COURS TRAITEMENT DU SIGNAL

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1 COURS RAIEMEN DU SIGNAL Cours ère Aée : élécommuicatio EL Frédéric LAUNAY le //007 Départemet R& IU de Poitiers site de Chatellerault

2 raitemet du sigal Le traitemet du sigal est deveu ue sciece icotourable de os jours : outes applicatios de mesures, de traitemet d iformatio mettet e œuvre des techiques de traitemet sur le sigal pour extraire l iformatio désirée. Iitialemet destié à extraire le sigal das u bruit lors de mesures (capteurs), le traitemet du sigal est largemet appliqué e élécommuicatio das des applicatios diverses et variées. Nous pouvos citer : - la protectio d iformatio cotre le bruit telles que les techiques pour réduire le aux d erreur ou pour cotrer les effets du caal (techique d égalisatio) - le développemet d applicatios électroiques et l évolutio aisée vers de ouvelles foctioalités telles que le filtrage sélectif, la mise e place de techiques variées de modulatio/démodulatio, L objectif pricipal de ce cours est la caractérisatio d u sigal das le domaie temporel et fréquetiel pour aboutir à des modèles mathématiques. La descriptio mathématique des sigaux permet de cocevoir et de caractériser des systèmes de traitemet de l'iformatio. Le bruit représetera tout «sigal» ou phéomèe perturbateur Nous avos découpé ce cours e quatre chapitres, le premier chapitre est ue sesibilisatio à la décompositio d u sigal e série de Fourier. Aucue otio mathématique e sera abordée das ce premier module, l ituitio physique état mise e avat pour appréheder les phéomèes. Das le deuxième chapitre, ous allos classifier les sigaux et défiir des otios de puissaces. Nous aborderos les phéomèes aléatoires et des sigaux dits détermiiste. Das le troisième chapitre, ous aborderos des cocepts plus mathématiques de la série de Fourier, de la trasformée de Fourier. U rappel sera fait avec le deuxième chapitre das la mesure des sigaux (Moyee, puissace et variace). Efi das le 4 ème chapitre, ous aborderos des applicatios d échatilloage, de filtrage et de covolutio. Bie que des formules mathématiques serot développées das ce chapitre, ous isisteros sur les représetatios physiques. Les mathématiques appuierot les cocepts abordés das ce cours.

3 Chapitre : raitemet du sigal : Ituitio Physique Iformatios géérales h30 de cours h30 de D : D Descriptios du chapitre Approche ituitive sur la représetatio temporelle et fréquetielle Défiitio de l aalyse spectrale Vibratio d ue corde, logueur d ode et fodametale 3

4 «L étude approfodie de la ature est la source la plus fécode des découvertes mathématiques» «[... ] L aalyse mathématique est aussi étedue que la ature elle-même [... ] So attribut pricipal est la clarté [... ] Elle [... ] semble être ue faculté de la raiso humaie, destiée à suppléer à la brièveté de la vie et à l imperfectio des ses». (Discours prélimiaire à la théorie aalytique de la chaleur par Joseph FOURIER). I. Itroductio Avat de commecer le cours sur le traitemet du sigal, il est opportu de défiir la otio de sigal, telle que vous la trouverez sur Wikipédia et autres dictioaires «U sigal est u message simplifié et gééralemet codé. Il existe sous forme d'objets ayat des formes particulières. Les sigaux lumieux sot employés depuis la uit des temps par les hommes pour commuiquer etre eux à distace. Le sigal électrique est ue des formes les plus récetes de sigal. U sigal das le domaie iformatique et de la commuicatio iterprocessus. O a l habitude de représeter u sigal par ue foctio cotiue das le temps et de visualiser le sigal sur u oscilloscope ou u appareil représetat la variatio d amplitude d u phéomèe e foctio du temps (cardiogramme, sismographe, microphoe, ).» I-) Observatios des phéomèes ous etourat Pour simplifier l étude ous allos predre l exemple d ue seule corde (rmq : La productio des sos à partir des cordes a été étudiée depuis Pythagore (vers av.j.-c.) : e piçat ue corde, la vibratio de la corde est trasmise à l'air eviroat, et l'air trasmet la vibratio de proche e proche jusqu'à votre oreille qui reçoit la vibratio du début u peu trasformée, mais ecore recoaissable. ous ces phéomèes de trasmissio de "proche e proche" sot dus aux phéomèes d'ode : Avat (il y a ue bosse) : Après (la bosse est plus loi) : Figure : Evolutio de l ode e foctio de la distace O peut oter le même phéomèe e laçat u caillou das de l eau. O observe des rods qui augmetet de taille. Das ce cas-là, c'est la hauteur de l'eau à u edroit qui chage la hauteur de l'eau à côté de cet edroit. Das le cas de l'air c'est la pressio de l'air à u edroit qui chage la pressio de l'air à côté de cet edroit. 4

5 I- Exemple de la corde d ue guitare. Si o fait vibrer ue corde suffisammet tedue (souvet e ylo ou e acier), elle fait aussi vibrer l'air qui se trouve à côté et produit u so. Mais ce so est très faible. C'est pour ça que les istrumets à cordes ot des résoateurs (table d harmoie). La corde d ue guitare est attachée aux deux extrémités, lorsqu o écarte la corde à vide, la déformatio de la corde forme ue ode etre les deux extrémités (u fuseau). Figure : Représetatio d u fuseau, variatio de l amplitude de l ode sur ue corde fixée aux deux extrémités Sur le graphe ci-dessus, la corde présete deux oeuds (à ses extrémités) et u vetre appelée fuseau. Pour obteir ue telle vibratio, reveos sur la guitare : Figure 3 : Elémet d ue guitare La tête : Elle supporte les chevilles sur lesquelles sot fixées ue des extrémité des cordes, permettat aisi de régler la tesio des cordes. Le mache : Il est composé de frettes (ou sillets), petites barrettes de métal ou de bois qui servet à obteir la logueur précise de la corde vibrate etre sillet de chevalet et la frette picée. Le chevalet trasmet les vibratios de la corde vibrate à la table d'harmoie. Il doit pouvoir retrasmettre à la table, sas trop de déformatios, le coteu fréquetiel que lui commuique la corde. 5

6 La table d'harmoie est la surface supérieure de la caisse. Celle-ci est percée d'ue ouïe, appelée rosace" das le cas de la guitare. Cette rosace permet la projectio du so, coteu das la caisse de résoace, hors de l'istrumet. Par coséquet, la vibratio d ue corde de guitare produit u so. O obtiet des sos plus ou mois graves : Selo l'épaisseur de la corde : Les cordes épaisses produiset u so grave. Les cordes fies, u so aigu. C'est pour ça que les istrumets à cordes ot souvet plusieurs cordes de différetes épaisseurs. Chacue d'elles produit ue ote différete. Selo la logueur de la corde : Ue corde dot la logueur est le double d'ue autre, produit u so doublemet plus grave. Si la première corde produit u do, par exemple, la deuxième produit u do ue octave plus grave. Rmq : Les istrumets à cordes ot souvet plusieurs cordes de la même logueur! Sur la guitare, aisi que sur tous les istrumets de la famille du violo, les musicies appuiet sur le mache avec leurs doigts et réduiset la logueur de la corde. De cette faço, elle soe comme si elle était plus courte et produit u so plus aigu. Selo la tesio de la corde : Plus de tesio est syoyme de plus aigu, aisi plus la corde est tedue et plus le so émis sera aigu. Les musicies peuvet régler la tesio des cordes de leurs guitares, grâce aux clefs (chevilles). Quad o pice ue corde, celle-ci vibre avec ue vitesse V = F µ où F est la force de tesio de la corde e Newto et µ est la masse de la corde par uité de logueur. I-3 Vibratio : Les odes statioaires Das la corde, les odes sot statioaires. Les odes statioaires s'établisset si la logueur L de la corde est u multiple de la demi logueur d'ode λ. La logueur L état fixée (corde o picée ou etre la frette picée et le sillet de chevale, o crée u so dot la logueur d ode λ est proportioelle à la logueur L. Or, la fréquece est iversemet proportioelle à la logueur d ode selo la formule suivate (à reteir) das le cas gééral: λ = c = c f c est la célérité e m/s. Das le cas de la corde, o parlera plutôt de célérité des odes méca-ique ce qui correspod à la vitesse de vibratio mécaique V. La formule deviet alors : V λ = f Pour la guitare, le mouvemet des cordes est représeté par u seul fuseau dot les deux oeuds sot le chevalet et la frette choisie par le doigt du guitariste. Mais, il peut se produire plusieurs fuseaux lorsque la corde est picée. 6

7 Doc quad vous faites frétiller la corde, il y a des odes statioaires qui se formet dedas. Chaque ode est caractérisée par u etier qui dit combie elle a de vetres. Efi, chaque ode soe différemmet à votre oreille, parce qu'elles 'ot pas la même fréquece. Effet de la fréquece? Plus ue ode est petite, plus elle vibre vite. O va même être plus précis : si l'ode est fois plus petite, alors la fréquece (ombre de battemets par secode, o parle ici de fréquece bie plus grade que le ombre de battemet de coeur par secode qui est de l'ordre de ) est fois plus grade. Repreez l équatio précédete et vérifier cela. Doc, l'ode ayat deux vetres va être deux fois plus aiguë que l'ode ayat u vetre. O va mettre ça e symboles mathématiques. O ote f la fréquece de l'ode la plus grade, celle qui a u seul vetre. Cette fréquece f s'appelle la fodametale. Alors l'ode à deux vetres va avoir pour fréquece f la, et plus gééralemet, l'ode ayat vetres va avoir pour fréquece fois f la. Avec ue corde à 0 battemets par secodes, o aura des odes de fréqueces 0, 0, 330, 440 etc. Pourquoi o eted qu ue seule ote? E effet, o eted la fodametale, et les harmoiques vieet doer u aspect, e quelque sorte habiller la fréquece fodametale, ce qui doe u timbre au so. Aisi, la différece etre u so de flûte et u so de guitare jouat la même ote 'est autre que la compositio e harmoique. Comme e cuisie : ue picée d'harmoique x, u bri de oix d'harmoique x3... O assimile les harmoiques à la fodametale parce que gééralemet elles sot faibles (trop faibles pour être des otes à part etière), mais aussi parce qu'elles sot sychroisées, e temps et e itesité avec la fodametale. La fodametale et les harmoiques La fodametale, vous savez c'est la fréquece la plus basse, et toutes les autres fréqueces ce sot des harmoiques, qui sot des multiples etiers de la fréquece fodametale. D'ailleurs l'harmoique x est e fait la fodametale. ies, je vous disais qu'ue ode avec vetres a ue fréquece fois plus grade qu'ue ode ayat seul vetre. Maiteat si o pred ue corde deux fois plus courte que la première mais à part ça pareil que l'autre, même matériau et même tesio (e effet plus la corde est tedue plus la ote est aiguë) et qu'o se demade quelle est la fréquece de l'ode ayat u seul vetre das la petite corde, o obtiet quoi? O obtiet ça : 7

8 II. héorie du traitemet du sigal : Série de Fourier Jusqu à préset, ous avos vu qu u so ou ue vibratio etre deux poits provoquait u so dot la fréquece était iversemet proportioelle à la logueur du fuseau. O ote L la logueur de la corde, comme il y a qu u seul fuseau, la demi logueur d ode λ/=l doc la fréquece résoate est défii par f=v/(l), V état la célérité. Questio : Sachat que la logueur d u corde de guitare est de L=64 mm, que vaut la fréquece libre de la première corde si celle-ci est défii par ue vitesse de vibratio est de 06m/s O a représeté le sigal le log de la corde (doc e foctio de la distace), et o a motré que le sigal présetait u œud. O s aperçoit que la représetatio ci-dessus met e avat plusieurs fuseaux d amplitudes différetes. E fait, lorsqu o fait vibrer la corde, a u istat doé, l amplitude de celle-ci est maximale puis décroît, s aule, deviet miimale puis s accroît, Nous représetos ci-dessous l évolutio du so géérée par ue lame de diapaso e foctio de la distace pour différets istats. Figure 4 : Evolutio de l amplitude de l ode e foctio de la distace à différets istats Maiteat, regardos l évolutio de l ode à ue distace d fixée e foctio du temps : 8

9 Figure 5 : Evolutio de l amplitude de l ode à ue distace d e foctio du temps/répose fréquetielle Das le cas ou l attéuatio est ulle, voici la répose temporelle et fréquetielle des sigaux observées via u microphoe sur u oscilloscope et u aalyseur de spectre. Figure 6 : Représetatio à l oscillo et à l Aalyseur de spectre de deux sos Le diapaso présete u sigal siusoïdal de fréquece 37,4 Hz que l o observe facilemet sur l oscilloscope. O voit de plus sur l aalyseur de spectre u sigal à 634Hz. Le sigal temporel gééré par la guitare et mesuré par le microphoe est plus complexe. Il est périodique tous les carreaux et demi soit,5 ms eviro. L aalyseur de spectre motre e effet ue fréquece fodametale de 769 Hz = / (,3 ms) et des harmoiques. II- Aalyseur de spectre U aalyseur de spectre est u appareil de mesure, qui représete u sigal e foctio de sa fréquece. Alors qu u oscilloscope représete l amplitude d u sigal e foctio du temps, l aalyseur de spectre représete l amplitude d u sigal e foctio de sa fréquece. EDF ous fourit u sigal à 50 Hz, si o observe l évolutio de la tesio e foctio du temps ous observerios le sigal suivat 9

10 Figure 7 : Représetatio à l oscilloscope de la tesio secteur Il s agit d u sigal à 50 Hz, c'est-à-dire u sigal dot la seule amplitude o ulle est à 50 Hz. Si o représete das le domaie fréquetiel (mesure sous l aalyseur de spectre), ous observerios le sigal suivat : Amplitude 0 V Fréquece 50 Hz Sur la figure suivate, ous observeros la trace temporelle et fréquece d u sigal composée de trois siusoïdes : Amplitude Fréquece Amplitude Fréquece Amplitude Fréquece Amplitude Fréquece 00 Hz 400 Hz 600 Hz Figure 8 : Représetatio temporelle et spectrale d u sigal composé de trois fréqueces 0

11 Das le cas précédet, le sigal à 00 Hz est appelée la fodametale, les fréqueces à 400 Hz et 600 Hz sot les harmoiques. La fréquece des harmoiques est toujours ue multiple de la fréquece du fodametale. Aisi, l aalyseur de spectre représete l amplitude et chaque fréquece existate das le sigal à mesurer. Le sigal étudié est doc costitué d ue somme de sigaux siusoïdaux dot l amplitude et les fréqueces sot détermiées par l aalyseur de spectre. La représetatio spectrale et temporelle doe les mêmes iformatios. La représetatio spectrale représete u sigal e foctio de la fréquece (aalyseur de spectre) alors que la représetatio temporelle représete le même sigal e foctio du temps (oscilloscope). La représetatio spectrale doe l amplitude de toutes les fréqueces présetes das le sigal temporel, o peut aisi écrire le sigal temporel comme ue sommatio de sigaux siusoïdaux. Applicatio de cours : D

12 Chapitre : raitemet du sigal : Classificatio des sigaux Iformatios géérales 3h00 de cours h30 de D Descriptios du chapitre Classificatio des sigaux : détermiistes (périodique ou o) ou aléatoires (statioaire ou o) Rappels de sigaux périodiques et propriétés Défiitios et propriétés de sigaux usuels : porte, rampe, échelo, impulsio. Puissace et éergie d u sigal

13 I. Itroductio Les premières applicatios du traitemet du sigal étaiet dédiées à l extractio d u sigal das u milieu bruité. Pour ce faire, il était écessaire d avoir des coaissaces a priori sur le sigal à mesurer et sur la ature du bruit. O défiit deux classes pricipales de sigaux : - Sigal détermiiste : il s agit d u sigal dot o peut représeter l évolutio grâce à ue foctio mathématique. O peut citer le sigal siusoïdal, rampe, échelo, impulsio ou dirac, U sigal détermiiste peut être périodique ou o périodique. - Sigal aléatoire est u sigal dot o e peut devier l évolutio. Néamois, tout sigal aléatoire peut être caractérisé mathématiquemet, mais aucue foctio mathématique e permet de prédire l évolutio du sigal à l istat doé. U sigal aléatoire peut être statioaire ou o statioaire. E règle géérale tout sigal réel est aléatoire, car tout sigal est etaché de bruit. Mais, attetio : u sigal aléatoire est pas u bruit et u bruit peut être détermiiste. E effet, si vous souhaitez trasmettre des doées par le CPL, alors le bruit le plus élevé est gééré par le secteur 50 Hz (doc u sigal détermiiste) et l iformatio que vous trasmettez est forcémet aléatoire (sio vous pourriez la géérer au récepteur par la foctio mathématique). Cette uace est importate, o simplifie trop souvet sigal aléatoire et bruit. II. Sigaux détermiiste II. Exemples de sigaux détermiistes Rappel : u sigal temporel est détermiiste s il est défii par ue équatio mathématique. Aisi, la coaissace de cette foctio permet de prédire la valeur du sigal à tout momet : il s agit d u sigal certai, prévisible. Parmi les sigaux détermiistes les plus cous, o peut citer les sigaux périodiques tels que : - le sius à la fréquece fp : Vsi(πfp de période p=/fp. - le triagle : tri( = V 0 -V t-t 0 périodisé tous les p - le carré : rect(= V M sur ue demi période p et Vm sur l autre demi période Défiitio : U sigal détermiiste, représeté par sa foctio f est dit périodique de période p si f(=f(t+ p ). Propriété : out sigal périodique de période p présete ue fréquece fodametale à la fréquece f p =/ p. 3

14 out sigal détermiiste est pas obligatoiremet périodique, o peut citer à titre d exemple : - Impulsio de dirac, otée δ - Echelo ou foctio de Heavyside Γ - Feêtre ou porte Rmq : O peut écrire : П (=Γ(t-/)-Γ(t+/) Facultatif : L impulsio de Dirac est u sigal particulier et o va l étudier das u premier temps comme la limite d ue foctio ε ( e 0. L impulsio de dirac est défiie comme la limite d ue des foctios ci-dessus lorsque le paramètre ε ted vers 0. Doc : δ ( = lim ε ( ε > 0 δ ( dt = 4

15 Rmq : L étude de l impulsio de Dirac est issue de la théorie des distributios, que ous étudieros pas (il serait plus rigoureux de dire que δ existe qu au ses des distributios et est pas ue foctio puisque cet élémet est ifii e 0 et ul ailleurs). Fi de la partie Facultative Par covetio o représete δ(t-t ) par ue flèche d uité (correspodat à l aire du dirac, comme représeté sur le tableau des foctios). O se réfèrera à l Aexe A pour ue descriptio plus exhaustives de foctios. II- Moyee et puissace d u sigal détermiiste périodique Par défiitio, u sigal détermiiste est u sigal cou, c'est-à-dire dot o coaît la foctio. Soit u, la foctio du sigal détermiiste (ex : u( = + si(πf 0. O défiit : La Moyee : par l itégrale de la foctio sur ue période (d où la écessité d u sigal périodique). m = 0 u( dt La puissace P ou valeur efficace S eff : par l itégrale de la foctio au carré = P = u ( dt S eff 0 II-3 Cas gééral : Puissace et Eergie d u sigal détermiiste o écessairemet périodique Soit u sigal quelcoque U traversat ue résistace R. E appliquat la loi d Ohm, o mesure le courat par i=u/r. La puissace est exprimée e Watt correspod à l Eergie fourie (Joule) à la résistace sur ue durée d ue secode ( Watt = Joule/secode). Rmq : Watt heure = watt pedat ue heure = 3600 joules. L éergie istataée est le produit du courat et de la tesio, soit E(=u(.i(. Das le cas de la résistace, l éergie INSANANEE E( = u²(/r. E traitemet du sigal, quad aucue iformatio est doée sur R, o ormalise la résistace à Ohm, doc l éergie istataée s écrit E(=u²(. E gééral, o calcule l Eergie sur u laps de temps =t -t par : Eergie: E = t t u ( dt 5

16 Puissace moyee : Eergie totale : P = t t u ( dt E = u ( dt Puissace moyee totale : P = lim > u ( dt Rmq : Das le cas d u sigal périodique, o retrouve P = lim > u ( dt = P = 0 u ( dt III. Sigaux aléatoires III- Exemples et défiitios Rappel : u sigal est dit aléatoire si la coaissace du sigal à l'istat t e permet pas de préjuger de la valeur à l'istat t+ t. Bie qu aléatoire, le sigal est modélisé par ses caractéristiques statistiques. U sigal aléatoire peut être statioaire ou o statioaire. Il est statioaire si ses caractéristiques aléatoires e sot pas modifiés au cours du temps. Nous allos illustrer cela par des exemples cocrets. er exemple : Lacer de dé Lorsqu o lace u dé 6 faces, o a /6 d obteir u 6. La probabilité est de /6 pour chaque expériece (o parle de probabilité uiforme p). Soit m, les différetes valeurs du dé ( m pred pour valeur {,, 3, 4, 5, 6}). Si o calcule la moyee des lacés obteus, o va sommer chaque valeur de dé, et diviser le tout par le ombre de lacer. E moyee, o obtiet : m = N N k = m p k. k ou sigifie somme, N est le ombre de lacer, m k est le résultat et p k =/6 la probabilité. ème exemple : Bruit de mesure (Bruit gaussie). 6

17 Lors de l acquisitio, le sigal est affecté d u bruit de mesure : O s aperçoit que le sigal passe plus souvet par 0 que par.7 volt. Si o trace le ombre de fois que le sigal passe par ue amplitude doée (comme si o projetait le sigal sur l axe vertical), o obtiet l histogramme (la foctio de desité) du sigal. Desité de foctio La courbe desité de foctio représete e ordoée la probabilité d avoir u bruit (das cet exemple, o a choisi d illustrer par u bruit de mesure) dot l amplitude est doée e ordoée. O s aperçoit qu il y a très peu de chace d avoir u bruit d amplitude 4 V. O costate aussi que le sigal est autat positif que égatif, doc que la valeur moyee est ulle. Le sigal préseté ci-dessus est appelé bruit blac, il s agit d u sigal gaussie (cf cours de mathématique). III- Propriétés Soit u sigal aléatoire, défiit par sa foctio de probabilité p(x) et des valeurs x que peut predre ce sigal. Das l exemple de bruit, x représete l amplitude du bruit et p(x) la probabilité associée (l ordoée). O défiit la moyee ou l espérace mathématique par 7

18 O défiit la variace par : m = xp( x) dx ( x m) V = p( x) dx m état la moyee, o mesure l écart au carré de la variatio du sigal par rapport à la moyee. Il s agit doc du carré de l écart type. Applicatio : Correctio des copies, o calcule la moyee de la classe et l écart type c'est-à-dire à la différece moyee des otes des élèves par rapport à la moyee de la classe. Das le cas d u bruit de mesure, la variace est égale à la puissace du sigal. AENION : Nous supposos des coditios bie particulières pour lesquelles o peut admettre que la variace d u sigal aléatoire est égale à la puissace. Ceci est loi d être vrai et évidet pour tout types de sigaux aléatoires. IV. Uités de puissace Que le sigal soit détermiiste ou aléatoire, ous avos défii le terme de Puissace. La puissace calculée cosiste, das les deux cas à mesurer l amplitude au carrée du sigal. La puissace s exprime e Watt, il s agit d ue tesio au carré sur ue résistace de Ohm. Pour des raisos de simplicité de calcul, o itroduit des otios de db W. db W = 0 * log0( Wat La règle de coversio est la suivate : P db, W = 0*log0( PW ), où P db,w représete la puissace e db W et P W la puissace e Watt, log 0 est le logarithme e base 0. Cette règle de coversio est très simple et sera utilisée pour faciliter les calculs mais, avat chaque calcul faites bie attetios aux valeurs utilisées (Volt, Watt, db, ). AENION : La otatio db w existe pas, o parle de db, e faisat référece à des Watts lorsqu o parle de puissaces. Néamois, le terme de db est sas uité (i Watt, i Volt, il s agit plutôt d u gai). Le db est utilisé pour spécifier u rapport de Puissace ou de tesio (doc pas d uité). Quad o parle d u gai e puissace de 3dB cela sigifie que la puissace est multipliée par (sas uité). Doc si le sigal d etrée à ue puissace de 3 db (ce qui représete Watts), et que l o amplifie le sigal par u gai de 3 db (o l amplifie par u rapport de sas uité), le sigal e sortie de l amplificateur a ue puissace de 6 db (soit 4 Watts). 8

19 Exemple d applicatio. O suppose ue lige téléphoique qui attéue le sigal de moitié tous les kms. Le sigal émis par le cetrale téléphoique est de Watt, quelle est la puissace reçue au bout de 8 kms? Répose : Au bout d u kilomètre, o mesure ½ Watt, au bout de kms, o mesure ¼ watt, doc au bout de 8 kms o mesure / 8. Si o raisoe e db, o perd 0*log 0 (0.5) soit 3dB par kilomètre (o gage -3 db ou o perd 3 db). Par coséquet, l attéuatio au bout de 8 kms est de 4 db. Le cetrale émettait Watt soit 0 db (0*log 0 ()) par coséquet, o mesure -4dB au bout de 8 km. O sait aussi que la puissace P est proportioelle à la tesio au carré (résistace ormalisée). Doc, PdB = 0*log0 ( PW ) = 0*log0( V Vol = 0*log0 ( V ). Attetio à e pas cofodre Passage de db e dbm. Das le cadre des télécoms, l amplitude des sigaux est très faible. O itroduit alors l uité dbm pour se référer à des tesios e mv, et des puissaces e mw P = *log ( P ). Les dbm fot référeces à des mw. dbm 0 0 mw Exercice d applicatio : Démotrer que P db =P dbm - 30 db Applicatio. Soit u sigal de puissace 5 dbm, o l amplifie par u rapport de 3 db (otez ecore le terme db sas uité et o dbm), o récupère u sigal de 5dBm+3 db = 8 dbm. V. Pour résumer, ue classificatio des sigaux Les sigaux physiques ot ue existece réelle, et la mesure d u sigal physique peut se représeter par ue foctio s( qui varie au cours du temps. Ce sigal qui a ue existece propre possède les caractéristiques suivates : - Eergie borée - Amplitude borée - Cotiu temporellemet - Causal s(=0 si t<0 (le sigal existe que pour les t>0) - Spectre boré E théorie, pour simplifier les calculs o itroduit des sigaux qui ot l ue ou plusieurs caractéristiques suivates : 9

20 - Eergie ifiie - Discotiuité - No causal - Spectre ifii - Valeurs complexes Nous verros au chapitre l itroductio de sigaux qui existet pas physiquemet (ex : Dirac) et le spectre de sigaux complexes preat e compte les fréqueces égatives. O peut aisi défiir différets modes de classificatio : - représetatio temporelle des sigaux - caractéristique éergétique - représetatio spectrale - cotiu ou discret V.) Représetatio temporelle des sigaux : Sigaux détermiistes ou certais : Défii par u modèle mathématique - périodique (réels ou complexes) - o périodique (pseudo périodique, trasitoire, chaotique) Sigaux aléatoires : évolutio imprévisible mais descriptio mathématique cou - Sigaux statioaires (sigaux ergodiques ou o ergodiques) lorsque la valeur moyee est idépedat du temps. Ils sot dit ergodiques s il est idetique de faire ue moyee statistique à u istat doée sur plusieurs échatillos ou ue moyee temporelle suffisammet logue sur u seul de ces essais. - Sigaux o statioaires V.) classificatio éergétique La puissace électrique istataée fourie à ue résistace R est défiie par p(=u(.i(. L Eergie dissipée sur u itervalle [t,t ] avec t <t s écrit : E = t t u ( dt Par coséquet la puissace moyee P(t,t ) mesurée e Watt s exprime sous la forme. P = t t t t u ( dt Par extesio, o appelle Eergie E et puissace moyee Ps d u sigal s( calculé sur u itervalle [t,t ] les valeurs (dites quadratiques) suivates : 0

21 t E ( t, = s ( dt et Ps( t, t ) = t t t t t s ( dt Si o suppose t =- et t =, o obtiet : Ws = s ( dt et Ps = lim / s ( t ) dt / Si le sigal est représeté par ue variable complexe, les défiitios sot équivaletes e remplacat s²( par s(.s*(= s( ² ou s*( est le complexe cojugué de s(. Par exemple s(= ta (3+i. cos(. s*(= ta (3-i. cos( Les sigaux à éergie fiie : Ws = s ( dt < Les sigaux à puissace moyee fiie : / Ps = lim s < ( t ) dt / RMQ : ) U sigal à puissace moyee fiie o ulle a ue éergie totale ifiie ) u sigal à éergie totale fiie a ue puissace moyee ulle. V.3) Classificatio spectrale U sigal peut être classé suivat la distributio de so éergie ou de sa puissace e foctio de la fréquece. Le domaie de fréquece occupé par so spectre F s appelle la bade occupée ou largeur de bade du sigal. F=F max -F mi (Hz) Il est préférable de comparer la largeur de la bade par rapport à la fréquece moyee de la bade : Fmoy= (F max +F mi )/ O défii : Les sigaux à bade étroite pour lesquels F/Fmoy << Les sigaux à bade large pour lesquels F/Fmoy > Pour les sigaux à bade étroite, si de plus :

22 - Fmoy<50 khz : Sigaux basses fréqueces (BF) - 50 khz < Fmoy<30 MHz : Sigaux Hautes Fréqueces (HF) - 30 MHz < Fmoy<300 MHz : Sigaux rès Hautes Fréqueces (HF) MHz < Fmoy<3 GHz : Sigaux Ultra Hautes Fréqueces (UHF) - Fmoy> 3 GHz : Sigaux Super Hautes fréqueces (SHF) Lorsque la fréquece du sigal deviet très grade (> hz = 0 Hz) la logueur d ode est le paramètre de référece (il est à oter que les choix de 3GHz = 0, mm et 300, 30 MHz représete ue logueur d ode de mm et 0 mm) m <λ < 0, mm : Sigal lumieux ifrarouge m <λ < 700 m : Sigal lumieux visible - 0 m <λ < 400 m : Sigal lumieux ultraviolet V.4) Sigaux cotiu ou discret U sigal cotiu représete u sigal aalogique, c'est-à-dire qui varie cotiûmet avec le temps (sigaux à temps cotiu). Le temps est doc u paramètre importat de comparaiso, car, u sigal umérisé ou échatilloé est u sigal à temps discret. Mais o peut aussi comparer l amplitude du sigal selo que l amplitude est cotiue das le temps (u sigal cotiu das le temps est u sigal dot o peut tracer la foctio sas lever le crayo, il e s agit pas d u sigal cotiu c'est-à-dire d amplitude costate) ou discrétisé. O peut aisi catégoriser quatre formes de sigaux : - Sigal à amplitude et temps cotius (sigal aalogique) : s(. - Sigal à amplitude discrète et temps cotiu (sigal quatifié) : s q (. O retrouvera ce sigal e D et e P à la sortie d u covertisseur aalogique umérique. - Sigal a amplitude costat et temps discret (sigal échatilloé) : s(e). Ce sigal est obteu à l aide d u échatilloeur bloqueur et est utilisé par u circuit coversio aalogique/numérique. - Sigal a amplitude discret et temps discret s q (e)

23 Sigal cotiu das le temps t Sigal discretisé t Sigal échatilloé t Sigal Numérique t Das ce module, ous avos décrit différets types de sigaux détermiistes et aléatoires -, les premiers sot cous par l utilisateurs, les secods sot dus aux bruits ou sot destiés à modéliser des systèmes. Ces sigaux sot courammet utilisés e traitemet du sigal, o les associe à leur puissace, et aux propriétés de corrélatios. Nous allos courammet mesurer leur spectre, et l évolutio de leur spectre. Le chapitre suivat est destié à l étude des séries et des rasformée de Fourier. Applicatio de cours : - D - Aexe A : Ecrire les formules mathématiques de chaque sigal 3

24 Chapitre 3 : raitemet du sigal : Aalyse Spectrale et Série de Fourier Iformatios géérales 3h00 de cours 3h00 de D Descriptios du chapitre Calcul des séries et rasformée de Fourier Spectre de sigaux usuels : porte, rampe, échelo, impulsio. 4

25 I. Itroductio aux séries de Fourier I.) Défiitio de la série de Fourier Les séries de Fourier permettet de passer du domaie temporel au domaie fréquetiel pour des sigaux périodiques, das le cas cotraire, o utilisera la rasformée de Fourier. Nous avos vu qu u aalyseur de spectre permettait de représeter u sigal comme sommatio de sigaux à des fréqueces différetes. E fait, la décompositio e série de Fourier permet de représeter u sigal comme ue somme ifiie de sigaux siusoidaux et co-siusoidaux. Soit t->x( u sigal périodique de période, quelcoque alors x peut s écrire de la maière suivate : x( = a 0 + a cos( p + b si( ω p = ω (eq 3.) avec : a a o = x(dt, est la composate cotiue = x(cos(ω pdt, b = x(si(ω pdt, > (eq 3.) Les coefficiets a et b sot appelés les coefficiets de la série de Fourier, est la pulsatio avec f p =/. Remarquez les idices relatifs à la période. ω = π f p p O peut représeter l équatio 3. par deux spectres, l u représetat le spectre e cosius et l autre le spectre e sius : Spectre e cosius Spectre e sius a b a 0 a 3F p f F p b 3 f F p F p V 3 F p b 3F p où les coefficiets a et b sot positifs ou égatifs. 5

26 O peut oter : V = A + B, V est l amplitude observée par l Aalyseur de spectre à la fréquece f p, f p =/ p la fréquece fodametale. Par défiitio V est positif, mais a et ou b peuvet être égatifs. Propriétés : a 0 représete la tesio moyee, à la fréquece 0*fp doc il est représeté par l amplitude de la raie observée à la fréquece 0 de l aalyseur de spectre. La tesio moyee est aussi appelée la composate Cotiue. Notez bie que «out sigal ayat ue composate cotiue o ulle e temporel présetera ue raie à la fréquece 0 d amplitude égale à la composate cotiue.» V représete l amplitude de la fodametale, les amplitudes V, > représetet l amplitude des harmoiques. V pour représete l amplitude de la fodametale et des harmoiques E factorisat par a +, o peut écrire (3.) selo : b = a b x( a0 a b cos(π Fp si(π Fp = a + b a + b a b Or e posat x = et y =, o ote que x ²+y ²=. a + b a + b Et sachat que cos ( φ ) + si ( φ ) =, o peut écrire x = cos( φ ) et y = si( φ ) Par coséquet substituat x et y das la formule précédete par cette derière relatio, o peut écrire : [ cos( )cos(π F + si( θ )si(π F t ] = + x( a0 a + b θ p p ) ce qui peut = ecore s écrire sous la forme suivate : = + x( a0 a + b cos(π Fpt φ ) (3.3) = y si( φ ) avec = = ta( φ ) x cos( φ ) y b =, a + b y = x b a soit ta y = x φ a c'est-à-dire, puisque x = et a + b Doc pour résumer : 6

27 a 0 est la tesio moyee et a + est l amplitude des raies doées par b l aalyseur de spectre. O ote que l aalyseur de spectre e doe aucue iformatio relative à la phase, il e mesure que l amplitude des raies. Le spectre d u sigal périodique est costitué de raies dot l écart est égal à Fp. Le spectre d u sigal périodique est discotiu. Spectre e module Spectre e phase V φ V 0 V V 3 f φ φ 3 f F p La ecore, le spectre est représetée par deux figures, ue pour le module et ue pour la phase (auparavat, ous avios u spectre e sius et e cosius). Importat : L aalyseur de spectre e trace que le spectre e module. Rappel de la foctio de Dirac Nous avos vu das le chapitre quelques foctios particulières, o périodique telle que la foctio de dirac, défiie e temporel par δ(t-t ) et représetée par ue flèche d uité (correspodat à l aire du dirac, comme représeté sur le tableau des foctios). La foctio de dirac peut être défiie e fréquetiel par δ(f-f ), par ue raie à la fréquece f et d amplitude. E fait, δ(f) est la foctio de Dirac défiie par ue amplitude de à 0Hz et ue amplitude ulle ailleurs doc δ(f-f ) est représeté par ue amplitude de à f-f =0 Hz et ulle ailleurs O représete aisi : F p 3F p F p F p 3F p Dirac à f f La série de Fourier est costituée de plusieurs raies, doc o peut cosidérer qu elle est costituée d u dirac d amplitude V 0 à 0, d u dirac d amplitude V à F p, d u dirac d amplitude V à F p, Mathématiquemet, le module du spectre s écrit : f 0 + V ( f F p ) = X ( f ) = V δ (3.4) 7

28 Preez bie cosciece qu e temporel le sigal s écrit : = + x( V V cos(π Fpt + θ = 0 ) I.) Calcul de la Série de Fourier. E règle géérale, ous allos utiliser le tableau à l aexe C pour détermier les coefficiets de la série de Fourier pour des sigaux périodiques. Néamois reteez que les coefficiets sot détermiés à partir des équatios d itégratios précédetes, formules que vous étudierez e mathématique. Nous allos maiteat ous itéresser à la représetatio spectrale UNIlatérale et Bilatérale. Pour cela, ous allos itroduire la otio de sigaux complexes. I..) Représetatio Spectrale Uilatérale. La décompositio e série de Fourier permet de représeter le sigal sous l ue des deux formes équivalete suivate : x( = a 0 + a cos(π Fp + b si(π Fp = ou = + x( V V cos(π Fpt + θ = 0 ) Das le premier cas, o peut doc représeter le spectre e cosius et e sius, das le deuxième cas o peut représeter le spectre e amplitude et e phase, das le domaie des fréqueces positives. Comme le spectre est représeté que pour les fréqueces positives, o parle de représetatio spectrale UNIlatérale. I..) Représetatio Spectrale Bilatérale. Passage e complexe E appliquat les formules d Euler, o peut écrire : jβ jβ jβ jβ e + e e e cos β = et si β =, j représete l imagiaire pur (j²=-) j (ote : e mathématique, o emploiera plus souvet i à la place de j) E remplaçat les cosius et les sius par l expressio précédete, o peut écrire l équatio. de la maière suivate : x( = a 0 + = a exp(π F p + j.exp( π F p + b exp(π F p j.exp( π F j p 8

29 avec j²=- doc /j=-j E regroupat les termes pour positif et égatif, o trouve x( = a a 0 + exp(π Fp + exp( π Fp = jb a + jb O pose a jb a + jb c = et c = pour > égatifs. 0, c - est doc défii pour les idices o obtiet alors : x( = a0 + [ c exp(π Fp ] + [ c exp( π Fp ] = O remarquera que les coefficiets c sot détermiés de οο à + οο = Les coefficiets c peuvet être calculés de la maière suivate : a jb c = pour >0 a + jb c = pour >0, c - est doc d idice égatif ce qui suppose de calculer a et b e amot. c 0 =a 0 (3.5) O préférera la formulatio suivate : jπ Fpt jω pt c = x( e dt = x( e dt (3.6) Représeter le spectre du sigal x( cosiste à représeter le sigal complexe c pour les différetes fréqueces. Là ecore, o tracera deux figures, l ue pour la partie réelle et l autre pour la partie imagiaire (cf. représetatio spectrale selo le cosius et le sius ou la représetatio spectre e module et e phase). 9

30 R(c - ) R(c ) R(c - ) c 0 R(c ) 3F p f -F p -F p F p F p R(c 3 ) Partie réelle du spectre F Partie imagiaire du spectre c I(c 0-3 ) I(c - ) I(c ) R(c ) -F p 3F p -3F p -F p I(c - ) F p p f O otera que R(c )= R(c - ) et I(c )= -I(c - ). Exemple d applicatio : Soit x(= A sur [0,/] et -A sur [-/, 0], le sigal -périodique (périodique de période ). Alors c = x( e 0 jω t jω t jω t dt = x( e dt = x( e dt + x( t ) 0 e jω t dt = E remplaçat t par u (t et u état des variables muettes), o obtiet : c = / jω ( u) jω t jω t jω t Ae ( du) + Ae dt = Ae + Ae dt = A dt = 0 0 Ae jω t dt + jω t jω t e + e A cos( π dt Il e reste plus qu à calculer l itégrale. 0 0 II. Extesio de la série de Fourier aux rasformée de Fourier out sigal CONINUE et PERIODIQUE de période p présete u spectre DISCRE dot les raies sot espacées par des multiples de f p Ae jω t dt t p f F p F p F p Plus la période est grade, plus l espace fréquetiel (etre deux raies) est réduit. t p F p F p F p f Lorsque le sigal est pas périodique, o peut supposer qu il est périodique à l ifii, das ce cas la période p est ifiie et doc Fp=0. Si le sigal est pas périodique (ou périodique à l ifii), le spectre est CONINU 30

31 t f La rasformée de Fourier s obtiet de maière équivalete à la série de Fourier, mais e faisat tedre la période vers l ifii. La sommatio deviet ue itégrale. Aisi o obtiet : X ( f ) = lim c = jπ ft lim x( e dt A partir de x( o peut calculer le spectre du sigal par rasformée de Fourier. (3.7) Par coséquet, o peut écrire : X ( f ) = x( e jπ ft dt Mais, o peut aussi passer du domaie fréquetiel au domaie temporel : A partir de la rasformée de Fourier X(f), o peut calculer le sigal x( : Il s agit de la trasformée de Fourier Iverse. x( = + X ( f ) e jπ ft df (3.8) Notez bie le sige + devat le complexe par rapport au sige mois das l équatio de la rasformée de Fourier et la variable que l o itègre. Récapitulatif : Il est importat de coaître les équatios relatives aux Séries et rasformées de Fourier. out sigal x p ( périodique de période p peut se décomposer e ue somme ifiie d expoetiel complexe : = jω pt x( = ce avec c = x( e jω pt dt 3

32 c sot les coefficiets de Fourier, c 0 représete la tesio cotiue (moyee) Si le sigal x( est pas périodique, alors o utilise la rasformée de Fourier pour calculer le spectre du sigal : O peut aisi obteir le domaie fréquetiel X(f) à partir de la représetatio temporelle x(. X ( f ) = x( e jπ ft dt O peut aussi passer du domaie fréquetiel au domaie temporel. E coaissat X(f) o peut e déduire x( par la rasformée de Fourier Iverse : x( = + X ( f ) e jπ ft df Applicatio de cours : Il est importat de coaître les formulatios et de compredre les aalogies etre les coefficiets de la série de Fourier et la moyee, la fodametale et les harmoiques - D 3 3

33 Chapitre 4 : raitemet du sigal : Covolutio et Echatilloage Iformatios géérales h30 de cours h30 de D Descriptios du chapitre Propriétés des foctios de Covolutio Peige de Dirac Echatilloage Coditio de Shao. 33

34 I. Itroductio Les techologies actuelles (éléphoe, PDA, PC, chaîe d acquisitio, Ipod, ) utiliset des calculateurs umériques. Lorsque vous travaillez sous Matlab ou Scilab, le sigal temporel est discrétisé, ce qui sigifie que vous e preez pas e compte l évolutio du sigal à tout istat (sigal aalogique), mais l amplitude du sigal à des istats bie réguliers. Il s agit de l échatilloage. Echatilloer cosiste à prélever PERIODIQUEMEN l amplitude du sigal x(, comme le motre la figure suivate : t e F e / f Au cours du chapitre 3, ous avos vu : - qu u sigal périodique présete u spectre discret, - qu u sigal o périodique présete u spectre cotiu Nous allos voir maiteat qu u sigal o périodique mais échatilloé (ou discrétisé) à la fréquece Fe présete u spectre périodique de «période» Fe (u spectre état défii e fréquece, sa période est ue fréquece). L opératio d échatilloage cosiste à prélever l amplitude du sigal à tous les istats e, tout reviet doc à faire le produit du sigal à échatilloer avec ue série de Dirac : t t e t e k e La série de Dirac s appelle u peige de Dirac. Cette foctio est costituée de dirac = espacés de e, par coséquet p ( = δ ( t e ). 34

35 O obtiet u sigal échatilloé x ( = x(. p( = x( δ ( t = 0 La questio est de savoir, que vaut le spectre X e (f) de x e (? Le fil coducteur de ce chapitre est la mesure du spectre. II. Covolutio II-) Notio de la foctio de covolutio e e Preos l exemple d ue pièce résoate, (pesez à ue église). oute mélodie jouée das l église aura pas la même soorité que la même mélodie jouée e plei air. Les parois de l église et la forme permettet de «coduire» le so et l o perçoit les réverbératios. Pour simplifier, preos ue chambre d écho qui répète u so à l istat echo. Soit s( le sigal ous etedros à tout istat s( et echo plus tard, ous ré-etedros s( attéué, soit le sigal s recu (=s(+as(t- echo ). Si j émets ue très brève ote (ue impulsio ou u dirac), je reçois : ) t 0 echo Ue brève ote représetera ue impulsio (u dirac temporel), et ous avos doc tracé sur la figure précédete la répose du caal. Le sigal etedu et l écho attéué à l istat echo. Si j émets deux sos brefs l u après l autre, je recevrais l écho de mes deux sos et aisi du suite. O peut doc dire que mo caal (ma chambre d écho) s exprime par : Chambre(=δ(+Aδ (t- echo ). Si j émet ue mélodie ommée s(, je vais recevoir : s recu (=s(+as(t- echo ). 35

36 II-) Foctio de covolutio : défiitio et propriété Soiet x(, u sigal et h( l équatio de mo caal. Alors, e sortie de mo caal, je récupère u sigal y( telle que y(=x(*h( le produit de covolutio de x et h. O dit y est égal à x covolué avec h Par défiitio, y ( = x h = h( τ ) x( t τ ) dτ eq 4. O ote X(f), Y(f) et H(f) la trasformée de Fourier respectivemet de x(, y( et h( H(f) représete la foctio de trasfert de mo caal (il peut s agir d u filtre). Exemple des Filtres Lorsqu o étudie u filtre, o émet u sigal siusoïdal à ue fréquece doée et o mesure l attéuatio à cette fréquece. O augmete esuite la fréquece et o recommece l opératio. O trace aisi la caractéristique d u filtre e fréquetielle H(f). Le fait d émettre u sigal siusoïdal à ue fréquece f, correspod à l émissio d u dirac à la fréquece f. Soit H(f), la foctio de trasfert du filtre, o récupère doc le sigal défii par y ( = x( h( = h( τ ) x( t τ ) dτ eq 4. Il s agit du produit de covolutio etre le filtre et le sigal d etrée. Propriété de la foctio de covolutio La covolutio est ue opératio courammet utilisée das le domaie du traitemet du sigal car elle apporte des résultats rapides par passage de la FF. Elle est l'aalogue de la multiplicatio spectrale das le domaie temporelle et iversemet, c'est-à-dire qu'ue multiplicatio de deux sigaux, terme à terme das le modèle temporelle, se traduira comme ue covolutio des spectres des deux sigaux : héorème de Placherel : Si : y ( = h(. x( alors Y ( f ) = H ( f ) X ( f ) eq 3. Et iversemet : si y( = x( h( alors, Y(f)=X(f).H(f). Propriété du Dirac Soit u sigal x(, le produit de x( par u dirac à l istat doe l amplitude du sigal à l istat et ue amplitude ulle etre deux istats, soit x(.δ()=x() (cf. échatilloage). 36

37 Par coséquet, e fréquetiel ous auros la même propriété (ue foctio à la même caractéristique quelle que soit la variable) X(f).δ(f-F i )=X(F i ), l amplitude de X(f) à la fréquece F i. Retour sur l exemple du filtre : Covolutio emporel Produit Fréquetiel: Nous savos qu émettre u sigal siusoïdal à ue fréquece f, correspod à l émissio d u dirac à la fréquece f. Nous savos aussi, que le sigal e sortie du filtre s exprime : - e temporel par : y( = x( h(, avec x(=si(πf i - e fréquetiel Y(f)=X(f).H(f)= δ(f-f i ).H(f)=H(F i ) soit la foctio de trasfert du filtre à la fréquece F i. L amplitude mesurée Y(f) à f=f i correspod doc à l attéuatio apportée par le caal à la fréquece F i. Cas gééral : Soit H(f) u spectre coteu sur Fmax à Fmax (quelcoque). Dessier H(f). Si X(f) est u dirac à la fréquece F i, représeter graphiquemet Y(f) par rapport à H(f). Opératio d échatilloage : Produit emporel Covolutio Fréquetiel: Echatilloer reviet à prélever u sigal x( périodiquemet. out se passe comme si o multipliait le sigal x( par u peige de Dirac. t f e t e Au iveau fréquetiel, le spectre observé s écrit : Y(f)=X(f)*P(f), où * représete la covolutio, P(f) est le spectre du peige de Dirac et X(f) le spectre du sigal échatilloé. Or, la rasformée de Fourier d u peige de dirac est u peige de Dirac d amplitude /e. 37

38 O va admettre que la covolutio X(f)*P(f) est défiie par la périodisatio du spectre X(f) autour de chaque fréquece Fe, etier relatif. Nous démotreros cela das le 4 ème paragraphe. III. rasformée e Z et covolutio Sur la figure précédete, ous avos prélever l évolutio du sigal x( aux istats e. t e Soit x 0 =x(0), x =x(e),..., x k =x(ke) l amplitude du sigal aux istats 0, e,, k e. Auparavat, o avait exprimé x ( = x(. p( = = x( t e e 0 ) Nous allos maiteat écrire X e( Z) = xe( ) Z, la trasformée e Z de x e. Cette = 0 écriture est toujours utilisée e électroique umérique et toutes foctios mathématiques implémetées das des circuits umériques sot coçues à partir de la trasformée e Z. Soit le sigal carré Rect suivat, ous allos écrire l équatio e temporel et sa trasformée e Z. t 0 e 4 e 3 e e e Alors 0 Rect ( = δ ( t ), il s agit de la représetatio discrétisée d u sigal rectagulaire. e e = 4 O peut écrire sa trasformée e Z : Rect e ( Z) = 0 = 4 Z Cette otio est qu évoquée das ce cours, vous verrez e mathématique l existece de la rasformée e Z et ses propriétés. Covolutio 38

39 Nous pouvos défiir de la même maière le produit de covolutio das le domaie discret. Soit {x } et {y } deux sigaux discrets défiis par leur trasformée e Z ( = x Z et Y ( Z) = y Z, où x et y représete la -ième amplitude du = = X Z) sigal discrètisé. Soit z, la covoluée de x et y, alors la -ième amplitude de z est calculée par : z =x *y = x y k k k = O retrouve la même formulatio que celle établie e temporel, à savoir y ( = x( h( = h( τ ) x( t τ ) dτ, e remplacat l itégrale par ue sommatio ifiie τ deviet k et t est remplacé par. out reviet à predre le sigal x à l istat 0 et de predre y à l istat. O dessie les deux séqueces l ue dessous l autre e iversat y (o trace x(0) à x() et y() à y(0)). O fait esuite le produit terme à terme et la sommatio fiale. Applicatio pratique : Cas : Soit u sigal discrétisé {x } défii par O peut représeter {x} par : ( = x Z. = X Z) t e Soit {y} défii par Y ( Z) = Z Calculos z =x *y, y i =0 si i 0 0, c'est-à-dire u dirac au 0-ème échatillo. E repreat l équatio mathématique, o va sommer terme à terme les coefficiets de x k, k état défii de 0 à (doc causal) au-delà tous les termes sot uls, avec y -k Le premier élémet de la covolutio est z 0, calculé pour =0. z = x y k 0 k k = 0, avec y 0-k est ul partout sauf pour 0-k=0 soit pour k=-0. z = x y k k k =, avec y -k est ul partout sauf pour -k=0 soit pour k=-9. 39

40 =0 x k = x k y -k y -k -0 Produit terme à terme -9 Produit terme à terme Somme=0 Somme=0 =0 i = i y 0-k i Produit terme à terme Produit terme à terme Somme=x Somme=x 0 Fialemet, o va trouver la répose suivate : O retrouve la séquece {x} décalée, c est à dire qui commece pour =0. O rappelle que le résultat obteu est la covolutio de {x} avec u dirac à =0, autremet dit, o trouve x -0. Cas : Calculer z, la covolutio de Rect e, défii par 0 ct e( Z) = Z par lui- = 4 même : Re Ce calcul se fera e D. 40

41 IV. Echatilloage et coditio de Shao L étape d échatilloage d u sigal aux istats k e, k etier reviet à discrétiser le sigal e e prélevat l amplitude du sigal aux istats k e. Nous rappelos que l o obtiet l exemple suivat : x( p( t x e () e f t e out reviet à multiplier le sigal x( par le peige de Dirac soit x e (=x(.p( Le fil coducteur est l estimatio du spectre. O sait que : - Y(f)=X(f)*P(f), théorème de Placherel - La rasformée de Fourier d u peige de Dirac est u peige de dirac, les raies sot espacées de Fe. - La covolutio d u sigal x( et d u dirac δ(t-e) est x(t- e ), c'est-à-dire x( déplacé autour de e. Nous avos fait la démostratio avec les sigaux discrets. Or, t état qu ue variable, o obtiet de même das le domaie fréquetiel : La covolutio du spectre X(f) et d u dirac δ(f-fe) est X(f-F e ), c'est-à-dire X(f) déplacé autour de Fe. Représetos P(f) : P(f) -3F e -F e / e -F e 0 F e F e 3F e f P ( f ) = δ ( f Fe ) e = P(f) est doc costitué d ue ifiité de Dirac. 4

42 Or, la covolutio avec u dirac à F e va déplacer le spectre autour de F e, la covolutio avec le dirac à F e va déplacer le spectre autour de F e, la covolutio avec le dirac autour de F e va déplacer le spectre autour de F e. Par coséquet, échatilloer u sigal reviet à périodiser so spectre autour de F e etier relatif. Plusieurs cas de figures se présetet : Soit X(f), le spectre de x(, spectre fii : -Fmax Fmax Quad o périodise le spectre de X(f) autour de Fe, o obtiet les spectres suivat Cas : Fe>> Fmax -Fe -Fmax Fmax Fe Fe Les spectres sot correctemet séparés. Le spectre autour de Fe e viet pas perturber le spectre autour de 0, il y a pas d iterférece. Cas : Fe/= Fmax Fe/ -Fe -Fmax Fmax Les spectres sot cotigus. Le spectre autour de Fe e viet pas perturber le spectre autour de 0, il y a pas d iterférece mais o est à la limite Cas 3 : Fe/< Fmax 4

43 -Fmax Fmax Les spectres se chevauchet, il y a ue perturbatio appelé bruit de repliemet. Si le sigal x( est u sigal audio, après échatilloage, le sigal audio est bruité par u sigal basse fréquece autour de Fmax issu de la périodisatio de Spectre. CONDIION DE SHANNON Pour éviter le repliemet de spectre, o vérifiera que Fe>.Fmax. C est la coditio de SHANNON. Applicatio de cours : A ce stade, l étudiat doit être capable de représeter la trasformée de Fourier d u sigal échatilloé et predre cosciece des limites imposées sur la fréquece - D 4 43

44 ANNEXE A : Liste de foctios détermiistes Rampe Uitaire : Echelo Heaviside (ou échelo uité) Foctio sige Feêtre rectagulaire ou foctio porte Feêtre triagulaire (foctio Bartlet 44

45 Impulsio de Dirac à l istat iitial d aire uité Impulsio de Dirac à l istat t 0 d aire a Peige de Dirac Foctio sius cardial 45

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

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