La fonction logarithme népérien

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "La fonction logarithme népérien"

Transcription

1 La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative Sens de variation Application Propriétés algébriques Étude de la fonction ln 4 2. Dérivée de la fonction ln Limites Courbe représentative Des ites importantes Dérivée de ln u, où u est une fonction Primitives de u u, où u est une fonction Table des figures Fonctions réciproques : ln et exp Courbe représentative de la fonction ln Liste des tableaux Tableau de variations de la fonction ln Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA

2 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN La fonction logarithme népérien. Définition Courbe représentative Propriété : Pour tout x > 0, l équation e t = x (d inconnue t) admet une unique solution. Cette solution est appelée logarithme népérien de x et est notée ln x. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R. De plus, t e t = 0 et t + e t = +. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires : Pour tout x ]0 ; + [, il existe une unique solution à l équation e t = x. Exemples :. Comme e 0 =, ln = Comme e = e, ln e =. Définition : La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur ]0 ; + [ qui, à tout x > 0 associe ln x, c est-à-dire l unique réel dont l exponentielle est x. Théorème : Pour tout x > 0 et tout y R : y = ln x x = e y Si y = ln x, alors, par définition, y est l unique réel dont l exponentielle est x, d où : e y = x. Réciproquement, si x = e y, ln x = ln (e y ), c est donc l unique réel dont l exponentielle est e y. Cet unique réel ne peut être que y. On a donc : ln x = y. Remarques :. En particulier, on a montré que : Pour tout x R, ln (e x ) = x. Pour tout x > 0, e ln x = x. 2. On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions réciproques. Leurs courbes sont alors symétriques par rapport à la droite d équation y = x (voir figure ). Exercices : 45 page 55 44, 46 page 55 2 [TransMath].2 Sens de variation Application Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; + [. Soient a et b deux réels strictement positifs, avec a < b. Comme a = e ln a et b = e ln b, on a : e ln a < e ln b et, par suite, ln a < ln b. La fonction logarithme népérien est donc strictement croissante sur ]0 ; + [.. Ensembles de définition. 2. Simplification d écriture. 2

3 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN.2 Sens de variation Application Figure Fonctions réciproques : ln et exp Conséquences :. Pour tout a > 0 et tout b > 0 : ln a = ln b équivaut à a = b. ln a < ln b équivaut à a < b. 2. Pour tout x > 0 : ln x > 0 équivaut à x >. ln x < 0 équivaut à 0 <x <. ln x = 0 équivaut à x =. Remarque : La première partie de cette propriété permet de résoudre des équations ou inéquations comportant des logarithmes. La deuxième partie donne le signe de ln x. Exemples : Résolution d équations et d inéquations. Résoudre l équation ln (5 2x) = : Il faut que 5 2x > 0, c est-à-dire x < 5 2. Cette équation équivaut à ln (5 2x) = ln e. On en déduit que 5 2x = e, c est-à-dire x = 5 e Cette valeur est bien dans l intervalle ] ; 5 2[ donc S = { 5 e 2 2. Résoudre l inéquation ln (5 2x) < : Il faut que 5 2x > 0, c est-à-dire x < 5 2. Cette équation équivaut à ln (5 2x) < ln e. On en déduit que 5 2x < e, c est-à-dire x > 5 e Comme de plus on doit avoir x ] ; 5 2[, on a S = ] 5 e 2 ; 5 2[. 3. Résoudre l équation e x+2 = 5 : Cette équation équivaut à x + 2 = ln 5, c est-à-dire x = 2 + ln 5. On a donc S = { 2 + ln 5}. Exercices : 5, 7, 8 page 46 et 47, 48, 49, 50, 5, 52, 57, 58 page 55 3 [TransMath] 3. Équations et inéquations comportant logarithmes et/ou exponentielles. }

4 .3 Propriétés algébriques 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN.3 Propriétés algébriques du logarithme népérien Théorème : Propriété fondamentale Pour tous réels a > 0 et b > 0, on a : ln (ab) = ln a + ln b e ln(ab) = ab et e ln a+ln b = e ln a e ln b = ab. On a donc e ln(ab) = e ln a+ln b et, donc, ln ab = ln a + ln b. Théorème 2 : Soient a, b deux réels strictement positifs et n un entier relatif.. ln ( a) = ln a 2. ln ( a b ) = ln a ln b 3. ln (a n ) = n ln a 4. ln a = 2 ln a. D après le théorème : ln ( a a) = ln a + ln a. De plus, ln ( a a) = ln = 0 donc ln a + ln a = 0 d où ln a = ln a. 2. D après le théorème : ln a b = ln ( ) a b = ln a + ln b = ln a ln b. 3. Le résultat se montre aisément par récurrence pour n 0. Pour n < [ 0, il suffit d utiliser le résultat du 2. pour conclure. 4. ln ( a) 2] = ln a et, d après 3.,ln ln a = 2 ln a. [ ( a) 2] = 2 ln a. On obtient donc 2 ln a = ln a, soit Remarque : Ce théorème est souvent utilisé pour simplifier des expressions ou pour résoudre des équations ou inéquations (voir exercices). La partie 3. du théorème 2 peut aussi être utilisée pour des suites géométriques. Exercice : Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = et de raison q = 4 5. A partir de quel indice n a-t-on u n 0 3? On a u n = u 0 q n = ( 4 n. ( 5) On doit donc résoudre l inéquation 4 n 5) 0 3. Comme tous les nombres sont strictement positifs, cette équation est équivalente à ln ( 4 n 5) ln 0 3, c est-àdire : n ln ln 0. Comme de plus 4 5 <, ln 4 3 ln 0 5 < 0 donc on obtient n. ln ln 0 A la calculatrice, on trouve que 30, 96 donc, le plus petit indice est n = 3. ln 4 5 Exercices :, 2, 3,,4 page 43 et 53 page , 56 page , 6, 7 page , 2 page 47 ; 3 page 50 et 54 page , 79, 80 page 59 8 [TransMath] 2 Étude de la fonction ln 2. Dérivée de la fonction ln Propriété (admise) : La fonction ln est continue sur ]0 ; + [. 4. Simplification d expressions. 5. Résolutions d équations et d inéquations. 6. Positions relatives de courbes. 7. Application aux suites géométriques. 8. Fonction ln et suites. 4

5 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN 2.2 Limites Courbe représentative Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ et, pour tout x > 0 : ln (x) = x Soit a > 0 et x > 0. ln x ln a Le taux d accroissement de la fonction ln en a est t (x) = x a. On pose X = ln x et b = ln a. On a : x = e ln x = e X et a = e ln a = e b. Par suite, t (x) = e X b X e. Il faut maintenant déterminer b x a t (x). Comme la fonction ln est continue en a : x a X = x a ln x = ln a = b. De plus, comme la fonction exponentielle est dérivable en b, on a : e X e b X b X b = exp (b) = e b = a et, par suite : x a t (x) = a. La fonction ln est donc dérivable en a et ln (a) = a. Exercices : 65 page 56 et 67 page page 57 0, 2 page 45 ; 32 page 50 et 90 page 63 77, 78 page 59 et 02 page 65 2 page 200 ; 5 page 202 ; 6 page 27 ; 2, 26 page 204 ; 29 page 205 ; 85 page 28 ; 07 page 22 ; 3 page 22 3 [TransMath] 2.2 Limites Courbe représentative Propriété : x + ln x = + et ln x = x 0 + Il s agit de montrer que, pour tout M > 0, il existe x 0 > 0 tel que, si x > x 0, ln x > M. Or ln x > M x > e M donc, en posant x 0 = e M, on obtient le résultat voulu. Par suite, x + ln x = +. Pour la ite en 0 +, on pose X = x. On a alors (voir.3) : ln x = ln x = ln X Or, x 0 + X = + et X + ln X = donc x 0 + ln x =. On peut tirer de ces résultats le tableau de variations de la fonction ln (voir tableau ) et sa courbe représentative (voir figure 2). Exercices : 59 page page 56 ; 66, 68 page 57 et 93 page page 45 et 88 page page [TransMath] 9. Étude de fonctions. 0. Détermination de fonctions.. Tangentes. 2. Fonction ln et suites. 3. Primitives, intégrales. 4. Calcul de ites. 5. Étude de fonctions. 6. Fonction ln et suites. 7. Type BAC. 5

6 2.2 Limites Courbe représentative 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN x 0 e + ln (x) + + e + + ln (x) 0 Table Tableau de variations de la fonction ln Figure 2 Courbe représentative de la fonction ln 6

