CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT. par. Stéphane Bijakowski

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1 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT par Stéphane Bjakowsk Résumé. Nous prouvons un résultat de classcté pour les formes modulares de Hlbert surconvergentes. Nous utlsons pour démontrer ce résultat la méthode du prolongement analytque, ntalement développée par Buzzard et Kassae. Abstract. We prove n ths paper a classcalty result for overconvergent Hlbert modular forms. To get ths result, we use the analytc contnuaton method, rst used by Buzzard and Kassae. Table des matères Introducton Varété et formes de Hlbert L'espace de modules Formes modulares de Hlbert Normes Opérateurs de Hecke Dénton Proprétés Décomposton des opérateurs de Hecke Normes Classcté de formes surconvergentes Prolongement automatque Séres de Kassae Fn de la démonstraton Compactcatons et prncpe de Koecher Compactcaton toroïdales Prncpe de Koecher Références

2 2 STÉPHANE BIJAKOWSKI Introducton Coleman [Co] a prouvé qu'une forme modulare surconvergente sur la courbe modulare, de nveau wahorque en p, de pods k enter, propre pour un certan opérateur de Hecke U p, état classque s la pente, c'est-à-dre la valuaton de la valeur propre pour l'opérateur de Hecke (normalsée de telle façon que v(p) = 1), état nféreure à k 1. Ce résultat a été obtenu grâce à une connassance approfonde de la cohomologe rgde de la courbe modulare. Des travaux de Buzzard [Bu] et de Kassae [Ka], utlsant des technques de prolongement analytque, ont donné une nouvelle démonstraton de ce théorème. Ans, Buzzard a étudé la dynamque de l'opérateur de Hecke, et montré que ses térés accumulaent le tube supersnguler dans un vosnage strct arbtrarement pett du leu ordnare multplcatf. Une forme modulare surconvergente étant déne sur un tel vosnage strct, l'équaton f = a 1 p U p f permet de prolonger f au tube supersnguler dès que la pente est non nulle. La théore du sous-groupe canonque a ensute perms à Kassae de décomposer l'opérateur de Hecke sur le leu ordnare-étale (et même sur un vosnage strct de celu-c) en U p = Up good + Up bad, où Up good paramètre les supplémentares du sousgroupe unversel ne rencontrant pas le sous-groupe canonque, et Up bad l'unque supplémentare égal au sous-groupe canonque. L'opérateur Up good est à valeurs dans un vosnage strct du tube ordnare-multplcatf, donc agt sur les formes modulares surconvergentes, alors que Up bad stablse le leu ordnare-étale. Kassae a alors dén une sére f n, approxmant a n p Up n f. Plus précsément, on a, lorsque cela a un sens, f n = a n p Up n f a n p (Up bad ) n f. La condton v(a p ) < k 1 mplque alors que la norme de l'opérateur a 1 p Up bad est strctement nféreure à 1, et donc que la sére f n converge sur le leu ordnare-étale. Cela permet donc d'étendre f à toute la courbe modulare. Ce résultat de classcté a été entendu aux formes modulares de Hlbert par pluseurs auteurs. La méthode orgnale de Coleman, qu étude la cohomologe de la courbe modulare, a récemment été utlsée par Johansson [Jo] ans que par Tan et Xao [T-X]. La méthode du prolongement analytque a été utlsée par Sasak dans le cas où le nombre premer p est totalement décomposé [Sa], Tan [T] pour certans cas où p est non ramé, et Pllon-Stroh [P-S1] pour le cas non ramé général. Remarquons également que la méthode de prolongement analytque a été utlsée pour des varétés plus générales non ramées dans [BPS]. Nous étendons c la méthode du prolongement analytque au cas général des formes modulares de Hlbert. Sot F un corps totalement réel de degré d, et (p) = π e la décomposton de l'déal engendré par p dans O F, l'anneau des enters de F. On note également f le degré résduel de π. Sot Σ = {σ Hom(F, C p ), v(σ(π )) > 0} ; les ensembles Σ forment une partton de Σ = Hom(F, C p ), et sont de cardnal e f. Le pods d'une forme modulare de Hlbert est alors un caractère de Res F/Q G m, que l'on peut vor comme un élément de Z Σ. Nous avons alors le théorème suvant :

3 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 3 Théorème. Sot f une forme de Hlbert surconvergente de nveau Iwahorque en p, de pods κ = (k σ ), où σ parcours l'ensemble Σ. Supposons que f sot propre pour les opérateurs de Hecke U π, de valeurs propres a, et que l'on at pour tout Alors f est classque. e (v(a ) + f ) < nf σ Σ k σ Parlons à présent de l'organsaton du texte. Dans la parte 1, nous ntrodusons la varété de Hlbert, ans que les formes modulares sur cette varété. Dans la parte 2, nous ntrodusons les opérateurs de Hecke, et ntrodusons des décompostons de ces opérateurs sur certanes zones. Nous démontrons le théorème de classcté dans la parte 3, et la parte 4 est consacrée à la constructon de compactcatons toroïdales, et au prncpe de Koecher. 1. Varété et formes de Hlbert 1.1. L'espace de modules. Sot F un corps totalement réel de degré d 2 ; on note O F son anneau des enters, O F le groupe des untés et O,+ F le sous-groupe des untés totalement postves. Sot p un nombre premer et (p) = g =1 πe sa décomposton en déaux premers dans F. On notera f le degré résduel de π, et π = π. Sot F π la compléton de F suvant l'déal π, et K une extenson ne de Q p contenant la clôture normale des F π. On notera O K l'anneau des enters de K. Un schéma abélen de Hlbert-Blumenthal (SAHB) sur un schéma S est un schéma abélen A sur S de dmenson d mun d'un plongement O F End(A). Sot N 3 un enter premer à p. Dénton 1.1. Sot δ la dérente de F, c un déal fractonnare de F. On note c + le cône des éléments totalement postfs. Sot Y c Spec O K l'espace de modules dont les S-ponts sont les classes d'somorphsmes des (A,, φ, H) avec : A S un SAHB. : δ 1 Z µ N A[N] est une structure de nveau µ N. φ est une c-polarsaton, c'est-à-dre que φ est un homomorphsme O F -lnéare c P (A), où P (A) est l'ensemble des morphsmes symétrques f : A A t, tel que φ envoe c + dans le cône des polarsatons φ ndut un somorphsme A c A t. H est un sous-groupe de rang p f de A[π] stable par O F, avec f = f, tel que H[π ] sot de rang p f pour tout. Comme A[π] = A[π ], on a H = H, avec H = H[π ]. Pour tout, H est un sous-groupe de rang p f de A[π ], avec une acton de O F /π F p f : c'est un schéma en F p f -vectorel de rang 1, c'est-à-dre un schéma en groupes de Raynaud.

