Cours de Mathématiques. ISA BTP, 2 année

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1 Cours de Mathématiques ISA BTP, 2 année 15 janvier 2013

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3 Table des matières 1 Équations différentielles 7 Introduction Équations différentielles linéaires Équations différentielles linéaires à coefficients constants Systèmes différentiels Conditions initiales et solution unique Équations linéaires à coefficients non constants (ordre 1) Équations différentielles non linéaires (ordre 1) Équations séparables Changement de variable Résolution approchée d une équation différentielle Étude qualitative Calcul d une solution approchée Séries numériques, séries entières 33 Introduction Sommes partielles explicites Les séries polynomiales Les séries géométriques Les séries télescopiques Convergence des séries numériques Définition Vitesse de convergence Critères de convergence Les séries alternées Séries à termes positifs Séries entières Définitions Rayon de convergence Opérations sur les séries entières Régularité d une série entière Développement en séries entières Application aux équations différentielles

4 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Coniques, quadriques, formes quadratiques 51 Introduction Coniques et quadriques Définition géométrique d une conique Symétries et points remarquables d une conique Tangentes à une conique De la géométrie à l algèbre Équations réduites Équations cartésienne et signature Réduction (2D) Quadriques Formes quadratiques Expression analytique d une forme quadratique Définition matricielle Fonctions de plusieurs variables 77 Introduction Représentation graphique (cas n = 2) Définitions Lignes de niveaux Plans verticaux et fonction partielles Calcul différentiel en dimension supérieure Vecteur tangent et dérivées partielles Le plan tangent Développements limités en dimension supérieure Recherche d extrema Gradient, divergence et rotationnel Champs de vecteurs Gradient Divergence Rotationnel L opérateur Nabla Équations aux dérivées partielles L équation de transport Compléments d intégration 99 Introduction Intégrales Multiples Intégrales doubles sur un rectangle Intégrales doubles sur un domaine non rectangulaire Changement de variable Intégrales triple et plus Interprétations physiques des intégrales multiples

5 TABLE DES MATIÈRES Intégrales curvilignes Arcs paramétrés Longueur d arc Circulation d un champs de vecteurs et formes différentielles Formule de Green-Riemann

6 6 TABLE DES MATIÈRES

7 Chapitre 1 Équations différentielles Introduction Les équations différentielles sont l outil principal permettant de modéliser le mouvement. En effet, une équation différentielle est une équation liant une fonction et ses dérivées. Or les lois de la physique sur le mouvement donnent l accélération (i.e. la dérivée seconde de la position) d un objet, d une particule,... en fonction des forces qui agissent dessus. Ces forces sont souvent fonctions de la vitesse de l objet (forces de frottement) et/ou de sa position (tension d un ressort, champs magnétique, répartition de charges,...). Si l on parvient à résoudre de façon exacte les équations ainsi obtenues, on peut connaître à chaque instant la position de l objet que l on étudie. Note : si l étude porte sur un objet de l espace, les x i sont ses coordonnées (cartésiennes, polaires, sphériques,...) mais on peut de même modéliser tout système évolutif dont les différents états peuvent être donnés par des variables quantifiables. Un exemple célèbre est l équation balistique qui régit la chute d un corps soumis à la gravité : x (t) = 0 y (t) = g Si l on connaît la position et la vitesse de départ, on peut tirer de cette équation une fonction donnant la position du corps à chaque instant. (On obtient une paramétrisation de la trajectoire). On peut améliorer un peu le modèle en tenant compte du frottement de l air sur l obus. Il paraît pour cela raisonnable de considérer que le frottement est proportionnel à la vitesse, et agit contre le mouvement (et qui est donc colinéaire au vecteur vitesse). On obtient alors un système d équations de la forme x = fx y = g fy 7

8 8 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Ce système est un peu moins immédiates à résoudre que le système précédent. Mais on sait faire. On peut de la même façon modéliser le mouvement d un pendule, l évolution d une population, la déformation d une poutre, d un mur, le mouvement des vagues, l évolution d une réaction chimique... L objet de ce cours est de présenter différentes méthodes de résolutions. Notons qu il existe en réalité très peu d équations différentielles que l on sait résoudre de façon exactes. Elles sont en général issues de modèles simples, qui donnent une première idée du comportement de l objet étudié. Ces équations sont donc triées en différentes classes. Chaque méthode étudier ne s appliquera qu à certains type d équations. On verra par la suite que l on peut s inspirer de ces méthodes pour résoudre des problèmes plus complexes, portant notamment sur des fonctions de plusieurs variables. Les fonctions de plusieurs variables, et les équations différentielles associées (appelées Équations aux Dérivées Partielles ou EDP) sont au cœur de tous les modèles théoriques tentant d expliquer le monde qui nous entoure (diffusion de chaleur, mécanique des fluides, etc). 1.1 Équations différentielles linéaires On appelle équation différentielle une équation dont l inconnue est une fonction Φ et qui relie y à ses dérivées, i.e. une équation du type Φ(y (n), y (n 1),..., y, y) = f(t). Ici, f est une fonction donnée (appelée second membre) et la plus grande dérivée présente dans l équation (ici, n) est l ordre de l équation linéaire. Une équation différentielle est dite linéaire si la fonction Φ associée est linéaire. Autrement dit, une équation différentielle linéaire d ordre n est une équation de la forme (E) : a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) a 1 (t)y + a 0 (t)y = f(t) où les a i sont appelés coefficients de l équation et sont des fonctions de t. L adjectif linéaire porte donc sur l inconnue y de l équation. Dans le cas où f(t) est nul, on dit que l équation est homogènes : (H) : a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) a 1 (t)y + a 0 (t)y = 0 Les équations homogènes jouent un rôle fondamental dans la résolution des équations différentielles linéaires, principalement parce qu elles vérifient le principe de superposition : si deux fonctions f et g sont des solutions de (H), la fonction f + g est encore une solution

9 1.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 9 de (H). L algèbre linéaire (et le principe de superposition) nous assurent que toutes les solutions d une équation différentielle linéaire peuvent s exprimer en fonction d un nombre fini de solutions. Précisément Théorème L ensemble des solutions d une équation différentiel linéaire homogène d ordre n est un espace vectoriel de dimension n. Comme tout espace vectoriel de dimension finie, l ensemble des solutions d une équation différentielle linéaire homogène admet donc une base. Autrement dit, il existe une famille F = {y 1,..., y n } de n fonctions linéairement indépendantes telles que chaque y i est une solution et telles que toute solution s écrit comme une combinaison linéaire des y i : y(t) = α 1 y 1 (t) α n y n (t), α i R. ( ) Note : Le principe de superposition nous assure que si les fonctions y i sont des solutions, alors toute fonction de la forme ( ) est encore une solution. Pour démontrer complètement le théorème, il faut également montrer que ce sont les seules. Résoudre une équation différentielle linéaire d ordre n revient donc à trouver ces n solutions particulières. Pour les équations différentielles avec second membre (du type de (E)), on peut montrer que si l on connait les solutions de l équation homogène associée (i.e. l équation obtenue en replaçant f(t) par 0), une seule solution de l équation complète nous suffit alors pour exprimer toutes les solutions de (E). Précisément, on peut montrer que les solutions de (E) sont de la forme y = y H + y p où y p est une solution fixée de (E) et y H parcourt l ensemble des solutions de (H). Pour résoudre une équation différentielle linéaire, on commence donc par déterminer les solution de l équation homogène associer puis on cherche une solution particulière de l équation complète. Parmi les équations différentielles linéaires, les plus simples à étudier sont celles à coefficients constants, i.e. celle dont les coefficients a i ne dépendent pas de t. On va voir comment, à l aide des polynômes, on peut construire la famille de fonctions qui engendrent les solutions de (H) puis on verra comment déterminer une solution particulière de l équation complète. Pour les équations à coefficients non constants, le problème est bien plus complexe. On se contentera donc d étudier de telles équations à l ordre 1, i.e. les équations de la forme (N.C.), : a(t)y + b(t)y = f(t).

10 10 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES On verra en particulier que, contrairement aux équations à coefficients constant, on ne pourra pas forcement trouver de solution de (N.C.) définies sur R tout entier. On verra en particulier comment déterminer les intervalles de résolution et ce qu entraine l existence de valeurs interdites sur la nature des solutions Équations différentielles linéaires à coefficients constants Équations homogènes Équations d ordre 1. Une équation différentielle linéaire homogène d ordre 1 à coefficients constants est une équation de la forme (H 1 ) : αy + βy = 0. Quitte à diviser par α (qui est non nul), on peut se ramener à une équation de la forme (H 1 ) : y = ay. Il y a de nombreuses façons de résoudre ce type d équations. La méthode ci-dessous a l avantage de s appliquer également avec des coefficients non constants (bien qu elle soit plus difficile à mettre en œuvre). Cette méthode consiste à transformer (H 1 ) en une égalité entre deux quantités que l on sait intégrer. Il suffit pour cela de diviser par y : y = ay y y = a. On reconnaît à gauche la dérivée de ln y. D où ln y(t) = at + b y(t) = e at+b. En note A = ±e b, on obtient toutes les solutions de (H 1 ) : Graphiquement, on a y(t) = Ae at, A R. a > 0 a < 0 A>0 A>0 A<0 A<0

11 1.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 11 Équations d ordre n. Pour les équations d ordre n, on utilise une méthode basée sur les polynômes pour déterminer les n solutions qui engendre l ensemble des solutions. Précisément, si (H) : a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = 0, a i R, on appelle alors polynôme caractéristique de l équation (H) le polynôme P (X) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. C est un polynôme degré n. Or si l on se place dans C, un tel polynôme peut s écrire P (X) = (X α 1 )(X α 2 ) (X α n ) où les α i sont les racines complexes de P, qui peuvent éventuellement être égales. Ce sont ces n racines de ce polynômes qui nous permettent de construire les n solutions de base de (H). Précisément, on peut montrer que pour chaque racine α i de P (X), la fonction est une solution de (H). Exercice : à faire. y i : t e α it Si les n racines sont distinctes, les n fonction y 1,..., y n sont les fonctions de base que l on cherche. Autrement dit, toute solution de (H) s écrit sous la forme y : t A 1 e α 1t + A 2 e α 2t A n e αnt, A i R. Notes : Cela correspond à ce que l on a vu à l ordre 1. Le polynôme caractéristique d une équation de la forme y = ay est en effet le polynôme P (X) = X a dont l unique racine est a. Pour une équation d ordre n, on a n degrés de liberté pour construire une solution : les n coefficients A 1,..., A n. Si certaines racines sont multiples, les fonctions y i : t e αit sont toujours des solutions de (H) mais on n en a plus n. (Il en manque). Cependant, on peut montrer que si α est une racine double de P (X), les fonctions [t e αt ] et [t te αt ] sont solutions de (H). De façon générale, si α est une racine de P (X) d ordre r, les fonctions sont des solutions de (H). [t e αt ], [t te αt ],..., [t t r 1 e αt ]

12 12 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Exercice : à faire. Ainsi, si le polynôme P s écrit P (X) = (X α 1 ) r 1 (X α 2 ) r2 (X α d ) r d avec les α i tous différents et r 1 +r r d = n, chaque racine α i donne donc r i solutions. On a alors nos n solutions de base à partir desquelles exprimer n importe quelle solution sous forme de combinaison linéaire. Dans le cas des équations de degré 2, le polynôme caractéristique est de degré 2. À l aide du discriminant, on peut classer les équations linéaires d ordre 2 à coefficients constants en deux catégories : Si 0, le polynôme P admet deux racines distinctes α 1 et α 2. Les solutions de l équation associée à P sont donc engendrées par [t e α 1t ] et [t e α 2t ] Si = 0, le polynôme P admet une unique racine double α 0. Les solutions de l équation associée à P sont engendrées par [t e α 0t ] et [t te α 0t ] Note : dans le cas où 0, on peut distinguer les cas > 0 et < 0. Chacun de ces cas correspond à un comportement dynamique différent. On peut en particulier noter que si < 0, les solutions sont des sommes d exponentielles complexes conjuguées (α 2 = α 1 ). Ce sont donc des fonctions oscillantes. On peut en particulier montrer que l on peut transformer la somme Ae α 1t + Be α 1t en une somme de la forme e λt (A cos(ωt) + B sin(ωt)), A, B R où λ est la partie réelle de α 1 et ω sa partie imaginaire : α 1 = λ + iω, α 2 = λ iω. Le cas non homogène Lorsque l on ajoute un second membre f(t) non nul à une équation homogène, l équation obtenue ne vérifie plus le principe de superposition. Cependant, on a tout de même la propriété suivante :

13 1.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 13 Proposition Si y p est une solution de l équation différentielle (E) : a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = f(t), a i R et si y H est une solution de l équation homogène associée, la somme est encore une solution de l équation (E). y = y p + y H En étudiant le problème à l aide de l algèbre linéaire, on peut même montrer que toutes les solutions de l équation (E) peuvent être obtenue en ajoutant à une solution particulière de (E) l ensemble des solutions de (H). Autrement dit, pour résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants, on déterminer les solutions de (H) à l aide de son polynôme caractéristique, puis on cherche une solution particulière de l équation complète. Grâce aux formules de calcul différentiel, on peut souvent chercher une solution à l instinct. En effet, la première chose que l on peut remarquer est que si y est un polynôme, toutes ses dérivées sont des polynômes (nuls à partir d un moment). Ainsi, le membre de gauche de l équation (E) est encore un polynôme. Autrement dit, si le second membre f(t) est un polynôme en t, on peut chercher une solution particulière sous la forme d un polynôme (les inconnues étant les coefficients de ce polynôme). En calculant ses dérivées successives et en mettant le tout dans l équation, on a une égalité entre deux polynôme. On peut alors procéder par identification. De façon générale, si le second membre est un polynôme, on cherchera une solution particulière sous la forme d un polynôme de même degré. Il peut arriver que cela ne donne rien. Dans ce cas, on augmente le degré du polynôme que l on cherche et on recommence. De même, on peut noter que si y est une fonction de la forme P (t)e αt, toutes ses dérivées ont également cette forme là. On peut appliquer la même méthode de dans le cas où f(t) est un polynôme pour les cas où f(t) est de la forme P (t)e αt. Enfin, cette propriété des dérivées est encore valable pour les fonctions de la forme A cos αt + B sin αt. Là encore, si f(t) est de ce type, on pourra chercher une solution particulière sous cette forme. Enfin, à l ordre 1, quand l instinct ne nous donne rien, on peut appliquer la méthode de variation de la constante : la résolution d une équation linéaire homogène d ordre 1 produit une constante. On a vu par exemple que les solutions de l équation y = ay sont y(t) = Ae at, A R.

14 14 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Si l on souhaite résoudre une équation de la forme y ay = f(t) où f(t) est connue (non nulle), on peut alors chercher une solution particulière de cette équation sous la forme y p (t) = A(t)e αt. (On fait varier la constante issue de la résolution de l équation homogène associée). En injectant y p dans l équation, on obtient : y p(t) + ay p (t) = f(t) (A (t) aa(t))e at + aa(t)e at = f(t) A (t) = f(t)e at. En intégrant cette dernière équation, on trouve A(t) et donc une solution particulière Systèmes différentiels Un système différentiel est, comme pour les systèmes d équations, un ensemble d équations différentielles liant plusieurs fonctions inconnues entre elles à elles mêmes et leurs dérivées. Un système d ordre 1 est donc un système de la forme x 1 + ϕ 1 (x 1,..., x n ) = f 1 (t). x n + ϕ n (x 1,..., x n ) = f n (t) Résoudre un tel système, c est déterminer toutes les n-uplets de fonctions (x 1,..., x n ) qui vérifient toutes ces équations en même temps. Un tel système est dit linéaire si toutes les équations sont linéaires en les x i. Un système 2 2 d équations différentielles linéaire est par exemple un système de la forme x (S) = + ax + by = f 1 (t) y + cx + dy = f 2 (t) En notant les inconnues dans un vecteur colonne X(t) = système (S) sous la forme avec Ç a A = c b d X + AX = F (t) å Ç x, X = y å et F (t) = Ç x(t) y(t) å, on peut alors écrire le Ç f1 (t) f 2 (t) å.

15 1.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 15 On peut de la même façon écrire sous forme matricielle n importe quel système linéaire de taille n. Vous verrez l année prochaine comment résoudre ces systèmes en toutes généralités. Cependant, les méthodes que l on connaît nous permettent déjà d étudier un peu ces systèmes. On peut même parvenir à les résoudre dans quelques cas particuliers. On peut par exemple montrer que dans le cas homogène (i.e. F (t) = 0), le principe de superposition est encore respecté. (C est particulièrement clair avec la notation matricielle). Les premiers systèmes de petite dimension que l on peut rencontrer sont les systèmes faisant intervenir les coordonnées d un point dans le plan ou l espace (les dérivées d ordre 1 et 2 donnant alors le vecteur vitesse et le vecteur accélération). C est par exemple le cas de l équation balistique, même si dans ce cas, le système que l on obtient est particulièrement simple puisque les deux équations ne sont pas couplées : chacune ne dépend que d une seule inconnue. Si l on parvient à résoudre un tel système, on obtient une paramétrisation de la trajectoire que l on étudie. En étudiant alors les limites des ces fonctions pour t +, on peut alors par exemple déterminer le comportement de l objet d étude au bout d un temps long. En étudiant de plus près ces solutions (en cherchant par exemple) des relations entre elles), on également déterminer le type de trajectoire que suit l objet que l on étudie. Exemple : l équation balistique. Dans certains cas (correspondant à une matrice A particulièrement simple), on peut résoudre de petits systèmes de ce type en utilisant les méthodes que l on connaît. Une matrice diagonale, par exemple, de la forme A = Ç a 0 0 b correspond par exemple à un système d équations indépendantes : x = ax y = by La résolution se fait donc en résolvant chacune des équations séparément. On trouve : X(t) = Ç x(t) y(t) å Ç å Ae at = Be bt = å Ç e at 0 0 e bt å Ç A B On voit que l ensemble des solutions dépend ici de deux constantes A et B. On peut donc fixer deux conditions initiales : une pour chaque fonction. En imposant x(0) = x 0 å.

16 16 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES et y(0) = y 0, on a A = x 0 et B = y 0. Ainsi, l unique solution du système vérifiant les conditions initiales données est Ç å e at 0 X(t) = 0 e bt X 0. On trouve une analogie avec les équations d ordre 1. Exercice : montrer que si a = 1 et b = 2, la courbe paramétrée donnée par x(t) et y(t) est une parabole (i.e. il existe une constante K telle que y(t) = K.x(t) 2 ). De façon générale, il est possible d associer à tout système de deux équations d ordre 1 une équation d ordre 2 vérifiée par x ou y. Exemple : soit A = Ç Écrire le système X = AX sous forme développée. å. 2. À l aide de la première équation, exprimer les fonctions y et y en fonction de x et de ses dérivées. 3. Montrer, à l aide de la question précédente que x vérifie l équation (E) : x 4x + 5x = 0 La résolution de cette dernière équation donne x. A l aide de la première équation, on en déduit y. On pourra noter que le polynôme caractéristique de l équation (E) est exactement le polynôme caractéristique de la matrice A. De façon générale, on peut montrer que tout système de n équations d ordre 1 correspond à une équation d ordre n. On utilise d ailleurs cette correspondance pour transformer les équations d ordre n en système. On peut alors utiliser le calcul matriciel pour les résoudre Conditions initiales et solution unique D après ce que l on a vu plus haut, l ensemble des solutions d une équation différentielle linéaire d ordre n à coefficients constants est engendré par n solutions indépendantes (c est un espace vectoriel de dimension n). Autrement dit, on a n degrés de liberté pour construire une solution. D un point de vue analytique, ces n degrés de liberté sont représentés par les n constantes A 1,..., A n qui apparaissent dans l expression d une solution générale (et qui ne sont rien d autre que les coordonnées d une solution générale dans la base formée des n solutions données par les racines du polynôme caractéristique).

17 1.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 17 Pour déterminer une unique solution dans l ensemble des solutions, on peut donc ajouter à l équation différentielle n contraintes différentes. On peut par exemple imposer à la solution cherchée de passer par n points différents : y(t 1 ) = y 1, y(t 2 ) = y 2,..., y(t n ) = y n. En pratique, si l on introduit ces n contraintes supplémentaire dans l expression générale de la solution, on obtient un système linéaire vérifié par les A i. La résolution de ce système nous donne les coordonnées de l unique solution cherchée. Traditionnellement, les contraintes supplémentaires portent plutôt sur les dérives de fonction y en un même point (souvent t = 0) : y(0) = y 0, y (0) = y 1,..., y (n 1) (0) = y n 1 Là encore, en introduisant ces conditions dans la solution générale, on obtient un système linéaire dont les inconnues sont les coordonnées A i. La résolution de ce système donne l unique solution cherchée Équations linéaires à coefficients non constants (ordre 1) Pour les équations d ordre 1, on généralise la méthode vue pour les équations d ordre 1 à coefficients constants. Ainsi, soit (E) : y + a(t)y = f(t) C est encore une équation linéaire. On peut donc appliquer la même démarche que dans le cas constant : on commence par résoudre l équation homogène associée, puis on cherche une solution particulière de l équation complète. Or l équation homogène (H) : y + a(t)y = 0 s écrit également y y = a(t). Si l on connait une primitive A(t) de a(t), on peut donc intégrer de chaque coté : (H) ln y(t) = A(t) + k En passant à l exponentielle, on obtient les solutions de (H) sous la forme Exemple : y + ty = 0. y : t Ke A(t), K R.

18 18 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Dans le cas où le coefficient de y est différent de 1, on a b(t)y + a(t)y = 0 On peut se ramener au cas précédent en divisant par b(t). Cependant, cette opération impose de prendre des précautions qui modifient en partie la méthode de résolution. Si l on souhaite diviser par b(t), on doit enlever du cadre de résolution les valeurs de t qui vérifient b(t) = 0. La résolution ne peut alors plus se faire sur R tout entier. Les solutions que l on va trouver seront alors définies sur différents intervalles de R. (Par exemple, si b(0) = 0, on a deux intervalles : R + et R. La théorie nous dit qu il faut alors résoudre l équation étudiée sur chacun de ces intervalles. D autre part, des problèmes similaires peuvent apparaître si le coefficient a(t) de y n est pas défini sur R tout entier. Ainsi, la résolution d une équation du type b(t)y + a(t)y = 0 commence par une recherche des valeurs interdites et des intervalles de résolution. Une fois que l on a résolu la question des intervalles sur lesquels on travaille, on applique la même méthode que précédemment : si l équation est homogène, on a b(t)y + a(t)y = 0 y = a(t) b(t) y. L ensemble des solutions de cette équation est alors l ensemble des fonctions de la forme ñ où A est une primitive de la fonction y H (t) = λe A(t), λ R t a(t) b(t) Dans le cas non homogène, on commence par résoudre l équation homogène, puis on cherche une solution particulière pour l équation complète. L ensemble des solutions de (E) est alors l ensemble des fonctions de la forme y = y P + y H. ô.

19 1.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 19 Pour trouver une solution particulière, on se base (toujours comme pour les équations à coefficients constants) sur la forme du second membre f(t), mais il faut également tenir compte de la forme des coefficients a(t) et b(t). Si la recherche instinctive ne donne rien, on applique là encore la méthode de variation de la constante. Après avoir résolu une équation de la forme b(t)y + a(t)y = f(t) sur chacun des intervalles de résolution, on obtient, pour chacun de ces intervalles, un ensemble de solutions dépendant d une constante multiplicative. (Attention : on a un jeu de constantes par intervalle). Exemples : A=3 A=2 1. (E) : y + 2ty = e t2 A=1 A=0 Domaine de résolution : R Solutions : y(t) = Ae t2 + te t2, A R A=-1 A=-3 A=-2 2. (E) : y 1 x y = 1 Domaines de résolution : R + et R Solutions : sur R + : y(x) = Ax x ln x, A R sur R : y(x) = Bx x ln( x), B R 3. (E) : xy + y = 3x 2 Domaines de résolution : R + et R Solutions : sur R + : y(x) = A x + 3x2, A R sur R : y(x) = B x + 3x2, B R

20 20 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 4. (E) : ty + y = 1 1 t Domaines de résolution : ], 0[, ]0, 1[ et ]1, + [ Solutions : sur ], 0[ : y(t) = A ln(1 t), t t A R sur ]0, 1[ : y(t) = B t) ln(1, B R t t sur ]1, + [ : y(t) = C ln(t 1), t t C R Si le problème est donné avec une condition initiale de la forme y(t 0 ) = y 0, on peut ne considérer que les solutions définies sur l intervalle contenant t 0. Comme dans le cas des coefficients constants, en introduisant la condition initiale dans la solution générale, on peut déterminer la constante correspondant à l unique solution du problème (Équation + C.I.). 1.2 Équations différentielles non linéaires (ordre 1) En règle générale, les équations différentielles linéaires sont issue de modèles relativement simples. Si l on veut des modèles un peu plus complexes (et donc plus proches de la réalité), on obtient en règle générale des équations non linéaires. Ce sont, pour la plupart, des équations que l on ne sait pas résoudre de façon exactes. Dans un premier temps, on va voir certaines classes d équations non linéaires pour lesquelles on a un angle d attaque puis on verra comment, dans certains cas particuliers, on peut se faire une idée de l allure des solutions sans avoir de forme explicite Équations séparables Une équation séparable est une équation que l on peut mettre sous la forme y = f(t)g(y) ou encore y h(y) = f(t) (avec h = 1 g ). Si l on connaît une primitive de h et une primitive de f, on peut intégrer l équation : d où on tire y(t). H(y(t)) = F (t) + k

21 1.3. RÉSOLUTION APPROCHÉE D UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 21 Note : cette méthode est loin de s appliquer à toutes les équations séparables. Il faut tout d abord pouvoir intégrer les fonctions f et h puis il faut pouvoir extraire y(t) de l équation H(y(t)) = F (t) + k. Exemples : y = e t y. y = 1 y(1+t 2 ) Changement de variable Pour certaines équations, on peut changer de variable y, le but étant de transformer l équation en une équation que l on sait résoudre (linéaire, par exemple). En effectuant le changement de variable inverse sur les solutions trouvées, on obtient les solutions de la première équation. Exemples : Une équation de Bernouilli : y cos x + y sin x + y 3 = 0. Poser z = 1 y 2. Une autre : xy + y = y n. Poser z = 1 y n 1. Une équation de Ricatti : y = (y 1)(xy y x). Poser z = 1 y 1, soit y = z. x 2 + y 2 xyy = 0. Poser u = y/x. 1.3 Résolution approchée d une équation différentielle Les équations linéaires sont (à quelques exceptions près) les seules équations que l on sait résoudre de façon exacte. Or en pratique, les équations linéaires sont produites par des modèle simples (voire simpliste). Dans le cas de modèle plus élaborés, les équations différentielles obtenues sont impossibles à résoudre de façon exacte. Cependant, on va voir dans un premier temps que, même si l on ne peut trouver de solution exacte pour une équation donnée, il est parfois possible d obtenir, à partir de l équation, de nombreuses informations sur la solution cherchée, notamment concernant ses variations et sa limite en +. On verra enfin qu à partir d un problème général (Équation + C.I.), il est possible de construire une approximation de la solution unique cherchée.

22 22 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Étude qualitative Pour certaines équations, on peut se faire une idée de l allure des solutions (et donc du comportement général du système que l on étudie) sans les résoudre de façon exacte. C est en particulier le cas pour certaines équations séparables : les équations de la forme dites autonomes. (E) : y = F (y) L étude de la fonction F (vue comme fonction d une variable réelle a) nous donne en effet de nombreuses informations sur les solutions y de l équation. Les zéros de F (i.e. les valeurs de a pour lesquelles F (a) est nul) nous donnent par exemples les solutions constantes de l équation (E). (Exercice : à vérifier). On les appelle points fixes, ou points d équilibre. Elles ont une importance capitale dans l étude qualitative d une équation différentielle car l analyse locale des solutions de (E) autour de ces points fixes permet souvent d obtenir beaucoup d informations sur le comportement global des solutions. De même, si l on connaît le signe de la fonction F (i.e. le signe de F (a) quelque soit la valeur de a), on peut connaître les variations d une solution y en fonction de sa position (i.e. de sa valeur y(t)). Enfin, le graphe de la fonction F (qui nous donne y en fonction de y) nous permet de tracer l allure générale des solutions (dans un repère (t, y(t))). Un exemple Étudions un exemple issu de la dynamique des populations. On considère une population donnée et on note y(t) le nombre d individus à l instant t. Un modèle simpl(ist)e d évolution peut être donné par l équation (E) : y = y(1 y), y(0) = y 0. Ici, y 0 est le nombre d individus à t = 0 et la fonction F est F : a a(1 a). F(a) a

23 1.3. RÉSOLUTION APPROCHÉE D UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 23 Les zéros de F sont a = 0 et a = 1. Les solutions constantes (ou points fixes) de (E) sont donc y(t) = 0 t et y(t) = 1 t. D autre part, sur la courbe de la fonction F (ci contre), on voit que F (a) > 0 pour 0 < a < 1. L équation (E) nous permet alors de dire que si 0 < y(t) < 1, on a y (t) > 0 et la population augmente. De même, on voit que si y(t) n est pas dans l intervalle ]0, 1[. On peut facilement représenter cela en notant sur la courbe de F le sens de parcours de l axe y : y' y croissante y'<0 y'=0 y' y'>0 y'=0 y y'<0 y fixe (instable) y décroissante y fixe (stable) y y décroissante Ainsi, le point d équilibre y = 0 est naturellement qualifié d instable. Si y(t) varie ne serait-ce qu un tout petit peu autour de ce point en positif ou en négatif), la fonction y(t) s éloigne alors du point fixe. À l inverse, le point fixe y = 1 est un point fixe stable. Si l on perturbe y(t) autour de ce point, la fonction y(t) revient vers la valeur y = 1. On peut alors tracer les différentes solutions de (E) en fonction de y 0 : y(t) si y0>1, y(t) tend vers 1 t si 0<y0<1, y(t) s'éloigne de 0 et tend vers 1 si y0<0, y(t) tend vers - l'infini

24 24 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Classification des points fixes (en dimension 1) En généralisant ce que l on vient de voir, on peut classer les points fixes d une équation du type y = F (y) en étudiant le signe de la dérivée de F aux points où F (a) = 0. Ainsi, soit a tel que F (a) = 0. Si F (a) > 0, le point fixe y = a est instable. Si F (a) < 0, le point fixe y = a est stable. Dans le cas où F (a) = 0, le point fixe y = a est dit semi-stable ou point selle. Le comportement des solutions de (E) autour de ce point est alors donné par le signe de F (a). Ainsi, si F (a) > 0, la courbe de F autour de a est convexe. Le point fixe a est donc stable si l on déplace y vers la gauche et instable si l on déplace y vers la droite. Si F (a) < 0, c est le contraire. Si F (a) = 0, on étudie alors F (3) (a). Remarque : dans la réalité, les points selles n existent pas. En effet, ils correspondent à un état du système qui disparaît si le système subit une toute petite variation (ce qui ne peut manquer de se produire). On a alors disparition du point fixe ou apparition d un couple de points fixes stable/instable. Les points selles sont donc dits structurellement instables Calcul d une solution approchée Dans cette dernière partie, nous allons voir comment construire une solution approchée d une équation différentielle donnée sur un intervalle [a, b] donné. Il existe plusieurs méthodes d approximation, toutes basées sur le même principe : étant donné un problème différentiel d ordre 1 (P ) : y = f(t, y) y(a) = y 0 (f, a, y 0 connus), admettant une unique solution Y, l objectif est de construire une suites de points (t 0, y 0 ), (t 1, y 1 ),..., (t n y n ) tels que t 0 = a t n = b pour tout i, l ordonnée y i donne une valeur approchée de Y (t i ).

25 1.3. RÉSOLUTION APPROCHÉE D UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 25 Nous verrons dans un premier temps comment construire une telle suite de points à l aide de la méthode d Euler. Nous verrons ensuite comment mesurer la qualité de l approximation obtenue. Nous verrons enfin comment, en généralisant l idée d Euler, on peut construire des méthodes permettant d obtenir la précision que l on veut. Pour finir, nous irons sur machine pour programmer les différentes méthodes. La méthode d Euler Soit (P ) : y = f(t, y) y(t 0 ) = y 0 (f, t 0, y 0 connus) un problème différentiel d ordre 1 et Y son unique solution. C Y y 0 t 0 t L idée d Euler est d utiliser les propriétés de la fonction f pour construire, à partir du point (t 0, y 0 ) une suite de points (t i, y i ) telle que i, y i Y (t i ). Comme toute méthode d approximation la première étape consiste à discrétiser l axe du temps. On choisit pour cela un pas de temps h. Les abscisses t i sont alors définies par i, t i = t 0 + i.h. Le problème revient alors à déterminer, pas à pas, une valeur approchée de Y (t i ).

26 26 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Pas h y 0 y 0 t t0 t1 t2 t3 t4 Figure 1. Distrétisation en temps t t t t t Figure 2. Points cherchés t Note : en pratique, si l on cherche une approximation de Y sur l intervalle [a, b], on choisit un nombre n de pas. Le pas de temps h est alors donné par h = b a n. L idée d Euler est alors d utiliser la tangente à C Y fonction f, pour construire le point (t 1, y 1 ) : au point (t 0, y 0 ), donnée par la y y 1 0 t t t t t t En réitérant le processus à partir du point (t 1, y 1 ), on construit le point (t 2, y 2 ) à l aide la la tangente à C Y en (t 1, Y (t 1 )) puis les points (t i, y i ) en se basant à chaque fois sur la tangente à C Y au point précédent.

27 1.3. RÉSOLUTION APPROCHÉE D UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 27 y 2 y 0 y 0 t t0 t1 t2 t3 t4 t t t t t Figure 3. Calcul de (t 2, y 2 ) Figure 4. Calcul des (t i, y i ) t On obtient ainsi une approximation (en vert) de la solution y cherchée (en rouge). y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 t t t t t t D un point de vue analytique, on obtient les valeurs y i successives via l équation de la tangente à C Y. Précisément, la tangente à C Y en t 0 a pour équation T 0 : y = y 0 + (t t 0 ).Y (t 0 ) la valeur y 1 est l ordonnée du point de T 0 d abscisse t 1 = t 0 + h. Donc y 1 = y 0 + (t 1 t 0 ).Y (t 0 ) Mais Y étant solution de l équation y = f(t, y), on a Y (t 0 ) = f(t 0, Y (t 0 )) = f(t 0, y 0 ) donc y 1 = y 0 + h.f(t 0, y 0 )

28 28 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES On peut alors généraliser la formule précédente pour calculer chacun des y i i {1,..., n}, y i+1 = y i + h.f(t i, y i ) ( ) En pratique, on peut alors calculer les couples (t i, y i ) à partir de (t 0, y 0 ) à l aide d une boucle for : yi = y 0 ti = t 0 for i in range(1,n): yi = yi + h*f(ti,yi) ti = ti + h Pour terminer de valider l idée d Euler, il faut vérifier que la solution approchée donne une bonne approximation de la solution Y cherchée. Pour cela, on étudie les distances Y (t i ) y i qui permet de mesurer précisément l erreur commise. Avant de voir en détails comment mesurer cette erreur, notons que la formule ( ) s applique également aux système différentiels d ordre 1. Précisément, pour un système de m équations y 1 = f 1 (t, y 1, y 2,..., y m ) y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y m ) (S) :. y m = f m (t, y 1, y 2,..., y m ) on peut construire des suites (y 1,i ),... (y m,i ) via les formules y 1,i+1 = y 1,i + h.f 1 (t i, y 1,i,..., y m,i ). y m,i+1 = y m,i + h.f m (t i, y 1,i,... y m,i ) On peut en particulier résoudre ainsi les équations d ordres quelconque, puisqu une équation d ordre m peut être transformée en un système de m équations d ordre 1. Mesure d erreur Dans la méthode d Euler, l erreur commise lors du calcul du premier point (t 1, y 1 ) est la distance ε 1 = Y (t 1 ) y 1. La formule d Euler permet d exprimer y 1 en fonction de t 0 et y 0 : y 1 = y 0 + h.f(t 0, y 0 ). D autre part, les formules e Taylor permettent d exprimer Y (t 1 ) = Y (t 0 + h) en fonction de t 0 et y 0. Précisément, les formules de Taylor assurent qu il existe τ ]t 0, t 1 [ tel que Y (t 0 + h) = Y (t 0 ) + h.y (t 0 ) + h2 2 Y (τ) = y 0 + h.f(t 0, y 0 ) + h2 2 Y (τ)

29 1.3. RÉSOLUTION APPROCHÉE D UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 29 Ainsi, ε 1 où M = 1 2 max t [a,b] Y (t). = Y (t 0 ) y 0 = h2 2 Y (τ) h 2.M Cependant, comme on l a vu sur l exemple ci dessus, chaque pas peut induire une erreur supplémentaire. L erreur totale ε max est donc au plus n fois l erreur ε 1 : En notant que n.h = (b a), on a ε max n.h 2.M ε max (b a).h.m On obtient ainsi une majoration de l erreur commise en fonction des données du problème : Le terme (b a) indique que l erreur dépend en partie de la taille de l intervalle sur lequel on travaille. Le terme M = 1 2 max [a,b] Y (t) indique que l erreur est fonction des variations de la fonction solution Y que l on cherche. Le terme h indique que l erreur est fonction du pas que l on choisit pour la discrétisation. Les deux premiers termes sont directement donnés par le problème de départ. Ils restreignent donc la liste des problèmes que l on peut résoudre à l aide de la méthode d Euler. Le terme h est lui plus intéressant, puisqu il montre que la méthode est d autant plus précise que le pas choisi est petit (on note en particulier que ε max 0 quand h 0). D autre part, en étudiant de plus près l origine du terme h dans l erreur globale, on constate qu il est directement lié à l utilisation du développement de Taylor de Y à l ordre 1 dans le calcul de ε max. On peut alors généraliser la méthode d Euler en exploitant le développement de Taylor de Y à un ordre supérieur. On peut alors montrer que pour tout ordre d, il existe une fonction ϕ d (t, y) telle que la suite (t i, y i ) définie par ti+1 = t i + h y i+1 = y i + h.ϕ d (t i, y i ) soit une approximation de la solution Y telle que l erreur ε max vérifie ε max (b a).m.h d, la constante M dépendant uniquement de la fonction Y cherchée.

30 30 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Or puisque h d est d autant plus petit que d est grand, la seule limite concernant la précision que l on peut obtenir est donnée par les capacités de calcul des ordinateurs sur lesquels on travaille. En pratique, on utilise une méthode due à Runge et Kutta qui produit une erreur proportionnelle à h 4, appelée RK-4. Runge et Kutta ont en effet exhibé la fonction ϕ 4 et ont montré qu elle offrait un très bon compromis entre la qualité de l approximation et la complexité des calculs induits par la méthode. Précisément, la méthode RK-4 est donnée par la formule suivante : y i+1 = y i (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) où k 1 = h.f(t i, y i ) Ç k 2 = h.f t i + h 2, y i + k å 1 2 Ç k 3 = h.f t i + h 2, y i + k å 2 2 k 4 = h.f(t i + h, y i + k 3 ) Notons enfin que, comme pour la méthode d Euler, on peut facilement généraliser les formules ci-dessus pour les appliquer à un système de m équations d ordre 1. On peut en particulier déterminer une solution approchée de n importe quelle équation d ordre m. Un exemple : le pendule Considérons un pendule modélisé par le schéma ci dessous. θ(t) Les équations de la physique permettent d établir qu à chaque instant, l angle θ(t) vérifie une équation de la forme θ κθ + sin(θ) = 0,

31 1.3. RÉSOLUTION APPROCHÉE D UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 31 la constante κ > 0 dépendant des caractéristiques physique du dispositif (masse, longueur du fil, résistance au vent,...). L équation n étant pas linéaire, on ne sait pas la résoudre de façon exacte. Cependant, les méthodes d Euler et RK-4 permettent d en obtenir une solution approchée (en prenant par exemple pour conditions initiales θ(0) = π 2, θ (0) = 0). Voici quelques résultats, en fonction de la méthode et du pas choisi : Euler RK h= h= h= On constate en particulier que pour la méthode d Euler, le résultat est d autant meilleur que le pas est petit (le résultat est même absurde dans le cas h = 0.1), alors que pour RK-4, même le pas le plus grossier donne une très bonne approximation du phénomène.

32 32 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

33 Chapitre 2 Séries numériques, séries entières Introduction Les séries numériques sont des suites numériques particulières. Ce sont précisément les suites que l on peut définir à l aide de sommes : étant donnée une suite numérique (u n ), on appelle série de terme général (u n ), noté série u n la suite (S n ) définie par n n N, S n = u k. k=0 Le fait de d exprimer une suite (la suite (S n )) sous la forme d une somme permet d étudier ses variations en détails et d en comprendre précisément l évolution quand n grandit. D un point de vue théorique, les suites définies sous forme de somme permettent de développer des outils supplémentaires pour l étude des suites. L objectif de ce cours est de se familiariser avec la manipulation de sommes et de présenter certaines méthodes d étudie des séries. Nous verrons ensuite comment les séries permettent de représenter les fonctions réels via une généralisation de la notion de développement limité. Soit donc (u n ) une suite de nombres réels (ou complexes). On appelle série de terme général u n, notée série u n la suite (S n ) définie par n N, n S n = u k = u 0 + u u n. k=0 u n est alors le terme général d indice n et S n la somme partielle de la série u n (on pourra parler indifféremment de série u n ou de suite des sommes partielles). Questions : 33

34 34 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES Comment étudier le comportement de la suite (S n )? Quelles informations sur la suite (S n ) peut on obtenir de la suite (u n )? 2.1 Sommes partielles explicites Une première méthode pour étudier une série consiste à déterminer les sommes partielles S n = u k sous forme explicite. Il existe certaines classes de séries pour n lesquelles k=0 on sait le faire rapidement Les séries polynomiales Pour tout k N, on note u k = k. 1. Calculer les premiers termes de la série u k. 2. Vérifier sur ces premiers termes que n u k = k=0 n(n + 1) 2 ( ) 3. Montrer que la formule ( ) est vraie pour tout n N. On peut de même déterminer une formule explicite pour toutes les séries dont le terme général est une puissance de k (u k = k 2, u k = k 3,...). On peut ainsi obtenir une forme explicite pour touts les séries dont le terme général est un polynôme. 4. En admettant que la formule suivante est vraie n k 2 = k=0 n(n + 1)(2n + 1), 6 déterminer sous forme explicite les sommes partielles de la série de terme général u k = 3k 2 k Les séries géométriques Pour tout k N, on note u k = 1 2 k. 1. Calculer les premiers termes de la série u k. 2. Vérifier sur ces premiers termes que n u k = 2 1 k=0 2 n ( )

35 2.2. CONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES Montrer que la formule ( ) est vraie pour tout n N. On peut de même montrer que pour tout nombre réel q 1, on a n k=0 (l égalité ( ) correspondant au cas q = 1 2 ). q k = 1 qn+1 1 q. À partir de cette dernière formule, on peut obtenir une forme explicite pour toutes les séries dont le terme général est de la forme u k = aq k+p. 4. Déterminer sous forme explicite les sommes partielles de la série de terme général u k = 3 2 k Les séries télescopiques Pour tout k N, on note u k = 1 k(k+1) 1. Calculer les premiers termes de la série u k. 2. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle 3. Montrer que pour tout n N, on a 1 k(k + 1) = a k + b k + 1. n k=1 u k = 1 1 n + 1. De façon générale, si, pour une suite (u n ) donnée, on peut trouver une autre suite v n telle que n N, u n = v n+1 v n, les sommes partielles de la série u k vérifient n N, n u k = v n+1 v 0. k=0 2.2 Convergence des séries numériques Définition Étant donnée une suite numérique (u n ), la série u n est dite convergente si la suite (S n ) de ses sommes partielles est convergente. Dans ce cas, sa limite S est appelée somme de la série u n et l on note S = + n=0 u n.

36 36 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES C est une somme infinie! L étude des séries numériques consiste alors principalement à développer des outils permettant de déterminer si une série donnée converge ou non. La façon la plus simple de déterminer la nature d une série donnée est de calculer explicitement ses sommes partielles. On est alors amené à étudier une suite explicite, pour laquelle on a déjà de nombreux outils. Exemples : Les séries géométriques. Si (u n ) est une suite géométrique définie par n N, u n = q n (q 1) on sait que la suite (S n ) des sommes partielles associées à (u n ) est donnée par n N, S n = 1 qn+1 1 q. La série u n est donc convergente si et seulement si q < 1. Dans ce cas, la somme des u n est + q k = 1 1 q. k=0 Les séries télescopiques. S il existe une suite (v n ) telle que u n = v n+1 v n pour tout n N, alors n S n = u k = v n+1 v 0. k=0 La série u n converge donc si et seulement si la suite (v n ) converge. Et si l est la limite de (v n ), on a S = u k = l v 0. k=0 Cependant, hormis les quelques cas vus plus haut, il est rare que l on puisse déterminer une forme explicite de la suite des sommes partielles. Cependant, il est possible d étudier une série en étudiant uniquement son terme général. Ainsi, le signe des termes de la suite (u n ) donne le sens de variation de la séries associée. En effet, le sens de variation d une série u n étant donné par le signe de la différence il est claire que S n+1 S n = u n+1, Si tous les u k sont positifs, la série u k est croissante.

37 2.2. CONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES 37 Si tous les u k sont négatifs, la série u k est décroissante. Si les u k changent de signe, la série u k oscille. On verra plus loin que cette propriété et d autres permettent de déterminer la nature d une série (convergente ou divergente) et parfois d en déterminer la limite éventuelle Vitesse de convergence Les séries sont un outil efficace pour faire du calcul approché. En effet, si l on connaît une série qui converge vers une quantité que l on veut estimer, on obtient une valeur approchée de la valeur cherchée en calculant n importe laquelle des sommes partielles. Plus on prend de terme dans cette somme partielle, plus on se rapproche de la valeur cherchée et l on peut être aussi précis que l on veut, quitte à prendre suffisamment de termes. Dans ce cadre, il est utile de pouvoir déterminer la vitesse de convergence d une série. Pour cela on définit le reste d une série numérique : soit (u n ) une suite dont la série associée converge. Pour tout n N, on peut écrire + n + u k = u k + u k. k=0 k=0 k=n+1 Le terme R n = + k=n+1 u k est le reste d ordre n de la série u n. Puisque la série converge, la suite (R n ) tend vers 0 et la vitesse de convergence de la suite (S n ) est donnée par la vitesse à laquelle la suite (R n ) tend vers 0. Ainsi, dans le cas des séries géométriques, si q < 1, le reste de la série q n est R n = + k=n+1 q k = qn+1 1 q. Il s agit d une suite qui tend vers 0 à la vitesse de q n. La convergence de la série géométrique q n 1 vers sa limite se fait à une vitesse exponentielle. 1 q De même, il est possible d estimer la vitesse de convergence d une série alternée. Il est en effet possible de montrer que n N, R n u n+1. Autrement dit, une série alternée convergente converge à la vitesse à laquelle son terme général tend vers 0. (Exercice : établir l inégalité ( ) en se basant sur le dessin en colimaçon vu plus haut).

38 38 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES 2.3 Critères de convergence Comme dans le cas des suites, l étude d une série a pour but de déterminer sa nature et de calculer sa limite le cas échéant. Or hormis les quelques exemples vus plus haut, il n est pas toujours possible de calculer explicitement la suite des sommes partielles. Il existe alors des outils permettant de déterminer la nature d une série donnée à partir de l étude de sont terme général u n. Ainsi, un premier critère de convergence (un critère de bon sens) est que pour que la série u n converge, il est nécessaire que la suite (u n ) tende vers 0. On conçoit en effet facilement que si le terme que l on ajoute à la somme partielle S n pour passer à S n+1 ne diminue pas, la somme ne peut pas se stabiliser. ATTENTION : ceci est une condition nécessaire, et non suffisante : pour qu une série converge, il faut que son terme général tende vers 0, mais cela ne suffit pas. Autrement dit, il existe des séries dont le terme général tend vers 0 et qui ne convergent pas. La première chose à faire lors de l étude d une série est donc de déterminer la limite de son terme général. Si cette limite n est pas nulle, la série ne converge pas. Dans le cas contraire, le vrai travail commence. Les mathématiciens ont produit un certain nombre de critères se rapportant au terme général u n qui permettent de déterminer la nature de la série associée. Les premiers critères que l on va voir permettent de déterminer des grandes classes de séries que l on sait traiter. Les critères suivants sont des critères de comparaisons. Il permettent de comparer de nombreuses séries aux séries de références que l on sait traiter à l aide des premiers critères Les séries alternées Une première classe de séries pour lesquelles on peut établir la convergence sans nécessairement calculer les sommes partielles de façon explicites sont les séries alternées. Exemple : pour tout n N, on note u n = ( 1)n et (S n ) la suite des sommes n partielles associée. En plaçant les différentes valeurs de (S n ) sur une droite, on constate que la série u n converge :

39 2.3. CRITÈRES DE CONVERGENCE S 1 S 3 S 5 S 4 S 2 Outre cet argument géométrique, on peut montrer d un point de vue analytique que la série ci-dessus converge. Le calcul de la somme de cette série est plus complexe. De façon générale, on appelle série alternée toute série associée à une suite (u n ) qui vérifie les conditions suivantes le signe de u n change à chaque pas, la suite ( u n ) décroit et tend vers 0. On peut alors montrer que toute série alternée est convergente. D autre part, on peut montrer que pour tout n N, le reste R n d une série alternée est borné par le premier terme de ce reste : R n u n+1. Autrement dit, la convergence d une série alternée est aussi rapide que la convergence vers 0 de son terme général Séries à termes positifs Hormis les séries alternées pour lesquelles on vient de voir un critère précis de convergence, les changements de signe du terme général u n rendent souvent difficile l étude de la convergence de la série u n. Dans toute la suite, on se contentera donc d étudier les séries dont le terme général u n est positif pour tout n N. Notes : Si une série est à termes positifs, la suite (S n ) de ses sommes partielles est croissante. Cela permet donc d appliquer des critères de convergence connus pour les suites monotones. Bien que cela semble restreindre le champs d application de ces critères, l étude des séries à termes positifs permet néanmoins de traiter de nombreux cas pour la raison suivante : si (u n ) est une suite dont les termes sont de signes quelconques, on peut montrer que si la série u n converge, il en est de même pour la série u n. Autrement dit, pour toute série u n, l étude de la suite positive u n donne souvent de nombreuses informations sur le comportement de la série de départ.

40 40 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES (ATTENTION, la réciproque est fausse : on peut trouver des séries u n qui convergent et telles que la série u n ne converge pas). Comparaison séries intégrale Un outil important pour l étude des séries à termes positifs est la comparaison aux intégrales. Soit en effet (u n ) une suite explicite, positive et telle que u n 0. Si (u n ) est explicite, il existe une fonction f telle que n N, u n = f(n). La valeur de u n donne alors l aire du rectangle de base 1 et de hauteur f(n). La somme partielle S n est alors la somme des aire de ces rectangles. On peut alors relier les sommes partielles de la série u n à des intégrales portant sur la fonction f (surtout si f est monotone) : k k+1 n-1 n On a alors n n n+1 f(t) dt u k f(t) dt 0 k=1 1 Autrement dit, la suite des sommes partielles suit le comportement des deux intégrales quand n grandit. Si le calcul intégral nous permet de calculer explicitement ces deux intégrales en fonction de n, on peut alors appliquer les critères d encadrement pour déterminer la nature de la série u n. Exemple : la série 1 n ne converge pas. La comparaison Séries/Intégrales permet de mettre en place d autres critères de convergence. On peut en particulier démontrer qu une série de terme général u n = 1 n α converge si et seulement si α > 1. De telles séries sont appelées séries de Riemann et jouent un rôle

41 2.3. CRITÈRES DE CONVERGENCE 41 fondamental dans l étude des séries numériques en tant que séries de référence. ATTENTION : la comparaison aux intégrales permet d encadrer les sommes partielles d une série et de contrôler son comportement global. Ce critère ne permet pas, en général de calculer la somme d une série (pourquoi?). D autres critères de convergence Outres le critère de comparaison séries/intégrales, il existe pour les séries u n à termes positifs des critères de convergence basés uniquement sur l étude de la suite (u n ). En voici quelques exemples : 1. Règle de D Alembert : s il existe k ]0, 1[ telle que u n+1 rang, alors la série u n est convergente. u n k à partir d un certain Exemple : la série n! n n est convergente. 2. Règle de Cauchy : s il existe k ]0, 1[ telle que n u n k à partir d un certain rang, alors la série u n est convergente. Exemple : pour tout α R, la série n α q n est convergente si 0 < q < 1. Note : en pratique, les règles de D Alembert et Cauchy s utilisent en calculant les limites u n+1 n lim ou lim u n n + u n n + La convergence de la série étudiée est alors assurée si l une de ces limite est strictement plus petite que 1. Critères de comparaison Les critères que l on vient de voir permettent de déterminer les grandes familles de séries dont on connaît le comportement. Les deux familles les plus célèbres sont Les séries géométriques dont le terme général est de la forme u n = u 0.q n qui convergent si et seulement si q < 1. Les séries de Riemann dont le terme général est de la forme u n = 1 qui convergent n α si et seulement si α > 1. Les critères qui suivent permettent de comparer le comportement de deux séries dont on peut comparer les termes généraux : soient (u n ) et (v n ) deux suites à termes positif.

42 42 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES 1. Si, à partir d un certain rang, on a 0 u n v n ( ), alors si la série v n converge, la série u n converge également, si la série u n diverge, la série v n diverge également. (Dans le cas ( ), on dit que la suite (v n ) domine la suite (u n )). 2. Si u n + v n alors les séries u n et v n ont le même comportement. (Rappelons que u n v n un v n 1). Ces critères permettent de comparer certaines séries aux séries de références sus-citées. Si l on peut par exemple montrer que le terme général u n de la série que l on étudie est équivalent à q n (q > 0), la valeur de q nous donne la nature de la série u n. De même, le critère d équivalence permet de comparer toute série dont le terme général est une fraction rationnelle à une série de Riemann. On peut alors établir le résultat suivant : soit (u n ) une suite définie par n N, u n = P (n) Q(n) où P et Q sont deux polynômes. La série u n converge si et seulement si deg Q deg P < 1. Notes : Comme précédemment, on peut comparer deux séries u n et v n en calculant la limite u n lim. n + v n Si ce quotient tend vers 1, les deux suites sont équivalentes. Si la limite est < 1, alors la suite (v n ) domine la suite (u n ). Comme dans le cas des comparaisons séries/intégrales, ces critères de comparaison ne donnent qu un résultat qualitatif. Ils ne permettent pas, en général de calculer la somme d une série. 2.4 Séries entières Définitions Les séries entières sont des fonctions définies à l aide de sommes infinies de séries numériques. Précisément, une série entière est une fonction de la forme où (a n ) est une suite numérique donnée. Exemples : f : x + k=0 a n x n

43 2.4. SÉRIES ENTIÈRES 43 si a n = 1 pour tout n N, on a f(x) = si a n = 1 n pour tout n N, on a f(x) = si a n = 1 n!, on a f(x) = + k=0 x n n!. + k=0 + k=1 x n. x n n Rayon de convergence Une fois fixée une suite (a n ) et la série entière f : x a n x n associée, il faut, dans un premier temps déterminer le domaine de définition de f. En terme de séries, la question à laquelle il faut répondre est : pour quelles valeurs de x R la série a n x n est-elle convergente? Ainsi, si a n = 1 pour tout n N, la série x n converge si et seulement si x < 1. La série entière f : x + k=0 x k est donc définie sur l intervalle ] 1, 1[. De façon générale, on peut, pour déterminer le domaine de définition d une série entière donnée utiliser les critères de convergence vus au chapitre précédent. Le critère de d Alembert, notamment, permet de traiter de nombreuses séries entières. Exemples : Soit S la série entière associée à la suite (a n ) : a n = 1 n : S(x) = n=1 x n n. Le domaine de définition de S est l ensemble des x pour lesquels la série x n n converge. En posant u n = x n, le critère de d Alembert donne : n u n+1 u n = = x n+1 n + 1. n x n n n + 1 x u n+1 u n n + x Ainsi, pour tout x R tel que x < 1, le critère de d Alembert assure la convergence de la série u n et réciproquement, pour tout x R tel que x > 1, ce même critère

44 44 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES assure la divergence de la série u n. Autrement dit, la somme S(x) existe pour tout x ] 1, 1[ mais n existe pas pour tout x ], 1[ [1, [. Pour terminer l étude du domaine de la série S, il reste à étudier les cas x = ±1. Or d après les chapitres précédents, on sait que la série 1 est divergente (série de n Riemann), donc S n est pas définie en 1. À l inverse, on sait que la série ( 1) n est n convergente (série alternée) donc S( 1) existe. Autrement dit, le domaine de définition de la série est D f = [ 1, 1[. S : x En appliquant la même méthode à la série entière associée à la suite (a n ) : a n = 1, n! on peut montrer que la série x n est définie sur R tout entier (la limite du critère n! de Cauchy est en effet nulle quelque soit x R). De façon générale, on peut montrer qu une série entière est toujours définie sur un intervalle de la forme ( R, R) pour un R 0. Cette borne R est appelée rayon de convergence de la série a n x n (et peut même être infini). Pour déterminer ce rayon de convergence, on utilise en général le critère de d Alembert comme on l a vu plus haut. Ce critère permet en effet de déterminer le rayon R. L étude complète du domaine de définition doit alors se terminer par l étude des cas particulier x = ±R pour savoir si l on ferme ou non chacune des bornes de l intervalle ( R, R). Remarque : formellement, on peut définir une série entière pour n importe quelle suite numérique (a n ). Cependant, l étude du domaine de définition peut alors montrer que le rayon de convergence est nul. Dans ce cas, la fonction x a n x n n est définie qu en x = 0. Exemple : a n = n!. n= Opérations sur les séries entières Les séries entières, au même titre que les polynômes, sont des objets que l on peut additionner ou multiplier entre eux. Autrement dit, la somme ou le produit de deux séries entières est encore une série entière. Il existe alors des formules permettant de déterminer les coefficients de cette nouvelle série entière, ainsi que son rayon de convergence. Précisément, soient S et T deux séries entières associées respectivement aux suites (a n ) et (b n ) : S(x) = a n x n, T (x) = b n x n. n=0 On note respectivement R a et R b les rayons de convergence de S et T. Alors x n n n=0

45 2.4. SÉRIES ENTIÈRES 45 La somme S + T est une série entière dont les coefficients (s n ) sont donnés par n N, s n = a n + b n. D autre part le rayon de convergence R s de la somme S + T vérifie R s min{r a, R b }. Le produit S T est une série entière dont les coefficients (p n ) sont donnés par n n N, p n = a k b n k. k=0 D autre part, le rayon de convergence R p du produit S T vérifie encore R p min{r a, R b } Régularité d une série entière Une fois que l on a déterminé le rayon de convergence d une série entière, on souhaite savoir pour quelles valeurs de x ( R, R) elle est continue, dérivable. Dans le cas des sommes finies, on sait que si chaque terme d une somme est dérivable, alors la somme l est également et la dérivée de la somme est la somme des dérivées de chacun des termes. Dans le cas des sommes infinies, le problème est beaucoup plus complexe. Il relève des problèmes dits de passage à la limite sous le signe somme. Précisément, dans le cas des sommes infinies, il n est pas toujours sur que lim fn (x) = lim f n (x). x a x a Cependant, dans le cas particulier des séries entières, on peut montrer que toute série entière de rayon de convergence R est continue sur l ensemble ( R, R) de son domaine de définition et dérivable sur ] R, R[. De plus, la dérivée s obtient en dérivant terme à terme : f(x) = + k=0 a k x k f (x) = + k=0 ka k x k 1. et on peut montrer que la série entière obtenue en dérivant terme à terme à le même rayon de convergence que la série de départ. On peut de même montrer que pour une série entière f : x a n x n, on peut sans restriction intégrer terme à terme sur l intervalle de convergence. Les primitives de f sont donc les fonctions de la forme F : x + k=0 a k k + 1 xk+1.

46 46 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES De plus, on peut là encore montrer que la série entière ainsi obtenue a le même rayon de convergence que la série f de départ. On pourrait alors pousser plus avant l étude théorique des séries entières (dérivabilités successives, limites aux bord de l intervalle de convergence,...). Cependant, on a ici les principales notions permettant de comprendre et utiliser les (nombreuses) applications des séries entières Développement en séries entières La première application des séries entières porte sur les fonctions usuelles. Précisément, en généralisant les idées présentes dans la notion de développement limité, on peut écrire sous forme de séries entières toutes les fonctions réelles usuelles. On obtient alors ces fonctions sous la forme d une somme infinie de monômes de la forme a n x n. Les D.L. ne sont alors qu une troncature de cette somme infinie. Du point de vue des séries, il s agit de déterminer une série donnée sous forme explicite. Par exemple, si a n = 1 pour tout n N, on a vu plus haut que la série x n est convergente pour tout x ] 1, 1[. D autre part, dans ce cas particulier, on sait exprimer la somme + k=0 x n sous forme explicite. Précisément : n N, x ] 1, 1[, En passant à la limite n +, on obtient n k=0 x k = 1 xn+1 1 x x ] 1, 1[, + k=0 x k = 1 1 x. On peut ainsi développer en séries entières la plupart des fonctions usuelles (cf exercices). Exercices : 1. Déterminer le DSE de x 1 et donner son rayon de convergence. (1 x) 2 2. Déterminer le DSE de x 1, n N et donner les rayons de convergence. (1 x) n 3. Déterminer le DSE de x ln(1 x), x ln(1 + x), x arctan(x) et donner les rayons de convergence. 4. Soit f : x + k=0 x k k!.

47 2.4. SÉRIES ENTIÈRES 47 (a) Retrouver le rayon de convergence de f. (b) Déterminer f sous la forme d une série entière. (c) En déduire une équation différentielle vérifiée par f. (d) Résoudre cette équation différentielle et en déduire f sous forme explicite. 5. À l aide de la notation exponentielle des fonction sin et cos, déterminer leur DSE et donner leurs rayons de convergence. Note : on peut aussi, de façon immédiate déterminer le DSE de n importe quelle fonction polynomiale P (x) = α 0 + α 1 x α d x d. Il s agit de la série entière associée à la suite (a n ) définie par a n = αn si n d 0 sinon Enfin, à partir des DSE des fonctions usuelles, on peut alors développer la plupart des fonctions que l on utilise à l aide des opérations (+ et ) que l on a définies plus haut Application aux équations différentielles Outre la nouvelle représentation qu offrent les séries entières pour les fonctions usuelles, elles permettent également d étendre l ensemble des fonctions à notre disposition pour répondre à différents types de problèmes. C est en particulier pour les équations différentielles linéaires. Le principe consiste à chercher les solutions d une équation différentielle linéaire donnée sous la forme d une série entière. La manipulation des différentes sommes permet alors d extraire de l équation des conditions sur les coefficients de toute série solution. Exemple : soit (E) : y 3y = 0. On suppose qu il existe une solution S(x) de (E) qui s écrive sous la forme S(x) = a n x n n=0 et on note R son rayon de convergence. D après ce que l on a vu plus haut, S est dérivable sur ] R, R[ et x ] R, R[, S (x) = na n x n 1. n=1

48 48 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES La fonction S vérifie alors x ] R, R[, S (x) 3S(x) = 0 na n x n 1 3 a n x n = 0 n=1 n=0 (n + 1)a n+1 x n 3 a n x n = 0 n=0 n=0 ((n + 1)a n+1 3a n )x n = 0 n=0 Or la somme obtenue a la fin du calcul ne peut être nulle que si tous ses coefficients sont nuls. La série S est donc solution de (E) si et seulement si la suite (a n ) de ses coefficients vérifie n N, (n + 1)a n+1 3a n = 0 a n+1 = 3a n n + 1 ( ). On obtient ainsi que représentation de (a n ) sous la forme d une suite récurrente. Il est alors possible d utiliser les outils d étude des suites récurrentes pour avoir de l information sur (a n ) et donc les solutions de (E) qui admettent un développement en série entière. Dans notre exemple, l étude des suites (a n ) vérifiant la relation ( ) permet d en obtenir une forme explicite. On peut en effet montrer par récurrence que n N, a n = 3 n a n 1 = 3 n. 3 n 1 a n 2 = 3 n. 3 n 1. 3 n 2 a n 3. = 3 n. 3 n 1. 3 n a 0 = 3n n! a 0 Les solutions de (E) développables en série entière sont donc les fonctions de la forme S : x a 0 n=0 3 n x n, a 0 R. n!

49 2.4. SÉRIES ENTIÈRES 49 Pour terminer l étude, il reste à étudier le rayon de convergence R des séries obtenues (ici, R = + ). Les solutions ainsi obtenues sont valables sur l intervalle ] R, R[ correspondant... Exercice : dans l exemple précédent, il est possible d obtenir une forme explicite pour les solutions S cherchées. 1. Déterminer cette forme explicite et vérifier qu elle correspond bien aux solutions trouvées par la méthode classique de résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants. 2. Comment se traduit le fait d jouter une condition initiale de la forme y(0) = y 0 à l équation (E)? Cette méthode peut s appliquer à toutes les équations linéaires homogènes dont les coefficients sont des polynômes. Il est également possible d ajouter un second membre pour lequel on connaît un développement en série entière. Dans ce dernier cas, le protocole reste cependant le même que dans la méthode classique : on comment par chercher l ensemble des solutions de (E) sous la forme de séries entières puis on cherche une solution particulière de l équation complète sous la forme d une série entière. La somme des deux donne alors l ensemble des solutions de l équation étudiée. Exemples 1. Détermine l ensemble des solutions développables en séries entières de l équation (H) : y + y = 0. On précisera le rayon de convergence des séries obtenues. 2. Déterminer une solution particulière sous la forme d une série entière pour l équation ci-dessous : (E) : y + y = sin(2t). 3. Déterminer parmi toutes les solutions de (E) celle qui vérifie les conditions initiales y(0) = 0, y (0) = 1. Notes : Selon l équation étudiée, il peut arriver que le rayon de convergence des séries obtenues est nul ; autrement dit, elles ne sont définies nulle part. Cela signifie alors que l équation étudiée n admet pas de solution développable en série entière. Il n est pas toujours possible d obtenir une forme explicite pour les solutions cherchées (il n est même pas acquis que l on puisse obtenir une forme explicite pour la suite (a n ).

50 50 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES ENTIÈRES Cependant, la méthode permet toujours d obtenir une approximation des solutions que l on cherche. Il suffit pour cela de considérer toute forme partielle n S n : x a k x k. k=0 L approximation est d autant plus précise que le nombre n de termes considérés est grand (et on peut être aussi précis que l on veut, quitte à considérer suffisamment de termes).

51 Chapitre 3 Coniques, quadriques, formes quadratiques Introduction On appelle conique toute courbe de type Ellipse Parabole Hyperbole L histoire des coniques commence à la fin de l antiquité (IVième siècle avant J.C.) lorsque qu Apollonius s est le premier intéressé à l intersection d un cône de révolution avec un plan de l espace. 51

52 52 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES Ellipse Parabole Hyperbole Tous les grand mathématiciens de l histoire se sont alors un jour ou l autre penchés sur les coniques. Parmi les contributions qui nous sont parvenues et qui sont restées célèbres, citons les travaux d Archimède qui étudia de près le calcul d aires et de volumes délimités par des coniques et quadriques. On pourra également citer le rôle qu ont joués les coniques lorsqu au Xième siècle, lorsque les mathématiciens perses et arabes (Al-Khawarizmi, Omar Khayyam, etc) ont commencé posé les bases de l algèbre en traduisant les problèmes géométriques liés aux coniques en termes d équations algébriques (travail que Descartes a grandement développé quelques siècles plus tard, toujours à l aide des coniques). Citons enfin les travaux de l astronome Kepler dont toute la théorie astronomique est basée sur le fait que les objets se déplaçant dans l espace (lunes, planètes, comètes, etc) suivent des trajectoires elliptiques, voire paraboliques. Archimède av. J.-C. Al-Khawarizmi René Descartes Johannes Kepler

53 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 53 D un point de vue pratique, les coniques et leurs propriétés ont d abord été utilisées pour l esthétique des courbes et surfaces associées, notamment en architecture ; la théorie mathématique permettant alors de formaliser de nombreux problèmes de mise en œuvre (stabilité de la structure, méthodes d exécution, etc). Mais certaines propriétés (notamment liées aux tangentes que l on peut tracer sur une conique) ont trouvé leur utilisation en optique et en acoustique et plus généralement en physique ondulatoire. Enfin, plus formellement, les coniques et quadriques offrent un outil puissant à l analyse statistique, dont les méthodes consistent à tirer de l information d un nuage de points (représentant la population étudiée). 3.1 Coniques et quadriques Définition géométrique d une conique Bien que naturelle, la définition des coniques comme intersection d un plan et d un cône a un inconvénient majeur dans son utilisation par le fait qu elle impose un travail en 3 dimensions alors que les courbes étudiées sont des courbes planes. Le premier travail des mathématiciens a alors été de trouver une autre définition pour ces coniques, basée uniquement sur des éléments du plan. Ainsi, pour définir une conique dans un plan, on choisit un point du plan : le foyer F, une droite (ne passant pas par F ) : la directrice D, un réel (> 0) : l excentricité e. On appelle alors conique associée au triplet (F, D, e) (ou simplement conique (F, D, e)) la courbe C formée par l ensemble des points M du plan tels que d(m, F ) = e.d(m, D).

54 54 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES H M F D En notant H M le projeté orthogonal de M sur D, la conique C définie par (F, D, e) est l ensemble des points M tels que MF = e.mh M. On peut montrer que cette définition correspond aux mêmes courbes que celles obtenues par l intersection de cônes par des plans, la nature de la conique étant déterminée par la valeur de l excentricité e : Si 0 < e < 1, C est une ellipse. Si e = 1, C est une parabole. Si e > 1, C est une hyperbole. A partir de cette définition et à l aide de résultats de géométrie élémentaire du plan, on peut alors exhiber certaines propriétés des coniques. Exercice : montrer qu une conique (au sens de la définition ci-dessus) ne rencontre ni son foyer ni sa directrice Symétries et points remarquables d une conique Outre sa directrice et son foyer et son excentricité, on peut associer à chaque conique d autres éléments caractéristiques. Ainsi, on appelle axe focal d une conique donnée l unique droite du plan passant par F perpendiculairement à D.

55 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 55 F F F D D D On peut alors montrer que l axe focal est toujours un axe de symétrie de la conique étudiée. M M M F F F D M' D M' M' D Exercice : le démontrer à l aide de la définition géométrique 2D (rappel : pour un objet du plan, un axe de symétrie est une droite du plan telle que la symétrie orthogonale par rapport à cette droite laisse l objet globalement inchangé). Outre cette propriété, l axe focal permet de mettre en évidence certains points particuliers des coniques : les sommets. Formellement, les sommets d une conique sont ses points d intersections avec ses axes de symétrie. L axe focal produit donc deux sommets S et S pour une ellipse ou une hyperbole et un sommet S pour une parabole. S F S' S F S' S F D D D Il est là encore possible de démontrer cette propriété à l aide la définition. L exercice en est laissé au lecteur.

56 56 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES Par ailleurs, dans le cas des ellipses et des hyperboles, on peut, à partir des deux sommets de l axe focal, déterminer un second axe de symétrie : la médiatrice du segment [SS ]. Dans ce cas, ce second axe de symétrie permet de mettre en évidence un second foyer F, symétrique du premier ainsi qu une seconde directrice D et l intersection des deux axes de symétrie correspond a un centre de symétrie appelé centre de symétrie de la conique (on qualifie alors parfois les ellipses et les hyperboles de coniques à centre). Enfin, pour les ellipse, ce second axe de symétrie nous donne également deux sommets supplémentaires S et S. Notons qu il est toujours possible de démontrer ces propriétés à partir de la définition géométrique d une conique, mais la tache se complique... le manque de coordonnées permettant de traduire les problèmes géométriques en calculs se fait de plus en plus sentir. Mais avant de voir comment introduire ces notions de coordonnées, revenons sur les surprenantes propriétés acoustiques et optiques des coniques via leurs tangentes Tangentes à une conique Ellipse. Sur une ellipse de foyers F et F, la tangente en un point M 0 est la bissectrice extérieure de l angle ((M 0 F ), (M 0 F )). T0 M0 F F' Cela a souvent été utilisé en acoustique, puisque cela se traduit par le fait que tout son émis depuis l un des foyers d une ellipse est envoyé sur l autre foyer.

57 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 57 Parabole. Sur une parabole de foyer F et d axe focal, la tangente en un point M 0 est la bissectrice extérieure de l angle ((M 0 F ), M0 ) où M0 est la parallèle à passant par M 0. M0 T0 F Cela peut-être utilisé en optique : si l on place une source de lumière au foyer, tous les rayons qui se reflètes sur la parabole sont renvoyés en un faisceau de lumière cohérent, parallèle à l axe focal (phare de voiture, phare maritime, projecteur, etc). Réciproquement, cette propriété se traduit par le fait que toute onde entrant dans la parabole parallèlement à l axe focal est envoyée sur le foyer (antennes paraboliques, fours solaires, etc). Enfin, notons que les tangentes à une hyperbole ont également une propriété géométrique que l on peut énoncer en termes d angles : sur une hyperbole de foyers F et F, la tangente en un point M 0 est la bissectrice intérieure de l angle ((M 0 F ), (M 0 F )).

58 58 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES M0 F F' T De la géométrie à l algèbre Pour aller plus loin dans l étude des coniques, il devient maintenant nécessaire d introduire la notion de coordonnées dans le problème. On doit pour cela placer un repère dans le plan grâce auquel tout point du plan sera représenté par ses coordonnées (x, y). En pratique, on va voir qu à chaque conique, on peut associer une fonction f de deux variables telle que l ensemble des points de la conique étudiée est l ensemble des points M dont les coordonnées (x, y) vérifient l équation f(x, y) = 0. Dans toutes les démonstrations que l on fera par la suite, on pourra alors remplacer la propriété M est sur la conique par les coordonnées de M vérifient l équation f(x, y) = 0. Notons qu une telle équation est dite implicite, par opposition aux équations explicites de la forme y = ϕ(x). Notons également que pour une conique donnée, la fonction f obtenue est intimement liée au repère choisi. Autrement dit, selon le repère choisi, les éléments caractéristiques de la conique étudiée (axe focal, foyer(s), directrice(s), sommet(s), etc) auront des expressions plus ou moins simples et les propriétés géométriques plus ou moins faciles à démontrer. Soient donc F un point du plan, D une droite du plan et e > 0. On note C la conique associée à F, D et e et son axe focal. Pour déterminer un repère du plan, il faut un point (le centre du repère) et deux directions (les axes du repère). Il est donc naturel de choisir le foyer F comme centre du repère et les droites D et comme axes. On note alors R F = (F ; i, j ) le repère orthonormé ainsi obtenu. Dans ce repère, Ç å 0 Le foyer est le point F = 0 R F

59 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 59 L axe focal est la droite d équation y = 0. L équation de la directrice est de la forme x = constante. Traditionnellement, on note d la distance entre F et D de sorte que l équation de D dans R F soit x = d. Ç å Ç å x d Le projeté orthogonal H M d un point M = a pour coordonnées H y M = y R F A l aide de ces coordonnées, on peut alors exprimer les distances MF et MH M. On obtient alors l équation de C dans R en traduisant la relation MF = emh M : MF = emh M MF 2 = e 2 MH 2 M x 2 + y 2 = e 2 (x + d) 2 En développant cette équation et en notant p = ed, on obtient l équation (1 e 2 )x 2 + y 2 2epx p 2 = 0, p étant appelé paramètre de la conique C. On obtient donc la forme cherchée avec f(x, y) = (1 e 2 )x 2 + y 2 2epx p 2. A partir de cette première équation, on peut retrouver les premières propriétés évoquées à la section précédente. Ainsi, la symétrie d une conique par rapport à son axe focal se déduit du fait que f(x, y) = f(x, y). Autrement dit, si un point M = (x, y) est sur C, son symétrique M = (x, y) par rapport à l axe focal l est également. D autre part, puisque est la droite d équation y = 0, les sommets de C sont les points M = (x, y) dont les coordonnées vérifient le système R F f(x, y) = 0 (M C) y = 0 (M ) (1 e 2 )x 2 2epx p 2 = 0. En déterminant les racine de ce polynôme en x, on obtient les coordonnées du ou des sommet(s) de C dans R F : Pour une conique à centre : Å S = p ã Å e + 1, 0, S = p R F e 1 ãr, 0 F Pour une parabole : S = Ç d2 å, 0 Enfin, pour les coniques à centre, les coordonnées des sommets S et S permettent de déterminer les coordonnées du centre Å ep Ω = 1 e ãr, 0 2 F R F

60 60 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES Le second axe de symétrie des coniques à centre est alors la droite d équation x = ep 1 e 2 et pour une ellipse, les coordonnées des deux derniers sommets s obtiennent en résolvant le système Exercice : à faire. f(x, y) = 0 x = ep 1 e 2 Note : il est également possible de démontrer que la perpendiculaire à passant par Ω est bien un axe de symétrie de la conique à centre associée. On va cependant voir qu en changeant de repère, on peut obtenir une nouvelle équation à partir de laquelle cette propriété (ainsi que toutes les autres) devient évidente Équations réduites Les coniques à centres. Soit C est une conique d excentricité e 1. D après ce que l on a vu plus haut, l équation de C dans le repère R F = (F ; i, j ) associé aux éléments caractéristiques de C (foyer, directrice, axe focal) et les coordonnées de sont centre Ω sont respectivement Å ep (1 e 2 )x 2 + y 2 2epx p 2 = 0 et Ω = 1 e ãr, 0 2 F En déplaçant le repère R F au centre Ω de C, on obtient une nouvelle équation de C. Pour obtenir cette nouvelle équation, il faut relier les coordonnées (x, y) RF et (X, Y ) RΩ d un même point dans les deux repères. Or puisque pour tout point M du plan, on a F M = F Ω + ΩM, il vient x = X + ep 1 e 2 y = Y L équation de la conique dans le repère R Ω est alors donnée par Å (1 e 2 ) X + ep ã 2 Å 2ep X + 1 e 2 (1 e 2 )X 2 + Y 2 = p2 1 e 2 ep ã + Y 2 = p 2 1 e 2 Ç 1 e 2 p å 2 X e2 p 2 Y 2 = 1 αx 2 + βy 2 = 1 ( )

61 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 61 en posant α = ( ) 1 e 2 2 p et β = 1 e 2. p 2 On constate que dans cette équation n apparaissent que les carrés X 2 et Y 2 des inconnues. Cette équation est donc en particulier invariante par changement de signe de l une ou l autre des inconnues ; ce qui prouve automatiquement la symétrie de la conique C par rapport aux axes du repère. D autre part, les coordonnées des sommets principaux de C (i.e. ceux qui appartiennent à l axe focal (Ox)) s obtiennent en annulant Y : αx 2 = 1 X 2 = 1 α. Le coefficient α étant un carré, il est positif. Cette équation admet donc deux solutions distinctes : X = ± 1 α = ± p 1 e. 2 On note traditionnellement a = de sorte que les sommets principaux d une conique à centre soient les points p e 2 1 S = (a, 0) RΩ et S = ( a, 0) RΩ S a S' S' a S A On peut de même déterminer les coordonnées des sommets secondaires de C en annulant X dans l équation ( ) : βy 2 = 1 Y 2 = 1 β qui admet des solutions uniquement si β > 0. Ainsi, pour que C admette des sommets secondaire, il faut et il suffit que e < 1. On retrouve donc les ellipses et en posant 1 b = β = p, 1 e 2 on a S = (0, b) RΩ et S = (0, b) RΩ

62 62 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES S'' S a b S' Enfin, notons que dans le repère R Ω, les foyer F et F de C ont pour coordonnées Å ep ã Å F = e 2 1, 0 et F = ep ã e 2 1, 0 On note traditionnellement c = et l on peut vérifier que si C est une ellipse, alors si C est une hyperbole, alors ep e 2 1 S''' a 2 = b 2 + c 2, c 2 = a 2 + b 2 (notons que dans ce dernier cas, il faut poser b = p e 2 1 puisque e > 1). Ellipses RÉSUMÉ : Hyperboles Si C est une ellipse d excentricité e < 1 et de paramètre p, en notant a = p e 2 1, b = p 1 e 2, c = ep e 2 1, l équation de C dans R Ω est x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (équation réduite de d une ellipse) Les sommets de C sont les points de coordonnées (±a, 0) et (0, ±b) et les foyers sont les points de coordonnées (±c, 0). D autre part, quelque soit l ellipse, on a a 2 = b 2 + c 2. Si C est une hyperbole d excentricité e > 1 et de paramètre p, en notant a = p e 2 1, b = p e2 1, c = ep e 2 1, l équation de C dans R Ω est x 2 a 2 y2 b 2 = 1 (équation réduite de d une hyperbole) Les sommets de C sont les points de coordonnées (±a, 0) et les foyers sont les points de coordonnées (±c, 0). D autre part, quelque soit l ellipse, on a c 2 = a 2 + b 2.

63 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 63 Les paraboles. Si P est une parabole (e = 1), son équation dans le repère R F est (1 e 2 )x 2 + y 2 2epx p 2 = 0 y 2 2px = p 2 et les coordonnées de son unique sommet sont S = distance de F à D et que p = ed = d pour une parabole). Ç d2, 0 å R F (rappelons que d est la L équation réduite de P s obtient alors en déplaçant R F au sommet S de P. En notant respectivement (x, y) RF et (X, Y ) RS les coordonnées d un même point M du plan dans les repères R F et R S, on a x = X d 2 y = Y En injectant ces expressions dans l équation y 2 2px = p 2, on obtient l équation de la parabole dans le repère R S : Å Y 2 2p X p ã = p 2 2 Y 2 = 2pX Il s agit de l équation réduite d une parabole de paramètre p Équations cartésienne et signature Outre la simplification qu apporte la mise en équation des coniques, ce procédé permet également de généraliser la notion de conique. On peut en effet noter que quelque soit le repère que l on a choisi jusqu ici, l équation d une conique est un polynôme de degré 2 en (x, y). Par extrapolation, on appellera alors conique du plan toute courbe dont une équation implicite dans un repère quelconque du plan est de la forme où P (x, y) est un polynôme de la forme P (x, y) = 0 P (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f. ( ) Commençons par noter que ces équations recouvrent bien l ensemble des coniques que l on a vu jusque là. En effet, en prenant b = d = e = 0 et f = 1, on retrouve l équation réduite d une conique à centre,

64 64 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES en prenant a = b = e = f = 0, on retrouve l équation réduite d une parabole. Cependant, cette définition est plus générale, dans le sens où elle englobe d autres types de courbes, que l on pourra à partir de maintenant assimiler aux coniques. Ainsi, En prenant a = c et b = 0, on retrouve les équations implicites des cercles du plan (en prenant par exemple a = c = 1, b = d = e = 0 et f = 1, on obtient le cercle unité). En prenant a = b = c = 0, on retrouve les droites du plan. En prenant a > 0, c < 0 et b = d = e = f = 0, on retrouve des couples de droites s intersectant en (0, 0). Etc... Question : étant donnés un repère R du plan et un polynôme P (x, y), comment déterminer la nature de la conique C dont l équation dans R est P (x, y) = 0? On peut bien sur commencer par calculer et placer quelques points dans un repère. Cependant, on peut également procéder de façon analytique. On peut en effet montrer que si C est une conique à centre, il existe des repères du plan dans lesquels l équation de C est de la forme αx 2 + βy 2 = K. On peut en outre montrer que dans tous ces repères, le signe du coefficient de x 2 est le même et que le signe du coefficient de y 2 est le même. De plus, ces signes déterminent automatiquement la nature de la conique C. Précisément : si les coefficients α et β sont de même signe, alors C est une ellipse, si les coefficients α et β sont de signes contraires, alors C est une hyperbole. On peut alors définir la signature d une conique C, qui est le couple σ(c) = (m, n) où m indique le nombre de coefficients positifs et n indique le nombre de coefficients négatifs dans une équation réduite quelconque de C. On peut alors reformuler la proposition si dessus de la façon suivante : si la signature de C est (2, 0), alors C est une ellipse, si la signature de C est (1, 1), alors C est une hyperbole. Note : si la signature de C est (0, 2) on retourne l équation de façon à obtenir une signature (2, 0). Si maintenant C est une parabole, on peut montrer qu il existe des repères du plan dans

65 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 65 lesquels l équation de C est de la forme y 2 = 2px. la signature de C étant alors σ(c) = (1, 0), ce qui permet là encore de caractériser les paraboles Réduction (2D) Plaçons nous dans le plan muni d un repère R (quelconque) et notons C une conique du plan dont on connaît l équation P (x, y) = 0 dans R, P (x, y) étant un polynôme de degré 2 en les coordonnées (x, y) : P (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f. ( ) À l aide de manipulations élémentaires de l expression P (x, y), il est possible de déterminer rapidement la nature et la signature de la conique C. Les manipulations en questions permettent également de déterminer l un des repères dans lequel l équation de C est réduite (et donne en particulier le centre ou le sommet de C). La méthode de réduction se déroule en deux étapes. La première étape consiste transformer P (x, y) de telle sorte que le terme bxy (appelé terme rectangle) disparaisse. Pour cela, on isole les termes de degré 2, que l on appelle partie quadratique de P (x, y) : Q(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2. On peut alors faire disparaître le terme rectangle en mettant Q(x, y) sous forme canonique : Q(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 Ç = a x b å 2 å 2a y + Çc b2 y 2 4a Note : pour que cela soit valide, il faut que a 0. On supposera donc que c est toujours le cas (dans le cas contraire, on inverse les rôles de x et y dans la mise sous forme canonique). On supposera même que a > 0 (on peut en effet toujours se placer dans ce cas là en choisissant le bon côté de l équation P (x, y) = 0). En posant alors le changement de variable (C 1 ) : x = x b 2a y y = y

66 66 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES on obtient une nouvelle expression Q(x, y ) pour la partie quadratique de C : avec β = 4ac b2. 4a Q(x, y ) = αx 2 + βy 2 En effectuant le changement de variable (C 1 ) dans le polynôme P (x, y), on obtient un nouveau polynôme P (x, y ) de la forme P (x, y ) = αx 2 + βy 2 + γx + δy κ. Pour terminer la réduction, il reste à éliminer la partie linéaire γx + δy de l expression P (x, y ). Or il suffit pour cela d isoler les polynômes αx 2 + γx et βy 2 + δy et de mettre chacun d eux sous forme canonique. Dans le cas des coniques à centre, on peut trouver un dernier changement de repère (et donc de variables), transformant l équation de C en une équation de la forme AX 2 + BY 2 = K, A, B, K R Pour les paraboles, le traitement de la partie quadratique ne fait apparaître qu un seul carré y 2. On traite alors P (x, y ) pour obtenir une équation de la forme Y 2 = 2P X. Notes : En étudiant de près les différents calculs que l on vient d évoquer, on constate rapidement que dans le cas d une conique à centre, le signe des coefficients A et B obtenus à la fin de la réduction dépend uniquement de la première étape et donc de la partie quadratique du polynôme P (x, y). De plus, cette première étape étant basée sur la mise sous forme canonique de Q(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2, il est naturel d introduire le discriminant de Q(x, y) : = b 2 4ac. Comme pour la factorisation des trinômes du second degré, le signe de permet alors de déterminer la signature de la conique et donc sa nature : Si < 0, alors Q(x, y) est une somme de deux carrés et σ(c) = (2, 0). C est alors soit vide, soit un point, soit une ellipse (éventuellement un cercle). Si > 0, alors Q(x, y) est une différence de deux carrés et σ(c) = (1, 1). C est alors soit la réunion de deux droites sécantes, soit une hyperbole. Si = 0, alors Q(x, y) est un carré et σ(c) = (1, 0). C est alors soit vide, soit une droite, soit la réunion de deux droites parallèles, soit une parabole. Il est possible d interpréter géométriquement les deux étapes de la réduction en termes de changements de repères. Précisément, la première étape consiste remplacer l axe des ordonnées du premier pour former un repère dans lequel l équation n a plus de terme rectangle. La seconde étape consiste alors à déplacer le nouveau repère au

67 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 67 centre ou au sommet de C selon sa nature. On constate en particulier que si le repère de départ est orthogonal, il y a peu de chance que le nouveau le soit. Les axes du nouveau repère ne correspondent alors pas aux axes principaux de la conique étudiée et la nouvelle équation ne permet pas de déterminer directement les points particulier de C (sommets, foyers, etc). D autre part, les coefficients que l on obtient de la réduction ne peuvent donc s interpréter géométriquement comme on l a vu plus haut. Dans les sections suivantes, nous verrons qu il existe une méthode (basée sur la diagonalisation des matrices) permettant de déterminer un repère orthonormé adapté à la conique étudiée directement à partir du repère de départ. Exemple : on se place dans un repère R quelconque du plan et l on considère la courbe C du plan d équation C : x 2 2xy + 3y 2 x 1 = Isoler la partie quadratique Q(x, y) de l équation de C. 2. Quelle est la nature de la courbe? 3. Mettre Q(x, y) sous forme canonique. En déduire une nouvelle équation de C n ayant plus de terme rectangle. 4. À l aide d un second changement de variable, déterminer une troisième équation n ayant plus de terme linéaire. 5. Donner les coordonnées du centre de C dans le repère de départ Quadriques On peut facilement généraliser la notion de polynôme de degré 2 au cas de trois variables (x, y, z) : P (x, y, z) = q 1 x 2 + q 2 y 2 + q 3 z 2 + q 4 xy + q 5 xz + q 6 yz + l } {{ } 1 x + l 2 y + l 3 z + } {{ } }{{} K = 0 forme quadratique partie linéaire cste Or en dimension 3, la donnée d une contrainte de la forme P (x, y, z) = 0 sur les coordonnées associées à un repère quelconque de l espace définit une surface (un plan dans le cas ou l équation est linéaire). On appelle quadrique toute surface de l espace ayant pour équation dans un repère donné une expression de la forme P (x, y, z) = 0 où P est un polynôme de degré 2.

68 68 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES Comme en dimension 2, il existe pour chaque quadrique Q des repères de l espace dans lesquels l équation de Q est une somme de carrés. D autre part, on peut montrer que le signe des coefficients obtenus ne dépend pas du repère que choisi. On peut alors définir la signature d une quadrique, donnant le nombre de coefficients positifs et le nombre de coefficients négatifs de la forme quadratique réduite. Et, toujours comme en dimension 2, on peut montrer qu il n existe qu un nombre fini de quadriques différentes et que la nature d une quadrique est directement liée à sa signature. Enfin, si le repère de réduction est orthonormé, on peut interpréter les coefficients de la forme réduite associée en terme de longueurs caractéristiques. Classification des quadriques de l espace. Ellipsoïde Hyperboloïde à une nappe x 2 a + y2 2 b + z2 2 c = 1, σ = (3, 0) x 2 2 a + y2 2 b z2 = 1, σ = (2, 1) 2 c2

69 3.1. CONIQUES ET QUADRIQUES 69 Hyperboloïde à deux nappes Paraboloïde elliptique x 2 a y2 2 b z2 2 c = 1, σ = (1, 2) x 2 2 a + y2 = 2pz, σ = (2, 0) 2 b2 Paraboloïde hyperbolique Cylindre parabolique x 2 a y2 2 b = 2pz, σ = (1, 1) x 2 = 2py + 2qz, σ = (1, 0) 2 a2 Note : l intersection d une quadrique et d un plan de l espace produit une conique. Par exemple, l intersection d un ellipsoïde et du plan d équation x = 0 est l ensemble des points

70 70 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES de l espace vérifiant le système On retrouve l équation d une ellipse dans le plan (yoz). x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 x = 0 y 2 b 2 + z2 c 2 = 1 Exercice : à partir des équations données ci-dessus, déterminer pour chaque quadrique la nature des courbes obtenues par intersection avec les plans coordonnées. Note : de façon générale, étudier l intersection d une surface avec les plans du repère (ou même tout plan de l espace) donne un moyen efficace de se faire une idée de la forme générale de la surface. Enfin, toujours comme en dimension 2, on peut montrer que la nature d une quadrique dépend uniquement de la partie quadratique de son équation et il est possible de généraliser la méthode vue en dimension 2 pour transformer cette partie quadratique en une somme de carrés : La Méthode de Gauss : comme en dimension 2, la méthode de Gauss est basée sur la mise sous forme canonique d un polynôme en l adaptant au cas de trois variables : Exemple : Soit Q(x, y, z) = x 2 2xy + 3y 2 2yz + 2z 2 + 4xz. La méthode de Gauss consiste à traiter les termes rectangles variable par variable. Ainsi, dans Q, on isole les termes contenant la variable x : Q(x, y, z) = [x 2 2xy + 4xz] + 3y 2 2yz + 2z 2. La partie isolée peut alors être vue comme le début d un carré de la forme (ax + by + cz) 2 : Q(x, y, z) = [(x y + 2z) 2 (y 2 4yz + 4z 2 )] + 3y 2 2yz + 2z 2 = (x y + 2z) 2 + 2y 2 + 2yz 2z 2 On obtient ainsi un premier carré (x y + 2z) 2 et les termes restant ne dépendent pas de x. On peut alors appliqué la méthode vue en 2D pour traiter le polynôme 2y 2 + 2yz 2z 2 : (Çy 12 å 2 z 54 ) z2 2y 2 + 2yz 2z 2 = 2 Ä y 2 + yz z 2ä = 2

71 3.2. FORMES QUADRATIQUES 71 et Ç Q(x, y, z) = (x y + 2z) y 1 å 2 2 z 5 2 z2 On a écrit la fonction Q comme somme de trois carrés (x y + 2z) 2, Ä y 1 2 zä 2 et z 2, et dont les coefficients sont 1, 2, 5. Toutes les quadriques dont la partie quadratique est Q 2 ont pour signature σ = (2, 1) ou (1, 2) selon le signe de la constante restant à la fin de la réduction. Ce sont donc des hyperboloïdes. Pour finir, notons que la notion de polynôme de degré 2 se généralise à un nombre quelconque n de variables. Dans un espace de dimension n muni d un repère, la donnée d une contrainte de la forme P (x 1,..., x n ) = 0 définit une partie de cet espace. On appelle encore quadrique toute partie d un espace de dimension n défini par une relation de la forme P (x 1,..., x n ) = 0 où est un polynôme de degré 2 en n variables. P (x 1,..., x n ) = n q ij x i x j + l i x i + K 1 i j n i=1 Ces hypersurfaces ont les mêmes propriétés analytiques et géométriques que les coniques et les quadriques de l espace. On peut en particulier mettre sous forme réduite leur partie quadratique Q(x 1,..., x n ) = q ij x i x j 1 i j n et les classer selon le signe des coefficients obtenus. 3.2 Formes quadratiques On l a vu, la partie forme quadratique des équations de coniques ou de quadriques joue un rôle important. C est en particulier la seule chose qui reste quand on passe aux équations réduites. Or l algèbre linéaire donne un outil très efficace pour trier et traiter les formes quadratiques. On peut en particulier mettre en place une représentation matricielle des formes quadratiques (bien que le procédé soit un peu moins naturel que dans le cas des applications linéaires).

72 72 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES Expression analytique d une forme quadratique Notations D un point de vue analytique, une forme quadratique en n variables est un polynôme homogène de degré 2 en les variables x 1,..., x n. On peut donc l écrire sous la forme q(x 1,..., x n ) = n n a ij x i x j = a ij x i x j. (3.1) 1 i j 1 i=1 j=i On peut également distinguer la partie carrée de la partie rectangle : n q(x) = a ii x 2 i + a ij x i x j (3.2) i=1 i<j n = a ii x 2 n 1 n i + a ij x i x j (3.3) i=1 i=1 j=i+1 Exercice : écrire la forme quadratique suivante sous la forme 3.1 puis sous la forme 3.3 : q(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x x 1 x 2 + x x 2 x 3 + x x 3 x 4 + x x 1 x 4 + x 1 x 3 + x 2 x 4. Mise sous forme réduite Quelque soit le nombre n de variable, une forme quadratique q(x 1,..., x n ) peut se mettre sous forme réduite. La méthode d obtention de cette forme réduite est exactement la même qu en dimension 2 ou 3. Note : puisque contrairement aux cas géométriques on ne conserve que la partie quadratique, la forme réduite ici correspond à une somme de carrés. Précisément, toute forme quadratique q en n variables (x 1,..., x n ) peut s écrire sous la forme où chaque l i est une fonction de la forme En posant le changement de variables n q(x 1,..., x n ) = a i l i (x 1,..., x n ) 2 i=1 l i (x 1,..., x n ) = α i1 x α in x n. on obtient une nouvelle expression de q sous la forme y i = l i (x 1,..., x n ) (3.4) n q(y 1,..., y n ) = a i yi 2. i=1

73 3.2. FORMES QUADRATIQUES 73 Attention : de façon générale, une même forme quadratique possède plusieurs formes réduites. Cependant, pour que le changement de variables 3.4 soit valide, il faut que les fonctions l i soient linéairement indépendantes. On peut toujours s arranger pour que ce soit le cas, mais cela nous oblige à être vigilant en pratique. La rigueur de la méthode de Gauss permet d être sur que les formes linéaires que l on obtient sont indépendantes. À l aide de ces techniques algorithmiques, on peut notamment montrer que toutes les formes réduites d une même forme quadratique ont des caractéristiques en commun. Précisément, on peut montrer que le nombre de coefficients a i non nuls est toujours le même, ainsi que les signes des coefficients a i restants. On appelle alors rang de q (noté rg(q)) le nombre de carrés de l une de ses formes réduites valides, signature de q (notée σ(q) = (+, )) le nombre de coefficients positifs et négatifs dans l une de ses formes réduites valides. D un point de vue géométrique, on peut noter que ces paramètres permettent de définir la nature de la conique ou de la quadrique associée à q. Exemple : écrire la forme quadratique ci dessous sous la forme de somme de carrés indépendants : q(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x x 1 x 2 + x x 2 x 3 + x x 3 x 4 + x 2 4. En déduire le rang et la signature de q Définition matricielle En définissant les formes quadratiques à l aide du produit matriciel, on obtient un outil efficace pour étudier les formes quadratiques et en déduire par exemples ces caractéristiques par des méthodes algorithmiques. D autre part, le point de vue matriciel permet également de formaliser les changements de bases qui correspondent aux changements de variables décrits plus haut. Avant cela, un petit rappel sur les matrices. Rappels Transposée. Étant donnée une matrice A, la transposée de A est la matrice t A obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. Dans le cas où A est une matrice carrée, la matrice t A est obtenue en effectuant, dans A, une symétrie par rapport à la diagonale. Dans le cas d un vecteur colonne X, t X est le vecteur colonne ayant les mêmes coordonnées que X.

74 74 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES Matrices symétriques. Une matrice carrée A est dite symétrique si ses coefficients sont symétriques par rapport à sa diagonale. Ainsi, en dimension 2, une matrice symétrique est de la forme Ç å a b A =. b c On peut alors noter qu une matrice symétrique est égale à sa transposer. On peut même s en servir de définition : une matrice A sera dite symétrique si t A = A. Changement de base. Une base de R n est une famille de n vecteurs de R n qui est à la fois libre et génératrice. Il existe une infinité de bases pour R n et à chacune de ces bases est associé un système de coordonnées. Si l on se fixe deux bases B 1 et B 2 de R n, on appelle matrice de passage de B 1 à B 2 la matrice carrée inversible dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B 2 exprimés dans B 1. Les coordonnées (x 1,..., x n ) B1 et (x 1,..., x n) B2 d un même vecteurs sont alors liées par la relation matricielle X = P X. Matrice d une forme quadratique Concernant les formes quadratique, on va voir que l on peut représenter toute forme quadratique en n variables comme un produit matriciel basé sur une matrice carrée de taille n. Soit par exemple q(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2. Ç å Ç x a b En notant X = et A = 2 b y c 2 å, on a q(x, y) = t XAX. Remarques : La matrice A associée à la forme quadratique q est symétrique. On pourra noter une forme quadratique en 2 variables sous la forme q(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 Ç a de telle sorte que la matrice A associée soit A = b De façon générale, à toute forme quadratique q(x 1,..., xê n ) on peut associer une matrice Ü x1 b c å. A carrée de taille n et symétrique telle que si X =. x n, on a (x 1,..., x n ) R n, q(x 1,..., x n ) = t XAX.

75 3.2. FORMES QUADRATIQUES 75 Si l on note a ij les coefficients de la matrice A, la forme quadratique associée est Réduction matricielle n q(x 1,..., x n ) = a ii x 2 i + 2 a ij x i x j. i=1 i<j La notation matricielle que l on vient de voir sert, entre autres, à réduire les formes quadratiques. Elle permet même de retrouver la forme réduite des équations de coniques et quadriques. Précisément, si une forme quadratique q est réduite, elle ne contient aucun terme rectangle. Les coefficients associés sont donc nuls dans la matrice de q. Les seuls coefficients non nuls de cette matrice sont donc sur la diagonale, autrement dit, cette matrice est diagonale. Pour réduire une forme quadratique, il faut donc déterminer une base de R n dans laquelle la matrice de q est diagonale. Or soient B 1 et B 2 deux bases de R n telles que la forme quadratique q soit représentée par la matrice A dans B 1 et A dans B 2 et soit P la matrice de passage de B 1 à B 2. Dans B 1, on a q(x, y) = t XAX ( ) et dans B 2, on a q(x, y ) = t X A X. De plus, les vecteurs X et X sont liés par la relation X = P X. En injectant cette relation dans ( ), on obtient ( ) t XAX = t (P X )A(P X ) = t X ( t P AP )X En identifiant cette dernière expression avec l équation ( ), on obtient un lien entre deux matrices représentant une même forme quadratique dans deux bases différentes : A = t P AP. Ainsi, pour réduire une forme quadratique q définie par une matrice A, il suffit de trouver une matrice P telle que le produit t P AP soit diagonale. Or on sait, à l aide des valeurs propres et vecteurs propres de A, trouver une matrice P telle que le produit P 1 AP soit diagonale. En adaptant cette méthode, on peut faire en sorte que la matrice de passage donnée par les vecteurs propres de A soit telle que t P = P 1.

76 76 CHAPITRE 3. CONIQUES, QUADRIQUES, FORMES QUADRATIQUES Il suffit pour cela que la base de vecteurs propres que l on choisit pour construire la matrice P soit orthonormée. Or on peut montrer que pour une matrice symétrique, on peut toujours trouver une BON formée de vecteurs propres pour A. Exemple : On fixe un repère R du plan et l on considère les courbes du plan associées à la forme quadratique q(x, y) = 6x 2 + 4xy + 3y Déterminer la matrice A de q dans R. 2. Déterminer les valeurs propres de A. 3. En déduire un repère orthonormé du plan formé de vecteurs propres de A. 4. Déterminer la matrice de q dans ce nouveau repère. 5. Déterminer le rang et la signature de q. 6. Quel est le type de courbes étudié?

77 Chapitre 4 Fonctions de plusieurs variables Introduction Une fonction de plusieurs variables est une fonction f liant une quantité f(x 1,..., x n ) à un ensemble de variables x 1,..., x n. Comme les fonctions d une variable, elles permettent de représenter des quantités, des positions, etc. Elles permettent donc de modéliser des situations complexes dépendant de plusieurs paramètres. Ainsi, la densité (ou la résistance ponctuelle, ou la température) d une poutre carrée peut, en première approximation, être représentée par une fonction d une variable x, les caractéristiques d une plancher peuvent être représenter par des fonctions de deux variables ou trois variables selon la précision souhaitée, si l on étudie des phénomènes qui évoluent au cours du temps, il faut ajouter le temps. L étude de ces fonctions permet donc de modéliser et d étudier en détails l évolution, la géométrie, la composition de nombreux problèmes physiques. Les outils développés pour l analyse de ces fonctions généralisent ceux que l on connait en dimension 1 : limites, dérivées, D.L., tangentes,... Comme en dimension 1, ces nouveaux outils associés aux lois de la physique appliquées à des phénomène à plusieurs dimensions produisent des équations liant les fonctions associées à leurs dérivées. Les équations ainsi obtenues sont dites Équations aux Dérivées Partielles (EDP). L analyse en plusieurs dimensions permet de développer des méthodes de résolutions pour ce type d équations. On en verra quelques exemples, mais au même titre que pour les Équations Différentielles Ordinaires (EDO), on est souvent incapable de résoudre de façon exactes les équations que l on rencontre en modélisation. 77

78 78 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES On doit alors se replier vers des solutions numériques. Une partie du travail des chercheurs en sciences dure actuellement consiste à développer des outils informatiques (des programmes) donnant une solution approchée fiable d une ou deux EDP. Nous verrons dans un premier temps comment, en dimension 2, on peut généraliser la notion de courbe connue pour les fonctions d une variable. On aura alors un outil géométriques pour comprendre la généralisation des outils plus analytiques aux dimensions supérieures que nous verrons ensuite. 4.1 Représentation graphique (cas n = 2) Définitions Soit f une fonction de plusieurs variables. Si l on note n le nombre de variables dont dépend f, l ensemble dans lequel agit cette fonction est R n (ou une partie de R n ). Un point de R n est donc un n-uplet (x 1,..., x n ) que l on pourra parfois noter v (ou simplement v). Un fonction de plusieurs variables définie sur R n est alors une fonction de la forme Dans le cas n = 2, on pourra noter f : R n R (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) f : R 2 R (x, y) f(x, y) Enfin, on appelle domaine de f l ensemble des n-uplets (x 1,..., x n ) pour lesquels la quantité f(x 1,..., x n ) existe. Dans le cas bien connu n = 1, toute fonction réelle peut être représentée par une courbe du plan. Pour cela, on commence par munir le plan d un repère (souvent orthonormé). La courbe d une fonction f : R R est alors l ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)) dans ce repère. L ensemble de ces points forment la courbe d équation y = f(x). Dans le cas n = 2, on a encore une représentation graphique pour les fonction R 2 R à condition de se placer dans l espace. On commence là encore par munir l espace d un repère. On peut alors représenter une fonction f : R 2 R par l ensemble des points de l espace de coordonnées (x, y, f(x, y)). On obtient alors une surface. C est la surface d équation z = f(x, y). Exemples :

79 4.1. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE (CAS N = 2) 79 p 1 : R 2 R (x, y) x y + 1 p 2 : R 2 R (x, y) x 2 + y 2 z x y s : R 2 R (x, y) sin (x 2 + y 2 ) g : R 2 R (x, y) e x2 y 2 Pour se faire une idée de l allure de la surface S f associée à une fonction f, on peut la découper par des plans. On peut formellement découper et représenter l intersection de S f avec l importe quel plan de l espace. On verra cependant, qu à l aide de certains plans bien choisis (fortement liés au repère choisi), on peut, par des calculs simples, se faire une bonne idée de la forme de S f et donc des propriétés de f. D un point de vue géométrique, en coupant S f par des plans, on obtient des courbes qui courent sur la surface étudiée, comme par exemple les lignes visibles sur la surface associée à la fonction g ci-dessus. Ces courbes peuvent en particulier être associées à des fonctions d une variable, que l on sait parfaitement étudier. Or l étude de ces courbes permet d obtenir de nombreuses information sur la surface S f Lignes de niveaux Les lignes de niveau d une surface sont les courbes obtenues par les plans horizontaux. Une carte topographique est la projection dans un même plan de toutes ces courbes.

80 80 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES D un point de vue analytique, les plans horizontaux sont les plans d équation z = cste. Les courbes d une carte sont alors les courbes du plan (xoy) d équation f(x, y) = k (k constante). Exemples : 1. Les lignes de niveaux du paraboloïde d équation z = x2 4 y2 + 2 sont des ellipses. 2. Les lignes de niveaux du paraboloïde hyperbolique d équation z = x 2 y 2 sont des hyperboles. (Remarque : elles changent d orientation quand z change de signe) Plans verticaux et fonction partielles Pour se faire une idée plus précise, on peut également utiliser des plans verticaux. On peut en particulier facilement étudier l intersection d une surface avec les plans d équations x = cste et y = cste. Comme pour les lignes de niveau, on peut alors projeter ces courbes dans un même plan (le plan y0z dans le cas x = k) pour obtenir des cartes supplémentaires de la surface étudiée. D un point de vue analytique, les courbes obtenues par ces intersections ont des équations de la forme z = f(x, k) ou z = f(k, y). Les fonctions x f(x, k) et y f(k, y) sont les fonctions partielles de f. On peut ainsi associer deux fonctions partielles à chaque point P 0 = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) de la surface : ϕ : x f(x, y 0 ) et ψ : y f(x 0, y). Les courbes associées sont les deux courbes de S f qui se croisent en P 0 parallèlement aux axes (Ox) et (Oy). Exemples : 1. L intersection de la surface d équation z = x2 4 y2 + 2 avec les plans d équations y = k donne les courbes d équations z = x2 4 k On reconnaît des paraboles de hauteurs différentes.

81 4.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EN DIMENSION SUPÉRIEURE Les fonctions partielles de la fonction f : (x, y) x 2 e y sont ϕ(x) = e y 0 x 2 et ψ(y) = x 2 0e y. On reconnaît des paraboles dans le premier cas et des courbes exponentielles dans l autre. On peut généraliser la notion de fonctions partielles en dimensions supérieures, même si l on perd la notion de représentation graphique. Ainsi, si f est une fonction de n variables (x 1,..., x n ), les fonctions partielles de f associées à un point P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) du domaine de f sont les fonctions ϕ i : x f(x 0 1,..., x 0 i 1, x, x 0 i+1,..., x 0 n). Note : ceux sont des fonctions d une seule variable. On peut donc les étudier avec les outils de l analyse en dimension 1 (courbes, dérivées, intégrales,...). On va voir dans ce qui suit que les outils d analyse en dimension 1 peuvent également s adapter en dimensions supérieures pour permettre l étude détaillée des fonctions de plusieurs variables (et leurs représentations graphiques le cas échéant). 4.2 Calcul différentiel en dimension supérieure Vecteur tangent et dérivées partielles Définitions Rappels : en dimension 1, la dérivée d une fonction f en un point x 0 est le coefficient directeur de la tangente à C f en ce point. Pour obtenir ce coefficient directeur, on se place en x 0 puis on se décale d une petite quantité h. On a ainsi 2 points (x 0, f(x 0 )) et (x 0 + h, f(x 0 + h)) sur la courbe. La corde joignant ces deux points est une droite de pente f(x 0 + h) f(x 0 ). h La limite de ce taux quand h 0 donne précisément la pente f (x 0 ). En dimension 2, si la surface est suffisamment régulière, elle admet également des droites tangentes. Cependant, contrairement au cas n = 1, on peut placer plusieurs vecteurs tangent en un même point P 0 = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) de la surface S f. L ensemble de ces tangentes forme un plan tangent. Comme en dimension 1, l étude de ce plan tangent permet en particulier de connaître et décrire l évolution de la surface autour de P 0.

82 82 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Comme en dimension 1, on peut étudier chacune des tangente à S f en P 0 à l aide d un procédé limite. Précisément, chacune des droite tangente à S f en P 0 correspond à un plan vertical coupant S f en P 0 et ce plan vertical correspond à une direction dans le plan de base : En considérant un petit déplacement h = (h 1, h 2 ) dans cette direction, on peut définir la dérivée de f dans la direction h par la limite f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) lim h 0. h qui permet de mesurer l inclinaison de la surface S f dans la direction définie par h. P 0 (x0,y0) v Cependant, pour connaître les variations d une surface autour d un point P 0 (i.e. pour connaître le plan tangent à S f en P 0 ), il est rarement nécessaire de construire toutes les tangentes. En effet, comme tout plan de l espace, le plan tangent à S f en P 0 est engendré par n importe quel couple de vecteurs non colinéaires lui appartenant. Ainsi, parmi toutes les directions du plan de base, on choisit en général les directions données par les axes du repère (autrement dit, les plans d équations x = cste et y = cste pour lesquelles les calculs de dérivées sont grandement simplifiés. On verra alors comment la connaissance de ces deux tangentes permet de reconstruire tout le plan tangent et donc de connaître l évolution de S f dans n importe quelle direction. On appelle dérivée partielle de fpar rapport à x en (x 0, y 0 ) la limite suivante : f x (x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim h 0 h De même, on appelle dérivées partielle de g par rapport à y en (x 0, y 0 ) la limite f y (x f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim. h 0 h Notes : Les dérivées partielles que l on vient de calculer sont précisément les dérivées des fonctions partielles associées au point (x 0, y 0 ). On peut généraliser la notion de dérivées partielles aux fonctions de n variables : lim h 0 f(x 1,..., x i + h,..., x n ) f(x 1,..., x i,..., x n ) h

83 4.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EN DIMENSION SUPÉRIEURE 83 On la note alors f x i (x 1,..., x n ). Calcul pratique des d.p. En pratique, on peut calculer ces fonctions dérivées en utilisant les formules de dérivation que l on connaît. Pour dériver par rapport à une variable, on considère l autre (ou les autres) comme une constantes. On peut ainsi reprendre les formules que l on connaît pour les fonctions usuelles pour dériver une somme, un produit, un quotient,... (αf + g) x i = α f x i + g x i (fg) x i = f x i g + f g x i Exemples : calculer les dérivées partielles par rapport à x et y des fonction suivantes. f : R 2 R (x, y) x 2 2xy y g : R 3 R (x, y, z) x2 + z y 2 r : R 2 R (x, y) θ : R 2 R x 2 + y 2 (x, y) arctan Ä ä y x Remarque : Comme en dimension 1, les dérivées partielles en chaque point du domaine de f permettent de définir les fonctions dérivées partielles : f x f f : (x, y) (x, y), x y f : (x, y) (x, y). y Ce sont elles aussi des fonctions de 2 variables. On peut en particulier, quand cela est possible, calculer leurs dérivées partielles. Comme en dimension 1, l étude détaillée de ces dérivées peut nous apporter de l information sur f elle même. On appelle ainsi dérivées partielles d ordres supérieurs de f les dérivées partielles des dérivées partielles. À l ordre 2, on en a 4 : 2 f x 2, 2 f x y, 2 f y 2, 2 f y x. Ce sont à leur tour des fonctions de (x, y) dont on peut calculer les dérivées partielles...

84 84 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Le plan tangent Définition Comme on l a dit, le bon objet qui remplace la notion de tangente en dimension 2 est le plan tangent. Ce plan, comme tout plan de l espace, est engendré par n importe quelle famille de deux vecteurs non colinéaires lui appartenant. Il est en particulier engendré par les deux vecteurs tangents correspondants aux dérivées partielles. (i.e. les deux vecteurs tangents associés aux axes du repère). Il est donc possible d obtenir une équation de ce plan tangent à l aide des dérivées partielles. Équation du plan tangent En dimension 1, l équation de la tangente à C f en un point (x 0, f(x 0 )) est : T x0 : y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). On peut généraliser cette formule en dimension 2 en introduisant y et en remplaçant la dérivée par les dérivées partielles. On obtient alors l équation suivante : P (x0,y 0 ) : z = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + f(x 0, y 0 ). Remarque : à l aide de l équation précédente, on peut en particulier noter que si les deux dérivées partielles f f et x y s annulent en (x 0, y 0 ), l équation du plan tangent à S f en P 0 est de la forme z = cste. Il s agit donc d un plan horizontal. On verra plus loin que ces points particuliers, appelés points critiques de S f jouent un rôle particulier dans la recherche d extrema (au même titre que les points pour lesquels la dérivée est nulle en dimension 1). Exemple : soit S f la surface associée à la fonction f : (x, y) x 2 + y Déterminer les équations des plans tangents à S f aux points d abscisse (1, 1), (1, 2). 2. Déterminer le(s) point de S f admettant un plan tangent horizontal Développements limités en dimension supérieure En dimension 1, la tangente (et donc la dérivée) sont à la base des développements limités et des notions d approximation. Précisément, la formule de Taylor à l ordre 1 nous dit f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (x 0 ).h + hε(h)

85 4.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EN DIMENSION SUPÉRIEURE 85 où ε(h) 0 quand h 0. Négliger le terme hε(h) revient, d un point de vue géométrique, à identifier la courbe C f et sa tangente. (On reconnaît en effet l équation de la tangente dans la formule de Taylor). Cette approximation est valable tant que l on n est pas trop loin du point d abscisse x 0. C est une approximation linéaire (ou d ordre 1). On peut faire la même chose en dimension 2 : si l on est pas trop loin du point P 0, on peut identifier la surface S f avec son plan tangent en P 0. Pour tout déplacement (h, k) autour de P 0, on peut alors écrire f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ).h + f y (x 0, y 0 ).k + (h, k) ε(h, k) où ε(h, k) 0 quand (h, k) (0, 0). Notes : La fonction df (x0,y 0 ) : (h, k) f x (x 0, y 0 ).h + f y (x 0, y 0 ).k est appelée différentielle de f au point (x 0, y 0 ). Elle représente la partie linéaire de la fonction f. Remplacer f par sa différentielle revient à linéariser le problème, ce qui permet en général de simplifier grandement sa résolution (au prix d une certaine erreur). Les notions que l on vient de voir restent valables en dimensions supérieures. Ainsi, pour une fonction f de n variables (x 1,..., x n ), on peut en chaque point v définir la partie linéaire n f df v (h 1,..., h n ) = ( v ).h i. x i qui, dans certains cas, donne une approximation linéaire de la fonction f. On peut également pousser l analogie aux ordres supérieurs. Ainsi, à l ordre 2, on a, pour une fonction ϕ d une variable, la formule : i=1 ϕ(x 0 + h) = ϕ(x 0 ) + ϕ (x 0 ).h + ϕ (x 0 ) h2 2 + h2 ε(h). En généralisant cette formule pour une fonction f de deux variables, on a f(x 0 + h, y 0 + k) =f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ).h + f y (x 0, y 0 ).k f 2 x (x 0, y 2 0 ).h f + (h, k) 2 ε(h, k). x y (x 0, y 0 ).hk f y 2 (x 0, y 0 ).k 2

86 86 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES D un point de vue géométrique, le D.L. à l ordre 2 d une fonction d une variable donne l équation de la parabole collant le mieux à la courbe au point étudié. En dimension 2, le D.L. à l ordre 2 donne de même l équation de la quadrique collant le mieux à S f autour du point étudié. Cela permet en particulier de développer des méthodes analytiques permettant de déterminer les extrema d une fonction donnée Recherche d extrema Rappels : en dimension 1, la recherche d extrema basée sur les dérivées commence par la recherche des points où la dérivée s annule. D un point de vue géométrique, ces points correspondent aux points de la courbe de f auxquels la tangente est horizontale. Ce sont les points les plus susceptibles d être des extrema (les seuls si l on excepte les bords de l intervalle s il y en a). Attention : l annulation de la dérivée est une condition nécessaire. Elle n assure pas l existence d extrema (penser à x 3 ). Une fois que l on a déterminé ces points, dits points critiques, il reste à en déterminer la nature (maximum, minimum ou palier). D un point de vue géométrique, la nature de ces points critiques dépend de la courbure de la courbe au point étudié, qui est donnée par le signe de la dérivée seconde. Précisément, si la dérivée seconde est positive, cela signifie que la dérivée augmente. Il s agit donc d un minimum. À l inverse, si la dérivée seconde est négative, cela signifie que la dérivée est décroissante, et l on a un maximum. Si la dérivée seconde est nulle, on ne peut répondre directement et l on doit étudier les dérivées suivantes. En dimension 2 (et en dimensions supérieures), on se base sur les mêmes principes, les dérivées partielles (d ordres 1 et 2) remplaçant les dérivées. Ainsi, les points critiques d une surface S f d équation z = f(x, y) sont les points admettant un plan tangent horizontal. D après l équation du plan tangent vue plus haut, les points critiques de S f sont les points (x, y, f(x, y)) vérifiant f (x, y) = 0 x f (x, y) = 0 y Exemple : Déterminer les points critiques de la fonction définie par f(x, y) = x3 3 xy y2 + x

87 4.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EN DIMENSION SUPÉRIEURE 87 Le principe est, comme en dimension 1, basé sur la courbure de S f, qui peut être décrite par les dérivées secondes. Précisément, le développement de Taylor qui, à l ordre 1, donne la meilleure approximation linéaire de f donne, en dimension 2, la meilleure approximation d ordre 2. D un point de vue géométrique, cela correspond à la quadrique collant le mieux à S f autour du point étudié. On sait que la forme d une quadrique dépend uniquement des coefficients de degré 2 de la forme quadratique associée q(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 et plus exactement du discriminant = b 2 4ac de q : 1. Si < 0, f ne s annule pas hors du point (0, 0). Ainsi, si a > 0, alors f(x, y) f(0, 0) et le point critique est un minimum, si a < 0, alors f(x, y) f(0, 0) et le point critique est un maximum. D un point de vue géométrique, on a 2. Si > 0, on peut factoriser f sous la forme f(x, y) = a(x r 1 y)(x r 2 y). Selon la direction que l on prend en quittant le point (0, 0), la quantité f(x, y) (et donc la différence f(x, y) f(0, 0)) peut être positive ou négative. Le point (0, 0) n est donc ni un maximum, ni un minimum. C est un point selle. Or le développement de Taylor à l ordre 2 donne permet de montrer que les coefficients de la forme quadratiques la plus proche de f autour d un point P 0 = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) sont a = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) b = 2 2 f x y (x 0, y 0 ) c = 2 f y 2 (x 0, y 0 )

88 88 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Ainsi, étant donné un point critique P 0 de f, on calcule les valeurs r = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) s = 2 f x y (x 0, y 0 ) t = 2 f y 2 (x 0, y 0 ) puis le discriminent réduit = s 2 rt dont le signe donne la forme de la quadrique et donc de S f. Exemple : soit f définie par 1. Déterminer les points critiques. f(x, y) = x3 3 xy y2 + x Écrire f(x, y) f(0, 0) sous forme canonique. 3. En déduire la nature du point critique. 4.3 Gradient, divergence et rotationnel Champs de vecteurs En considérant simultanément plusieurs fonctions de plusieurs variables, on peut définir d autres types de fonctions. Ainsi, si l on se donne n fonctions f 1,..., f n, chacune dépendant d un jeu x = (x 1,..., x n ) de n variables, on peut définir la fonction F : R n R n x (f 1 (x),..., f n (x)) Une fonction de ce type est appelé champs de vecteurs et les fonctions f i sont appelées fonctions coordonnées de F. La terminologie vient des cas 2D et 3D pour lesquels on a une représentation graphique de ce de type de fonctions. Ainsi, dans le cas n = 2, un champs de vecteur est défini à partir de deux fonctions f 1 et f 2 dépendant chacune de deux variables (x, y). On peut alors définir la fonction F : R 2 R 2 (x, y) (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) En plaçant un repère (xoy) dans le plan, on peut alors définir en chaque point M de coordonnées (x, y) un vecteur de coordonnées (f 1 (x, y), f 2 (x, y)). Exemples :

89 4.3. GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL F(x, y) = (2x, 2y) F(x, y) = ( y, x) F(x, y) = (x sin(x 2 + y 2 ), y cos(x 2 + y 2 )) F(x, y) = Ä 3 2 x2 y + 1, x 2y ä En pratique, les champs de vecteurs permettent de représenter des champs de vitesses, des champs de forces, etc. On appelle ligne de champs toute courbe (du plan ou de l espace) qui, en chaque point, est tangente au champs :

90 90 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES F(x, y) = (2x, 2y) F(x, y) = ( y, x) Si le champs de vecteurs étudié est un champs de vitesses, les lignes de champs sont les trajectoires des objets représentés Gradient Le gradient d une fonction f de plusieurs variables est un champs de vecteur que l on peut associer à la fonction f via ses dérivées partielles : à chaque point x = (x 1,..., x n ), on associe le vecteur dont les différentes dérivées partielles de f évaluées en x. Ainsi, pour une fonction de deux variables, le gradient de f, note f est le champs de vecteur f : R 2 Ç R 2 å f f (x, y) (x, y), (x, y) x y En dimension 3, le gradient d une fonction f est le champs de vecteur de l espace défini par f : R 3 R 3 (x, y, z) Ç f x (x, y, z), f y f (x, y, z), (x, y, z) z Le gradient d une fonction f permet de mesurer en détails le sens et l intensité des variations de f. Ainsi, en deux variables, en chaque point (x, y) du plan de base, le sens du vecteur f(x, y) permet de déterminer la ligne de plus grande pente sur la surface S f au point (x, y, f(x, y)). La norme de f(x, y) donne, elle, l intensité de cette plus grande pente. D un point de vue géométrique, cette propriété du gradient se traduit par le fait qu en chaque point P = (x, y) du plan de base, le vecteur f(x, y) est orthogonal à la ligne de niveau passant par P. å

91 4.3. GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL 91 De façon générale, le gradient f(x 1,..., x n ) d une fonction f de n variables (x 1,..., x n ) permet de déterminer les variables qui influencent le plus la variation de f autour du point (x 1,..., x n ) (on peut en particulier noter que les points critiques d une fonction sont précisément ceux auxquels le gradient est nul). Et là encore, le vecteur f(x 1,..., x n ) est orthogonal à la surface de niveau de f passant par (x 1,..., x n ). Exemples d application : En deux variables, la notion de gradient permet par exemple de déterminer la trajectoire d une bille lâchée sur une surface dont on connaît l équation z = f(x, y) : f(x, y) = x3 3 + xy + y2 x La trajectoire en question correspond précisément à l ensemble des points de la surface qui sont au dessus de la ligne de champs passant par le point (x, y) qui est à l aplomb du point de départ :

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