Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a.

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1 Échatilloage 9 Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Répose c. Répose a. Répose c. 3 Répose a. 4 Répose b. Répose c. Activité. La populatio étudiée est la productio d automobiles. Le caractère est le défaut de peiture. O a p = 0,. 4. a. O a f 0, O complète le schéma avec p = 0, et = 50. b. O a : Échatillo Nombre de défauts Fréquece du défaut 0, 0,8 0,3 0,8 0, 0, 0, 0,08 O e retrouve pas écessairemet la valeur de p. Cela est dû à l effet du hasard. C est la fluctuatio d échatilloage. 3. No, la fluctuatio d échatilloage observée sur des échatillos de taille 50 est telle (voir fréqueces calculées à la questio.b.) que ce résultat de 4 % e permet aucue iterprétatio de ce gere. Activité. a. Cela déped de vos lacers. Par exemple, 5 «pile» et 0 «face» doe ue fréquece de «pile» égale à 5 f 5 0,6. b. Cela déped des lacers, mais la très grade majorité des fréqueces obteues das la classe (de l ordre de 95 %) est comprise etre 0,3 et 0,7.. Sur l image d écra suivate, o a 6 poits sur 00 situés e dehors de l itervalle [0,3 0,7], soit 94 % à l itérieur de l itervalle.

2 3. a. O a I = [0,3 0,7]. b. O peut estimer le pourcetage des échatillos fourissat ue fréquece de «pile» à l itérieur de l itervalle I à eviro 95 % a. La fréquece des garços és das le village chiois est f 0,8. 5 b. La valeur 0,8 est pas das I. O peut peser qu il existe ue autre explicatio que le hasard pour la différece observée etre f = 0,8 et p = 0,5. Activité 3. C est votre avis. a. Les bores de l itervalle I sot eviro 0,33 et 0,67. Il y a 5 fréqueces e dehors de l itervalle I. Doc, ici, pour 95 % des échatillos, la fréquece de «pile» appartiet à I. b. Les bores de l itervalle I sot eviro 0,48 et 0,5. Il y a 4 fréqueces e dehors de l itervalle I. Doc, pour 96 % des échatillos, la fréquece de «pile» appartiet à I. 3. Pour l etreprise A, 0,4 appartiet à I. Pour la société B, 0,46 appartiet pas à I. C est doc la société B qui respecte le mois bie la parité hommes/femmes, alors que pour l etreprise A, le hasard peut très bie expliquer le résultat observé. TP A.. a. L affichage 0 correspod à o afro-américai et correspod à afro-américai. b. La liste des 405 «0 ou» correspod à u échatillo de 405 professeurs. c. Le coteu de la cellule A408 correspod à la fréquece des professeurs afro-américais sur l échatillo de taille 405. d. O a simulé 00 échatillos aléatoires de taille 405 et calculé les fréqueces de professeurs afro-américais pour chaque échatillo.. Lorsqu o fait F9, il y a fluctuatio des fréqueces, mais celles-ci demeuret, e très grade majorité, das ue bade etre 0, et 0,.

3 3. a. E E et G figuret les bores de l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %. b. Avec la foctio NB.SI, o teste si la fréquece obteue sur u échatillo est comprise etre les bores de l itervalle de fluctuatio à 95 %. Le ombre obteu e I est le ombre des échatillos qui, parmi les 00 simulés, fourisset ue fréquece apparteat à l itervalle de fluctuatio. E appuyat sur F9, o costate que ce ombre est de l ordre de O a f ª 0,037. Cette valeur est très éloigée de celles obteues par simulatio. 405 B.. Lorsque p = 0,057, les bores de l itervalle de fluctuatio au seuil 0,95 sot eviro 0,007 et 0,07.. La fréquece f appartiet à l itervalle précédet. E preat cette valeur de p, le hasard peut expliquer la fréquece de professeurs afro-américais observée à Hazelwood, d où la décisio des juges. TP Sur le site. TP 3 A.. Les écarts les plus grads etre f et p sot 0,068 e 936 (Roosevelt ) et 0,057 e 99 (Clito ).. La moyee des écarts de 95 à 008 est eviro 0,0, celle des écarts de 936 à 948 est eviro 0,04. Il semble que la méthode aléatoire soit plus performate que celle par quotas (écart e moyee iférieur). Cepedat, le ombre de doées est pas le même. Chapitre 9. Échatilloage 3

4 B.. O a les équivaleces : p - f p lorsque - f - - p - f ou ecore, e multipliat par, f - p f a. La fréquece p = 0,55 est pas toujours comprise das l itervalle de cofiace. b. Le pourcetage d itervalles J coteat le résultat de l électio est supérieur à 95 %. 3. Deux itervalles de cofiace peuvet être disjoits (c est le cas des sodages 44 et 45 sur l image d écra du mauel). Exercices ENTRANEMENT a b /4 de 40 doe 05 et doc 3/4 de 40 doe d augmetatio sur 00 représete 0 %. a. 9 t - 4. b. 4 x - 0 x a - 8 a 9 a ,8. -0 x a. x,5 ou x,5 b. x 0 ou x, Oui car Ordoée à l origie : b = 4 et coefficiet directeur : a - 4 3, d où y x 4. 4 y x K( 0,5) 3 La parabole coupe l axe des abscisses e 0 et 4 le miimum a doc pour abscisse. 3. La probabilité de tirer ue boule verte das l ure est 0 p. Elle est différete de la fréquece précédete Par exemple : Échatillo Échatillo Échatillo Les fréqueces de sortie du 6 sot : /8 0,5 /8 0,5 4/8 0,5. 3. Les trois fréqueces e sot pas égales. Cette fluctuatio d échatilloage est due au hasard. 0. O lace u dé supposé équilibré.. Exemple d u échatillo de taille 7 : a. Puisqu o tire la carte au hasard, chaque carte a la même probabilité d être tirée et la probabilité de tirer u as (de gager) est 4 3 0,5. b. L istructio =ENT(ALEA()+0,5) affiche (sortie d u as) avec la probabilité 0,5 et 0 sio.. a. U échatillo de taille 5 : Expériece Issue %. 0,6. Expériece Issue No car 0,7 0, Par exemple P, F, P, P, F, P, F, P, P, P.. Das l échatillo précédet, la fréquece de «pile» est 0,7. 8. Par exemple N, R, V, N, N, V, V, V, N, R, R, V.. La fréquece de «vert» das l échatillo précédet est 5 ª 0,4. Expériece Fréquece f Issue ,6 b. E appuyat sur F9, la fréquece f fluctue.. L istructio affiche, au hasard, u ombre de l itervalle [ 4[. Ce ombre a des chaces idetiques d avoir avat la virgule u, u ou u 3. Lilia choisit la répose correspodat au ombre devat la virgule. 4

5 . La probabilité d avoir u devat la virgule est /3, celle d avoir u 0 est /3. O peut cosidérer que correspod à ue répose exacte et 0 à ue répose fausse. Sur l image d écra, l élève a obteu réposes exactes. 3. L istructio permet de simuler ue persoe ifectée (affichage de ) avec la probabilité 0,009 ou o ifectée.. Pour le premier échatillo, il y a 70 persoes ifectées sur 8 97 persoes simulées. 3. a. Sur l image d écra, o a obteu 0 fois N 5 sur 00 échatillos. b. «Statistiquemet sigificatif» sigifie que l écart observé a peu de chaces d être dû au hasard. 4. Les fréqueces obteues sur les 0 échatillos de taille 0 sot : 0,3 0,3 0 0, 0, 0, 0 0,4 0, 0. L étedue est : 0,4 0 = 0,4.. a. L étedue des fréqueces pour les 0 échatillos de taille 000 est beaucoup plus réduite. b. La fréquece d apparitio du zéro fluctue autour de 0,. Ce est pas étoat, puisque le 0 a ue chace sur 0 d apparaître comme premier chiffre après la virgule. 5. a. Les bores de I sot 0,0 et 0,. Das au mois 95 % des cas, la fréquece des gauchers sur u échatillo de taille 00 est comprise etre 0,0 et 0,. b. Il y a 5 poits e dehors des traits rouges il y a doc 95 échatillos, c est-à-dire 97,5 % des échatillos, qui fourisset ue fréquece das I.. Das la formule de I, remplacer p par 0, et par le ombre d élèves das la classe (o suppose que est au mois égal à 5). Pour obteir les bores (au seuil de 95 %) du ombre de gauchers das la classe, multiplier par. 6. Si le dé est parfaitemet équilibré, p ª 6 0,67.. Les bores de I sot, à 0 près, 0,0 et 0,4. Pour u dé supposé équilibré, et pour ue face doée, 95 % des échatillos de taille 00 fourisset ue fréquece de sortie comprise etre 0,0 et 0,4. 3. D après la questio précédete, les écarts etre les fréqueces, comprises das I, peuvet être dues au hasard. O est pas sûr d avoir raiso. 7 Les bores de I sot, à 0 - près, 0, et 0,. Pour u dé supposé équilibré, et pour ue face doée, 95 % des échatillos de taille 00 fourisset ue fréquece de sortie comprise etre 0, et 0,. La fréquece de sortie de la face appartiet pas à l itervalle précédet. À partir de cet échatillo de taille 400, o peut peser que le dé est peut-être pipé. O est pas sûr de la répose. 8. O a p 0,4 500 et f 0,38.. Les bores de l itervalle de fluctuatio à 95 % sot, à 0 près, 0,36 et 0, Puisque f est compris etre les bores précédetes, o peut cosidérer comme exacte l affirmatio du groupe de citoyes (au seuil de 95 %) O a p ª 05 0,5.. a. Les bores de I sot, à 0 près, 0,45 et 0,58. 9 b. O a f ª 0,40. Cette valeur appartiet pas à 7 l itervalle I. La différece observée à Ufa est «sigificative», c est-à-dire qu elle e tiet vraisemblablemet pas du seul hasard. 3. Les bores de I sot, à 0 près, 0,43 et 0, O a f ª 0,35. Cette valeur appartiet pas à 3 l itervalle I. La différece observée à Aamjiwaag est «sigificative» a. O a f 0, b. O e peut pas affirmer que p f car le hasard iterviet lors du sodage.. a. Das plus de 95 % des cas, la distace etre f et p est iférieure à 400 0,05. b. Fourchette : 0,45 0,45. O peut raisoablemet peser que p appartiet à l itervalle précédet a. O a f 0, b. O e peut pas affirmer que p f car le hasard iterviet lors du sodage.. a. Itervalle de fluctuatio de f au seuil de 95 % : p - 0,0 p 0,0. b. O a les équivaleces : p - 0,0 f p 0,0 lorsque - f - 0,0 - p - f 0,0 ou ecore, e multipliat par, f - 0,0 p f 0,0. Doc, ici, au iveau de cofiace 0,95, o a 0,50 p 0,54. c. O peut e déduire que Léo a de très boes chaces d être élu. 3. Pour u sodage de taille 000, o aurait au iveau de cofiace 0,95 : Chapitre 9. Échatilloage 5

6 0,5 - p 0,5 c est-à-dire, approximativemet, 0,49 p 0,55. Das ce cas, la situatio est mois assurée pour Léo. 3. Le programme fourit la fréquece du caractère «désire acheter le produit» sur u échatillo de taille 00 das ue populatio où la fréquece du caractère est 0,45. Cette simulatio est répétée 50 fois et les 50 fréqueces obteues vieet se rager das ue liste.. Le graphique doe les 50 fréqueces du caractère fouries par les 50 échatillos de taille 00. Les droites ot pour équatios : y 0,35 et y 0, Il suffit de remplacer 00 par 0 das la troisième lige et das l avat derière lige de chaque programme. 33 Lioel JOSPIN, J J 3. Pour Jacques CHIRAC, J 0,58 0,, pour 0,48 0,, pour Jea-Marie LE PEN, 0,08 0,7. Parmi les sodages de taille 000 fourissat ue fréquece f e faveur d u cadidat, l itervalle J associé cotiet le pourcetage p des itetios de vote pour ce cadidat das 95 % des cas. Ces trois itervalles cotieet doc les pourcetages d itetios de vote respectifs des trois cadidats, au iveau de cofiace 0,95.. Le poit de vue réaliste est celui du statisticie : la plage commue à J et J 3 red possible, au iveau de cofiace 0,95, que le pourcetage d itetios de vote e faveur de LE PEN soit supérieur à celui e faveur de JOSPIN. Travail persoel QCM 34 Réposes b. et c. 35 b. et c. 36 a. 37 a. et c. 38 a. 39 b. VRAI/FAUX 40 a. Faux b. Faux 4 a. Vrai b. Faux 4 Faux 43 Faux 44 Faux 45 Vrai 46 Vrai 47. a. La populatio étudiée est l esemble des cliets ayat utilisé ue certaie Hot-Lie. D après ce prestataire, la proportio p des cliets o totalemet satisfaits est 0 %. b. L échatillo iterrogé a pour taille 300 la fréquece de «NTS» sur cet échatillo est égale à 93 f 0, a. Les bores de I, sot à 0 - près : 0,4 et 0,6. b. I est l itervalle de fluctuatio de la fréquece f de «NTS» fourie par u échatillo de taille 300, au seuil de 95 %. Lorsqu o pred au hasard u échatillo de taille 300 das la populatio étudiée, la fréquece f de «NTS» fourie par cet échatillo est das I, avec ue probabilité au mois égale à 0, La fréquece de «NTS» observée sur l échatillo prélevé est égale à 0,3 elle appartiet pas à l itervalle I. Au risque 5 % de se tromper, o peut cosidérer que cet importat écart etre f 0,3 et p 0,0 est pas dû au seul hasard. O peut douter de l exactitude de la proportio p aocée par le prestataire. 48. Pour au mois 95 % des échatillos de taille prélevés das cette populatio où la fréquece du caractère est p, o sait que p - f p, soit ecore p - f et f p, soit p f et f - È p qui équivaut à f - f cotiet p.. a. Si o suppose que p 0,5, alors l itervalle de fluctuatio de f au seuil de 95 % est : È I - 0,5 0,5 0,5 0, Comme la fréquece du caractère observé, qui est égale à /3 sur l échatillo prélevé, appartiet à l itervalle I, il y a pas lieu de cosidérer, au seuil 0,95, que cet échatillo est «aormal». b. L échatillo des 65 lacers de deux pièces fourit 50 ue fréquece de «pile» égale à f 65 0,4. L itervalle de cofiace de p au iveau 0,95 associé à cet échatillo est È 0,4-0,4 0, 0, O peut dire, au iveau de cofiace 0,95 que la probabilité p d obteir «pile» e laçat ue fois cette pièce est comprise etre 0, et 0,8. Remarque : o a vu das le chapitre précédet que l o a p 0,5 das le cas d ue pièce supposée bie équilibrée. Approfodissemet 49. a. f 0,54. b. No, car cette fréquece fourie par u échatillo de taille 00 fluctue au hasard d u échatillo à l autre 6

7 elle e peut être reteue comme fréquece d avis favorables sur la populatio toute etière.. a. Si p est la proportio d avis favorables das la populatio, l itervalle de fluctuatio de f sur u échatillo de taille au seuil de 95 % est l itervalle È I - p p. b. D après le a., parmi les échatillos de taille fourissat chacu ue fréquece f d avis favorables, o a È das 95 % des cas : f Œ p - p Cela sigifie que das 95 % des cas, l écart etre f et p reste iférieur ou égal à, ce qui s écrit ecore : p È f Œ - f. Disposat ici d ue fréquece f 0,54 sur u échatillo de taille, o e déduit que p appartiet à l itervalle È J - 0,54 0,54 au iveau de cofiace 0, a. Au iveau de cofiace 0,95, pour avoir p 0,5, il suffit d avoir 0,54-0,5, soit ecore 0,04. b. Le graphique idique que l o a 0,04 lorsque x 600. x E résolvat l iéquatio, o a successivemet : 0,006 ou ecore x 65. x c. Si la taille du sodage était 650 avec f 0,54, o aurait 0,04 et p appartiedrait à l itervalle J 0,50 0,58, au iveau de cofiace de 95 %. Le stade serait doc costruit. 50. Les itervalles de fluctuatio au seuil de 95 % de la fréquece d ifectios osocomiales pour les hôpitaux A et B, sot respectivemet : I 0,006 0,093 et I 0,037 0,06.. Comme p = 0,0497, cela est vérifié pour l itervalle I mais pas pour l itervalle I. Au risque de se tromper de 5 %, o peut doc cosidérer que la situatio observée das l hôpital B est «aormale». 5. p 0,5 p 0,5 p 3 0,.. I 0,4 0,6 I 0,5 0,35 I 3 0 0,. 3. La probabilité que la fréquece de gai observée sur 00 lacers appartiee à l itervalle de fluctuatio peut être évaluée à : 0,960 pour la roue, 0,987 pour la roue et 0,998 pour la roue 3. Cela est e accord avec la théorie qui aoce que cette probabilité est supérieure ou égale à 0, a. f 0,53 à 0 - près. 048 b. Si p est la fréquece des itetios de vote e faveur du maire sortat das la populatio, o sait par propriété que, parmi les échatillos de taille fourissat ue fréquece f d opiios favorables au maire sortat, 95 % au È mois se trouvet das l itervalle I - p p. Cela sigifie que das 95 % des cas, l écart etre f et p reste iférieur ou égal à, ce qui s écrit ecore : p Œ È f - f. c. Ici, avec 048 et f 0,53, l itervalle de cofiace de p (ou fourchette de sodage de p) au iveau 0,95 est : È J - 0,53 0,53 0,499 0, Le maire a des chaces d être élu, mais la prudece est de mise!. a. Les itervalles de cofiace doat le maire sortat gagat sot ceux qui sot etièremet situés audessus de la droite d équatio y 0,5. Le graphique e motre. b. Sur cette simulatio, le pourcetage des itervalles de cofiace coteat p 0,495 est aussi 98 % (coforme à la théorie : au mois 95 % ) f 0, À partir de cette fréquece f, certes iférieure à 0,5, Arthur e peut affirmer qu il a raiso, car d u échatillo de taille 64 à u autre, la fréquece fluctue.. a. Si p est la probabilité de l évéemet A lorsqu o réalise le tirage des ciq cartes au hasard, o sait par propriété, que sur des échatillos de 64 répétitios de cette expériece, la fréquece f de A appartiet, das 95 % des cas au mois, à l itervalle È I - p p p - 0,5 p 0, Il reste à établir (algébriquemet ou graphiquemet) que f ŒI équivaut à p ŒJ avec J f - 0,5 f 0,5. b. Sur l échatillo d Arthur, o a f 0,4065et doc, o peut dire, au iveau de cofiace de 95 %, que p est das l itervalle 0,85 0,535. Cet itervalle de cofiace, e permet pas de dire si, au iveau 0,95, si p est iférieure ou supérieure à 0,5. c. La valeur exacte de p est 0,5 o peut vérifier qu elle appartiet bie à l itervalle J. De plus, c est Zoé qui avait raiso! Chapitre 9. Échatilloage 7

8 54. Les trois premières liges (Pour FiPour) 3. b. Programmes (voir aussi les programmes et les permettet de remplir la liste L de 30 ombres etiers aides sur le site) : tirés aléatoiremet etre et 365, chacu repérat u AlgoBox jour de l aée (supposée o bissextile). La variable Doubl est esuite iitialisée à 0. La structure itérative pricipale Tatque FiTatque teste si deux ombres de la liste L sot égaux. Das ce cas, Doubl pred la valeur Doubl +. À la fi de l algorithme, est affiché le coteu de la variable Doubl qui peut être doc 0 ou : l affichage de 0 correspod au cas où il y a pas deux ombres égaux das la liste L et au cas où il y a (au mois) deux ombres égaux das la liste L. 3. a. Aalyse : l algorithme précédet correspod au tirage d u échatillo de taille 30 et revoie das la variable Doubl la valeur si deux persoes (au mois) ot leur aiversaire le même jour et 0 sio. Pour simuler 00 fois le tirage d u tel échatillo, il faut doc ajouter ue structure itérative. O coaît le ombre de répétitios, 00, il s agit doc d ue structure Xcas Pour FiPour. Il faut de plus icrémeter la variable Doubl de à chaque échatillo présetat deux persoes (au mois) ayat leur aiversaire le même jour. Il suffit pour cela de e pas réiitialiser Doubl à 0 à chaque échatillo mais de l iitialiser seulemet au début de l algorithme. O obtiet doc l algorithme suivat : VARIABLES : Doubl, i, j, k ombres, L liste INITIALISATION : Doubl pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour k allat de à 00 Faire Pour i allat de à 30 Faire L(i) pred la valeur EtAlea( 365) FiPour i pred la valeur j pred la valeur Tatque i j et i 30 Faire i pred la valeur i + j pred la valeur Tatque L j Li Faire j pred la valeur j FiTatque FiTatque Si j i Alors Doubl pred la valeur Doubl FiSi FiPour SORTIE : Afficher Doubl Remarque : i état réservé pour les ombres complexes, il a été remplacé par. Scratch (pour 00 échatillos, l exécutio du programme pred près de 5 miutes) 8

9 Calculatrices Pour raccourcir le temps d exécutio du programme, o a programmé ci-dessous le tirage de 0 échatillos seulemet. Il suffira de regrouper plusieurs résultats das la classe. TI Casio Remarque : le choix a été fait das cet algorithme de e pas utiliser des algorithmes de tri de listes déjà implatés das les calculatrices. Résultat : sur 00 échatillos, o obtiet très souvet des fréqueces voisies de 0,70. c. L itervalle de fluctuatio au seuil 95 % est p - 0, p 0,. Si p 0,5, o a p 0,6 doc cet itervalle e peut coteir des fréqueces supérieures à 0,6. O peut cosidérer, avec u risque d erreur de 5 % que si la fréquece observée est 0,70, elle est pas compatible avec ue fréquece p iférieure à 0,5. O pourra recosidérer évetuellemet le choix fait ituitivemet à la questio. 55. Ue seule caalisatio sur les ciq coteat de l eau, lorsque le sourcier e choisit ue au hasard, la probabilité de la désiger est p 5 0,.. L itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la fréquece f de boes réposes sur u échatillo de taille 30 est : È I - 0, 0,+ ª 0,0 0, Sur u échatillo de taille 30, dire que f est compris etre 0,0 et 0,38, c est dire que le ombre de boes réposes est compris etre 30 0, 6 et 30 0,38,4, c est-àdire etre 6 et. O pourra doc cosidérer que le sourcier à u do s il doe au mois boes réposes. 56 Das la populatio du comté, la fréquece du caractère «origie mexicaie» est p 0,8. Sur l échatillo de taille 870 des persoes précédemmet covoquées das des jurys, la fréquece de ce caractère 339 est f ª 870 0,39. Il faut étudier si cet importat écart etre f et p peut s expliquer par la fluctuatio au hasard de la fréquece sur des échatillos de taille 870. Par propriété, o sait que parmi les échatillos de taille 870 de cette populatio, 95 % au mois amèet ue fréquece du caractère das l itervalle È I - 0,8 0,8+ ª 0,77 0, Or, das l échatillo cotesté, f 0,39 est loi d apparteir à cet itervalle. Et la probabilité que le hasard «réussisse» cela est iférieure à 5 %! O peut doc sérieusemet peser, à u risque iférieur à 5 % de se tromper, que le recrutemet des jurés das ce comté du sud du Texas est discrimiat à l égard des américais d origie mexicaie. 57 Sur le sodage de taille 30 réalisé par le joural, les fréqueces d itetios de vote e faveur des cadidats sot : f 0,7 pour X, f 0,385 pour Y et f 3 0,345 pour Z. Au iveau de cofiace 0,95, les fourchettes de sodage associées sot : È J - 0,7 0, , soit eviro 0,4 0,30, È J - 0,385 0, , soit eviro 0,36 0,4, È J 3-0,345 0, , soit eviro 0,3 0,37. Ces itervalles permettet d estimer, au iveau de cofiace 0,95, les fréqueces p, p, p 3, d itetios favorables das la populatio pour X, Y et Z, respectivemet. Au vu de ces itervalles : affirmer que Y a de très fortes chaces de faire le meilleur score lors de l électio est très imprudet : il est pas exclu d avoir p3 p. Par cotre, affirmer que Z a de très fortes chaces d être derier paraît statistiquemet fodé.. Avec les mêmes résultats sur u sodage de taille, o peut écrire, au iveau de cofiace 0,95 : 0,7 - p 0,7, Chapitre 9. Échatilloage 9

10 0,385- p 0,385 et 0,345- p 0,345. Pour que les deux affirmatios soiet statistiquemet fodées, il suffit d avoir : 0,7 0,345- et 0,345 0,385-, c est-à-dire 0,075 et 0,040. Il suffit de coserver 0,040 qui équivaut à 4 0,04 et doc à 500. Avec ces mêmes résultats sur u sodage de taille supérieure à 500, ue estimatio serait doc possible, coduisat au classemet : Y, Z, X. 58 Eglish Corer 0

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