4 4 STÉPHANE BIJAKOWSKI D'après [D-P], on dspose d'un ouvert Yc R Y c qu est le leu où le fasceau conormal ω A du SAHB unversel est un O F Z O Yc -module lbre de rang 1 (c'est le leu de Rapoport). Le complémentare de cet ouvert est un fermé de codmenson plus grande que 2 dans Y c. Pour dénr les formes modulares entères de pods général, nous aurons beson de moder la bre spécale de Y c. Nous nous nsprons du modèle de Pappas-Rapoport [P-R], ans que de la constructon fate dans [Sa2]. Rappelons que le fasceau conormal de A en sa secton unté est un O F Z O Yc -module. Commençons par décrre la O K -algèbre O F Z O K. Notons Fπ nr l'extenson maxmale non ramée de Q p contenue dans F π. Sot également Σ = Hom(F π, K) et S = Hom(Fπ nr, K). Sot ϖ une unformsante de F π, et E (u) le polynôme mnmal de ϖ sur Fπ nr (c'est un polynôme d'esensten de degré e ). Pour σ S, on notera E σ (u) = σe (u) ; c'est un polynôme à coecents dans O K. Alors on a O F Z O K = g O Fπ Zp O K = =1 g =1 (O nr F π Zp O K )[u]/e (u) = g =1 σ S O K [u]/e σ (u) S S est un O K -schéma, et A S un SAHB, alors on peut décomposer le fasceau ω A en g ω A = ω A,σ =1 σ S où ω A,σ est un O S -module localement lbre de rang e mun d'une acton de O K [u]/e σ (u), pour tout et σ S. Pour σ S, notons σ 1,..., σ e les éléments de Σ dont la restrcton à Fπ nr est σ. Dénton 1.2. Sot X c l'espace de modules sur O K dont les S-ponts sont les couples (A,, φ, H, (ω A,σ,j ),σ S,0 j e ) avec (A,, φ, H) Y c (S) Pour tout et σ S, le fasceau ω A,σ est mun de la ltraton 0 = ω A,σ,0 ω A,σ,1 ω A,σ,e = ω A,σ tel que pour tout j, ω A,σ,j est localement un O S -facteur drect stable par O F de ω A,σ de rang j. pour tout 1 j e, ω A,σ,j /ω A,σ,j 1 est un O S -module localement lbre de σ j rang 1, et l'acton de O F sur ce module se factorse par O F O Fπ OK O S. Le foncteur X c est représentable par un schéma, que l'on notera encore X c ([Sa2]). On dspose d'un morphsme d'oubl X c Y c, qu est surjectf. Au-dessus du leu de Rapoport, c'est un somorphsme ; en partculer, on a X c OK K Y c OK K. Sot Cl(F ) + le quotent des déaux fractonnares par les déaux engendrés par les

5 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 5 éléments totalement postfs, et {c } un ensemble de représentants premers à p. On note X = X c. On notera X K = X K, X la compléton formelle de X le long de sa bre spécale, et X rg la bre générque rgde de X. Remarque 1.3. Le schéma X c dère de Y c par un éclatement. En eet, le morphsme X c Y c est bratonnel (c'est un somorphsme au-dessus du leu de Rapoport), et d'après [Da], un morphsme projectf bratonnel entre schémas quasprojectfs ntègres noethérens est un éclatement. De plus, le sous-schéma fermé relatf à cet éclatement est contenu dans le complémentare du leu de Rapoport, donc en partculer dans la bre spécale de Y c. S on note X c,rg et Y c,rg les espaces rgdes assocés respectvement à X c et Y c, on en dédut donc que X c,rg Y c,rg. Remarque 1.4. Nous aurons pu ajouter dans la dénton de X c une condton de ltraton pour le fasceau ω H (ce qu est fat dans [Sa2]). Nous aurons obtenu un espace plus réguler, mas notre dénton est susante dans notre cadre. Dans [Fa], Fargues a dén une foncton degré pour les schémas en groupes ns et plats déns sur l'anneau des enters d'une extenson ne de Q p. Nous utlsons cette foncton pour décrre l'espace rgde X rg. Dénton 1.5. On dént la foncton Deg : X rg g =1 [0, f ] par Deg(A,, φ, H, ω A,σ,j ) = (deg H ) 1 g où deg est la foncton déne par Fargues dans [Fa]. On notera également Deg : X rg [0, f ] la -ème composante de la foncton Deg. S v = (v 1,..., v g ), avec v [0, f ], on note X v =deg 1 (v) et X v =deg 1 ( [v, f ]). De même, s I = g j=1 I j, où I j est un ntervalle de [0, f j ], on note X I =deg 1 I. Proposton 1.6. S I est un produt d'ntervalles, X I est un ouvert de X rg. S I est de plus compact à bornes ratonnelles, X I est quas-compact. Démonstraton. Cela découle du fat que les fonctons deg H sont des valuatons de fonctons analytques sur X rg. Le leu ordnare-multplcatf est X (f1,...,f g) ; c'est le leu où H est de type multplcatf Formes modulares de Hlbert. Sot Σ =Hom(F, K), et κ = (k σ ) Z Σ. Rappelons que pour 1 g, on a noté Σ = Hom(F π, K) = {σ Σ, v(σ(π )) > 0}, S = Hom(Fπ nr, K), et σ 1,..., σ e les éléments de Σ dont la restrcton à Fπ nr est σ, pour tout σ S. Dénton 1.7. On dént le fasceau nversble ω κ sur X par g e ω κ = (ω A,σ,j /ω A,σ,j 1 ) kσ j =1 σ S j=1

6 6 STÉPHANE BIJAKOWSKI Dénton 1.8. Une forme de Hlbert de pods κ à coecents dans une O K - algèbre C est un élément de H 0 (X Spec C, ω κ ). Remarque 1.9. Au-dessus du leu de Rapoport, le fasceau ω A est un O F Z O X -module lbre de rang 1. S U est un ouvert de ce leu, on peut vor une forme modulare f à coecents dans O K comme une lo fonctorelle, qu à un R-pont (A,, φ, H) de U (on omet la ltraton de ω A, qu est canonque) et une trvalsaton ω : (R Z O F ) ω A assoce un élément f(a,, φ, H, ω) R tel que pour tout λ (R Z O F ) f(a,, φ, H, λω) = λ κ f(a,, φ, H, ω) où λ κ = σ Σ σ(λ) kσ. S U est un ouvert quelconque de X, on peut vor une forme modulare f à coecents dans O K comme une lo fonctorelle, qu à un R-pont (A,, φ, H, ω A,σ,j ) et des somorphsmes de R-modules ω σ : R e ω A,σ respectant la ltraton de ω A,σ pour tout σ S, assoce un élément f(a,, φ, H, ω A,σ,j, ω σ ) R, tel que pour tout couple (l σ ), où l σ est une matrce trangulare supéreure de GL e (R) pour σ S, on at g f(a,, φ, H, ω A,σ,j, l σ ω σ ) = ( e =1 σ S j=1 où les (λ σj ) sont les coecents dagonaux de l σ. λ kσ j σ j )f(a,, φ, H, ω A,σ,j, ω σ ) On note encore ω κ l'analyté de de ce fasceau, qu est un fasceau sur X rg. Nous montrerons dans la parte 4 que, par GAGA et le prncpe de Koecher, on a H 0 (X K, ω κ ) = H 0 (X rg, ω κ ) Dénton L'espace des formes modulares surconvergentes de pods κ est dén comme H 0 (X K, ω κ ) := colm V H 0 (V, ω κ ) où la colmte est prse sur les vosnages strcts V du leu ordnare-multplcatf X (f1,...,f g) dans X rg. On dspose d'une applcaton de restrcton H 0 (X K, ω κ ) H 0 (X K, ω κ ). Cette applcaton est njectve, et l'mage est l'ensemble des formes classques Normes. Nous souhatons dénr une norme sur l'espace des formes modulares. Sot U un ouvert de X rg et f H 0 (U, ω κ ). Le fasceau ω κ étant nversble sur U, on peut dénr comme dans [Ka] une élément f(x) pour tout x U. Rappelons brèvement comment procéder. Sot x U un L-pont, où L est une extenson ne de K. On a donc un morphsme x : Spec L U, qu provent d'un unque morphsme x : Spf O L X. Alors H 0 (Spec L, x ω κ ) = H 0 (Spf O L, x ω κ ) OL L

7 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 7 On dént alors une norme x sur H 0 (Spec L, x ω κ ) en dentant H 0 (Spf O L, x ω κ ) et les éléments de norme plus pette que 1. Alors on dént f(x) := x f x. Dénton La norme de f sur U est déne comme f U := sup f(x) x U Cet élément est a pror nn, mas est n s U est quas-compact. On notera ω κ le fasceau des fonctons de norme plus pette que 1. Rappelons également le lemme suvant, dû à Kassae ([Ka]), qu prouve qu'une forme modulare est déne par ses réductons modulo p n pour tout n. Lemme Sot U un ouvert quas-compact de X rg. On a : ( ) H 0 (U, ω κ ) H 0 (U, ω κ ) OK K lm H 0 (U, ω κ /p n ) OK K 2. Opérateurs de Hecke 2.1. Dénton. Sot c un déal fractonnare, et m un déal premer de O F. On consdère la correspondance C c,cm déne sur K comme sut : c'est l'espace de modules dont les R-ponts sont les (A,, φ, H, ω A,σ,j, L), où (A,, φ, H, ω A,σ,j ) (X c K)(R), et L est un sous-groupe de rang N(m) de A[m] stable par O F et dsjont de H. On dspose de deux projectons p 1 et p 2, respectvement sur X c K et X cm K. La premère projecton p 1 est l'oubl de L, et la projecton p 2 est le quotent par L : p 2 (A,, φ, H, ω A,σ,j, L) = (A/L,, φ, H, ω A,σ,j ), où, φ sont les structures de nveau et polarsaton ndutes par et φ sur A/L, et H est l'mage de H dans A/L. Rappelons que pusque nous travallons sur K, la ltraton ω A,σ,j est déne canonquement. Notons pour tout, σ() l'unque élément tel que c m sot égal à c σ() dans Cl(F ) +, c'est-à-dre qu'l exste un élément x totalement postf avec c m = x c σ(). L'élément x est détermné à un élément de O,+ F près, et nous xerons le chox de ces éléments dans la sute. Le chox de x donne un somorphsme X cm X cσ(). On peut donc vor la projecton p 2 : C c,c m X cm K comme une projecton sur X cσ() K. On note C m = C c,c m ; d'après ce qu précède, on a donc deux projectons p 1, p 2 : C m X K. On note encore p 1 et p 2 les morphsmes C m,rg X rg, où C m,rg est l'espace rgde assocé à C m. Dénton 2.1. L'opérateur de Hecke géométrque U m, dén sur les partes de X rg, est dén par U m (S) = p 2 p 1 1 (S)

8 8 STÉPHANE BIJAKOWSKI Cette correspondance envoe les partes nes dans les partes nes, les ouverts zarskens dans les ouverts zarskens, et les ouverts admssbles quas-compacts dans les ouverts admssbles quas-compacts. Remarque 2.2. Pour dénr l'opérateur U m, nous avons eu beson d'denter X cm et X cσ() à l'ade d'un élément totalement postf x pour tout, dén à une unté totalement postve près. La dénton de cet opérateur dépend donc du chox de ces éléments. De même, on dént l'opérateur de Hecke agssant sur les formes modulares. Rappelons que la projecton p 2 : C m,rg X rg provent des morphsmes C c,c m X cm K, composés avec les somorphsmes X cm K X cσ() K, obtenus grâce aux éléments x. De même, l'élément x ndut un somorphsme H 0 (X cm, ω κ ) H 0 (X cσ(), ω κ ). Cet somorphsme envoe un élément f H 0 (X cm, ω κ ) vers la forme modulare g déne par g(a,, φ, H, ω A,σ,j, ω σ ) = f(a,, x φ, H, ω A,σ,j, ω σ ). Les morphsmes H 0 (X cσ() K, ω κ ) H 0 (X cm K, ω κ ) H 0 (C c,c m, p 2ω κ ) donnent donc un morphsme H 0 (X K, ω κ ) H 0 (C m, p 2ω κ ) (et un mophsme analogue pour les espaces rgdes assocés). Sot π m : A A/L l'sogéne unverselle sur C m ; elle ndut un morphsme π m : ω A/L ω A. Or au-dessus de K on a la décomposton du fasceau ω A en ω A = τ Σ ω A,τ. Pour tout κ Z Σ, le morphsme π m ndut donc un morphsme π κ m : p 2ω κ p 1ω κ Ce derner ndut donc un morphsme H 0 (V, p 2ω κ ) H 0 (V, p 1ω κ ) pour tout ouvert V de C m,rg. Dénton 2.3. Sot U un ouvert de X rg. L'opérateur de Hecke U m agssant sur les formes modulares de pods κ est dén par le morphsme composé U m : H 0 (U m (U), ω κ ) H 0 (p 1 1 (U), p 2ω κ ) πκ m H 0 (p 1 1 (U), p 1ω κ ) N(m) 1 T r p1 H 0 (U, ω κ ) Remarque 2.4. Le terme N(m) 1 sert à normalser l'opérateur de Hecke. Il maxmse l'ntégrablté de cet opérateur, comme le montre un calcul sur les q-développements. Remarque 2.5. Là encore, la dénton de l'opérateur U m dépend des chox des éléments x. Néanmons, s on se restrent aux formes f nvarantes sous l'acton de O,+ F (c'est-à-dre telles que f(a,, ɛφ, H, ω A,σ,j, ω σ ) = f(a,, φ, H, ω A,σ,j, ω σ ) pour tout ɛ O,+ F ), alors cet opérateur est ndépendant du chox des x (vor [P-S2] paragraphe 6 ou [P] paragraphe 1). De même, s on ne restrent pas aux formes nvarantes par cette acton, l'algèbre engendrée par les U m, m déal premer dvsant π, n'est plus nécessarement commutatve.

9 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 9 Remarque 2.6. S l'déal m est premer à pn, on note en général cet opérateur T m. Néanmons, nous utlserons ces opérateurs unquement pour m dvsant p, ce qu juste notre notaton. Dans la sute, nous nous restrendrons aux formes modulares nvarantes par l'acton de O,+ F. Par un abus de notaton, on notera encore H 0 (U, ω κ ) l'algèbre des formes modulares O,+ F -nvarantes de pods κ dénes sur U. On dspose donc en partculer de g opérateurs de Hecke U π1,..., U πg agssant sur ces formes modulares, et l'algèbre engendrée par ces opérateurs est commutatve Proprétés. Ces opérateurs se comportent ben relatvement à la foncton Degré. Proposton 2.7. Sot 1 g, x X rg et y U π (x). Sot (x 1,..., x g ) = Deg(x), et (y 1,..., y g ) = Deg(y). Alors y j = x j pour j. y x De plus, s'l exste y U e π (x) avec Deg(y) = Deg(x), alors x 1 e Z. Démonstraton. Sot x = (A,, φ, H, ω A,σ,j ) et L le sous-groupe de A[π ] correspondant à y. Comme L est dsjont de A[π j ] pour j, on a un somorphsme A[π j ] (A/L)[π j ]. S on décompose H en k H k avec H k A[π k ] pour 1 k g, l'mage de H j dans (A/L)[π j ] est somorphe à H j, donc ont le même degré. Le premer pont est donc véré. De plus, L est un supplémentare générque de H dans A[π ]. S on note H l'mage de H dans (A/L)[π ], on a alors un morphsme H H, qu est un somorphsme en bre générque. D'après le corollare 3 de [Fa], on a deg H deg H, ce qu prouve le second pont. Supposons mantenant qu'l exste y Uπ e (x) avec Deg(y) = Deg(x). Sot L le sousgroupe de A[π e ] correspondant à y. On remarque alors que H et L sont en somme drecte dans A[π e ]. En eet, l'mage H de H dans A/L a le même degré que H par hypothèse. Comme H = (H + L)/L, on en dédut par addtvté de la foncton degré que deg (H + L) = deg H + deg L = deg H + deg L Le morphsme H L H + L conserve donc le degré, et est un somorphsme en bre générque. D'après [Fa], c'est un somorphsme. Les groupes H et L sont donc en somme drecte dans A[π e ]. En partculer, on a A[π ] = H L[π ]. S e état égal à 1, H serat un facteur drect de A[π ], donc de A[p] qu est un BT 1, un Barsott-Tate tronqué d'échelon 1 (c'est-à-dre la p-torson d'un groupe p-dvsble). Le groupe H serat donc également un BT 1, et son degré serat enter. Malheureusement, en général A[π ] n'est pas un BT 1, on sat seulement que A[π e ] en est un. Nous allons prouver que le sous-groupe L en est un également. Sot D le

10 10 STÉPHANE BIJAKOWSKI module de Deudonné correspondant à A[π e ] F q (avec q = p f ), que l'on décompose suvant l'acton de F q en D = f j=1 D j. On dspose du Frobenus F j : D j D j+1 et du Verschrebung V j : D j+1 D j. Ces applcatons vérent F j V j = 0 et V j F j = 0. De plus, A[π e ] étant un BT 1, on a Im F j = Ker V j et Ker F j = Im V j. Nous allons montrer que L est un BT 1. Cette proprété est équvalente à ce que L F q sot un BT 1, sot que Im F j L = Ker V j L pour tout j. Or Ker V j L = Ker V j L = Im V j L. Nous allons donc montrer que Im F j L = Im F j L pour tout j. Par souc de smplcaton des écrtures, nous supprmons l'ndce j ; on a donc des applcatons F, V : D D, et D est un F q -espace vectorel de dmenson 2e. On chost une base (u 1,..., u e, v 1,..., v e ) de D de telle sorte que L corresponde à (u 1,..., u e ) et H à (v 1 ). Cela est ben possble, pusque L et H sont en somme drecte dans A[π e ]. De plus, on suppose la base de D chose de telle sorte que la multplcaton par π envoe u k sur u k 1 et v k sur v k 1. Le fat que les espaces (u 1,..., u k ) et (u 1,..., u k, v 1,..., v k ) soent stables par F, et les somorphsmes A[π j+k ]/[π j ] A[πk ] montrent que la matrce de F dans cette base est de la forme x 1 x 2 x e 0 ɛ 2 ɛ e. x x2.. ɛ2 x 1 0 y 1 y 2 y e. y y2 Sot r l'enter postf tel que x 1 = = x r = 0 et x r+1 0, et s celu vér- ant y 1 = = y s = 0 et y s+1 0. On vot alors que le noyau de F est nclus dans (u 1,..., u e, v 1,..., v s ), et est de dmenson au plus r + s. Or d'après le théorème du rang, et par auto-dualté de A[π e ], on a 2e = dm Ker F + dm Im F = dm Ker F + dm Ker V = 2 dm Ker F, sot dm Ker F = e. D'où r + s e. On vot de plus qu'l exste w 1,..., w e r dans (u 1,..., u e ) tel que (u 1,..., u r, v 1 + w 1,..., v e r+ w e r) sot nclus dans le noyau de F. Par égalté des dmensons, c'est une égalté. Supposons mantenant que s > e r. Alors F v e r+1 (u 1,..., u e r) donc l exste w e r+1 (u 1,..., u e ) tel que v e r+1 + w e r+1 sot dans le noyau de F, ce qu est mpossble par l'égalté précédente. D'où s = e r. Montrons mantenant que Im F L = Im F L. L'ncluson Im F L Im F L est évdente. Sot x D tel que F x L. Rappelons que L = (u 1,..., u e ). D'après ce qu précède, comme y e r+1 0, x (u 1,..., u e, v 1,..., v e r) donc F x (u 1,..., u e r) = Im F L. Nous avons donc montré que L est un BT 1, donc en partculer son degré est enter. Sot L k = L[π k ]. On dspose d'sogénes A A/L 1 A/L e = A/L ; s on y 1

11 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 11 note H,k l'mage de H dans A/L k, on vot que la sute ( deg H,k ) k est crossante. Or par hypothèse H et H,e ont même degré. Les H,k ont donc le même degré que H, et on a pour 0 k < e (A/L k )[π ] = H,k L k+1/l k donc deg L k+1 /L k = f deg H. Cette quantté étant constante, on a donc deg L k = k e deg L, et deg H = f deg L 1 = 1 1 e deg L 1 e Z. Remarque 2.8. La démonstraton de la deuxème parte de la proposton est dérente de celle dans [P]. Elle donne un résultat plus fort, mas se généralse mons faclement à des varétés plus générales que les varétés de Hlbert. On vot en partculer que les opérateurs U π stablsent les espaces X v, pour v = (v j ) et v j [0, f j ]. Ils agssent donc sur les formes modulares surconvergentes. De plus, l'opérateur Uπ e augmente strctement le degré de x s Deg (x) / 1 e Z. En réalté, nous avons une proposton plus forte. Proposton 2.9. Sot 1 g, k un enter comprs entre 0 et f e 1, et α, β deux ratonnels tels que k e < α < β < k+1 e. Posons X, u = Deg 1 ([u, f ]), pour tout réel u. Alors l exste un enter N tel que U N π (X, α ) X, β Démonstraton. Supposons par l'absurde qu'l exste x n X, α et y n Uπ n (x n ) avec Deg (y n ) < β. D'après la proposton précédente, cela entraîne x n X,[α,β] := Deg 1 ([α, β]). Or cet espace est quas-compact ; de plus la foncton X rg R déne par x nf e y U π (x) Deg (y) Deg (x) est contnue, et à valeurs strctement postves sur X,[α,β]. On en dédut qu'elle y attent son mnmum, sot qu'l exste ɛ > 0, avec Deg (y) Deg (x) + ɛ pour tout x X,[α,β] et y U e π (x). Cela mplque donc que Deg (y ne ) nɛ + Deg (x ne ) nɛ + α pour tout n, ce qu est mpossble Décomposton des opérateurs de Hecke. Sot U un ouvert quascompact de X rg. Fxons un élément comprs entre 1 et g, et un élément ratonnel r [0, f ]. On note X, r := {x X rg, Deg (x) r}. Nous voulons découper notre ouvert U suvant le nombre de ponts de U π (x) X, r. Pour tout x = (A,, φ, H, ω A,σ,j ) X rg, sot N(x, r) le nombre de ponts de U π (x) X, r. Dénssons U j := {x U, N(x, r) j} Proposton Les (U j ) forment une sute décrossante d'ouverts quas-compacts, vde à partr d'un certan rang. Démonstraton. Vor [BPS] lemme

12 12 STÉPHANE BIJAKOWSKI Sur U j \U j+1, on a N(x, r) = j. On peut alors décomposer l'opérateur U π ouvert. sur cet Proposton Nous avons la décomposton de U π en Uπ good U bad π sur U j \U j+1, où Uπ bad correspond aux j ponts de X, r, et Uπ good aux autres. Démonstraton. Rappelons que l'opérateur U π est dén à l'ade des morphsmes ns étales p 1, p 2 : C π,rg X rg. De plus, p 1 1 (U j\u j+1 ) est l'unon dsjonte de deux ouverts C good et C bad, où C bad est dén comme le leu où le degré du supplémentare L est supéreur ou égal à f r. La proposton de [BPS] prouve que les restrctons de p 1 à C good et C bad sont nes étales, ce qu permet ben de dénr les opérateurs et Uπ bad. U good π Remarque La décomposton de l'opérateur U π selon le nombre de mauvas supplémentares n'est pas possble sur tout l'ouvert U, car les morphsmes dé- nssant la correspondance désrée ne sont pas ns. C'est pourquo nous découpons l'ouvert U en dénssant les U j. Le fat que la décomposton de U π sot possble sur chaque cran U j \U j+1 provent d'un résultat de géométre rgde, qu prouve qu'un certan morphsme est ben n étale. Remarquons que U bad π paramètre les supplémentares L de H avec deg L f r. De plus, l est possble de fare surconverger les ouverts U j. Proposton Sot r > r un nombre ratonnel, et U j := {x U, N(x, r ) j}. Alors U j est un vosnage strct de U j dans U, c'est-à-dre que le recouvrement (U j, U\U j) de U est admssble. Démonstraton. Vor [BPS] proposton Pour r > r, on dspose donc de la décomposton de U π sur U j \U j+1, ans que sur U j \U j+1. Ces décompostons coïncdent sur l'ntersecton des deux ensembles. Il est possble de généralser cette décomposton à Uπ N pour tout enter N. Théorème Sot N 1 et r [0, f ] un ratonnel. Il exste un ensemble n totalement ordonné S N {0, 1,..., L(N)}, avec L(N) ndépendant de U, et une sute décrossante d'ouverts quas-compacts (U j (N)) j SN de U avec U L(N) (N) =, tels que pour tout 0 j L(N) 1, on peut décomposer la correspondance Uπ N sur U j (N)\U j+1 (N) en avec : U N π = ( N 1 k=0 U N 1 k π T 0 = U good π,j,n T k ) TN

