel, noté sh(), tel que sh() = e. 2 La fonction sinus hyperbolique, notée sh, est la fonction qui, à tout réel, associe son sinus hyperbolique sh(). Proposition 1.14 La fonction sinus hyperbolique est définie sur R, et impaire. Il suffit de l étudier sur R +. Sur R +, la fonction sh est croissante, tend vers +1 lorsque! +1 et sh(0) = 0. e
8 44 Quelques fonctions usuelles Graphe de la fonction 7! sh(). Définition 1.7 Cosinus hyperbolique Etant donné un réel, on appelle cosinus hyperbolique de le réel, noté ch(), tel que ch() = e + e. 2 La fonction cosinus hyperbolique, notée ch, est la fonction qui, à tout réel, associe son cosinus hyperbolique ch(). Proposition 1.15 La fonction cosinus hyperbolique est définie sur R, et paire. Il suffit de l étudier sur R +. Sur R +, la fonction ch est croissante, tend vers +1 lorsque! +1 et ch(0) = 1. Graphe de la fonction 7! ch(). Définition 1.8 Tangente hyperbolique Etant donné un réel, on appelle tangente hyperbolique de le réel, noté th(), tel que th() = sh() ch() = e e e + e.
9 Comparaison des fonctions puissances, ep et ln 45 La fonction tangente hyperbolique, notée th, est la fonction qui, à tout réel, associe sa tangente hyperbolique th(). Proposition 1.16 La fonction tangente hyperbolique est définie sur R, et impaire. Il suffit de l étudier sur R +. Sur R +, la fonction th est croissante, tend vers +1 lorsque! +1 et th(0) = 0. Graphe de la fonction 7! th(). On pourra s entraîner à tracer le graphes de ces fonctions à partir de leur propriétés et de quelques valeurs. 2 Comparaison des fonctions puissances, ep et ln On calcule les ites suivantes : Théorème 2.1 Pour tout et on a Démonstration. On a ln () = 2 Q +, l ensemble des nombres rationnels strictement positifs, ln () =0.!+1 ln()! ln( ) = D où le résultat car / tend vers +1 avec et ln(x) X!+1 X =0.
10 46 Quelques fonctions usuelles Théorème 2.2 Pour tout 2 Q +, on a!+1 e =0. Démonstration. On sait que ln = ln() ln(a) = ln() a ln(a) qui tend vers 1 quand tend vers +1 car ln(x) X!1 X =0. Le résultat s en déduit en passant à l eponentielle. Théorème 2.3 Pour tout 2 Q +, on a!0 ln() =0. Démonstration. On a ln() = ln(x) X en posant =1/X. Le résultat découle alors de la Proposition 1.2 car X tend vers +1 quand tend vers 0. Ces ites sont à connaître et à utiliser! 3 Fonctions circulaires réciproques /2,/2] est continue et stricte- La restriction de la fonction sin I0 sur l intervalle I 0 =[ ment croissante. D après la Proposition 6.3, sin I0 ([ /2,/2]) = [ 1, 1] Cette restriction établit donc une bijection de I 0 sur [ 1, 1]. On appelle fonctions circulaires réciproques les quatre fonctions suivantes : Définition 3.1 On appelle fonction Arc sinus, la fonction réciproque de la fonction sinus sur l intervalle [, ] 2 2 arcsin : [ 1, 1] 7! [ 2, 2 ] 7! arcsin().
11 Fonctions circulaires réciproques 47 On a donc On a la propriété suivante y =arcsin(), =sin(y) et y 2 [ 2, 2 ]. 1, 1[ et stric- Proposition 3.1 La fonction Arc sinus est impaire, continue, dérivable sur ] tement croissante, de dérivée arcsin 0 1 () = p 1 2 Démonstration. Soit y 2 [, ] et 2 [ 1, 1] tel que y = arcsin( ). On a donc = 2 2 sin(y). Puisque la fonction sin est impaire, elle vérifie sin(y) = sin( y) d où =sin( y) avec y 2 [ ]. Par définition de la fonction réciproque arcsin, il vient alors 2, 2 y = arcsin() et donc arcsin() = y = arcsin( ), ce qui signifie que la fonction arcsin est impaire. Puisque la fonction sin est continue, sa fonction réciproque l est aussi. Enfin, pour y 2 ], [ et y =arcsin(), on a puisque cos(y) ne s annule pas, 2 2 arcsin 0 () = 1 cos(y). Puisque y 2], [, on a cos(y) > 0 et donc 2 2 arcsin 0 () = 1 cos(y) = 1 p 1 sin 2 (y) = 1 p 1 2. Graphe de la fonction arcsin.
12 48 Quelques fonctions usuelles Définition 3.2 On appelle fonction Arc cosinus, la fonction réciproque de la fonction cosinus sur l intervalle [0,] arccos : [ 1, 1] 7! [0,] 7! arccos() On a donc y =arccos(), =cos(y) et y 2 [0,]. On a la propriété suivante que l on démontre de manière analogue à la Proposition 3.1 Proposition 3.2 La fonction Arc cosinus est continue, dérivable sur ] décroissante, de dérivée arccos 0 1 () = p 1 2 1, 1[ et strictement Graphe de la fonction arccos. Définition 3.3 On appelle fonction Arc tangente, la fonction réciproque de la fonction tangente sur l intervalle ], [ 2 2 arctan :] 1, 1[ 7! ] 2, 2 [ 7! arctan() Autrement dit y =arctan(), =tan(y) et y 2] 2, 2 [. On a la propriété suivante que l on démontre de manière analogue à la Proposition 3.1 Proposition 3.3 La fonction Arc tangente est impaire, continue, dérivable et strictement croissante, de dérivée arctan 0 () =
13 Fonctions circulaires réciproques 49 Graphe de la fonction arctan. Définition 3.4 On appelle fonction Arc cotangente, la fonction réciproque de la fonction cotangente sur l intervalle ]0,[ arccotan :] 1, 1[ 7! ]0,[ 7! arccotan() On a la propriété suivante que l on démontre de manière analogue à la Proposition 3.1 Proposition 3.4 La fonction Arc cotangente est continue, dérivable et strictement décroissante, de dérivée arccotan 0 1 () = 1+ 2 Important. Dans ces définitions, il est important de bien retenir le domaine de définition des fonctions réciproques et surtout l intervalle d arrivée.
Fonctions hyperboliques et applications réciproques
Chapitre III Fonctions hyperboliques et applications réciproques A Fonctions hyperboliques directes A. Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique On va définir de nouvelles fonctions inspirées notamment
TS - Cours sur le logarithme népérien
Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C
Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy
Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable
La fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien La fonction exponentielle est continue strictement croissante sur R à valeurs dans ]0; + [. Elle définit donc une bijection de R sur ]0; + [, c est-à-dire que quel que soit
Devoir surveillé n 1 : correction
E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début
Développements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01
Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables
Fonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
- Module M2 - Fondamentaux d analyse
- Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp
Compléments de trigonométrie
IUT Orsay Mesures Physiques Cours du er semestre Compléments de trigonométrie A. Les outils A-I. Notion de bijection, bijection réciproque Une application de E vers F est une bijection lorsque : tout élément
I. Les fonctions de référence
I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,
Fonctions circulaires et applications réciproques
Chapitre II Fonctions circulaires et applications réciproques A Fonctions circulaires A Rappels de trigonométrie Radians et cercle trigonométrique Le radian est une unité de mesure d angle (orienté) définie
Fonctions réciproques
Fonctions réciproques X =message coage y=f() Y y=message coé - = g(y)= f (y) écoage =message B. Aoubiza IUT Belfort-Montbéliar Département GTR 6 janvier 3 Table es matières.fonctionsréciproques... 3..
Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples.
Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Introduction : On suppose connues les notions d injectivité, surjectivité,
Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions
Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse
CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation
RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES
RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction
Séquence 5. La fonction logarithme népérien
Séquence 5 La fonction logarithme népérien Sommaire. Pré-requis. Définition et propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien 3. Étude de la fonction logarithme népérien 4. Compléments 5. Synthèse
Fonctions logarithmes
La fonction logarithme népérien. Définition et propriétés Fonctions logarithmes La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Techniques fondamentales de calcul
Chapitre Techniques fondamentales de calcul. Inégalités dans R On rappelle que (R, +,, ) est un corps totalement ordonné, d où : x, y R, x y ou y x, x, y, z R, x y = x + z y + z, x, y R, x 0ety 0 = xy
Le corps R des nombres réels
Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du
CH1 : Langages de la continuité Limites
CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente
Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig.
Cours de matématiques Terminale S1 Capitre 4 : Dérivabilité Année scolaire 008-009 mise à jour novembre 008 Fig. 1 Jean Dausset Fig. alliday Fig. 3 Joann Radon Il y a des gens connus et des gens importants-idée
Chap V : De nouvelles fonctions de référence
Chap V : De nouvelles fonctions de référence Cours Chap V, page 1 sur 6 I) Le théorème des bijections réciproques Théorème Théorème des bijections réciproques Si f : I R est continue sur l intervalle I
FICHE DE RÉVISION DU BAC
Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour
Développements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire
Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement
Dérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Table des matières La fonction réciproque de la fonction eponentielle 2. Définition......................................................... 2.2 Propriété.........................................................
CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES
CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit, soit, soit a un réel fini ( a R ) Le plan est muni d un repère ( O; i ; j), et on note C f la courbe représentative de la fonction
MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR
MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d
Fonction polynôme du second degré : Forme canonique
Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à
AN 1 FONCTIONS USUELLES et RÉCIPROQUES
Analyse /0 AN FONCTIONS USUELLES et ÉCIPOQUES Les notions de limites, dérivées, primitives, continuité sont supposées connues, elles seront revues ultérieurement THEOEMES FONDAMENTAUX D ANALYSE Théorème
MATHEMATIQUES 1ère ANNEE : Cours de remise niveau de mathématiques élémentaires pour les étudiants de 1ère année de l UCTM - Sofia
MATHEMATIQUES 1ère ANNEE : Cours de remise niveau de mathématiques élémentaires pour les étudiants de 1ère année de l UCTM - Sofia Philippe MORVAN Dimitar KOLEV Rennes/Sofia 2007 Table des matières 1
Cours de Mathématiques
Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection.
FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines
BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique
La fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant
Fonctions de référence Variation des fonctions associées
DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3
Continuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
FONCTION EXPONENTIELLE de BASE e : f(x) = e x
FONCTION EXPONENTIELLE de BASE e : f() = e I) DEFINITION. a) Définition 1 et notations : ( de la fonction eponentielle ) Quel que soit le nombre réel, l équation ln y = où y est inconnu admet une solution
FICHE DE RÉVISION DU BAC
Note liminaire Programme selon les sections : - fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D,
La fonction carré Cours
La fonction carré Cours CHAPITRE 1 : Définition CHAPITRE 2 : Sens de variation CHAPITRE 3 : Parité et symétrie CHAPITRE 4 : Représentation graphique CHAPITRE 5 : Equation du type CHAPITRE 6 : Inéquation
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition ( voir animation ) On dit qu'un repère orthonormé (O; i, j) est direct lorsque ( i ; j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point
I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
www.mathsenligne.com STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (/5) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction logarithme népérien. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.
CHAPITRE 3 PRIMITIVES ET INTEGRALES FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES
CHAPITRE 3 PRIMITIVES ET INTEGRALES FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 3--PRIMITIVES ET INTEGRALES 3---Primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle fonction primitive de
Cours de terminale S Suites numériques
Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND. Mathématiques. Analyse. en 30 fiches
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Analyse en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Analyse en 30 fiches Dunod, Paris, 009 ISBN
I. Equation et inéquation du second degré
I. Equation et inéquation du second degré Théorème : Soient a, b et c des nombres réels avec a non nul, on appelle discriminant et on note Δ le nombre b 2 4ac. L équation ax 2 + bx + c = 0, - admet deux
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction.
A 00-0 FONCTIONS USUELLES Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. Exponentielles, logarithmes, puissances. Exponentielle
Fonctions usuelles. lim x 1. lim. x α ln x = 0
I Fonction logarithme Fonctions usuelles Définition : n appelle fonction logarithme népérien la primitive de la fonction définie sur ]0, + [ qui s annule en. n notera cette fonction ln. Remarque : L eistence
Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.
Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement
Fonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html
Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1
Nombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Fonctions de IR dans IR
Fonctions der dansr G03.1 JMS Fonctions de IR dans IR 1 ) Intervalles Intervalle fermé : [a;b] = { R tq a b } ( peut prendre les valeurs a et b) Intervalle semi-ouvert : [a;b[ = { R tq a < b } ne peut
Un problème sans solution est un problème mal posé. Albert Einstein. Physicien allemand.
Chapitre 1 Étude de fonctions Un problème sans solution est un problème mal posé. Albert Einstein. Physicien allemand. 1 Fonctions usuelles 1.1 Fonction en escalier Définition 1.1 Une fonction en escalier
EL - EXERCICES SUR LES FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES ET HYPERBOLIQUES
EL - EXERCICES SUR LES FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES ET HYPERBOLIQUES Calculer les nombres suivants a) arcsin sin 8π ) 5 c) arcsin sin 5π ) 7 e) sin arcsin ) 3 b) arccos sin 8π ) 5 d) arcsin sin 0π
Fonctions d une variable réelle
Fonctions d une variable réelle BTS Table des matières Fonctions usuelles. Fonctions en escalier..................................... Fonctions affines....................................... Fonction logarithme......................................4
Fonctions d une variable réelle
Fonctions d une variable réelle BTS Table des matières Fonctions usuelles. Fonctions en escalier.......................................... Fonctions affines............................................
CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie
CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =
LIMITES EXERCICES CORRIGES
ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle
Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln
Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.
1 Fonction valeur absolue
ISEL - Année Mathématiques FONCTIONS USUELLES Fonction valeur absolue Dénition La valeur absolue d'un nombre réel est = ma(, ) = Propriété Soient a et b deu réels, on a: a = a ; a b b a b; a b a b ou a
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.
MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES
FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque
FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle
Cours sur les fonctions usuelles
Cours sur les fonctions usuelles c Emmanuel Vieillard Baron, Table des matières Préambule Fonctions logarithmes, eponentielles et puissances. Logarithme néperien................................ Eponentielle
MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités
INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières
Terminale ES-L Chapitre IV Convexité.
Terminale ES-L Chapitre IV Convexité. I- Définition. Rappel : On appelle corde d'une courbe tout segment reliant deux de ses points. Illustration ci-dessous : on a tracé la courbe représentative d'une
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
II. Fonctions usuelles
1 Fonctions exponentielles et logarithmes 1.1 Fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien Définition 1. On appelle fonction exponentielle népérienne l unique fonction définie sur R égale
Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions
Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison
Problème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Institut de Biologie Fondamentale et Appliquée. M A T H E M A T I Q U E S pour SV 105
U N I V E R S I T E de C A E N Institut de Biologie Fondamentale et Appliquée M A T H E M A T I Q U E S pour SV 05 0 - Présentation - Bibliographie. - Trigonométrie - Fonctions réciproques - Nombres complees
FONCTION LOGARITHME. ln = a.
FONCTION LOGARITHME I. DEFINITION DU LOGARITHME a) Définition Problème : Soit a un réel strictement positif. Démontrer que l équation e x = a admet une solution unique α dans IR. (théorème des valeurs
Chapitre 6. Fonctions logarithmes
Chapitre 6 Fonctions logarithmes Les logarithmes (logos = rapport, arithmeticos = nombres sont apparus grâce au mathématicien Écossais John Napier (550-67 qui cherchait à simplifier les calculs astronomiques.
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Eo7 Fonctions usuelles Eercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Eercice **I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
Cours de mathématiques pour la Terminale S
Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................
Correction contrôle de mathématiques
Chapitres 5 : la fonction eponentielle 7 décembre 0 Correction contrôle de mathématiques Du lundi 0 décembre 0 Eercice ROC (4 points) ) On détermine les variation deϕ: ϕ ()e or R, e >0. La fonctionϕest
Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.
Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles
DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Continuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3
LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés
MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie
MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles
BTS Maintenance industrielle - Les fonctions
de référence. en escaliers Une fonction en escaliers est une fonction constante par intervalles. Eemple. la fonction f définie sur [,[ - 5 6 7 8. affines Une fonction affine f est définie sur par où a
(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système,
Université Paris 7 Denis Diderot UFR de Mathématiques Licence L3 Equations différentielles 2006-2007 P. Perrin (Un) Corrigé du partiel Lundi 9 mars 2007 Eercice. On considère le système différentiel linéaire
L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1
. Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s
Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique.
Programme de colle - Semaine 4 Fonctions circulaires. Bijections, fonctions circulaires réciproques. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Démonstrations du
UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Mathématiques: Mise à niveau. Séance 10: Fonctions usuelles
UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 04 05 L Économie Cours de M. Desgraupes Mathématiques: Mise à niveau Séance 0: Fonctions usuelles Table des matières Fonction
Terminale ES. La fonction logarithme népérien
Terminale ES La fonction logarithme népérien 1 I Liens avec la fonction exponentielle Définition On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur et à valeurs dans ]0;+ [. Ainsi, pour
5. Étude de fonctions
ÉTUDE DE FONCTIONS 33 5. Étude de fonctions 5.1. Asymptotes Asymptote verticale La droite = a est dite asymptote verticale (A. V.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est vérifiée
Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion