Exponentielle exercices corrigés

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1 Trmial S Foctio potill Ercics corrigés Fsic 996, rcic Fsic 996, rcic 3 3 Fsic 996, rcic 4 4 Fsic, rcic Fsic, rcic Baqu Epo + air, Amériqu du Nord Basiqu, N Calédoi, ov Basiqus U foctio 8 9 U rcic stadard U suit d foctios 3 l t p 5 4 Rchrch d foctio 6 5 Etud d foctio hyprboliqu 8 6 U itégral pu gagat 7 Tagt hyprboliqu 8 Tagt hyprboliqu t primitivs 4 9 Atills 9/8 7 poits 7 ROC+foctio itégral, Am du Nord 7 9 Equatio différtill, équatio foctioll t sius hyprboliqu, La Réuio, jui 4 3 Ep, équatio, suit réc, Am du Sud, jui Ep t air 35 4 Caractéristiqu d Ep t tagts 37 Fsic 996, rcic Soit f la foctio défii sur a f st u bijctio d R * + sur R * + par f( ) = t C sa courb rpréstativ 3 3 ; + 7 b La droit ( ) d équatio = 3 st a d symétri d la courb C c C admt u uiqu tagt parallèl à l a ( O ) t ll st obtu au poit d absciss = 3 d La tagt à C au poit d absciss a pour équatio : y = Corrctio ( 3 ) * a Fau : La foctio f st dérivabl sur R + t f ( ) =, or pour [3, + [, f '( ) car 4 4 * > t > t pour ],3 [ f ( ) < f st pas mooto sur R + t ll réalis doc pas u bijctio b Fau : Si la droit d équatio = 3 st a d symétri d la courb C alors f doit êtr pair das l y = Y X+ 3 X+ 3 rpèr ( I, i, j ) avc I( 3, ) Posos alors Y = f ( X ) = f ( X ) = Doc f = X ( X + 3 ) ( X + 3 ) I ; i, j avc I(3, ) st pas pair das l rpèr ( ) c Vrai : f ( ) ( 3 ) = = pour = 3 car > doc C admt u uiqu tagt parallèl à l a 4 O t ll st obtu au poit d absciss = 3 ( ) d Fau : La tagt à C au poit d absciss a pour équatio : ( ) ( ) ( ) y = f + f = + 3 Fsic 996, rcic 3 Soit f la foctio défii sur R par : a lim f( ) = + + f( ) = + t C sa courb rpréstativ Trmial S F Laroch Epotill rcics corrigés

2 b La droit D d équatio c f st décroissat sur R y = st asymptot à C d L équatio f( ) = a u uiqu solutio sur R Corrctio a Fau : lim = lim = car lim = ( + ) + ( + ) b Vrai : lim f( ) lim + = = doc la droit D d équatio t ll st situé au dssus d C car + > c Vrai : La foctio f st dérivabl sur R ; ( + ) ( ) f '( ) = ( + ) soit ( + + ) ( + ) f '( ) = = ( + ) ( + ) y = st asymptot à C strictmt égativ car somm d du trms strictmt égatifs f st décroissat sur R qui st toujours d Vrai : La foctio f st dérivabl t strictmt décroissat sur R, f()= positif t f()= doc α solutio d l équatio f( ) = égatif f st doc bijctiv t il ist u uiqu rél ] ; [ 3 Fsic 996, rcic 4 Soit f la foctio défii par : f( ) = l( + ) t C sa courb rpréstativ + a f st défii t dérivabl sur R, t pour tout rél o a : b lim f( ) = c L équatio f( ) = a pas d solutio réll d La droit D d équatio y = + st asymptot à C Corrctio a Fau : f ( ) ( + ) ( + + ) ( + ) = = < b Vrai : lim l( + ) = car lim = t l= + c Vrai : D après a f ( ) f '( ) = ( + ) < doc f st strictmt décroissat t d après b) f td vrs doc f < sur R t l équatio a pas d solutio réll das I =, + d Fau : lim = lim = car lim = lim l( + ) = lim l ( + ) = lim + l( + ) Trmial S F Laroch Epotill rcics corrigés

3 doc lim l( ) lim l( ) = + = t pour fiir lim f( ) ( ) + + = Coclusio : la droit D d équatio y=+ st pas asymptot à f() mais la droit d équatio y = st asymptot à f() 4 Fsic, rcic 6 Pour tout rél m, o cosidèr l équatio (E m ) : m = a L uiqu valur d m pour laqull = st solutio d l équatio (E m ) st m = b Pour tout valur d m, l équatio (E m ) admt au mois u solutio c Si <m<, l équatio (E m ) a du solutios positivs d Si m>, l équatio (E m ) a u uiqu solutio Corrctio a Fau : Si = alors l équatio (E m ) s écrit b Fau : Posos X = >, o a alors l équatio m = soit m = X X m = où = 4+ 4m + + m O obtit au mois u solutio pour m tlls qu X = = + + m t X = + m Si m< il y a pas d solutio c Fau : X st évidmmt positiv Etudios l sig d X : + m > > + m m< Doc pour < m < il y a du solutios X t > t ( m ) = l + < l soit < X positivs t o obtit ( m ) = l + + > l soit d Vrai : Si m>, + m < doc X = > a pas d solutios t + + m > par coséqut ( m ) = l Fsic, rcic 4 Soit f la foctio défii sur ] ; + [ par : Répodr par vrai ou fau justifiat sa répos A lim f( ) = + + ² f( ) = t g défii par : g() = 3 B la droit d équatio y = st u asymptot à la courb rpréstativ d f quad f td vrs + C La foctio dérivé d f t la foctio g ot l mêm sig D La foctio f attit u miimum pour = Corrctio A : FAUX ² lim f( ) lim = lim + + = = + car B : VRAI lim = t lim = (théorèm) + + La répos st das la qustio précédt ; comm lim f( ) =, par défiitio, la droit d équatio y = st asymptot à la courb C : VRAI ² f( ) = = ; f st dérivabl sur R* + Trmial S 3 F Laroch Epotill rcics corrigés

4 3 ( ) f '( ) = + = = g( ) ² ² ² Das la msur où o compar f t g sur l itrsctio d lur domai d défiitio (R*+), ls du foctios ot l mêm sig D : FAUX La foctio f s aul pas, ll admt doc pas d miimum pour = Rmarqu : f() =, la courb coup doc l asymptot, mais aussi 6 Baqu 4 L pla st rapporté à u rpèr orthoormal ( O; i, j ) Soit f la foctio défii sur R par : f( ) =, +, +, 6 Fair apparaîtr sur l écra d la calculatric graphiqu la courb rpréstativ d ctt foctio das la fêtr [ 5 ; 4] [ 4 ; 4] Rproduir l allur d la courb obtu sur la copi D après ctt rpréstatio graphiqu, qu pourrait-o cojcturr : a Sur ls variatios d la foctio f? b Sur l ombr d solutios d l équatio f() =? 3 O s propos maitat d étudir la foctio f a Résoudr das R l iéquatio, +, > (o pourra posr b Etudir ls variatios d la foctio f c Déduir d ctt étud l ombr d solutios d l équatio f() = = X pour résoudr) 4 O vut rpréstr, sur l écra d u calculatric, la courb rpréstativ d la foctio f sur l itrvall [,5 ;,5], d faço à visualisr ls résultats d la qustio 3 Qulls valurs trêms d l ordoé y put-o choisir pour la fêtr d la calculatric? Corrctio a f smbl croissat b L équatio f() = smbl avoir u sul solutio 3 a, +, > do X,X +, > ; chrchos ls racis : =, 4,4 =, = (,) Trmial S 4 F Laroch Epotill rcics corrigés

5 ,+,,, d où ls racis X = =,, X = = ; o put alors factorisr : X,X +, > ( X,)( X ) > (,)( ) > Ls solutios sot alors ] ;[ ],; + [ ];[ ],; + [ ] ;[ ]l(,); + [ b c f '( ) =, +, =, +, L sig d f st clui calculé précédmmt f() =, +, +,6 =,5,+,6 = ; l(,) l(,) f(l(,)) =, +,l(,) +, 6, 588 Comm f(l(,)) <, f s aul puis u scod fois pour u valur d supériur à l(,) Il y a doc du solutios 4 Il suffit d prdr y mi < f(l(,)) t y ma > comm ci-dssous Par mpl [, ;,] covit très bi 7 Epo + air, Amériqu du Nord 5 5 poits Soit f la foctio défii sur l itrvall [ ; + [ par f ( ) ( )( ) Trmial S 5 F Laroch Epotill rcics corrigés = Sa courb rpréstativ C st tracé das l rpèr orthoormal ci-dssous (uité graphiqu cm) a Étudir la limit d f + b Motrr qu la droit d équatio y = st asymptot à C c Étudir la positio rlativ d C t a Calculr '( ) f tmotrr qu f '( ) ( ) = + b E déduir qu, pour tout rél strictmt positif, f '( ) >

6 c Précisr la valur d f '( ), puis établir l tablau d variatios d f 3 À l aid d u itégratio par partis, calculr l air, primé cm, du domai pla limité par la courb C, la droit t ls droits d équatios = t = 3 4 a Détrmir l poit A d C où la tagt à C st parallèl à b Calculr la distac, primé cm, du poit A à la droit Corrctio a E +, td vrs + t td vrs car b ( ) td vrs ; f a pour limit + f( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) : avc ls croissacs comparés, tout l mod vrs, la droit d équatio y = st bi asymptot à C mmè c Sig d f( ) ( ) = ( ) : lorsqu c st positif, doc C st au-dssus d ; lorsqu c st égatif, doc C st dssous d f '( ) = ( )' + ( ) ' = + ( ) = + d où 3 a ( ) ( ) f '( ) = + ( ) Trmial S 6 F Laroch Epotill rcics corrigés

7 b Comm st positif, > t positiv c f '() = + ( ) = > < < = < > doc f st Comm il faut calculr 3 ( ) d : o pos u = u' = v' = v = ( ) d ( ) d 3 = = = = Comm l uité d air st d cm cm, soit 4 cm, o a doc ( ) d où 3 3 4,87 cm 3 a La tagt à C st parallèl à lorsqu f '( ) = : mêms cofficits dircturs ; o a doc f '( ) = + = = ( ) = = L poit A a pour coordoés t ( ) f() = ( ) = b La distac du poit A à la droit a+ by+ c = st a + by + c A a A + b d où otr distac st 5 ; ici a pour équatio cartési y = ( ) + ( ) =, soit cm : 5 f f Basiqu, N Calédoi, ov 4 5 poits O cosidèr la foctio f défii sur R par f( ) = O ot (C) sa courb rpréstativ das l pla rapporté au rpèr orthogoal ( O; i, j), l uité graphiqu st cm sur l a ds abscisss t 5 cm sur l a ds ordoés Parti A Soit g la foctio défii sur R par g( ) = Etudir ls variatios d la foctio g sur R E déduir l sig d g Justifir qu pour tout, > Parti B a Calculr ls limits d la foctio f + t b Itrprétr graphiqumt ls résultats obtus a Calculr f '( ), f désigat la foctio dérivé d f b Etudir l ss d variatio d f puis drssr so tablau d variatio 3 a Détrmir u équatio d la tagt (T) à la courb (C) au poit d absciss b A l aid d la parti A, étudir la positio d la courb (C) par rapport à la droit (T) 4 Tracr la droit (T), ls asymptots t la courb (C) Corrctio Parti A Trmial S 7 F Laroch Epotill rcics corrigés

8 g'( ) = st positiv lorsqu ; g () = = : comm g st décroissat avat t croissat après, g st toujours positiv Comm g( ), o a > (cci motr qu f st défii sur R) Parti B a lim f( ) = lim = lim = = ; lim f( ) = lim = lim = = b O a u asymptot horizotal : y = t u autr + : y = a ( ) ( ) + ( ) f '( ) = = = ( ) ( ) ( ) b f st du sig d 3 a y f() = f '()( ) y = + ( ) g( ) b f( ) = = = = Comm g st positiv, aisi qu, f( ) st du sig d, soit positif avat (C st au-dssus d T), égatif après (C st dssous d T) 4 f + f + 9 Basiqus Ercic Soit f t g ls foctios défiis d ] ; + [ das R par : Trmial S 8 F Laroch Epotill rcics corrigés

9 a Démotrr qu b Factorisr g() + f( ) = + t g( ) = 5 + f( ) = + + = + c Détrmir l sig d la dérivé d f Corrctio + + a + + = + = + = f( ) ( ) = + = + = f( ) ; ( ) b g( ) = 5 +, X =, = 5² 4 = 5 6 = 9 = 3², g( ) = ( )( ) c f( ) = + +, X 5± 3 X =, 4 X = =, = = ( ) ( + ) 5 + g( ) f '( ) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st doc du sig d g() t f st doc égativ tr l t l, positiv aillurs Ercic Démotrr qu qul qu soit l rél o a : l( + ) l( + ) = Corrctio + + l( + ) l( + ) = l = = + = ( + ) + + Ercic 3 Résoudr ls systèms : y 3 = 5 a y = 4 Corrctio l + l y = l4 b y = + = + y 3 = = 3 = 3 = 3 4 = 3, = 8, = 3, y y y, S = {(3 ;)} = = 3 = 9 y = l + l y = l4 l y = l4 y = + y =, soit Soit à résoudr l équatio : X² SX + P =, y = 6 + y = X² + X + = ( X + )² = X = = = y Or, bi évidmmt, ls valurs égativs sot clus car l st pas défii sur R doc S = U foctio O cosidèr la foctio g défii sur R par g( ) = ( + ) Trmial S 9 F Laroch Epotill rcics corrigés

10 Soit C la rpréstatio graphiqu d la foctio g das l rpèr orthoormal (O; i, j), uité graphiqu cm Calculr la dérivé g d g Motrr qu g () st du sig d ( ) E déduir ls variatios d g Motrr qu : a lim g( ) = + b lim g( ) = t précisr l'asymptot à C corrspodat + 3 Tracr la courb C das l rpèr (O; i, j) O placra particulir ls poits d la courb d'abscisss rspctivs ; ; ; t 3 4 a Par u lctur graphiqu, idiqur, suivat ls valurs du ombr rél, l ombr d solutios d l'équatio g() = b Prouvr rigourusmt qu l'équatio g() = admt u solutio α t u sul Prouvr qu α appartit à l'itrvall [ ; ] c Motrr qu α vérifi la rlatio α = Corrctio g( ) ( ) = + α g ( ) = ( + ) + ( + ) ( ) = ( + ) ( ) = ( + )( ) a b X lim g( ) = lim = lim X = + + X lim g( ) = lim = lim X = + + C a u asymptot horizotal + 4 a Si <, pas d solutios ; si =, u sul solutio : =, si < < 4/, 3 solutios, si = 4/ : du solutios dot =, fi si > 4/, u sul solutio b Si >, f() st toujours ifériur ou égal à 4/ (<), doc f() = a pas d solutio sur [ ; + [ Lorsqu <, f st cotiu mooto strictmt croissat d ] ; [ vrs ] ; + [ Comm st das ct itrvall, il ist u sul valur d pour laqull f() = Trmial S F Laroch Epotill rcics corrigés

11 Claculos f( )=7,39 t f( )= ; comm < < 7,39 o a < α < c Nous savos qu α α α α + = f( α) = ( α + ) = ( α + ) = α + = α choisit la raci égativ, soit α = U rcic stadard α ; comm α < o Soit f la famill d foctios défiis sur [, + [ par f ( ) = + où st u rél strictmt positif qulcoqu t g la famill d foctios égalmt défiis sur [, + [ par g( ) = O ot C la courb rpréstativ d O; i, j, uité graphiqu : cm Ss d variatio d g f das l rpèr orthoormal ( ) a Calculr la dérivé g d g ; vérifir qu g ( ) st toujours strictmt positif b Calculr la limit d g ( ) quad td vrs + c Déduir d c qui précèd l istc t l'uicité d'u ombr rél α > tl qu g( α ) = Dor u valur approché à près d α t d α d Étudir l sig d g ( ) sur [, + [ Motrr qu f ( ) = g( ) ; déduir l ss d variatio d f Comportmt asymptotiqu d f + a Détrmir la limit d f ( ) + b Détrmir l sig d la courb d'équatio 3 Costructio d f f ( ) t sa limit + Itrprétr graphiqumt c résultat ; o ot P y = a Drssr l tablau d variatio d f Précisr l sig d f b Précisr l équatio d la tagt T à C au poit d absciss c Prouvr qu f ( α ) = α ( α + ) d O prd = : motrr qu l poit d coordoés ( ; f ( )) o dora l équatio Tracr das l mêm rpèr T, P, Q t C Corrctio f( ) = +, g ( ) = Ss d variatio d g a g ( ) = + st toujours > puisqu b Comm c O a l st aisi qu α α appartit à u parabol td vrs + la foctio g ( ) s comport comm t td doc vrs + Q dot g () = = qui st égatif t lim g( ) = + qui st positif ; comm g st cotiu, + mooto strictmt croissat ll s aul u sul fois Calculos ds valurs approchés d α, solutio d = : o a,35< α <,35 g () g (),357775,6E 5,33579,5888,358346,6696,48848,4454 Trmial S F Laroch Epotill rcics corrigés

12 D mêm o obtit la solutio d 4 = :,3 < α <,5 d Comm g st croissat, o a < α g ( ) < g ( α ) = t > α g ( ) > g ( α ) = Il st immédiat qu f ( ) = = g ( ) ; f st doc décroissat avat α t croissat après Comportmt asymptotiqu d f + a Là cor td vrs + doc f s comport comm td doc vrs + b Comm f( ) t =, ctt prssio st positiv t td vrs à lifii La courb P st doc asymptot d C t C st au dssus d P 3 Costructio d f f f + α + f ( α ) + a Comm st positif aisi qu, f ( ) st positiv b O a f () = t f () = d où la tagt : y = + α c g ( α ) = = α doc d = : ( ) = + doc ( ; f ( )) f α α α α α α α α f ( ) = + = ( + ) α α appartit à la parabol d équatio y = + Vous pouvz chagr la valur d t voir égalmt c qu fait f lorsqu st égatif U suit d foctios f défii sur [ [ Pour tout rél strictmt positif, o cosidèr la foctio ;+ par f ( ) = l + Soit C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthogoal ( O ; i, j ) ( ) (uités : 5 cm sur l a ds abscisss, cm sur clui ds ordoés) Trmial S F Laroch Epotill rcics corrigés

13 Etud prélimiair O cosidèr la foctio g défii sur [ [ Etudir l ss d variatio d g ;+ par g( ) = l( + ) E déduir qu, pour tout rél a positif ou ul, l( + a) a Parti A : étud d f Calculr f ( ) t déduir l ss d variatio d f Motrr qu, pour tout d [ [ 3 Drssr l tablau d variatio d f ;+, f ( ) = l + Parti B : étud t propriétés d f Calculr f ( ) t déduir l ss d variatio d f Motrr qu, pour tout d [ [ 3 a Drssr l tablau d variatio d f b Motrr qu, pour tout rél d [, + [, o a f( ) ;+, f( ) l = + E déduir la limit d f + 4 Détrmir u équatio d la tagt (T ) au poit d absciss d C 5 Soit p t m du réls strictmt positifs tls qu p < m Etudir la positio rlativ d C p t C m 6 Tracr ls courbs C t C aisi qu lurs tagts Parti C : majoratio d u itégral Soit λ u rél strictmt positif, o ot A( λ ) l air, uités d air, du domai délimité par l a ds abscisss, la courb C t ls droits = t Sas calculr A( λ ), motrr qu = λ λ A( λ) d Calculr, à l aid d u itégratio par partis, l itégral λ d 3 O admt qu A( λ ) admt u limit + Motrr qu lim A( λ) Itrprétr graphiqumt c résultat Corrctio Etud prélimiair g( ) = l( + ) sur [; + [ : λ g'( ) = = = < doc g st décroissat Comm g () = l = t qu g st décroissat, o a g( ), soit l( + ) Parti A : étud d f ( ) = l( + ) + + f ( ) = = = ; l déomiatur st positif, l umératur st positif lorsqu Doc f st croissat sur [ ; ], décroissat sur [; + [ + Comm = l( ), o a f ( ) = l( + ) l = l = l + Lorsqu td vrs + td vrs (croissacs comparés) doc f td vrs l = Parti B : Propriétés ds foctios f Trmial S 3 F Laroch Epotill rcics corrigés

14 + ( ) f ( ) = = = ; comm st strictmt positif, f a l mêm ss d variatio qu f Avc l mêm calcul qu précédmmt f( ) l = + qui td vrs lorsqu td vrs + 3 a Voir ci-cotr b Comm o l voit sur l T V o a + f( ) f() = l( + ) = l( + ) l = l = l + ; utilisos l iégalité l( + ) avc =, o a l + d où f( ) 4 E O, f () = l= t f () = = d où l équatio d la tagt : y = ( ) + = 5 Calculos f ( ) ( ) l( ) l( ) l( ) l( m fp m p m p ) st positiv lorsqu 6 A la fi Parti C Comm o doit calculr = = + + Ctt prssio + m > + p m > p Doc das l cas prést C p st dssous d C m impossibl, o major f par l + = λ λ λ A( λ) = f( ) d = l( + ) d = l + d, chos à priori d où O itègr par partis avc u =, u' = t v' =, v =, soit λ λ A( λ) d = d λ λ λ λ d = d = λ λ λ λ + = λ + = I( λ) 3 La limit d I( λ ) st assz évidt : λ λ td vrs lorsqu λ td vrs +, I( λ ) td doc vrs Par coséqut comm A( λ) I( λ), o a à la limit A( λ) f f + + l(+) Trmial S 4 F Laroch Epotill rcics corrigés

15 Sur la figur la courb la plus bass corrspod à =, la plus haut à = 3 l t p D après Paris, Bac C, 974 Soit f la foctio umériqu défii sur R par : f( ) = l( + ) l symbol l désigat l logarithm épéri Motrr qu + st strictmt positif pour tout rél Étudir ls variatios d la foctio f Soit (C) la courb rpréstativ, das u rpèr orthoormé, d la foctio f Précisr ls limits d f + t 3 Vérifir qu f( ) = l( + ) t motrr qu f() td vrs u limit lorsqu td vrs + E déduir l asymptot corrspodat d (C) 4 Costruir la courb (C)(o précisra la tagt au poit d (C) d'ordoé ull) 5 Détrmir, utilisat la courb (C), l ombr d solutios rélls d l'équatio d'icou : a par l calcul, b utilisat la courb (C) Corrctio 7 + = 8 + = X X + posat X = O a alors = 3 < doc l triôms st positif aisi qu + Trmial S 5 F Laroch Epotill rcics corrigés

16 ( ) f '( ) = = + + l l doc f st du sig d C trm st positif lorsqu l l 3 ( l) = l + = l + = l 4 4 > > > Par aillurs f ( ) E c st facil car E + 3 t + s comport comm tdt vrs O a doc f qui td vrs l= t td doc vrs + + f( ) = l( + ) l( ) = l = l[( + ) ] = l( + ) Ls trms t asymptot d (C) tdt vrs à l ifii, doc f( ) td vrs l= La droit y = st doc 4 La tagt st ( y = ) Figur à la fi 7 5 L équatio + = st équivalt à f( ) = l(7/8) Comm 3 < 7 <, o a a doc du solutios Par l calcul o pos X =, c qui do l équatio d où ls racis X = + = l + X 7 X X + = X X + =, 8 8 = > = l t 3 7 l < l <, il y 4 8 = = l + f + + f l(3/4) 4 Rchrch d foctio Sur la fuill ci-joit, figurt la courb rpréstativ (C) das l rpèr orthoormé ( O; i, j) d'u foctio f défii t dérivabl sur R aisi qu so asymptot (D) t sa tagt (T) au poit d'absciss O O sait qu l poit J( ; ) st l ctr d symétri d la courb (C), qu l'asymptot (D) pass par ls poits K( ; ) t J t qu la tagt (T) a pour équatio y = ( ) + Détrmir u équatio d (D) O suppos qu'il ist du réls m t p t u foctio ϕ défii sur R tll qu, pour tout rél, Trmial S 6 F Laroch Epotill rcics corrigés

17 f() = m + p + ϕ () avc lim ϕ( ) = + a Démotrr qu m = p = b E utilisat l poit J, motrr qu, pour tout rél, o a f() + f( ) = c E déduir, après avoir primé f() t f( ), qu la foctio ϕ st impair d Déduir d la qustio b qu f ', dérivé d f, st pair 3 O suppos maitat qu, pour tout rél, ϕ( ) = ( a+ b) où a t b sot ds réls a E utilisat la parité d ϕ, démotrr qu b = b Calculr f '() c E utilisat l cofficit dirctur d (T), démotrr qu a = d Démotrr qu f( ) = + + Corrctio La droit (D) pass par ls poits J( ; ) t K( ; ), u équatio st doc y = + a lim ϕ( ) = lim f( ) ( m+ p) =, c'st-à-dir qu la droit d'équatio y = m + p st asymptot + + à la courb +, c'st la droit (D) Doc m = p = Trmial S 7 F Laroch Epotill rcics corrigés

18 b L poit J st ctr d symétri d la courb, o a doc la rlatio : f( J + ) y J = y J f( J ), ou cor : f( J + ) + f( J ) = y E rmplaçat par ls coordoés d J, o obtit : f( + ) = f( ) ou cor f() + f( ) = J f ( + ) y f- ( ) Ω c f() = + + ϕ (), f( ) = + + ϕ ( ) doc f() + f( ) = + ϕ () + ϕ ( ) Or, o sait qu f() + f( ) =, o déduit qu ϕ () + ϕ ( ) =, ou cor qu ϕ () = ϕ ( ), c'stà-dir qu la foctio ϕ st impair d f() + f( ) =, doc, dérivat chaqu trm : f '() f '( ) =, soit f '() = f '( ) Coclusio f ' st pair Atttio, la dérivé d f( ) st f '( ) (dérivatio ds foctios composés) a ϕ( ) = ( a+ b) ϕ( ) = ( a+ b) ; comm ϕ st impair, o a a + b = a + b, soit b = b f( ) = + + ϕ( ) = + + a f ( ) = + ϕ ( ) = + a + ( a)( ) = + a( ) c L cofficit dirctur d la tagt au poit d'absciss, soit J, st f '() = ( ) (équatio d (T)) O a doc l'égalité : f '() = + a = a = d Il rst à coclur : f( ) = + + a = + 5 Etud d foctio hyprboliqu Soit f l applicatio d ] ;+ [ das R défii par défii par Parti A g( ) = 5 + Motrr qu, pour tout d ] ;+ [, o a Motrr qu pour tout d ] ;+ [ o a 3 Résoudr l équatio g() = puis factorisr g() Parti B : Etud d f Calculr ls limits d f t + a Motrr qu la droit (D) d équatio b Etudir la positio d (C) par rapport à (D) Trmial S 8 F Laroch Epotill rcics corrigés + f( ) = +, t g l applicatio d R das R f( ) = + + f( ) = + y = + st asymptot à la courb (C) rpréstativ d f 3 Motrr qu la foctio dérivé d f st du sig d la foctio g d la parti A t drssr l tablau d variatio d f 4 Répréstr (C) t ss asymptots das u rpèr orthoormal (uité graphiqu : cm) 5 a Etudir graphiqumt suivat ls valurs du ombr rél m, l itrsctio d (C) t d la droit (D m ) d équatio y = + m b Démotrr par l calcul cs résultats (o pourra utilisr l A)

19 Parti C : Calcul d air E rcoaissat la form u'( ) u( ), détrmir ls primitivs sur ] [ E déduir, utilisat A, ls primitivs sur ] ;+ [ d ;+ d la foctio f( ) ( + ) 3 Calculr l air du domai pla limité par (C), (D) t ls droits d équatio = l t = l 4 Corrctio Parti A : Il suffit d «partir d l prssio d droit» das chaqu cas, ls résultats sot immédiats Parti B : Pour >, > doc lim = ; comm lim + = o déduit qu lim > td vrs, f td vrs + + E + umératur t déomiatur sot équivalts à quotit td vrs t f td vrs + s comportat comm + = + a f( ) + = > b > > doc ( C ) st au-dssus d (D) td évidmmt vrs à l ifii doc asymptot > + = + t comm doc l 3 f st la somm d du foctios dérivabls t st doc dérivabl O dériv à partir d f( ) = + + : ( ) g( ) f = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) f st doc du sig d ( )( ), or > > l t > > l/ = l l f + f + + f(l) 4 ( C ) admt du asymptots : la droit d équatio (=) t la droit ( D ) Trmial S 9 F Laroch Epotill rcics corrigés a m rprést l ordoé à l origi d la droit, cs droits sot touts parallèls

20 Si m<, la droit (D m ) st parallèl à (D) t situé sous (D) doc ll coup pas ( C ) ; si qu (D) coup pas ( C ), c st l asymptot ; si poit b m = o voit m >, il smbl qu la droit (D m ) coup ( C ) u sul m+ M(, y) ( Dm) ( C) + + = + m = m = = m m Doc il faut m + > m ; + ; + m t comm doit êtr positif : m+ m+ m+ m+ = l m m > > > > m m Parti C l( ) d = + K car > f( ) + f( ) d l( ) K' = + = + 3 Comm (C) st au-dssus d (D), l air chrché vaut l4 l l4 f( ) + d = l( ) = l3 l4 l+ l = l3 l l 6 U itégral pu gagat O cosidèr la foctio umériqu f défii sur [; + [ par f( ) = p O ot C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormé ( O; i, j) du pla Pour tout rél α, o cosidèr ls itégrals α J( α ) = d t α α K( α) = p d α L but d l rcic st d étudir, sas chrchr à la calculr, l itégral K( α ) a Détrmir la limit d f + Itrprétr graphiqumt l résultat b Motrr qu la dérivé d f put s écrir d f c Dor l allur d la courb C a Itrprétr géométriqumt l ombr K( α ) b Soit α, motrr qu p K( α) p α α c E déduir qu K( α) 3 a Calculr J( α ) b Démotrr qu pour tout rél α, + f '( ) = p E déduir l ss d variatio p l() K( α) p l() α α 4 Démostratio d cours Démotrr l théorèm suivat : Soit u, v t w ds foctios défiis sur [; + [ tlls qu pour tout rél, u( ) v( ) w( ) Trmial S F Laroch Epotill rcics corrigés

21 S il ist u rél l tl qu lim u( ) = l t lim w( ) = l alors lim v( ) = l Déduir d c qui précèd la limit d K( α ) lorsqu α td vrs + Corrctio [; + [, f( ) = p α, α J( α ) = d t α α K( α) = p d α a E + / td vrs doc f td vrs = L a horizotal st u asymptot d (C) b + f ( ) = p p p p + = + = Comm st supériur à, f st toujours égativ t f st décroissat c α a K( α) = p d corrspod à l air compris tr la courb (C) l a (O) t ls droits α = α, = α b Sur l itrvall [ α,α ], f st décroissat t o a α α α α f( α) = p f( ) f( α) = p α α α α Itégros ctt iégalité : α p α d K( α) p d Or o a α α α α α α α p d = ( α α ) p = p, α α α α α α Trmial S F Laroch Epotill rcics corrigés

22 d où p K( α) p α α Trmial S F Laroch Epotill rcics corrigés α p d = ( α α ) p = p α α α α α α c Comm α α, p() p ( ) p K α p() α α, soit K( α) α ( α) = = l = lα lα = l = l α α α α α 3 a J d [ ] b Comm o a α α, o a p p p α α, soit multipliat par / : p p p α α puis itégrat : l (l)p K( α) (l)p l α α 4 Démostratio d cours : il faut s attdr à tout avc ls méchats profssurs d maths 5 Lorsqu α td vrs +, p α t p α tdt vrs = La limit st doc l 7 Tagt hyprboliqu O; i, j Das tout l problèm ( ) st u rpèr orthoormé du pla P O ot f la foctio défii sur R par f( ) = + O appll C la courb rpréstativ d f das l O; i, j rpèr ( ) Parti A Etud d f: a Calculr ls limits d f t + Justifir vos calculs b Précisr ls équatios ds asymptots Dor l prssio d f () où f st la dérivé d f Drssr l tablau d variatio d f Précisr f() 3 Détrmir u équatio d la tagt à C au poit d absciss = ; o ot T ctt tagt 4 Courb : a Soit u rél qulcoqu Calculr f()+f( ) b Qull propriété d symétri put o déduir d la qustio précédt? c Tracr C, ss asymptots t la tagt T Parti B a Soit u( ) = + Calculr u () b E déduir la primitiv F d f qui prd la valur l = a O pos A = f( ) d Calculr A b Détrmir l rél c tl qu A=lc 3 Pour tout tir aturl o ul o pos a Eprimr v foctio d v + = f( ) d

23 b Calculr lim v Corrctio + Parti A a Rmarquos d suit qu f( ) = = = doc la limit + st limit st + = b Ls asymptots sot y = + t y = ( + )' f '( ) = ( = ) ( qui st évidmmt strictmt égativ + + ) 3 y = f '()( ) + f() = a f( ) + f( ) = + = = ( )( ) = b L poit d coordoés ; st u ctr d symétri d C c f () = = + t la Parti B a u( ) = + u'( ) = u' b O rmarqu qu f( ) = = doc ls primitivs d f sot d la form + u E, o a ( ) F() l = l + + K K = ( ) F( ) = l u + K = l + + K = ( ) = l + = l + + l + = l = l + + a & b ( ) A f d ( ) ( ) v = f( ) d = l + + l + l + + l + = l = A ( ) ( ) Trmial S 3 F Laroch Epotill rcics corrigés

24 O pouvait s attdr au résultat car 8 Tagt hyprboliqu t primitivs + f d + ( ) f ( ) d A U foctio Soit f la foctio défii sur R par : f( ) = 4 + O désig par C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormal (O ; i, j ) (uité graphiqu : cm) Détrmir ls limits d f t + E déduir ls droits asymptots à C Etudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatios 3 Démotrr qu l poit d'itrsctio A d C t d l'a ds ordoés st ctr d symétri pour C 4 Dor u équatio d la tagt à C A 5 Tracr sur u mêm graphiqu : C, sa tagt au poit A, t ss droits asymptots B Sa dérivé O cosidèr la foctio f ', dérivé d f O ot C sa courb das (O ; i, j ) E utilisat l fait qu C admt l poit A comm ctr d symétri, justifir qu f ' st u foctio pair Détrmir ls limits d f ' t + E déduir ls droits asymptots à C 3 Motrr qu f ''( ) = 4 ( + ) 3 4 Tracr C sur l mêm graphiqu qu C 5 Justifir la positio d C par rapport à C C U d ss primitivs a Justifir qu f admt ds primitivs sur R ; étudir ls variatios d f' t drssr so tablau d variatios b Soit F, la primitiv d f sur R qui s'aul pour =, t soit Γ sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormal (O ; u, v ) (uité graphiqu : cm) Qul st l ss d variatio d F? Eplicitr F(), pour tout rél 3 a Détrmir ls limits d F t + E déduir u propriété d la courb Γ 3 b Démotrr qu la droit d'équatio y = 4 4 l st asymptot à Γ 4 Résumr ls résultats précédts das u tablau d variatios 5 Tracr Γ t ss asymptots sur u autr fuill d papir millimétré Corrctio A La foctio f = + +, lim =, lim f( ) = 4, lim = lim f( ) = La courb C admt doc du asymptots horizotals : la droit d'équatio y = 4 + t la droit d'équatio y = Trmial S 4 F Laroch Epotill rcics corrigés

25 st défii t dérivabl sur R ; + st défii t dérivabl sur R t st jamais ull ( + ) Doc f st dérivabl sur R, t f '( ) = 4 = 4 : f'() > pour tout rél, doc f + + ( ) ( ) st strictmt croissat sur R Tablau d variatios d f : + f'() + f() 4 3 A = t y A = f() = : pour motrr qu l poit A st ctr d symétri d C, motros qu, pour tout rél, * A D f t A + D f : vrai car D f = R * f( A ) + f( A +) = y A ( ) ( ) f( ) + f( ) = = = = CQFD + + ( + )( + ) f'() = : l'équatio d la tagt à C A st doc : y = ( ) soit : y = + B Sa dérivé f' st défii sur R D plus, o sait qu pour tout rél, f( ) + f() = 4, soit dérivat : f '( ) + f '( ) = f '( ) = f '( ) : f' st u foctio pair f '( ) = 4 = 4 ( ) + + ( ) u asymptot horizotal, d'équatio y =, + t ( + ) ( + ) ( + ) 3 f '''( ) = 4 = 4 4 ( ) 3, + + f''() st du sig d ( ) : Tablau d variatios d f' : doc lim f '( ) = ; d plus, lim f '( ) = : C admt doc + > > > > f ''( ) = 4 ( + ) 3 + f''() + f'() 5 Il smbl qu C s trouv au-dssus d C Pour l motrr, étudios l sig d f() f'() : ( + ) f( ) f '( ) = 4 4 = 4 = 4 ( ) ( ) ( ) ( + ) ; f() f'() > doc C st audssus d C C U d ss primitivs a f st dérivabl sur R, doc ll admt u ifiité d primitivs Trmial S 5 F Laroch Epotill rcics corrigés

26 b Soit F u primitiv d f sur R f st sa dérivé, t f() > pour tout rél doc F st u foctio strictmt croissat sur R '( ) O rcoaît das l'écritur d f() l modèl : f() = 4 u, avc u() = + u ( ) Ls primitivs F d f sur R sot doc d la form : ( ) + > doc F( ) = 4l( + ) + K, K R F( ) = 4l + + K, K R Or, pour tout rél, D plus, F() = doc : 4 l () + K = ; c'st à dir K = 4l Il vit doc : F() = 4l( + ) 4l 3a lim F( ) ; lim F( ) 4l + = + = Γ admt doc u asymptot horizotal, d'équatio y = 4 l, 3b Etud d l'asymptot obliqu + : lim ( F( ) (4 4l)) = lim (4l( + ) 4l 4+ 4l) = lim (4l( ( + )) 4 ) = lim (4+ 4l( + ) 4 ) = lim (4l( + )) = + + Γ admt doc u asymptot obliqu, d'équatio y = 4 4 l, + 4 Tablau d variatios d F : Graphiqus + f() + F() + 4 l Y Asymptot horizotal : y = 4 Y = f () X A Y = f () Asymptot horizotal : y = O X Trmial S 6 F Laroch Epotill rcics corrigés

27 Y Y = F () Asymptot obliqu : y = 4-4l O X Asymptot horizotal : y = - 4l 9 Atills 9/8 7 poits Soit f la foctio défii sur R par : ( ) Trmial S 7 F Laroch Epotill rcics corrigés 4 f = O désig par C sa courb rpréstativ das l pla rapporté à u rpèr orthoormal ( O; i, j) graphiqu cm a Détrmir la limit d f b Démotrr qu la droit D d équatio y = + st asymptot à la courb C c Étudir la positio d C par rapport à D a O ot f la foctio dérivé d f Calculr f ( ) f ' ( ) t motrr qu, pour tout rél, o a : 3 = + 3 b Étudir ls variatios d f sur R t drssr l tablau d variatios d la foctio f 3 a Qu put-o dir d la tagt D à la courb C au poit I d absciss l3? b E utilisat ls variatios d la foctio f, étudir la positio d la courb C par rapport à D 4 a Motrr qu la tagt D 3 à la courb C au poit d absciss a pour équatio y = + 4 d uité b Étudir la positio d la courb C par rapport à la tagt D 3 sur l itrvall ] ;l3] O pourra utilisr la dérivé scod d f oté '' f défii pour tout d R par : f ''( ) ( ) ( + 3 ) 3 3 = 5 O admt qu l poit I st ctr d symétri d la courb C Tracr la courb C, ls tagts D, D 3 t ls asymptots à la courb C O rappll qu l uité graphiqu choisi st cm 6 a Détrmir u primitiv d la foctio g défii sur R par : g( ) = + 3 b Soit λ u rél strictmt égatif O ot A( λ ) l air, uités d air, du domai limité par D, C t ls droits d équatios = Motrr qu A( ) 4l4 4l( λ 3 ) c Calculr lim A( λ ) λ λ = + = λ t

28 Corrctio 4 f ( ) = a ( ) 4 lim f = + = lim = lim = + 3 b ( f ( ) ) 4 f ( + ) = < + 3 c ( ) a f ( ) car > C st au-dssus d D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' = 4 = = = = b f st positiv sur R, f st croissat f ( ) (Rmarqu : comm lim = lim = + 4 = lim = lim = 4, la droit y = + 4 = st asymptot + ) ( ) f + f ( ) + 3 a D : f ( ) l3 3 ' l3 = = doc tagt horizotal l3 + 3 b Comm f st croissat, C st -dssous d D lorsqu < l3 t au-dssus lorsqu > l3 4 a f '( ) 3 = = = f = = + 3, ( ) 4 4 y = f ' + f = + 4, ( )( ) ( ) b Posos g( ) = f ( ) + g' ( ) = f '( ) g'' ( ) = f ''( ) Sur l itrvall ] ;l3], f ''( ) ( ) ( + 3 ) 3 3 = st <, d mêm qu g g st décroissat t vaut lorsqu = ; g st doc positiv avat, égativ après ; g st croissat avat, décroissat après ; comm g()=, g st toujours égativ doc C st dssous d D 3 l3 g g sig g + g Trmial S 8 F Laroch Epotill rcics corrigés

29 5 sig g 6 a La dérivé d + 3 st Trmial S 9 F Laroch Epotill rcics corrigés, g st d la form u' u, u primitiv d g st l( 3 ) + b A( λ λ ) = f ( ) ( + ) d = 4 d = 4 l( + 3 ) = 4l( + 3 ) + 4l( + 3 ), soit λ λ + 3 λ A( λ ) = 4l4 4l( λ + 3) c A( λ ) ( ) lim = 4l4 4l + 3 = 4l4 4l3 λ ROC+foctio itégral, Am du Nord 7 7 poits Rstitutio orgaisé d coaissacs L objt d ctt qustio st d démotrr qu lim O supposra cous ls résultats suivats : + = + * la foctio potill st dérivabl sur R t st égal à sa foctio dérivé ; * = ; * pour tout rél, o a > ; * soit du foctios ϕ t ψ défiis sur l itrvall [ A ; + [ où A st u rél positif Si, pour tout d [ A ; + [, o a ψ ( ) ϕ ( ) t si lim ψ ( ) = + alors lim ϕ ( ) = + + a O cosidèr la foctio g défii sur [ ;+ [ par ( ) + g =

30 Motrr qu pour tout d [ ;+ [, g( ) b E déduir qu lim + = + O appll f la foctio défii sur [ ;+ [ par f ( ) = O appll C sa courb rpréstativ 4 das u rpèr orthogoal ( O; i, j) La courb C st rprésté ci-dssous a Motrr qu f st positiv sur [ ;+ [ b Détrmir la limit d f + E déduir u coséquc graphiqu pour C c Etudir ls variatios d f puis drssr so tablau d variatios sur [ ;+ [ F = f t dt 3 O cosidèr la foctio F défii sur [ ;+ [ par ( ) ( ) a Motrr qu F st u foctio croissat sur [ ;+ [ F = b Motrr qu ( ) c Calculr la limit d F + t drssr l tablau d variatios d F sur [ ;+ [ d Justifir l istc d u uiqu rél α tl qu F( α ) =, 5 A l aid d la calculatric, détrmir u valur approché d α à près par cès 4 Soit u tir aturl o ul O ot A l air uités d air d la parti du pla situé tr l a ds abscisss, la courb C t ls droits d équatios = t = Détrmir l plus ptit tir aturl tl qu A,5 Corrctio O umérot ls propriétés : () la foctio potill st dérivabl sur R t st égal à sa foctio dérivé ; () = ; Trmial S 3 F Laroch Epotill rcics corrigés

31 (3) pour tout rél, o a > ; (4) soit du foctios ϕ t ψ défiis sur l itrvall [ A ; + [ où A st u rél positif Si, pour tout d [ A ; + [, o a ψ ( ) ϕ ( ) t si lim ψ ( ) = + alors lim ϕ ( ) = + + a La dérivé d g st g' ( ) g ( ) = (utilisatio d (3)), soit g( ) t doc g( ) + = (utilisatio d ()) qui st positiv (utilisatio d ()) ; par aillurs b O a doc ; comm td vrs + +, lim = + (utilisatio d (4)) + f = 4 ( ) a L potill st toujours positiv ; sur [ ;+ [, il st d mêm d 4 doc f ( ) X b O pos X =, lim f ( ) = f ( ) = lim X = (croissacs comparés) La courb d f admt + X + l a (O) comm asymptot horizotal f 4 8 c ( ) = = [ ] = = doc positiv avat, égativ après ( ) + f '( ) + f ( ) 3 a F' ( ) = f ( ) (cours ) qui st positiv sur [ [ ;+ comm l motr l tablau d variatio b Soit o itègr par partis, soit o dériv F ( ) = vérifiat qu ( ) ( ) = = = ; F ( ) = = = f ( ) F 4 c Tous ls trms cotat tdt vrs doc F td vrs + f ( ) + F ( ) f F = d F st mooto strictmt croissat, cotiu sur [ ; + [ ; <,5 <, il ist doc u uiqu α dot l imag par F st,5 La calculatric do : f ( 3,35 ),499 t f ( 3,36 ),5 ; o prd α 3,36 4 A F( ) F( ) F ( ) = = ; o a doc A,5 lorsqu α, soit pour = 4 Trmial S 3 F Laroch Epotill rcics corrigés

32 Equatio différtill, équatio foctioll t sius hyprboliqu, La Réuio, jui 4 6 poits O désig par f u foctio dérivabl sur R t par f sa foctio dérivé Cs foctios vérifit ls propriétés suivats : () Pour tout ombr rél, ( f ) ( f ) () f '() = (3) La foctio f st dérivabl sur R O rappll qu la dérivé d Trmial S 3 F Laroch Epotill rcics corrigés u st '( ) ( ) = u' u a Démotrr qu, pour tout ombr rél, f '( ) b Calculr f() E dérivat chaqu mmbr d l égalité d la propositio (), démotrr qu : (4) Pour tout ombr rél, f ''( ) = f( ) où f '' désig la dérivé scod d la foctio f 3 O pos u = f ' + f t v = f ' f a Calculr u() t v() b Démotrr qu u' = u t v' = v c E déduir ls foctios u t v d E déduir qu, pour tout rél, f( ) = 4 a Etudir ls limits d la foctio f + t b Drssr l tablau d variatio d la foctio f 5 a Soit m u ombr rél Démotrr qu l équatio f( ) = m a u uiqu solutio α das R b Détrmir ctt solutio lorsqu m = 3 (o dora u valur approché décimal à près) Corrctio a ( f ) ( f ) [ ] '( ) = ( ) + : c ombr st toujours strictmt positif (à caus du ), il put s aulr f '( ) f '( ) b Comm f '() =, rmplaçat par das (), o a ( ) ( ) ( f()) = f() = f ''( ) f '( ) f '( ) f( ) = f ''( ) f '( ) f '( ) f( ) = f ''( ) = f( ) après simplificatio par f '( ) qui st pas ul 3 a u() = f '() + f() =, v() = f '() f() = = b u' = f '' + f ' = f + f ' = u t v' = f '' f ' = f f ' = v c u = C ; avc u () =, o a C = ; d mêm v = C ; avc v () = o a u = f ' + f = d Au fial f = f( ) = v = f ' f = 4 a lim f( ) = lim = ( + ) = +, + + b f ( ) '( ) = + > v = lim f( ) = lim = ( ) = +

