Devoir surveillé de Sciences Physiques n 2 du Durée : 4 heures

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1 1 DS2 Sciences Physiques MP Devoir surveillé de Sciences Physiques n 2 du Durée : 4 heures Problème n o 1 Propagation de signaux électriques X PC 2006 On considère une ligne électrique composée d une suite de cellules identiques. Le schéma de la ligne est donné à la figure 1. Dans la cellule n, on note V n la tension aux bornes de la capacité C, Q n la charge de celle-ci et I n le courant traversant l inductance L. L étude est menée dans le cadre de l électrocinétique. L L L I n 1 I n I n+1 V n 1 Q n 1 C V n cellule n Q n C V n+1 Q n+1 C A. Étude générale de la propagation Équation d évolution Figure 1 Ligne de cellules LC en série 1. Exprimer la dérivée par rapport au temps de Q n uniquement en fonction des courants et celle de I n en fonction des tensions. 2. En déduire que d2 V n dt 2 = ω 2 0 (V n+1 +V n 1 2V n ) où ω 0 est une constante que l on exprimera en fonction de L et C. Aspect énergétique 3. Calculer d ( 1 dt 2 CV n ) 2 LI2 n et l exprimer en fonction de V n 1, V n, I n et I n+1. Propagation On cherche une solution sinusoïdale V n (t) de l équation obtenue à la question 2 en notation complexe V n (t) = A n expjωt telle que l effet de chaque cellule soit un déphasage α fixé V n+1 = V n exp jα (retard si α > 0). 4. Exprimer A n en fonction de A 0 n et α. 5. Trouver la relation de dispersion entre α et ω. 6. Montrer que ces solutions n existent que si ω est inférieur à une certaine fréquence ω c que l on exprimera. Quel est alors le domaine utile de variation de α? 7. Si cette condition est vérifiée, pourquoi peut-on parler de propagation de la phase? Préciser la vitesse de propagation v ϕ correspondante, la vitesse étant définie ici comme le nombre de cellules parcourues par unité de temps. 8. On suppose maintenant ω ω 0. En explicitant α en fonction de ω, exprimer v ϕ. Que constate-t-on? En déduire que l effet d une cellule sur un signal électrique, composé de fréquences suffisamment basses, se traduit par un retard temporel τ que l on exprimera en fonction de ω 0, justifiant ainsi le nom de ligne à retard donné à ce système. 9. Application numérique : C = 10nF, L = H. Calculer ω 0 et τ. Combien de cellules faut-il mettre en série pour obtenir un retard total de 0,1ms? Effets dispersifs On se place dans le cas où ω < ω c et α > Rappeler la définition et l interprétation de la vitesse de groupe v g. En donner l expression en fonction de ω 0 et α. Donner l allure de son graphe en fonction de α. Que constate-t-on pour α = π? 11. En notation complexe, l intensité I n est de la forme I n (t) = B n expjωt. Exprimer B n en fonction de A n, L, ω 0 et α. Calculer la moyenne temporelle de l énergie de la cellule (n) : < E >=< 1 2 CV 2 n LI2 n > ainsi que celle de la puissance P reçue de la cellule (n 1). En déduire le rapport P/E. Que retrouve-t-on?

2 Sciences Physiques MP DS Expliquer qualitativement comment va évoluer un signal non monochromatique se propageant le long de cette ligne. Comment appelle-t-on ce phénomène? Impédance caractéristique 13. Pour un signal sinusoïdal avec α > 0, expliciter le rapport Z c = V n /I n+1 de la tension et du courant de sortie de la cellule (n) appelé impédance caractéristique. 14. Montrer que la partie réactive X c de cette impédance de forme générale Z c = R c + jx c est celle d une inductance L que l on précisera. 15. En exprimer la partie résistive R c en fonction de L, C et α, puis de L, C et ω. En étudier la valeur pour ω ω 0 et pour ω ω c. Commenter ces résultats. 16. Pour une ligne de longueur finie, et pour des signaux correspondant à ω ω 0, sur quelle impédance faut-il fermer la ligne pour ne pas avoir de signal réfléchi? En utilisant les valeurs numériques de la question 9, calculer L et R c. B. Le soliton de Toda - Partie facultative Bonus! Dans cette partie, on cherche à compenser les effets dispersifs vus précédemment. Pour cela, on remplace le condensateur présent dans chaque cellule de la partie précédente, par un dipôle non linéaire représenté sur la figure 2a) et comportant une diode D. Cette diode est polarisée en inverse par la tension continue V 0. Pour la propagation dans la ligne, la diode D se comporte alors comme un condensateur de capacité variable C D (V) dépendant de la tension à ses bornes, et donc de la polarisation choisie V 0 et du signal V n (t) propagé. V 0 R 0 a) C 0 D C D (V) b) V = V 0 +V n Modélisation de la capacité variable Figure 2 Dipôle non linéaire remplaçant la capacité C 17. Expliquer qualitativement comment on peut choisir les valeurs de la résistance de polarisation R 0 et de la capacité linéaire C 0 pour que l ensemble soit équivalent en régime variable à une capacité variable C D (V 0 +V n ) soumise à la tension V 0 +V n. On supposera cette modélisation valable par la suite. 18. On place, en parallèle avec l élément non linéaire C D de la figure 2b), une capacité linéaire C L. Il est 1 possible de choisir judicieusement la valeur de C L pour que l on ait approximativement C L +C D (V) a+bv sur le domaine V [1V,3V]. En déduire que la chargeq(v) portée par la capacité variable soumise à la tension V 0 +V n est de la forme : Q(V 0 +V n ) = Cte+Q 0 ln(1+ V n F 0 ) où Q 0 et F 0 sont des constantes que l on exprimera en fonction de a, b et V 0. Propagation de solitons sur la ligne 19. Reprendre l étude des questions 1 et 2 et montrer que, désormais : [ Q 0 L d2 dt 2 ln 1+ V ] n = V n+1 +V n 1 2V n F 0 F 0 Ω Montrer que V n (t) = ch 2 (Ωc 0 t Pn) est solution de l équation précédente avec LQ 0c 2 0 = F 0 et Ω = sh(p) où P est un paramètre sans dimension. On pourra exprimer le second membre de l équation différentielle précédente en utilisant la relation suivante, valable pour tout κ :

3 3 DS2 Sciences Physiques MP Ω 2 c 2 0 ch 2 (Ωc 0 t κ) = d2 dt 2 ln[ch(ωc 0t κ)] On donne de plus la formule : ch(u+v)ch(u v) = ch 2 u+sh 2 v. 21. Tracer l allure de cette solution à t fixé en fonction de n. Exprimer sa vitesse de propagation v (nombre de cellules par unité de temps) à l aide de c 0 et P. Quelle est son amplitude maximale V max? Son étalement (ordre de grandeur de sa largeur)? Montrer qu une telle onde n existe que si v est supérieur à une valeur critique que l on précisera. 22. Application numérique. On prend L = 2, H, Q 0 = 3, C et F 0 = 4,5V. Calculer c 0. Expérimentalement on a observé sur une telle ligne v = 2,5cellules µs 1. Évaluer l amplitude de V n et estimer la durée de passage du soliton dans la cellule (n). 23. En supposant que chaque soliton représente un bit d information, quel débit obtient-on avec cette ligne? Problème n o 2 Modélisation d un microscope Capes 2005 Là où finit le télescope, le microscope commence. Lequel des deux a la vue la plus grande? Victor Hugo Le plus simple des microscopes visuels est constitué de deux lentilles convergentes considérées comme minces. La première, l objectif, devra donner de l objet une image agrandie. La seconde, l oculaire, rendra cette image observable à l œil. Dans tout ce problème, on notera L les lentilles minces, O la position de leur centre optique, F celle du foyer objet et F celle du foyer image. On notera AB les objets, A étant leur position sur l axe optique et AB leur taille algébrique. Ces objets seront considérés comme plans perpendiculaires à l axe optique. A. Généralités 1. Qu appelle-t-on rayon lumineux? Quels liens y a-t-il entre une onde électromagnétique et le rayon lumineux qui lui est associé? 2. Citer et décrire un phénomène qui ne s explique que par la théorie ondulatoire de la lumière. 3. Citer et décrire un phénomène qui ne s explique que par la théorie corpusculaire de la lumière. 4. Qu appelle-t-on stigmatisme? Est-il rigoureux dans les systèmes optiques usuels? 5. Définir un objet et une image au sens de l optique géométrique. 6. Qu appelle-t-on aplanétisme? 7. Qu appelle-t-on foyer image d un système optique? Comment peut-on le déterminer expérimentalement de façon très simple? 8. Qu est-ce qu une lentille? Qu appelle-t-on lentille mince? 9. Comment peut-on distinguer une lentille convergente d une lentille divergente? 10. Rappeler les formules de conjugaison des lentilles minces de Descartes et de Newton. B. Modélisation d un microscope L objectif sera réalisé avec une lentille convergente L 1, placée en O 1, de distance focale f 1 = O 1 F 1. On prendra graphiquement, f 1 = 1cm, O 1 A = 1,5cm et AB = a = 0,5cm. 11. Construire A 1 B 1, l image de AB à travers L Définir puis calculer les grandissement γ 1 de cette lentille en fonction de f 1 et de p 1 = O 1 A. 13. Où doit-on placer un objet AB pour que son image A 1 B 1 à travers L 1 soit réelle et agrandie? 14. Peut-on observer une image réelle directement à l œil nu? 15. Où faut-il placer l oculaire L 2 pour que l œil puisse observer l image A B de A 1 B 1 à travers L 2 sans accommodation? 16. On place l oculaire L 2 à l endroit déterminé avant. De plus, on prendra graphiquement f 2 = 4cm. Peut-on dessiner l image A B de A 1 B 1? 17. Représenter l angle α sous lequel on voit A B et exprimer cet angle en fonction de γ 1, a et f 2. On appelle doublet de lentilles minces, une association de deux lentilles L 1 et L 2. On caractérise ce doublet par f 1 et f 2, les distances focales et par l écartement = F 1 F Dans le cas général, donner les positions des foyers F et F du doublet en fonction de O 1, O 2, f 1, f 2 et si nécessaire.

4 Sciences Physiques MP DS2 4 C. Caractéristiques d un microscope On rappelle que le grossissement commercial d un instrument optique est G c = α /α ref avec α ref l angle sous lequel un observateur verrait AB à une distance conventionnelle d PP = 25cm, et α l angle sous lequel on voit l image dans l instrument optique. 19. Calculer le grossissement commercial du microscope G c d un microscope en fonction de γ 1, f 2 et d PP. 20.Onrappellequela puissancecommercialep d un instrumentd optiqueest définie parp = α /AB.Calculer celle d un microscope en fonction de γ 1 et f 2. Préciser l unité. L œil normalpeut voir entrele Punctum ProximumPP situé à une distance d PP = 25cm de l œil et le Punctum Remotum PR situé à une distance infinie d PR. 21. On définit le cercle oculaire comme le disque où se concentrent l ensemble des rayons après la traversée du microscope. Ce cercle oculaire est situé au voisinage du foyer image de l oculaire. Le microscope étant réglé pour regarder sans accommodation l objet A tel que O 1 A = 1,5cm, donner l ensemble des points A 1 que peut voir l œil lorsqu il est placé au niveau du cercle oculaire. 22. Quel est alors l ensemble des points objets situés sur l axe que l œil pourra voir? Problème n o 3 Disques protoplanétaires Centrale TSI 2015 Depuis 1995, des milliers d exoplanètes ont été découvertes et l étude des mécanismes de formation d une ou de plusieurs planètes autour d une étoile est devenue une partie extrêmement prolifique de l astrophysique. Le scénario actuellement retenu met en jeu un disque protoplanétaire, une couche fine de poussières en rotation autour de l étoile naissante. À l intérieur de ce disque, des phénomènes de sédimentation, d agrégation, d accrétion et de collision aboutissent à la formation d un système planétaire en orbite autour de son étoile. L observation des disques protoplanétaires est grandement compliquée par la très grande différence de luminosité entre l étoile centrale et le disque. Cependant, en utilisant plusieurs télescopes du VLT (Very Large Telescope), la méthode de l interférométrie annulante permet de pallier cette difficulté. Données : Année-lumière : 1A.L. = 9, m Unité astronomique : 1U.A. = 1, m A. Caractéristiques du disque observé L image d un point situé à l infini, rayonnant à une longueur d onde λ 0 = 10µm, par un des télescopes du VLT est une tache de diffraction de taille t = 130µm. On admet ici que l on peut modéliser ce télescope par un diaphragme circulaire de diamètre D = 8, 2 m suivi d une lentille convergente équivalente au télescope de distance focale f eq. 1. Estimer la valeur de l angle d évasement ε du faisceau lumineux après la traversée du diaphragme circulaire de diamètre D = 8,2m. 2. Préciser la position de l image géométrique d une étoile située sur l axe optique d un télescope. 3. Déterminer l ordre de grandeur de la distance focale équivalente f eq du VLT. Soit un disque protoplanétaire tel que celui de l étoile β Pictoris, Cette étoile est située à 63,4 années-lumière du système solaire et est 1,75 fois plus massive que le Soleil. En 2008, les astrophysiciens ont annoncé avoir détecté une planète, baptisée β Pictoris b, dont l orbite autour de cette étoile a un rayon égal à 8 à 9 unités astronomiques et dont la période orbitale est de 17 à 21 ans. Cette planète est visible sur l image de la figure 3 où la ligne en pointillés est la trace de l intersection du plan moyen du disque avec le plan de l image. Par ailleurs, cette figure indique la taille de l orbite de Saturne autour du Soleil afin d illustrer les ordres de grandeur des distances. 4. À l aide de l image et des données précédentes, déterminer le diamètre typique du disque protoplanétaire autour de β Pictoris, puis en déduire la taille angulaire θ D sous laquelle le disque est vu depuis la Terre. Déterminer également la distance angulaire θ P séparant l étoile et la planète vues depuis la Terre. Commenter sachant que la résolution du VLT est de l ordre de quelques millisecondes d arc.

5 5 DS2 Sciences Physiques MP taille de l orbite de Saturne autour du Soleil β Pictoris b β Pictoris le disque dans le plan de l image autour de l étoile n a pas de réalité physique, il est lié au système d imagerie nord le disque protoplanétaire se situe dans un plan perpendiculaire au plan de l image est Figure 3 β Pictoris et son disque vu par la tranche, imagés par le VLT (d après ESO/A.-M. Lagrange et al.) B. Principe de l interférométrie annulante Le physicien français Antoine Labeyrie est parvenu, dans les années 1970, à mettre en place le premier couple de télescopes interférométriques. L australien Bracewell a ensuite repris ce concept et a proposé d utiliser l interférométrie pour éteindre artificiellement des sources intenses au voisinage de sources peu intenses. Cette technique d interférométrie annulante est utilisée pour l observation des disques protoplanétaires. Principe de l extinction de l image de l étoile On modélise le couple de télescopes T 1 et T 2 par deux trous d Young T 1 et T 2 de même rayon, séparés d une distance L, éclairant un écran situé dans le plan focal image d une lentille convergente de distance focale f eq, dont l axe optique est perpendiculaire au plan des deux ouvertures situées en avant de la lentille et passe par le milieu du segment [T 1 T 2 ]. On pointe le dispositif d observation vers l étoile β Pictoris, située au centre du disque protoplanétaire étudié. Cet objet céleste est considéré à l infini sur l axe optique de la lentille équivalente au télescope. On s intéresse dans un premier temps au rayonnement issu de l étoile centrale. 5. Faire un schéma du dispositif modèle en y reportant les grandeurs pertinentes. Tracer les rayons lumineux pertinents issus de l étoile centrale et interférant en un point M du plan focal image de la lentille équivalente. 6. On notera x l abscisse de M repérée par rapport au foyer principale image F, le long d un axe parallèle à [T 1 T 2 ]. On place en entrée du système un filtre qui sélectionne uniquement le rayonnement associé à la longueur d onde λ 0. Ainsi, dans toute la suite de cette partie, on considère un rayonnement monochromatique à cette longueur d onde. Exprimer, au niveau du point M, la différence de marche géométrique entre les rayons passant par T 1 et T 2, si on fait les approximations f eq L et f eq x. 7. Lors de la traversée de l ouverture T 1, la vibration lumineuse est déphasée de π à l aide d un dispositif annexe qui n introduit aucune différence de marche géométrique entre les deux voies de l interféromètre. En déduire la différence de marche totale entre les deux rayons interférant en M. 8. On suppose uniforme l éclairement obtenu, au niveau de la zone utile du plan d observation, à l aide d un seul des télescopes. On note I 0E son intensité. On suppose de plus que cette intensité est la même pour les deux télescopes. En déduire l éclairement I E (x). Tracer son allure. Que constate-t-on si on place un détecteur quasi ponctuel en x = 0? Ce résultat dépend-il de L? Commenter. Visibilité du disque, contrainte sur L On s intéresse maintenant uniquement au rayonnement issu d un point P du disque (sauf à la question 11., situé à une distance angulaire θ de l étoile définie sur la figure 4. Le dispositif pointe toujours vers l étoile β Pictoris. On cherche à contraindre le choix de L. 9. Exprimer la différence de marche totale entre les deux rayons issus de P interférant en M(x) après être passés par T 1 et T 2. Là encore, on suppose que les intensités issues des deux télescopes sont égales et que la vibration lumineuse est déphasée de π lors du passage par T 1. En déduire l éclairement I D (x,θ) si on note I 0D

6 Sciences Physiques MP DS2 6 Figure 4 Principe d un réseau à deux télescopes (d après la thèse de S. Latex) l intensité lumineuse au niveau du plan d observation du rayonnement issu du point P et obtenue à l aide d un seul des deux télescopes. 10. Le point P constitue-t-il une source cohérente avec l étoile centrale β Pictoris? Donner l expression de l éclairement total I(x, θ) au point M(x). 11. On note I(θ) l éclairement total au niveau du centre du détecteur au point d abscisse x = 0 en considérant l étoile centrale et la source située au point P. Expliciter I(θ) et donner l expression L θ,n des diverses valeurs de L (indicées par l entier n) qui permettent de rendre cette intensité maximale. Commenter l expression interférométrie annulante. La reconstruction de l image entière du disque utilise le principe précédent : un système informatisé pilote l ensemble des télescopes pour imager les différents points du disque et reconstitue ensuite l image en couleurs composites, à l aide de calculs de transformées de Fourier.

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