16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

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1 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes Covergece simple et covergece uiforme O désige pr f N ue suite de foctios de I ds R ou C. Défiitio 16.1 O dit que l suite de foctios f N coverge simplemet vers ue foctio f sur I si, pour tout réel x I l suite f x N est covergete ds R ou C. L covergece simple de f N vers f sur I se trduit doc pr : x I, ε > 0, x,ε N x,ε, f x f x < ε l ottio x,ε sigifit que l etier x,ε déped de x et de ε. E utilist les résultts reltifs ux suites umériques, o motre fcilemet les résultts éocés vec le théorème qui suit. Théorème 16.1 Soiet f N et g N deux suites de foctios qui coverget simplemet sur I vers f et g respectivemet. 1. L suite f N coverge simplemet vers f.. Pour tous sclires λ, µ, l suite λf + µg N coverge simplemet vers λf + µg. 3. Si les foctios f et g sot à vleurs positives vec f g à prtir d u certi rg, lors f g. 4. Si les f sot à vleurs positives et croisstes à prtir d u certi rg, lors f est croisste. 5. Si les f sot à vleurs positives et covexes à prtir d u certi rg, lors f est covexe. Exemple 16.1 Cosidéros l suite de foctios f N défiie sur I = R + pr f x = x. O vérifie fcilemet que cette suite coverge simplemet vers l foctio f défiie 1 + x pr : { 1 si x > 0 f x = 0 si x = 0 Pour ε ]0, 1[ doé et x > 0, o ur f x f x = x < ε

2 366 Suites de foctios pour x > 1 ε 1 ε, soit pour x,ε = E + 1. ε εx Supposos qu il existe u etier ε idépedt de x I tel que f x f x < ε pour tout 1 ε. O ur lors pour tout x > 0 et ε, < ε et fist tedre x vers 0 pour 1 + x fixé, o boutit à 1 ε, ce qui est ps. Il est doc impossible de trouver u tel ε vlble pour tout x I ou même pour tout x > 0. O dit ds ce cs que l covergece est ps uiforme sur R + ou R +,. L exemple précédet ous coduit à l défiitio suivte. Défiitio 16. O dit que l suite de foctios f N coverge uiformémet vers f sur I si l suite sup f x f x est covergete vers 0. N Remrque 16.1 L bore supérieure sup f x f x est u élémet de R + = R + {+ }. L covergece uiforme de f N vers f sur I se trduit doc pr : ε > 0, ε N ε, x I, f x f x < ε L covergece uiforme se trduit ussi grphiquemet e dist que pour ε le grphe de f est ds ue bde de lrgeur ε symétrique pr rpport u grphe de f fire u dessi. Avec les iéglités f x f x sup f x f x, o déduit que l covergece uiforme etrîe l covergece simple. Exemple 16. E repret l exemple précédet, o pour x > 0, f x f x = ϕ x où ϕ y = 1 pour y > 0 vec sup ϕ y = 1, ce qui doe sup f x f x = 1 et l 1 + y y>0 x>0 covergece est ps uiforme sur R +, et e coséquece elle est ps uiforme sur R +. Mis sur J = [, + [ vec > 0, o : sup f x f x = x du fit de l décroisste de l foctio x x sur R+. Avec lim que l covergece est uiforme sur J. Remrque 16. Si I est ue réuio d itervlle, I = p k=1 I k = 0, o déduit l covergece uiforme de f N sur I est équivlete à l covergece uiforme sur chcu des I k. E effet si f N coverge uiformémet vers f sur I, vec : sup f x f x sup f x f x k o déduit l covergece uiforme sur I k. Si f N coverge uiformémet vers f sur chcu des I k, vec : p sup f x f x sup sup f x f x sup f x f x 1 k p k k o déduit l covergece uiforme sur I. k=1

3 Covergece simple et covergece uiforme 367 Pour motrer qu ue suite de foctios covergece uiformémet, o peut procéder comme suit : étudier l suite umérique f x N pour prouver ue évetuelle covergece simple vers ue foctio f ; étudier les vritios sur l itervlle I de chque foctio f f e vue de détermier s bore iférieure et s bore supérieure, ce qui permet d obteir sup f x f x, cette étude est fcilitée si les foctios e questios sot dérivbles, ds l mesure où les rcies de f f se clculet fcilemet ; ou lors essyer de détermier ue suite de réels positifs ε N de limite ulle telle que f x f x ε pour ssez grd et tout x I, ce qui etrîer sup f x f x ε pour ssez grd. E prtique, il vut mieux opter pour ce type de méthode de trvil. Exercice 16.1 Motrer que si f N est ue suite de foctios uiformémet covergete vers ue foctio f sur u itervlle I, lors l suite de foctios si f N coverge uiformémet vers si f sur I. Solutio 16.1 Résulte de : si f x si f x f x f x sup f x f x. Le résultt qui suit ous doe u critère permettt de prouver l o covergece uiforme. Théorème 16. Si f N est suite de foctios qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur I, lors pour toute suite x N de poits de I, l suite f x f x N coverge vers 0. Démostrtio. Résulte des iéglités : f x f x sup f x f x vlbles pour tout. Pour motrer l o covergece uiforme, il suffit doc de trouver ue suite x N de poits de I telle que l suite f x f x N e coverge ps vers 0 e suppost bie sur que l covergece simple vers f été prouvée. Si l suite x N coverge vers x, vec : o ur f x f x f x f x + f x f x lim f x = f x si l covergece est uiforme vec f cotiue. Exercice 16. O défiit l suite de foctios f N sur R pr : x N, x R, f x = si. 1. L suite f N coverge-t-elle simplemet sur R, et si oui, vers quelle foctio?. L covergece de l suite f N est-t-elle uiforme sur R? 3. L covergece de l suite f N est-t-elle uiforme sur [ 1, 1]?

4 368 Suites de foctios Solutio Pour x = 0, o f 0 = 0 pour tout N et l suite réelle f 0 N est costte égle à 0. x Pour x 0, o f x = si x et l suite réelle f x + N coverge vers x. E défiitive, l suite de foctios f N coverge simplemet sur R vers l foctio f : x x.. Pour tout N, l foctio g défiie sur R pr : x g x = f x f x = si x x est impire et dérivble de dérivée g x = cos 1 0, cette dérivée s ult ux poits x,k = kπ où k Z vec g x,k = kπ. O doc k π pour tout k Z et sup g x = +. x R L covergece est doc ps uiforme sur R. sup g x = x [ kπ,kπ] 3. Sur [ 1, 1], pour N l foctio g est décroisste et sup g x = g 1 x [ 1,1] 0. L covergece est doc uiforme. Exercice 16.3 Soit k u etier positif ou ul et f N défiie pr f x = xk x Pour quelles vleurs de k cette suite coverge-t elle uiformémet sur R?. Pour quelles vleurs de k cette suite coverge t elle uiformémet sur toute prtie borée R? Solutio Pour tout réel x, o lim f x = 0, doc f N coverge simplemet vers l foctio ulle. Pour k = 0, et x ds R, o 0 f x = uiformémet vers 0 sur R et sur toute prtie borée R. Pour tout etier strictemet positif k, o f x = sup f x = x R 1 x + 1 et l suite f N coverge 1 si k = 1, 1 si k =, + si k >. xk 1 x + k x + k et O déduit doc que l suite f N coverge uiformémet vers 0 sur R uiquemet pour k = 0 et k = 1.. Soit > 0. Pour tout x [, ], o : 1 f x si k = 1, f si k. O e déduit lors que l suite f N coverge uiformémet vers 0 sur tout prtie boré R pour tout etier positif ou ul k.

5 Covergece simple et covergece uiforme 369 Exercice 16.4 Soit α > 0 et f N l suite de foctios défiie sur R + pr f x = α xe x. 1. Doer ue coditio écessire et suffiste pour que cette suite coverge uiformémet sur R +.. Étudier l covergece uiforme sur tout itervlle [, + [ vec > 0. Solutio 16.4 L foctio f est dérivble vec : f 0 = 0, f x = α e x 1 x lim f x = 0 et f à vleurs positives. 1. Pour 1, l suite f N coverge simplemet sur R + vers l foctio ulle pour tout α > 0. 1 Avec sup f = f = α 1 pour 1, o déduit que l covergece est uiforme x R e sur R + si et seulemet si α ]0, 1[.. Pour tout > 0, il existe u etier tel que 1 < pour tout et sup f x = x [,+ [ f. O e déduit que l suite f N coverge uiformémet sur tout itervlle [, + [ vec > 0. Exercice 16.5 Soit f ue foctio cotiue de [0, 1] ds R telle que f 1 = 0. Motrer que l suite de foctios f N défiie sur I = [0, 1] pr f x = x f x coverge uiformémet vers 0 sur I. Solutio 16.5 Lissée u lecteur. Exercice 16.6 O désige pr f N l suite de foctios défiies sur R + pr : N, x R +, f x = x si x e x. 1. Motrer que cette suite coverge simplemet sur R + vers l foctio ulle.. Motrer que l foctio ϕ : t ϕ t = te t est décroisste sur [1, + [. 3. Motrer que l covergece de l suite f N vers 0 est uiforme sur l itervlle [ π, + [. 4. O se propose mitet de motrer [ que l covergece de l suite f N vers 0 est ecore uiforme sur l itervlle 0, π ]. Clculer, pour tout 1, l dérivée de l foctio f. b Motrer que : c Motrer que, sur l itervlle x ] 1, π ] ] 0, 1 ], f x > 0. d E déduire les vritios de f sur l itervlle, f s ule e u uique poit x [ 0, π ]. e Motrer que l suite f N coverge uiformémet vers 0 sur Solutio 16.6 ] 1, π [. [ 0, π ] et sur R +.

6 370 Suites de foctios 1. Pour x = 0, o f 0 = 0 pour tout N et lim f 0 = f 0 = 0. Pour x > 0, o f x x vec e lim = 0 et doc x e lim f x x = f x = 0.. L foctio ϕ est idéfiimet dérivble sur R et pour tout t 1, o : ϕ t = e t 1 t 0. Cette foctio est doc décroisste sur [1, + [. 3. Pour tout 1 et x π, o : f x xe x = ϕ x ϕ = e 4. puisque x 1 et ϕ est décroisste sur [1, + [. Comme [ π [ que f N coverge uiformémet vers 0 sur, +. O : lim = 0, o déduit e f x = e x x si x + si x + x cos x = e x 1 x si x + x cos x. ] b Pour x 0, 1 ], les qutités 1 x, si x, x, cos x et e x sot strictemet positives, doc f x > 0. ] 1 c Pour x, π [, o : f x = e x cos x 1 x t x x x 1 ] 1 vec e x cos x 1 x < 0. Le sige de f x sur, π [ de g x = t x x x 1. Avec 1 g x = cos x + 1 x 1 déped doc de celui > 0, o déduit que g est strictemet croisste et vec lim g x =, lim g x = +, o x 1 + x π ] 1 déduit que, sur, π [, g s ule e u uique poit x et o g x < 0 pour ] [ 1 ] x, x, g x > 0 pour x x, π [. Tet compte de : π f = e π 1 π < 0, ] 1 o déduit que sur, π ], f s ule uiquemet e x vec f x > 0 pour ] [ 1 ] x, x et f x < 0 pour x x, π ].

7 Le critère de Cuchy uiforme 371 d De l étude précédete, o[ déduit que f est strictemet croisste sur [0, x ] et strictemet décroisste sur x, π ] π vec f 0 = 0 et f = π e π > 0. O doc : sup f x = f x. x [0, π ] e Avec f 1 > 0 et : f = e cos o t x > x pour tout x t 1 < 0 ] 0, π [, o déduit que x 0 < f x si D où l covergece uiforme de f N sur Avec sup R + f = mx de f N sur R Le critère de Cuchy uiforme [ 0, π 0. ]. ] 1, [ et sup f, sup f, o e déduit l covergece uiforme [0, π ] [ π,+ [ O rppelle qu ue suite réelle ou complexe est covergete si, et seulemet si, elle vérifie le critère de Cuchy. Pour ce qui est de l covergece uiforme, o doe l défiitio suivte. Défiitio 16.3 O dit que l suite de foctios f N vérifie le critère de Cuchy uiforme sur I si : ε > 0, ε N ε, m ε, x I, f x f m x < ε Dire que f N vérifie le critère de Cuchy uiforme sur I reviet ecore à dire que : ε > 0, ε N ε, m ε, sup f x f m x < ε Théorème 16.3 L suite de foctios f N est uiformémet covergete sur I si, et seulemet si, elle vérifie le critère de Cuchy uiforme sur I. Démostrtio. L coditio écessire se déduit de : sup f x f m x sup f x f x + sup f x f m x où f est l limite uiforme de f N. Réciproquemet, supposos que f N soit uiformémet de Cuchy sur I. Pour tout réel ε > 0, il existe u etier ε tel que : ε, m ε, x I, f x f m x < ε Pour x fixé ds I, l suite f x N est lors de Cuchy ds R ou C, elle coverge doc vers u sclire f x. E fist tedre m vers l ifii ds 16.1, o déduit que : x I, ε, f x f x < ε, c est-à-dire que l suite f N coverge uiformémet vers f sur I.

8 37 Suites de foctios 16.3 Propriétés des foctios stbles pr covergece uiforme L otio de covergece uiforme est itéresste reltivemet à l cotiuité et l itégrtio de Riem, pour ce qui est de l dérivtio il fut être u peu plus prudet. Théorème 16.4 Si f N est suite de foctios cotiues qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur l itervlle I, lors l limite f est cotiue sur cet itervlle. Démostrtio. Soit ε u réel strictemet positif. O peut trouver u etier tel que : x I, f x f x < ε. Avec l cotiuité de f e x 0 I, o peut trouver u réel η > 0 tel que : x ]x 0 η, x 0 + η [ I, f x f x 0 < ε et e coséquece, pour x ]x 0 η, x 0 + η [ I, o : f x f x 0 f x f x + f x f x 0 + f x 0 f x 0 ce qui prouve l cotiuité de f e x 0, le poit x 0 étt quelcoque ds I. L foctio f est doc cotiue sur I. Remrque 16.3 O e fit motré que si f N est suite de foctios cotiues e x 0 I qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur l itervlle I, lors f est cotiue e x 0. Remrque 16.4 Ce résultt peut être utilisé pour justifier ue o covergece uiforme. Si f N est suite de foctios cotiues qui coverge uiformémet vers ue foctio f o cotiue sur I, lors l covergece e peut être uiforme. Exemple 16.3 L suite f N défiie sur I = [0, 1] pr f x = x qui coverge simplemet vers f défiie pr f x = 0 pour 0 x < 1 et f 1 = 1 e peut coverger uiformémet vers cette foctio sur I. L uiforme cotiuité est ussi coservée pr covergece uiforme. Théorème 16.5 Si f N est suite de foctios uiformémet cotiues qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur l itervlle I, lors l limite f est uiformémet cotiue sur cet itervlle. < 3ε Démostrtio. Soit ε u réel strictemet positif. O peut trouver u etier tel que : x I, f x f x < ε. Avec l uiforme cotiuité de f sur I, o peut trouver u réel η > 0 tel que : x, y I et x y < η f x f y < ε et e coséquece, pour x, y I tel que x y < η, o : f x f y f x f x + f x f y + f y f y ce qui prouve l uiforme cotiuité de f sur I. Le théorème qui suit ous doe u exemple de situtio où l covergece simple d ue suite de foctios cotiues vers ue foctio cotiue etrîe l covergece uiforme. < 3ε

9 Propriétés des foctios stbles pr covergece uiforme 373 Théorème 16.6 Dii Si f N est ue suite croisste de foctios cotiues du segmet I = [, b] ou plus géérlemet d u compct I de R ds R qui coverge simplemet vers ue foctio f cotiue sur I, lors l covergece est uiforme. Démostrtio. Pour tout x I, l suite f x N coverge e croisst vers f x. O doc f x f x 0 pour tout x I et tout N. De l cotiuité des f, o déduit que : N, x I sup f x f x = f x f x et pour tout N : sup f +1 x f x = f x +1 f +1 x +1 f x +1 f x +1 sup f x f x, c est-à-dire que l suite sup f x f x est décroisste et miorée. Elle coverge N doc vers u réel λ 0. Il s git lors de motrer que λ = 0. Ds le compct I, o peut extrire de l suite x N ue sous suite x ϕ qui coverge N vers x I. Soit p u etier positif. L foctio ϕ étt strictemet croisste de N ds N, o peut trouver u etier p tel que ϕ p pour tout p. O lors pour tout p : 0 λ sup fϕ x f x = f xϕ fϕ xϕ f x ϕ fp xϕ. E fist tedre vers l ifii à p fixé et e utilist l cotiuité de f, o déduit que : p N, 0 λ f x f p x. Efi, e fist tedre p vers l ifii, e utilist l covergece de f x N vers f x, o déduit que λ = 0. Remrque 16.5 Le résultt précédet est ps vri si o e suppose plus I compct. Pr exemple, l suite f N défiie sur ]0, 1[ pr f x = 1 coverge e croisst vers l 1 + x 1 foctio ulle et l covergece est ps uiforme sur ]0, 1[ puisque f = 1. Pour ce qui est de l itégrtio des foctios cotiues, o déduit du théorème précédet le résultt suivt. Théorème 16.7 Si f N est suite de foctios cotiues qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur l itervlle I, o lors pour tout segmet [, b] I : f x dx = lim f x dx.

10 374 Suites de foctios Démostrtio. Le théorème précédet ous dit que f est cotiue, elle est doc itégrble sur [, b] et vec : b f x dx f x dx = f x f x dx o le résultt océ. f x f x dx b sup f x f x x [,b] Exercice 16.7 Motrer que l suite de foctios défiie sur R pr f x = cos x dmet ucue sous suite uiformémet covergete sur R. Solutio 16.7 Supposos que l o puisse extrire ue sous suite f ϕ qui coverge uiformémet sur R vers ue foctio f. L foctio f est lors cotiue et pour tous réels < b, N o : f x dx = lim f ϕ x dx = lim 1 [si ϕ b si ϕ ] = 0 ϕ et f est écessiremet l foctio ulle, ce qui est e cotrdictio vec sup x R vec f 0 = lim f ϕ 0 = 1. fϕ = 1 ou E fit le théorème précédet est ecore vlble ds le cdre de l itégrle de Riem. Le poit délict ds l démostrtio est l preuve de l itégrbilité u ses de Riem de l foctio f. O rppelle qu ue foctio f est Riem itégrble sur [, b] si, et seulemet si, elle est borée et pour tout réel ε > 0 o peut trouver deux foctios e escliers g, h telles que g f h et h x g x dx < ε. Théorème 16.8 Si f N est suite de foctios Riem-itégrbles qui coverge uiformémet vers f sur I = [, b], lors l foctio f est Riem itégrble sur I et o : f x dx = lim f x dx. Démostrtio. Soit ε u réel strictemet positif. O peut trouver u etier tel que : x I, f x f x < ε. Comme f est Riem itégrble sur [, b], elle est borée et il existe deux foctios e escliers g, h telles que g f h et h x g x dx < ε. Avec f x ε < f x < ε+f x, o déduit que f est borée sur I et e désigt pr g, h les foctios e escliers défiies pr g = g ε, h = h + ε, o g f h vec : h x g x dx = h x g x dx + ε b < 1 + b ε

