= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m"

Transcription

1 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques. Il n est pas destiné aux mathématiciens. L emphase est mis sur l utilisation des fonctions delta, pas sur leurs structures et propriétés mathématiques. Qu il soit suffisant de dire ici que les fonctions delta ne sont pas des fonctions, mais des distributions dont les mathématiciens connaissent bien les caractéristiques. Nous nous contenterons de certaines de leurs propriétés. Les deltas apparaissent sous une forme discrète, dite delta de Kronecker et sous une forme continue dite de irac. C est sous la forme continue que nous devons être particulièrement attentifs à leurs propriétés de distribution. 1. La forme discrète ou le delta de Kronecker n m # n m = 1 si n = m& ( Il est simplement défini par ' % = si n " m )( * = n m m n où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m =, 1,, 3, 4... En fait, n m peut être représenté par la matrice unité (en fait l'élément n, m, de cette matrice). Il s'agit de fait, d'une matrice puisqu'on peut utiliser le 1er indice comme indice de ligne et le second comme indice de colonne. Ainsi (si n et m vont de 1 jusqu'à 5) " 1 % ' 1 ' [ ] = 1 ' 1 ' ' # 1 & Notons quelques propriétés, qui sont surtout centrées sur le fait qu'un delta à l'intérieur d'une somme va tuer la somme, au sens où il ne restera qu'un seul terme, celui satisfaisant la contrainte imposée par le delta i) C n " n m = C m à condition que la valeur m (préfixée) tombe à l'intérieur du domaine n des valeurs de n, appelé, sinon le résultat est zéro. Le delta a tué la somme tous ii) " m n n k = m k n Le deuxième de ces résultat est équivalent à dire que la matrice unité fois (produit matriciel) la matrice unité donne la matrice unité C'est évident. iii) Une expression comme C i ij n a pas vraiment de sens. Elle prend vraiment tout son sens lorsqu on somme sur les valeurs de i, dans N C i " ij = C j i=1 iv) On doit noter que le delta de Kronecker est sans dimension.

2 . La forme continue ou le delta de irac en 1- : ( x " x ) a) éfinition C'est un peu la généralisation continue du delta de Kronecker avec x, une variable continue, jouant le rôle d'indice (continu), là où n et m étaient des indices discrets. On pourrait penser définir ( x " x ) = 1 si x = x = si x # x mais ce serait sursimplifier le problème parce qu'une variable continue a une "mesure" nulle i.e une probabilité essentiellement nulle d'avoir exactement une des valeurs qui lui sont permises. On est amené à définir la fonction delta d'une façon différente, ce qui en fait la prive de son caractère de fonction. a h x x Les mathématiciens appellent cela une distribution. Comme on est ici dans le domaine du continu, la somme est devenue une intégrale dans laquelle la fonction delta n'est définie que par le rôle qu'elle joue dans cette intégrale. Le delta de Kronecker tue la somme, celui de irac tue l'intégrale x # ( x " x ) f ( x)dx = f ( x ) si x x x 1, x 1 [ ] (1) on tue l'intégrale = si x %[ x 1, x ] Nous avons tué l'intégrale qui se réduit à la valeur de l'intégrant évalué au seul point permis par le delta. Contrairement à la somme, l'intégrale contient une mesure dx qui porte les mêmes dimensions que la variable x. C'est un élément important et pour rester cohérent, la fonction delta sera définie de façon à ce que x # x " x dx = 1 si x x 1, x x 1 [ ] [ ] () = si x % x 1, x On note, dans cette dernière équation, que 1 n'a pas de dimension mais que dx a les dimensions de x. Il faut donc que x " x argument, donc ait les dimensions inverses de celles de son

