MODÉLISATION ET SIMULATION DU TRAFIC ROUTIER PAR RÉSEAUX DE PETRI LOTS TRIANGULAIRES

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1 MODÉLISATION ET SIMULATION DU TRAFIC ROUTIER PAR RÉSEAUX DE PETRI LOTS TRIANGULAIRES Radha Gaddour, Leonardo Brenner, Isabel Demongodn To cte ths verson: Radha Gaddour, Leonardo Brenner, Isabel Demongodn. MODÉLISATION ET SIMULA- TION DU TRAFIC ROUTIER PAR RÉSEAUX DE PETRI LOTS TRIANGULAIRES. MOSIM 214, 1ème Conférence Francophone de Modélsaton, Optmsaton et Smulaton, Nov 214, Nancy, France. <hal > HAL Id: hal Submtted on 23 Jun 2 HAL s a mult-dscplnary open access archve for the depost and dssemnaton of scentfc research documents, whether they are publshed or not. The documents may come from teachng and research nsttutons n France or abroad, or from publc or prvate research centers. L archve ouverte plurdscplnare HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau recherche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de recherche franças ou étrangers, des laboratores publcs ou prvés.

2 1 e Conférence Internatonale de MOdélsaton, Optmsaton et Smulaton - MOSIM 14-7 au 9 Novembre Nancy - France «De l économe lnéare à l économe crculare» Modélsaton et smulaton du trafc router par Réseaux de Petr Lots Trangulares R. GADDOURI, L.BRENNER, I. DEMONGODIN Ax Marselle Unversté, CNRS, ENSAM, Unversté de Toulon, LSIS UMR 7296, 13397, Marselle, France radha.gaddour@lss.org, leonardo.brenner@lss.org, sabel.demongodn@lss.org RÉSUMÉ : Cet artcle décrt comment l évoluton dynamque du trafc router peut être prédte au nveau mésoscopque par Réseaux de Petr Lots Trangulares (RdPLots Trangulares). Dans ce contexte, nous comparons la modélsaton et l analyse du trafc router par RdPLots Trangulares avec le Modèle Cellulare de Transmsson (CTM). Les résultats de smulaton de deux formalsmes sur un exemple d autoroute montrent l effcacté, la faclté et la précson du formalsme événementel RdPLots Trangulare par rapport au CTM; au regard de la réducton du nombre de pas de smulaton et de la varaton de la longueur de congeston. MOTS-CLÉS : Réseaux de Petr Lots, Modélsaton, Smulaton, Congeston, CTM, Trafc router 1 INTRODUCTION De nombreuses recherches sont menées pour contrôler et prédre la congeston dans les systèmes de transport router par des technques récentes telles que la lmtaton varable de la vtesse, les systèmes de régulaton des rampes d accès (Ng et al. 213) (Canudas, 211). Cela a about à un large évental de modèles (Hoogendoorn et al. 21) décrvant les dfférents aspects du trafc router: l approche mcroscopque repose sur une descrpton du comportement ndvduel des véhcules; l approche macroscopque, basée sur l analoge avec la théore hydrodynamques, étude la crculaton collectve des véhcules; l approche mésoscopque se stue au nveau ntermédare de détals entre l approche mcroscopque et macroscopque. Les véhcules et le comportement des conducteurs ne sont pas étudés d une manère ndvduelle mas plutôt par agrégaton. Au nveau mésoscopque, l exste très peu de modèles événementels pour la modélsaton et la smulaton de l évoluton dynamque du trafc router (Ng et al. 213). Nous ctons le Modèle Cellulare de Transmsson (CTM) (Daganzo, 1994), l un parm les modèles les plus connus pour la modélsaton et la smulaton du trafc router. La revue de la lttérature révèle que le CTM présente pluseurs avantages notables. Le modèle est relatvement smple et suffsamment précs pour planfer des d analyse fnes. En outre, son caractère macroscopque/mésosocpque condut à une effcacté de calcul (Dong et al. 212). Toutefos, parm la classe qu se compose de formalsmes de dynamque événementelle et des modèles hybrdes, on trouve les réseaux de Petr contnus et hybrdes, ben adaptés à la modélsaton et l analyse des systèmes fludques. Pluseurs auteurs utlsent et étendent ces formalsmes hybrdes pour la modélsaton et l analyse des systèmes de trafc router. Les réseaux de Petr hybrdes sont utlsés par (Febbraro et al. 29) d un pont de vu macroscopque pour la représentaton et le contrôle des zones urbanes à feux. Les réseaux de Petr fludes sont auss ben adaptés pour le contrôle et la modélsaton des systèmes de trafc (Bobbo et al. 26). Pour représenter les goulots d étranglement de véhcules et contrôler la vtesse, (Demongodn, 29) a défn les réseaux de Petr avec lot contrôlable comme modèle mésoscopque. (Gaddour et al. 214b) ont étendu ce formalsme, pour rédure la congeston et optmser le flux des véhcules dans le trafc router, par l assocaton de nouvelles caractérstques lées à la place lot. Cette nouvelle place, appelée place lot Bpartes ntègre une relaton flux-densté trangulare, la vtesse de propagaton de la congeston et la densté crtque, deux concepts utlsés dans les systèmes de trafc router. Dans ce paper, une comparason entre les résultats de smulaton de deux formalsmes mésoscopques Rd- PLots Trangulare et CTM, est présentée. La secton 2 rappelle les défntons et les concepts de base du RdPLots Trangulare. La secton 3 présente le modèle CTM. Un exemple de modélsaton et smulaton d une autoroute par les deux formalsmes et l analyse des résultats obtenus, font l objet de la secton 4. 2 Réseaux de Petr Lots Trangulares Un réseau de Petr Lots Trangulare (RdPLots Trangulare) est une extenson du réseau de Petr Lots

3 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France Généralsé (Demongodn, 21) et du RdPLots avec lot contrôlable (Demongodn, 29) par l assocaton des nouvelles caractérstques à la place lot, appelée place lot B-partes, ntègrant une relaton fluxdensté trangulare, une vtesse de propagaton de la congeston et une densté crtque, concepts observés dans les systèmes de transport router. 2.1 Défntons et notatons Tout d abord, nous étendons la défnton du Rd- PLots Généralsé (Demongodn, 21) en enrchssant la foncton caractérstque γ de la place lot p par un nouveau paramètre correspondant au flux maxmal Φ max (Gaddour et al, 214b). Les noeuds du Rd- PLots Trangulare sont représentés dans la fgure 1. place dscrète d j transton j transton j dscrète contnue 3. place contnue place lot B-partes: V, d max, S, max transton lot Fgure 1: Noeuds du RdPLots Trangulare Defnton: Un réseau de Petr Lots Trangulare est un 6-tuple R = (P, T, P re, P ost, γ, T empo) tels que: P = P D P C P BB est un ensemble fn de places dvsé en tros types de classes: places dscrètes, places contnues et places lot B-partes. T = T D T C T B est un ensemble fn de transtons dvsé en tros types de classes: transtons dscrètes, transtons contnues et transtons lots. P re, P ost : (P D T N) ((P C P BB ) T R ) sont, respectvement, les matrces de préncdence et post-ncdence, désgnant le pods sur les arcs de place vers les transtons et de transtons vers les places. γ : P BB R> 4 assoce à chaque place lot B-partes p P BB le quadruplet γ(p ) = (V, d max, S, Φ max ) qu représente, respectvement, la vtesse, la densté maxmale, la longueur et le flux maxmum de p. T empo : T R assoce un nombre non négatf pour chaque transton: S t j T D, alors T empo(t j ) = d j durée assocée à la transton dscrète; S t j T C T B, alors T empo(t j ) = Φ j flux maxmum assocé à la transton contnue ou lot. La matrce d ncdence de RdPLots Trangulare est défne par C = P ost P re. Defnton: Le marquage de RdPLots Trangulare à un nstant τ est défn par m(τ) = [m 1 (τ)...m (τ)...m n (τ)] T tels que: s p P D alors m N,.e, le marquage d une place dscrète est un enter non négatf; s p P C alors m R,.e, le marquage d une place contnue est un réel non négatf; s p P BB alors m = {β h,..., β r },.e, le marquage d une place lot B-partes est un ensemble ordonné de lots. Nous défnssons une densté crtque de la place lot B-partes qu correspond au flux maxmal de cette place lot B-partes. A noter que dans le réseau de Petr lots Généralsé, le flux maxmal est lé à la densté maxmale. Pour une place lot B-partes, la densté maxmale correspond à un flux nul. Defnton Pour une place lot B-partes, avec γ(p ) = (V, d max, S, Φ max ), la densté crtque d cr est défne par: d cr = Φmax (1) V Nous étendons également pour la place lot B-partes, l état accumulé dans le réseau de Petr Lots Généralsé. Cet état est mantenant formalsé par une équaton lnéare entre le flux et la densté des lots, qu ont une densté supéreure à la densté crtque. Cette équaton a une pente négatve appelée vtesse de propagaton de la congeston. Defnton Pour une place lot B-partes p, avec γ(p ) = (V, d max, S, Φ max ), la vtesse de propagaton de congeston est assocée à p, notée W est défne par: W = d max Φ max V V Φ max (2) A partr de ces défntons, la relaton flux-densté de la place lot B-partes peut être étable mantenant: Defnton La relaton flux-densté qu régt la dynamque des lots contrôlables à l ntéreur de la place lot B-partes p avec γ(p ) = (V, d max, S, Φ max ) est défne comme sut: { dr.v f d r d cr ϕ r = W.(d max d r ) f d cr < d r d max (3) 2.2 Dynamques des lots contrôlables La dynamque d un RdPLots Trangulare est basée sur un comportement à temps contnu et à événements dscrets. Afn d ntégrer les phénomènes de congeston/décongeston qu ntrodusent des retards varables des untés sur un composant de flux contnu. Une relaton flux-densté (équaton.3) est assocée à une place lot B-partes p. Ans les lots contrôlables composant la place p dovent respecter cette relaton

4 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France flux-densté (Gaddour et al. 214 a)). Un lot contrôlable est défn comme sut: Defnton Un lot contrôlable Cβ r (τ) à un nstant τ, est défn par un quadruplet, Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)) où l r (τ) R est sa longueur, d r (τ) R sa densté, x r (τ) R sa poston et v r (τ) R est la vtesse de ce lot. Le flux nstantané de Cβ r (τ) est défn par: ϕ r (τ) = v r (τ).d r (τ). Quelques contrantes sur les caractérstques des lots dovent être respectées: l r (τ) x r (τ) S (contrantes sur la poston et la longueur), d r (τ) (contrante sur la densté) et v r (τ) V (contrante sur la vtesse). Un lot contrôlable Cβ r, qu a sa poston égale à la longueur de la place, c està-dre x r (τ) = S, est dt un lot contrôlable de sorte. d max l évoluton des lots contrôlables à l ntéreur de la place lot B-partes permute entre tros comportements lnéares possbles (comportement lbre, de congeston et de décongeston). Toutes ces places ntrodusent une dynamque hybrde caractérsée par deux états qu peuvent se résumer comme sut : Defnton États des lots. Sot Cβ r(τ) = (l r (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)) un lot contrôlable de la place p. Cβ r est dt en état lbre s sa densté est nféreure à la densté crtque de p : d r (τ) d cr (τ); Cβ r est dt en état de congeston s sa densté est supéreure à la densté crtque de p : d r (τ) > (τ). d cr Pour la compréhenson de l évoluton de lots contrôlables, rappelons tout d abord quelques notons dédées à la place lot qu peuvent également être applquées à une place lot B-partes (Demongodn, 21, 29) et (Demongodn and Gua, 21). Les défntons des flux d entrée et de sorte des places lots B-partes sont dentques à ceux défns pour les places lots dans les réseaux de Petr Lots Généralsé (Demongodn, 21). Defnton Le flux d entrée resp. de sorte d une place contnue ou lot p à un nstant τ est la somme de tout flux entrant (resp., sortant) de la place et peut être écrt, respectvement, comme sut: φ n (τ) = t j p P ost(p, t j ) ϕ j (τ) = P ost(p, ) ϕ(τ) et φ out (τ) = t j p P re(p, t j ) ϕ j (τ) = P re(p, ) ϕ(τ). Defnton A un nstant donné τ, dverses fonctons statques peuvent être applquées sur les lots composant le marquage de la place p : Créaton. S le flux d entrée de p est non nul, c est-à-dre, φ n (τ), un lot contrôlable Cβ r (τ) = (, d r (τ),, v r (τ)) avec d r (τ) = φ n (τ)/v et v r (τ) = V, est créé et ajouté au marquage de p. Destructon. S la longueur du lot, Cβ r (τ), est nulle, l r (τ) =, et s ce n est pas un lot créé, x r (τ), le lot Cβ r (τ) est détrut, noté Cβ r (τ) =, et retré du marquage de p. Fusonnement. S deux lots avec la même densté et la même vtesse sont en contact, ls peuvent être fusonnés. Soent deux lots Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)) et Cβ h (τ) = (l h (τ), d h (τ), x h (τ), v h (τ)), telle que x r (τ) = x h (τ) + l r (τ), d r (τ) = d h (τ) et v r (τ) = v h (τ). Dans ce cas, le lot Cβ r (τ) devent Cβ r (τ) = (l r (τ) + l h (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)), le lot β h (τ) est détrut. Éclatement. Il est toujours possble d éclater un lot en deux lots en contact avec la même densté et la même vtesse. Remarque: La densté et la vtesse des lots ne peuvent pas être varées dans le temps, tands que leur valeur peut changer lorsqu un événement se produt. En d autres termes, ces deux caractérstques sont des constantes tands que la longueur et la poston sont lnéares dans le temps. Par conséquence, pour tout lot Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)), on dédut: d r = v r =. A l ntéreur d une place lot B-partes (BB-place), dverses équatons régssent la dynamque des lots: l entrée, le déplacement et la sorte. Entre deux événements, un lot peut se déplacer dans tros dfférents comportements: le comportement lbre, le comportement de congeston et le comportement de décongeston (Gaddour et al. 214 a)) Comportement lbre. Un lot contrôlable Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)) de p est dans un comportement lbre, s l se déplace lbrement à sa vtesse de transfert v r (τ). Tros dfférentes dynamques peuvent se produre: ) Entrée. un lot contrôlable créé, Cβ r (τ) = (, d r (τ),, v r (τ)), sans contact avec un autre lot, entre lbrement dans la place p conformément à: x r = l r = v r (τ); ) Déplacement. un lot contrôlable, Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)), qu est un lot lbre, se déplace lbrement à l ntéreur de la place p conformément à: x r = v r (τ); lr =. ) Sorte. un lot contrôlable de sorte Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), S, v r (τ)), qu a son flux égal ou nféreur au flux de sorte de p, sort lbrement de la place p conformément à: x r = ; lr = v r (τ) Comportement de congeston. Un lot contrôlable Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)) de la place lot B-partes p est en comportement de congeston, s l ne peut pas se déplacer avec sa propre vtesse, c est-à-dre, l commence la congeston. Par exemple, à un nstant τ sot un lot contrôlable de sorte OCβ r (τ) de p, où le flux de sorte de p est nféreur au flux de lot de sorte (φ out (τ) < ϕ r (τ)). Dans ce cas, OCβ r (τ) sort en comportement de congeston. Il est éclaté en deux

5 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France lot en contact: Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), S, v r (τ)) et OCβ r (τ) = (, d r (τ), x r (τ), v r (τ)) avec: d r (τ) = d max φ out /W ; v r (τ) = φ out /d r (τ) et x r (τ) = S. A partr l nstant τ, l évoluton de deux lots Cβ r et OCβ r est rége par (Eq.21) et (Eq.22) dans (Gaddour et al, 213) Comportement de décongeston. Un lot contrôlable de sorte congestonné OCβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), x r (τ), v r (τ)) de p est en comportement de décongeston, s l peut se déplacer avec une vtesse plus élevée. Par exemple, sot à un nstant τ, un lot de sorte congestonné OCβ r (τ) de p qu a un flux supéreur au flux de lot de sorte (φ out (τ) > ϕ r (τ)). Dans ce cas, OCβ r (τ) sut un comportement de décongeston. Il est éclaté en deux lots en contact : Cβ r (τ) = (l r (τ), d r (τ), S, v r (τ)) et OCβ r (τ) = (, d r (τ), x r (τ), v r (τ)) avec: d r (τ) = d max φ out /W, v r (τ) = φ out /d r (τ) et x r (τ) = S et v r (τ) = V, d r (τ) = φ out /V et x r (τ) = S. 2.3 Dynamque du RdPLots Trangulare La dynamque de RdPLots Trangulare est basée sur une approche à événements dscrets avec des évolutons contnues lnéares ou constantes entre deux événements temporsés. Defnton L état nvarant du RdPLots Trangulare correspond à une pérode de temps telle que: le marquage des places dscrètes est constant; le flux de franchssement nstantané des transtons contnues et lots est constant; le marquage réservé des places dscrètes et contnues est constant. L état nvarant change s et seulement s un de ces événements suvants se produt: Événements nternes:.1) un lot devent lot de sorte Cβ r = OCβ r ;.2) deux lots se rencontrent;.3) un lot de sorte est détrut OCβ r =. Événements externes: e.1) une transton dscrète est franche: t j ; e.2) une place contnue devent vde m n = ; e.3) une transton dscrète devent valde m n = a; e.4) un lot devent lot de sorte (.e. événement.1) au dessus); e.) un lot de sorte est détrut (.e. événement.3) au dessus); Événements contrôlés: c.1) le flux des transtons lots est modfé: Φ j (τ) = φ j (τ); c.2) la vtesse de la place lot B-partes est modfé: V = v (τ). La dynamque de Réseaux de Petr Lots Trangulare est basée sur une approche à événements dscrets avec évolutons contnues lnéares ou constantes entre deux événements temporsés. L état du système est calculé seulement quand l subt une dscontnuté. Cette dynamque teste l exstence des événements contrôlés à la date courante, détermne l état des lots et des transtons (valdes ou non valdes) pour calculer le flux de franchssement nstantané des transtons lots et contnues. Ensute, tous les événements temporsés qu changent l état global du système sont calculés, et la date de l événement le plus proche dans le temps est retenue. Fnalement le nouveau marquage est calculé. Cette dynamque s arrête quand la lste des événements est vde ou quand un état nvarant qu exste déjà est retrouvé. La fgure 2) montre l algorthme de smulaton de RdPLots Trangulare. Marquage ntal Evénements contrôlés à la date courante OUI Détermnaton de caractérstques et états des lots Détermnaton des transtons valdes Calcul de flux de franchssement nstantané (IFF) de transtons T C et T B Calcul de dates des prochans événements Date courante = date de l événement la plus proche dans le temps Calcul du nouveau marquage NON Détermnaton de caractérstques dynamques des places lot Modfcaton du flux maxmal des transtons contnues et lots NON Temps de smulaton fn ou lste des événements est vde Fgure 2: Algorthme de smulaton de RdPLots Trangulare Fn 3 Modèle Cellulare de Transmsson Le modèle cellulare de transmsson a été développé par (Daganzo, 1994) pour la prédcton de l évoluton dans le trafc router, basé sur une dscrétsaton spato-temporelle. (Daganzo, 1994) a démontré que s la relaton entre le flux de la crculaton des véhcules (Q) et la densté (k) est de la forme trangulare représentée dans la fgure 3, alors pour une densté k tel que k k j ( avec k j est la densté maxmale d une route) le flux est exprmé par la formule suvante: Q = mn {v, k, Q max, w.(k j k)} (4) Dans cette expresson, v, Q max, w et k j sont des constantes désgnent respectvement, la vtesse lbre, le flux maxmum (ou capacté), la vtesse de propagaton (lorsque le trafc est congestonné) et la densté maxmale. OUI

6 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France k j 1/v+1/w Q max Q v k Fgure 3: Dagramme trangulare de CTM En CTM, un tronçon de route est représenté par une secton qu est dvsée en cellules, numérotées de = 1 à I. Les longueurs des cellules sont fxées égale à la dstance parcourue en crculaton flude par un véhcule type en un coup d horloge. Dans des condtons du trafc fludes, tous les véhcules dans une cellule peuvent être passés à la cellule suvante à chaque coup d horloge, c est-à-dre: n +1 (τ) = n (τ) () Où n (τ) est le nombre de véhcules dans la cellule à l nstant τ. Les paramètres suvants sont défns pour chaque cellule: N (τ): c est le nombre maxmum des véhcules qu peut être présent dans une cellule à un nstant τ, c est le produt de la longueur de cellule x ( avec x = v. τ) et sa densté maxmale. Q (τ): c est le nombre maxmum de véhcules pouvant crculer dans la cellule lorsque l horloge avance de τ à τ +1. C est le produt de l ntervalle d horloge et la capacté de la cellule. S les cellules sont numérotées de façon consécutve en commençant par l extrémté amont de la secton routère à partr de = 1 à I, la lo de transmsson est donnée par une sute récurrente de cellules: n (τ + 1) = n (τ) + y (τ) y +1 (τ) (6) Où n (τ + 1) est l occupaton de la cellule à l nstant τ + 1, n (τ) est l occupaton de la cellule à l nstant τ, y (τ) est le flux d entrée à τ, y +1 (τ) est le flux de sorte à τ. Les flux sont lés à l nstant τ comme ndqué c-dessous: y (τ) = mn {n 1 (τ), Q (τ), N (τ) n (τ)} (7) Dans la secton suvante, nous allons présenter un exemple de modélsaton et smulaton d une autoroutes. Nous comparons les résultats de deux formalsmes mésoscopques RdPLots Trangulare et CTM afn de montrer les avantages et la fablté du modèle hybrde événementel RdPLots Trangulare pour la modélsaton et la smulaton de l évoluton dynamque du trafc router. -w k j 4 Modélsaton et smulaton du trafc router On propose dans cette secton la modélsaton et smulaton d une autoroute à tros voes d une longueur de 2 km. Cette autoroute n a pas des rampes d entrées n de sortes. On consdère dans notre exemple, une zone des travaux de longueur égale à 1 km où le nombre de voes est rédut à deux. On peut alors, consdérer que cette autoroute a deux sectons dstnctes (S1 et S2). Les paramètres de chaque secton sont présentés dans le tableau 1. Tableau 1: paramètres de l autoroute Secton S1 (3 voes) S2 (2 voes) L (km) 1 1 v (km/h) 12 9 k j (veh/km) 3 2 Q max (veh/h) De façon à montrer l évoluton des véhcules au moment de la smulaton, on consdère que la secton 1 content 4 véhcules tands que la secton 2 est vde. On consdère également un flux d entrée nul. 4.1 Étude par Réseaux de Petr Lots Trangulare Le modèle RdPLots Trangulare, présenté dans la fgure 4, représente l autoroute decrte c-avant. Les sectons S 1 et S 2 de l autoroute sont représentées par les places lot B-partes p 4 et p respectvement. Les places contnues p 1 et p 2 lmtent la capacté en termes de nombre de véhcules de chaque place lot Bpartes p 4 et p. Le flux d entrée de cette autoroute est supposé nul, c est à dre φ n 4 = Φ 1 =, tands que les autres sont: φ out 4 = φ n = Φ 2 = 327 et φ out = Φ 3 = 327 veh/h. Le flux maxmal des places lot B-partes sont: Φ max 4 = 6 veh/h et Φ max = 327 veh/h. À partr des paramètres de chaque secton et à partr de deux équatons 2 et 1, on peut dédure la vtesse de propagaton de la congeston et la densté crtque de deux places lot Bpartes p 4 et p respectvement. Pour la place p 4, on a W 4 = 24 km/h et d cr 4 = veh/km, et pour la place p, on a W = 2 km/h et d cr = 36.4 veh/km. L état ntal du modèle RdPLots Trangulare content un lot contrôlable Cβ 1 (τ ) = (.89, 4,.89, 1) dans place lot B-partes p 4. Ce lot représente les 4 véhcules présents dans la secton S1 de l autoroute. Le marquage ntal est m(τ ) = (26, 2,, Cβ 1 (τ ), ). A partr de l état ntal, cnq états nvarants ont été attents. Les cnq événements temporsés sont:

7 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France Ф 1 = p 4 V 4=12 V =9 d max 4=3 p d max =2 s 4=1 Ф 2 =327 s =1 Ф 3 =327 Ф max 4=6 Ф max 4=327 4 Secton 1 (p4) Secton 2 (p) 3 t 1 t 2 t p 3 Vehcules 2 p 1 p 2 Fgure 4: Modèle RdPLots Trangulare de l autoroute (Ev1, déla:.8 h) le lot contrôlable de p 4 devent lot de sorte, Cβ 1 = OCβ 1 ; (Ev2, déla:.6 h) le lot de sorte devent congestonné d 1 = d max 3 φout 4 W 4 ; (Ev3, déla:.6 h) le lot contrôlable de p devent lot de sorte, Cβ 2 = OCβ 2 ; 1 Fgure : Nombre de véhcules dans secton S 1 et S 2 (p 4 et p ). (Ev4, déla:.1 h) le lot de sorte OCβ 1 de p 4 est détrut, OCβ 1 = ; (Ev, déla:.1 h) le lot de sorte OCβ 2 de p est détrut, OCβ 2 =. Longueur(Km) L objectf ntal est de smuler le modèle RdPLots Trangulare pour une durée de mnutes (T = 1/4 h). Cependant, on a peut constater que à la date τ =. h car l n exste plus d événements à smuler. Le caractère événementel du formalsme RDPLots Trangulare nous a perms d arrêter la smulaton à cette date. Les données obtenues de la smulaton peuvent être étudées de dfférents formes. Nous sommes ntéressés dans ce artcle aux données relatves au nombre d enttés (véhcules) dans les places lots B-partes (p4 et p) et surtout à la longueur de congeston à la sorte d une place lot p4. Ces données sont présentées dans les fgures et 6. La fgure montre la varaton du nombre de véhcules dans chaque place lot B-partes. Pour p 4 le nombre est égal à 4 véhcules jusqu à la date de sorte (à τ =, 8 h), et à partr de ce moment-là le nombre commence à dmnuer jusqu à la date de la destructon totale de lot de sorte. Pour la place p, un lot est créé au moment de la sorte du premer lot de p 4 (à, 8 h) et à partr de cette date, le nombre augmente jusqu à ce que le lot attent la sorte et ensute l commence à dmnuer jusqu à ce que le lot de sorte se détrut. La fgure 6 montre la varaton de la longueur de la congeston dans la place lot B-partes p 4. Connassant la longueur de la congeston en temps réel nous.1 Fgure 6: Longueur de congeston dans la secton S 1 (place p 4 ) permet de dédure le temps restant pour dssper cette congeston. Nous fasons par la sute la modélsaton et smulaton de la même autoroute pour le formalsme CTM. Les données obtenues nous permettrons de comparer les deux formalsmes. 4.2 Étude par le modèle cellulare de transmsson Dans cette secton on modélse l autoroute à deux sectons présentée précédemment. On smule par la sute le modèle obtenu pour la pérode de mnutes (T = 1/4 h) avec deux coups d horloge dfférents (1 e 1 seconde). Dans les sectons suvantes on présente, pour chaque coup d horloge, les 4 étapes de smulatons décrtes par (Daganzo, 1994) et on estme la longueur de congestons, basée sur l occupaton de cellules.

8 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France Premer cas: coup d horloge de 1 sec (1/36 h) A) Détermnaton de la longueur des cellules et du nombre des cellules dans chaque secton: ) Premère secton: Étant donné un coup d horloge τ = 1/36 h, la longueur des cellules: x = v 1 τ = 12 1/36 = 1/3 km. La longueur de la secton est égale à 1 km, par conséquent, le nombre de cellules est égal à: L 1 / x = 1/(1/3) = 3 cellules. ) Seconde secton: Pour le même coup d horloge, nous avons la longueur des cellules: x = v 2 τ = 9 1/36 = 1/4 km. La longueur du deuxème secton est égale auss à 1 km, par conséquent, le nombre de cellules est égal à: L 2 / x = 1/(1/4) = 4 cellules. Secton 1 Secton 2 C.1 C.2 C.3 C.1 C.2 C.3 C.4 Fgure 7: Nombre des cellules dans chaque secton B) Détermnaton des constantes (N et Q): ) Premère secton: Le nombre maxmum de véhcules qu peuvent être à l nstant τ dans la cellule est donné par: N = x k j 1 = 1/3 3 = 1 véh. Le nombre maxmum de véhcules pouvant crculer dans la cellule de l nstant τ à τ +1 est donné par: Q = Q max 1 τ = 6 1/36 = 17 véh. ) Seconde secton: N = x k j 2 = 1/4 2 = véh et Q = Q max 2 τ = 327 1/36 = 9 véh. C) Détermnaton de la capacté de congeston: À l état ntal, ls sont 4 véhcules dans les cellules (n (τ) = 4 véh), après un rétrécssement de voes, le flux de sorte est rédut à 327 veh/h, donc la capacté à la congeston Q = 327 (1/36) = 9 véh. D) Calcul des occupatons: On consdère la trosème cellule de la premère secton au deuxème coup d horloge. Conformément à la lo de conservaton de flux dans l équaton 6 : Occupaton = stockage + flux d entrée - flux de sorte. Également le flux de sorte d une cellule est égale au flux d entrée de la cellule suvante seulement. Par exemple c : Stockage =, Flux d entrée= mn {17, 17, (1 )} = 17(selon l équaton 7), le flux de sorte = mn {, 9, (1 )} = (selon l équaton 7), on dédut l occupaton = +17 = 17 veh. Vehcules Fgure 8: Nombre de véhcules de la cellule 3 (premère secton) La fgure 8 montre la varaton du nombre de véhcules dans la cellule 3 (dernère cellule) dans la premère secton. Les 4 véhcules dans la premère cellule prennent deux coups d horloge pour attendre la trosème cellule de la premère secton. Comme nous pouvons le vor, le flux d entrée (17 véh) est plus grand que le flux de sorte (9 véh) et à partr du trosème coup d horloge, le nombre de véhcules dans cette cellule commence à augmenter conformément à l équaton tératve 6, jusqu à ce que la trosème cellule devent complètement congestonnée. Vehcules Fgure 9: Nombre de véhcules de la cellule 1 (deuxème secton) La fgure 9 montre la varaton du nombre de véhcules dans la premère cellule sur la seconde secton. Ans, pour le premer coup d horloge, le nombre de véhcules de cette cellule égale à véhcule. Les véhcules attendront cette cellule que dans le trosème coup d horloge. L occupaton reste stable à 9 véh pendant 7 coups d horloge, pus dmnue lorsque les 4 véhcules ont été sortes. Le formalsme CTM ne nous donne pas drectement

9 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France la longueur de la congeston dans les sectons. Pour cela nous allons proposer une estmaton. Estmaton de la longueur de congeston dans CTM: Pour notre étude, nous voulons comparer la longueur de la congeston de deux formalsmes CTM et RdPLots Trangulare. Alors nous avons opté pour estmer la valeur de la longueur de la congeston dans CTM, avec la formule suvante: Pour chaque cas de la modélsaton, l est estmé que la longueur de la congeston est égale à la somme des longueurs des cellules qu ont une occupaton supéreure à l occupaton précédente (stockage) et supéreure à leur flux maxmal (Q). Cette formule nous permet de suvre l occupaton des cellules et de vor quelles cellules ont un flux d entrée supéreur au flux de sorte. Nous consdérons également qu une fos que la cellule est congestonnée, son occupaton est égale à zéro. Ans, en applquant la formule d estmaton de la longueur de la congeston c-dessus, on obtent la longueur de la congeston qu est égale à, 333 km. Tableau 2: Extrat de nombre de véhcules de tros cellules dans la premère secton avec τ = 1/36 h Temps (h) Cellule 1 Cellule 2 Cellule En se basant sur le tablea 2, la fgure 1 montre la varaton de la longueur de congeston de la trosème cellule qu occupe 1/3 de la longueur de la secton (, 333 km) au cours d une pérode comprse entre le trosème et le septème coup d horloge, car le nombre de véhcules dans la trosème cellule est supéreur à celu de la cellule précédente et auss supéreur à 17 véhcules. Pour plus de précson sur le calcul de la longueur de la congeston avec le formalsme CTM, nous allons présenter un deuxème cas de modélsaton et smulaton du même exemple mas avec un coup d horloge plus pett égal à 1 seconde (1/36 h)) Deuxème cas: coup d horloge 1/36 h. Le nombre total de coups d horloge est égal à 9 coups. Comme dans le premer cas, c nous serons lmtés à 12 coups d horloge (. h). Dans ce cas, pour la premère secton, la longueur des cellules: x = 1/3 km. Le nombre de cellules = 3 cellules. N = 1 véh, Q = 2 véh. Pour la deuxème secton, la longueur des cellules: x = 1/4 km. Le nombre de cellules = 4 cellules. Longueur(km) Vehcules Fgure 1: Longueur de la congeston (τ = 1 sec) Fgure 11: Nombre de véhcules dans la 3ème cellule (premère secton) N = véh, Q = 1 véh. Dans ce second cas, avec un coup d horloge plus pett, les résultats (fgure 11 et fgure 12) sont plus précs car un coup d horloge nféreur mplque une longueur de la cellule plus pette. La fgure 13 montre la varaton de la longueur de la congeston dans la premère secton dans le cas d un coup d horloge égal à 1 seconde. Et nous constatons que c est pour une demande de 4 véhcules et au cours d une pérode comprse entre le 3 eme et 73 eme coup d horloge, la longueur est égale à, 231 km. Nous constatons que même pour ce pett modèle, le fcher de sorte des occupatons des cellules est mportant pour un pett coup d horloge et la détecton de cellules congestonnées pourrat être très dffcle à estmer pour des grands modèles. Pour notre cas de modélsaton et pour 1/36 h comme coup d horloge, le fcher des occupatons des cellules a 1MB. Ans, nous constatons que plus le coup d horloge est fable, plus l estmaton se rapproche de la valeur correcte.

10 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France 4 4 RdPLots Trangulare CTM 1 seconde CTM 1 secondes 3 3 Vehcules 2 Vehcules Fgure 12: Nombre de véhcules dans la cellule 1 (deuxème secton) Fgure 14: Varaton du nombre de véhcules dans chaque secton donnée par CTM et RdPLots Trangulare RdPLots Trangulare CTM 1 seconde CTM 1 secondes.3 Length(Km).2 Longueur(Km) Tme(h) Fgure 13: Longueur de la congeston (τ = 1 sec) Par exemple, pour ces deux cas d études (1/36 h et 1/36 h), nous avons observé que, à τ = 1/36 h la longueur de la congeston est estmée égal à, 333 km et pour τ = 1/36 h la longueur de la congeston est égal à, 231 km, l y a donc un réducton d envron 1 mètres. 4.3 Comparason des résultats Nous avons effectué cette analyse pour comparer la modélsaton et la smulaton de la crculaton routère par les deux formalsmes mésoscopques CTM (Daganzo, 1994) et le RdPLots Trangulare proposé par (Gaddour et al, 214 a) b)). En ce qu concerne la comparason du nombre de véhcules dans les sectons modélsées par les deux formalsmes, nous avons remarqué que les courbes de varaton du nombre de véhcules dans les cellules ou les places lots B-partes ont la même forme (Fgure 14). En ce qu concerne la comparason de la longueur de congeston dans les sectons congestonnées, nous avons remarqué que la longueur de congeston en CTM est sur-estmée, car même avec un coup Fgure : Varaton de la longueur de congeston dans la secton S 1 donnée par CTM et RdPLots Trangulare d horloge très pett (τ = 1/36 h), la méthode d estmaton de la longueur de la congeston n a pas donné une bonne précson. Par contre le formalsme RdPLots Trangulare donne beaucoup plus de précson sur le calcul de la longueur de congeston dans les sectons congestonnées qu est égale à la longueur du lot de sorte congestonné (Fgure ). Pour la smulaton de l exemple présenté dans la Secton.4 avec une pérode de temps T = 1/4 h, nous avons remarqué que le formalsme RdPLots Trangulare a beson juste de événements pour décrre l évoluton des 4 véhcules et la varaton du nombre de véhcules dans chaque secton ans le calcul de la longueur de la congeston dans les sectons congestonnées; par contre pour le formalsme CTM, dans sa forme d orgne nécesste que l autoroute étudée sot décomposée en cellules ayant une longueur correspondante au coup d horloge (ncrémentaton) de la smulaton. Cette lmtaton peut ne pas être appro-

11 MOSIM 14 - au 7 novembre Nancy - France prée pour les réseaux à grande échelle en rason de restrctons possbles géométrques ou des ncohérences au moment de dvson des sectons du réseau en des cellules, et auss les exgences de mémore supplémentares en dvsant le réseau en un très grand nombre de pettes cellules. Regardons pour la smulaton de l exemple et avec un coup d horloge égal à 1/36 h le nombre total de calcul est de 9 coups et quand nous avons rédut le coup d horloge à 1/36 h alors le nombre total de coup est multplé par 1. Cette constataton nous permet d affrmer que pour le formalsme CTM, plus le temps par coup d horloge est mons élevé, la talle des cellules est plus pette, dans ce cas des résultats plus précs peuvent être obtenus. Mas un comproms est nécessare entre la précson et le temps de calcul. Et également une lmtaton majeure dans le CTM ce qu l n est pas en mesure de représenter la varaton de la longueur de congeston, ce qu est dû à la longueur de la cellule qu ne peut pas être modfée. D autre part, le RdPLots Trangulare est capable de représenter la longueur de congeston dans les sectons congestonnées, ans que les postons des véhcules en temps réel, des choses qu ne peuvent pas être représentées par le CTM. L analyse de ces smulatons permet d affrmer que la vtesse d exécuton des modèles cellulare augmente consdérablement lorsque la secton smulé représente plus précsément le nombre de cellules, c est-à-dre un coup d horloge plus pett. Cependant, pour le modèle hybrde à événement dscrets RdPLots Trangulare a beson d un mnmum d nformatons et de temps de smulaton. CONCLUSION Dans cet artcle, nous avons présenté deux formalsmes mésoscopques pour l étude de l évoluton dynamque du trafc router. Nous avons également, modélsé et smulé une parte d autoroute en utlsant le modèle Réseau de Petr Lots Trangulare (RdPLots Trangulare) et le Modèle Cellulare de Transmsson (CTM). Nous observons à travers une comparason fate entre les résultats de smulaton de deux formalsmes, que le modèle hybrde événementel RdPLots Trangulare offre plus de clarté, précson et de faclté dans la manère de modélser, d analyser et de prédre l évoluton des systèmes de trafc router. Ce formalsme RdPLots Trangulare ayant été valdé par rapport à la modélsaton et smulaton du trafc router, une prochane étude consste à ntégrer les los de contrôle tels que la régulaton des rampes d accès (RMS) et la technque de lmtaton varable de vtesse (VSL). REFERENCES Bobbo A. and M. Grbaudo and A. Horvath: Modellng a car safety controller n road tunnels usng hybrd Petr nets: 9th Internatonal IEEE Conference on Intellgent Transportaton Systems, pp , Toronto, Canada(26) Canudas-De-Wt C.: Best-effort Hghway Traffc Congeston Control va Varable Speed Lmts: th Int IEEE Conference on Decson and Control and European Control Conference: pp , (211) Daganzo C.F.: The cell transmsson model: A smple dynamc representaton of hghway traffc: Transportaton Research Part B: 4, (1994) Demongodn I.: Generalsed Batches Petr Net: hybrd model for hgh speed systems wth varable delays: Dscrete Event Dynamc Systems: 11, (21) Demongodn I.: Modelng and analyss of transportaton networks usng Batches Petr Nets wth controllable batch speed: 3th Internatonal Conference on Applcatons and Theory of Petr Nets (Lecture Notes n Computer Scence): 66, sprnger, pp , Berln(29) Dong H. and Ma, S. Ma and M. Guo and D. Lu: Research on Analyss Method of Traffc Congeston Mechansm Based on Improved Cell Transmsson Model: Dscrete Dynamcs n Nature and Socety: 38 (), 1 11, (212) Febbraro A. D. and N. Sacco, and D. Gglo: On usng Petr nets for representng and controllng sgnalzed urban areas: New model and results: 12th Internatonal Conference on Intellgent Transportaton Systems: pp. 1 8, USA (29) Gaddour R. and L. Brenner and I. Demongodn: Mesoscopc event model of hghway traffc by Batches Petr Nets: 6th Internatonal Conference on Management and Control of Producton and Logstcs, pp , Fortaleza, Brazl (213) Gaddour R. and L. Brenner and I. Demongodn: Controllable batch dynamcs of batch places under varable speed lmt control: research report: LSIS (214 a)) Gaddour R. and L. Brenner and I. Demongodn: Extenson of Batches Petr Nets by B-parts batch places: Internatonal Workshop on Petr Nets for Adaptve Dscrete-Event Control Systems, pp , Tunse(214 b)) Hoogendoorn S.P. and H. L. Pet: State-of-the-art of Vehcular Traffc Flow Modellng: Journal of Systems and Control Engneerng: 2 (4), , (21) Ng K.M. and M.B.I. Reaz and M.A. Mohd Alauddn: A Revew on the Applcatons of Petr Nets n Modelng, Analyss, and Control of Urban Traffc: IEEE Transactons on Intellgent Transportaton Systems: 14, (213)