11 Propriétés des foctios stbles pr covergece uiforme 375 ce qui prouve que f est Riem itégrble sur I. Puis vec : b f x dx f x dx = f x f x dx o le résultt océ. f x f x dx b sup f x f x x [,b] Remrque 16.6 Le théorème précédet est ps vri ds le cdre des itégrles géérlisées. Pr exemple l suite f N défiie sur R + pr f x = 1 sur [0, ] et f x = 0 pour x > + coverge uiformémet sur R + vers f = 0 et l suite f x dx qui est costte égle à 1 e coverge ps vers 0. Au chpitre suivt ous motreros u théorème de covergece domié pour les suites de foctios cotiues pr morceux sur u itervlle. Avec ce théorème o dispose de coditios suffistes permettt de justifier l églité : lim + 0 f x dx = lim f x O déduit du théorème précédet le résultt suivt reltif ux primitives des foctios cotiues. Théorème 16.9 Si f N est suite de foctios Riem-itégrbles sur I qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur I, lors l suite de foctios F N défiie sur I pr F x = x x 0 f t dt, où x 0 est doé ds I, coverge simplemet sur I vers l foctio F défiie sur I pr F x = x dx N x 0 f t dt et l covergece est uiforme sur tout segmet [, b] I. Démostrtio. Pour l covergece simple de F N, o utilise le théorème précédet et l covergece uiforme sur [, b] se déduit de : x [, b], F x F x β α sup f t f t t [α,β] où [α, β] cotiet x 0,, b. L dérivbilité est ps stble pr covergece uiforme. Nous verros plus loi qu ue foctio cotiue sur u segmet [, b] est limite uiforme d ue suite de polyômes qui sot des foctios idéfiimet dérivbles et il existe des foctios cotiues o dérivbles. Il existe même des foctios cotiues ulle prt dérivbles. Exercice 16.8 Étudier l covergece simple puis uiforme sur R des suites de foctios défiie pr f x = Solutio 16.8 x + 1 et g x = f x.

12 376 Suites de foctios 1. Pour tout réel x, o : lim f x = lim x + 1 = x = x L suite f N coverge doc simplemet sur R vers l foctio f : x x.. Pour tout etier 1 et tout réel x, o : f x f x = x + 1 x = 1 1 x x et vec : x x x + 1 1, o déduit que : f x f x 1 et f N coverge uiformémet vers f sur R. 3. Pour tout etier 1 et tout réel x, o : et : g x = lim g x = g x = x x + 1 { 0 si x = 0 x x = sg x si x 0. Les foctios g étt cotiues sur R, l covergece est ps uiforme puisque l limite g est ps cotiue e 0. O peut ussi vérifier ce résultt e évlut sup g x g x. x R Pour x 0 et 1, o : g x g x = x x x + 1 x = x 1 1 x + 1 x x x + 1 = x x x + 1 = 1 1 x + 1 x + x + 1 Avec : x + 1 x + x + 1 1