3 dim ( ( x) ) = dim( x "1 ) = ( dim( x) ) "1. 3 Il n'est pas déraisonnable d'imaginer alors une "fonction" de la façon qui apparaît sur la figure ci-dessus = lim où x " x a# h# a h=1 # f (x) x " x dx f (x )# x " x dx %( x " x ). Pour a suffisamment petit, il est clair que f (x ) 1 f (x ) où l'intégrale # ( x " x ) dx = la surface intérieure = 1 par construction. b) Quelques propriétés de la fonction delta de irac. On les comprend mieux en gardant à l'esprit que cette fonction ne contribue que là où son argument est nul et uniquement lorsqu'utilisé à l'intérieur d'une intégrale i) ( x) = + ("x) x = + est identique à x = -. ii) ( f ( x) ) = # n f ' ( x n ) x " x n où les x n sont les zéros de la fonction, i.e. f x n Par exemple ( a x) = ( x). a iii) x x l'intégration. On se permet ici d écrire x x nécessairement zéro. =, mais f ' ( x n ) =, un résultat assez évident, même si, strictement, il ne se manifestera que lors de = parce qu'intégrer cette quantité donnera ( y " a) iv) # x " y dy = x " a si le domaine d'intégration de y contient x et a. v) Une représentation très utile et fréquente de la fonction de irac est ( x " x ) = 1 + e i k ( x" x ) # % dk " Pour mieux la comprendre, il est utile de savoir faire les intégrales dans le plan complexe en utilisant le lemme de Jordan. vi) On peut aussi visualiser la fonction delta comme la dérivée de la fonction échelon de Heaviside ( x " x ) = d dx H ( x " x ), où H( x x ) est la fonction échelon de Heaviside (voir figure ci-dessous)

4 H( x x ) = 1 si x > x 4 = si x < x H 1 x x e plus, on peut continuer et définir la dérivée de la fonction delta, '( x " x ) = d dx ( x " x ). Elle a la propriété suivante, démontrable par intégrale par partie, #' x " x f ( x)dx = " f ' x à condition que x. c) Changement de coordonnées Imaginons un changement de coordonnées. Nous utiliserons un exemple très simple. Soit x = a u dx = adu parce que a est ici une constante. Clairement x u # ( x " x ) dx = a # ( au " au ) du =1 comme on le sait. Il est clair qu'il faut que x 1 u # au " au u du = 1 1 a possible est que au " au u 1 = a( u " u ) u mais nous savons que # u " u du = 1. La seule solution = 1 a u " u u 1. Essayons une transformation un peu plus compliquée. Soit x = u dx = udu x Ici # x " x dx = u # " u u du = 1 x 1 La solution est simple, u "u u u 1 = 1 u u " u ce qui donne x u ( x " x ) # dx = u u " u x 1 u " u # udu = u 1 # udu u 1 u u = # u " u du 1 u 1 La façon générale de noter ces résultats (sans le démontrer ici) est d'écrire que lors d'une transformation de coordonnées, x " x # ( u " u ) J où J est le Jacobien de la

5 5 transformation de coordonnées. Puisque sous cette transformation, la mesure d intégration se transforme comme dx J du, on aura alors # ( x " x ) dx = u " u # J du ( u " u )du = 1 J # si x u Ceux qui sont intéressés pourront vérifier que ce résultat est cohérent avec la propriété numéro ii) ci-dessus. 3. elta de irac en 3- : 3 ( r " r ) Essentiellement par définition, nous avons 3 # ( r " r ) f ( r ) d 3 r = f ( r ) si r. En système cartésien, on a simplement d 3 r = dxdydz et 3 ( r " r ) = ( x " x ) ( y " y ) ( z " z ). On vérifie dans ce cas que 3 ( r " r ) # d 3 r = # ( x " x ) dx # ( y " y ) dy # ( z " z ) dz " x # % " y # % " z # % =1 si x x =1 si y y =1si z z Qu'arrive-t-il en système non cartésien, disons par exemple en système cylindrique où l'élément de volume devient d 3 r = "d "d# "dz? oit-on alors écrire 3 # ( r " r ) d 3 r = ### ( " )(% " % ) z " z d d% dz? La réponse est NON Clairement il y a un problème, les dimensions n'étant même pas satisfaites ( un angle n'a pas de dimension). Il y a une dim qu'en coordonnées curvilignes, disons (u, v, w), que d 3 r = J dudv dw, où J est le Jacobien de la transformation cartésien > curviligne. ans ce cas, le simple critère sur les dimensions nous amène à écrire que 3 ( r " r ) = ( u " u ) ( v " v ) ( w " w ). e façon générale, nous J aurons alors u " u 3 ( r " r )d 3 r # ( ) ( v " v ) ( w " w ) J du dvdw J = ( u " u ) du ( v " v )dv ( w " w ) dw u de trop à droite. La solution est assez évidente lorsqu'on voit v Par exemple, dans le cas cylindrique où nous avons J =, nous devrons écrire 3 ( r " r ) = ( # " # ) ( " ) ( z " z ). # Nous aurons alors, en effet, 3 r " r ( " # d 3 r = ) (% "% ) ( z " z ) ### d d% d z = # " d # % " % d% # z " z dz % w z = = 1 Cette façon de faire est très systématique, mais demande un peu d'attention. Prenons les coordonnées sphériques par exemple. L'élément de volume y est donné par

