La preuve se fait en deux étapes dont les buts sont les suivants :

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1 Ce texte présente quelques notes concernant les résultats de l article de J.Kollár [Ko04] sur la R-équivalence en famille. Le théorème principal est le suivant : Théorème 1. Soit K un corps local et soit f : X Y un K-morphisme projectif et lisse de K-variétés, dont les fibres sont des variétés SRC. L application ρ(f) : Y (K) N, y X y (K)/R est semicontinue supérieurement pour la topologie induite par la topologie de K 1. La preuve se fait en deux étapes dont les buts sont les suivants : Étape 1 On fixe un point 0 X où l on veut prouver la semicontinuité. Le but de l étape est de trouver un nombre fini d ouverts pour la K-topologie Wi 0 X 0 (K) recouvrant X 0 (K) tels que 2 chaque Wi 0 est contenu dans une seule classe de R-équivalence de X 0 (K) ; les Wi 0 s étendent en des ouverts W y i X y (K) dont chacun est contenu encore dans une seule classe de R-équivalence de X y (K) et les extensions W y i recouvrent X y (K) pour y suffisamment proche de 0. Si les Wi 0 sont exactement les classes de R-équivalence de X 0 (K), on déduit la semicontinuité directement de la deuxième condition 3. L étape 2 gère l autre situation. Étape 2 Puisque l ensemble des ouverts Wi 0 est fini, on récupère un nombre fini d équivalences entre les points des ouverts différents qui engendrent la R-équivalence sur X 0 (K). Soit u i u j une telle équivalence. L étape 2 montre que cette équivalence s étend aux fibres X y pour y dans un voisinage approprié U ij de 0. On en déduit donc la semicontinuité sur U ij, ce qui finit la preuve du théorème. Passons à chacune des étapes. Étape Préliminaires. Prenons x X 0 (K). D après [Ko99] il existe un morphisme 4 g x : P 1 X 0 tel que (i) g x (0 : 1) = x ; (ii) g x (1 : 0) = x x ; (iii) g xt X0 ( 2) est ample. Grâce à la propiété (iii) il existe d après les propriétés des schémas Hom (voir [Ko96], II.3.5) un voisinage Zariski V x Hom(P 1, X 0, (1 : 0) x ) contenant g x, tel que l application d évaluation F : Hom(P 1, X 0, (1 : 0) x ) X 0 f f(0 : 1) soit lisse. Pour construire les Wi 0 des morphismes relatif. et les étendre aux autres fibres on va considérer le schéma 1 Dans la suite on appelle cette topologie la K-topologie 2 voir l image 1 3 En effet dans ce cas les fibres X y(k) sont recouvertes par les W y i et chaque W y i est contenue dans une seule classe de R-équivalence de X y (K) 4 voir l image 2 1

2 1.2 Sections de morphismes lisses. Démontrons les propriétés techniques suivantes : Lemme 2. Soit K un corps quelconque. Soit X Y un morphisme lisse de K-variétés, 0 Y (K), x X 0 (K). Il existe un morphisme étale h : Y Y, un K-point 0 Y (K), h(0) = 0, et un Y -morphisme g : Y X tel que h(0) = x. Démonstration. D après la description locale des morphismes lisses on peut supposer que X est étale sur A n Y. Prenons une section Y An Y qui envoie 0 Y sur l image de point x. Alors Y = Y A n Y X convient : il est étale sur Y, le morphisme Y X est donné par projection et le point (0, x) s envoie sur x. Lemme 3. Avec les notations du théorème 1 soit h : Y Y un morphisme étale, 0 Y (K) tel que h(0) = 0. Alors ρ(f) est s.c.s. 5 en 0 ssi ρ(f ) est s.c.s. en 0 où l on note f : X Y Y Y. Démonstration. Soit X = X Y Y. Notons que pour tout K-point y de Y et tout K-point y de Y au-dessus de y on a X y = X Y Y Y Spec K = X y. Supposons que ρ(f ) est s.c.s. en 0 et que V est un voisinage approprié de 0. Puisque les applications lisses sont ouvertes pour la K-topologie, la projection h(v ) est un voisinage ouvert de 0 sur Y. D après le raisonnement précédent les fibres correspondantes sont les mêmes, donc ρ(f) est s.c.s. en 0. Inversement, si ρ(f) est s.c.s. en 0 et V est un voisinage correspondant de 0, on prend l image réciproque V = h 1 (V ) comme voisinage approprié de 0 dans Y. 1.3 Extensions aux fibres. Dans cette section on finit de construire les ouverts W i et en même temps on montre qu ils s étendent en des ouverts W y i X y (K) pour y suffisament proche de 0. Proposition 4. Il existe un voisinage V de 0 en Y et un nombre fini d ouverts W i X(K) tels que W i X 0 (K), W i X y (K) est ouvert dans X y (K), y V et est contenu dans une seule classe de R-équivalence de X y (K). Démonstration. Fixons x X 0 (K). On applique le lemme 2 pour récupérer Y Y, 0 0 étale et s : Y X, 0 x. Posons X = X Y Y, x = (x, 0) X 0(K), s = (s, id Y ) : Y X. Considérons le schéma des morphismes relatif Hom Y (P 1 Y, X, (1 : 0) Y s X ). On peut voir le morphisme g x comme un morphisme P 1 X 0 X 0. Il correspond à un K-point de ce schéma. D après [Deb01] , Hom Y (P 1 Y, X, (1 : 0) Y s X ) Y est lisse en [g x ], puisque gxt X0 ( 2) est ample. Comme précédemment, considérons le morphisme d évaluation ev : Hom Y (P 1 Y, X, (1 : 0) Y s X ) Y X (f, y) f(0 : 1, y). Puisque X est lisse sur Y, Hom Y (P 1 Y, X, (1 : 0) Y s X ) Y est lisse en [g x ] et il l est donc au voisinage de [g x ], pour montrer que ev est lisse en [g x ] il suffit de voir que l application d évaluation entre les fibres en 0, Hom(P 1, X 0, (1 : 0) x ) X 0 est lisse en [g x ] (cf. [SGAI], II.2.2), ce qui est le cas car gxt X0 ( 2) est ample. Il existe donc un ouvert ([g x ], 0) V i Hom Y (P 1 Y, X, (1 : 0) Y s X ) tel que ev : V i Y soit lisse en [g xi ]. Soit W i la projection de ev(v i (K)) sur X(K). C est un ouvert de X(K) car les applications lisses sont ouvertes pour la K-topologie, ev est lisse et X X est étale, 5 semicontinue supérieurement 2