7 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN 2.3 Des ites importantes 2.3 Des ites importantes Théorème : ln x x + x = 0+ et x ln x = 0 x 0 + On pose X = ln x. On a alors x = e X et ln x x = e X. X De plus, x + X = x + ln x = + et e X X + X = + donc x + ln x x = 0+. On pose ensuite X = x. On a alors x = X et x ln x = X ln ( ) X = ln X X. De plus, x 0 + X = x 0 + x = + et X + ln X X = 0+ donc x 0 + x ln x = 0. Remarque : On peut montrer de même que, pour tout n 2, x + ln x x n = 0. Théorème 2 : x ln x ln ( + x) = et = x x 0 x ln x ln x ln x = x ; c est donc le taux d accroissement de la fonction ln en. Or, la fonction ln est dérivable en donc : ln x x x = ln () = = Le deuxième résultat se trouve facilement à l aide du changement de variable X = + x. Exercices : 60, 6 page page , 23 page page 45 2 [TransMath] 2.4 Dérivée de ln u, où u est une fonction Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f (x) = ln [u (x)] est dérivable sur I et : Remarques : f (x) = u (x) u (x). C est une application directe du théorème de dérivation des fonctions composées. 2. En particulier, comme u (x) est strictement positive, f est du même signe que u. 3. On trouve des résultats analogues sur les ites en utilisant le théorème de ite de fonctions composées. Exercices : 25, 26 page page , 75 page 58 et 92 page , 94 page , 98 page 64 et 0 page page [TransMath] 8. Calcul de ites. 9. Dérivabilité d une fonction. 20. Fonction ln et suites. 2. Une autre démonstration de la ite de ln x x. 22. Étude de fonctions. 23. Détermination de fonction. 24. Vrai/Faux. 25. Type BAC. 26. Fonction ln et suites. 27. Suites et intégrales. 7

8 2.5 Primitives de u u, où u est une fonction RÉFÉRENCES 2.5 Primitives de u, où u est une fonction u Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors une primitive de la fonction f définie sur I par f (x) = u (x) u(x) est : F (x) = ln (u (x)) Remarque : Attention à ne pas oublier l hypothèse u > 0! Exemple : f (x) = x x 2 sur I = ] ; + [ f semble de la forme u u avec u (x) = x2 et u (x) = 2x. De plus, sur ] ; + [, u (x) > 0. On a donc : f (x) = 2 2x x 2 Une primitive de f sur I est donc : F (x) = 2 ln ( x 2 ) = ln x 2 Exercices : 0 page 20 et 76 page page 204 ; 83 page 28 ; 87, 88 page 29 ; 34 page , 43 page [TransMath] Références [TransMath] TransMATH Term S, programme 202 (Nathan) 2, 3, 4, 5, 7, Détermination de primitives. 29. Calcul d intégrales. 30. Plus difficiles. 8

Fonctions Affines Problèmes du premier degré

Fonctions Affines Problèmes du premier degré Fonctions Affines Problèmes du premier degré Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Fonctions Affines 2 1.1 Définition Représentation graphique.................................

Plus en détail

Second degré. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2008/2009

Second degré. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2008/2009 Second degré Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 008/009 Table des matières 1 Polynômes du second degré 1.1 Définition................................................. 1. Forme canonique.............................................

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 202/203 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative................................... 2.2

Plus en détail

Fonctions affines Exercices corrigés

Fonctions affines Exercices corrigés Fonctions affines Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : antécédent, image, résolution d équation, représentation graphique d une fonction affine (coefficient directeur et ordonnée

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1 Lycée Jean Bart MPSI & PCSI Année 213-214 Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI

Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI F.Gaudon 5 juillet 010 Table des matières 1 Construction de la fonction logarithme népérien Propriétés analytiques.1 Étude de la fonction.......................................

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D,

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

Chapitre 5 Le logarithme néperien

Chapitre 5 Le logarithme néperien A) La fonction ln(x) Chapitre 5 Le logarithme néperien ) Définition Nous avons vu que nous ne savions pas exprimer la primitive de la fonction inverse avec des fonctions connues. Alors inventons cette

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES

Plus en détail

Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes.

Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. www.mathsenligne.com 2N3 - FONCTION CARRE ET SECOND DEGRE COURS (1/6) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Expressions algébriques Transformations d expressions algébriques en vue d une résolution

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

1 C est quoi une fonction? 2. 2 Représentation graphique d une fonction. 6. 3 Fonction affine. 8. 4 Représentation graphique d une fonction affine.

1 C est quoi une fonction? 2. 2 Représentation graphique d une fonction. 6. 3 Fonction affine. 8. 4 Représentation graphique d une fonction affine. Sommaire 1 C est quoi une fonction? 2 2 Représentation graphique d une fonction. 6 3 Fonction affine. 8 4 Représentation graphique d une fonction affine. 10 5 Coefficient directeur d une fonction affine.

Plus en détail

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Chapitres 5 : la fonction exponentielle 10 décembre 2012 Contrôle de mathématiques Lundi 10 décembre 2012 Exercice 1 ROC On suppose connu le résultat suivant : pour tout réel x, on a e x > x 1) Soitϕla

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé Exercice Commun à tous les candidats Baccalauréat Blanc février 25 Corrigé. Réponse d. : e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e 5,4. 2. Réponse b. : positif

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = a = ax 2+ b ax 1 b x 2 x 1 x 2 x 1 Soit a= 1 5 3+6 = 2 3

f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = a = ax 2+ b ax 1 b x 2 x 1 x 2 x 1 Soit a= 1 5 3+6 = 2 3 I FONCTION AFFINE ÉFINITION Soit a et b deu réels. La fonction f définie sur R par f() = a + b est une fonction affine. EXEMPLES La fonction f définie surrpar f()= 2 3 est une fonction affine avec a= 2

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014

Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014 Corrigé du baccalauréat ES Asie 9 juin 4 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Proposition : fausse f (4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C ; cette droite passe

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Auteur : Alain Ladureau DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir la notion de développement limité. Utiliser des développements limités dans l étude locale des fonctions. Les appliquer

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 2009

TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 2009 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 009 Exercice 3 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. Indiquer

Plus en détail

Correction contrôle de mathématiques

Correction contrôle de mathématiques Chapitres 5 : la fonction eponentielle 7 décembre 0 Correction contrôle de mathématiques Du lundi 0 décembre 0 Eercice ROC (4 points) ) On détermine les variation deϕ: ϕ ()e or R, e >0. La fonctionϕest

Plus en détail

Fonctions exponentielles et logarithmes

Fonctions exponentielles et logarithmes Fonctions exponentielles et logarithmes Il s'agit de deux familles de fonctions étroitement liées, la première étendant à toutes les valeurs réelles la notion déjà connue de puissance. On en donne ici

Plus en détail

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012 Lycée Marlioz - Aix les Bains Bac Blanc 2012 Mathématiques - Terminale E Candidats n ayant pas choisi la spécialité maths 16 mai 2012 Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications

Plus en détail

MATHEMATIQUES BTS1 2013-2014 Corrigés des devoirs

MATHEMATIQUES BTS1 2013-2014 Corrigés des devoirs MATHEMATIQUES BTS1 2013-201 Corrigés des devoirs CC 23 /09/2013 page2 CC 18/10/2013 page DV 25/11/2013 page 6 BTS Blanc 13/12/2013 page 8 CC 07/01/201 page 12 CC 0/02/201 page 1 BTS Blanc 27/02/201 page

Plus en détail

Correction Bac blanc mai 2013

Correction Bac blanc mai 2013 Correction Bac blanc mai 2013 Exercice 1 Commun à tous les candidats. 4 points (1 point par bonne réponse) 1. La fonction F définie sur R par F (x) = e x2 est une primitive de la fonction f définie par

Plus en détail

1 Introduction. 2 Fonctions linéaires, fonctions affines. 2.1 Définitions. Fonctions linéaires et fonctions affines Cours. Objectifs du chapitre

1 Introduction. 2 Fonctions linéaires, fonctions affines. 2.1 Définitions. Fonctions linéaires et fonctions affines Cours. Objectifs du chapitre Fonctions linéaires et fonctions affines Cours Objectifs du chapitre Connaitre le sens de variation d une fonction affine. Connaitre le signe d une fonction affine. 1 Introduction Activité 2 Fonctions

Plus en détail

Suites numériques. Sommaire :

Suites numériques. Sommaire : Suites numériques I Activité n o 2 page 295 Sommaire : II Généralités sur les suites numériques III Variations et bornes IV Suites arithmétiques V Suites géométriques VI Suites convergentes VII Représentation

Plus en détail

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables Fonctions à deux variables ECE Lcée Carnot 5 janvier Aspect graphique Définition. Une fonction à deux variables est une application f : D R, où D est une sous-ensemble du plan R appelé domaine de définition

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. 4.1 Activité. Sommaire

Chapitre 4. Fonction exponentielle. 4.1 Activité. Sommaire Chapitre 4 Fonction exponentielle Sommaire 4.1 Activité............................................. 37 4. Fonctions exponentielles de base q (q > 0)........................ 39 4..1 Définition.........................................

Plus en détail

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité Corrrigé du sujet de Baccalaurat S Pondichery 2015 Spécialité EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f(x) et la droite d équation et la droite d

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé)

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses

Plus en détail

Inde, avril 2014, exercice 1

Inde, avril 2014, exercice 1 Sujet 1 Inde, avril 2014, exercice 1 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1 La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser

Plus en détail

Chapitre 3 Term. S. Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Chapitre 3 Term. S. Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 3 Term. S. Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIES appels : Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Compléments de trigonométrie

Compléments de trigonométrie IUT Orsay Mesures Physiques Cours du er semestre Compléments de trigonométrie A. Les outils A-I. Notion de bijection, bijection réciproque Une application de E vers F est une bijection lorsque : tout élément

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Corrigé Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 2 novembre 2 Corrigé A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats 5 points. Diminuer le budget de 6 % sur un an revient à multiplier par 6 =,94. Diminuer le budget

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS . Qu'est-ce qu'une fonction? Vocabulaire GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Définition Notion de fonction À chaque fois que l'on associe à une quantité une (autre) quantité, on dit que que l'on définit une

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. ln = a.

FONCTION LOGARITHME. ln = a. FONCTION LOGARITHME I. DEFINITION DU LOGARITHME a) Définition Problème : Soit a un réel strictement positif. Démontrer que l équation e x = a admet une solution unique α dans IR. (théorème des valeurs

Plus en détail

Fonctions puissances Croissances comparées

Fonctions puissances Croissances comparées Fonctions puissances Croissances comparées Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 200/20 Table des matières Puissances réelles 2. Définition Premières propriétés.................................... 2.2 Propriétés

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2015

Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2015 Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2015 Exercice 1 Commun à tous les candidats 5 points Partie A On appelle B l événement «la batterie est défectueuse» ; l événement «le disque dur est défectueux».

Plus en détail

Fonctions Exponentielles

Fonctions Exponentielles Fonctions Exponentielles Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2011/2012 Table des matières 1 Définition Premières propriétés 2 1.1 Définition................................................. 2 1.2 Premières

Plus en détail

RESOLUTION D UNE INEQUATION. Les symboles utilisés ( symbole d inégalité ) : Appellation 1 Appellation 2 Appellation 3 Vocabulaire à utiliser

RESOLUTION D UNE INEQUATION. Les symboles utilisés ( symbole d inégalité ) : Appellation 1 Appellation 2 Appellation 3 Vocabulaire à utiliser THEME : Les symboles utilisés ( symbole d inégalité ) : Appellation 1 Appellation Appellation Vocabulaire à utiliser < plus petit inférieur strictement inférieur strictement inférieur plus petit ou égal

Plus en détail

Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles Fonctions exponentielles Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Fonctions x q x, avec q > 0 2 1.1 Fonction exponentielle de base q.................................... 2 1.2

Plus en détail

A) Épreuves communes à tous les candidats

A) Épreuves communes à tous les candidats Extrait du règlement grand-ducal du 20 décembre 1990 A) Épreuves communes à tous les candidats a) Principes élémentaires de droit public luxembourgeois 60 points Les Institutions du Grand-Duché de Luxembourg.

Plus en détail

BTS MCI. Lycée Vauban, Brest 4 mai 2016. André Breton

BTS MCI. Lycée Vauban, Brest 4 mai 2016. André Breton BTS MCI Lycée Vauban, Brest 4 mai 06 André Breton Table des matières I Compléments pour les bac pro 8 ÉquationsFactorisationsInéquations 9. Identités remarquables................................ 9. Le

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Comptabilité et gestion des organisations

Brevet de technicien supérieur Comptabilité et gestion des organisations Comptabilité et gestion des organisations Lycée Cassini Exercice 1 11 points A. Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur l intervalle [1 ; 14] par x+ 1 ln x f (x)=. x 1. a. Démontrer que. pour

Plus en détail

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Contrôle commun : 4 heures

Contrôle commun : 4 heures Exercice 1 (5 points) Contrôle commun : 4 heures PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = ln x + x. 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +.. Étudier

Plus en détail

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale MT8 A 0 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale. Fonction de répartition.. Variable aléatoire à valeurs réelles Définition : Soit un ensemble fondamental

Plus en détail

Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique Centres étrangers 214. Enseignement spécifique EXERCICE 3 (7 points) (commun à tous les candidats) Les parties A et B sont indépendantes Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés

Plus en détail

7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines

7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines Cours 7 FONCTIONS USUELLES Parité d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est paire si : { D est symétrique par rapport à 0 Pour tout x D, f ( x) = f (x) On

Plus en détail

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples.

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Introduction : On suppose connues les notions d injectivité, surjectivité,

Plus en détail

La dérivation dans R

La dérivation dans R S La dérivation dans R Introduction Activité sur la cute libre d un corps. 2 Nombre dérivé Définition du nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et soit a un réel de l intervalle

Plus en détail

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales Chapitre 3 : Fonctions affines Dans tout ce chapitre, le plan est muni d un repère. 1 Rappels sur les équations de droite Une droite qui n est pas verticale a une unique équation du type y = ax + b, qu

Plus en détail

(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système,

(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système, Université Paris 7 Denis Diderot UFR de Mathématiques Licence L3 Equations différentielles 2006-2007 P. Perrin (Un) Corrigé du partiel Lundi 9 mars 2007 Eercice. On considère le système différentiel linéaire

Plus en détail

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN www.mathsenligne.com STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (/5) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction logarithme népérien. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

MATHÉMATIQUES 3 PÉRIODES

MATHÉMATIQUES 3 PÉRIODES BACCALAURÉAT EUROPÉEN 006 MATHÉMATIQUES 3 PÉRIODES DATE : 8 juin 006 (matin) DURÉE DE L'EXAMEN : 3 heures (180 minutes) MATÉRIEL AUTORISÉ : Formulaire européen Calculatrice non graphique et non programmable

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

Mathématiques et Philosophie en classe de seconde

Mathématiques et Philosophie en classe de seconde Mathématiques et Philosophie en classe de seconde Intervention du Professeur de mathématiques. Effectif de la classe : 34 élèves. Intervention : quinze heures en alternance avec le cours de Philosophie.

Plus en détail

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions 1) f (x) = 7x+3 TD Dérivation n : étude des variations de fonctions Étude de variations f est une fonction affine, de coefficient directeur négatif, on sait donc qu elle est décroissante surê. Le calcul

Plus en détail

Amérique du Sud, novembre 2006

Amérique du Sud, novembre 2006 Exercice 1 ( 5 points) Commun à tous les candidats Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s intéresse aux prises de sang effectuées dans

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière PRO 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde PRO partie première PRO partie terminale PRO Sommaire

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2009

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2009 Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 009 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres.

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord

Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points Commun à tous les candidats On sait que la courbe C passe par les points A( 2; 0,5), B(0; 2), C(2; 4,5), D(4,5;

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont

Plus en détail

Techniques fondamentales de calcul

Techniques fondamentales de calcul Chapitre Techniques fondamentales de calcul. Inégalités dans R On rappelle que (R, +,, ) est un corps totalement ordonné, d où : x, y R, x y ou y x, x, y, z R, x y = x + z y + z, x, y R, x 0ety 0 = xy

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d

Plus en détail

Expérimentation 2007

Expérimentation 2007 Mathématiques série S Épreuve pratique au baccalauréat Expérimentation 2007 - Banque de sujets - Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des activités de l'enseignement scolaire, de la formation

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Généralités sur les fonctions ( En seconde )

Généralités sur les fonctions ( En seconde ) Généralités sur les fonctions ( En seconde ) Dernière mise à jour : Dimanche 31 Octobre 2010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2010-2011) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document

Plus en détail

Variations des fonctions

Variations des fonctions CH2-1er S Variations des fonctions Rédacteur : Yann BANC Le mot du prof : Ce chapitre vous permet de revoir les fonctions usuelles et de découvrir de nouvelles fonctions usuelles : valeur absolue et racine

Plus en détail

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines

Plus en détail

Fonctions convexes. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013

Fonctions convexes. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013 Fonctions convexes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Convexité Point d inflexion 2 1.1 Notion de convexité, de concavité.................................... 2 1.2 Point

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016 Exercice 1 Commun à tous les candidats Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 216 4 points Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011

Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011 Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011 L utilisation d une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Soit u une fonction définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème :

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème : Chapitre 1 Ce que dit le programme Le second degré CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Second degré Forme canonique d une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant.

Plus en détail

L exercice proposé au candidat

L exercice proposé au candidat «Oral» du Capes Externe de Mathématiques (6 Juin 5 Énoncé Thème : Intégration Cet énoncé est tiré de l exercice-jury proposé aux candidat(es le 6 Juin 5, lors de la deuxième épreuve orale (épreuve sur

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail