LES PROBLÈMES ADDITIFS

Transcription

1 LES PROBLÈMES ADDITIFS I. ACTIVITÉ DE COMPTAGE, ÉCRITURES ADDITIVES, CALCUL RÉFLÉCHI Nous avons exposé comment, pour représenter les quantités discrètes, les hommes ont élaboré deux moyens très différents : la fabrication de collections- témoins puis le nombre. Suivant la représentation des quantités, nous distinguerons, deux façons de mettre en relation ces quantités : celle qui repose sur du comptage et celle qui repose sur du calcul. De même que l accès au nombre par l enfant repose à la fois sur l utilisation de collections-témoins et sur l utilisation d écritures numériques, l accès de l enfant au calcul repose sur une utilisation de collections-témoins qui conduit à des activités de comptage et sur une utilisation des écritures opératoires qui permettent d améliorer ces activités de comptage pour les transformer en activités calculatoires. 1. Des activités de comptage pour résoudre des problèmes additifs 11. Illustrations de la technique du comptage Considérons le problème d addition suivant : Julie aime jouer aux billes. Elle a sept billes avant la partie. Durant la partie, elle gagne deux billes. Combien a-t-elle de billes après la partie? L enfant peut résoudre ce problème sans calculer mais en comptant sur des collections témoins : il fabrique une collection de sept billes en comptant de 1 à 7, il complète par deux billes en comptant de 1 à 2 puis il recompte le tout Voyons maintenant un exemple de problème de soustraction : Aline possède huit billes, elle en donne une à chacun de ses cinq amis. Combien de billes lui reste-t-il? / 16 -

2 La procédure de calcul s oppose à la procédure de comptage dans la mesure où l enfant n a pas besoin de recourir à une collection-témoin et au comptage pour calculer. Il déduit la valeur cherchée en n utilisant que les écritures numériques ou le nom des nombres. On repère chez les enfants des conduites intermédiaires entre le comptage et le calcul qui sont des améliorations de la technique du comptage et qu on appelle le surcomptage et le décomptage. 12. Illustrations de la méthode du surcomptage et du décomptage Par exemple, pour déterminer le nombre de billes de Julie après la partie, un enfant peut compter de 1 à 7 puis il continue à compter 8, 9 en levant deux doigts qu il reconnaît comme une collection-témoin organisée. Il peut aussi, plus directement, dire «sept» puis lever deux doigts pour aller jusqu à neuf. 8 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou Autre exemple, pour déterminer le nombre de billes qu'il reste à Aline qui en avait 8 et qui en a donné 5, un enfant peut compter de un à cinq puis lever les doigts pour aller jusqu à huit. Il peut aussi, plus directement dire «cinq» puis lever les doigts pour aller jusqu à huit , 2, 3, 4, 5 6 ou 5 6 Et l enfant reconnaît la collection-témoin organisée que forment ses trois doigts pour en déduire qu il restera trois billes à Aline L enfant peut aussi décompter 5 unités depuis pour savoir qu il reste trois billes à Aline : Ces activités de comptage peuvent débuter dès la maternelle, sur des collections réelles (des vraies billes) puis sur des représentations de ces billes : par exemple des gommettes autocollantes. Les activités de surcomptage peuvent être enseignées dès le cours préparatoire. 13. Que penser d un enseignement systématique du surcomptage ou du décomptage? Nous ne saurions recommander un enseignement systématique et renforcé de la technique du surcomptage/décomptage dans le cadre d une rééducation par un orthophoniste. En effet, cette technique est très performante et c est là son inconvénient : par la technique du surcomptage, l enfant ne développe pas l aspect cardinal du nombre mais seulement son aspect ordinal. La meilleure preuve de cette affirmation est qu on peut très bien pratiquer de la même façon en disant les lettres de l alphabet plutôt que les nombres : Julie possède H billes, elle en gagne D. Pour savoir combien Julie possède de billes, j en pose D sur mes doigts puis je surcompte depuis H sur mes doigts levés. Je peux donc en déduire que Julie possède L billes... ce qui ne me dit rien sur la quantité de billes de Julie. Pourquoi? Parce que L, n est pas construit par groupements successifs sur lesquels on se repère pour connaître la quantité, rien qu en écrivant le nombre. 2. Du comptage aux écritures additives En revanche, les activités de comptage et de surcomptage peuvent permettre assez tôt de procéder à des écritures additives qui ne constituent, en rien à ce stade de l apprentissage, un moyen de calculer ou - 2 / 16 -

3 de résoudre un problème mais qui préparent au calcul réfléchi, indispensable à la mémorisation de la table d addition, indispensable aussi à l introduction des propriétés des opérations. Nous appelons écriture additive toute écriture d un nombre sous la forme d une somme. Nous employons cette expression pour signifier que l écriture n annonce pas le devoir de l élève de calculer, c est-à-dire d écrire la somme avec la notation décimale. Par exemple, les collections-témoins organisées que sont les doigts, ou les dés peuvent être traduites par des égalités comprenant des écritures additives = Ainsi, par exemple, en écrivant l enseignant n annonce pas à l élève qu il doit écrire = 16. L écriture ne doit pas être lue comme un calcul à effectuer mais comme l une des multiples écritures d un nombre, cette écriture peut être utilisée pour annoncer l écriture décimale de la somme mais elle peut aussi servir à exprimer différentes idées : = permet d exprimer, sur un exemple, une propriété générale de l addition, sa commutativité ; = permet d illustrer, sur un exemple, une méthode générale pour ajouter mentalement 9 à un nombre ; = permet d exposer une procédure de calcul dont l objectif est de faire apparaître un double (connu par cœur) en utilisant une propriété de l addition... Les écritures additives et les égalités ne forment pas un moyen pour résoudre des problèmes mais elles permettent de préparer au calcul réfléchi. 3. Des écritures additives au calcul réfléchi Trois techniques de calcul réfléchi peuvent être utiles pour déterminer une somme : le retour au cinq, le passage à la dizaine, l utilisation des doubles. 31. Technique du retour au cinq et tables associées Alexandre possède quatre images de footballeurs, Béchir lui en donne trois autres. Combien d images Alexandre a-t-il maintenant? L enfant dispose de moyens différents pour compter le nombre d images : - il pose 4 sur ses doigts d une main puis en lève trois autres de l autre main, enfin il recompte l ensemble des doigts levés ; - il pose 4 sur ses doigts d une main puis en lève trois autres en complétant la main utilisée, enfin il lit sur ses doigts le résultat ; - il retient 4 puis lève trois doigts en comptant 5, 6 et 7... Le deuxième moyen illustre le retour à cinq : l enfant commence par compléter une main pour repérer la quantité par la collection-témoin organisée que constituent les cinq doigts de la main. A cette méthode peuvent être associées des écritures additives ou soustractives, les représentations organisées des nombres permettent de constituer des règles d opérations : = 4 + (1 + 2) = (4 + 1) + 2 = = 7 ou = (4 + 1) + (3-1) = = 7 La première égalité utilise l associativité de l addition, autrement dit, la possibilité de regrouper à sa guise les termes d une écriture additive sans modifier la somme. L enfant choisit de décomposer 3 en parce qu il sait que le nombre 1 lui sera utile pour passer de 4 à 5. La seconde égalité utilise une autre propriété de l addition : la somme n est pas changée si l on ajoute à un terme ce que l on retranche à l autre. Après quelques utilisations du calcul réfléchi, la table des compléments à cinq et la table des 5 + x peuvent devenir des outils qui justifient un apprentissage systématique. Table des compléments à 5 : = 5, = 5, = 5 et = 5. Table des 5 + x : = 6, = 7, = 8, = 9, = / 16 -