3 donc lisse. Posons W 0 x = W x X 0 (K). C est un ouvert de X 0 (K). De plus, tous les points de W x sont R-équivalents car ils sont tous équivalents à x. Notons que pour tout point y Y (K) suffisament proche de 0 6 tous les points de W y x = W y X y(k) X y (K) sont R-équivalents car ils sont tous équivalents à s(y). Puisque X 0 (K) est compact car X 0 est projectif on peut choisir un nombre fini de points x 1,..., x m tels que les Wi 0 := Wx 0 i recouvrent X 0. Les ouverts W i def = W xi X(K) correspondants vérifient les conditions de la proposition, ce qui finit sa preuve. Pour finir la première étape il suffit de montrer que W i X y (K) pour y suffisament proche de 0. Posons W = W i, Z est son complémentaire dans X(K). Ce dernier est un fermé dans X(K). Puisque X Y est projectif, alors l image de Z dans Y (K) est un fermé de Y (K) qui ne contient pas 0. Il ne contient donc pas un voisinage V de 0. On obtient donc que W i X y (K), y V. Étape Comparaison de la fibre spéciale et de la fibre générique. Pour introduire les techniques nécessaires à la preuve de l étape 2, démontrons d abord le résultat suivant : Théorème 5. Soit S = Spec A où A est un anneau de valuation discrète Hensélien de corps résiduel k et de corps des fractions K. Soit Z Spec S un morphisme projectif lisse. Suposons que X k est SRC. Alors l application σ : Z K (K)/R Z(k)/R induit par la spécialisation 7 fournit un isomorphisme. Démonstration. Notons d abord que la spécialisation Z(K) Z(k) est surjective 8. Pour voir cela on peut procéder comme suit. Comme l assertion est locale et Z est lisse sur S, on peut supposer que Z est étale sur Z = Spec A[x 1,..., x n ]. Soit z k Z k (k) et z k la projection sur Z k, la fibre spéciale de Z. Relevons z k en z Z (A), cela correspond aux choix des relevés des chacune des coordonnées. D après la propriété hensélienne, z se relève en un point z Z(A), ce qui donne la surjectivité car Z est projective et on a donc Z(A) = Z K (K). Il suffit de voir donc que si les spécialisations de deux points sont directement R- liées, alors les points eux-mêmes le sont aussi. Soit u K, v K Z K (K) deux points de spécialisations u k, v k Z k (k) respectivement. Dans la suite on va noter u S, v S les S- points de Z correspondants. Supposons que u k et v k sont directement R-liés : il existe un morphisme h : P 1 k Z k tel que h(0 : 1) = u k, h(1 : 0) = v k. Si u k = v k on change Z par Z P 1 et on relève u k = v k en des k-points différents de Z P 1. Pour montrer que u K et v K sont R-équivalents on va essayer de déformer la courbe C def = h(p 1 ). L dée de Kollár est d utiliser les techniques de [Gr-Ha-St] et de considérer la courbe C comme un point de schéma de Hilbert de la variété ambiente Z k. Avec cet approche, il arrive à déformer la courbe si H 1 (C, O C ( u k v k ) N C ) = 0 et il obtient cette dernière condition, comme dans [Gr-Ha-St], en construisant un peigne de poignée C. Ensuite il déforme ce peigne. Le résultat principal dont on expliquera plus tard la preuve est le suivant : Théorème 6. Soit X une variété projective lisse SRC sur un corps k. Soit C g X une courbe géométriquement réduite, localement intersection complète. Soit S C un 6 plus précisement, dans la projection sur Y de V x (K) Y, c est un ouvert de Y (K) par le même argument que dans le lemme 3 7 la preuve que la spécialisation passe à la R-équivalence est donnée dans [Ma] 8 pour cela l hypothèse de la connexité rationnelle n est pas nécessaire 3

4 ensemble fini de k-points. Il existe n N, G : C X P n 1 P 1 un plongement relevant g et un peigne C X P n 1 P 1 défini sur k, de poignée G(C), tel que (i) N C est engendré par des sections globales ; (ii) H 1 (C, O C ( G(S)) N C ) = 0 ; (iii) C est lisse en G(S). Pour appliquer ce théorème on relève h en H : P 1 Z P 1, p (f(p), p) dont l image est une courbe lisse dans Z k P 1 k passant par u k = (u k, (0 : 1)) et v k = (v k, (1 : 0)). Posons B S l éclatement de Z P 1 S le long des sections (u S, (0 : 1)) et (v S, (1 : 0)) 9 où l on note par u S (resp. v S ) l adherence de u K (resp. v K ) dans Z. On note E u, E v les diviseurs exceptionnels, C est le transformé strict de H(P 1 ), c est une courbe rationnelle lisse incluse dans B k. D après [Ko96], IV.3.3, être SRC est un invariant birationnel des variétés propres (il n est même pas nécessaire de demander qu ils soient lisses), on obtient donc que B k, la fibre spéciale de B S, est SRC. D après le théorème 6, quitte à changer B par B P n 1 P 110, il existe un peigne C B défini sur k tel que C est lisse en points u k et v k et H1 (C, O C ( u k v k ) N C ) = 0. Posons H S S le schéma de Hilbert relatif des sous-schémas de dimension 1 de B S, [C ] le point correspondant à C. Puisque H 1 (C, O C ( u k v k ) N C ) = 0 c est un point lisse. En effet, d après [Ko96] I H S S est plat en [C ] et la fibre H k k est lisse en [Ck ] d après [Ko96] I.2.8. D après [EGAIV] 17.5.I cela implique que H S S est lisse en ]. Le même argument que pour la surjectivité de la spécialisation montre qu il existe donc un morphisme τ : Spec S H S relevant un morphisme Spec k H S correspondant au C, i.e. on a τ(spec k) = [C ]. Posons [CK ] = τ(spec K), C K B K la courbe correspondante. On va montrer que la projection sur Z d une composante irréductible de CK donne une courbe rationnelle passant par u K et v K. On termine ainsi la preuve du théorème 5. Lemme 7. (i) g a (C K ) = 0 ; (ii) C K intersecte chacun des diviseurs exceptionnels E u et E v en un seul point. Démonstration. (i) D après la définition du schéma de Hilbert H S, CS est propre et plat sur S. On peut donc appliquer le théorème de semicontinuité : le fait que g a (C k ) = h 1 (C k, O Ck ) = 0 implique que g a (C K ) = h 1 (C K, O CK ) = 0. (ii) Soit x C K E u un point fermé. Puisque C K est projective, on peut supposer que x C S. Sa réduction x donne un point fermé de C k E u. Comme C k E u est réduit à un point, cela implique que C K E u est non vide par la propriété hensélienne et réduit à un point lui aussi. On a de même pour C K E v. Remarque 8. Dans ce lemme et dans la suite on écrit g a (C) = h 1 (C, O C ) pour le genre d une courbe C, puisque les courbes que l on considère vérifient la condition h 0 (C, O C ) = 1. C K Ce lemme implique que C K E u, K et C K E v, K sont des K-points de C K. Soit = C 1... C m une décomposition en des composantes géométriques. On peut 9 voir l image 3 10 On récupère un plongement G : C B k P n 1 P 1 de théorème 6 et on change les points u k, v k par les points G(u k ), G(v k ) respectivement, les diviseurs E i, E j par E i P n 1 P 1, E j P n 1 P 1. 4