13 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 13 T k = U good π,j k,n U π bad,j k 1,j k,n... Uπ bad pour 0 < k < N,j,j 1,N j 1 S N 1,...,j k S N k T N = Uπ bad,j N 1,N Uπ bad,j N 2,j N 1,N... Uπ bad,j,j 1,N j 1 S N 1,...,j N 1 S 1 de telle manère que les mages des opérateurs U good π (j S,j,N k) sont ncluses dans X, r = {x X rg, Deg (x) r} les opérateurs Uπ bad (j S,j,l,N k, l S k 1 ) et Uπ bad (j S,j,N 1) sont obtenus en quotentant par un sous-groupe L de degré supéreur à f r. Enn, s (U j (N)) est la sute d'ouverts de U obtenue pour r > r, alors U j (N) est un vosnage strct de U j (N) dans U pour tout j. Démonstraton. La constructon des ensembles S N ans que des ouverts (U j (N)) j SN a été fate dans le théorème de [BPS]. En eet, on vére faclement que les déntons données dans la preuve de ce théorème s'adaptent dans le cas présent. Il est possble d'obtenr une décomposton de l'opérateur U π sur chaque cran U j (N)\U j+1 (N). Cela permet donc de construre les dérents opérateurs du théorème avec les proprétés attendues. Enn, la preuve que l'ouvert U j (N) obtenu pour r > r est un vosnage strct de U j (N) est également analogue à celle donnée dans le théorème cté Normes. Pour démontrer le théorème de classcté, nous aurons beson d'un calcul de normes de ces opérateurs de Hecke. Rappelons que la norme d'un opérateur T : H 0 (T (U), F) H 0 (U, F) est dén par T U := nf { λ R >0, T f U λ f T (U) f H 0 (T (U), F) } Proposton Sot T un opérateur dén sur un ouvert U, égal à U π, Uπ good ou Uπ bad. On suppose que cet opérateur ne fat ntervenr que des sous-groupes L de A[π ] avec deg L c, pour un certan c 0. Alors T U p f c nfτ Σ kτ Démonstraton. Sot m = π, x = (A,, φ, H, ω A,σ,j ) X rg (K) et L A[m] un supplémentare de H[m] stable par O F. Alors le morphsme π m : A A/L donne une sute exacte de O K Z O F -modules 0 ω A/L π m ω A ω L 0 En décomposant cette sute exacte selon les éléments de S k pour tout 1 k g, on obtent pour σ S k π m,σ 0 ω A/L,σ ω A,σ ω L,σ 0 De plus, πm,σ est un somorphsme s σ / S, et σ S v(det πm,σ) =deg L. Pusque l'on travalle avec une varété abélenne déne sur O K, qu est plat sur O K, le module ω A,σ est canonquement ltré par suvant les éléments de Σ dont la restrcton à Fπ nr

14 14 STÉPHANE BIJAKOWSKI est σ. La ltraton (ω A,σ,j est donc canonque. Rappelons que ω A,σ,j est un O K - module lbre de rang j, qu est un facteur drect de ω A,σ, et tel que l'acton de O F sur ω A,σ,j /ω A,σ,j 1 se factorse par σ j. On obtent de même une ltraton canonque ω A/L,σ,j de ω A/L,σ. Le morphsme πm,σ respecte cette ltraton ; on note λ σ,j le détermnant de πm,σ,j : ω A/L,σ,j/ω A/L,σ,j 1 ω A,σ,j /ω A,σ,j 1. S u σ désgne le détermnant de πm,σ, on a donc e u σ = j=1 En utlsant les notatons de la parte 2.1, on veut calculer la norme du morphsme π κ m : p 2ω κ p 1ω κ. Il sut de calculer cette norme pont par pont. Or au-dessus de x, la norme de ce fasceau est égal à π κ m x = λ σ,j e σ S j=1 λ kσ j σ,j En eet, calculer la norme de ce morphsme au-dessus de x revent à calculer la norme du morphsme ndut entre les fasceaux déns sur le schéma formel X audessus de x. D'après ce qu précède, ce derner morphsme est la multplcaton par e σ S j=1 λkσ j σ,j. On en dédut que πm κ x = p e e σ S j=1 v(λσ,j)kσ j p nf τ Σ k τ σ S j=1 v(λσ,j) Or e j=1 v(λ σ,j) = v(u σ ), et σ S v(u σ ) =deg L. Pusque le degré de L est supéreur ou égal à c, on obtent que la norme de π κ m : H 0 (U, p 2ω κ ) H 0 (U, p 1ω κ ) est nféreure à p c nfτ Σ kτ, pour tout ouvert U de C m,rg. 3. Classcté de formes surconvergentes Cette parte est consacrée à la démonstraton du théorème prncpal. Théorème 3.1. Sot f une forme modulare surconvergente de pods κ Z Σ. Supposons que f sot propre pour les opérateurs de Hecke U π, de valeurs propres a, et que l'on at pour tout 1 g Alors f est classque. e (v(a ) + f ) < nf σ Σ k σ Une forme modulare est déne sur un espace du type X (f1 ɛ,...,f g ɛ), pour un certan ɛ > 0. Pour montrer que f est classque, nous allons tout d'abord prolonger f à tout X rg. Le prolongement se fera drecton par drecton, c'est-à-dre que l'on prolongera f à Deg 1 ([0, f 1 ] [f 2 ɛ, f 2 ] [f g ɛ, f g ]), pus à

15 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 15 Deg 1 ([0, f 1 ] [0, f 2 ] [f 3 ɛ, f 3 ] [f g ɛ, f g ]), et ans de sute. Chacune de ses étapes se démontrant de manère analogue, nous ne détallerons que la premère, c'est-à-dre le prolongement à Deg 1 ([0, f 1 ] [f 2 ɛ, f 2 ] [f g ɛ, f g ]) Prolongement automatque. Sot f une forme modulare surconvergente vérant les hypothèses du théorème 3.1. Elle est donc déne sur X (f1 ɛ,...,f g ɛ), pour un certan ɛ > 0. Pour tout ntervalle I, notons U I := Deg 1 (I [f 2 ɛ, f 2 ] [f g ɛ, f g ]). La forme f est donc déne sur U [f1 ɛ,f 1]. Nous allons prolonger f à U ]f1 1 e 1,f 1]. Proposton 3.2. Il est possble de prolonger f à U ]f1 1 e 1,f 1]. Démonstraton. Sot α un ratonnel avec 0 < α < 1 e 1. D'après la proposton 2.9, l exste une enter N tel que U N π 1 (U [f1 α,f 1]) U [f1 ɛ,f 1] La foncton f α = a N 1 U N π 1 f est donc déne sur U [f1 α,f 1], et est égale à f sur U [f1 ɛ,f 1]. Nous noterons donc encore f cette foncton. De plus, les (U [f1 α,f 1]) pour 0 < α < 1 e 1 forment un recouvrement admssble de U ]f1 1 e 1,f 1]. On peut donc étendre f à ce derner ntervalle. Remarque 3.3. Pour démontrer cette proposton, nous avons seulement utlsé le fat que la valeur propre a 1 état non nulle Séres de Kassae. Dans cette parte, nous prolongeons la forme f à U [0,f1]. Comme les térés de l'opérateur U π1 n'augmentent pas strctement le degré de H 1 sur cet ouvert, la méthode de la parte précédente ne s'applque pas. Nous allons construre des séres f n, analogues de celles ntrodutes par Kassae dans [Ka], qu convergeront vers f. Pour cela, nous utlserons la décomposton de l'opérateur U π1 réalsée dans la parte 2.3. Sot ɛ un réel strctement postf tel que v(a 1 ) + f 1 < ( 1 e 1 ɛ) nf σ Σ1 k σ. Cela est possble d'après les hypothèses du théorème 3.1. Sot r un nombre ratonnel avec f 1 1 e 1 < r < f 1 1 e 1 + ɛ, et U := U [0,r]. Sot N 1 un enter ; d'après le théorème 2.14, on peut trouver une sute (U j ) j SN d'ouverts de U, et une décomposton de Uπ N 1 sur chaque cran U j \U j+1. De plus, l est possble de fare surconverger arbtrarement cette sute d'ouverts. En eet, sot (r (k) ) une sute strctement crossante de ratonnels avec r (0) = r, r (k) < f 1 1 e 1 + ɛ pour tout k, et (U (k) j ) la sute d'ouverts correspondante à r (k). Alors U (k+1) j est un vosnage strct de U (k) j dans U pour tout j, k. Notons V j = U (j 1) j pour tout j 1, et V j = U (j) j pour tout 0. Alors V j est un