4 Avec cette méthode, pour calculer 8 + 4, l enfant pourra écrire : = (8-1) + (4 + 1) = = (5 + 2) + 5 = (5 + 5) + 2 = = 12. Cette écriture utilise la commutativité de l addition, c est-à-dire qu on peut changer l ordre des termes d une écriture additive sans en modifier la somme. Avec les élèves les plus jeunes, on pourra remplacer l usage des parenthèses par l utilisation «d arbres de calcul» : = = = On veillera cependant à ne pas masquer le fait que le résultat n est pas changé malgré la modification de l ordre des termes. 32. Technique du passage à la dizaine Cette technique est analogue à celle du retour au cinq, elle s utilise avec des élèves plus avancés dans l apprentissage qui savent regrouper des quantités plus importantes. Avec cette technique, l écriture additive se réduit ainsi : = 8 + (2 + 3) = (8 + 2) + 3 = = 13. Une bonne utilisation de cette technique repose sur la table des compléments à 10 qui peut s élaborer sur les doigts de la main : le complément à 10 du nombre de doigts levés est le nombre des doigts baissés. Table des compléments à 10 : = 10 et = = 10 et = = 10 et = = 10 et = = 10 On remarquera le passage d une ligne à l autre où la somme reste égale à 10 tandis que l un des termes perd une unité quand l autre en gagne une. Certains jeux de cartes, comme des réussites, permettent d entraîner les élèves à l utilisation des compléments à 10 ainsi qu à leur mémorisation. Les compléments à 10 sont généralisés pour calculer la somme de dizaines : = 100 ou de centaines = On peut proposer aux élèves des activités qui reposent sur des arbres de calculs plus complexes : = = = = = L usage des doubles Pour additionner deux nombres proches on utilise les doubles : = = = 27. Cette démarche peut entrer en concurrence avec d autres méthodes : = = = 15 ou = = = 15. L important est que, parmi toutes les décompositions possibles, l enfant hiérarchise celles qui permettent de calculer et celles qui ne sont pas utilisables. Celles qui permettent de calculer doivent être identifiées et nommées pour être retenues. Le calcul réfléchi prépare au calcul mental, il utilise différentes propriétés de l addition que l enfant s approprie, il aide à mémoriser la table d addition. Des soustractions peuvent aussi figurer dans une ligne de calcul réfléchi mais, prudence, les propriétés de la soustraction ne sont pas celles de l addition : pas de commutativité, pas d associativité. - 4 / 16 -

5 En effet : et 8 - (5-3) (8-5) - 3. II. SENS DE L ADDITION, SENS DE LA SOUSTRACTION, PROPRIÉTÉS Rappelons comment Gérard Vergnaud définit le sens en mathématiques : c est une relation du sujet aux situations et aux signifiants. Que signifie, pour un enseignant, qu un élève a acquis le sens de l addition ou le sens de la soustraction? Selon la définition de Gérard Vergnaud, cela signifie, premièrement que l élève a acquis les schèmes qui permettent de résoudre les problèmes du niveau de sa classe qui sont relatifs à l addition ou à la soustraction et, deuxièmement que ces problèmes lui évoquent bien ces schèmes. Autrement dit, pour chaque problème relatif à l addition ou à la soustraction, il faut que l élève dispose des moyens suffisants pour résoudre le problème mais aussi qu il soit capable de les mobiliser quand on lui propose ce problème. 1. Les situations modélisées par l addition Pour que l enfant acquière le sens de l addition, il convient donc de lui apprendre à reconnaître les situations qui sont modélisées par une addition. Gérard Vergnaud a mené une étude des problèmes additifs dans laquelle il distingue six catégories de problèmes dont quatre concernent plus spécifiquement l école élémentaire parce que les deux autres portent très souvent sur des nombres relatifs (positifs ou négatifs). Voyons ces quatre catégories de problèmes qui reposent sur des situations différentes. Chacune de ses situations contribue à enrichir le sens de l addition. Il nous semble important que l enseignant ou l orthophoniste propose cette diversité à l enfant et l aide à se repérer parmi ces catégories de problèmes qui, nous le verrons lors de l étude des propriétés de l addition, ne conduisent pas à la même représentation de l opération. 11. Transformation d une grandeur Considérons les situations dans lesquelles une grandeur subit une transformation de type additive c est-à-dire que la valeur finale de la grandeur s obtient en appliquant la transformation additive à la valeur initiale de la grandeur. En notant dans un carré les valeurs de la grandeur et dans un cercle celle de la transformation, on obtient un schéma de ces situations : Différentes situations correspondent à ce schéma : - Julie possède 42 billes, elle en gagne 15, combien en possède-t-elle? - Maud mesurait 1,55m à 14 ans, depuis elle a grandi de 18 cm, combien mesure-t-elle? - Le prix du timbre poste a augmenté de 10 c, il coûtait un demi-euro, combien côute-t-il maintenant? - Raphaël avait 14 ans le 1er janvier 2 000, quel âge aura-t-il le 1er janvier 2 007? - Le compteur kilométrique du vélomoteur de Philippe indique km. Il parcourt un trajet de 35 km. Quelle distance le compteur marque-t-il maintenant? 12. Composition de deux grandeurs Considérons les situations portant sur trois grandeurs où deux d entre elles se composent pour donner la troisième. - 5 / 16 -

6 En notant dans des carrés les valeurs de ces grandeurs, on obtient un schéma qui correspond à ces situations dont voici quelques exemples : - Dans la classe, il y a 14 filles et 12 garçons, quel est l effectif de la classe? - Dans la corbeille il y a 7 clémentines, Maxime y dépose 5 bananes, combien y + a-t-il de fruits dans la corbeille? - Pour aller de chez Nadia à la piscine, il faut marcher 1,2 km ; l école de musique est à 400 m de la piscine ; quelle distance Nadia parcourt-elle pour se rendre de son domicile à l école de musique en passant par la piscine? - Un commerçant achète une armoire 125 et la revend avec un bénéfice de 140. Combien le commerçant a-t-il vendu cette armoire? - Béchir a acheté une baguette de pain à 0,8 et un croissant à 0,9. Combien doit-il à la boulangère? 13. Comparaison de deux grandeurs Considérons deux grandeurs de même nature qui sont en relation par une comparaison, en notant dans un carré les valeurs de ces grandeurs et dans un cercle la relation de comparaison, on obtient un schéma de ces situations qui est analogue à celui des transformations. En voici quelques exemples. - Cynthia a 8 ans et Laure a 4 ans de plus que Cynthia ; quel est l âge de Laure? - Alexandre marche 1,3 km pour se rendre de chez lui au collège, le trajet d Emma est plus long de 400 m ; quelle distance Emma parcourt-elle pour se rendre au collège? - Le mercredi, Alexis a son cours de judo à 15h30 et son cours de chant commence 2 h 45 min plus tard. A quelle heure commence son cours de chant? - Le compteur kilométrique du vélomoteur de Philippe indique km. Celui de Thierry indique 35 km de plus. Quelle distance le compteur du vélomoteur de Thierry indique-t-il? - Maud veut s acheter un ordinateur, il coûte 925 dans le magasin Ordimax. Il est vendu 55 plus cher dans l hypermarché Compuchic qui propose une installation à domicile. Combien Maud achètera-t-elle son ordinateur si elle décide de l acheter chez Compuchic? 14. Composition de deux transformations Dans certaines situations, une grandeur subit deux transformations successives, la valeur initiale est transformée en la valeur finale en passant par une valeur intermédiaire. Le problème porte alors sur la détermination de la transformation qui résulte des deux transformations successives. En notant dans un carré les valeurs successives de la grandeur et dans un cercle la valeur de chaque transformation, on obtient un schéma de ces situations : Différentes situations correspondent à ce schéma : - Julie joue aux billes, elle en gagne 15 à la récréation du matin et 7 à celle de l après-midi. Combien en a-t-elle gagné? - Le compteur kilométrique du vélomoteur de Philippe indique km. Il parcourt un trajet de 35 km puis un autre de 32 km. Quelle distance le compteur marque-t-il maintenant? - Nathalie a reçu une plante, il y a deux ans, pour son anniversaire. La plante de Nathalie a grandi de 54 cm la première année et de 37 cm la deuxième année. De quelle longueur la plante de Nathalie a-t-elle grandi depuis qu elle l a reçue? - 6 / 16 -

7 15. Deux autres catégories de problèmes Pour distinguer toutes les catégories de problèmes additifs, Gérard Vergnaud propose encore les situations qui correspondent à une transformation opérant sur une relation pour donner une autre relation et celles où deux relations se composent pour donner une nouvelle relation. Voyons un exemple de chaque catégorie, sachant qu elles sont peu fréquentes à l école élémentaire parce qu elles font souvent intervenir des nombres relatifs. - Karim grandit plus vite que sa sœur Sonia. L an dernier il mesurait 12 cm de plus qu elle, cette année l écart s est encore creusé de 3 cm. Combien de centimètre Karim mesure-t-il de plus que Sonia? - Rachel a 4 ans de plus que Nathan. Natan a 3 ans de plus que Clara. Quelle est la différence d âge entre Rachel et Clara? 2. Les situations modélisées par la soustraction On dit souvent que la soustraction est l opération inverse de l addition ou que soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Pourtant, la soustraction peut se comprendre aussi indépendamment de l addition. Certaines situations font appel à cette signification de la soustraction. On pourrait distinguer, comme pour l addition, ces situations en six catégories. Citons quelques exemples. - Jean possède 265. Il achète une paire de patins à roulettes à 120. Combien lui reste-t-il? - Hier le thermomètre affichait 12 C ; aujourd hui, la température a baissé de 4 C. Quelle température fait-il aujourd hui? - Sophie achète des gâteaux pour 4,30. Elle donne 10 au boulanger. Combien lui rendra-t-il? - Rachel a 15 ans. Sa sœur Clara a 7 ans de moins. Quel est l âge de Clara? - Nicolas pense : il me manque 32 pour acheter ce vélo à 180. De quelle somme Nicolas dispose-t-il? Même si, sorti du contexte d une certaine situation, la soustraction peut se penser comme l opération inverse de l addition, ces exemples montrent que le recours à la soustraction pour modéliser un problème peut s effectuer sans recourir à l addition. Il nous semble donc que le travail de l enseignant ou du rééducateur consiste d une part à proposer à l enfant des problèmes qui lui permettront de construire l addition et la soustraction comme des opérations qui modélisent des situations différentes et, d autre part, comme nous allons le voir dans le paragraphe consacré à la résolution de problèmes, de relier ces deux opérations dans le contexte d une situation commune. 3. Propriétés algébriques de l addition et de la soustraction Les situations ne sont pas seules à permettre la construction du sens d une notion, il faut encore considérer les formes langagières et symboliques qui permettent de l exprimer, de la transformer ou d en déclarer ses propriétés. Nous avons déjà vu que les écritures additives, indépendamment de toute situation permettait de préparer au calcul réfléchi, à l étude des propriétés des opérations et aux manipulations formelles liées à l addition ou à la soustraction. L algèbre est le champ des mathématiques qui répond aux questions de relations et d opérations entre les objets mathématiques. Les propriétés de l addition et de la soustraction, analysées du point de vue des mathématiques, sont donc décrites par l algèbre. Nous montrerons pourtant que cette compréhension des opérations se distingue de celle qui permet à l enfant d en construire le sens car elle n aborde pas l opération dans le contexte d une situation qui mobilise son utilisation. Autrement dit, pour reprendre, sur cet exemple, les termes de Régine Douady, l algèbre étudie l objet et non l outil. 31. Définition d une opération Etant donné trois ensembles A, B et C, une opération est un objet mathématique qui permet d attribuer au maximum un élément c de l ensemble C à tout couple de deux éléments (a, b) où a appartient à l ensemble A et b appartient à l ensemble B. On écrit alors que c = a b. - 7 / 16 -

8 Ainsi l addition est une opération qui attribue le nombre 7 au couple (3, 4). Remarquons que l addition n attribue pas d autre nombre au couple (3, 4) mais qu en revanche, elle attribue 7 à d autres couples que (3, 4) comme, par exemple (5, 2) ou (1, 6) et encore (4, 3). On écrit = 7 ou = 7. De la même façon, la soustraction attribue le nombre 5 au couple (11, 6) ou au couple (7, 2). On écrit 11 6 = 5 et 7 2 = 5. Les deux opérations considérées sur les ensembles de nombres A, B et C tous les trois égaux à l ensemble des entiers naturels ou à l ensemble des décimaux positifs se distinguent déjà sur une propriété : l addition attribue un nombre à chaque couple alors que la soustraction attribue un nombre à un couple seulement si le premier élément du couple est supérieur au second. Autrement dit, on peut toujours additionner deux nombres entiers naturels mais on ne peut les soustraire qu à la condition que le premier soit supérieur au second. C est, entre autres raisons, pour combler cette lacune que les hommes ont créé les nombres négatifs et les ont réunis avec les autres nombres pour former les nombres relatifs. Si les trois ensembles A, B et C sont les nombres entiers relatifs, la soustraction, comme l addition permet d attribuer un résultat à tous les couples. Ces nombres sont présentés aux élèves en classe de sixième et cette opération s étudie en classe de cinquième. 32. Commutativité d une opération Si l ensemble A et l ensemble B sont égaux, la notation a b et la notation b a ont toutes les deux une signification mais l élément attribué à a b est-il identique à l élément attribué à b a? Si c est le cas, on dit que l opération est commutative, sinon on dit qu elle ne l est pas. L addition et la soustraction se distinguent ici encore. L addition est commutative et la soustraction ne l est pas. Par exemple, = mais En travaillant sur les nombres positifs, 2 5 n est pas défini ; en travaillant sur les nombres relatifs 5 2 = 3 et 2 5 = 3. Mais attention, la propriété de commutativité de l addition rend compte seulement de l égalité des résultats, elle ne dit rien sur la signification de la somme. Illustrons notre propos par un exemple : 1) Julie avait 5 billes et elle en a gagné 37. Combien a-t-elle de billes? 2) Julie avait 37 billes et elle en a gagné 5. Combien a-t-elle de billes? Dans les deux cas, Julie possède 42 billes, pourtant les deux situations ne sont pas identiques. Dans la première situation, Julie semble être une joueuse experte qui gagne beaucoup alors que dans la seconde situation, les gains de Julie sont plus modestes. Les nombres ajoutés ne sont pas des valeurs de deux grandeurs analogues : le premier est le nombre de billes de Julie avant le jeu et le second est le bilan du jeu, l ordre n est pas indifférent. Pour expliquer la commutativité de l addition, cette situation de transformation d une grandeur pose donc une vraie difficulté théorique qui n apparaît pas dans une situation de composition de deux grandeurs. Voyons un exemple : une corbeille contient 7 oranges et 4 pommes, combien contient-elle de fruits? Les deux valeurs 7 et 4 sont deux nombres de fruits, peu importe qu on calcule leur nombre total en ajoutant le nombre de pommes à celui des oranges ou le contraire. La propriété de commutativité est donc une propriété de l opération en tant qu objet mathématique décontextualisé de l ensemble hétérogène des situations qui lui donne son sens. Nous insistons sur ce point pour montrer que poser une addition pour calculer une valeur d une grandeur d un problème issue d une situation concrète constitue bien une abstraction du contexte, c est une étape du travail de résolution à part entière, la modélisation. 33. Associativité d une opération Supposons que les trois ensembles A, B et C soient égaux, alors a b est un élément de l ensemble A, on peut donc envisager d attribuer un résultat au couple formé par a b et par un nombre c. Ce résultat s écrira (a b) c. Prenons par exemple le problème suivant : Julie joue aux billes, elle en possède 24. Elle en gagne 15 à la récréation du matin et 7 à celle de l après-midi. Combien possède-t-elle de billes à la fin de la journée de classe? On peut calculer le nombre de billes de Julie à midi ( = 39) puis le soir ( = 46) ce qui revient à calculer ( ) + 7. On peut aussi calculer le nombre de billes gagnées ( = 22) puis calculer le nombre de billes de Julie à la fin de la journée ( = 46) ce qui revient à calculer 24 +(15 + 7). Les deux démarches sont différentes mais elles conduisent au même résultat. - 8 / 16 -

