CHAPITRE 9 FILTRAGE EN PRESENCE DE BRUIT ÉQUATION DU RADAR

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1 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR CHAPITRE 9 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT ÉQUATION DU RADAR 1 ASPECT ALEATOIRE DU RUIT... PUISSANCE MOYENNE D'UN RUIT EFFET DU FILTRAE RETOUR SUR LA NOTION DE DENSITE SPECTRALE PASSAE DANS UN FILTRE LINEAIRE TRAITEMENT DU SINAL EN PRESENCE DE RUIT FILTRE OPTIMAL NOTION DE RENDEMENT CONDITION DE PHASE CONDITION D'AMPLITUDE CONCLUSIONS EQUATION DU RADAR CONDITIONS ENERALES DE DETECTION DETECTION D'UNE CILE SILENCIEUSE DETECTION D'UNE CILE ROUILLEUSE DETECTION D'UNE CILE DANS UN MILIEU ROUILLEUR DISCUSSION DE L'EQUATION DU RADAR CILE SILENCIEUSE UN ECHO CILE SILENCIEUSE INTERATION COHERENTE DU SINAL REÇU PENDANT UN TEMPS «T» CILE ROUILLEUSE UN ECHO CILE ROUILLEUSE INTERATION COHERENTE CONCLUSION ANNEXE : INEALITE DE SCHWARTZ APPLICATION AU FILTRAE ADAPTE INEALITE DE SCHWARTZ APPLICATION AU FILTRAE ADAPTE ISN : Chapt 9_Pag 1

2 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR 1 ASPECT ALEATOIRE DU RUIT Nous avons étudé au chapt 6 l'aspct physqu du ut, c qu a pms d l qualf n moynn pa sa pussanc ou sa dnsté spctal. L'hypothès d dépat adms pou ctt étud état cll d'un ut : somm d'un multtud d tnsons égulès dont ls ampltuds t ls phass sont dstués suvant ls los du hasad. Il n ésult qu l'ampltud t la phas d'un ut n suvnt pas un vaaton détmné au cous du tmps, mas au conta, s modfnt d'un manè mpévsl. Il st poutant patqu t ndspnsal, pou pousuv l'étud du ut, d lu attu un fomulaton xplct. C'st c qu nous allons fa, n adoptant pou un ut moynn féqunc, l'xpsson suvant, couant pou défn ds sgnaux sous potus : où : n(t) ρ(t) cos ( πft + ϕ(t) ) f st la féqunc cntal du spct consdéé, ou féqunc potus du ut moynn féqunc. ρ (t) t ϕ(t) caactésnt l'évoluton tmpoll du ut. Dans l cas d sgnaux détmnsts, ρ (t) t ϕ (t) pnnnt ds valus dctmnt lés au déoulmnt dans l tmps du sgnal, c sont donc ds fonctons connus du tmps. Dans l cas du ut, ρ (t) t ϕ (t) sont la conséqunc d la sommaton à un nstant donné d'un tès gand nom d sgnaux élémntas sans lason nt ux, t d déoulmnt au cous du tmps nconnu a po. ρ (t) t ϕ (t) puvnt donc pnd, à un nstant donné, ls valus qulconqus dépndant unqumnt d l'échantllon analysé. Nous taduons ctt popété n dsant qu : ρ (t) t ϕ (t) sont ds fonctons aléatos du tmps On n saua donc calcul ds valus pécss d ρ (t) t ϕ (t) à un nstant donné, mas on put tnt d pécs la tndanc d lu vaaton n stmant la poalté avc laqull cs dux fonctons puvnt pnd ctans valus. L polèm posé st alos clu d l'analys statstqu du ut, dans l ut d défn sa «épatton» n ampltud t n phas. C polèm lu-mêm sat mpossl à ésoud s l'on n pouvat attu au ut un qualté supplémnta : la statonnaté. Un sgnal aléato statonna st un sgnal dstué suvant ls los du hasad, mas suvant ds los qu n vant pas dans l tmps. Ctt popété st nécssa à l'analys statstqu d'un sgnal aléato, ca ls «los d épatton» ésultant d l'osvaton d'un ctan échantllon n'auant aucun valu s lls n pouvant êt applqués au déoulmnt futu du sgnal. ISN : Chapt 9_Pag

