Fiche de synthèse ONDES
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- Eugénie Geneviève Robert
- il y a 8 ans
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1 Fiche de sythèse ONDES A) Sigaux temporels ) Valeur moyee et valeur efficace valeur moyee : v( t) v( t) dt, o vérifie la dimesio, c'est aussi la partie sigal cotiu du sigal. alt crete La partie variable du sigal est défiie par l'égalité : v V v v v v v = v =V si v ( t) V cos( t) alt max alt Valeur crete à crete v = v v v V si v ( t) V cos( t) altcc alt crete à crete alt max alt mi alt V valeur efficace : Veff Vrms Vroot mea square valt ²( t) dt si valt ( t) V cos( t) AC alterative courat,e appuyat cette touche de l'oscilloscope, o met e place u filtre passe haut qui e laisse passer que V alt et bloque le cotiu. DC cette touche direct courat, laisse passer l 'itégralité du s igal. alt alt ) Déphasage Cosidéros deux sigaux X ( t) C cos( t) C cos( t) X ( t) C cos( t ) C cos t O pose qui exprime ue règle de 3, les proportios devat etre idetiques, alors : O peut voir que si le premier sigal X a so argumet qui s'aule à la date t = Le deuxième X a so argumet qui s'aule à la date t = - pour laquelle so argumet t + O peut doc dire que le sigal X (t) est e avace sur le sigal X ( t) est effectivemet ul X ( t) Ccos t Pour cette raiso la quatité est appelée avace de phase du sigal sur le sigal, u syoyme d'avace de phase est déphasage Remarque : Si o avait travaillé avec la covetio X ( t) Ccos( t ), ce que l'o e fera pas a priori das ce cours, o aurait alors parlé pour de retard de phase t τ t X (t) X (t) t
2 3) Somme de sigaux de fréqueces proches, battemets ' ' ' ' ' ' s( t) s cos( t) s cos( ' t) s cos t cos ' t U battemet e correspod qu à ue demi-période du cosius de fréquece faible. 4) Série de Fourier Soit u sigal s(t) physiquemet réalisable et périodique de période = /. A toute date t où le sigal est cotiu, il est développable, de faço uique, e série de Fourier : A A s t A t B t C t ( ) cos( ) si( ) cos( ) C est à dire qu il s exprime comme la somme de foctios siusoïdales dot la fréquece est u multiple etier de la fréquece du sigal. La composate siusoïdale de même fréquece que le sigal s appelle fodametale, les autres sot les harmoiques. Sigal carré impair : st () 4A p si (p ) (p ) t Sigal triagulaire pair : st () 8A cos (p ) (p ) p t t t valeur efficace rappel S s²( t) s²( t) dt héorème de Parseval : S C C car <cos²(t)>=
3 5) Somme de deux sigaux siusoïdaux de même fréquece, Diagramme de Fresel La représetatio de Fresel du sigal siusoïdal est u vecteur tourat à ue vitesse agulaire qui est la pulsatio du sigal représeté et dot la orme est l amplitude de ce sigal. O passe de la représetatio au sigal e projetat sur l axe horizotal. ωt+ ωt+ A cos(ωt+ ) A cos(ωt+ ) A cos(ωt+ ) Calcul graphique géométrique à partir des représetatios de Fresel de l amplitude du sigal résultat de la somme : V V V V. V V V. V V. V V. V V V V. V cos( ). A= A ² A ² A A cos( ) La différece des phases apparait de faço évidete comme l agle etre les deux vecteurs tourats du diagramme de Fresel. Calcul avec formule trigoométrique : A cos( t ) A cos( t ) A cos( t)cos( ) A si( t)si( ) A cos( t)cos( ) A si( t)si( ) A cos( ) A cos( ) cos( t) A si( ) A si( ) si( t) A cos( ) A cos( ) A si( ) A si( ) A ² cos ²( ) A ² cos ²( ) A A cos( )cos( ) A ²si ²( ) A ²si ²( ) A A si( )si( ) A ² A ² A A cos( )cos( ) si( )si( ) A ² A ² A A cos( ) A cos( t ) A cos( t ) A ² A ² A A cos( ) A cos( ) A cos( ) A si( ) A si( ) o pose cos = si = A ² A ² A A cos( ) A ² A ² A A cos( ) A cos( t ) A cos( t ) A ² A ² A A cos( ) cos( t ) la orme est bie A= A ² A ² A A cos( ) Acos( ) A cos( ) A si( ) A si( ) cos( t) si( t) A ² A ² A A cos( ) A ² A ² A A cos( )
4 B) Sigaux spatio-temporels ) Propagatio Défiitio : Ue ode est u phéomèe physique das lequel ue perturbatio locale se déplace das l espace sas qu il y ait de déplacemet de matière e moyee. oute gradeur physique, ulle das l état de repos et apparaissat avec la perturbatio est appelée sigal physique trasporté par l ode. Ode trasverse sur ue corde : cote, expériece de cours Ode logitudiale sur u ressort : abscisse, expériece de cours Propagatio d ue foctio vers la droite f(x-ct)= f(-c(t-x/c))=f(t-x/c)=f(t-x/c) par abus de lagage du physicie qui pese a ue quatité itrisèque, la pressio acoustique par exemple. Si le lieu du max de f c est : quad l argumet s aule, x-ct=, o voit que ce lieu soit x=c*t se déplace vers la droite. ode harmoique : Ue ode acoustique siusoïdale pure est émise e x= - par exemple : U capteur de pressio acoustique p = P - P e x= doe ue siusoïde de période s(x=,t) t Ue série de capteur ombreux et proches à disposés sur u axe qui passe par l émetteur doe ue siusoïde de période =c, si o porte le graphe p(x) à u istat doé ultérieur à l allumage de l émetteur. D après ce qui précède u so pur (siusoïdal) qui se propage selo les x croissats est doc décrit par : t t x x x p( t) pmax cos( t kx) pmax cos( t x) pmax cos( x) pmax cos ( ) pmax cos ( t ) pmax cos ( t ) c avec =c qui relie périodicité spatiale et temporelle k est alors appelé vecteur d ode et = / ombre d odes (parce que c est le ombre de fois où o trouve das u mètre) s(x,t=s) x
5 ) Odes statioaires : Somme de deux sigaux de même fréquece de même amplitude de directio de propagatio opposées. a cos(kx- t)+a cos(kx+ t) =a cos(kx) cos( t) somme a cos(kx- t)- a cos(kx+ t) =-a si(kx) si( t) différece O obtiet ue ode, dite statioaire, qui est le produit d ue foctio spatiale par ue foctio temporelle O l a costruit comme la somme d ue ode progressive droite et d ue ode progressive gauche (ode réfléchie, la réflexio peut se faire avec u coefficiet r = ou bie r=-) Elle motre des miimums de vibratios ici uls les œuds et des maximums les vetres. / Etre les œuds successifs se développet les fuseaux ; ue ode statioaire e trasporte pas d éergie. Positio des œuds et des vetres preos : a si(kx) si( t) comme descriptio de l ode statioaire Nœuds e kx =, x =x + -x = /k= / etre deux œuds successifs preos : a cos(kx) si( t) comme descriptio de l ode statioaire la positio des œuds serait alors décrite par kx = /+, x = /k= / etre deux œuds successifs, même résultat heureusemet! Positio des vetres : kx = + /=(+/), o dit abusivemet demi-etier x = /k= / etre deux vetres successifs, même résultat ecore.
6 3) Résoace ou modes propres corde de Melde : Expériece de cours : Bie que l éergie soit apportée par u vibreur e x=, l amplitude de vibratio de celui ci état petite devat l amplitude des fuseaux, o cosidèrera que à la positio x= o a u œud. O e a u autre au poit d attache x=l, bie sur. O costate l apparitio de résoaces quatifiées. pour que si(kx)si( t) soit tel que si(kl)= cotraite à l extrémité il faut que kl= aisi comme =ck c c c L que l'o otera c L L L Ue autre écriture de la même chose : L Repreos kl= que l'o ote k L L L = pour qu'il y ait résoace c Les modes de vibratio de la corde sot quatifiés (multiples etiers de ) ce sot les seuls possibles. Les autres L pulsatios e devraiet pas doer pas lieu à des odes statioaires. E fait o a pas teu compte des frottemets de la corde sur elle même et de la corde das l air, si bie que e fait la corde vibre quelque soit la c fréquece, mais avec le ombre de fuseaux le plus proche possible de ce qui correspodrait à la relatio L et avec ue amplitude d autat plus grade que cette coditio est proche d être réalisée, c est ce que l o appelle u phéomèe de résoace. (O a déjà costaté qu u émetteur US ou bie u HP résoet à ue fréquece bie détermiée chacu, la corde de Melde possède elle plusieurs fréqueces de résoace) Bie que cela e correspode pas au dispositif expérimetal de la corde de Melde, o va evisager ici deux cas complémetaires de résoace : Premier cas ; Cas ou e x= u œud est imposé et e x=l u vetre est imposé si(kx)si( t) doit être tel que si(kl)= soit : kl L L L 4 4 c c L L : O a ue quatificatio affie c c 4 4L L Secod cas ; Cas ou e x= et x=l des vetres sot imposés. L expressio si(kx)si( t) e coviet pas, il faut predre cos(kx) cos( t), o a alors bie u vetre e x= Pour que l o ait aussi u vetre e x=l, il faut que cos(kl)= soit : kl L L L c L L c c L O a ue quatificatio liéaire idetique à celle qui apparaissait avec deux vetres imposés.
7 4) Iterférece à deux odes, M r Dispositifs expérimetaux : Cuve à ode et frages de Youg. Superpositio de deux odes progressives circulaires e tout poit du pla S r O ajoute deux sigaux sychroes issus des sources S et S (de même pulsatio) dot les phases sot bie stables (pas de saut de phase itempestifs, les sigaux sot bie décrits par : r r s ( t) Acos( t ) s ( t) Acos( t ) O dit que les sources sot cohéretes. Et o s itéresse à la moyee temporelle du carré du sigal résultat, c est ce que l o appelle l itesité. S I s²( t) r r s ( t) Acos( t ) s ( t) Acos( t ) p q p q r r cos( p) cos( q) cos( )cos( ) s ( t) s ( t) Acos( )cos( t ) avec r r différece de marche sur cette formule déjà o voit que les oscillatios de la pressio acoustique s'aulet e des poits tels que : r r Il e sera de meme de l'iteité car : s( t) s( t) 4 A² cos ²( )cos ²( t ) cos I s( t) s( t) 4A² cos ²( ) A² cos ²( ) A² A² cos I A² cos avec Les lieux d itesité costate sot les lieux tels que = r -r soit costat, ce sot des braches d hyperboles Lorsque / = (+ ½ ), o dit que la différece de marche est demi-etière, o a des iterféreces destructives. Lorsque / =, o a des iterféreces costructives. Plutôt que de faire le calcul ci-dessus pour sommer les sigaux s (t) et s (t), o peut utiliser la costructio des vecteurs de Fresel V (t) et V (t) dot s (t) et s (t) sot les projetés horizotaux et pour laquelle o a vu que l amplitude est : V V V V. V V V. V V. V V. V V V V. V cos( ). Ici doc : V V A² A² A² cos ( r r ). A cos. cos a cos a cos ² a si ² a cos ² a cos ² a V V A cos ². A cos o a bie iterférece costructive quad = et destructive quad = ( + ) Remarque : si les deux sources ot pas la même pulsatio, alors les iterféreces e sot pas possible vous étudierez cela l a prochai.
8 III) Loi de la diffractio U laser éclaire u trou circulaire Lorsqu u faisceau d odes parallèles icidete ue pupille (trou), les rayos sélectioés e se propaget pas uiquemet e lige droite comme le décrirait les lois de l optique géométrique, u faisceau diverget est gééré. O retiedra de la diffractio que la dispersio agulaire est de l ordre de avec si où a est le diamètre a de la pupille diffractate. Ceci correspod à la tâche la plus brillate au cetre. La diffractio est doc d autat plus importate que la pupille est petite. E fait le phéomèe est difficile à décrire mathématiquemet quad est iférieure à a. a Boomer et weeter, la diffractio du so est optimisée.