9 C est cette propriété de l opération qu on appelle l associativité et qu on écrit symboliquement (a b) c = a (b c). Quand l opération est associative, on peut se permettre de ne pas indiquer les parenthèses puisque l ordre dans lequel on effectue le calcul n importe pas : il ne modifie pas le résultat. Au lieu d écrire ( ) + 17 ou 24 + ( ), on peut donc écrire Une fois encore, la soustraction se distingue de l addition : la soustraction, contrairement à l addition, n est pas une opération associative. C est ce que montre l exemple suivant : (38 20) 10 = = 8 et 38 (20 10) = = 28. Mais l associativité de l addition, encore une fois, est une propriété de l opération décontextualisée. Reprenons l exemple précédent. Dans le calcul ( ) + 7 les deux additions sont des transformations du nombre de billes de Julie. Mais dans le calcul 24 + (15 + 7) la première addition effectuée est une composition de deux transformations et la deuxième addition effectuée est une transformation du nombre de billes de Julie. Les propriétés algébriques de l addition décontextualisée ne doivent pas faire oublier au rééducateur que les opérations qui modélisent un problème ne sont jamais complètement décontextualisées pour l enfant. Ne pas tenir compte du contexte pour appliquer l associativité de l addition est donc, encore une fois, un travail d abstraction dont la difficulté ne doit pas être négligée. 34. Neutralité du zéro Reprenons l opération définie sur trois ensembles identiques. Supposons qu il existe dans cet ensemble, un élément n tel que a n soit égal à a et cela quel que soit l élément a. On dit que l élément n a la propriété d être neutre à droite, neutre parce qu il ne «transforme» pas les éléments, et à droite parce qu il a cette propriété quand il est à droite de l opération. On définit de même la propriété d être neutre à gauche. Ainsi dit-on que zéro est neutre à droite et à gauche pour l addition ou, plus simplement, que zéro est neutre pour l addition. En revanche, zéro est neutre à droite pour la soustraction mais n est pas neutre à gauche. En effet 8 0 = 8 mais Cette propriété du nombre zéro n est pas très utile pour résoudre les problèmes proposés à l école élémentaire car ils s appuient sur des situations concrètes, ils ne font donc jamais référence à des valeurs nulles des grandeurs... Cette propriété ne doit cependant pas être négligée dans l enseignement car elle est présente dans une activité fondamentale à l école élémentaire : le calcul. Comment un élève additionnerait-il à s il ne pouvait affirmer que = 2 et que = 4? Comment pourrait-il soustraire 230 à 807 s il ne pouvait affirmer que 7 0 = 7 et que 0 3 n est pas définie. 35. Effet d une opération sur l ordre Supposons maintenant que les trois ensembles A, B et C sont égaux et que leurs éléments puissent tous se comparer comme c est le cas des nombres réels (entiers, décimaux, rationnels...) Notons R la relation qui permet de les comparer. On dira que l opération est compatible avec l ordre lorsque cette opération vérifie la propriété suivante : si a R b alors a c R b c et cela quels que soient les éléments a, b et c. L addition et la soustraction sont deux opérations compatibles avec l ordre. Par exemple si Julie possède plus de billes que Raphaël et que les deux enfants gagne le même nombre de billes alors Julie possède toujours plus de billes que Raphaël. Il en est de même s ils perdent tous les deux le même nombre de billes. En conclusion, nous distinguerons les propriétés de l addition et de la soustraction qui peuvent s interpréter à l aide des situations sur lesquelles s appuient les problèmes qui sont proposés à l école élémentaire et les autres. Ces dernières propriétés doivent être connues des élèves, il ne s agit pas de leur demander de les apprendre pour elles-mêmes mais de leur faire acquérir par le calcul réfléchi qui, décontextualisé de toute situation, permet une activité symbolique progressive qui contribue à l étude et à l acquisition des opérations. Ces connaissances sont elles-mêmes utilisées lors de l application des techniques opératoires qui reposent sur certaines des propriétés de chacune des opérations. - 9 / 16 -

10 3. TECHNIQUES OPÉRATOIRES La numération décimale permet d écrire tous les nombres avec seulement dix chiffres. Les techniques opératoires permettent de calculer sur les nombres en calculant sur les chiffres. Ces techniques reposent sur le principe de numération décimale ainsi que sur certaines propriétés des opérations. Nous allons étudier les techniques usuelles de l addition et de la soustraction puis nous présenterons quelques alternatives à la technique usuelle de la soustraction qui peut aider des enfants à comprendre ce qu on fait quand on calcule. 1. Techniques usuelles de l addition et de la soustraction Ces techniques reposent sur l alignement des chiffres représentant le même multiple ou sous-multiple de l unité et sur la gestion de retenues. 11. L alignement des chiffres L alignement des chiffres correspond à l utilisation d une propriété qui lie la multiplication et l addition (la soustraction) que l on appelle la distributivité de la multiplication sur l addition (la soustraction). Prenons un exemple : On pose cette opération : On effectue = puis = et enfin = 2 Pour poser cette opération, on écrit le chiffre 5 des unités de 35 sous le chiffre 1 des unités de 241, etc. Si l on respecte cette disposition, alors en additionnant les chiffres un à un, on aura finalement additionné les deux nombres. Expliquons ce résultat par la décomposition des nombres liée à la numération de position et par l utilisation de certaines propriétés de l addition. 35 est l écriture de (3 10) + 5 et 241 est l écriture de (2 100) + (4 10) + 1 (remarquons qu on utilise l associativité de l addition pour écrire deux signes d addition sans préciser dans quel ordre s effectue le calcul) Effectuons l addition en numérotant les lignes de calcul afin de les expliquer = [(2 100) + (4 10) + 1] + [(3 10) + 5] (1) = (2 100) + (4 10) (3 10) + 5 (2) = (2 100) + (4 10) + (3 10) (3) = (2 100) + [(4 10) + (3 10)] + (1 + 5) (4) = (2 100) + (7 10) + 6 (5) = à la ligne (1) on utilise l associativité de l addition qui permet de se dispenser des parenthèses ; - à la ligne (2) on utilise la commutativité de l addition qui permet de changer l ordre des termes ajoutés sans modifier leur somme ; - à la ligne (3) on utilise l associativité de l addition : une première fois pour regrouper (4 10) et (3 10) et une seconde fois pour regrouper ; - à la ligne (4) on utilise la distributivité de la multiplication sur l addition qui permet d écrire que (4 10) + (3 10) = 7 10 ; - à la ligne (5) on utilise le système de numération décimal pour recomposer le résultat de l opération. Finalement, l alignement des chiffres permet d éviter les réorganisations du calcul pour utiliser la commutativité et l associativité de l addition ainsi que la distributivité de la multiplication sur l addition. 12. La retenue dans l addition Nous venons d effectuer une addition sans retenue, examinons maintenant l addition / 16 -

11 1 2 7 On commence par la colonne des unités : on ajoute et 8, on obtient 15, on pose le 5 et on retient On passe aux dizaines : on ajoute 1, 2 et 3, on pose 6. Expliquons ce calcul = [(2 10) + 7] + [(3 10) + 8] = (2 10) + (3 10) = (2 10) + (3 10) + 15 = (2 10) + (3 10) + (1 10) + 5 ( ) = (6 10) + 5 = 65 C est à la ligne notée ( ) qu apparaît la retenue. Le nombre d unité dépasse la dizaine, on utilise l associativité et la commutativité de l addition pour calculer cette dizaine supplémentaire avec les autres. 13. La retenue de la soustraction La retenue de la soustraction est plus délicate à expliquer, elle repose sur une propriété de l addition et de la soustraction : on ne change pas une différence en ajoutant le même nombre aux deux termes de cette différence. Examinons la soustraction ôté de 13, il reste 5 et je retiens plus 1, 3, ôté de 7, il reste ôté de 1, 1. Pour effectuer la soustraction, on a ajouté 10 unités à 173 et on a ajouté une dizaine à 28. Ainsi la différence n est pas modifiée, on a pu soustraire les 8 unités, à 13 unités et non à seulement 3 unités, ce qui était impossible. En conséquence, on a compté une dizaine de plus aux deux dizaines de 28, on a donc ôté 3 dizaines aux 7 dizaines de 173. Remarquons la difficulté de gestion de ces retenues. La retenue du haut est en fait un chiffre des dizaines écrit de façon «quasi illégale» par rapport aux principes de la numération décimale : le 1 à côté du 3 compte pour 10 et doit se lire 13. En revanche la retenue du bas est analogue à celle de l addition, elle compte pour 1 dans la colonne où elle se trouve : une dizaine si elle est dans la colonne des dizaines, une centaine si elle est dans la colonne des centaines... cette retenue s ajoute au chiffre présent dans la colonne. En définitive, on a calculé en calculant ( ) ( ) décomposé de la façon suivante : [(1 100) + (7 10) + 13] [(2+1) ]. La propriété utilisée implicitement n est pas évidente pour les enfants. Certaines situations permettent de l illustrer mais elles ne sont pas faciles à comprendre. - Raphaël a 4 ans de plus que sa sœur. Quelle sera leur différence d âge dans 8 ans? Dans cette situation de comparaison la conservation de la différence peut aider un adulte à se représenter cette propriété : Raphaël aura 8 ans de plus, Maud aussi donc la différence sera la même. Mais l expérience montre que les enfants ont bien du mal à admettre le fait que la différence d âge entre deux personnes ne change pas avec les années. - Estelle a mangé des bonbons de son paquet tout neuf, maintenant il lui en reste 8. Si le paquet avait contenu 5 bonbons de plus et si Estelle avait mangé 5 bonbons de plus, alors il resterait encore 8 bonbons dans le paquet. La comparaison des deux situations illustre bien la propriété. Néanmoins n importe quel enfant un peu gourmand remarquera que dans la deuxième situation, Estelle a quand même mangé plus de bonbons Utilisation d un abaque pour enseigner l addition Les abaques sont des casiers à calculi que l on peut utiliser pour matérialiser les opérations sur les chiffres avec des enfants qui apprennent la technique de l addition des nombres entiers / 16 -

12 21. Manipulation pédagogique Les calculi peuvent être remplacés par des jetons, dans un premier temps de couleurs différentes suivant la valeur qu ils représentent afin que les informations émergentes de l abaque soient multiformes et puissent ainsi permettre des vérifications : un jeton dont la couleur est celle des dizaines doit se placer dans la colonne des dizaines. Exemple : m c d u m c d u m c d u m c d u - Les jetons sont placés dans les cases pour représenter les deux nombres à ajouter : 187 et Les jetons de la colonne des unités sont déplacés dans la case inférieure de la ligne du résultat jusqu à ce qu elle soit complète sachant que dès que 10 jetons sont réunis dans une case de cette ligne, ils sont transformés en un jeton de l unité supérieure qui est placé dans la case de la colonne correspondante et de la ligne des retenues. Dans l exemple , les sept jetons des unités de 187 sont abaissés puis trois des quatre jetons de 64 sont abaissés alors les dix jetons des unités sont transformés en un jeton des dizaines, il reste un jeton des unités à abaisser. - La même opération est effectuée dans la colonne des dizaines. Avec l exemple , la dizaine des retenues est abaissée puis les huit dizaines de 187 puis une des dizaines de 64, ce qui fait 10 dizaines qui sont converties en une centaine dans la ligne des retenues. Il reste alors 5 dizaines à abaisser. - La même opération est effectuée dans la colonne des centaines. La retenue est abaissée puis la centaine de 187. Il y a donc finalement deux centaines dans la ligne du résultat. - La somme se lit dans la ligne du résultat : = Technique des compléments à 10 Cette technique, employée au Moyen-Age, permet d'utiliser des abaques plus simples et de manipuler moins de calculi. Cette technique dissimule davantage la technique usuelle, elle peut être enseignée à des élèves ayant encore quelques difficultés car sa simplicité d utilisation permet de leur donner une certaine assurance. Enfin, l utilisation répétée des compléments à 10 est encore une façon de les apprendre... m c d u m c d u m c d u Les calculi du nombre 187 sont placés dans l abaque. Au moment d ajouter les cinq calculi des unités du nombre 64, le calculateur regarde s il peut en retirer six (le complément à 10 de 4). C est le cas ici, le calculateur retire six calculi sur les sept, il en reste 1. Il place alors un calculi dans la colonne des dizaines. Puis le calculateur doit ajouter les six dizaines de 64, il regarde s il peut en retirer quatre (le complément à 10 de 6). C est le cas ici, le calculateur retire quatre calculi sur les neuf que forment la retenue et les huit dizaines de 187. Il en reste donc 5 et le calculateur place un calculi de retenue dans la colonne des centaines. Il n y a pas de centaines à rajouter, on peut donc lire le résultat : D autres techniques pour soustraire deux nombres Nous avons montré plus haut la méthode usuelle de la soustraction qui date du XIIIe et que l on doit à Fibonacci. Avant cette méthode, on utilisait celle de «l emprunt». Puis d autres mathématiciens, après Fibonacci, ont proposé des techniques différentes qui apportent quelques avantages mais aussi quelques inconvénients / 16 -

13 31. Méthode par emprunt XIIe, Rabi Ben Ezra On réécrit, colonne après colonne, le nombre le plus grand en empruntant à la colonne de gauche pour que toutes les soustractions intermédiaires soient calculables. Cette méthode a été enseignée en France au XIXe siècle donne Cette méthode offre l avantage de la facilité, la transformation porte sur un seul nombre donc elle ne repose pas sur une propriété de la soustraction. Les réécritures sont liées au système décimal. Elle est pourtant d utilisation contraignante : il faut réécrire l opération ou barrer. La contrainte est acceptable s il n y a qu une soustraction intermédiaire impossible mais très lourde quand il y en a plusieurs ou quand une colonne qui doit «prêter» contient un zéro. Cette lourdeur est peu compatible avec les soustractions utilisées dans la technique de la division. 32. Méthode par compensation XVIe, Ramus On ajoute et on retranche le même nombre aux deux termes de la différence pour obtenir une soustraction où le nombre le plus grand ne contient que des chiffres «neuf» après le premier Sur cet exemple, on transforme en On additionne alors le nombre à soustraire et le nombre «rajouté» pour écrire les chiffres «neuf» : on pose l addition où 541 est déterminé au fur et à mesure qu on écrit le nombre Le nombre à soustraire est calculé puis soustrait : on calcule puis on le soustrait à Cette méthode a l avantage, par rapport à la précédente, de respecter l écriture décimale : il n y qu un chiffre par colonne. Néanmoins elle demande de poser une addition supplémentaire et elle repose sur une propriété difficile de la soustraction. Cette méthode n est pas compatible avec la soustraction utilisée dans la technique de la division 33. Méthode autrichienne XVIe, Bourel C est une méthode par addition, on cherche le complément du nombre à soustraire pour obtenir le nombre le plus grand Avec cette méthode, la retenue a le même rôle que dans l addition. Cette disposition est compatible avec celle de la division. 4. RÉSOLUTION DE PROBLÈMES ADDITIFS Nous avons déjà montré comment les situations sur lesquelles reposent les problèmes permettent à l enfant de construire une conception de l opération. Nous avons montré que la difficulté d un problème tient en partie à la catégorie à laquelle il appartient. Mais ce n est pas la seule cause de diversité. Une difficulté importante de la résolution de problèmes vient du fait que l opération qui modélise la situation n est pas toujours l opération à effectuer pour répondre à la question du problème. D autres difficultés sont liées à l interprétation de la situation ou à la lecture même de l énoncé ou encore aux calculs à effectuer / 16 -

14 1. Trois problèmes par catégorie, l opération ne modélise pas la situation Parmi les problèmes numériques qui reposent sur une situation, il convient de distinguer les problèmes suivant la grandeur inconnue parmi les trois qui sont liées dans la situation. Considérons un problème de la catégorie «transformation de la valeur d une grandeur», nous allons montrer qu à l intérieur de cette catégorie, il faut distinguer plusieurs types d énoncé qui posent des difficultés différentes suivant la grandeur inconnue. Considérons Julie qui joue aux billes. Si Julie gagne des billes, l enfant modélisera cette situation par une addition. Si Julie en perd, l enfant modélisera la situation par une soustraction. Supposons que Julie gagne. Les trois grandeurs de la situation sont le nombre x de billes Julie avant le jeu, le nombre a de billes gagnées par Julie et le nombre y de billes de Julie après le jeu. On peut représenter la situation par un des schémas proposés par Gérard Vergnaud : x On peut distinguer alors trois problèmes suivant la grandeur inconnue. - Julie avait 14 billes, elle en a gagné 7, combien en a-t-elle maintenant? - Julie avait 14 billes, elle a joué et elle en a maintenant 21. Que s est-il passé? - Julie a gagné 7 billes, elle en a maintenant 21. Combien avait-elle de billes avant le jeu? On peut analyser ces trois énoncés en disant qu ils reposent sur la même situation modélisée par l opération x + a = y. Le premier énoncé est conforme au modèle opératoire, on connaît x et a et on calcule y. Le deuxième énoncé n est pas toujours conforme au schéma ci-dessus, l enfant doit constater que la valeur 21 de y est supérieure à la valeur 14 de x pour savoir que Julie a gagné. Puis il doit se demander combien de billes Julie a gagnées. La résolution du problème n est pas conforme au modèle opératoire, il s agit de calculer a et ce calcul demande d effectuer une soustraction. Néanmoins, l enfant peut continuer à ajouter si les nombres sont suffisamment proches : il part de 14 pour aller à 21 en levant un doigt chaque fois qu il annonce un nombre puis il lit sur ses doigts la valeur de la transformation. Cette procédure n est plus applicable si la différence entre les nombres est trop grande. En ce cas, il faudra que l élève reconnaisse qu il doit calculer combien il faut rajouter à x pour aller à y et qu il transforme cette question en une démarche soustractive, pour savoir combien rajouter à x pour obtenir y, il faut calculer y - x. Le troisième énoncé est conforme au schéma mais l opération qui permet de calculer x est une soustraction. On ne peut plus procéder par addition comme précédemment car il manque la première valeur. Certains enfants procèdent alors par essais, erreurs et corrections successives : si Julie avait 10 billes avant de jouer, elle en aurait 17 ; si elle en avait eu 11, elle en aurait Cette procédure est très lourde, l enfant devra reconnaître qu il cherche le nombre qui donne 21 quand on lui ajoute 7, puis il devra savoir et utiliser que le nombre qui donne y quand on lui ajoute a est y - a. On constate donc que le deuxième et le troisième problème conduisent à une soustraction alors que le modèle de la situation est une addition, autrement dit, et c est une difficulté pour l enfant, l opération à effectuer n est pas celle qui modélise la situation. Avant de clore sur ces trois problèmes de la même catégorie, nous voudrions insister sur l aspect psychologique : l enfant doit accepter de son enseignant qu il lui pose des problèmes analogues au deuxième ou au troisième énoncé, c est-à-dire des problèmes qui ne se posent pas dans la vie quotidienne où la valeur inconnue est le nombre de billes après la partie. C est son enseignant qui transforme la situation de la vie quotidienne, qui masque les valeurs connues pour poser un problème à l enfant. Il peut l interpréter comme une volonté de le mettre en difficulté. Il lui faudra accepter qu en mathématique, on cherche à comprendre la situation et non à répondre à des problèmes pratiques. 2. Une même situation peut appartenir à plusieurs catégories La représentation d un problème n est pas toujours unique. Nous avons jusqu à présent attribué le problème des billes de Julie à la catégorie des problèmes de transformation de la valeur d une grandeur +a - 14 / 16 - y

15 mais on aurait pu aussi l interpréter comme un problème de composition de deux grandeurs. Le nombre de billes apportées par Julie et le nombre de billes gagnées par Julie se composant pour former le nombre de billes de Julie. Suivant la représentation choisie, une démarche est plus ou moins adaptée. En classant le problème de billes de Julie dans la catégorie «composition de deux grandeurs», le nombre de billes de Julie avant le jeu et le nombre de billes gagnées par Julie jouent des rôles analogues. La distinction que nous avons formulée entre le deuxième et le troisième énoncé n est plus fondée, la difficulté est la même et les démarches possibles sont identiques. 3. D autres facteurs qui posent des difficultés aux élèves La diversité et la difficulté inégale des problèmes ne tiennent pas seulement au fait qu ils appartiennent à l une ou l autre des catégories de problèmes ni au fait que l opération à effectuer soit, ou non, celle qui modélise la situation. La facilité du calcul à effectuer, la présentation des données dans l énoncé et le contenu même de l énoncé sont des sources de variation de la difficulté d un problème. 31. Les calculs à effectuer La difficulté d un problème dépend des valeurs numériques. Les grands nombres donnent lieu à plus de difficultés que les petits, les décimaux à plus de difficultés que les nombres entiers... Et certains nombres se prêtent plus que d autres à l utilisation de diverses procédures. 32. Les informations de l énoncé Les informations pertinentes peuvent être données de façons différentes. Elles peuvent être «noyées» parmi d autres qui enrichissent le contexte sans être directement utiles à la résolution : Julie est une petite fille qui adore jouer aux billes. Elle ne manque pas l occasion d une partie avec ses camarades lors de la récréation de 10h... Elles peuvent être fournie dans l ordre qui correspond au schéma de la situation ou non : Julie est ravie, ce matin elle a gagné des billes. Quand elle est arrivée ce matin sa trousse n était pas très remplie alors que maintenant, elle en a 54. Ce matin, avant la sonnerie de 10h elle avait 24 billes dans sa trousse... Les données numériques peuvent être écrites en chiffres ou en lettres, qu elles soient pertinentes ou non pour résoudre le problème. Julie est une petite fille de 8 ans qui adore jouer aux billes. A la récréation de dix heures, elle en a gagné vingt! Julie est ravie parce que ce matin, elle n avait que 27 billes dans sa trousse Les grandeurs du problème et les relations envisagées Des billes gagnées ou perdues, du temps passé, de l argent dépensé ou rendu, des kilomètres parcourus... ne peuvent pas être mis sur le même plan dans l enseignement élémentaire parce que la familiarité des élèves avec ces différentes grandeurs n est pas la même. En outre, l acquisition de certaines grandeurs est plus difficile que d autres. On doit distinguer, comme l a montré Jean Piaget, les quantités discrètes des quantités continues mais il existe aussi des différences entre les quantités continues : entre le périmètre et l aire, entre la longueur et le volume... L enseignement n a pas pour vocation d apprendre aux élèves à résoudre des problèmes pratiques mais, ces problèmes étant des supports à la réflexion des élèves, l enseignement familiarise les élèves avec certaines grandeurs et certaines situations. Certains psychologues, héritiers des travaux de Vygotsky, insistent d ailleurs sur le fait qu il n y a pas d apprentissage qui puisse se dispenser d une médiation par l adulte enseignant entre la connaissance sociale d une notion et sa connaissance scolaire ou scientifique / 16 -

16 QUELQUES PISTES POUR L ENSEIGNEMENT OU LA RÉÉDUCATION Sans pouvoir indiquer une méthode qui permettrait résoudre les difficultés d un enfant avec les calculs et la résolution de problèmes, il nous semble cependant que l enseignant ou l orthophoniste, dans le cadre d une rééducation, doit envisager son action suivant différents axes que nous allons préciser brièvement. 1. Développer l aptitude au calcul numérique mental et réfléchi pour favoriser la mentalisation des structures numériques ainsi que les propriétés des opérations. 2. Favoriser les raisonnements sur les énoncés de problèmes comme sur la gestion des calculs réfléchis et favoriser l expression de ces raisonnements sous quelle que forme que ce soit. En argumentant, l enfant s engage personnellement dans une tâche, il répond plus à la question mathématique qu à la question de l enseignant. 3. Aider l élève dans la résolution des problèmes sans lui commencer la résolution mais en lui organisant la tâche. On peut proposer, par exemple de : - repérer les grandeurs du problème et les unités utilisées et distinguer les grandeurs dont la valeur est connue et celles dont la valeur est inconnue ; - repérer le type «d histoire» racontée dans l énoncé et, de façon décontextualisée, rappeler ce qu on sait sur ces «histoires» ; - relier les grandeurs du problème par des opérations, les situer parmi les quatre principales catégories que nous avons détaillées et, éventuellement, schématiser chaque relation ; - transformer chaque opération sur les grandeurs en une opération sur les valeurs numériques qui permette de calculer les valeurs inconnues. Une telle organisation est assez lourde, elle ne devra pas être confiée telle quelle à l enfant qui doit être accompagné dans ce travail puis progressivement s en dispenser. 4. Utiliser la calculatrice pour résoudre un problème en cas de difficulté de calcul de l enfant : il s agit d alléger la charge de travail contenue dans une tâche, de ne pas cumuler les obstacles et de valoriser une éventuelle bonne capacité à résoudre des problèmes. 5. Habituer l enfant à vérifier et à contrôler ses résultats en estimant les valeurs numériques par des ordres de grandeur, en vérifiant les calculs à la machine ou sans, en relisant le problème avec les valeurs numériques trouvées / 16 -