3 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR L ut épond, n patqu, à c ctè d statonnaté, pndant un tmps suffsammnt gand dvant la dué d l'osvaton du ada. Nous vons, dans l chapt suvant, qu l'on sat touv ds «los d épatton» donnant un onn appoch mathématqu du compotmnt aléato du ut. Au tt d c chapt, nous allons patculèmnt nous ntéss à la noton d pussanc t d fltag du ut, c qu amèna la défnton du fltag optmal t nous pmtta d'éc l'équaton du ada. PUISSANCE MOYENNE D'UN RUIT EFFET DU FILTRAE.1 RETOUR SUR LA NOTION DE DENSITE SPECTRALE Un ds paamèts du ut dctmnt accssl à la msu st, comm nous l'avons vu au chapt 6, sa dnsté spctal, (n Watt/htz) qu st la pussanc éms, dans un and d féqunc unta, pa un souc d ut. Dans l'hypothès où la pussanc éms pa un souc d ut st unfomémnt épat dans l doman ds féquncs, nous avons éct : xpsson où : t : : pussanc moynn du ut k : constant d oltzman T : tmpéatu d ut du ada f : and d'osvaton dnsté spctal du ut. k T f f En patqu, la dnsté spctal d ut put êt un foncton d la féqunc : (f) t nous défnons donc, pou un ut d épatton qulconqu dans l doman ds féquncs : (f, f) (f) lm f 0 f (f, f) st alos la pussanc d ut msué dans un and f autou d la féqunc f. Pa allus, nous avons monté au chapt pécédnt, qu la pussanc moynn d'un sgnal st égal à la somm ds pussancs moynns potés pa ss composants. C qu pmtta d'éc : la pussanc moynn d'un ut dans un and tès fal «df» autou d la féqunc f, ou pussanc poté pa la composant du ut à la féqunc f : d ( (f) ) (f) df la pussanc total du mêm ut, dans tout l doman ds féquncs, somm ds pussancs potés pa chaqu composant : ISN : Chapt 9_Pag 3

4 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR sot : ( ) d (f ). 0 0 (f) df. Ctt laton st n accod avc ls hypothèss du chapt 6, ca n fft, s : t : on touv évdmmnt : Ls uts épondant à la défnton lancs». (f) ct F and d'osvaton du ut F. (f) ct sont connus sous l nom d «uts Nous consdéons qu, ls uts qu pénètnt, ou sont ngndés dans un écptu sont ds uts lancs, c qu couv la majoté ds cas (Vo l chapt 19 3 pou la écpton n pésnc d uts coloés) t xamnons dans c cas l'fft d fltag du écptu.. PASSAE DANS UN FILTRE LINEAIRE L flt lnéa agt su chaqu composant du ut d la mêm manè qu'l agt su un sgnal qulconqu, c'st-à-d n lu appotant (cf. chapt 8) : un atténuaton α ( f) F(f) (su son ampltud) ; un déphasag ϕ ( f) Ag ( F(f) ). L déphasag vnant s'ajout à la phas aléato ϕ (t) d chaqu composant du ut, n'a fnalmnt pas d'nflunc su l compotmnt moyn du ut. L'atténuaton, ll, vnt jou su la pussanc poté pa chaqu composant du ut qu état avant fltag : d () df t dvnda apès fltag : ( ) (f)df F(f) df d (f) ca la pussanc moynn du ut st popotonnll au caé d son ampltud. La pussanc moynn d ut apès fltag sa fnalmnt :.0 F(f) df ( flté) Nous tndons égalmnt qu ctt noton smpl du fltag n fat appl qu'aux féquncs postvs, la noton d composants t dnsté spctal ayant été défn su l spct él du ut. On put cpndant maqu qu F(-f) F(f) t éc l xpsson pécédnt sous la fom : F(f) df ISN : Chapt 9_Pag 4

