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1 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 Exercices 1 Lngges reconnissles 1.1 Considérez les deux utomtes suivnts et répondez ux questions suivntes : q 3, q 3 q 4 () A 1 () A 2 Figure 1 () Quel est l étt de déprt de A 1? () Quels sont les étts finux de A 1? (c) Quel est l étt de déprt de A 2? (d) Quels sont les étts finux de A 2? (e) Donnez l suite d étts de A 1 lors de l lecture du mot ; (f) A 1 reconnit-il le mot?? (g) A 2 reconnit-il le mot vide ε? 1.2 Donnez une description formelle des utomtes A 1 et A 2 représentés à l question Dessinez l utomte définit formellement pr ({,, q 3, q 4, q 5 }, {u, d}, δ, q 3, {q 3 }) où δ u d q 3 q 3 q 4 q 4 q 3 q 5 q 5 q 4 q Donnez un utomte reconnissnt les lngges suivnts. L lphet est {0, 1} dns tous les cs. () {w w commence pr un 1 et se termine pr un 0} () {w w contient u moins trois 1} (c) {w w contient le sous-mot 0101} (d) {w l longueur de w est u plus 5} 1/8

2 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 (e) {w w n est ps le mot 11 ou 111} (f) {ε, 0} (g) 1.5 Montrez que tout utomte fini non-déterministe peut être converti en un utomte équivlent ynt un seul étt d ccepttion. 1.6 Montrez que l ensemle des lngges reconnissles est fermé pour l opértion de complément (i.e. Si L est reconnissle, lors L est reconnissle pour tout L). 1.7 Convertissez les utomtes finis non-déterministes suivnts en utomtes déterministes équivlents. ε,, q 3 () () Figure Soit B n = { k k est un multiple de n}. Montrez que B n est reconnissle pour tout n Soit C n = {x x est un nomre inire multiple de n}. Montrez que C n est reconnissle pour tout n Soient u et v deux mots et L un lngge quelconque. On dit que u et v sont distingules pr L s il existe un mot w tel qu exctement un mot prmi uw et vw se trouve dns L. Sinon, on dit que u et v sont indistingules pr L et on écrit u L v. Montrez que L est une reltion d équivlence. 2 Expressions rtionnelles 2.1 Soit R une expression régulière. Montrez que : () R = R ; () R ε = R. 2.2 Donnez des expressions rtionnelles décrivnt les lngges de l question Convertissez les expressions rtionnelles suivntes en utomtes finis non-déterministes. () (0 1) 000(0 1) ; 2/8

3 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 () (((00) (11)) 01) ; (c). 2.4 Pour chcune des expressions rtionnelles suivntes, donnez deux mots pprtennt u lngge ssocié et deux mots n pprtennt ps u lngge ssocié. L lphet est Σ = {, } dns tous les cs. () ; () () ; (c) ; (d) () ; (e) Σ Σ Σ Σ ; (f) ; (g) (ε ) ; (h) ( )Σ. 2.5 Donnez une expression rtionnelle décrivnt les lngges reconnus pr les utomtes suivnts., q 3 () () Figure Soit D = {w w contient utnt d occurrence de sous-mots 01 et 10}. Montrez que D est rtionnel. 3 Lemme d itértion 3.1 Utilisez le lemme d itértion fin de démontrer que les lngges suivnts ne sont ps rtionnels. () {0 n 1 n 2 n n 0} ; () {www w {, } } ; (c) { 2n n 0}. 3.2 Montrez que les lngges suivnts ne sont ps reconnissles. () {0 n 1 m 2 n m, n 0} ; () Le complément de {0 n 1 n n 0} ; (c) {0 m 1 n m n} ; 3/8

4 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 (d) {w w {0, 1} n est ps un plindrome}. 3.3 Montrez que le lngge { i j c k i, j, k 0 et si i = 1 lors j = k} stisfit les trois conditions du lemme d itértion même s il n est ps rtionnel. Expliquez pourquoi ceci ne contredit ps le lemme d itértion. 4 Lngges lgériques 4.1 Considérez l grmmire suivnte : E E + T T T T F F F (E) Donnez une dérivtion insi que l rre ssocié pour chcune des expressions suivntes : () () + (c) + (d) (()) 4.2 Répondez ux questions qui suivent pr rpport à l grmmire G suivnte : S XSX R R T T T XT X X ε X () Quelles sont les vriles de G? () Quels sont les terminux de G? (c) Quelle est l vrile de déprt de G? (d) Donnez trois mots de L(G). (e) Donnez trois mots ne fisnt ps prtie de L(G). (f) Vri ou fux : T. (g) Vri ou fux : T. (h) Vri ou fux : T T. (i) Vri ou fux : T T. (j) Vri ou fux : XXX. (k) Vri ou fux : X. (l) Vri ou fux : T XX. (m) Vri ou fux : T XXX. (n) Vri ou fux : R ε. (o) Donnez une description en frnçis de L(G). 4.3 Donnez l grmmire lgérique qui engendre les lngges suivnts. Dns tous les cs, l lphet est Σ = {0, 1}. () {w w contient u moins trois 1} () {w w commence et se termine pr le même symole} (c) {w w est de longueur impire} (d) {w w est de longueur impire et l lettre du milieu est un 0} (e) {w w est un plindrome} 4/8

5 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 (f) 4.4 () Considérez les trois lngges suivnts : A = { m n c n m, n 0}, B = { n n c m m, n 0} et C = { n n c n n 0}. En schnt que C n est ps lgérique, montrez que l clsse des lngges lgériques n est ps fermée pour l intersection. () Utilisez le résultt en () insi que les lois de De Morgn fin de montrer que l clsse des lngges lgériques n est ps fermée pour l opértion de complément. 4.5 Soit L = {w {, } w deux fois plus de que de }. Démontrez que L est lgérique. 5 Amiguïté et forme normle de Chomsky 5.1 Donnez une grmmire qui engendre le lngge { i j c k i = j ou j = k où i, j, k 0}. Votre grmmire est-elle miguë? Pourquoi? 5.2 Considérez l grmmire G suivnte : S SS T T T ε Décrivez L(G) et montrez que G est miguë. Trouvez une grmmire non-miguë H telle que L(H) = L(G). Expliquez pourquoi H est non-miguë. 5.3 Convertissez les grmmires suivntes en grmmires équivlentes sous forme normle de Chomsky : () A BAB B ε B 00 ε () S XSX R R T T T XT X X ε X (c) E E + T T T T F F F (E) 6 Automtes à pile 6.1 Convertissez toutes les grmmires rencontrées ux sections 4 et 5 en utomtes à pile. 6.2 Un utomte à pile déterministe est défini comme étnt un 6-tuple (Q, Σ, Γ, δ, q 0, F ) où Q, Σ, Γ et F sont des ensemles finis tels que 1. Q est l ensemle d étt, 2. Σ est l lphet, 3. Γ est l lphet de pile, 4. δ : Q Σ ε Γ ε (Q Γ ε ) { }, où Σ ε = Σ {ε} et Γ ε = Γ {ε}, 5. q 0 Q est l étt initil et 6. F Q est l ensemle des étts d ccepttion. 5/8

6 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 De plus, δ doit stisfire à l condition suivnte : Pout chque q Q, Σ et x Γ, exctement une des vleurs δ(q,, x), δ(q,, ε), δ(q, ε, x) et δ(q, ε, ε) n est ps l ensemle vide. Montrez que l lngge {0 n 1 n n 0} est reconnu pr un utomte à pile déterministe. 6.3 Montrez que les lngges suivnts ne peuvent ps être reconnu pr un utomte à pile déterministe : () { i j c k i = j ou j = k où i, j, k 0}, () {w w w {0, 1} }. 7 Lemme d itértion pour les lngges lgériques 7.1 À L ide du lemme d itértion pour les lngges lgériques, démontrez que les lngges suivnts ne sont ps lgériques : () {0 n #0 2n #0 3n n 0}, () {w#t w est un sous-mot de t, où w, t {, } }, (c) {t 1 #t 2 # #t k k 2, chque t i {, }, et t i = t j pour certines vleurs i j}. 7.2 Soit B le lngge des plindromes sur l lphet {0, 1} contennt utnt de 0 que de 1. Montrez que B n est ps lgérique. 7.3 Soit Σ = {1, 2, 3, 4} et C = {w Σ dns w, le nomre de 1 égl u nomre de 2, et le nomre de 3 égl u nomre de 4}. Montrez que C n est ps lgérique. 7.4 Considérez B = L(G) engendré pr l grmmire G suivnte : S T T U T 0T T 0 # U 0U00 # Comme B est lgérique, le lemme d itértion pour les lngges lgériques implique qu il existe une constnte d itértion p pour B. Quelle est l vleur minimle d une telle constnte? justifiez votre réponse. 8 Mchines de Turing 8.1 Démontrez que tout lngge lgérique est décidle. 8.2 Considérez le lngges A = {0 2n n 0}. () Donnez une description de hut-niveu d un décideur M pour A ; () Donnez une description formelle de M ; (c) Pour chcune des chînes w suivntes, donnez l suite de configurtions de M lorsque q 0 w est l configurtion initile : 6/8

7 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 () 0 ; () 00 ; (c) 000 ; (d) Considérez le lngges C = { i j c k ij = k et i, j, k > 0}. () Donnez une description de hut-niveu d un décideur M pour A ; () Donnez une description formelle de M ; (c) Pour chcune des chînes w suivntes, donnez l suite de configurtions de M lorsque q 0 w est l configurtion initile : () c ; () 2 2 c 4 ; (c) 2 c. 8.4 Répondez ux questions suivntes à propos des mchines de Turing. Expliquez votre risonnement. () Une mchine de Turing peut-elle écrire le symole lnc sur s nde? () L lphet de l nde Γ peut-il être le même que l lphet Σ? (c) L tête de lecture peut-elle se trouver u même endroit dns deux configurtions consécutives? (d) Une mchine de Turing peut-elle contenir un seul étt? 8.5 Donnez des descriptions de hut-niveu et de niveu de l implémenttion de décideurs pour les lngges suivnts. Dns tous les cs, l lphet est {0, 1}. () {w w contient utnt de 0 que de 1} ; () {w w contient deux fois plus de 0 que de 1} ; (c) {w w ne contient ps deux fois plus de 0 que de 1}. 8.6 Montrez que l fmille des lngges Turing-décidles est fermée pour l opértion de complément. 9 Prolèmes indécidles 9.1 Montrez que l ensemle {(i, j, k) i, j, k N} est dénomrle. 9.2 Considérez le prolème de déterminer si un AFD et une expression rtionnelle données sont équivlents. Exprimez ce prolème sous forme d un lngge et montrez qu il est décidle. 9.3 Montrez que les lngges suivnts sont décidles : () ALL DF A = { A A est un AFD et L(A) = Σ } ; () INF INIT E DF A = { A A est un AFD et L(A) est infini} ; (c) INF INIT E P DA = { A A est un APN et L(A) est infini} ; (d) A = { M M est un AFD et qui n ccepte ucun mot contennt un nomre impir de 1} ; (e) A = { R, S R et S sont des expressions rtionnelles et L(R) L(S)} ; (f) A = { G G est une grmmire sur {0, 1} et 1 L(G) = }. 7/8

8 8INF713 Informtique théorique Automne Clsses de complexité 10.1 Répondez pr vri ou fux. () 2n = O(n) ; () n 2 = O(n) ; (c) n 2 = O(n log 2 n) ; (d) n log n = O(n 2 ) ; (e) 3 n = 2 O(n) ; (f) 2 2n = O(2 2n ) Montrez que l clsse P est fermée pour l union, l concténtion et le complément Montrez que l clsse NP est fermée pour l union et l concténtion Montrez que le lngge suivnt est dns P : CONNEXE = { G G est un grphe non-orienté connexe} Deux grphes G = (V G, E G ) et H = (V H, E H ) sont dits isomorphes s il existe une ijection f : V G V H telle que Montrez que est dns NP. (v i, v j ) E G (f(v i ), f(v j )) E H. ISO = { G, H G et H sont deux grphes isomorphes} 8/8

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