9 IV) Loi de Malus I= I cos² Soit ue ode de lumière de champ électrique E polarisée rectiligemet selo u z Elle est obteue avec ue lumière aturelle doc o polarisée (toutes les polarisatios sot représetées) à laquelle o présete u polariseur P. Cette polarisatio rectilige u z recotre esuite u polaroïd qualifié d aalyseur de directio de trasmissio U l agle etre les deux vecteurs est oté. Motrer que l itesité lumieuse trasmise varie selo I= I cos² ou I est l itesité icidete sur le polariseur. O fait la projectio de E u z sur la directio de l aalyseur U, c est le cosius de l agle etre polariseur et aalyseur qui iterviet. Efi, l itesité lumieuse est la valeur moyee du carré de l amplitude. z P y U P x La lumière qui icidete le polariseur est aturelle, elle est pas polarisée, elle cotiet toutes les directios de polarisatio possibles trasverses, c est à dire perpediculaires à la directio de propagatio x Le polariseur P sélectioe la directio u z aisi après P l ode s écrit E( x, t) E cos( t kx) u z elle a pour itesité I E² Ecos( t kx) dt Après le polariseur P E( x, t) Ecos( t kx) Ucos ou U est la directio sélectioée par P E ² Aisi l itesité deviet : E ² I E² cos ² I cos ²
10 V) Deux exercices icotourables ) Mesure de la vitesse du so das u tromboe de Koeig Le tromboe de Koeig est u dispositif de laboratoire permettat de faire iterférer deux odes soores ayat suivi des chemis différets. Le haut parleur, alimeté par u géérateur de basses fréqueces émet u so de fréquece f=5hz. O mesure le sigal à la sortie avec u oscilloscope. E déplaçat la partie mobile o fait varier l amplitude du sigal observé. Elle passe deux fois de suite par ue valeur miimale lorsqu o déplace de d=.5cm mm. Détermier la valeur de la célérité du so das l air à C, température à laquelle l expériece est faite Corrigé tromboe de Koeig : Le micro reçoit deux odes soores e retard de d/c Pour que les iterféreces soiet destructives, il faut que le déphasage lié à la différece de marche soit tel que Φ=πδ/λ=π+π soit πd /λ=π+.π.d /λ=+. 4d /λ=+. d = λ/4 +.λ/ Δd = d + - d =λ/ aisi.5. cm =c/ permet d e déduire c
11 ) Fréqueces propres d u tuyau soore La coloe d air coteue das u istrumet à vet (flûte, clariette ) ou das u tuyau d orgue vibre selo des modes propres correspodat à des coditios aux limites doées. Das ue modélisatio très simple, o evisage deux types de coditios ; Si l extrémité du tuyau est ouverte, la surpressio acoustique est ulle à cette extrémité, car o a la pressio atmosphérique qui s impose. Si l extrémité du tuyau est fermée, l amplitude de la variatio de la surpressio acoustique est maximale à cette extrémité. ) O cosidère u tuyau de logueur L das lequel la célérité des odes soores est c. a) Détermier les fréqueces des modes propres du tuyau lorsque ses deux extrémités sot ouvertes. Représeter schématiquemet la surpressio das le tuyau pour le troisième mode, les modes état classés par fréqueces croissates. b) Même questio, si l ue des extrémités du tuyau est ouvert et l autre fermée. ) Première applicatio : les grades orgues peuvet produire des otes très graves. Calculer la logueur d ode d u so de fréquece 34 Hz correspodat au Do, e preat la valeur de la célérité du so à C das l air soit c=33m/s. a) Calculer la logueur miimum du tuyau produisat cette ote. b) O perce u trou à la moitié du tuyau que se passe-t-il? 3) Deuxième applicatio : o peut modéliser très grossièremet ue clariette par u tube fermé au iveau de l embouchure et ouvert à l extrémité de l istrumet. a) Expliquer pourquoi le so produit par la clariette e comporte que des harmoiques impairs. b) L istrumet est mui d ue clef de douzième qui ouvre u trou situé à ue distace L /3 de l embouchure. Lorsque ce trou est ouvert, la surpressio est ulle e ce poit. Quelles sot das ce cas les logueurs d odes des modes propres du tuyau? Quel est l effet de l ouverture du trou sur la fréquece émise par l istrumet? c) Que se passe t-il quad o fait u trou au /3? a Le cours doe pour deux œuds c c L N * L c c c.b Le cours doe pour u œud et u vetre ( ) 4L L 4L c tuyau d orgue AN a ==c/ =.3m L c L c c L L
12 Remarque : si o perçait ce tuyau d u trou e so cetre o imposerait que s y trouve u œud l harmoique cidessous représetée e serait pas perturbée, par cotre la fodametale ci dessus e pourrait survivre car alors le vetre serait détruit E fait toutes les harmoiques impaires seraiet détruites et tout se passe comme si o avait u tuyau fermé ouvert de logueur L/. L ouverture du trou a multiplié par deux la fodametale et les harmoiques ( octave) 3 clariette fodametale et harmoiques impaires c c c c fodametale 4L L 4L 4L c c 4 ( ) c L N 4L L 4L c c c c 4L 3 première harmoique 3 première harmoique L 4L L 4L 3 4 Si o ouvre u trou e L/3, o sera à /4 de la paroi : o a bie u œud de pressio ici cette première harmoique = subsiste, par cotre la fodametale = disparait, tout se passe comme si o avait u tube de logueur L/3. Si o ouvre u trou e L/3, i la fodametale i la première harmoique appréciet, par cotre la première harmoique souffre plus que la fodametale car elle devrait posséder u vetre amplitude e L/3 alors que la fodametale est à cos( ) cos( ) / amplitude / 3 3 O supprime doc l harmoique.
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