6 d 3 r = r sin drd d" = r dr d cos d" ans la première expression, les variables sont r, et ", où " #, #. On sait que le Jacobien est J = r sin. ans la deuxième expression, les variables sont r, cos et ", où 1 < cos" <, # # %. Ici on sait que le Jacobien est J = r. ans un cas comme dans l'autre, notre recette fonctionne, puisque r " r # 3 ( r " r ) d 3 r = ( ) ( " ) (% " % ) ### r sin dr d d% r sin = # r " r dr # " d # % " % d% r & & = = 1 6 Alors que nous pouvons écrire aussi # 3 ( r " r ) d 3 ( r " r r = ) ( cos " cos ) % "% r ### r dr d cos d% = # r " r dr # cos " cos "1 d cos # % "% d% r & = = 1 ans un cas comme dans l'autre, la présence du Jacobien permet de tout réduire à des produits de la forme (" # " ) d" % 1 si ", sinon =. 4. Exemples d'utilisation. Nous serons particulièrement intéressés par les fonction de irac dans le cadre de l'utilisation d'ensembles complets de fonctions orthogonales. a. Polynômes de Legendre On sait, par exemple que les polynômes de Legendre, P l ( x), l =,1,,3... forment un ensemble complet sur le domaine x = [1, ]. Ensemble complet signifie que toute fonction raisonnablement continue, f (x), limitée à ce domaine défini par x = 1, comme une combinaison linéaire de polynômes de Legendre f (x) = " c l P l ( x). l = [ ], peut s'écrire Tout se passe comme si f (x) était un vecteur, les P l ( x), l =,1,,3... des vecteurs de base et les c l les composantes du vecteur f (x) dans cette base. C'est RÉELLEMENT le cas et on parle d'espace linéaires, qu'ils soient vectoriels au sens habituel ou fonctionnels. ans ce dernier cas, la dimension de cet espace fonctionnel/vectoriel est infini, mais ce n'est pas là un problème conceptuel, rien ne limitant en principe la dimension d'un espace. Cela peut occasionner des problèmes pratiques, mais nous nous y attaquerons en temps et lieu. Il y a un problème très mineur avec la définition traditionnelle des polynômes de Legendre : ils ne sont pas normalisés, alors que nous sommes habitués à des vecteurs de base normalisés, comme en fait foi le produit scalaire habituel entre vecteurs (géométriques)

7 i ˆ (, i ˆ ) = i ˆ i ˆ =1. 7 ans un espace fonctionnel réel, le produit scalaire sera (toujours) défini par une intégrale sur le domaine, qui est ici x ["1, ]. onc ( P l, P k ) = " P l ( x) P 1 k ( x) dx = # l k l + 1. Le facteur l k indique l'orthogonalité de ces fonctions de base (les polynômes de Legendre) mais le facteur numérique est différent de un, il est égal à, ce qui nous dit que ces fonctions ne sont pas normalisées (à un). Il est l trivial d'y remédier, si on veut, en définissant une base constituée des fonctions l l ( x) = P l ( x). Elles seront orthogonales ET normalisées (on dit orthonormales) et on pourra écrire f (x) = " C l # l ( x). l = Mais...historiquement on les utilise généralement sous leur forme initiale, contrairement à ce que nous faisons ci-dessous e la même façon que dans A N = A e ˆ i i, où les composantes sont données par un produit i =1 scalaire (vectoriel) A i = e ˆ i, A e i A, nous calculerons ici les composantes de f (x) par le produit scalaire fonctionnel = ˆ = k (y) f (y) dy C k = k, f #. "1 Remplaçant dans l'expression pour f (x) donne, interchangeant somme et intégrale f (x) = %# l (y) f (y) dy "1 l ( x) = # dy f (y)% "1 l (y) l ( x). l = Si l'ensemble des fonctions de base est complet, alors le résultat du calcul à droite doit donner f (x) identiquement. Examinant le côté droit, il devient clair que cela revient à exiger que " # l (y) l ( x) = x % y l = En effet, remplaçant, l'expression à droite devient " dy f (y) # x y 1 doit. Nous avons donc un critère pour déterminer si un ensemble de fonctions, disons n ( z) pour ce faire, satisfaire tous " n ( y) n ( z) = # ( y z), pour y et z dans. l= f (x), comme il se { }, constitue un ensemble complet de fonctions sur un domaine. Elles doivent n Cette démonstration n'est pas triviale et les physiciens ont tendance à en laisser la démonstration aux mathématiciens (chacun son métier). La généralisation aux espaces de coordonnées à plusieurs dimensions est immédiate.

8 tous { n} r { n} " n ( r ') = # 3 r r ' { } où le symbole { n} signifie que la somme est multiple et porte sur un ensemble d'indices, puisqu'ils seront en général plusieurs (généralement un indice pour chaque dimension de l'espace de coordonnées). 8 Remarque additionnelle Nous n'avons parlé ci-dessus que d'espaces réels, impliquant des fonctions réelles. En mécanique quantique par exemple, il n'est pas possible d'échapper aux fonctions complexes. ans le cas où les fonctions sont complexes, le produit scalaire prend la forme plus générale ( r ), "( r ) = # ( r ) "( r ) d 3 r, où # ( r ) = complexe conjugué de ( r ). Clairement cette définition recouvre celle que nous avons utilisée pour les fonctions réelles. b. Autre exemple : les harmoniques sphériques La surface d'une sphère est un espace à deux dimensions qui peut être couvert par les coordonnées et " du système de coord. sphériques. En fait cette surface correspond à prendre r = constante dans le système de coordonnées sphériques ( r,," ). Sur cet espace, les harmoniques sphériques, définis par Y l m (," ) = l + 1 ( l m) 4# ( l + m) P l m ( cos ) e i m", forment un ensemble complet orthonormal. Ainsi & +l % % Y l m (" ',# ') Y l m ",# l = m=l = ' (# # ') ' ( cos" cos" ') : ensemble complet. On note ici que les variables naturelles des harmoniques sphériques sont cos et ". On vérifie d ailleurs que la mesure d intégration de volume s écrit d 3 r = r drd = r drsin"d"d# r drd cos"d# et il n y a donc aucun problème nouveau ici, simplement une façon différente d écrire la même chose. On vérifie d ailleurs l'orthonormalité en calculant & # % d d cos" Y % 1 l ' m ' (", ) Y l m (",) = ' l l ' m m' : orthonormal. On note l'orthogonalité sur les deux indices Toute fonction "raisonnable" de et " peut alors s'écrire f (," ) = # C l m Y l m," l = +l m=%l, qui représente le vecteur f sur la base des vecteurs unitaires de base, les Y lm, avec les composantes C lm définies par le produit scalaire comme il se doit & # = d dcos" Y l m C l m = Y l m, f % % (", ) f ", 1. c. Autres utilisation La fonction delta ne sert pas que pour décrire les relations formelles d'orthogonalité dans les espaces linéaires. Même si elle n'est strictement définie qu'à l'intérieur d'une

9 9 intégrale, on l'utilise parfois à l'extérieur, sachant que toute quantité d'intérêt physique devra impliquer une intégrale qui emportera le. On table parfois sur le fait que ( w) a les dimensions de w -1. Par exemple, on sait que 3 ( r " r ) a les dimensions de (volume) -1. On peut utiliser ce fait pour décrire une charge électrique ponctuelle, q, se trouvant à une position r, sous la forme d'une densité volumique de charge : ( r ) = q" 3 ( r # r ). Cette expression a les bonnes dimensions pour une densité (charge/volume). Il est également évident que l'intégrale de cette densité sur un domaine d'espace donnera la charge dans ce domaine, soit q si le domaine contient le point r et zéro s'il ne le contient pas. Cette densité de charge sera utilisée pour calculer des quantités comme le potentiel électrostatique en un point r ' dû à une charge q située en r V( 1 #( r ) r ' ) = 4" % r d 3 q &( r r r = ) r ' 4" % r r d 3 r ' espace espace = q 1 4" r ' r qui est évidemment la bonne expression pour ce potentiel. On voit que l'utilisation de la fonction de irac nous a permis de traiter dans un contexte continu (intégrale) le cas d'une charge ponctuelle, donc discrète, située en un point. d. Quelques précautions En Physique, on est souvent assez libéral dans les manipulations de la fonction delta. La plupart du temps, ça ne pose pas de problème, mais parfois elle se venge. Par exemple, occasionnellement, on se retrouve avec une fonction delta au carré. Ça n'existe pas. Il faut alors reculer d'un pas pour corriger le tir en faisant plus attention et en tenant compte qu'il ne s'agit pas d'une fonction, mais bien d'une distribution. On doit également faire attention en intégrant par parties lorsque l'intégrale contient une fonction. On a utilisé cette technique (intégration par parties) pour démontrer que # '( x " x ) f ( x)dx = " f '( x ) mais cette même technique se plante royalement si on l'utilise pour tenter de démontrer que ( x) = + ("x) puisqu'ici l'intégration par parties nous donnerait ("x) = "( x), un résultat qui est FAUX. En fait, il faut utiliser la propriété ii) ici. Ce sont ces petites différences qui font que la fonction delta n'est pas une fonction, mais une distribution. 5.Représentations du delta En page, nous avons donné une représentation du delta de irac sous la forme de la limite d'un rectangle dont la largeur tend vers zéro et la hauteur vers l'infini, tout en gardant égal à un le produit de ces deux quantités. Ce n'est pas la seule représentation possible du delta de irac. Nous en présentons ici quelques unes sans démonstration (voir Messiah par exemple) = 1 # lim x " x L % sin L x " x x " x

10 ( x " x ) = 1 + e ik ( x " x ) # % dk particulièrement utile " 1 "( x # x ) = i & +% #% ( x " x ) = 1 # lim %& e ik x# x k dk ( 1 x / ) e" ( x) = 1 d dx x Notons que la deuxième représentation nous donne une façon de sortir de l impasse lorsque des manipulations intempestives nous ont amenés à un delta au carré, comme ( x " x ) = ( x " x )i 1 # + e ik( x" x ) % dk " 6. Quelques références : Cohen-Tannoudji et al, Annexe II, vol. Messiah, Mécanique quantique, Annexe 1, vol. 1 Mathews and Walker, Mathematical methods of Physics Morse and Feshbach, vol. 1 Merzbacher, Quantum Mechanics Pierre Amiot, 1.