16 16 STÉPHANE BIJAKOWSKI vosnage strct de V j dans U. Nous avons décomposé l'opérateur Uπ N 1 sur V j \V j+1 en avec T 0 = U good π 1,j et U N π 1 = N 1 k=0 Uπ N 1 k 1 T k TN et pour 0 < k < N T k = U good π 1,j k Uπ bad 1,j k 1,j k... Uπ bad 1,j,j 1 j 1 S N 1,...,j k S N k T N = Uπ bad 1,j N 1 Uπ bad 1,j N 2,j N 1... Uπ bad 1,j,j 1 j 1 S N 1,...,j N 1 S 1 Les mages de U good π 1,j et de U good π 1,j k (j k S N k ) sont ncluses dans U [r (j),f 1] U [r,f1], et les opérateurs Uπ bad, U bad 1,,j π 1,j ne font ntervenr que des supplémentares L de degré supéreur à f 1 r (j) > 1 e 1 ɛ. Dénton 3.4. Les séres de Kassae sur V j \V j+1 sont dénes par N 1 f N,j := a 1 1 U good π f + 1,j a1 k 1 Uπ bad 1,j,j 1... Uπ bad 1,j k 1,j k U good j 1 S N 1,...,j k S N k k=1 π 1,j k f Cette foncton est ben déne, pusque les opérateurs U good π 1,j sont sot nuls, auquel cas leur acton sur f donne 0, sot à valeurs dans U [r,f1] et f est déne sur cet espace. Ce derner espace étant quas-compact, f y est bornée, dsons par M. La proposton 2.15 permet de majorer la norme des opérateurs a 1 1 U p,j,k bad : la norme de ces opérateurs est nféreure à u 0 = p f1+v(a1) ( 1 e 1 ɛ) nf σ Σ1 k σ < 1 Lemme 3.5. Les fonctons f N, sont unformément bornées. Démonstraton. On a a k 1 1 Uπ bad 1,j,j 1... Uπ bad 1,j k 1,j k U good π 1,j k f V j \V j+1 u k 0 a 1 1 U good π 1,j k f U bad π 1,j k 1,j...U bad k π 1,j,j (V 1 j \Vj+1) a 1 1 M pf1 car la norme de U good π 1,j k est majorée par p f1. On peut donc majorer la foncton f N,j par f N,j V j \V j+1 a 1 1 pf1 M ce qu prouve que les fonctons f N,j sont unformément bornées. Pusque ces fonctons sont bornées, nous pouvons supposer qu'elles sont entères, qutte à multpler f par une constante. Nous allons mantenant recoller ces fonctons sur U. Lemme 3.6. Soent j, k S N et x (V j \V j+1) (V k \V k+1). Alors (f N,j f N,k )(x) u N 0 M

17 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 17 Démonstraton. La sére de Kassae évalue la foncton f en certans ponts de Uπ N 1 (x) avec les règles suvantes : s un pont est dans U [f1 1 e +ɛ,f 1 1], l est toujours prs en compte, s'l est dans U [0,r] l n'est jamas prs en compte. La dérence entre deux séres ne peux donc porter que sur des ponts de Uπ N 1 (x) dont le degré de H 1 est comprs entre r et f 1 1 e 1 + ɛ. De manère plus précse, supposons que x = (A,, φ, H, ω A,σ,j ). Alors ls exstent un enter k 0, et pour tout 1 k un élément ɛ { 1, 1}, des sous-groupes L,1 A[π 1 ], L,l+1 (A/L,l )[π 1 ] qu sont des supplémentares de l'mage de H 1, et tels que pour toute secton non nulle ω de ω κ, on at f N,j (x, ω) f N,k (x, ω) = p Nf1 a N 1 k ɛ f(a/l,n,, φ, H, ω,n ) où la sute (ω,l ) est détermnée par l'équaton π,l ω,l+1 = ω,l avec π,l : A/L,l A/L,l+1 (en posant ω,0 = ω et L,0 = 0). De plus, on a deg L,l > 1 e 1 ɛ pour tous, l et deg L,N 1 e 1 r pour tout. Le calcul sur les normes des opérateurs de Hecke (lemme 2.15) montre que l'on a (f N, f N,j )(x) p Nf1+Nv(a1) N( 1 e ɛ) nf k g, 1 f U[r,f1 ] un 0 M =1 Proposton 3.7. Il exste un enter A N telle que les fonctons (f N,j ) j SN se recollent en une foncton g N H 0 (U, ω κ /p A N ). Démonstraton. La décomposton de l'ouvert U étant ne, sot L tel que V L+1 sot vde. La foncton f N,L est donc déne sur V L. La foncton f N,L 1 est déne sur V L 1 \V L. De plus, d'après le lemme précédent, on a f N,L 1 f N,L (V L V L 1 )\V L un 0 M Sot A N tel que u N 0 M p A N ; comme u 0 < 1, la sute (A N ) tend vers l'nn. Les fonctons f N,L 1 et f N,L sont donc égales modulo p A N sur (V L V L 1 )\V L. Comme (V L V L 1, V L 1 \V L) est un recouvrement admssble de V L 1, celles-c se recollent en une foncton g N,L 1 H 0 (V L 1, ωκ /p A N ). De même, g N,L 1 et f N,L 2 sont égales (modulo p A N ) sur (V L 2 V L 1 )\V L 1, et donc se recollent en g N,L 2 H 0 (V L 2, ωκ /p A N ). En répétant ce processus, on vot que les fonctons f N,j se recollent toutes modulo p A N sur V 0 = U, et dénssent donc une foncton g N H 0 (U, ω κ /p A N ). Proposton 3.8. Les fonctons (g N ) dénssent un système projectf dans lm H 0 (U, ω κ /p m ). Démonstraton. Nous allons prouver que g N+1 et g N sont égales modulo p A N. Sot x U ; nous avons construt en x les séres de Kassae f N,j et f N+1,k. Or le terme

