Quelles conditions nous permettent de voir ce genre d éclipse?

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1 Quelles conditions nous permettent de voir ce genre d éclipse? Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre.

2 La Lune, tout comme le Soleil, se déplace par rapport aux étoiles dans le ciel. Voici, par exemple, la position de la Lune le 4 mai 01 à 0 h. Voici maintenant sa position par rapport aux étoiles 4 heures plus tard. On remarque que la Lune s est déplacée par rapport aux étoiles. Sur la première image, elle est devant la constellation de la Balance alors qu elle est devant la constellation du Scorpion sur la deuxième image, un déplacement d un peu plus de 1 en 4 heures, ce qui est beaucoup plus rapide que le Soleil, qui se déplace d un peu moins que 1 par jour. La Lune se déplace ainsi par rapport aux étoiles pour revenir à peu près à la même place 7, jours plus tard. Version La Lune

3 Un mouvement près de l écliptique La ligne jaune sur les figures est l écliptique, c est-à-dire le chemin que suit le Soleil dans le ciel. En gros, la Lune suit le même chemin, mais pas tout à fait. Sur son orbite, elle est un peu au-dessus de l écliptique la moitié du temps et un peu au-dessous de l écliptique l autre moitié du temps. La trajectoire de la Lune croise l écliptique à deux endroits, appelés les nœuds. La figure suivante montre la position de la Lune et du Soleil par rapport aux étoiles vue de la Terre sur une période de 9 jours. On remarque premièrement que la Lune se déplace beaucoup plus rapidement que le Soleil. Sur cette image, le Soleil se déplace d un peu moins que 9 alors que la Lune s est déplacée de près de 10. On voit également que la trajectoire de la Lune a croisé la trajectoire du Soleil (qui est l écliptique en jaune). physics.weber.edu/schroeder/ua/moonandeclipses.html La déviation maximale entre la trajectoire de la Lune et l écliptique est au maximum de 5,145 et elle se produit exactement entre les deux nœuds. La différence de trajectoire dans le ciel entre le Soleil et la Lune est due au fait que le plan de l orbite de la Lune n est pas exactement le même que celui de la Terre autour du Version La Lune

4 Soleil. Le plan de l orbite de la Lune est incliné de 5,145 par rapport au plan de l orbite de la Terre. Origine On remarque aussi que la Lune change d aspect durant le mois. C est ce qu on appelle les phases de la Lune. Ce cycle, d une période de 9,5 jours, est illustré sur la figure suivante. Cette figure indique aussi le nom de ces phases de la Lune. Version La Lune 4

5 Ces aspects différents de la Lune sont dus à la position relative de la Lune, de la Terre et du Soleil, ce qui change la façon dont la Lune est éclairée par le Soleil. La figure suivante vous montre ce que l on voit à partir de la Terre selon la position de la Lune autour de la Terre. Vous remarquerez aussi qu on peut voir un peu le reste de la Lune quand elle est dans une phase de croissant très petit (voir l image de gauche). C est ce qu on appelle la lumière cendrée. Pourquoi cette partie de la Lune non éclairée par le Soleil est-elle visible? Ne devraitelle pas être complètement noire puisqu elle n est pas éclairée par le Soleil? lu miere%0cendree-.htm C est la lumière qui se reflète sur la Terre qui éclaire alors cette partie de la Lune. Quand la Lune est dans une phase de croissant, elle est plus près du Soleil que la Terre. Un astronaute sur la Lune verrait donc le côté éclairé de la Terre. On peut dire qu à la surface de la Lune, on peut voir la Terre presque pleine. Tout comme la pleine Lune éclaire un peu la Terre la Version La Lune 5

6 nuit, la pleine Terre éclaire un peu la Lune du côté non éclairé par le Soleil. En fait, la pleine Terre éclaire beaucoup plus la Lune que la pleine Lune éclaire la Terre parce que la Terre est plus grande dans le ciel de la Lune que la Lune l est dans le ciel de la Terre et aussi parce que la Terre reflète beaucoup plus la lumière (5 %) que la Lune (à peine 7 %). Malgré les apparences lors d une pleine Lune, la Lune est un astre plutôt sombre qui reflète très peu de lumière. En fait, même l asphalte reflète mieux la lumière que la Lune. Les heures de visibilité selon la phase La position de la Lune autour de la Terre déterminera les heures de la journée où la Lune est visible. Prenons l exemple de premier quartier pour illustrer comment on trouve ces heures. Au premier quartier, la configuration du système Terre-Lune-Soleil est celle illustrée sur cette figure. Version La Lune 6

7 On voit uniquement la Lune si on est du côté de la Terre où la Lune se trouve. Avec la rotation de la Terre, on arrive du côté où se trouve la Lune à midi, et on quitte le côté où on peut voir la Lune à minuit. Le premier quartier de Lune est donc visible de midi à minuit. À la pleine lune, on a la configuration suivante. On commence à voir la pleine Lune à 18 h, au même moment où la nuit commence. Le lever de la pleine Lune se produit donc en même temps que le coucher du Soleil. On cesse de voir la pleine Lune à 6 h, en même temps que le Soleil se lève. Version La Lune 7

8 Les phases de la Lune se répètent tous les 9,5 jours, alors qu on a dit plus tôt que la Lune revient à la même position par rapport aux étoiles tous les 7, jours. La période de 7, jours est le mois sidéral de la Lune et elle correspond au temps que prend la Lune pour faire le tour de la Terre. La période de 9,5 jours est le mois synodique de la Lune et elle correspond à la période des phases de la Lune. Plus exactement, c est le temps qu il y a entre deux nouvelles Lunes. Pourquoi y a-t-il cette différence? Pourquoi les pleines Lunes ne reviennent-elles pas chaque fois que la Lune fait le Tour de la Terre? Examinons le mouvement orbital de la Lune autour de la Terre et de la Terre autour du Soleil pour trouver la réponse à cette question. On commence avec une pleine Lune (position du haut), ce qui correspond au moment où la Lune est dans la direction opposée au Soleil vu de la Terre. Au bout de 7, jours, la Lune a effectivement fait un tour autour de la Terre et elle est revenue en ligne avec la Version La Lune 8

9 même étoile. Mais puisque la Terre s est déplacée sur son orbite, elle n est plus dans la direction opposée au Soleil. Pour revenir à cette direction opposée, elle devra continuer son mouvement sur son orbite pour finalement arriver en opposition au Soleil 9,5 jours après la pleine Lune précédente. On remarque alors sur la figure que l angle supplémentaire que la Lune a dû faire sur son orbite correspond à l angle que la Terre a fait sur son orbite autour de la Terre. Cela veut dire que quand la Terre aura fait un tour autour du Soleil, l angle supplémentaire fait par la Lune autour de la Terre sera de 60. En un an, la Lune fait donc un tour de plus autour de la Terre qu il y a eu de pleines Lunes. Vérifions cela. En un an, le nombre de pleines Lunes est N PL 65, j 1,69 9,5 j Cela signifie que la Lune a fait 1,69 tours autour de la Terre. Le mois sidéral est donc T 65, j 7, j 1,69 qui est effectivement la période sidérale. On pourrait appliquer cette méthode pour n importe quel satellite d une planète. On notera le mois sidéral Msid, le mois synodique Msyn et la période de révolution de la planète autour de l étoile par Tplanète. On a alors M M M sid sid sid T N T planète PL 1 planète Tplanète M syn Msyn Tplanète Ce qui nous donne Lien entre le mois sidéral et le mois synodique (la rotation du satellite autour de la planète et la rotation de la planète autour de l étoile sont dans le même sens) Msid Msyn Tplanète Si le satellite tourne autour de la planète dans le sens opposé à la rotation de la planète autour de l étoile, le satellite va arriver en position opposée à l étoile avant d avoir fait un tour complet. En un an, le satellite aura fait un tour de moins qu il y a eu cycle de phase. La formule devient alors Version La Lune 9

10 Lien entre le mois sidéral et le mois synodique (la rotation du satellite autour de la planète et la rotation de la planète autour de l étoile sont dans le même sens) Msid Msyn Tplanète Il faut dire que cette rotation en sens inverse est plutôt rare, mais tout de même possible. C est ce que fait Triton, un satellite de Neptune. Exemple 1..1 Sur une planète, un satellite revient à sa phase pleine tous les 14, jours et il y a 4, jours en un an. Quel est le mois sidéral si la rotation du satellite autour de la planète est dans le même sens que la rotation de la planète autour de l étoile? La durée du mois sidéral est M M T M 14, j 4, j 1 M M sid syn planète sid sid sid 0,0749 j 1,44 j 1 Les éclipses de Soleil L alignement de la Terre, de la Lune et du Soleil. Rappelons-nous cette image montrant la position de la Lune et de Soleil par rapport aux étoiles pendant une période de 9 jours. Version La Lune 10

11 physics.weber.edu/schroeder/ua/moonandeclipses.html Cette image permettait de constater que la Lune traversait parfois l écliptique. Bien que ce ne soit pas le cas sur cette figure, il se pourrait que la Lune et le Soleil arrivent à ce nœud en même temps pour alors occuper la même place sur l écliptique. Comme la Lune est plus près du Soleil, la Lune passera donc devant le Soleil. Nous avons alors une éclipse de Soleil. Lors d une éclipse de Soleil, la Lune passe donc devant le Soleil et on a l alignement suivant. Évidemment, cette image n est pas à l échelle. Si c était le cas, on ne verrait même pas la Terre et la Lune. L ombre et la pénombre Pour bien comprendre ce qui se passe lors d une éclipse, il faut regarder l ombre qu il y a derrière une planète éclairée par une étoile. On a deux zones : l ombre et la pénombre Version La Lune 11

12 L éclipse totale de Soleil Quand vous êtes dans la zone d ombre, le Soleil est complètement caché. C est ce qui se passe pour l observateur de la figure suivante. La figure de gauche montre ce que peut alors voir cet observateur. en.wikipedia.org/wiki/chromosphere Par un curieux hasard, le diamètre de la Lune est près de 400 fois plus petit que celui du Soleil, mais la Lune est aussi près de 400 fois plus près de la Terre que le Soleil. Cela fait que la taille angulaire des deux astres est pratiquement identique vu de la Terre et que la Lune peut, dans certaines conditions, cacher la totalité du Soleil, mais de justesse. Ainsi, il n y a que le bout Version La Lune 1

13 du cône d ombre qui touche à la surface de la Terre. On peut voir sur cette image l endroit où le cône d ombre arrive sur Terre. Dans les meilleures conditions, ce cône atteint 70 km de largeur. Il faut donc être assez chanceux pour qu il arrive exactement à l endroit où nous sommes sur Terre, d où la rareté des éclipses totales de Soleil. La carte suivante vous montre les éclipses totales visibles entre 001 et 05. eclipse.gsfc.nasa.gov/solar.html Version La Lune 1

14 Les zones d éclipse sont de longues lignes, car le cône d ombre se déplace à 1700 km/h à la surface de la Terre. Vous notez surement l éclipse visible au Québec dans la fin de l après-midi du 8 avril 04. En fait, il faudra aller en Estrie ou en Beauce pour observer l éclipse totale. L éclipse partielle de Soleil Quand vous êtes dans la zone de pénombre, il n y a qu une partie du Soleil qui est cachée. Version La Lune 14

15 La figure de gauche vous montre alors ce que peut voir cet observateur. Il s agit d une éclipse partielle. Ce type d éclipse est plus commun parce que la zone de pénombre a une largeur d environ 6000 km. On a donc plus de chance d être dans cette région que dans le cône d ombre. L éclipse annulaire de Soleil La Lune n étant pas toujours à la même distance de la Terre (nous verrons cela un peu plus loin), il arrive que le cône d ombre ne se rende pas jusqu à la Terre. Cela signifie que la Lune est alors trop loin de la Terre et que son diamètre angulaire n est plus assez grand pour cacher complètement le Soleil. On aura alors une éclipse annulaire de Soleil. Notre observateur verra alors ce qu on peut voir sur la figure de gauche. Il ne reste alors qu un anneau de Soleil, ce qu on appelle une éclipse annulaire. Version La Lune 15

16 La carte suivante vous montre les éclipses annulaires visibles entre 001 et 05. eclipse.gsfc.nasa.gov/solar.html Les éclipses de Lune Si la Terre peut passer dans l ombre de la Lune, la Lune peut aussi passer dans l ombre de la Terre. On a alors l alignement suivant. Version La Lune 16

17 La Lune passe alors dans le cône d ombre de la Terre et on a la situation suivante. Cette fois, tous les habitants de la Terre qui sont du côté de la Lune, donc la nuit, verront la Lune entrer dans le cône d ombre de la Terre. Il est donc beaucoup plus commun de voir une éclipse de Lune qu une éclipse de Soleil. Voici comment changera l aspect de la Lune pendant l éclipse Version La Lune 17

18 Quand l éclipse commence, la Lune est nécessairement pleine puisqu est dans la direction opposée au Soleil vue de la Terre, ce qui veut dire qu on voit son côté éclairé. On remarque que la Lune ne disparait pas complètement durant l éclipse, elle semble éclairée par une faible lumière rouge. Cette lumière est faite par des rayons lumineux ayant été réfractés par l atmosphère terrestre. Chaque couleur des rayons solaires est déviée différemment par l atmosphère, comme dans un prisme. Toutefois, l atmosphère diffuse (dévie dans toutes les directions) davantage la lumière ayant de petites longueurs d onde, comme le bleu. C est pour ça que le ciel est bleu : on voit cette lumière bleue diffusée par l atmosphère. Ainsi, il ne reste pratiquement que de la lumière rouge, qui a une grande longueur d onde. Après la Version La Lune 18

19 réfraction des rayons par l atmosphère, les rayons rouges ne semblent pas avoir dévié beaucoup, mais c est suffisant pour aller jusqu à la Lune dans l ombre de la Terre. Ici, on a fait un montage de photo d une éclipse partielle de Lune, pour montrer la taille de l ombre de la Terre par rapport à la Lune. jtintle.wordpress.com/008/08/ La forme circulaire de l ombre de la Terre est bien évidente sur cette image. Cette forme circulaire fut un argument assez fort quand vint le temps de convaincre les gens que la Terre est ronde. Pourquoi n y a-t-il pas d éclipse chaque mois? Si les plans de l orbite de la Lune autour de la Terre et de la Terre autour du Soleil étaient les mêmes, il y aurait effectivement une éclipse chaque mois. Toutefois, on se rappelle que les deux plans sont inclinés d un peu plus de 5. Version La Lune 19

20 Cela fait que, la plupart du temps, l ombre de la Lune passe au-dessus de la Terre ou audessous de la Terre et qu il n y a pas d éclipse de Soleil. Dans le ciel, on voit alors la Lune et le Soleil se croiser le long de l écliptique, mais la Lune passe au-dessus ou au-dessous du Soleil. Pour éviter une éclipse de Lune, la Lune passe au-dessus ou au-dessous de l ombre de la Terre. Pour qu il y ait éclipse de Soleil, il faut que la Lune passe devant le Soleil pas très loin d un nœud sur l orbite (à moins de 17 5 ). Pour qu il y ait éclipse de Lune, il faut que la Lune s oppose au Soleil vu de la Terre, tout en étant près d un nœud de son orbite (moins de 11 8 ). Version La Lune 0

21 Il y a donc deux moments dans l année où les éclipses sont possibles. Ce sont les saisons des éclipses. En 01, les saisons sont en mai et en novembre. Comme la ligne des nœuds de l orbite de la Lune change lentement de direction, les saisons des éclipses décalent lentement pour être un peu plus tôt que l année précédente. Ainsi, en 016, les saisons seront en mars et septembre. Il existe toute une variété de méthode pour déterminer la distance de la Lune. Nous allons montrer ici, pour illustrer, une des méthodes les plus anciennes qui fut utilisée. Distance de la Lune à partir de la durée des éclipses de Lune Les éclipses de Lune ont permis, et ce dès l Antiquité, de déterminer la distance entre la Terre et la Lune. En effet, Hipparque utilisa cette méthode dès 150 av. J.-C et arriva à un résultat essentiellement correct. Montrons premièrement que la distance de la Lune influence la durée d une éclipse. Prenons deux orbites différentes pour la Lune : une plus près de la Terre et une autre plus éloignée. Version La Lune 1

22 Sur l orbite plus petite, la proportion de l orbite de la Lune dans le cône d ombre de la Terre est plus grande que pour l orbite plus grande puisque la longueur de l orbite est plus petite, alors que la distance dans le cône d ombre est plus grande que pour la grande orbite. En mesurant le rapport entre la longueur de l orbite dans l ombre par rapport à la longueur de l orbite totale, on pourra trouver la distance. On trouve cette proportion à partir du temps que dure une éclipse. Plus précisément, on a la situation suivante. Notez que d peut être simplement mesuré. C est la moitié de la largeur angulaire de l étoile vue de la planète. Version La Lune

23 La partie de l orbite de la Lune dans l ombre de la Terre fait un angle de a vu de la Terre. Par rapport à un tour complet (60 ), cela représente une proportion de a / 60. Comme la vitesse de la Lune le long de son orbite est assez constante, le rapport des temps devrait aussi correspondre au rapport des distances le long de l orbite. Le temps passé dans l ombre est évidemment la durée de l éclipse de Lune. En fait, on utilise la valeur de la durée maximale de l éclipse qui se produit quand la Lune passe exactement au centre de l ombre de la Terre. Cette durée maximale est facilement mesurable et elle vaut 158, minutes (Éclipse du 6 juillet 195). Nous appellerons cette valeur te. On compare cette valeur au temps qu il faut pour que la Lune fasse un tour et revienne dans la même configuration, ce qui correspond au temps entre les pleines lunes. Ce temps est le mois synodique Msyn. Les deux proportions étant les mêmes, on devrait avoir a t 60 M t a M e syn e syn 180 En utilisant te = 158, minutes et Msyn = 9,5 jours (4 5, h), on trouve que a est d à peine 0,67 dans le cas de la Lune. La partie de l orbite de la Lune dans l ombre de la Terre n est donc que 1,4 ( x 0,67 ) de la circonférence complète. On va maintenant fait le lien avec la distance. Sur la figure, on a a bcd 180 b180acd L angle e est vraiment minuscule. Il correspond à la demi-largeur angulaire de la Terre, vue du Soleil. Cet angle est à peine 0,005 et on va donc le négliger. On peut donc affirmer que l angle c est approximativement égal à 90. Pour que cette approximation ne soit pas bonne, il faudrait avoir affaire à une planète relativement grosse très près de l étoile. En posant donc que c vaut 90, on arrive à b180a90d b90ad En utilisant la valeur de a trouvée précédemment, on a te b d M On a alors le triangle suivant, Rp est le rayon de la planète et D est la distance du satellite. Avec ce triangle, on a syn Version La Lune

24 cosb R p D On a donc t e cos d M syn Rp D Puisque cos (90 - ) = sin (), on a t e sin 180d M syn Rp D ce qui donne Distance d un satellite autour d une planète à partir de la durée des éclipses du satellite Rp D t e sin 180d M syn d est la moitié de la largeur angulaire de l étoile vue de la planète. te est la durée maximale des éclipses Msyn est la durée du mois synodique du satellite Voyons ce que donne ce résultat pour la Lune. La durée maximale des éclipses de Lune est de 158, minutes, le mois synodique est de 9,5 jours (4 5, min) et la largeur angulaire du Soleil vu de la Terre est de 0,5. On a donc R D 158,min sin 1800, ,min R sin 0, 66970, , R 61, 670km 90 70km Version La Lune 4

25 En fait, la Lune n est pas toujours à la même distance de la Terre. Sa distance peut varier entre km et km. (Il s agit des distances entre le centre de la Terre et le centre de la Lune.) Nous reviendrons sur ces changements de distance dans quelques instants. La valeur moyenne de la distance (demi-grand axe de l ellipse) est Distance moyenne Terre-Lune (demi-grand axe de l orbite de la Lune) d B km Notez ici le symbole utilisé en astronomie pour la Lune : B Hipparque avait obtenu une distance de la Lune égale à 65 fois le diamètre de la Terre, ce qui est quand même pas loin de la véritable valeur de 60,. On sait donc assez bien la distance de la Lune depuis près de 150 ans. Aujourd hui, cette distance est mesurée très précisément avec des lasers qui se reflètent sur des miroirs placés sur la Lune. Cela nous donne la distance de la Lune au centimètre près. La distance de la Lune par parallaxe Si deux observateurs notent la position de la Lune dans le ciel, ils vont noter une différence de position angulaire, qu on va noter p. Cet angle est aussi l angle entre les deux observateurs mesuré à partir de l astre dont on mesure la distance. Par exemple, l image suivante est une superposition de deux images prises simultanément lors d une éclipse. Une photographie fut prise à Maldon au Royaume-Uni, et l autre à Divide au Colorado. On les a superposées pour que les étoiles arrivent exactement à la même place. Version La Lune 5

26 On remarque que la Lune n est pas à la même position dans le ciel pour ces deux observateurs distants de près de 700 km. La parallaxe est environ de 0,8 dans ce cas si on se fie à la Lune, qui a un diamètre angulaire de 0,5. On peut alors se servir de ce résultat pour trouver approximativement la distance de la Lune. En supposant que la ligne qui joint les deux observateurs est perpendiculaire à la distance Terre-Lune, on a On arrive à 500km rad D 500km 0,8 D 60 D 59000km C est quand même assez près de la véritable valeur pour une méthode approximative. Version La Lune 6

27 Dans une version un plus raffinée, deux observateurs vont mesurer la position de la Lune au même moment, à la même longitude, mais à des latitudes différentes. Le premier (appelons-le Nicolas) a pour mission d aller à une latitude où la Lune sera exactement au zénith quand il fera la mesure. Le second (appelons-le Joseph) doit aller plus au nord, de sorte que la Lune sera à l horizon lors de la mesure. On a alors la situation suivante. est la différente de latitude entre les deux observateurs. Évidemment, elle sera près de 90, mais pas tout à fait. L angle p est simplement 90 - et cet angle est appelé la parallaxe lunaire. On a alors Ce qui donne R sin p d B d B R sin p Les mesures donnent une parallaxe lunaire de 0,9507, ce qui donne d 60, R B. En réalité, l application de cette méthode est encore plus complexe. Les deux observateurs observent de deux endroits sur Terre qui peuvent être n importe où à la surface du globe. Ils mesurent tous les deux l angle entre le zénith et le centre de la Lune (angles b et c ). Comme on connait la longueur du côté BC, on peut résoudre le triangle B-C-Lune pour ensuite déterminer la distance entre le centre de la Terre et le centre de la Lune. Si on tente de faire une formule qui donne la réponse, le résultat fait un peu peur. Vaut mieux résoudre les triangles un à la fois quand on a les valeurs des angles. Version La Lune 7

28 C est ce qu on fait deux savants français en Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande observa à partir de Berlin (point B) et Nicolas Louis de la Lacaille observa à partir du Cap de Bonne-Espérance (pointe sud de l Afrique, point C). Leur mesure permit d obtenir une parallaxe moyenne de 0,957, ce qui donne une distance de R db 59,86R 81800km sin 0,957 Il semble que Ptolémée utilisa cette méthode de parallaxe au 1 er siècle apr. J.-C. pour trouver la distance de la Lune pour obtenir un résultat assez correct. Notez qu on tenta d utiliser cette méthode pour le Soleil. Hipparque la tenta au e siècle av. J.-C., mais obtint une valeur de la distance entre la Terre et le Soleil très loin de la réalité. La parallaxe du Soleil est trop petite (0,0044 ) pour qu on puisse la mesurer avec précision avant le 17 e siècle et la méthode donna donc à peu près n importe quoi jusqu à cette date. La taille de la Lune Avec la distance de la Lune, on peut facilement trouver la taille de la Lune. On a Version La Lune 8

29 On se rappelle que la formule donnant la dimension d un objet ayant un diamètre angulaire est Diamètre Comme le diamètre de la Lune est une constante, cette formule nous indique que la largeur angulaire de la Lune (a) diminue si la distance de la Lune (D) augmente. La figure suivante montre bien ce changement apparent de grosseur de la Lune vue de la Terre. rad D Des mesures montrent que quand la Lune est à une distance de km d un observateur à l équateur, elle a une largeur angulaire de En radians, cet angle est de rad 0,00919rad rad Le diamètre de la Lune est donc Ce qui nous donne Rayon de la Lune Diamètre 0,00979rad 78000km 475km R B 177km Version La Lune 9

30 (En fait, la Lune est un peu aplatie et son rayon varie entre 175,97 et 178,14 km.) Cette image montre, à l échelle, la taille de la Lune et de la Terre ainsi que la distance séparant la Terre et la Lune. fr.wikipedia.org/wiki/lune L observation de la Lune est à l origine de la première technique utilisée pour déterminer de la distance entre la Terre et le Soleil, qu on a appelé l unité astronomique. Elle fut appliquée pour la première fois par Aristarque de Samos aux environs de 150 av. J.-C. Premièrement, il faut comprendre que quand on voit le premier quartier de Lune, les rayons du Soleil qui arrivent sur la Lune sont nécessairement perpendiculaires à une ligne allant de la Lune à la Terre (en pointiller sur la figure). Comme les rayons sont dans la direction de la ligne allant du Soleil à la Lune, cela signifie que la ligne Soleil-Lune est toujours perpendiculaire à la ligne Lune-Terre au premier quartier de Lune. Sur la figure suivante, on peut alors voir comment on peut déterminer la distance du Soleil en mesurant l angle entre la Lune et le Soleil lors du premier quartier (). La figure montre deux situations : l angle si le Soleil est loin et l angle si le Soleil est plus près Version La Lune 0

31 On remarque que plus le Soleil est près, plus l angle est petit. Mathématiquement, on a d cos d La distance Terre-Soleil est donc Distance du Soleil à partir de l angle entre le Soleil et la Lune au premier quartier B d db cos L angle entre la Terre et la Lune au premier quartier est de 89,857, ce qui donne une distance de d db cos89,857 89d B 8 89,84410 m 1, m Ce n est pas exactement la bonne valeur ( km), mais il faut dire que cette méthode n est pas très précise. Un très petit changement d angle change énormément la valeur de la distance. Avec un angle de 89,90, on obtient 0 millions de km, au lieu de Version La Lune 1

32 150 millions de km. Il ne faut donc pas se tromper quand on fait la mesure. Sans oublier que ce n est pas si facile de déterminer le moment exact où on a le premier quartier. Évidemment, la mesure d Aristarque de Samos n était pas si précise. Il mesura 87 entre la Lune et le Soleil au premier quartier, ce qui lui donna une distance de d db cos87 19d B ce qui donne une distance aux alentours de 8 millions de km (au lieu de 150 millions), en considérant l imprécision de la distance entre la Terre et la Lune à cette époque. On savait évidemment que la Lune était plus près de la Terre que le Soleil, parce que la Lune passe devant le Soleil lors des éclipses de Soleil, mais Aristarque était le premier à quantifier combien de fois le Soleil était plus loin que la Lune. Bien que sa valeur était beaucoup trop petite, elle permettait quand même de déterminer que le Soleil était beaucoup plus gros que la Lune. En effet, puisque les deux astres ont environ le même diamètre angulaire vu de la Terre (environ 0,5 ), l équation suivante Diamètre nous permet de déduire que le diamètre du Soleil est supérieur à celui de la Lune. Si l angle est le même, le diamètre est plus grand si la distance D est plus grande. Avec les mesures d Aristarque, on trouvait que le Soleil avait un diamètre 19 fois plus grand que la Lune. De plus, comme on savait, avec un peu d incertitude, que le diamètre de la Terre (1 756 km) était,67 fois grand que celui de la Lune (474 km), cela signifiait que, selon les mesures d Aristarque, le diamètre du Soleil devait être un peu plus de 5 fois grand que celui de la Terre (en réalité, il est plus de 100 fois plus grand celui de la Terre). Aristarque fut troublé par le fait que le Soleil était plus gros que la Terre. On verra un peu plus loin ce que cette constatation l amena à faire. Pendant des siècles (jusqu au 17 e siècle), c était la seule méthode pour déterminer la distance entre la Terre et la Lune. Son imprécision fait en sorte qu elle donna toute sorte de résultats, allant de 19 dtl (Aristarque) à 16 dtl (Posidonios en 100 av. J.-C.). Au 16 e siècle, l astronome Tycho Brahé utilisait encore la valeur trouvée par Aristarque de Samos. rad D L orbite de la Lune n est pas circulaire. Si c était le cas, elle serait toujours à la même distance de la Terre et on a vu que la distance de la Lune peut varier entre km et Version La Lune

33 km. C est que l orbite de la Lune est elliptique, comme c est le cas de toutes les orbites pour des objets tournant l un autour de l autre d ailleurs. L orbite de la Lune a les caractéristiques suivantes. - Demi-grand axe a = km - Excentricité e = 0,0549 (L excentricité est exagérée sur l image) Comme elle tourne autour de la Terre, dont la masse est de 5,97 x 10 4 kg, on peut déterminer plusieurs éléments du mouvement orbital de la Lune. Exemple Quelles sont les distances entre la Lune et la Terre au périgée et à l apogée? Au périgée, la distance est À l apogée, la distance est rp a 1e 84 99km10, km ra a 1e 84 99km10, km Version La Lune

34 Exemple 1.7. Quelles sont les vitesses de la Lune au périgée et à l apogée? La vitesse au périhélie est v P GM a c 1 e 1 e 11 Nm ² 4 6,67410 kg ² 5,9710 kg 1 0,0549 8, m 10,0549 m ,076 s km s La vitesse à l aphélie est v a GM a 1 e 1 e 11 Nm ² 4 6,67410 kg ² 5,9710 kg 1 0,0549 8, m 10,0549 m 964 0,964 s c km s Exemple 1.7. Quelle est la période de rotation de la Lune autour de la Terre? La période vaut T a GM c 8, m 6, ,9710 7,710 s 7,4 j 11 Nm² 4 kg ² kg Variations du mois synodique Si l orbite de la Lune était parfaitement circulaire, il y aurait toujours exactement le même temps entre les nouvelles Lunes. Avec une orbite elliptique, la vitesse de la Lune Version La Lune 4

35 sur son orbite varie et il peut y avoir des variations du mois synodique selon que la nouvelle Lune se produise près du périgée ou de l apogée. Ainsi, le mois synodique de 9,5 jours (9 jours 1 h 44 min s) n est qu une moyenne. En réalité, le mois synodique peut prendre une valeur se situant entre 9,6754 jours (9 jours 6 h min 40 s) et 9,84089 jours (9 jours 0 h 10 min 5 s). Effets des perturbations sur l orbite de la Lune Les perturbations de l orbite de la Lune sont très importantes. Ces perturbations sont principalement faites par le Soleil. On assiste alors à de nombreux changements dans l orbite de la Lune. Variation de l excentricité L excentricité de l orbite de la Lune varie beaucoup et très rapidement. En deux semaines, elle peut passer de 0,06 à 0,0. La valeur moyenne de l excentricité est de 0,0549, mais en réalité, l excentricité peut varier entre 0,055 et 0,0775. Cela affecte évidemment les distances au périgée et à l apogée. Avec ces variations, la distance au périgée varie entre km et km, alors que la distance à l apogée, moins affectée par les variations d excentricité, varie entre km et km. Variation de l inclinaison de l orbite On avait donné une valeur d inclinaison de 5,145. Cette valeur n est que la valeur moyenne. En réalité, elle varie entre 5,00 et 5,0. La rotation de la ligne des nœuds La ligne des nœuds de l orbite n a pas toujours la même orientation dans l espace. La ligne des nœuds tourne de 19,5 par année dans la direction opposée au déplacement de la Lune. Les nœuds se déplacent donc sur l écliptique pour revenir à la même place au Version La Lune 5

36 bout de 18,6 ans. C est la période de précession des nœuds. C est pour ça qu on a dit que la Lune revenait à peu près à la même place dans le ciel au bout de 7, jours. Au bout de cette période, elle sera revenue à la même place le long de l écliptique, mais elle pourrait être un peu plus ou un peu moins au-dessus ou au-dessous de l écliptique à cause du déplacement des nœuds. On peut mesurer le temps que prend la Lune pour revenir au même nœud. Cette période, appelée période draconitique, est de 7,1 jours (en fait, elle varie entre 7,004 jours et 7,487 jours). La Lune revient donc au nœud un peu avant de revenir devant les mêmes étoiles, ce qu elle fait au bout de 7, jours. Déplacement du périgée Les perturbations font également tourner le grand axe de l ellipse, qui est une ligne reliant le périgée et l apogée et qui passe, bien sûr, par la Terre. En l absence de perturbation, cet axe garderait toujours la même orientation dans l espace. Avec les perturbations, cet axe tourne de près de 40,7 par année dans la même direction que le mouvement de la Lune. Il faudra donc un peu plus que 7, jours pour que la Lune revienne au périgée. Le temps que prend la Lune pour revenir au périgée s appelle le mois anomalistique et a une durée de 7,55455 jours (en fait, il varie entre 4,69 jours et 8,565 jours). Il faut donc 8,85 ans pour que le grand axe de l orbite fasse un tour complet. La Terre et la Lune tournent toutes les deux autour du centre de masse du système On pourrait croire qu on ne pouvait connaître la masse de la Lune parce que rien ne tourne autour de la Lune. En effet, il faut qu il y ait un objet en orbite autour de la Lune pour qu on puisse appliquer la troisième loi de Kepler et ainsi obtenir la masse de la Lune. Comme il fallut attendre 1959 pour qu un satellite soit envoyé en orbite autour de la Lune, on pourrait penser qu on ne connaissait pas la masse de la Lune avant Or, la situation n est pas simplement que la Version La Lune 6

37 Lune tourne autour de la Terre. En réalité, la Terre et la Lune tournent toutes les deux autour du centre de masse du système Terre-Lune. C est le centre de masse de ce système qui tourne autour du Soleil. Voici l orbite résultante pour la Terre et la Lune autour du Soleil. Notez que les oscillations sont exagérées pour la Lune et encore plus pour la Terre. À la lumière de cette image, peut-on dire que la Lune tourne autour de la Terre ou du Soleil? Si on calcule la force de gravitation faite par la Terre et par le Soleil sur la Lune, on se rend compte que la force faite par le Soleil est environ fois plus grande que celle faite par la Terre. Il est donc normal que la Lune fasse, principalement, une rotation autour du Soleil. La force exercée par la Terre peut être considérée comme une simple perturbation de ce mouvement! Notez que même cette image n est pas correcte. La force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Lune étant plus grande que celle faite par la Terre, les trajectoires de la Lune et de la Terre devraient toujours être concaves vers le Soleil. C est ce qu on aurait si on n avait pas exagéré les oscillations de la Terre et de la Lune. L image suivante, qui montre uniquement une partie de la trajectoire de la Lune, est plus exacte. Notez qu il n est pas rare de voir des images incorrectes pour représenter la trajectoire de la Lune autour du Soleil. En voici un exemple. Version La Lune 7

38 jcboulay.free.fr/astro/sommaire/astronomie/univers/galaxie/etoile/systeme_solaire/terre1/lune/page_lune.htm Cette représentation est tout à fait incorrecte, d autant plus qu il y a beaucoup trop de mois dans l année (J en compte 5!). Calcul de la masse de la Terre et de la Lune Puisque la Terre et la Lune tournent autour de leur centre de masse, on peut donc appliquer les méthodes vues lors de l étude des étoiles doubles. Premièrement, la formule M tot 4 r GT Donne la masse totale du système Terre-Lune M tot 4 r GT G 8 4, m 7, s 6, kg Reste ensuite à déterminer la position exacte du centre de masse du système Terre-Lune. Il est possible de le faire par l étude des marées et c est l approche que prit Newton pour y arriver. Les calculs sont un peu complexes pour le niveau de cet ouvrage et nous laisserons tomber les détails, d autant plus que nous n examinerons les marées qu à la prochaine section. On peut aussi tenter de mesurer la masse de la Terre à l aide de Version La Lune 8

39 pendule, ce qu on commença à faire dès le 17 e siècle, pour la soustraire de la masse totale pour ainsi obtenir la masse de la Lune. Les résultats donnent que le rapport des masses de la Terre et de la Lune est On arrive donc à M M B 81,7 4 M M 6, 046 B 10 kg 81,7 6, M B MB kg 8,7M 6,04610 B 4 kg et donc a Masse de la Lune M B 7,410 kg De là, on trouve la masse de la Terre 4 M MB 6,04610 kg 4 M 7,410 kg 6,04610 kg Masse de la Terre M 5, kg On remarque que la masse de la Lune n est que 1, % de la masse de la Terre. Grandeur de la force de marée Les marées sont dues au fait qu un objet non ponctuel se retrouve dans un champ gravitationnel qui n est pas uniforme. Pour comprendre l origine des marées, on va premièrement examiner les forces de marées s exerçant sur la Lune. Version La Lune 9

40 Avant de faire le calcul, précisons que r est la distance entre le centre des deux corps et R est le rayon du corps qui subit la force de marée. La Lune se retrouve dans le champ gravitationnel de la Terre qui diminue avec la distance. Examinons ce que cela signifie en examinant les forces sur un objet à la surface de la Lune. Si la Terre n était pas présente. L objet ne subirait que la force de gravitation de la Lune et la normale à la surface de la Lune. On aurait donc F P L N 0 La normale serait donc simplement opposée au poids. Voyons maintenant comment change la force sur un objet à la surface de la Lune si on ajoute la Terre. La force de plus qui apparaitra dans l équation des forces sera la force de marée. L ajout de la Terre fait que la Lune est en orbite autour du centre de masse Terre-Lune. La Lune étant beaucoup moins massive que la Terre, on va faire comme si la Terre était au centre de masse. Toutefois, le mouvement circulaire signifie maintenant que la Lune, et tout ce qu il a dessus, accélère maintenant vers la Terre. L accélération est l accélération centripète, qui vaut GM M B Ma B r GM a r Avec la Terre qui attire l objet à la surface de la Lune, on a maintenant la situation suivante. La somme des forces sur l objet à la surface de la Lune est alors Version La Lune 40

41 GM F P L N P T m i Il y a une accélération vers la droite, parce que la Lune, et tout ce qu il y a dessus, accélère vers la Terre. La grandeur de la force gravitationnelle faite par la Terre est r P T GM m s Si on sépare en composantes, on a GM PL N PT m i r GM m GM m GM PL N cos i sin j m i s s r GM m GM m GM PL N cosi sin j m i s s r GM m GM m GM m PL N cos i sin j 0 s r s PL N GMm cos i sin j 0 s r s Maintenant, la distance s est l hypoténuse du triangle suivant. cos sin s rr R r Rrcos R cos R sin r Rrcos R Puisque r est beaucoup plus grand que R, on peut négliger le R² et obtenir Version La Lune 41

42 s r Rr r cos R 1 cos r Dans l équation des forces, on a 1/s². On fera alors l approximation suivante (qu on fait en gardant les deux premiers termes d une série de Taylor. On néglige les autres termes, car R/r est petit.) Notre équation des forces devient donc 1 1 R 1 cos 1 R 1 cos r r s r r 1 1 R 1 1 R PL N GMm 1 cos cos i 1 sin j 0 r r r r r Pour l angle, on a, puisque l angle est très petit. Rsin Rsin sin s r r cos 1 s Ce qui nous amène à 1 R 1 1 RRsin PL N GMm 1 cos i 1 j 0 r r r r r r 1 R 1 Rsin R PL N GMm cos i 1 j 0 r r r r r Deux termes s annulent pour la composante en x. Pour la composante en y, le deuxième terme dans la parenthèse est négligeable puisque R/r est beaucoup plus petit que 1. On a donc R Rsin PL N GMm cosi j 0 r r GM mr PL N cosi sin j 0 r Version La Lune 4

43 On avait dit que la force qui s ajoute est la force due à la présence la Terre, qui est la force de marée. Cette force est donc Force de marées GMmR Fmarées cosi sin j r M est la masse de l astre qui exerce les forces de marée m est la masse de l objet qui subit les forces de marée R est le rayon de l astre sur laquelle est situé l objet qui subit les forces de marée r est la distance entre les centres des deux astres. est l angle entre la position sur l astre qui subit les forces de marée, le centre de l astre qui subit la force et l astre qui fait les forces de marée Selon l angle, on obtient les directions suivantes pour la force de marée. physics.stackexchange.com/questions/66400/how-you-feel-in-outer-space-vs-orbit Essayons de comprendre un peu ce qui se passe. La plupart des gens peuvent comprendre pourquoi les forces de marées sont dirigées vers l objet qui fait la force de marée (c est la force du côté droit de la planète de la figure précédente). L astre qui fait la force de marée attire simplement l objet à la surface de la planète. La plupart des gens ont toutefois de la difficulté à comprendre pourquoi la force de marée est dans la direction opposée à l astre qui fait la force de marée quand on est du côté opposé de la planète (côté gauche de la planète sur la figure précédente). Comment un astre qui fait une attraction gravitationnelle peut-elle faire une force de répulsion??? Version La Lune 4

44 L explication correcte est plus subtile qu une simple attraction gravitationnelle. IL faut se rappeler que la planète est en rotation autour du centre de masse du système et que la planète a donc une accélération centripète. Déjà, en partant, l explication précédente ne tient plus. La lune étant en chute libre vers la Terre, on ne sent pas du tout l attraction gravitationnelle de la Terre. Rappelez-vous, en chute libre le poids apparent est nul, ce qui veut dire qu on ne sent pas l attraction gravitationnelle. On va cependant sentir une force parce que le champ gravitationnel de la Terre n est pas constant, il change avec la distance. Du côté vers l astre qui fait les forces de marée (côté droit de la planète sur la figure), on est plus près de cet astre et la force gravitationnelle est plus grande. Il y a donc un excès de force centripète, ce qui signifie qu un objet à cet endroit devrait se rapprocher du centre du mouvement circulaire. Cela se traduit par une force vers le centre du mouvement circulaire, donc vers l astre qui fait les forces de marée. Du côté opposé à l astre qui fait les forces de marée (côté gauche de la planète sur la figure), on est plus loin de cet astre et la force gravitationnelle est plus petite. Il y a donc un manque de force centripète, ce qui signifie qu un objet à cet endroit devrait s éloigner du centre du mouvement circulaire. Cela se traduit par une force dans une direction opposée au centre du mouvement circulaire, donc dans la direction opposée à l astre qui fait les forces de marée. La force de marée sur la Terre On a fait le calcul des forces de marée sur la Lune, mais la formule s applique aussi pour les forces de marées sur la Terre. La situation de la Terre est exactement la même que celle de la Lune : elle est en orbite autour du centre de masse du système Terre-Lune. La formule obtenue s applique donc aussi à la Terre. La direction des forces de marées de chaque côté de la planète est Version La Lune 44

45 Il n y a pas que la Lune qui exerce une force de marée sur la Terre. Le Soleil exerce aussi des forces de marées sur la Terre, mais celles-ci sont environ la moitié de la grandeur de celles exercées par la Lune même si la masse du Soleil est plus grande. Il en est ainsi principalement parce que le Soleil est beaucoup plus loin et que les forces de marées diminuent rapidement avec la distance. Exemple Quelle est la force de marée faite par la Lune sur un objet de 100 kg à la surface de la Terre (du côté de la Lune ou opposé à la Lune)? Du côté exactement vers la Lune, l angle est 0. La force est donc GMmR Fmarées cos0 i sin0 j r GMmR i 0 j r 11 Nm² 6 6,67410 kg ² 7,610 kg 100kg 6,710 m 8 i,8410 m 4 1,110 Ni Comme la réponse est positive, la force est vers la Lune. (On avait mis l axe vers l objet qui fait la force de marée quand on a fait la formule.) Du côté opposé à la Lune, l angle est de 180. Le cosinus valant alors -1, on obtient la même réponse, mais négative, ce qui signifie que la force est de 1,1 x 10-4 N dans la direction opposée à la Lune. Ce n est pas beaucoup (près de 10 millions de fois plus petit que le poids de la masse), mais ce sera suffisant pour qu il y ait certains effets. Les changements de niveaux de la mer faits par les forces de marée Cette image Version La Lune 45

46 physics.stackexchange.com/questions/66400/how-you-feel-in-outer-space-vs-orbit montre que les forces de marées cherchent à étirer l objet qui subit les forces de marées dans une direction parallèle à la direction du corps qui fait les forces de marée et à le comprimer dans une direction perpendiculaire. Si le corps est déformable, on pourra voir cet allongement. Pour la Terre, les océans sont facilement déformables et l eau sera déplacée par ces forces. On voit donc apparaître à la surface de la Terre des régions où l eau s accumule et des régions où il y a moins d eau. On aura alors la situation suivante. tpelesmarees.pagesperso-orange.fr/phenomene_maree.html Dans cette situation, il y a beaucoup d eau à Brest et c est la marée haute à cet endroit. Il y a peu d eau à Acapulco et c est la marée basse à cet endroit. Comme la Terre tourne, Acapulco arrivera dans la région où il y a beaucoup d eau (face à la Lune) dans 6 heures puis ira dans l autre région où il y a peu d eau 6 heures plus tard pour ensuite aller dans l autre région où il y a beaucoup d eau (opposée à la Lune) 6 heures plus tard pour revenir à la région où il y a peu d eau un autre 6 heures plus tard. En 4 heures, on a donc eu marées hautes et marées basses. En fait, c est 4 h et 50 min parce que la Lune tourne autour de la Terre et change donc d orientation par rapport à la Terre, comme vous montre cette figure. Version La Lune 46

47 En réalité, il n y a pas que la Lune qui fait des forces de marées sur la Terre. Tous les autres corps célestes du système solaire en font une. En pratique, on peut négliger tous ces corps sauf la Lune et le Soleil, qui fait une force de marée valant environ la moitié de celle faite par la Lune. L importance de l accumulation d eau sera donc bien différente selon l orientation de la Lune et de la Terre. Quand la Lune, la Terre et le Soleil sont alignés (pleine lune ou nouvelle lune), les forces de marées faites par la Lune et par le Soleil s additionnent, ce qui donne une accumulation d eau importante. Les marées auront alors une amplitude maximale. On parle alors de marée de vives-eaux. Quand la Lune, la Terre et le Soleil forment un angle de 90 (on dit alors que le Soleil et la Lune sont en quadrature), les forces de marées du Soleil se soustraient à celle de la Lune. Les forces de marées résultantes sont alors plus faibles et les accumulations d eau sont moins importantes. L amplitude des marées est donc plus petite et on parle alors de marée de mortes-eaux. Version La Lune 47

48 Ensuite, la distance de la Lune n est pas toujours la même puisque son orbite est elliptique. La distance ne varie que de 7 % par rapport à la distance moyenne, mais cela entraîne une variation des forces de marées de près de 0 % puisque les effets de marées varient avec le cube de la distance. On devrait donc s attendre à des forces de marées faites par la Lune 0 % plus grande quand la Lune est à son plus près de la Terre. Si cela se produit lors de la pleine Lune ou de la nouvelle Lune, l amplitude des marées pourra alors être exceptionnelle. Un calcul plus poussé, tenant compte de la Lune et du Soleil, montre que la variation du niveau de l eau devrait être d environ 50 cm. En réalité, l amplitude des marées est encore moindre puisque les forces de marée ne font pas que soulever les océans, elles soulèvent aussi la croûte terrestre d environ 0 cm. Ainsi, si le niveau des mers augmente de 50 cm et que les continents se soulèvent de 0 cm, il ne reste qu un écart de 0 cm, ce qui en gros l amplitude des marées dans les océans. Parfois, la forme du rivage va amplifier, par divers mécanismes, cet effet de marée et on peut avoir beaucoup plus d amplitude. Les plus grandes marées du monde se produisent dans la baie de Fundy, où il peut y avoir une variation de 17 mètres entre la marée basse et la marée haute. bayoffundy.blogspot.ca/010/09/biggest-tides-of-year-today.html Vous pouvez également voir les changements du niveau de l eau dans la baie de Fundy dans ces clips. La limite de Roche Il est à noter que les forces de marées augmentent très rapidement lorsque la distance entre les objets diminue. Ainsi, il peut arriver que les forces de marées sur une masse à la surface d une planète excèdent le poids de cette masse si la planète est trop près de l astre qui fait les forces de marées. Version La Lune 48