5 supposer qu elles sont réduites, puisque C k est géométriquement réduite 11. La suite exacte 0 O C2... C m ( (C 2... C m ) C 1 ) O C O C1 0 montre que g a (C 1 ) = h 1 (C 1, O C1 ) = 0. Puisque C 1 est intègre, il est lisse et par suite rationnelle (cf. [H], IV. ex. 1.8). De même manière on obtient que chacune des composantes géométriques de C K est une courbe rationnelle, c est-à-dire isomorphe à P 1 K. Soient C 1 une composante qui passe par le point u K, C i une composante qui passe par le point v K. Il suffit de montrer que c est la même. On peut supposer que C 1 et C i sont définies sur une extension finie L de K et même, puisque ce sont des courbes projectives, qu elles sont définies sur l anneau d entiers de L. Si C 1 et C i étaient des composantes différentes, alors ces réductions donneraient que le nombre d intersection de C k avec chacun des diviseurs exeptionnels est plus que un. On obtient ainsi une contradiction, ce qui termine la preuve du théorème Fin de la preuve du théorème 1. Soit u i, u j X 0 (K) des points qui sont directement R-liés. D après ce qui précède on peut supposer qu il existe des sections s ui, s uj : Y X, s ui (0) = u i, s uj (0) = u j et qu il suffit de montrer que s ui (y), s uj (y) sont R-équivalents pour y appartenant au voisinage approprié de X (on appelle ce dernier U ij ). En effet, on applique le lemme 2 pour récupérer Y i Y, 0 0 étale et Y i X, 0 u i. On pose X i = X Y Y i. Le morphisme Y i X se prolonge en un morphisme Y i X Y Y i ce qui donne la première section. Ensuite on applique le lemme 2 pour récupérer Y j Y i, 0 0 étale et Y j X i, 0 u j. On change X i Y i par X j = X i Yi Y j Y j. Les morphismes Y i X i, 0 u i et Y j X i se prolongent en des sections Y j X j. De même comme dans le lemme 3, puisque la fibre du morphisme X j Y j en un K-point y Y j au-dessus d un K-point y Y coïncide avec la fibre de X Y en y, quitte à changer Y par Y j et X par X Y Y j, on peut supposer que Y = Y j. On va procéder de la même manière que dans la section précédente. Soit h : P 1 K X 0 une courbe rationnelle passant par u i et u j : h(0 : 1) = u i, h(1 : 0) = u j. Soit B i,j,n l éclatement de X P n le long de s ui (Y ) (0 :... : 0 : 1) (0 : 1) s uj (Y ) (0 :... : 0 : 1) (1 : 0). Posons E i, E j les diviseurs exceptionnels au-dessus de s ui (Y ) (0 :... : 0 : 1) (0 : 1) et s uj (Y ) (0 :... : 0 : 1) (1 : 0) respectivement. Notons que la fibre de B i,j,n au-dessus de 0 Y est birationnelle à X 0, elle est donc SRC. D après 6, il existe n et un peigne C B i,j,n,0 de poignée C B i,j,n, une courbe rationnelle lisse dont la projection sur X est h(p 1 ) 12, tel que C est défini sur K et est def def lisse en des points u i = C E i et u j = C E j et H 1 (C, O C ( u i u j ) N C ) = 0. Posons H Y Y le schéma de Hilbert relatif des sous-schémas de dimension 1 de B i,j,n, [C ] le point correspondant à C. Puisque H 1 (C, O C ( u i u j ) N C ) = 0 c est un point lisse par le même raisonnement que dans la section précédente. D après le lemme 2 il existe un morphisme étale h : Y Y, un K-point 0 Y (K), h(0) = 0, et un Y -morphisme g : Y H Y tel que h(0) = [C ]. Cela correspond donc à un sous-schéma propre et plat V B i,j,n Y Y, que l on peut supposer irréductible, dont les fibres au-dessus des points rationnels de Y sont des sous-schémas de dimension 1 de B i,j,n et la fibre au-dessus de 0 est C. Quitte à faire un changement étale, d après le lemme 3 on peut supposer que Y = Y. 11 Supposons le contraire : il existe une extention algébrique finie L K, un élément nilpotent f dans C K L. Puisque C K est projectif, l on peut supposer que la valuation de L prolongeant la valuation de K vaut 1 en f. On obtient donc que la réduction de f est un élément nilpotent non nul de C k L, où L k est une extention des corps résiduels. On obtient donc une contradiction car C k est géométriquement réduit 12 voir l image 4 5

6 Lemme 9. Il existe un voisinage 0 U ij Y tel que pour tout K-point y U ij on a (i) V y est une courbe sur B i,j,n, de genre 0 ; (ii) V y intersecte chacun des diviseurs exceptionnels E i et E j en un seul point. Démonstration. On procéde de la même manière que dans le lemme 7 : d après le théorème de semicontinuité il existe un voisinage de 0 Y dont les fibres aux points rationnels sont des courbes de genre arithmétique 0. Pour voir (ii) considérons le fibré en droites O(E i ) sur X. Comme E i est plat sur Y, c est un faisceau plat sur Y. On obtient donc que O(E i ) V est plat sur V et il est donc plat sur Y car V est plat sur Y (cf. [H], III.9.2 b,c). Puisque V 0 intersecte E i en un seul point transversalement, on a de même pour V y pour y appartenant au voisinage approprié de 0. De même on obtient l assertion pour E j. On obtient donc que si y U i,j (K) alors l intersection de V y et E i est un K-point de V y, et de même pour E j. Comme V 0 est un peigne construit, V Y est plat, alors l ouvert de lissité du morphisme V Y est non vide (cf. [SGAI], II.2.2) et rencontre V 0. Puisque les applications plates sont ouvertes, on peut supposer que pour y Y (K) suffisamment proche de 0 l ouvert de lissité de chaque composante irréductible de V y est non vide lui aussi, i.e. K(V y ) est séparable sur K, où K(V y ) = F K(F ), où la somme est prise sur toutes les composantes irréductibles de V y, est l anneau de fonctions rationnelles de V y 13. Le lemme suivant montre que les points d intersection de V y et les diviseurs E i, E j sont R-équivalents dans B i,j,n. On obtient donc en projetant sur X que s ui (y) et s uj (y) sont R-équivalents. Cela termine la preuve du théorème 1. Lemme 10. Soit T une variété projective sur un corps K, t 1, t 2 T (K). Supposons qu il existe une courbe C T telle que K(C) est séparable sur K, de genre arithmétique 0 qui passe par t 1 et t 2. Alors t 1 et t 2 sont R-équivalents. Démonstration. Puisque C est donnée comme un sous-schéma de T, on peut supposer que C est réduit. Montrons qu il existe des composantes irréductibles C 1,..., C m de C telles que chaque C i est une courbe rationnelle sur T, t 1, t 2 C i et les intersections de ces composantes sont des K-points de C. Soit C K K s = C 1... C r une décomposition en des compsantes irréductibles. D après [Liu] , les courbes C i sont géométriquement irréductibles, i.e. C se décompose en des composantes géométriques sur K s. Choisissons un chemin formé par ses composantes qui contient un nombre minimal de ses composantes par rapport aux autres chemins. Énumérons les composantes de ce chemin : C 1,..., C m, de manière que t 1 C 1 et t 2 C m 14. Notons que chacune des courbes C 2,... C m 1 s intersecte avec exactement deux autres, car le chemin est minimal. Montrons que C 1 est définie sur K. Si cela n était pas le cas, il existerait un automorphisme φ de K s fixant K tel que φ(c 1 ) soit une composante de C différente de C 1. Puisque t 1 et t 2 sont des K-points, alors φ(c 1,..., C m ) est un chemin passant par des points t 1 et t 2 et différent du chemin C 1,..., C m. On obtient ainsi un cycle, ce qui est contradictoire avec le fait que g(c) = 0. On a donc que C 1 est une courbe définie sur K, géométriquement irréductible et ayant un point rationnel. La suite exacte 0 O C2... C m ( (C 2... C m ) C 1 ) O C O C1 0 montre que g a (C 1 ) = h 1 (C 1, O C1 ) = 0. Puisque C 1 est réduite, C 1 est géométriquement 13 Il s agit de voir que pour tout y V y(k) suffisamment proche de 0, l intersection de V y et du complémentaire Z de l union des voisinages ouverts lisses des points de V 0 est de dimension 0, ce qui est le cas puisque dimz < dimv = dimy + 1, donc Z Y est un morphisme fini, Z y est donc de dimension 0 pour y Y général. 14 voir l image 5 6

7 intègre 15, elle est donc lisse et par suite géométriquement rationnelle (cf. [H], IV. ex. 1.8). Elle est rationnelle car elle possède un K-point. De même, si C 1 C 2 n était pas un K- point de C K, il existerait un automorphisme ψ de K s fixant K tel que ψ(c 1 C 2 ) C 1 C 2. On obtient donc une contradiction car C 1, C 2,..., C m, ψ(c 2 ),..., ψ(c m ) forment encore un cycle. On change donc (t 1, t 2 ) par (C 1 C 2 ), t 2 ) et le chemin C 1,..., C m par C 2,..., C m et on montre par récurrence l assertion. 3. Existence des peignes. Le but de cette section est de démontrer le théorème 6. Faisons d abord quelques rappels. 3.1 Remarques préliminaires. Dans la suite on va considérer des courbes localement intersection complètes, en particulier, des courbes nodales. Citons quelques unes de leurs propriétés importantes. Définition 11. Soit k un corps. Soit X un k-schéma de type fini. Un sous-schéma Y X est dit localement intersection complète s il existe un recouvrement de X par des ouverts affines U i tels que chaque Y U i est défini par une suite régulière, c est-àdire que l idéal définissant Y U i dans U i est engendré par une suite régulière 16 dans chaque anneau local O X,y, y Y. Proposition 12. Soit X un k-schéma de type fini. Soit Y X un sous-schéma localement intersection complète défini par un faisceau d ideaux I. Alors (i) le faisceau I/I 2 est localement libre (cf. [H], II.8.21A) ; (ii) on a une suite exacte 0 I/I 2 Ω Y X Ω X 0. Définition 13. Soit X une variété projective. Un peigne avec m dents sur X est la donnée d une courbe projective C et d un k-morphisme ϕ : C X où C vérifie les conditions suivantes : (i) C est une courbe projective de genre zéro, réduite et a m + 1 composantes irréductibles sur k : C k = C 0 C 1... C m où tous les C i sont lisses et rationnelles ; (ii) C 0 est définie sur k, on l appelle la poignée ; (iii) C 1,..., C m sont deux `à deux disjointes et intersectent C 0 transversalement en m points distincts, on les appelle les dents. En général bien que l on demande que les dents d un peigne intersectent la poignée en des points distincts et transversalement, cela n est pas forcement le cas pour les images ϕ(c 1 ),..., ϕ(c m ). Exemple 1 C... ϕ... X 15 D après [Liu] , une k-variété intègre est géométriquement réduite ssi son corps de fonctions est une extension séparable de k. 16 Une suite g 1,... g r d éléments d idéal maximal d un anneau local A est dite régulière si g i n est pas un diviseur de 0 dans A/(g 1,... g r ), i = 1... m. 7

8 Exemple 2 C... ϕ... X Plus généralement, on considère les peignes dont la poignée est une courbe projective géométriquement réduite. Définition 14. Soit X une variété projective. Soit C X une courbe projective géométriquement réduite. Un peigne avec m dents de poignée C sur X est la donnée d une courbe projective C et d un k-morphisme ϕ : C X où C vérifie les conditions suivantes : (i) C est réduite et a m+1 composantes irréductibles sur k : C k = C 0 C 1... C m où les courbes C i, i = 1... m sont lisses et rationnelles ; (ii) C 0 est définie sur k, ϕ(c 0 ) = C ; (iii) C 1,..., C m sont deux `à deux disjointes et intersectent C 0 transversalement en m points distincts, on les appelle les dents. Rappelons que dans ce contexte on utilise des peignes pour déformer une courbe rationnelle C sur une variété SRC. On arrive à le faire si certain groupe H 1 (C, ) est nul. On considère donc la courbe donnée comme la poignée et on ajoute successivement les dents pour avoir l annulation voulue. A la fin on souhaite de plus qu un peigne ainsi obtenu sur la variété ambiante soit une courbe localement intersection complète, de genre arithmétique 0. Pour cela il suffit d assurer que pour chaque 1 i m le morphisme ϕ Ci : C i X soit un plongement, les courbes ϕ Ci (C i ) intersectent l image de la poignée en des points distincts et transversalement et ne s intersectent pas 17. C est-à-dire, on s intéresse aux courbes comme dans l exemple 1 ci-dessus et non pas comme dans l exemple 2. Pour avoir ces conditions on aura besoin de l assertion suivante décrivant les propriétés des courbes sur des variétés SRC. Proposition 15. Soit k un corps algébriquemet clos. Soit X une variété SRC sur k de dimension au moins Soit x X(k) un point fermé. Soit Z X une sous-variété de X de codimension au moins 2 (dans la suite Z sera une union finie des courbes rationnelles dans X). Soit ξ T X,x une direction tangente en x. Il existe alors une courbe rationnelle f : P 1 X telle que (i) f(p 1 ) est une courbe très libre passant par x = f(0 : 1) avec la direction tangente ξ ; (ii) f(p 1 ) Z \ {x} = ; (iii) f est un plongement. Démonstration. L existence d une courbe P 1 X très libre passant par x avec la direction tangente ξ fait l objet de [Ko96] IV.3.9. Quitte à la déformer en fixant x et ξ on obtient (ii) par [Ko96] II.3.7 et (iii) par [Ko96] II Ces trois conditions impliquent que le peigne obtenu sur une variété ambiante est une courbe connexe dont les points singuliers sont les noeuds, ce qui implique que sa caractéristique d Euler est égale à 1 d après [Deb01]4.23. Elle est donc de genre arithmétique zéro car pour les courbes on a g a( ) = 1 χ( ). On obtient aussi que c est une courbe localement intersection complète (cf. [Liu], ). 18 Cette dernière condition peut être supposée toujours vérifiée quitte à multiplier X par P 1. 8

9 3.2 Le cas où k est algébriquement clos. Pour démontrer le théorème 6 on va d abord considérer le cas où k est algébriquement clos. Proposition 16. Soit X une variété projective lisse SRC sur un corps algébriquement clos k. Soit C X une courbe géométriquement réduite, localement intersection complète. Soit L un fibré en droites sur C. Il existe alors un peigne C avec la poignée C tel que (i) N C C est engendré par des sections globales ; (ii) H 1 (C, L N C C ) = 0 ; (iii) Les conditions (i) et (ii) restent vérifiées si l on ajoute plus de dents à C. Démonstration. Montrons d abord la propriété (ii). On va la montrer par récurrence. Supposons qu on ait un peigne D i. On va ajouter une dent intersectant C en un point p transveraslement avec la direction θ et on va construire un peigne D i+1 tel que h 1 (C, L N Di+1 C ) < h 1 (C, L N Di C ) def def = r. On pose D 0 = C. Par la dualité de Serre H 1 (C, L N Di C )) est dual à Hom(ωC L, (N D i C ) ) = Hom(ωC L, I D i /ID 2 i C ) où I Di est un faisceau d idéaux définissant D i dans X. Supposons que r 0. Il existe alors ϕ Hom(ωC L, I D i /ID 2 i C ) non nul. Puisque ωc L est un faisceau inversible, il existe un ouvert U C tel que ϕ est de rang 1 sur l ouvert U 19. Soit p U un point lisse de D 20 i. Soit ζ p I Di /ID 2 i C, i.e. ζ p : N Di C O C engendre l image de ϕ p. On construit D i+1 en ajoutant une courbe rationnelle h i+1 : P 1 X passant par le point p avec la direction ζp, disjointe de D i \ {p} et telle que h i+1 soit un plongement. Cela est possible d après la proposition 15. Lemme 17. On a une suite exacte 0 I Di+1 /I 2 D i+1 C I Di /I 2 D i C ζ p 0, où la première flèche vient de l inclusion I Di+1 I Di et la deuxième est la composée de la flèche de restriction I Di /ID 2 i (I Di /ID 2 i ) p et la duale de ζ p N Di,p. Démonstration. D après la construction il s agit de montrer l exactitude au point p. C est-à-dire, en dualisant, il s agit de montrer que la suite 0 ζ p N Di,p N Di+1,p 0 est exacte. D après 12, en dualisant, on a les suites exactes suivantes 0 T Di,p T X,p OX,p O Di,p N Di,p 0, 0 T Di+1,p T X,p OX,p O Di+1,p N Di+1,p 0. Puisque D i+1 a été construit à partir de D i en ajoutant une dent passant par le point p transversalement à la poignée avec la direction ζp on a T Di+1,p = T Di,p ζp. On compléte T Di,p, ζp par des vecteurs e 3,... e n pour obtenir la base de T X,p. D après les suites exactes ci-dessus on obtient que N Di+1,p admet pour une base e 3,..., e n, et N Di,p admet pour une base ζp, e 3,..., e n, d où le résultat. La suite exacte du lemme induit une suite exacte : 0 Hom(ω C L, I Di+1 /I 2 D i+1 C ) Hom(ω C L, I Di /I 2 D i C ) Hom(ω C L, ζ p). 19 Soit p C tel que ϕ p 0, c est-à dire, ϕ p (e) 0 où e engendre (ωc L) p comme O C,p -module de rang 1. On a donc que ϕ est non nul sur un ouvert sur lequel ωc L est engendré par e. 20 En particulier, il est différent des points d intersection des dents avec la courbe C. 9

10 Notons que ϕ n est pas dans l image de la première flèche car sinon on aurait ϕ p = 0. Cela implique que h 1 (C, L N Di+1 C ) < h 1 (C, L N Di C ). On obtient donc (ii) par récurrence. Soit C le peigne ainsi obtenu. Si on ajoute plus de dents à C pour obtenir un peigne D : C D, on aura toujours l inclusion Hom(ω C L, I D/I 2 D C) Hom(ω C L, I C /I2 C C). Si le deuxième groupe est nul on en a donc de même pour le premier. Montrons maintenant que l on peut ajouter plus de dents au peigne construit cidessus pour avoir la propriété (i). Faisons d abord un rappel : Définition 18. Soit F un faisceau cohérent sur un schéma Z. On dit que F est engendré par ses sections globales si l application Γ(Z, F) F µ OZ,µ k µ est surjective en chaque point µ de Z. Notons qu il suffit de vérifier cette condition qu en des points fermés de Z. Voyons ce qu il faut montrer pour avoir la propriété (i). Soit p C un point fermé. Son corps résiduel est k car on a supposé k algébriquement clos. On a donc une suite exacte 0 O C ( p) O C k 0. Puisque N C C est localement libre, cela donne une suite exacte 0 N C C O C ( p) N C C N C C k 0. Pour montrer que N C C est engendré par des sections globales il suffit donc de voir que pour chaque point fermé p de C on a H 1 (C, N C C O C ( p)) = 0. Soit g le genre de C. Soit M un fibré en droites de degré (g + 1) (on choisit un tel fibré). Montrons que M se plonge dans O C ( p). Notons d abord que le morphisme non nul M O C ( p) existe si et seulement s il existe un morphisme non nul O M O C ( p), c est-à-dire si et seulement si H 0 (C, M O C ( p)) 0. D après le théorème de Riemann-Roch on a H 0 (C, M) = 1 g +degm +H 1 (C, M). En appliquant cela à M O C ( p) on obtient h 0 (C, M O C ( p)) 1 g + deg(m O C ( p)) = 1 g + g = 1. Il existe donc σ : M O( p), il est injectif comme morphisme de fibrés en droites 21. Le conoyau F de σ est un faisceau de torsion supporté par des points fermés. On ajoute des dents à C pour avoir l annulation comme dans (ii) avec L = M. On appelle le peigne ainsi obtenu encore C. Puisque N C C est localement libre, on a une suite exacte 0 N C C M N C C O C ( p) N C C F 0. Puisque H 1 (C, M N C C ) = 0, cela donne que H 1 (C, N C C O C ( p)) = 0. On obtient donc que N C C est engendré par des sections globales. Si on ajoute plus de dents à C d après (ii) on aura toujours H 1 (C, M N C C ) = 0. Cela implique donc que la propriété (i) reste vérifiée si l on ajoute plus de dents à la courbe C, ce qui finit la preuve de la proposition. La proposition suivante permet de finir la preuve du théorème 6 dans le cas où k est algébriquement clos. On passe de propriétés de N C C à des propriétés de N C en utilisant que les dents sont des courbes très libres. Proposition 19. Soit X une variété projective lisse SRC sur un corps algébriquement clos k. Soit C X une courbe géométriquement réduite, localement intersection complète. Soit L un fibré en droites sur C. Il existe alors un peigne C de poignée C tel que 21 localement ce morphisme est donné comme multiplication par une fonction, ce qui est injectif puisque les anneaux locaux sont intègres 10

11 (i) N C est engendré par des sections globales ; (ii) H 1 (C, L N C ) = 0 ; (iii) Les conditions (i) et (ii) restent vérifiées si l on ajoute plus de dents à C. Démonstration. On ajoute des dents pour avoir un peigne vérifiant les propriétés de la proposition 16. Montrons que la courbe ainsi obtenue convient. Écrivons C = C C 1... C m, où la courbe C est la poignée et les courbes C 1,... C m sont des dents. Pour chaque 1 i m on a une suite exacte 0 N Ci N C Ci Q i 0, où Q i est un faisceau de torsion supporté par le point P i = C C i. Cela donne que H 1 (C i, N C Ci ( P i )) = 0, puisque C i sont très libres et on a donc H 1 (C i, N Ci ( P i )) = Puisque H 1 (C, L N C C ) = 0, on termine la preuve de (ii) avec le lemme suivant : Lemme 20. Soit C = m i=1 C i une courbe nodale projective. Soient C i = i j=1 C j, S i = C i C i 1. Soit E un fibré vectoriel sur C tel que H 1 (C i, E Ci O Ci ( S i )) = 0 pour tout i. Alors H 1 (C, E) = 0. Démonstration. On déduit le résultat par récurrence car on a la suite exacte 0 E C i O Ci ( S i ) E C i E C i 1 0 et on a donc H 1 (C i, E C i) = H 1 (C i 1, E C i 1). De même, pour voir (i) il suffit de remarquer que (i) est équivalent à H 1 (C, N C O C ( p)) = 0 d après la preuve de la proposition précédente. Puisque H 1 (C, N C C O C ( p)) = 0 d après la proposition précédente et H 1 (C i, N C Ci ( P i p)) = 0 car C i sont très libres, on obtient le résultat. L assertion (iii) découle de la proposition 16(iii). 3.3 Fin de la preuve du théorème 6. Passons maintenant au cas où k n est pas forcément algébriquement clos. Soit X une variété projective lisse SRC sur un corps k. Soit C une courbe géométriquement réduite, localement intersection complète. Soit g : C X un morphisme. Soit L un fibré en droites sur C. D après la section précédente on peut construire un peigne C X k qui vérifie les propriétés 19(i)-(iii). Pour récupérer un peigne défini sur k on va ajouter à C les conjugués de ses dents 23. Pour obtenir un peigne avec les propriétés voulues on aura besoin de raffiner la construction de la section précédente. Lemme 21. Soit X une variété SRC de dimension au moins 3 sur un corps k. Soit C X une courbe géométriquement réduite, localement intersection complète. Alors l ensemble V des points x C( k) tels que (i) l extension k(x)/k est séparable ; (ii) pour chaque direction tangente ξ T X,x et Z X une sous-variété de X de codimension au moins 2 il existe une courbe rationnelle f : P 1 k(x) X telle que 22 On a la suite exacte 0 T Ci f T X N Ci 0. Si C i est très libre, alors H 1 (C i, f T X ( P i )) = 0 et on a donc H 1 (C i, N Ci ( P i )) = Si une courbe à ajouter est définie par des équations homogènes g i = 0 à coefficients dans une extension L de K, ses conjuguées sont définies comme des courbes définies par les équations homogènes σ(g i ) = 0, où σ Gal(L/K). 11

12 f(p 1 k(x) ) est une courbe très libre passant par x = f(0 : 1) avec la direction tangente ξ ; f(p 1 k(x) ) Z \ {x} = ; f est un plongement. est dense dans C. Démonstration. Notons d abord que l on peut supposer C irréductible. Soit η = Spec k(c), η X le point générique de C. Soit v 1,... v n N C,η une base de N C,η. Ces vecteurs forment aussi une base de N C,c pour c appartenant à un ouvert de C. Pour chaque i = 1... m considérons le k(c)-schéma des morphismes H i def = Hom(P 1 k(c), X k(c), 0 : 1 η, v i ), qui paramètre les courbes rationnelles sur X k(c) qui passent par le point η avec la direction v i. Notons qu un k(c)-point de ce schéma correspond à un morphisme P 1 k(c) X k(c) que l on peut étendre, puisqu il est projectif, à un morphisme f : P 1 C X C f(t, c) = (f c (t), c), tel que f c (0 : 1) = c et la direction tangente en c de f c (P 1 ) est égale à v i. Puisque X est SRC, alors X k(c) est SRC (cf.[ko96] IV.3.2.5). Il existe donc un point de H i qui correspond à une courbe très libre, d après 15. Par conséquent, il existe un point de H i qui correspond à une courbe r-libre, i.e. l ouvert de lissité de H i est non vide. Soit [f] un élément de cet ouvert. De même que dans 15, d après [Ko96] II.3.7 et [Ko96] II.3.14, la déformation générale de f vérifie les propriétés (ii). Il existe donc un ouvert Hi 0 de H i qui paramètre les courbes rationnelles sur X k(c) vérifiant la propriété (ii) 24. De plus, Hi 0 est lisse sur k(c). On peut donc l étendre à un morphisme lisse sur C, H i C, où H i paramètre les morphismes f : P 1 C X C, f(t, c) = (f c (t), c), f c (0 : 1) = c, la direction tangente en c de f c (P 1 ) est égale à v i, f c est un plongement et f c (P 1 ) Z \ {c} =. Puisque H i C est lisse on peut supposer d après 2 qu il existe une courbe B i H i telle que B i est étale sur C. De même, B i paramètre les courbes rationnelles sur X vérifiant les propriétés ci-dessus. Soit B B 1 C... C B n une composante irréductible. Le morphisme F : B C est étale et B paramètre les n-uplets (f 1,... f n ) des courbes rationnelles vérifiant les propriétés ci-dessus, f i (0 : 1) = c et la direction tangente en c est v i. Il suffit donc de trouver les points q B tels que k(q) = k(f (q)) et l extension k(q)/k est séparable. On termine ainsi la preuve à l aide du lemme suivant. Lemme 22. Soit f : B C un morphisme étale de courbes sur un corps k, où C est une courbe géométriquement réduite. Alors l ensemble des points q B tels que k(q) = k(f(q)) et l extension k(q)/k est séparable est dense. Démonstration. Notons qu il faut montrer que pour tout ouvert U B il existe un point q U vérifiant les propriétés du lemme. Quitte à changer B par cet ouvert, il suffit de montrer qu un tel point existe dans B. De plus, on peut supposer que les courbes B et C sont irréductibles et que le morphisme B C est fini. Si le corps k est parfait, pour tout point q B l extension k(q)/k est séparable. Il suffit donc de voir qu il existe un point q B tel que k(q) = k(f(q)). Cela découle de [Po] qui dit qu il existe un point tel que l extension k(q)/k(f(q)) est purement inséparable. On obtient donc que k(q) = k(f(q)) puisque le corps k est parfait. 24 i.e. les courbes très libres f : P 1 k(c) X k(c) passant par le point η = f(0 : 1) avec la direction v i et telles que f(p 1 k(c) ) Z k(c) \ {η} = et f est un plongement. 12

13 Supposons que k n est pas parfait. En particulier, il est infini. Soit c C un point dans l image de f tel que k(c)/k est séparable. On peut plonger la fibre f 1 (c), qui est un ensemble fini de points b 1,... b m, dans A 1. Puisque B est une courbe, le morphisme f 1 (c) A 1 se prolonge en morphisme h : B P 125, qui est séparable puisque le corps de fonctions k(b) de B est une extension finie séparable de k(c), car f est étale, et k(c) est séparable sur k puisque C est géométriquement réduite. C est-à-dire, k(b) est séparable sur k et h est donc lisse au point générique, il est donc lisse sur un ouvert U de B. Considérons le morphisme H = (f, h) : B C P 1. Soit B l adherence de son image. Le morphisme B B est fini puisque les morphismes B C et B C sont finis 26. Le degré du morphisme B B peut être donc calculé comme le nombre des points dans une fibre. Puisque f 1 (c) A 1 est un plongement, H 1 (c, h(b 1 )) = b 1. On obtient donc que H est un morphisme de degré 1. Les courbes B et B sont donc birationnelles. Quitte à changer B par un ouvert, on peut supposer que B B. Il suffit donc de montrer l assertion pour B. Considérons la projection p : B P 1. Elle est lisse en H(U). Puisque la projection d un complémentaire de U sur P 1 est un fermé de P 1, il existe un ouvert V P 1, tel que p 1 (V ) V est lisse. Puisque k est infini, il existe un k-point v V. Soit b = (b, v) p 1 (v) un point fermé, où b C. Alors k(b) = k(b ) puisque v est un point rationnel. De plus, k(b)/k est séparable puisque B P 1 est lisse en b. Le point b convient donc les propriétés du lemme. Remarque 23. Notons que la preuve dans le cas où le corps k est non parfait n utilise que l hypothèse qu il est infini. Procédons à la construction des peignes dans le cas où k n est pas forcément algébriquement clos. Proposition 24. Soit X une variété projective lisse SRC sur un corps k. Soit C X une courbe géométriquement réduite, localement intersection complète. Soit L un fibré en droites sur C. Il existe n N, G : C X P n 1 P 1 un plongement relevant g et un peigne C X P n 1 P 1 défini sur k, de poignée G(C), tel que (i) N C G(C) est engendré par des sections globales ; (ii) H 1 (G(C), L N C G(C) ) = 0 ; (iii) Les conditions (i) et (ii) restent vérifiées si l on ajoute plus de dents à G(C). Démonstration. On procède de la même manière que dans la preuve de la proposition 16. On va ajouter successivement des dents avec toutes leurs conjuguées pour obtenir un peigne défini sur k et vérifiant les conditions nécessaires. Montrons d abord la propriété (ii). On va la montrer par récurrence. i Soit n tel que C P n 1 est un sous-schéma fermé. Posons G : C X P n 1 P 1, c (c, i(c), 0 : 1) 27. Supposons qu on ait un peigne D i X P n 1 P 1 k défini sur k dont les dents sont disjointes les unes des autres. On va ajouter une dent intersectant G(C) en un point p transversalement avec la direction précise et toutes ses conjuguées pour construire un peigne D i+1 tel que h 1 (G(C), L N Di+1 G(C) ) < h 1 (G(C), L N Di G(C) ) def = r. def On pose D 0 = G(C). Par la dualité de Serre H 1 (G(C), L N Di G(C) )) est dual à Hom(ωC L, I D i /ID 2 i G(C) ) où I Di est un faisceau d idéaux définissant D i dans X P n 1 P 1. Supposons que r 0. Il existe alors ϕ Hom(ωC L, I D i /ID 2 i G(C) ) non 25 Il suffit de voir que le morphisme k[t] Q k(b i ) se relève à un morphisme k[t] Q O B,bi, ce qui est vrai d après le théorème des restes chinois. 26 le morphisme B C est la composée d une immersion fermée B C P 1 et de la projection sur C, qui est propre. 27 voir l image 6 13

14 nul. Il existe donc un ouvert U G(C) tel que ϕ est de rang 1 sur l ouvert U. Soit U la projection de cet ouvert sur X. C est un ouvert de C. Soit V un ensemble du lemme 21, appliqué à C X. Soient p un point lisse de C tel que p U V. Soit q = i(c) le point de P n 1 correspondent. On peut choisir le point p de la manière que le point G(p) = (p, q, (0 : 1)) soit différent des points d intersection des dents avec la courbe G(C). Soit ζ p : N Di G(C),G(p) O G(C),G(p) engendre l image de ϕ p. Puisque T X P n 1 P 1,G(p) T X,p T P n 1 P 1,(q,0:1), on a donc deux possibilités : soit la restriction def τ p = ζp TP n 1 P 1,(q,0:1) est non nulle, soit ζp N C,p. On va considérer ces deux situations ensemble. Dans le premier cas on prend ψ : P 1 P n 1 P 1 une droite passant par le point (q, 0 : 1) avec la direction τ p. On définit ainsi D i+1 en ajoutant à D i la courbe t (p, ψ i (P 1 k(p) (t))) et toutes ces conjuguées. Dans le cas où ζp N C,p, on applique encore le lemme 21 pour récupérer une courbe très libre h i : P 1 k(p) X passant par le point p et telle que p = h i(0 : 1), h i (P 1 k(p) ) intersecte la projection de D i sur X en un seul point p avec la direction tangente ζp et telle que h i soit un plongement. On définit ainsi D i+1 en ajoutant à D i la courbe t (ϕ i (P 1 k(p) (t)), q, t) et toutes ces conjuguées. Dans les deux cas, puisque k(p)/k est séparable, le fait que D i+1 est stable par l action de Gal(k(p)/k) implique qu on obtient un peigne D i+1 défini sur k, dont les dents sont disjointes les unes des autres d après la construction. De la même manière que dans 17 on a la suite exacte 0 I Di+1 /ID 2 i+1 C I Di /ID 2 i C ξσ 0, σ Gal(k(p)/k) où ξ σ T X P n 1 P 1,σ(p) est la direction tangente de la conjuguée correspondente de la dent ajoutée en point d intersection avec la poignée. D après la construction ξ id TP n 1 P 1,(q,0:1) = τ p dans le premier cas et ξ id TX,p = ζ p dans le deuxième. De la même manière que dans 16, φ p n est pas dans l image de la première flèche de la suite exacte 0 Hom(ω C L, I Di+1 /I 2 D i+1 C ) Hom(ω C L, I Di /I 2 D i C ) Hom(ω C L, σ Gal(k(p)/k) Cela implique que h 1 (C, L N Di+1 G(C) ) < h 1 (C, L N Di G(C) ). On obtient donc (ii) par récurrence. Les assertions (i) et (iii) se démontrent comme dans la proposition 16. De la même manière que dans la section précédente on en déduit Théorème 25. Soit X une variété projective lisse SRC sur un corps algébriquement clos k. Soit C g X une courbe géométriquement réduite, localement intersection complète. Soit L un fibré en droites sur C. Il existe n N, G : C X P n 1 P 1 un plongement relevant g et un peigne C X P n 1 P 1 défini sur k, de poignée G(C), tel que (i) N C est engendré par des sections globales ; (ii) H 1 (C, L N C ) = 0 ; (iii) Les conditions (i) et (ii) restent vérifiées si l on ajoute plus de dents à C. ξ σ). Le théorème 6 en découle. Pour voir cela on prend L = O C ( G(S)). On voit que C est lisse en G(S) car, d après la construction, les points d intersection des dents avec la poignée peuvent être choisis différents d un ensemble fini de points de C, en particulier, différents de S. Cela finit la construction des peignes et la preuve du théorème de semicontinuité. 14

15 Références [Deb01] O.Debarre, Higher-dimensional algebraic geometry, Springer-Verlag (2001). [EGAIV] A.Grothendieck, J.Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Ibit., 32 (1967) [Gr-Ha-St] T. Graber, J. Harris, J. Starr, Families of rationally connected varieties, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), [H] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Springer, Berlin Heidelberg New York (1977). [Ko96] J. Kollár, Rational curves on algebraic varieties, Springer-Verlag (1996). [Ko99] J. Kollár, Rationally connected varieties over local fields, Annals of Math. 150 (1999), pp [Ko04] J. Kollár, Specialization of zero cycles, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 40 (2004), pp [Liu] Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press (2002). [Ma] D. Madore, Sur la spécialisation de la R-équivalence, prépubl. [Po] B. Poonen, Points having the same residue field as their image under a morphism, J. Algebra 243 (2001), no. 1, [SGAI] A. Grothendieck, Revêtements étales et groupe fondamental, Lecture Notes in Math 224 (1971). 15