TES/Spé TL Interrogation n 7 Nom :.. 17/05/2013 Fluctuation d échantillonnage

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1 17/05/013 Fluctuation d échantillonnage La proportion de naissance d enfants prématurés est de 6%. Des chercheurs suggèrent que les femmes ayant eu un travail pénible pendant leur grossesse sont plus susceptibles d avoir un enfant prématuré. On réalise une enquête auprès d un échantillon aléatoire de 400 naissances correspondant à des femmes ayant eu pendant leur grossesse un travail pénible. Les chercheurs décident a priori que si la proportion d enfants nés prématurés dans cet échantillon est supérieure à la borne supérieure de l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% alors leur hypothèse sera acceptée. On sait que dans l échantillon, il y 50 enfants prématurés. 1) Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion d enfants prématurés parmi les naissances sélectionnées. ) Quelle est alors la conclusion de cette enquête?

2 17/05/013 Exercice 1 : Vous détaillerez vos calculs 1) Exprimer en fonction de ln 5, ln 7 et ln : Le logarithme népérien ln ( ) =.... ln ( 5 16 ) =... ln (5 5 ) = ) Ecrire à l'aide d'un seul logarithme : ln 5 ln ln 9 =.... ln ( 3 1 ) + ln ( ) = ln 5 =.... 3) Ecrire sous la forme la plus simple possible chacun des nombres suivants : ln ( e) ln e =.. (ln e) ln = e 4) Ecrire sous la forme la plus simple possible, les expressions suivantes en fonction du réel x, pour tout x de IR, ln (4e x ) =... pour x > 0, e lnx + 1 =... 5) Résoudre l équation et l inéquation suivantes : e x = 0 ln x < 3

3 Exercice : Soit la fonction f définie sur ] 0 ; + [ par : f (x) = 3xlnx 4 x + 1 1) Montrer que pour tout x de ] 0 ; + [ par : f (x) = 3lnx 1 ) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d abscisse 1. Exercice 3 : Une voiture achetée le 1 er Janvier 01 au prix de perd 11% de sa valeur chaque année. On admet donc que le prix de cette voiture le 1 er Janvier (01 + n) est C n avec C n = ,89 n En utilisant la fonction ln, déterminer à partir de quelle année cette voiture vaudra moins de Exercice 4 : La consommation d eau minérale en bouteille en France est passée de 133,7 litres en 1998 par personne à 151,1 litres par personne en 008. Déterminer le taux d évolution annuel moyen.

4 17/05/013 Fluctuation d échantillonnage En 010, en France, une enquête indique que 38% des cas de rougeole déclarés étaient des enfants de moins d un an. Dans une ville, le nombre d enfants de moins d un an atteints de la rougeole semble beaucoup plus important. Les services sanitaires se demandent si les résultats de l enquête ne sont pas à remettre en question. Ils sélectionnent donc, de manière aléatoire, 500 enfants de moins d un an de cette ville et dénombrent que 0 de ces enfants sont atteints de rougeole. Les services sanitaires décident a priori que si la proportion d enfants de moins d un an atteints de rougeole est supérieure à la borne supérieure de l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% alors ils proposeront d étendre leur investigation. 1) Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion d enfants de moins d un an atteints de la rougeole parmi les enfants sélectionnés. ) Quelle est alors leur conclusion?

5 17/05/013 Exercice 1 : Vous détaillerez vos calculs 1) Exprimer en fonction de ln 5, ln 7 et ln : Le logarithme népérien ln ( 7 3 ) =... ln ( ) = ln ( ) =.... ) Ecrire à l'aide d'un seul logarithme : 4 ln 3 ln ln 5 =. ln (3 5 ) + ln (3 + 5 ) = ln 7 =. 3) Ecrire sous la forme la plus simple possible chacun des nombres suivants : 3(ln e) 1 ln = e ln (5 e) ln 5 e =.. 4) Ecrire sous la forme la plus simple possible, les expressions suivantes en fonction du réel x, pour tout x de IR, ln (9e x ) =.. pour x > 0, e lnx 1 =. 5) Résoudre l inéquation et l équation suivantes : ln x < 5 e x 3 = 0

6 Exercice : Soit la fonction f définie sur ] 0 ; + [ par : f (x) = xlnx + x + 3 1) Montrer que pour tout x de ] 0 ; + [ par : f (x) = lnx + 3 ) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d abscisse 1. Exercice 3 : Une entreprise achète une machine outil en début 010 pour Le service comptable observe que sur l année 010, le prix de cette machine se déprécie de 15%. On suppose que cette baisse va perdurer chaque année. On admet donc que le prix de cette machine au bout de n années de fonctionnement est P n avec P n = ,85 n En utilisant la fonction ln, déterminer à partir de quelle année la machine aura une valeur inférieure à Exercice 4 : La subvention accordée à une entreprise était de 3000 en 001 et de 5130 en 01. Déterminer le taux d évolution annuel moyen.

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