13 Propriétés des foctios stbles pr covergece uiforme 377 o déduit que g x g x 1. Puis vec g 0 g 0 = 0 et : lim g x g x = 1 x 0 o déduit que sup g x g x = 1 et g N e coverge ps uiformémet vers g sur x R R. O dispose qud même du résultt suivt coséquece du critère de Cuchy uiforme et du théorème des ccroissemets fiis. Théorème Soit f N ue suite de foctios dérivbles sur I telle que l suite f N coverge uiformémet sur I vers ue foctio g. S il existe u poit x 0 I tel que l suite f x 0 N soit covergete lors l suite f N coverge simplemet vers ue foctio dérivble f telle f = g et l covergece est uiforme sur tout segmet [, b] I. Démostrtio. Avec le théorème des ccroissemets fiis, o peut écrire pour, m etiers turels et x I : f x f m x f f m x f f m x 0 + f x 0 f m x 0 sup f t f m t x x 0 + f x 0 f m x 0, t I Il e résulte que pour [, b] I et [α, β] cotet [, b] et x 0 o : sup x [α,β] f x f m x β α sup f t f m t + f x 0 f m x 0, t I ce qui permet de coclure que l suite f N vérifie le critère de Cuchy uiforme sur [α, β] et doc qu elle coverge uiformémet vers ue foctio f sur cet itervlle et sur [, b]. O défiit isi ue foctio f sur I limite simple de f N. Pour x y ds [, b] et N o peut écrire : et : vec : f x f y x y g x f x f y f x f y x y x y + f x f y f x x y + f x g x. f x f y f x f y = lim m + f m f x f m f y f x g x sup g t f t, t [,b] t [,b] lim sup f m t f t x y m + t [,b] sup g t f t x y t [,b] ce qui doe : f x f y g x x y sup g t f t + f x f y x y f x.

14 378 Suites de foctios Pour ε > 0 doé, o peut trouver u etier tel que sup g t f t < ε et pour cet etier, t [,b] pr défiitio du ombre dérivé, o peut trouver u réel η > 0 tel que pour x y ds [, b] vérifit x y < η o it f x f y f x x y < ε. O doc f x f y g x x y 3ε pour x y ds [, b] tels que x y < η, ce qui sigifie que f est dérivble e x vec f x = g x Approximtio uiforme des foctios cotiues sur u segmet Le fit qu ue foctio cotiue sur u segmet y est e fit uiformémet cotiue ous doe l possibilité de costruire des suites de foctios élémetires e escliers, ffies pr morceux ou polyomiles qui coverget uiformémet vers cette foctio Approximtio uiforme pr des foctios e escliers Théorème Toute foctio f cotiue sur u segmet [, b] est limite uiforme d ue suite de foctios e escliers. Démostrtio. Pour tout etier 1 o défiit ue subdivisio de [, b] e ott : x k = + k b 0 k et à cette subdivisio o ssocie l foctio e escliers f défiie pr f = f et pour k compris etre 0 et 1 : x ]x k, x k+1 ], f x = f x k L foctio f qui est cotiue sur le compct [, b] y est uiformémet cotiue, doc pour ε > 0 doé o peut trouver u réel η > 0 tel que si x, y ds [, b] sot tels que x y η lors f x f y < ε. Pour tout etier b η o lors x k+1 x k = b [x k, x k+1 ], o obtiet pour b η et tout etier k compris etre 0 et 1 η. Scht qu u réel x [, b] est ds l u des itervlles : f x f x = f x f x k ε ce qui prouve l covergece uiforme sur [, b] de f 1 vers f. Ce théorème peut être utilisé pour motrer qu ue foctio cotiue sur u segmet y est Riem itégrble. Théorème 16.1 Toute foctio f cotiue sur u segmet [, b] est Riem itégrble. Démostrtio. O sit déjà qu ue foctio cotiue sur [, b] est borée. E repret l démostrtio précédete, o peut trouver pour ε > 0 ue foctio e escliers f telle que g = f ε < f < f + ε = h, les foctios g, h étt e escliers vec h x g x dx = ε. Il e résulte que f est Riem itégrble sur [, b]. De ce résultt, o déduit que toute foctio cotiue pr morceux sur u segmet [, b] est Riem itégrble.

15 Approximtio uiforme des foctios cotiues sur u segmet 379 Exercice 16.9 Motrer que pour toute foctio f cotiue pr morceux sur u segmet [, b], o : lemme de Riem-Lebesgue. lim f x si x dx = 0 Démostrtio. Il suffit de cosidérer le cs où f est cotiue sur [, b]. Si f N est ue suite de foctios e escliers sur [, b] qui coverge uiformémet vers f, pour tout réel ε > 0, o peut trouver u etier tel que sup f x f x < ε et pour tout x [,b] etier m 1, o : b f x si mx dx b f x f x si mx dx + f x si mx dx b sup f x f x + f x si mx dx x [,b] b ε + f x si mx dx. E désigt pr x 0 = < x 1 < < x p+1 = b ue subdivisio de [, b] telle que sur chque itervlle [x k, x k+1 ] f soit costte égle à y k, o : f x si mx dx = = p xk+1 y k si mx dx p x k y k cos mxk m cos mx k+1 m et : où C = m b f x si mx dx b ε + C m p b y k. O e déduit que f x si mx dx b + 1 ε pour m ssez grd. De mière logue, o lim f x cos x dx = 0 pour f cotiue pr morceux. Exercice Soit f ue foctio cotiue pr morceux sur u segmet [, b]. Clculer l limite suivte : lim f x si x dx Solutio 16.9 E écrivt que si x = 1 cos x, o : lim f x si x dx = 1 f x dx lim f x cos x dx = 1 f x dx.

16 380 Suites de foctios Approximtio uiforme pr des foctios ffies pr morceux et cotiues Théorème Toute foctio f cotiue sur u segmet [, b] est limite uiforme d ue suite de foctios cotiues ffies pr morceux. Démostrtio. E utilist les subdivisios itroduites vec l démostrtio du théorème précédet, o leur ssocie les foctios f défiies pour k compris etre 0 et 1 pr : x [x k, x k+1 ], f x = f x k + x x k x k+1 x k f x k+1 f x k f coïcide vec f ux x k et est ffie sur [x k, x k+1 ]. Ces foctios sot ffies pr morceux et cotiues sur [, b]. E utilist l uiforme cotiuité de f sur [, b], pour ε > 0 doé, o peut trouver u réel η > 0 tel que f x f y < ε pour tous x, y ds [, b] tels que x y η. Pour tout etier et tout etier k compris etre 0 et 1 o lors x k+1 x k = b qu u réel x [, b] est ds l u des itervlles [x k, x k+1 ], o obtiet pour b b η f x f x = f x f x k x x k f x k+1 f x k x k+1 x k f x f x k + x x k f x k+1 f x k x k+1 x k ε + x x k x k+1 x k ε ε, η et scht ce qui prouve l covergece uiforme sur [, b] de f 1 vers f. Ce résultt et le théorème peuvet être utilisés pour prouver, ss théorie de l itégrtio, que toute foctio f cotiue sur u itervlle compct dmet ue primitive. O commece pr vérifier le résultt pour les foctios ffies pr morceux et cotiues. Théorème Toute foctio ffie pr morceux et cotiue sur u segmet [, b] dmet des primitives. Démostrtio. Si ϕ est ffie pr morceux et cotiue défiie pr ue subdivisio = x 0 < x 1 < < x = b et : ϕ x = y k + x x k x k+1 x k y k+1 y k sur [x k, x k+1 ] pour 0 k 1, l foctio φ défiie pr : vec γ 0 = 0 sur [x 0, x 1 ] et : φ x = y 0 x x 0 + x x 0 φ x = y k+1 x x k+1 + x x k+1 x 1 x 0 y 1 y 0 + γ 0 x k+ x k+1 y k+ y k+1 + γ k+1 η :

17 Approximtio uiforme des foctios cotiues sur u segmet 381 sur [x k+1, x k+ ] pour 0 k où γ k+1 est tel que : lim φ x = x k+1 x k y k+1 + y k x x k+1 + γ k = lim φ x = γ k+1 x x + k+1 pour 0 k, est ue primitive de φ. E effet, sur ]x k, x k+1 [, o : φ x = y k + x x k y k+1 y k = ϕ x x k+1 x k et pour x ]x 0, x 1 [ : φ x φ x 0 x x 0 ce qui sigifie que φ x 0 = ϕ x 0. Pour 0 k et x ]x k+1, x k+ [, o : = φ x x x 0 = y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 y 0 x x + 0 φ x φ x k+1 x x k+1 = y k+1 + x x k+1 x k+ x k+1 y k+ y k+1 x x + 0 et pour 0 k 1, x ]x k, x k+1 [, o : ce qui doe : y 0 = ϕ x 0 y k+1 = ϕ x k+1 φ x φ x k+1 = y k x x k + x x k x k+1 x k y k+1 y k + γ k γ k+1 x x k = x x k y k + x k+1 x k y k+1 y k x k+1 x k y k+1 + y k x x k = x x k+1 y k + x k+1 x k y k+1 y k x x k + x k+1 x k y k + x k+1 x k y k+1 y k y k+1 + y k x x k = x x k+1 y k + x k+1 x k y k+1 y k φ x φ x k+1 lim x x x x k+1 k+1 + x x k+1 y k+1 y k x x k = x x k+1 x k+1 x k y k+1 y k + y k+1 + y k = y k+1 y k + y k+1 + y k = y k+1 = ϕ x k+1 Théorème Toute foctio f cotiue sur u segmet [, b] dmet des primitives. Démostrtio. E utilist les ottios itroduites vec l démostrtio du théorème 16.13, o désige pour tout 1 pr F l primitive de f ulle e. L suite F 1 coverge uiformémet sur [, b] vers f et que l suite F 1 coverge vers 0. O déduit lors que l suite F 1 coverge uiformémet sur [, b] vers ue foctio dérivble F et que F = f, c est-à-dire que F est ue primitive de f sur [, b]. O peut lors défiir l itégrle d ue foctio f cotiue sur [, b] pr : où F est ue primitive de f sur cet itervlle. f x dx = F b F

18 38 Suites de foctios Approximtio uiforme de l foctio x x sur [ 1, 1] pr des foctios polyomiles L pproximtio uiforme de l foctio x x sur [ 1, 1] pr des foctios polyomiles ous ser utile pour pprocher uiformémet toute foctio cotiue et ffie pr morceux pr des polyôme sur u segmet [, b]. O itroduit l suite de foctios P N défiie sur R pr P 0 x = 0 et 1, P +1 x = P x + 1 x P x. 16. O vérifie fcilemet pr récurrece sur 0 que chque foctio P est polyomile. Exercice Détermier le degré et le coefficiet domit de chque foctio P. Solutio E désigt pr p le degré de P et pr α le coefficiet domit de P, o p 1 = et α 1 = 1 P 1 x = x et pr récurrece, o vérifie que p = et α = 1. E 1 effet, le résultt est vri pour = 1 et le suppost cquis u rg 1, e utilist 16., o p +1 = p = +1 et α +1 = 1 α = 1 1 = Lemme 16.1 Pour tout N et tout x [ 1, 1], o : x P +1 x = x P x 1 x + P x Démostrtio. O : x P +1 x = x P x 1 x P x x + P x = x P x 1 x + P x Lemme 16. Pour tout N et tout x [ 1, 1], o : 0 P x P +1 x x 1 et l suite P N coverge simplemet sur [ 1, 1] vers x. Démostrtio. Pour le premier poit, o procède pr récurrece sur 0. Pour = 0, o pour tout x [ 1, 1] : 0 = P 0 x P 1 x = x x 1 0 P x P +1 x x 1 Suppost le résultt cquis u rg 0, o P +1 x P x 0. Puis de P +1 x x, o déduit que x P +1 x et P + x P +1 x. Efi vec x P + x = x P +1 x 1 x + P +1 x

19 Approximtio uiforme des foctios cotiues sur u segmet 383 x P +1 x et x + P +1 x milieu de [P +1 x, x ] [0, 1], o déduit que x P + x 0. L ecdremet précédet ous dit que pour tout x [ 1, 1] l suite P x N est à vleurs positive, croisste et mjorée pr x doc covergete vers l x 0. E psst à l limite ds 16., o déduit que l x = x et l x = x. Lemme 16.3 Pour tout N et tout x [ 1, 1], o : 0 x P x x 1 x + 1 Démostrtio. O motre tout d bord pr récurrece sur 0 l ecdremet : 0 x P x x 1 x. Pour = 0, o : 0 x P 0 x = x. E suppost le résultt cquis pour 0, o : x P +1 x = x P x 1 x + P x x 1 x 1 x + P x x 1 x 1 x = x 1 x +1 P x 0. Esuite o étudie l foctio ϕ défiie sur [0, 1] pr ϕ t = t 1 t pour 1 pour = 0, o bie x 1 x = x 1 <. Cette foctio est dérivble vec ϕ 0 = 0, ϕ 1 = 1, : et ϕ ϕ t = 1 1 = t [0, 1] vritios de ϕ. E coclusio, o le résultt suivt. 1 t t. Il e résulte que ϕ t pour tout Théorème L suite P N défiie pr 16. coverge uiformémet sur [ 1, 1] vers l foctio x x. Remrque 16.7 O peut ussi déduire cette covergece uiforme du théorème de Dii. L exercice qui suit ous fourit ue utre fço d pproximer l foctio x x sur [ 1, 1].

20 384 Suites de foctios Exercice 16.1 O désige pr N l suite des coefficiets qui itervieet ds le développemet e série etière de l foctio x 1 x sur l itervlle ] 1, 1[, soit : x ] 1, 1[, 1 x = 1. Motrer que l série + est covergete.. E déduire que : =0 + =0 x. l foctio x 1 x est limite uiforme d ue suite de polyômes sur l itervlle [ 1, 1] ; b l foctio x x est limite uiforme d ue suite de polyômes sur l itervlle [ 1, 1]. Solutio Les coefficiets sot doés pr 0 = 1 et pour 1, = b vec : b =! 1!. E prticuliers, les b sot positifs pour tout Pour tout x ds [0, 1[ et tout 1, o : 0 b k x k + k=1 =1 b x = 1 1 x. E fist tedre x vers 1, o e déduit que pour tout 1, o : 0 b k 1, k=1 ce qui implique l covergece de l série à termes positifs + b et celle de l série +. Si o tete le théorème de d Alembert pour motrer l covergece de b tous les b! sot strictemet positifs, o :b = 1! b +1 b = = = et o e peut ps coclure. E utilist le développemet limité : b +1 = 1 1 b = o = o le théorème de Rbe-Duhmel ous permet de coclure à l covergece de b o 3 > 1. =0

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