18 18 STÉPHANE BIJAKOWSKI f N+1,k provent d'une décomposton de U N+1 π 1 U N+1 π 1 = N l=0 du type U N l π 1 T N + T N+1 Nous pouvons donc écrre f N+1,k = h 1 +h 2, la foncton h 1 étant assocée à l'opérateur N 1 l=0 U π N 1 l 1 T N et h 2 à T N. Or la foncton h 1 est en réalté une sére de Kassae pour une certane décomposton de Uπ N 1 : le lemme précédent donne donc (f N,j h 1 )(x) p A N De plus, on a h 2 = a N 1 1 Uπ bad 1,j,j 1... Uπ bad 1,j N 1,j N U good j 1 S N,...,j N S 1 π 1,j N f donc comme les opérateurs a 1 1 U bad π 1,,l ont une norme nféreure à u 0, h 2 (x) u N 0 p f1 a 1 1 M p A N avec A N = A N f 1 v(a 1 ). Qutte à remplacer A N par A N, on vot donc que la réducton de g N+1 modulo p A N est égal à g N. En utlsant le glung lemma (lemme 1.12), on vot donc que les fonctons g N dénssent une foncton g H 0 (U, ω κ ). Ben sûr, g coïncde avec f sur U ]f1 1 e 1,f 1]. En eet, s x U ]f1 1 e 1,f 1], l exste N 0 tel que U N π 1 (x) U [f1 ɛ,f 1] pour N N 0, et la sére de Kassae est alors statonnare égale à Nous pouvons donc étendre f à U [0,f1]. a N0 1 U N0 π 1 f = f 3.3. Fn de la démonstraton. Nous avons étendu f à U [0,f1] = Deg 1 ([0, f 1 ] [f 2 ɛ, f 2 ] [f g ɛ, f g ]). En utlsant le fat que f sot propre pour U π2, et en utlsant la relaton vérée par la valeur propre a 2, la même méthode montre que l'on peut étendre f à Deg 1 ([0, f 1 ] [0, f 2 ] [f 3 ɛ, f 3 ] [f g ɛ, f g ]). En répétant ce processus, on vot donc que l'on peut étendre f à tout X rg. Comme d > 1, le prncpe de Koecher et GAGA permettent de montrer que H 0 (X K, ω κ ) = H 0 (X rg, ω κ ) ce qu permet de conclure que f est classque. Nous détallons ces résultats dans la parte suvante.

19 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT Compactcatons et prncpe de Koecher 4.1. Compactcaton toroïdales. Dans [Ra], Rapoport a construt des compactcatons de la varété de Hlbert sans nveau, ans que pour le nveau Γ(N). Sa méthode est très générale, et s'adapte à d'autres structures de nveau. Mentonnons que la constructon de compactcatons dans le cas de structure de nveau Γ 1 (N) a été fat dans [D]. Fxons un déal c un déal de O F ; nous allons dénr les pontes c-polarsées. S a est un déal, on note a = δ 1 a 1. Dénton 4.1. Une (R, N, π)-ponte C est une classe d'équvalence de couples (a, b, L, λ, β, H) où a et b sont deux déaux avec a b = c. L est un réseau de F 2 avec une sute exacte 0 a L b 0 λ : 2 L c est un somorphsme O F -lnéare (polarsaton). β : N 1 δ 1 /δ 1 N 1 L/L est un morphsme njectf. H est un sous-groupe de π 1 L/L de rang p f, tel que H = H, avec H un sous-groupe de π 1 L/L de rang p f, pour 1 g. Des couples (a, b, L, λ, β, H) (a, b, L, λ, β, H ) sont équvalents s'l exste ξ F avec a = ξa, b = ξb, un somorphsme f : L L respectant les sutes exactes dénssant L et L tel que L'somorphsme 2 L 2 L ndut un automorphsme de c donné par un élément de O,+ F (untés totalement postves). Les structures de nveau pour L et L sont somorphes va f. S C = (a, b, L, λ, β, H) est une ponte, on note b l'déal contenant b, égal à l'mage de β dans N 1 b/b (pour tout enter m, on a une sute exacte 0 m 1 a /a m 1 L/L m 1 b/b 0). Sot n l'exposant du groupe b /b. De même, sot b l'déal tel que b /b sot égal à l'mage de H dans π 1 b/b. Remarquons que H est sot somorphe à π 1 a /a, sot à π 1 b/b. On notera b le plus pett déal contenant b et les b. Dénton 4.2. Une ponte (a, b, L, λ, β, H ) appartent à la même composante que C s'l exste ξ F avec a = ξa, b = ξb, un somorphsme f : L L respectant les sutes exactes dénssant L et L, la polarsaton, la structure de nveau π, et tel qu'l exste un automorphsme φ de N 1 L/L ndusant l'dentté sur N 1 a /a, et la multplcaton par a (Z/nZ) sur b /b, avec β = f φ β

20 20 STÉPHANE BIJAKOWSKI On notera C la classe de la composante de C. Notons également O C,1 = {u O F u (1 + bb 1 ) (1 + Nb b 1 )} O C,1 = {u O F u ((Z/nZ) + bb 1 ) (1 + Nb b 1 )} Sot H C,1 = O C,1 /O C,1. Nous utlsons ces notatons pour être cohérent avec [D]. Nous allons mantenant dénr les cartes locales pour la ponte C. Sot P = ab (noté X dans [D]), S = S C = G m P. Sot Σ C un évental complet de P+, l'ensemble des éléments totalement postfs de P. Sot σ Σ C. On peut lu assocer des espaces S σ, S σ et S 0 σ (vor [D]) ; on notera S S Σ C l'mmerson torque obtenue en recollant les mmersons S S σ, et S Σ la compléton de S C Σ C le long de S Σ C\S. La constructon de Mumford applquée à (P, a, b) donne alors un schéma sem-abélen G σ sur S σ, mun d'une acton de O F, et dont la restrcton à S 0 σ est un SAHB mun d'une c-polarsaton que l'on notera G 0 σ. De plus, pour tout déal m, on a une sute exacte 0 (a/ma)(1) G 0 σ[m] m 1 b/b 0 où (1) désgne le dual de Carter d'un schéma en groupes. Nous allons mantenant assocer à G 0 σ des structures de nveau. La structure de nveau Γ 1 (N) a été fate dans [D]. Remarquons qu'obtenr cette structure de nveau nécesste d'unformser la ponte, et de se placer sur Z[ 1 N, ζ C], où ζ C est une racne de l'unté d'ordre n, l'exposant de b /b. Décrvons comment obtenr la structure de nveau Γ 0 (π). Cela revent à se donner un sous-groupe H 0 de G 0 σ[π ] de rang p f pour tout. S le sous-groupe H relatf à la ponte C est égal à π 1 a /a, on dént H 0 comme l'mage de (a/π a)(1) dans G 0 σ[π ]. Snon, H est somorphe à π 1 b/b = b /b. La constructon de Mumford applquée à (P, a, b ) donne un schéma sem-abélen G σ, sur S σ, mun d'une acton de O F, et dont la restrcton à S 0 σ est un SAHB mun d'une c = ab -polarsaton que l'on notera G 0 σ,. Par fonctoralté, on a une sogéne G 0 σ G 0 σ,. On dspose alors d'une sute exacte 0 b /b G 0 σ[π ] G 0 σ, [π ] 0 On dént alors H 0 comme l'mage de b /b dans G0 σ[π ]. De plus, les varétés abélennes données par la constructon de Mumford étant ordnares, le fasceau conormal de G 0 σ est un O F Z O 0 S -module localement lbre de σ rang 1, donc est canonquement ltré. Nous avons donc dén un pont de X c. Plus précsément, l exste un dagramme cartésen G 0 σ Spec(O K [ζ C ]) A S 0 σ Spec(O K [ζ C ]) X c

