5) Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d abscisse 0 est de la forme ( )( ) ( )

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1 Amérique du Nord Eercice ) Le coeicient multiplicateur associé à une hausse de % est égal à + =, Le coeicient multiplicateur associé à une hausse de % est égal à + =, Donc le coeicient multiplicateur associé à des deu hausses successives est égal à,,, c est-à-dire à,56 Le pri de l article a donc augmenté globalement de 56 % La réponse correcte est donc la C ) ln e ln e = = La réponse correcte est donc la C ln e ln e ln e = e = = = La réponse correcte est donc la B 8 ln( ) ) = 4) Si on pose u =, alors u u On peut alors écrire ( ) sous la orme : = u e Or une primitive de u e u est e u, alors une primitive F de sur R est déinie par u F = e = e La réponse correcte est donc la A 5) Une équation de la tangente à la courbe représentative de la onction eponentielle au point y = ep + ep d abscisse est de la orme Or ep = ep et ep e La réponse correcte est donc la A 6) ( ) eiste si, et seulement si, e Or e e e e La réponse correcte est donc la B = = Alors cette tangente a pour équation y = + 7) = + Comme lim =, alors la droite d équation y = est une + asymptote oblique à la courbe c au voisinage de + La réponse correcte est donc la C 8) Les solutions de l équation ln = sont les abscisses des points d intersection des courbes représentant la onction ln et la onction D après la graphique, il eiste deu points d intersections dont les abscisses appartiennent à l intervalle ] ; [ La réponse correcte est donc la C Terminale ES - - C Lainé Amérique du Nord juin 9

2 Eercice ) 79 V = =,58 ; 5 P = 5 =,66 et 88 M = =,76 5 ) 5d obs = 5,58 +,66 +,76 Donc obs 5d,48 ) Intervalle auquel appartient Nombre par intervalle Eectis cumulés croissants [ ;,5[ [,5 ; [ [ ;,5[ [,5 ; [ [ ;,5[ [,5 ; [ [ ;,5[ [,5 ; 4[ [4 ; 4,5[ [4,5 ; 5[ Le neuvième décile D 9 est la valeur de la série telle que 9 % de la population lui soit inérieure ou égale Or 9 8 N 4) Comme 5d obs D9 =, alors D [ [ 9,5 ; >, alors on ne peut pas airmer que la prairie soit composée d autant de leurs de chaque variété avec un risque inérieur à % Eercice (candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité) Partie A ) Une équation de la droite d ajustement aine de y en obtenue par la méthode des moindres carrés est y =,8 + 47, ) Le mois de décembre 9 correspond au rang En remplaçant par dans l équation précédente, on obtient : y =,8 + 47, = 56,8 57 Avec cet ajustement, on peut prévoir 57 prêts automobiles pour le mois de décembre 9 Partie B % des prêts sont souscrits dans l agence A, alors 45 % des prêts sont souscrits dans l agence B, alors On en déduit que p ( C ) =,, 45 =,5 p A = =, 45 p B = =,45 8 % des clients de l agence A ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance 8 Zen Alors pa ( Z ) = =,8 ; par suite, pa ( S ) =,8 =, % des clients de l agence B ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Zen Alors pb ( Z ) = =, ; par suite, pb ( S ) =, =,7 Terminale ES - - C Lainé Amérique du Nord juin 9

3 7 des clients de l agence C ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Speed Alors p ( S ) = ; par suite, C 7 5 pc Z = = 7 7 ) On peut modéliser l epérience par l arbre pondéré suivant : ) Déterminer la probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une p A Z assurance Zen dans l agence A revient à chercher Or p ( A Z ) p ( A) p ( Z ),,8,6 = = = A Donc la probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une assurance Zen dans l agence A est égale à,6 ) A, B et C orment une partition de l univers, d après la ormule des probabilités totales : p ( A) = p ( A Z ) + p ( B Z ) + p ( C Z ) =,6 + p ( B) pb ( Z) + p ( C) pc ( Z ) 5 Alors p ( A ) =,6 +, 45, +,5 =,6 +,5 +,5 =,545 7 Donc la probabilité de l événement Z est égale à,545 4) On est amené à chercher pz ( C ) Or p ( C) Z ( Z) p ( Z) p C, = = = = =, Donc la probabilité que le prêt soit souscrit dans l agence C sachant que le client ait souscrit une assurance Zen est égale à 5 9 Terminale ES - - C Lainé Amérique du Nord juin 9

4 4 Eercice (candidats ayant suivi l enseignement de spécialité) ) a) Sommets B C D F N T Degré des sommets du graphe b) Lorsque, pour chaque paire de sommets d un graphe, il eiste une chaîne reliant les deu sommets, le graphe est connee La matrice associé au graphe est M = 4 4 Calculons M = ; comme cette matrice ne contient aucun terme nul, il 5 4 est possible de joindre deu sommets quelconques par au moins une chaîne de longueur On en conclut que ce graphe est connee ) Le groupe souhaite passer par les si sommets en passant une ois et une seule par chaque chemin On remarque que ce graphe ne possède que deu sommets de degré impair (F et N) ; alors, d après le théorème d Euler, il admet au moins une chaine eulérienne Par conséquent, le souhait du groupe est réalisable Un eemple de trajet possible est : F N T F B C D F C T D N ) a) Le plus grand degré d un sommet est 5 ; donc le nombre chromatique est inérieur ou égal à 6 FCDT est un sous-graphe complet d ordre 4 Donc, le nombre chromatique est supérieur ou égal à 4 Par conséquent, le nombre chromatique n est compris entre 4 et 6 b) Sommets F C D T N B Degré des sommets du graphe Numéro de couleur ❶ ❷ ❸ ❹ ❷ ❸ Donc le nombre chromatique de ce graphe est 4 4) On utilise l algorithme de Dijkstra : Terminale ES C Lainé Amérique du Nord juin 9

5 B C D F T N Sommet ié (B) + 5 (B) + + B (B) 4 (C) 5 (B) 7 (C) + C 4 (C) 5 (B) 7 (C) 6 (D) D 5 (B) 7 (C) 6 (D) F 7 (C) 4 (T) T 4 (T) N En remontant, on suit l itinéraire en remontant : N T C B Par conséquent, un chemin qui minimise la distance du trajet est B C T N, et cette distance est de 4 kilomètres 5 Eercice 4 Préliminaires ) On remarque que g = 6u + v avec u = ln et v = La onction g est dérivable sur ] ; + [ en tant que somme de onctions dérivables = + avec u = et v 6 Alors g 6u v 6 g = Donc = 6, pour tout de ] + [ ; ) D après la question précédente et le tableau de signes de la onction dans l énoncé), on en déduit que : 6 6 (donné + Signe de g + Par conséquent, la onction g est croissante sur ] ; ] et décroissante sur [ + [ ; ) D après la question ), la onction g admet un maimum g atteint en = Or g = 6 ln = 5 = 5 Par conséquent, g ( ) < pour tout de ] + [ Partie A ; ) ln lim = + lim + alors, par somme de limites, ( ) = + + lim = + Terminale ES C Lainé Amérique du Nord juin 9

6 lim ln = > ln + alors, par quotient de limites, lim = lim = > > De plus, lim lim = > = ; d où, par somme de limites, v ) a) On remarque = u + avec u ( ) = ; v = ln et w = w v w vw Alors = u + avec u = ; v = et w = w ln ln ln ln D où : + = + = + = + = 4 4 g ( ) Par conséquent, ( ) =, pour tout de ] ; + [ b) Comme appartient à ] ; + [, alors dépend de celui de g ( ) Terminale ES C Lainé Amérique du Nord juin 9 > > On en déduit que le signe de D après la question ) des préliminaires, g ( ) < pour tout réel strictement positi Donc, pour tout de ] ; + [, > On en déduit le tableau de variations de : + + Partie B v ) On remarque F = u avec u ( ) = ; v = + ln et w = w v w vw Alors F = u avec u ( ) = ; v = et w = w ( + ln ) ( ln ) ln D où : + F = = = + = ; + Par conséquent, F est une primitive de sur ] [ ) Comme est continue et positive sur [ ; e ], l aire de ce domaine, en unité d aire, est égale d e à Or d F + ln e + ln = = = + e e e e e e +

7 Par conséquent, l aire de ce domaine est égale à e +, c est-à-dire à environ,59 e unités d aire Terminale ES C Lainé Amérique du Nord juin 9

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