5 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR 3 TRAITEMENT DU SINAL EN PRESENCE DE RUIT L sgnal pçu t amplfé pa un écptu d ada st un sgnal compost fomé d la supposton ds échos utls t d'un ut non néglgal. L polèm du adast st donc d dscn l sgnal utl dans l ut qu l'ntou. Pou cla, l faut chch l mllu tatmnt qu put, n généal, s amn au schéma typ suvant : Ampl 1 Fltag ou Détcton ou 3 Sul ou 4 tatmnt tatmnt ctè d cohént non cohént décson Dans l cas du tatmnt l plus smpl : fltag + détcton + sul, l allu du sgnal compost, (sgnal utl plus ut) à l ssu ds dvs tatmnts st donné c apès : L fltag aua pou ut «d'atténu» au maxmum l ut tout n pésvant l sgnal. La détcton a pou ôl d mtt l sgnal sous un fom compatl à la compaason avc un sul. On convnt, nsut, d décd qu l sgnal st un sgnal utl, c'st-à-d un écho n povnanc d'un cl placé dans l champ d'osvaton du ada, losqu l sgnal flté t détcté dépass l sul. énéalmnt, on consdè qu l détctu st quadatqu, c'st-à-d qu l sgnal à la sot du détctu a pou xpsson : V(t) k A (t) s l sgnal, à l'nté du détctu, st d la fom : s(t) A(t) cos( ωt + ϕ) A la sot du détctu, on touva donc un tnson vdéo féqunc, toujous postv, dont la valu à chaqu nstant st popotonnll à la pussanc cêt du sgnal détcté. La compaason au sul s ésum à la doul condton : pésnc d un écho s la pussanc cêt du sgnal st supéu au sul ; asnc d écho s la pussanc cêt du sgnal st nféu au sul. L sgnal détcté st composé : du sul ut losqu aucun cl n'a nvoyé d'écho, du sgnal utl supposé au ut dans l cas conta. ISN : Chapt 9_Pag 5

6 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR On put donc, s l ut st d'un nvau élvé, décét un pésnc d'écho su un pont d ut. Pou évt cs faux échos, on s'ffoca «d'algn» la poston du sul su l ut. Pa allus, la sommaton du ut t du sgnal utl s'ffctu sous potus, l ésultat dépnd donc d la phas latv du ut à l'ndot d l'écho d cl. Dans cs condtons, un écho n povnanc d'un cl, n sa ps n compt qu s la somm vctoll écho utl plus ut, fom un sgnal d'ampltud suffsant pou dépass l sul apès détcton. La ps n compt d l'écho utl sa donc d'autant plus poal qu la pussanc cêt du sgnal cospondant sa gand dvant la pussanc cêt du ut qu l'accompagn. En out, s la pussanc cêt d'un ut à un nstant donné «t» n'st pas connu, on sat qu'll st popotonnll à «lo d épatton donné» à sa pussanc moynn. La qualté d la détcton d'un ada (au sns lag du tm), st donc ssntllmnt lé aux pussancs latvs du sgnal utl t du ut qu l'accompagn, apès l'opéaton d fltag du écptu. Ell sa d'autant mllu qu l appot d cs pussancs sa élvé, ca s la pussanc du sgnal st gand dvant cll du ut, on a la posslté d plac l sul : assz haut pou élmn la quas totalté du ut, assz as pou lass pass l sgnal utl dans la majoté ds cas. La pésnc du détctu povoqu un vaaton ds los d épatton du ut t du mélang sgnal ut qu sa étudé au chapt 10. Ctt acton étant non lnéa, on n put apès détcton pal d «caactéstqus spctals» du sgnal t du ut. Nous vons, plus lon, commnt évalu la qualté d la détcton du ada, compt-tnu d l'fft du détctu, n foncton du appot ds pussancs du sgnal t du ut à l'nté d clu-c, sot sous potus, apès fltag. Nous allons donc éc c appot sous la fom déjà mployé au chapt 6, sot : S Pussanc cêt dusgnal moynn féqunc apès fltag Pussanc moynn duut moynn féqunc apès fltag D'apès c qu pécèd, on aua ntéêt à chch un appot S/ l plus gand possl. L écptu déal st donc, d c pont d vu, clu qu éals l'optmsaton la mllu du appot S/. 4 FILTRE OPTIMAL NOTION DE RENDEMENT L fltag optmal sa clu qu pmtta d'otn pou un sgnal donné, l appot sgnal su ut maxmal. L flt agt dans l doman ds féquncs pa atténuaton t déphasag ; l polèm st qu son acton pmtt d'atténu l mons possl la pussanc cêt du sgnal t l plus possl la pussanc moynn du ut, d tll manè qu lu appot pass pa un maxmum. Rapplons ls latons qu lnt S t aux spcts du sgnal t du ut t à la tansmtanc du flt : F(f). ISN : Chapt 9_Pag 6

7 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR a) Nous avons vu au paagaph. qu la pussanc moynn d'un ut lanc d dnsté spctal, s'éct apès fltag : F(f) df ) En c qu concn l sgnal n moynn féqunc, nous savons qu (cf. chapt 8) : A (t) Pc (t) t s H(f) st l spct généalsé du sgnal. 4.1 CONDITION DE PHASE A(t) + H(f) jπft Apès passag dans l flt d tansmtanc F(f), l spct du sgnal dvnt : t l sgnal flté s'éca donc : A s (t) (f) H s H(f) F(f) H(f) F(f) C sgnal pass pa un ampltud maxmal au tmps t 0, s l podut H(f).F(f) st él, ca alos touts ls composants du spct sont n phas t s ajoutnt n ampltud. L flt adapté au sgnal st clu qu nd son spct él postf. C qu mplqu la condton d phas à mpl pa l flt d tansmtanc F(f) : jπft Ag (F(f)) Ag (H(f)) Ctt ampltud maxmal s calcul alos pa la laton : A max df. A (0) H(f) F(f) df s Ctt ampltud st la plus gand qu put pnd tout sgnal d spct H(f).F(f) ca tout ntégal s un nom complx st majoé pa cll d son modul. t la pussanc cêt d un sgnal s éct : A max P S c max D où l xpsson d la pussanc cêt du sgnal apès fltag : 4. CONDITION D'AMPLITUDE 1 S H(f) F(f)df L'opéaton pécédnt a conssté à ajust au mux l déphasag du flt, d manè à xta l'ampltud maxmal du sgnal d spct H s (f). L'optmsaton du fltag n'st pas tmné pou autant ; n fft, l appot sgnal su ut s'éct : df. ISN : Chapt 9_Pag 7

8 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR S H(f) F(f) df S/ st, à spct H(f) donné, un foncton du modul d la tansmtanc F(f) du flt utlsé. Il st donc à chos l'atténuaton d c flt n foncton d la féqunc. La démonstaton gouus du chox d F(f), qu fat appl à l'négalté d Schwatz, st donné n annx. On put égalmnt chch un xplcaton smpl du phénomèn n s potant aux osvatons suvants : F(f) df a) La pussanc moynn du ut n dépnd qu d l'ntégal : qu st l'a pésnté su la fgu c-apès. F(f) df F(f) f -f 0 f 0 ) Un affnté d la cou lmt d la sufac hachué su l'ax ds pussancs, F(f),st équvalnt à un changmnt du gan d la chaîn. Ell a l mêm fft su l sgnal t su l ut t n chang n à S/. c) A sufac donné, un vaaton d la fom d ctt cou n'agt qu su la fom t la pussanc maxmal du sgnal utl, mas n'agt pas su la pussanc moynn du ut. d) L flt l mllu pou un sgnal donné st clu qu «sut» l plus fdèlmnt possl l ampltud d son spct, n atténuant pu ls pats fots d c spct t davantag ss pats fals, ca l dvnt caactéstqu d c sgnal à l'xcluson d tout aut. ) L flt adapté au sgnal éponda donc à la condton d'ampltud : F (f) f) L flt optmal ou adapté au sgnal dva épond smultanémnt aux condtons d'ampltud t d phas : F (f) H(f) t : Ag(F(f)) H(f) Ag H(f) H(f) st donc la quantté conjugué d F(f)., c qu s ésum pa la laton : F(f) H*(f) ISN : Chapt 9_Pag 8

9 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR Applquons ctt laton au calcul du appot sgnal su ut apès passag dans l flt adapté : O (cf. chapt 8) : S max H(f) F(f) df S F(f) max df H(f) H(f) df E df st l'éng du sgnal d spct H(f), c qu pmt d'éc : H(f) H(f) df df avc : S S : pussanc cêt du sgnal moynn féqunc apès fltag, : pussanc moynn du ut moynn féqunc apès fltag, E : éng du sgnal moynn féqunc avant fltag, : dnsté spctal du ut moynn féqunc avant fltag, E/ : appot sgnal su ut éngétqu. max E 4.3 CONCLUSIONS L appot S/ à la sot du flt moynn féqunc du écptu st l paamèt ssntl d la qualté d la détcton d'un ada. Au mux, dans l cas du fltag optmal ou adapté, S/ st égal au appot sgnal su ut éngétqu E/ à l'nté du écptu (sot au pont d éfénc chos au chapt 6) : t l flt adapté épond à la condton : S max E F(f) H*(f) Dans ls cas couants, ls flts n sont pas pafatmnt adaptés, t on put défn un ndmnt d fltag : η S E En patqu, l ndmnt d fltag st d l'od d 0,8 sot un pt d S/ pa appot au fltag optmal d l'od d 1 d. ISN : Chapt 9_Pag 9

10 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR 5 EQUATION DU RADAR 5.1 CONDITIONS ENERALES DE DETECTION L chapt 7 a amné la défnton d'un poalté d détcton t d'un poalté d fauss alam (chapt 7, 7). Dans l cas pésnt, nous pouvons pécs cs notons n nous potant au tatmnt du sgnal défn au paagaph 3, t éc : la poalté d détcton P d : qu st la poalté pou qu l sgnal compost (somm du sgnal utl t du ut sous potus), dépass l sul ou mplss l ctè d décson. la poalté d fauss alam P fa : qu st la poalté pou qu l ut sul dépass l sul ou mplss l ctè d décson. L chox du sul (ou du ctè d décson) dépnd d la natu du ut apès tatmnt t d la poalté d fauss alam chos. Dans cs condtons, la poalté d détcton dépnd ssntllmnt d la valu du appot sgnal su ut S/, otnu apès fltag du sgnal compost pa l écptu du ada. Nous étalons au chapt 10, ls latons qu lnt P d, P fa t S/ pou dvs cas d tatmnts du sgnal t d compotmnts d l'écho utl. En attndant, nous tndons qu tout chox d P d t P fa ntaîn, compt tnu du tatmnt adopté, l chox d'un valu n détmné d S/. Connassant l ndmnt η du fltag éalsé n moynn féqunc, on put donc calcul l appot sgnal su ut éngétqu à mpos au ada, au pont d éfénc chos au chapt 6, pou caactés l ut t l sgnal : E Pa allus, l'fft d ndmnt d fltag put êt assmlé à un pt su l sgnal l long d son tajt dans l écptu (pa appot à un écptu déal). En patqu, nous posons donc : E comm dans un écptu déal, t potons l coffcnt 1/η dans l décompt ds pts L sus pa l sgnal. La connassanc d l'équaton d popagaton t d la natu du ut accompagnant l sgnal utl, pmt alos d'aout à l'équaton du ada. S 1 η 5. DETECTION D'UNE CILE SILENCIEUSE S la cl osvé pa l ada n'émt aucun sgnal paast, t s l ada n'st soums à aucun oullag atfcl, l ut qu accompagn l sgnal a pou dnsté spctal (cf. chapt 6) : 0 F k T 0 L'équaton d popagaton étal au chapt 7 nous pmt d'éc l'xpsson d l'éng pçu pa l ada : S ISN : Chapt 9_Pag 10

11 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR P τ λ c E 3 4 Ls condtons d détcton mposnt la valu du appot sgnal su ut éngétqu à otn, sot : E E S 0 d'où l'équaton du ada su cl slncus : Expsson où : S P c 3 τ D D 4 L σ λ σ F kt : gan d l'aén du ada λ : longuu d'ond utlsé σ : sufac équvalnt d la cl P c : pussanc cêt éms τ : dué d l'mpulson éms (ou analysé) (S/) : appot sgnal su ut mposé au ada F : factu d ut du ada k : ct d oltzman T 0 : tmpéatu d éfénc nomalsé 90 K D : dstanc cl ada L : pts su l sgnal utl L coffcnt d pts L tnt compt : ds pts à l'émsson nt la sot d l'émttu t l pont d msu du gan d l'aén ; ds pts à la écpton nt l pont d msu du gan d l'aén t l pont d éfénc ; ds pts sus pa l'ond dans son tajt all t tou ou pts atmosphéqus ; ds pts dus au tatmnt du sgnal (fltag, ccuts spécaux) t à l'xplotaton d l'nfomaton ; ds dts pts d modulaton d lo dus au mouvmnt d l'aén t à la fom d son fascau ; tc. Son stmaton sa ps au chapt 11. L coffcnt kt 0 st ps égal à 03,8 d. L'équaton pécédnt put pnd dvss foms, suvant l paamèt chché. 0 L ISN : Chapt 9_Pag 11

12 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR Pa xmpl : ou : E D P c 4 τ 3 λ σ P c τ (S /) F kt (S /) 3 D λ 4 0 σ L F kt L calcul poua êt ffctué pa la méthod ds «décls pa appot à l'unté» xposé au chapt DETECTION D'UNE CILE ROUILLEUSE Dans ctans cas, la cl osvé pa l ada, put êt potus d'un oullu émttant du ut dans la and du ada. Nous appllons la dnsté spctal d ut éms pa l oullu, l gan d l'antnn du oullu dans la dcton du ada. La dnsté spctal d ut n povnanc du oullu pénétant dans l ada, sa alos : 1 4π D λ 4π t l ut total accompagnant l sgnal utl : k.t 0.F + 1 énéalmnt, 1 st tès gand dvant 0 (snon l oullu n sat pas tès ffcac), c qu pmt d pos : t (équaton d popagaton) : 1 λ 1 D P τ λ σ c E 3 4 D L d'où l'équaton du ada su un cl oullus : Expsson où : S P τ σ c D L' 1 : gan d l'aén du ada σ : sufac équvalnt d la cl Pc : pussanc cêt éms τ : dué d l'mpulson éms (ou analysé) (S/) : appot sgnal su ut mposé au ada : dnsté spctal du ut éms pa l oullu : gan du oullu dans la dcton du ada 0 L ISN : Chapt 9_Pag 1

13 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR D : dstanc cl ada L' L d - d' L' d, st la pt calculé n 5. mons ls pts communs su l ut t l sgnal l long d lu tajt commun, sot : ls pts atmosphéqus tou ; la moté ds pts d modulaton d lo ; ls pts hypféqunc à la écpton nt l pont d msu du gan t l pont d éfénc. Pa allus, l faut maqu qu, compt tnu d lu tajt commun, l ut du oullu t l sgnal utl sont vus pa l ada sous l mêm gan d'antnn. L gan d l'aén du ada à la écpton n modf donc pas l appot sgnal su ut dans l cas d la détcton d'un cl oullus. 5.4 DETECTION D'UNE CILE DANS UN MILIEU ROUILLEUR L ada put égalmnt fonctonn n pésnc d plusus cls oulluss dspsés dans son doman d'osvaton. S nous applons : D : dstanc oullu ada : la dnsté spctal d ut éms pa chaqu oullu : l gan d chaqu oullu dans la dcton du ada g : l gan à la écpton dans la dcton d chaqu oullu l : ls pts atmosphéqus tou t hyp écpton : son gan à l'émsson : son gan maxmum à la écpton nous pouvons éc, n tnant qu 0 n'st pas toujous néglgal c : g λ kt0 F 4π D 4π sot comm g α, s α st l taux d los scondas : λ αr + kt0 F D t comm : E P c τ 3 D 4 λ L σ S P τ λ σ c 3 4 D L λ D α R + kt F 0 1 équaton du ada dans un mlu oullu. ISN : Chapt 9_Pag 13

14 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR REMARQUES : L appot (S/) dépnd d la épatton spatal ds oullus. Dffénts méthods qu sotnt du cad d c chapt ont été poposés pou étal ds modèls d stuatons pmttant l calcul d'un valu moynn du tm : λ (4 π) D La décomposton du gan du ada n gan à l'émsson : t gan à la écpton put êt applqué, s son st, aux cas étudés n 5. t 5.3. La pécédnt laton contnt l'équaton étal n 5.3 ; n fft, pou un sul cl placé dans l lo pncpal, 0 << 1 t : α 1 t D D On put auss n donn un vson smplfé s tous d D sont vosns d D : α 4 D π.d S E. σ 4 π.d.l' ag λ /4π Sgnal utl Rappot sgnal su oullag 1 α. E λ σ 1 3.D L E 4 ( 4 π ) D oullu : pussanc W, and F, gan -dnsté spctal éms : W / F -gan d l'antnn ada dans la dcton du oullu g α - dstanc du oullu ~ égal à cll d la cl g λ 1 4π.D 4π l' P. τ.. σ c * 4. S / L' π ( ) α 1.. EQUATION DU RADAR EN MILIEU ROUILLEUR SYNTHESE 6 DISCUSSION DE L'EQUATION DU RADAR La poté du ada dépnd dans tous ls cas ds paamèts P c.τ, σ t L. On put donc d qu'n généal : la poté du ada coît avc P c.τ qu pésnt l'éng éms à chaqu mpulson pa l ada, donc coît avc la pussanc moynn du ada t non avc sa pussanc cêt ; la poté du ada coît avc la sufac équvalnt d la cl ; la poté du ada st fotmnt lé aux pts L sus pa l sgnal. Pou évalu l'nflunc ds auts paamèts, l convnt d consdé ls cas suvants : ISN : Chapt 9_Pag 14

15 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR 6.1 CILE SILENCIEUSE UN ECHO Dans c cas dux auts tms appaassnt ( : émsson ; : écpton) : λ 4π λ 4π A t l factu d ut F qu dot êt mnmsé. On put donc d qu la poté coît avc l gan à l'émsson t la sufac ffctv à la écpton ds aéns. Mas, pou un aén unqu,, A t λ sont lés. Nous tndons qu : à sufac d'aén donné, la poté coît comm 1 / λ ; à gan d'aén donné, la poté coît comm λ. Il faut s gad d généals l'nflunc d λ ca ls paamèts : σ, F, L, t mêm P c sont ds fonctons d la longuu d'ond utlsé. Ds polèms patqus lés : à la tall t au px d l'aén, aux pussancs dsponls, aux pts ncontés, au factu d ut éalsal, aux mods d'xploaton d l'spac, tc. détmnnt, n fat, l chox d la longuu d'ond dans chaqu cas patcul. Nous tndons qu ls adas d tès gand poté, fonctonnnt su ds longuus d'ond d 5 cm à 1 m. 6. CILE SILENCIEUSE INTERATION COHERENTE DU SINAL REÇU PENDANT UN TEMPS «T» Nous consdéons dans c cas qu l flt adapté st capal d pnd n compt non pas un sul écho, mas tous ls échos pçus pndant un tmps T, sot un éng total E c. Il sufft pou cla qu T st nféu au «tmps d cohénc» d la cl analysé, (0,01 à 0,1 sc slon ls cas) c'st-à-d au tmps pndant lqul ls évolutons d la cl n vnnnt pas ptu la cohénc du sgnal. Nous supposons n out qu ls aéns d'émsson t d écpton sont physqumnt sépaés quoqu latvmnt vosns. Dans cs condtons l'équaton du ada s'éca : D 4 E 3 F k T 0 λ σ S / L avc : E P m T, P m Pussanc Moynn, T dué d la msu 4π factu d gan angl sold émsson ISN : Chapt 9_Pag 15

16 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR sot avc f 0,5, Ω ouvtu antnn à l'émsson π Ω pa allus, s T u st l tmps mposé nt dux msus dans un dcton donné, π l'angl sold gloal à osv (touts dctons au-dssus du st zéo) : C qu amèn : T u π Ω T Tu T t E d'où un nouvll fom d l'équaton du ada : D 4 P T λ σ m 3 u F kt 0 P m T S / L On vot donc qu tant qu T st nféu au tmps d cohénc d la cl T c, c qu mpos la condton : sul l gan d l'antnn à la écpton a un nflunc su la poté du ada. Cpndant, pou pmtt ctt pfomanc, s Ω st l'ouvtu d l'antnn à la écpton, l fauda pouvo dspos d : N vos écptons smultanés, c qu put êt otnu d dffénts manès, dont la fomaton ds vos pa l calcul (cf. chapt 5). 6.3 CILE ROUILLEUSE UN ECHO Dans l cas d cls oulluss, λ t l gan à la écpton dspaassnt d l'équaton du ada. Sul, l gan à l'émsson t l appot d los scondas α nflunt su la poté du ada. Pa allus, afn qu pu d cls oulluss n pussnt êt ntcptés smultanémnt pa l lo pncpal du ada (α 1), on aua ntéêt à utls ds los étots. En ésumé, dans c cas d fonctonnmnt, un ada dva posséd : un pussanc moynn élvé ; ds los scondas fals ; un lo pncpal étot ; un gan à l'émsson mpotant. Cs dux dns factus amènnt l'utlsaton d longuus d'onds fals, dans la msu où ds pussancs mpotants sont dsponls. En out, l'mplo d féquncs aléatos put pmtt d'élag la and d'émsson du ada, c qu, à pussanc d oullu donné, Ω T T Ω u c u ISN : Chapt 9_Pag 16

17 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR povoqua un dmnuton d la dnsté spctal éms, l oullu étant alos amné à étal sa pussanc su un lag and. 6.4 CILE ROUILLEUSE INTERATION COHERENTE Dans l cas d'un sul oullu dans l lo pncpal d l'antnn écpton, l'équaton du ada s'éct (cf. 5.3) : E σ 1 D 4π S / L En nous plaçant dans ls mêms condtons qu'au paagaph 6. t n patcul à féqunc fx (au mons pa séquncs), pou pésv la cohénc ds cls, ctt équaton s édut à : D P m T u σ 4π S / L 1 on av alos au paadox qu n l gan à l'émsson, n l gan à la écpton n'nflunt su la poté du ada. Dans l cas d Q oullus, épats dans l'spac total d'angl sold π, l nom moyn d oullus vus pa l ada (ndépndammnt ds polèms d los scondas ctés n 6.3) sa : Ω n Q π ca l put y avo π/ω dctons d écpton ndépndants. On éca alos : D P T σ m u 4π S / L Ω π Q P T σ m u 4π S / L Q On not alos qu ls pfomancs du ada sont d'autant mllus qu la dctvté d l'antnn d écpton st élvé, c qu avat déjà été évoqué n 6.3. Ctt maqu s'applqu dans tous ls cas d oullags multpls, où l'améloaton d la dctvté dot s'accompagn d'un éducton ds los scondas dont la contuton st néglgé dans l asonnmnt smplfé qu pécèd. Ds compoms dvont êt chchés t pouant êt touvés n utlsant d gands antnns à la écpton unqumnt. 7 CONCLUSION C qu pécèd n'st qu'un dscusson tès généal, qu mt n évdnc dvss foms possls d l'équaton du ada. On not n patcul qu tout ou pat du gan à l'émsson put êt échangé cont d l'ntégaton cohént, t qu ls pfomancs d gan ou d dctvté d l'antnn d écpton sont lagmnt à pnd n compt. L chox ds caactéstqus d'un ada st cpndant un affa d compoms n foncton d tous ls polèms patqus posés los d l'élaoaton ds pojts. Pa xmpl ds pfomancs d pécson angula, cadnc d'nfomaton, msu d vtss, vson dans ls échos fxs, tc puvnt vn nflu dans l chox ds caactéstqus du ada. ISN : Chapt 9_Pag 17

18 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR 8 ANNEXE : INEALITE DE SCHWARTZ APPLICATION AU FILTRAE ADAPTE 8.1 INEALITE DE SCHWARTZ Sont : L nom : f(x) t g(x) dux fonctons complxs d la vaal x ; λ ρ jθ un nom complx. st un nom postf. K + f λ g dx Nous écons : K (f λ g)(f * λ * g*) dx f dx + λ g dx λ * f g * dx λ K f * g dx Plaçons-nous dans l cas où tous ls tms d l'xpsson sont éls, c qu mpos : l vnt : Ag ( λ) Ag ( f * g dx) Ag( f g * dx) g dx ρ f g * dx + K ρ f dx L polynôm du scond dgé n ρ st postf qul qu sot ρ s ss acns sont magnas c qu mpos qu son détmnant sot négatf d'où : f g * dx g dx f dx 0 La condton patculè K 0 cospond à l'appaton d'un acn doul pou laqull 0 ; dans c cas, la condton à éals s dédut mmédatmnt d la pmè xpsson d K t s'éct : D'où l ésultat : f λ g 0 Inégalté d Schwatz : f g * dx f dx g dx condton d'égalté : f λg ISN : Chapt 9_Pag 18

19 FILTRAE EN PRESENCE DE RUIT EQUATION DU RADAR 8. APPLICATION AU FILTRAE ADAPTE Nous avons vu au paagaph 4 qu'à l'nstant zéo, on put éc : t : (0) A s c qu pmt d'aout à l'xpsson : S H(f) F(f) df F(f) df H(f) F(f) df sot n maquant qu l'éng du sgnal s'éct : S E F(f) df E H(f) df H(f) df H(f) F(f) df D'apès l'négalté d Schwatz, l coffcnt multplcatu η n put êt qu'nféu ou égal à l'unté. F(f) df La condton pou qu η sot stctmnt égal à l'unté étant : H(f) λf (f) sot : tansmtanc du flt, quantté conjugué, à un coffcnt pès, du spct du sgnal. η E ********* ISN : Chapt 9_Pag 19