21 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 21 où A est le SAHB unversel sur X c. Nous allons recoller les cartes locales avec X c, de manère à obtenr une compactcaton de ce derner espace. Dénton 4.3. Un évental admssble Σ = (Σ C ) C est la donnée pour chaque classe d'somorphsme de (R, N, π)-composante C d'un évental complet Σ C de P+, stable par O C,1, et ne contenant qu'un nombre n d'élément modulo cette acton. Voc l'analogue du prncpal théorème de [Ra] et de [D]. Théorème 4.4. Sot Σ = (Σ C ) C un évental admssble. Alors l exste un Spec(O K )- schéma Xc Σ, une mmerson ouverte X c Xc Σ, et un somorphsme de schémas formels (S Σ C/O C,1 ) Spec(O K[ζ C ] H C,1 ) Xc Σ C où X Σ c désgne le complété formel de X Σ c le long de sa parte à l'nn. Démonstraton. La démonstraton est analogue à celle du théorème 7.2 de [D]. Celle-c utlse le théorème de géométre rgde démontré par Rapoport dans [ Ra] (théorème 3.5). La vércaton des hypothèses de ce théorème utlse la constructon de Raynaud (vor dans [D] par exemple), qu décrt les varétés abélennes sur L, un corps de fractons d'un anneau de valuaton dscrète, qu ont mauvase réducton sem-stable déployée. Décrvons rapdement les deux condtons à vérer pour applquer le théorème de Rapoport. La premère demande d'étuder les L-ponts de S 0 σ 1 et S 0 σ 2 qu donnent la même varété abélenne A sur L, où σ j est un cône d'une certane composante C j. La descrpton de Raynaud, ans que les structures de nveau sur A montrent que les deux composantes C 1 et C 2 sont somorphes, et que les cônes σ 1 et σ 2 sont d'ntersecton non vde. Cela permet de vérer le premer pont. Pour la seconde hypothèse, l faut vérer que s on a des morphsmes f : Spec L S 0 σ, et g : Spec R X c (R est l'anneau des enters de L), compatble par le morphsme Spec L Spec V, alors on peut étendre f à Spec R. Or ces morphsmes donnent des SAHB A sur L, et A sur R tels que A = A R L. Le morphsme f donne une composante C, et la constructon de Mumford permet de décrre la varété abélenne A. la descrpton de Raynaud permet quant à elle de décrre la varété abélenne A. La compatblté entre la constructon de Mumford et celle de Raynaud permettent alors d'denter ces deux descrptons, et d'étendre le morphsme f à Spec R. Nous noterons X c = X Σ c, même s la constructon de cet espace dépend d'un chox de Σ. Enonçons quelques proprétés de cet espace. Proposton 4.5. Il exste un unque schéma en groupes sem-abélen A X c qu étende le SAHB unversel A sur X c. Il est mun d'une acton de O F, et c'est un tore sur X c \X c.

22 22 STÉPHANE BIJAKOWSKI Démonstraton. L'exstence de A découle de la constructon, pusque nous avons construt un schéma sem-abélen G σ Spec(O K [ζ C ]) sur S σ Spec(O K [ζ C ]) pour toute ponte C. Pour démontrer l'uncté, remarquons tout d'abord que le bord X c \X c est nclus dans le leu de Rapoport. Il sut donc de démontrer l'uncté du prolongement de Xc R à R X c, où X R R c est l'ouvert de Rapoport de X c, et de même pour X c. Le schéma X c est lsse donc normal, et Xc R est un ouvert dense de cet espace. On peut alors applquer la proposton 2.7 de [F-C] pour conclure. Proposton 4.6. Le schéma X c est propre sur O K. Démonstraton. Il sut de vérer le crtère valuatf de propreté. Sot R un anneau de valuaton dscrète de corps des fractons L. Comme X c est un ouvert dense de X c, l sut de montrer que tout morphsme f : Spec L X c peut se prolonger en un morphsme Spec R X c. S la varété abélenne A sur L donnée par f est à bonne réducton sur R, l exste une varété abélenne A 0 sur R telle que A = A 0 R L. La polarsaton φ, et les structures de nveau µ N et Γ 0 (π) pour A donnent une polarsaton et des structures de nveau pour A 0. De plus, la ltraton de ω A, qu est un L-espace vectorel, donne une ltraton pour ω A0. Il sut en eet de prendre l'mage nverse de la ltraton de ω A par le morphsme ω A0 ω A0 R L = ω A. On peut donc dénr un morphsme Spec R X c qu étend f. Supposons mantenant que la varété abélenne A a mauvase réducton. La théore de géomètre rgde de Raynaud (vor [D] par exemple) fournt alors deux déaux a et b tels que c = ab 1, et A rg = (G m a ) rg /b rg. Les structures de nveau pour A dénssent alors une (R, N, π)-composante C. La descrpton de Raynaud fournt en plus un élément ξ (ab) +. Un translaté de ξ par O C,1 appartent à un cône σ ΣC utlsé pour la constructon de X c. Le morphsme f se factorse donc par la carte locale S 0 σ Spec(O K [ζ C ]) X c. Le morphsme Spec L S 0 σ Spec(O K [ζ C ]) S σ Spec(O K [ζ C ]) s'étend alors nécessarement en un morphsme Spec R S σ Spec(O K [ζ C ]). Le morphsme étend alors le morphsme f. g : Spec R S σ Spec(O K [ζ C ]) X c Nous noterons X = X c ; c'est encore un schéma propre sur O K Prncpe de Koecher. Comme l exste un schéma sem-abélen A sur X, le fasceau ω A se prolonge en ω A sur X. De plus, A est un tore sur le bord X\X ; ce derner espace est donc dans le leu de Rapoport. Proposton 4.7. Le fasceau ω κ se prolonge sur X.

23 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT 23 Comme le degré de F est supéreur ou égal à 2, on dspose du prncpe de Koecher. Nous nous nsprons de la démonstraton de [D], théorème 8.3. Théorème 4.8. Pour tout O K -algèbre R, on a H 0 (X Spec R, ω κ ) = H 0 (X Spec R, ω κ ) Démonstraton. Sot f H 0 (X Spec R, ω κ ) ; nous voulons montrer que f peut s'étendre en un élément de H 0 (X Spec R, ω κ ). Il sut de montrer que f peut s'étendre aux pontes de X c, pour tout c. Sot donc C une telle ponte, et P l'déal fractonnare assocé. La forme modulare f possède un q-développement méromorphe le long de S Σ C : f = a ξ q ξ ξ P avec a ξ R. Il n'exste qu'un nombre n de ξ / P + avec a ξ 0, et pour tout u O C,1, on a a ξ = 0 a u 2 ξ = 0. Supposons qu'l exste ξ 0 / (P + {0}), avec a ξ0 0. Alors a u2 ξ 0 est également non nul pour u O C,1. Or u2 ξ 0 n'appartent pas à P + {0} s u O C,1, et comme d 2 et ξ 0 0, l'ensemble {u 2 ξ 0, u O C,1 } est nn d'après le théorème des untés de Drchlet. On obtent donc une contradcton. La forme f a donc un prolongement holomorphe en la ponte C. En applquant ce résultat à R = O K /p n pour tout n, en prenant la lmte, pus en tensorsant par K, on obtent que H 0 (X rg, ω κ ) = H 0 (X rg, ω κ ) où X rg est la bre générque rgde de la compléton formelle de X le long de sa bre spécale. De plus, le schéma X étant propre sur O K, on a par GAGA (vor [Gr] parte 5.1) H 0 (X Spec K, ω κ ) = H 0 (X rg, ω κ ) En résumé, nous avons le résultat suvant. Théorème 4.9. L'espace des formes modulares, H 0 (X K, ω κ ), est égal à H 0 (X rg, ω κ ). Références [BPS] S. BIJAKOWSKI, V. PILLONI et B. STROH, Classcté de formes modulares surconvergentes, prépublcaton (2012). [Bu] K. BUZZARD, Analytc contnuaton of overconvergent egenforms, Jour. Amer. Math. Soc. 16 (2002). [Co] R. COLEMAN, Classcal and overconvergent modular forms, Invent. Math. 124 (1996). [Da] J.-F. DAT, Géométre Algébrque 2, Cours de M2 avancé à Pars 6 ( ). [D-P] P. DELIGNE et G. PAPPAS, Sngulartés des espaces de modules de Hlbert, en les caractérstques dvsant le dscrmnant, Compos. Maths. 90 (1994),