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

Plan du cours : électricité 1

Plan du cours : électricité 1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Le planimètre polaire

Le planimètre polaire Le planimètre polaire Document d accompagnement des transparents. Bruno eischer Introduction Dans mon exposé à La Rochelle, ou au séminaire de l IREM de Besançon, j ai volontairement consacré une longue

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen : on néglige les termes de fluctuations

Plus en détail

Propriétés électriques de la matière

Propriétés électriques de la matière 1 Propriétés électriques de la matière La matière montre des propriétés électriques qui ont été observées depuis l antiquité. Nous allons distinguer les plus fondamentales de ces propriétés. 1 Propriétés

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES LES DÉTERMINANTS DE MATRICES Sommaire Utilité... 1 1 Rappel Définition et composantes d'une matrice... 1 2 Le déterminant d'une matrice... 2 3 Calcul du déterminant pour une matrice... 2 4 Exercice...

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

La fonction d onde et l équation de Schrödinger

La fonction d onde et l équation de Schrödinger Chapitre 1 La fonction d onde et l équation de Schrödinger 1.1 Introduction En physique classique, une particule est décrite par sa position r(t). L évolution de sa position (la trajectoire de la particule)

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2 CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES Sommaire 1 Méthodes de résolution... 3 1.1. Méthode de Substitution... 3 1.2. Méthode des combinaisons linéaires... 6 La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Fabien DONIUS, Nicolas GRILL, Chérine KAMEL, Selim MILED - Ing1 Gr4 ANALYSE MATHEMATIQUE GOLAY (24,12,8) Les codes correcteurs d erreur

Fabien DONIUS, Nicolas GRILL, Chérine KAMEL, Selim MILED - Ing1 Gr4 ANALYSE MATHEMATIQUE GOLAY (24,12,8) Les codes correcteurs d erreur Fabien DONIUS, Nicolas GRILL, Chérine KAMEL, Selim MILED - Ing1 Gr4 ANALYSE MATHEMATIQUE GOLAY (24,12,8) Les codes correcteurs d erreur 2 I. Génération des matrices : Le code de Golay, comme le code de

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa

Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Nombre de marches Nombre de facons de les monter 3 3 11 144 4 5 12 233 5 8 13 377 6 13 14 610 7 21 15 987 8 34 16 1597 9 55 17 2584 10 89

Nombre de marches Nombre de facons de les monter 3 3 11 144 4 5 12 233 5 8 13 377 6 13 14 610 7 21 15 987 8 34 16 1597 9 55 17 2584 10 89 Soit un escalier à n marches. On note u_n le nombre de façons de monter ces n marches. Par exemple d'après l'énoncé, u_3=3. Pour monter n marches, il faut d'abord monter la première. Soit on la monte seule,

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ calculatrice: autorisée durée: 4 heures Sujet Approche d'un projecteur de diapositives...2 I.Questions préliminaires...2 A.Lentille divergente...2 B.Lentille convergente et

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Les relations de Plücker

Les relations de Plücker Université Claude Bernard LYON 1 Préparation à l'agrégation de Mathématiques Les relations de Plücker Michel CRETIN On montre que l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension r de K n est la sous-variété

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Fascicule d4.06 : Structures liées aux éléments finis

Fascicule d4.06 : Structures liées aux éléments finis Titre : Structures de données sd_nume_ddl, sd_nume_equa, s[...] Date : 30/06/2015 Page : 1/13 Structures de données sd_nume_ddl, sd_nume_equa, sd_stockage et sd_prof_chno Résumé : Ce document décrit les

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE. Les ensembles numériques. Propriétés des nombres réels. Ordre des opérations. Nombres premiers. Opérations sur les fractions 7. Puissances entières 0.7 Notation scientifique.8

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne

Plus en détail

LA FORCE CENTRIFUGE. En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d un virage serré.

LA FORCE CENTRIFUGE. En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d un virage serré. LA ORCE CENTRIUGE Introduction La force centrifuge est assez connue du public, elle fait d ailleurs l objet d une question pouvant être posée pour l obtention du permis de conduire. En effet, cette force

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Rapport sur l oral de mathématiques 2009

Rapport sur l oral de mathématiques 2009 Rapport sur l oral de mathématiques 2009 Oral spécifique E.N.S. Paris : Thomas Duquesne Oral commun Paris-Lyon-Cachan : Romain Abraham, Sorin Dumitrescu, Philippe Gille. 1 Remarques générales sur la session

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail