Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R.

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1 Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Démonstration : Soit la fonction %:& %&!= &!, elle est dérivable sur R et & R, %. &!= &! = &! = %&! Page 1 sur 16

2 Soit la fonction h & h&! = &! &!, elle est dérivable sur R et & R, h. &!=. &! &! &!. &! h. &!=&! &! &! &! = 0 donc h est une fonction constante sur R or 0! = 1 donc & R, h&! = h0! = 0! 0! = 1 & R, &! &! = 1 donc &! 0 Page 2 sur 16

3 Propriété définition : Il existe une unique fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1. On l appelle fonction exponentielle notée exp. Démonstration : L existence est admise et démontrons l unicité. Soit % une autre fonction dérivable sur R telle que :% = % et %0! = 1. On pose h = Page 3 sur 16

4 Puisque pour tout & R, &! 0, h est définie et dérivable sur R. Pour tout & R, h. &!= % &!&! %&! &! 8 &! donc h est une fonction constante sur R = % &!&! %&!&! 8 &! or 0! = %0! = 1 donc & R, h&!=h0! = 59! 69! = 1 & R, 5:! 6:! = 1 donc &! = %&! = 0 Page 4 sur 16

5 Propriété. Pour tout & R, <=>?! > A Chap 4. La fonction exponentielle Démonstration par l absurde : Supposons qu il existe E R, expe!<0 La fonction exponentielle est dérivable sur R, elle y est donc continue, or exp0! = 1 > 0 et expe!<0 D après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre J compris entre 0 et E tel que expj!=0 ce qui est impossible d après le lemme. donc & R, exp&! >0 Page 5 sur 16

6 Propriété : relation fonctionnelle Pour tous &,K R, <=>?+M! = <=>?! <=>M! Démonstration : On fixe K R et on considère la fonction P & QRS:TP! QRS:! Cette fonction est définie et dérivable sur R et P. &! = exp &+K!exp&! exp&+k!exp&! exp&+k!! 8 = 0 donc P est une fonction constante sur R or P 0!= QRSP! = exp K! donc & R, QRS:TP! = expk! QRS9! QRS:! et donc & R, K R exp&+k! = exp&! expk! Page 6 sur 16

7 Propriété La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Démonstration : & R, exp &! = W : > 0 donc & W : est strictement croissante sur R Page 7 sur 16

8 Propriété? T^_? Z[\ = + et? a^_? Z[\ = A La courbe de l exponentielle admet donc une asymptote horizontale d équation K = 0 lorsque & tend vers. Démonstration : Limite en + : La fonction &! = W : & est définie et dérivable sur R. & R, &!=W : 1 W 9 = 1 donc & 0 W : 1 d où. &! 0 Page 8 sur 16

9 Par conséquent, la fonction &!=W : & est croissante sur f0;+ f donc & 0, &! 0! W : & W 9 0 donc W : & > 0 W : >& pour tout & 0. On en déduit, par comparaison, que lim : T^W: = + Limite en : & R, W : = 1 W a: or : a^ & lim = + et : T^W: lim = + donc lim : a^w: = lim : a^ 1 = 0 Wa: Page 9 sur 16

10 Exemples. 1. La fonction &! = W :j ak:tl est dérivable sur R. & R,. &!=2& 5!W :jak:tl. 2. Les fonctions %&! = W am: et h&!=w am:j où n > 0 sont dérivables sur R. & R, %. &!= nw am: & R, h. &!= 2n&W am:j Page 10 sur 16

11 Théorème. W : 1 lim : 9 & = 1 lim : T^ W : & = + lim : a^&w: = 0 Démonstration : La fonction W : est dérivable en 0 donc par définition : W : 1 W : W 9 lim = lim : 9 & : 9 & 0 = W9 = 1 car W :!. = W : Page 11 sur 16

12 La fonction &! = W : l 8 &8 est définie et dérivable sur R. & R, &! = W : & est dérivable sur R. & R, &! = W : 1. W 9 = 1 donc & 0 W : 1 d où. &! 0 Par conséquent, la fonction &! = W : & est croissante sur f0;+ f donc & 0,. &!. 0! W : & W 9 0 > 0 donc W : & > 0 &! > 0 pour tout & 0. Page 12 sur 16

13 & 0 + &! + &! 1 &! + + &! 1 + Par conséquent, la fonction &!=W : l 8 &8 est croissante sur f0;+ f donc & 0, &! 0! W : l 8 &8 1 >0 Page 13 sur 16

14 donc W : > l 8 &8 pour tout & 0 et donc pq On en déduit, par comparaison, que lim : T^ : > l 8 p q & pour tout & > 0 : = + : a^&w: lim = 0 & R, W : = 1 W a: or : a^ & lim = + et lim : donc lim = 0 : T^p q donc lim : a^&w: = lim : a^ & = 0 Wa: : T^ W : & = + Page 14 sur 16

15 Exemple. Déterminer les limites suivantes : lim : T^W : &! et lim : a^2&+7!w : & R, W : & = &s W: & 1t p or lim q = + : T^ : donc : T^W: lim & = + Page 15 sur 16

16 & R, 2&+7!W : = 2&W : +7W : or : a^&w: lim = 0 et : a^w: lim = 0 donc lim : a^2&+7!w : = 0 Chap 4. La fonction exponentielle Page 16 sur 16

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