33 f '() + + f() 5 a Du possibilités : par lctur du TV, par l calcul Comm f st cotiu, mooto strictmt croissat d R vrs R, ll st bijctiv t l équatio f() = m a u uiqu solutio pour tout m Par l calcul : o pos Trmial S 33 F Laroch Epotill rcics corrigés = X, c qui do X X = m X mx = : m+ 4m + 4 m 4m + 4 X = = m+ m + >, X = = m m + < O rvit à : o put avoir X = 4m + 4 > d où = il rst simplmt m m l( m m ) = + + = + + b Avc la prmièr maièr o l fait à la calculatric t o trouv,8 La duièm méthod do l(3+ ) Ep, équatio, suit réc, Am du Sud, jui 4 7 poits Soit la foctio f défii par f( ) = sur [; + [ O ot Γ la courb rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthoormé ( O; i, j) graphiqu : cm) Parti A a Détrmir la limit d f + b Etudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatios c costruir Γ a Motrr qu pour tout rél m d l itrvall ;, l équatio f( ) = m admt du solutios (uité b Das l cas où m =, o omm α t β ls solutios, (avc α < β ) Détrmir u cadrmt 4 d amplitud d α c Résoudr l équatio f( ) Parti B = m das l cas où m = t O cosidèr la suit ( u ) défii sur N par u u + = α = u m = u a Motrr par récurrc qu, pour tout tir aturl, u > b Motrr qu la suit ( u ) st décroissat c La suit ( u ) st-ll covrgt? Si oui, détrmir sa limit O cosidèr la suit ( w ) défii sur N par w = l u a Motrr qu, pour tout tir aturl, o a u = w w + b O pos S = u + u + + u Motrr qu S = w w + où α st l rél défii à la qustio A b

34 c E déduir lim S 3 O cosidèr la suit ( v ) défii sur N par so prmir trm v, v >, t pour tout tir, par v v + = Eist-t-il u valur d v Si oui, précisr laqull Corrctio Parti A a lim f( ) = lim = lim X = + + X X v différt d α tll qu, pour tout tir, o ait u = v? b f '( ) = = ( ) L potill st positiv, f st du sig d c + f + f a La droit d équatio y = m coup la courb Γ du poits, l équatio f( ) = m a doc bi du solutios Plus scitifiqumt, lorsqu m st das ;, il a du atécédts par f : u atécédt Trmial S 34 F Laroch Epotill rcics corrigés

35 tr t car f st croissat t cotiu d ];[ vrs mooto, décroissat d ]; + [ vrs ; b O chrch quad f() cadr /4 : f(,3573) =,499 t f(,3574) =,5 c f( ) = a l uiqu solutio (tablau d variatio) t u Parti B u + = α = u u ;, l autr tr t + car f st cotiu, f( ) = a pour uiqu solutio a Comm u = α > t qu si u > alors u >, il st clair qu u > pour tout u u u b O put fair u + u u u u( ) u > u < < < doc la suit ( u ) st décroissat c ( u ) st décroissat t mioré par, ll covrg doc Soit l sa limit, o a l l l = = l l = l = w = l u ; la sul possibilité st qu l = u a Pros l logarithm d u l l l + = u u+ = u + = l u u w+ = w u, soit u = w w + S = u + u + + u = w w + w w + + w w + w w = w w b + + c Comm u td vrs, w td vrs, doc S td vrs + 3 E fait à partir d u = α o a u = f( α) = ; mais 4 ls du suits srot cofodus 3 Ep t air u u f( β ) =, doc si l o prd v 4 u = β, à partir du rag Soit la foctio f défii sur R par f ( ) = + + O désig par C f la courb rpréstativ d f das u rpèr orthogoal ( O; i, j) ; ctt rpréstatio st fouri ci-dssous Trmial S 35 F Laroch Epotill rcics corrigés

36 Détrmir la limit d f + t itrprétr graphiqumt c résultat a Détrmir la limit d f b Démotrr qu la droit (d) d équatio y = + st u asymptot pour C f c Étudir la positio d C f par rapport à (d) 3 Pour tout tir aturl, tl qu, o ot D l smbl ds poits M(, y) du pla, dot ls coordoés vérifit : t y f() t o appll A so air, primé uités d air a Fair apparaîtr D 5 sur la figur b Démotrr qu pour tout, tl qu, o a : c O pos I = d À l aid d u itégratio par partis, calculr I foctio d d Écrir u cadrmt d A foctio d I O admt qu A a u limit lorsqu td vrs + Détrmir la limit d I lorsqu td vrs + Qu put-o déduir pour la limit d A lorsqu td vrs +? Dor u itrprétatio géométriqu d c drir résultat Corrctio Trmial S 36 F Laroch Epotill rcics corrigés

37 E +, o a a E, b ( ) ( ) = = / + td vrs, f td vrs d où f td vrs Asymptot horizotal y = ( ) + f + = + = = td vrs lorsqu td vrs (d) st u asymptot pour C f c L sig d f ( ) ( + ) = st clui d, doc lorsqu st positif, C f st au dssus d (d), + lorsqu st égatif C f st dssous d (d) 3 a C st la zo compris tr la courb, ls droits =, = 5 t y = b Comm + >, o a < < = + + ( ) ; pour l iégalité d gauch, dvisos par : l7 l Or, c st doc vrai c ( ) 3 I = d = d = = A f d d d d d I A I 8 8 = ( ) = d O a [ ] + + Lorsqu td vrs +, I td vrs compris tr t 3 (croissacs comparés) Par coséqut la limit d A st 3 Cci do u cadrmt d l air compris tr C f, = t y = 4 Caractéristiqu d Ep t tagts Das u rpèr orthoormal ( O; i, j) d uité cm tracr la courb rpréstativ (C) d la foctio potill ( ) sur l itrvall [ ;] Tracr sur la mêm figur ls tagts à (C) au poits d abscisss =, = t 3 = Chacu d cs tagts coup l a horizotal u poit d absciss,, 3 Msurr à la règl ls trois distacs i i, i =,, 3 Qu costatz-vous? (Ls trois loguurs msurés doivt apparaîtr clairmt sur l graphiqu) 3 Soit A u poit d (C) d absciss a Vérifiz qu l équatio d la tagt (T) A à (C) a pour équatio a ( ) a y = + a Justifiz alors qu l résultat du st bi u costat qu l o précisra par l calcul 4 O chrch désormais s il y aurait d autrs courbs préstat ctt propriété : soit u foctio f d courb rpréstativ (C), A u poit d (C) d absciss a, (T) la tagt A à (C) t a l absciss du poit d itrsctio tr (T) t (O) quad il ist O ot f la foctio dérivé d f a Dor l équatio d la tagt (T) b Eprimr a foctio d a, f ( a ) t '( ) c Soit u costat réll Motrr qu Corrctio f a E déduir a a' ( a) ( a) f a a' = = Résoudr ctt équatio t coclur f Trmial S 37 F Laroch Epotill rcics corrigés

38 Ls trois loguurs msurés valt a 3 f ( a) =, '( ) f a a a a a a = ; y f '( a)( a) f ( a) ( a) ( a) = + = + = + a L poit d itrsctio tr (C) t (O) a pour absciss : ( ) d où la distac tr a t : a a ( a ) 4 a y f '( a)( a) f ( a) = + = = b L poit d itrsctio tr la tagt t (O) a pour absciss a : ( ) '( ) ( ) '( ) f a f a = f '( a)( a' a) + f ( a) a' a= a a' = f a f a c O a doc bi ( a) ( a) ( a ) a + a = = = a a f a a' = = E fait il s agit simplmt d l équatio différtill f dot ls solutios sot d la form ( ) f = C Par mpl pour la situatio d départ o avait caractéris d aillurs ls foctios potills = ( ( ) a y' = y f = ) t l écart msuré était bi d Cci Trmial S 38 F Laroch Epotill rcics corrigés

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