Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

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1 Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle. On appelle fonction logarithme népérien la primitive de 7! 1/ qui s annule en 1. Elle est notée ln. La fonction logarithme (ou logarithme népérien) elle est définie, continue, dérivable sur l intervalle ]0, +1[. Sa dérivée en vaut (ln) 0 () = 1. Puisque la fonction 7! 1/ est strictement positive pour tout >0, la fonction ln est strictement croissante c est-à-dire pour tout >ystrictement positifs, on a ln() > ln(y). Proposition 1.1 La fonction ln vérifie : pour tout et tout y 2]0, +1[. ln(y)=ln()+ln(y), Démonstration. Soit y>0 fié, on pose f : 7! ln(y) et on vérifie que f est aussi une primitive de 7! 1/ sur ]0; +1[. Par suite f ne diffère de ln que d une constante que l on détermine en prenant =1. On obtient alors le résultat. On en déduit une epression pour le logarithme d un quotient Corollaire 1.1 La fonction ln vérifie : ln =ln() y ln(y), pour tout et tout y 2]0, +1[. 37

2 38 Quelques fonctions usuelles Démonstration. On choisit d abord dans la proposition précédente y =1/, ce qui donne 0 = ln(1) = ln 1 1 =ln() +ln, d où ln 1 = ln (). Puis, dans la proposition précédente, on remplace y par 1/y et l on obtient le résultat. Ensuite, nous obtenons une epression pour le logarithme d une puissance rationelle Corollaire 1.2 La fonction ln vérifie : pour tout 2]0, +1[. ln ( p )=p ln(), p 2 Q, Proposition 1.2 La fonction logarithme vérifie :!1 ln() =+1 et!0 + ln() = 1 ; La fonction ln croît moins vite qu une fonction linéaire à l infini ln() =0!1 Comparaison de la fonction ln et d une fonction linéaire en zéro :!0 ln() =0. Démonstration. Soient n 2 N et 3 n. Alors ln() ln(3 n )=n ln(3) et donc ln() n (car ln(3) > 1) d où l premier point de la Proposition ln() =+1.!+1 Ensuite, par composition du résultat précédent, on déduit que 1 ln =+1!0 + d où le deuième résultat puisque ln(1/) = ln. C est ainsi que!0 + ln() = 1. Puis pour démontrer que ln() =0,!1 p on étudie la fonction 7! f() où f() =ln(), et l on montre que f est croissante sur ]0, 4[ et décroissante sur [4, 1[. D où pour tout >0, f() apple f(4) apple 0, c est-à-dire ln() apple p. Ainsi pour tout >0, ln() apple 1 p,

3 Fonctions logarithme et eponentielle 39 et donc pour tout >1, 0 < ln() En passant à la ite, on a alors ln()!1 Pour le dernier résultat on écrit que apple 1 p. =0. ln() = ln(1/) 1/ =0 et donc le dernier résultat en faisant tendre vers zéro. Graphe de la fonction 7! ln(). 1.2 La fonction eponentielle La fonction 7! ln() est continue et strictement croissante sur ]0, +1[ à valeur dans R. Elle est donc bijective sur cet intervalle. Définition 1.2 La bijection réciproque de 7! ln() est définie sur R et à valeur dans ]0, +1[. Cette fonction est notée 7! e ( eponentielle de ). On a alors la proposition suivante : y = e, =ln(y) et y 2]0, 1[.

4 40 Quelques fonctions usuelles Proposition 1.3 La fonction eponentielle est dérivable et vérifie : pour tout 2 R. (e ) 0 = e, Démonstration. Soit 2 R et y = e, on a alors =ln(y) et D où (e ) 0 = dy d = y = e On en déduit alors d dy = 1 y. Proposition 1.4 La fonction eponentielle vérifie : pour tout et tout y 2 R. Démonstration. On fie y 2 R et pose e +y = e e y, g() = e+y e. On calcule alors g 0 () et montrons que g est constante et comme g(0) = e y, on obtient le résultat. On rappelle aussi son sens de variation Proposition 1.5 La fonction eponentielle est strictement croissante sur R, c est-à-dire si a<b alors e a <e b Ainsi pour tout réel a, e a > 1 équivaut à a>0. Les propriété des ites en 1 et +1 Proposition 1.6 On a! 1 e =0. On en déduit que l ae des abscisses est asymptote à la courbe représentant la fonction eponentielle en 1. Proposition 1.7 On a!+1 e =+1. Démonstration. Considérons la fonction f() =e (+1), on a alors f 0 () =e 1 0 pour tout 0, on a donc e +1pour 0 et!+1 +1=+1 donc le résultat. Dans cette démonstration, on a vu que la fonction eponentielle tendait plus vite vers l infini que 7! +1lorsque tend vers l infini. On peut en fait démontrer que la fonction eponentielle tends plus vite vers l infini que n importe quelle fonction polynômiale. Finalement, la fonction eponentielle est croissante sur R, e 0 = 1 et e 1 = e. La fonction eponentielle étant la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien, sa courbe représentative dans un repère orthonormé est la symétrique par rapport à la droite d équation y = de celle de la fonction ln.

5 Fonctions logarithme et eponentielle 41 Graphe de la fonction 7! e. Nous rappelons quelques propriétés algébriques fondamentales de l eponentielle Proposition 1.8 Pour tout a 2 R on a et (e a ) q = e qa pour tout a réel et q 2 Q. 1.3 Applications e a = 1 e a On généralise la fonction eponentielle comme ci-dessous Définition 1.3 Soit a>0. On pose, pour 2 R, a = e ln(a). Enonçons quelques propriétés de cette fonction. On commence par des propriétés algébriques analogues à celles démontrées pour la fonction eponentielle : 7! e Proposition 1.9 La fonction 7! a vérifie : (i) ln(a )= ln(a) pour tout 2 R. (ii) a a y = a +y pour tout,y 2 R. (iii) ( a ) y = a y pout tout,y 2 R. (iv) (ab) = a b pour a, b>0 et pour tout 2 R. Puis concernant son sens de variation, nous avons les propriétés suivantes

6 42 Quelques fonctions usuelles Proposition 1.10 La fonction 7! a est définie sur R à valeur dans R +, continue et dérivable et vérifie : (i) (a ) 0 = a ln(a) pour 2 R. (ii) Supposons que a>1, alors la fonction 7! a est strictement croissante. (iii) Supposons que 0 <a<1, alors la fonction 7! a est strictement décroissante. Démonstration. 7! a est la fonction composée des deu fonctions 7! ln(a) et y 7! e y. Cette remarque donne la continuité, la dérivabilité les égalités (iv) et (v). Les autres égalités découlent de la propriété ln(e )= et se démontrent en prenant les logarithmes de chaque membre. Comme on l a fait pour la fonction eponentielle, on peut étendre la défintion du logarithme. Définition 1.4 Soit a>0, a 6= 1. On pose, pour 2]0, +1[, log a () = ln() ln(a). On montre alors facilement les propriétés suivantes à l aide des propriétés de la fonction logarithme népérien. Proposition 1.11 La fonction 7! log a () est définie sur ]0, +1[ et vérifie : (ii) log e () =ln() pour tout >0 ; (iii) log a (a) =1; (iv) log a (y)=log a () +log a (y) pout tout, y>0 ; (v) log a ( q )=q log a () pout tout q 2 Q et pour tout >0 ; (vi) log a (b) log b (a) =1pour a, b>0. Puis concernant son sens de variation, nous avons les propriétés suivantes Proposition 1.12 La fonction 7! log a () est la fonction réciproque de 7! a. La fonction 7! log a () est définie sur ]0, +1[, continue et dérivable et vérifie : (i) (log a ) 0 () = 1, pour >0 ; ln(a) (ii) lorsque a>1, alors la fonction 7! log a () est strictement croissante tandis que si 0 <a<1, alors la fonction 7! log a () est strictement décroissante. Finalement, nous terminons avec les propriétés asymptotiques en 0 + et +1. Proposition 1.13 La fonction 7! log a () est définie sur ]0, +1[ et vérifie : Limites en 0 + (i) si a>1, on a alors!0 + log a () = 1, (ii) si 0 <a<1, on a alors!0 + log a () =+1. Limites en +1 (i) si a>1, on a alors!1 log a () =1 (ii) si 0 <a<1, on a alors!1 log a () = 1.

7 Fonctions logarithme et eponentielle 43 On termine cette section avec une généralisation se la fonction puissance qui s appuie sur les définitions précédentes. Définition 1.5 Pour tout >0 et tout 2 R, la fonction puissance -ième est la fonction 7! f = = e ln(). Elle est continue, dérivable sur ]0, +1[, de dérivée 1 en. Enfin elle est strictement croissante (resp. décroissante) si >0 (resp. si <0). Notons bien que la fonction f est seulement définie sur ]0, +1[ car il faut pouvoir calculer ln(). Cependant, pour fié, le domaine de définition de f peut changer dans le cas où est un entier. Attention pour rationnel il faudra dans certains cas distinguer deu notations : par eemple 7! 1/3 qui est définie sur ]0, +1[ et 7! 3p qui est définie sur R. La fonction puissance 7! f () = est continue et dérivable sur ]0, +1[ comme composée et on a : f () 0 = 1. Les variations de f dépendent donc du signe de. Les ites en 0 et +1 sont immédiates. L étude des branches infinies conduit à distinguer trois cas : <0 (fonction décroissante de +1 vers 0), 0 < <1 (fonction croissante de 0 vers +1, tangente verticale en 0 et branche parabolique de direction asymptotique l ae des abscisses) et >1 (fonction croissante de 0 vers +1, tangente horizontale en 0 et branche parabolique de direction asymptotique l ae des ordonnées). Graphe de la fonction 7! f () =. 1.4 Autre application : les fonctions hyperboliques Définition 1.6 Sinus hyperbolique Etant donné un réel, on appelle sinus hyperbolique de le réel, noté sh(), tel que sh() = e. 2 La fonction sinus hyperbolique, notée sh, est la fonction qui, à tout réel, associe son sinus hyperbolique sh(). Proposition 1.14 La fonction sinus hyperbolique est définie sur R, et impaire. Il suffit de l étudier sur R +. Sur R +, la fonction sh est croissante, tend vers +1 lorsque! +1 et sh(0) = 0. e

8 44 Quelques fonctions usuelles Graphe de la fonction 7! sh(). Définition 1.7 Cosinus hyperbolique Etant donné un réel, on appelle cosinus hyperbolique de le réel, noté ch(), tel que ch() = e + e. 2 La fonction cosinus hyperbolique, notée ch, est la fonction qui, à tout réel, associe son cosinus hyperbolique ch(). Proposition 1.15 La fonction cosinus hyperbolique est définie sur R, et paire. Il suffit de l étudier sur R +. Sur R +, la fonction ch est croissante, tend vers +1 lorsque! +1 et ch(0) = 1. Graphe de la fonction 7! ch(). Définition 1.8 Tangente hyperbolique Etant donné un réel, on appelle tangente hyperbolique de le réel, noté th(), tel que th() = sh() ch() = e e e + e.

9 Comparaison des fonctions puissances, ep et ln 45 La fonction tangente hyperbolique, notée th, est la fonction qui, à tout réel, associe sa tangente hyperbolique th(). Proposition 1.16 La fonction tangente hyperbolique est définie sur R, et impaire. Il suffit de l étudier sur R +. Sur R +, la fonction th est croissante, tend vers +1 lorsque! +1 et th(0) = 0. Graphe de la fonction 7! th(). On pourra s entraîner à tracer le graphes de ces fonctions à partir de leur propriétés et de quelques valeurs. 2 Comparaison des fonctions puissances, ep et ln On calcule les ites suivantes : Théorème 2.1 Pour tout et on a Démonstration. On a ln () = 2 Q +, l ensemble des nombres rationnels strictement positifs, ln () =0.!+1 ln()! ln( ) = D où le résultat car / tend vers +1 avec et ln(x) X!+1 X =0.

10 46 Quelques fonctions usuelles Théorème 2.2 Pour tout 2 Q +, on a!+1 e =0. Démonstration. On sait que ln = ln() ln(a) = ln() a ln(a) qui tend vers 1 quand tend vers +1 car ln(x) X!1 X =0. Le résultat s en déduit en passant à l eponentielle. Théorème 2.3 Pour tout 2 Q +, on a!0 ln() =0. Démonstration. On a ln() = ln(x) X en posant =1/X. Le résultat découle alors de la Proposition 1.2 car X tend vers +1 quand tend vers 0. Ces ites sont à connaître et à utiliser! 3 Fonctions circulaires réciproques /2,/2] est continue et stricte- La restriction de la fonction sin I0 sur l intervalle I 0 =[ ment croissante. D après la Proposition 6.3, sin I0 ([ /2,/2]) = [ 1, 1] Cette restriction établit donc une bijection de I 0 sur [ 1, 1]. On appelle fonctions circulaires réciproques les quatre fonctions suivantes : Définition 3.1 On appelle fonction Arc sinus, la fonction réciproque de la fonction sinus sur l intervalle [, ] 2 2 arcsin : [ 1, 1] 7! [ 2, 2 ] 7! arcsin().

11 Fonctions circulaires réciproques 47 On a donc On a la propriété suivante y =arcsin(), =sin(y) et y 2 [ 2, 2 ]. 1, 1[ et stric- Proposition 3.1 La fonction Arc sinus est impaire, continue, dérivable sur ] tement croissante, de dérivée arcsin 0 1 () = p 1 2 Démonstration. Soit y 2 [, ] et 2 [ 1, 1] tel que y = arcsin( ). On a donc = 2 2 sin(y). Puisque la fonction sin est impaire, elle vérifie sin(y) = sin( y) d où =sin( y) avec y 2 [ ]. Par définition de la fonction réciproque arcsin, il vient alors 2, 2 y = arcsin() et donc arcsin() = y = arcsin( ), ce qui signifie que la fonction arcsin est impaire. Puisque la fonction sin est continue, sa fonction réciproque l est aussi. Enfin, pour y 2 ], [ et y =arcsin(), on a puisque cos(y) ne s annule pas, 2 2 arcsin 0 () = 1 cos(y). Puisque y 2], [, on a cos(y) > 0 et donc 2 2 arcsin 0 () = 1 cos(y) = 1 p 1 sin 2 (y) = 1 p 1 2. Graphe de la fonction arcsin.

12 48 Quelques fonctions usuelles Définition 3.2 On appelle fonction Arc cosinus, la fonction réciproque de la fonction cosinus sur l intervalle [0,] arccos : [ 1, 1] 7! [0,] 7! arccos() On a donc y =arccos(), =cos(y) et y 2 [0,]. On a la propriété suivante que l on démontre de manière analogue à la Proposition 3.1 Proposition 3.2 La fonction Arc cosinus est continue, dérivable sur ] décroissante, de dérivée arccos 0 1 () = p 1 2 1, 1[ et strictement Graphe de la fonction arccos. Définition 3.3 On appelle fonction Arc tangente, la fonction réciproque de la fonction tangente sur l intervalle ], [ 2 2 arctan :] 1, 1[ 7! ] 2, 2 [ 7! arctan() Autrement dit y =arctan(), =tan(y) et y 2] 2, 2 [. On a la propriété suivante que l on démontre de manière analogue à la Proposition 3.1 Proposition 3.3 La fonction Arc tangente est impaire, continue, dérivable et strictement croissante, de dérivée arctan 0 () =

13 Fonctions circulaires réciproques 49 Graphe de la fonction arctan. Définition 3.4 On appelle fonction Arc cotangente, la fonction réciproque de la fonction cotangente sur l intervalle ]0,[ arccotan :] 1, 1[ 7! ]0,[ 7! arccotan() On a la propriété suivante que l on démontre de manière analogue à la Proposition 3.1 Proposition 3.4 La fonction Arc cotangente est continue, dérivable et strictement décroissante, de dérivée arccotan 0 1 () = 1+ 2 Important. Dans ces définitions, il est important de bien retenir le domaine de définition des fonctions réciproques et surtout l intervalle d arrivée.