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2 S : Spposos à prést q l proprété sot éré por tr : lors d près l qsto o : or : doc: Pr récrrc por tot tr trl o : O dot étdr l sg d l prsso lgérq : por Or comm st d mêm sg q so mértr c st-à-dr : C polôm d scod dgré comm rcs rélls : t D o : Doc c tl dq q : s : doc : : c Comm por tot : d près lors d près l qsto précédt : c q sg : st st doc décrosst d st décrot t st moré pr d près doc ll corg S l st l lmt d l st lors comm Qd td rs l ctt églté dt : l l Doc l st solto d l éqto : l O doc résodr ctt éqto : Por l éqto dt : Doc : S { } Or comm por tot doc qd td rs l : l Doc l t Ct lgorthm prmt d tror à prtr d ql tr N l écrt tr st érr o égl à 7 O tro N5 c N

3 Etré U N t p sot d tp omr Trtmt U prd l lr N prd l lr Etrr l lr d p Tt q U p U prd l lr U U N prd l lr N F tt q Sort chr N E : Prt : D près l orml ds proltés totls : p p B p R p B p B p R p O dot résodr l éqto : p p E O dot détrmr octo d d ord p E R D o d près l orml ds proltés totls : p E p B E p R E p B p B E p R p R E 8 5 Doc l éqto p p E dt : : Il t doc prm ls cs rogs 55% d cs mrqés d losg Il t q ls éèmts C t sot dépdts Nos sos q c st s t slmt s p B p Nos dos doc résodr ctt éqto 8 pb p 8

4 Il t doc prm ls cs rogs cs mrqés d losg Prt B : p 5 p B p B 75 P U rl létor d lo Boml clcl l omr d sccès près pércs dtqs à d sls sss l désgt l sccès t dépdmmt l d l tr Ss prmètrs sot l omr d pércs sccsss t l prolté d sccès X st ctt déto psq l rms d c à chq trg t ls prmètrs sot c : t p Il s gt d : p X p X 8 7 c Il s gt d : p X p X p X E : Prt : lm g lm g st polôm d dgré doc dérl por tot rél doc sr[ ; [ g Doc g por rcs - t t st d mêm sg q psq q soltoα à l éqto g sr[ ; [ O tro : α Sr[ ; [ g st cot c st polôm st strctmt crosst t chg d sg psq g-5 t lm g D près l théorèm ds lrs trmédrs g s l q sl os sr[ ; [ doc l st Prt B : lm lm lm lm 5 t : lm cr s lors Doc : lm cor d dmt comm smptot rtcl l drot d éqto

5 st qott c lors : Et : g c Prt C : cr comm mmm : 8 α Doc : OQ Q OQ OP Q P Q P OPMQ Doc ctt r octo d st égl à doc st mml α d près l drr tl d rtos E : Prt : s smptots sot horotls lls smlt d éqtos : - t sml strctmt crosst sr IR c Il sml q l tgt à l cor st d éqto : d S ] [: ; l cor st dsss d l tgt S ] [: l cor st sos l tgt E s : l cor trcpt l drot Prt B : lm doc : lm Est comm lm os somms présc d l orm détrmé : Il t lr l détrmto : Or : lm doc : lm

6 Comm : lm lors - st smptot horotl Et d mêm comm : lm lors st smptot horotl lors : où : Doc : : Doc T T g U crré étt tojors post o l d près l règl ds sgs g st égt o l t s l s : : Doc g st décrosst sr IR c g Est comm g st décrosst t cot d près l théorèm ds lrs trmédrs s < lors g t s g< d S < lors g t doc t doc C st dsss d T S lors g< t doc < t doc C st sos T E s g t doc : C trcpt T E : 5 5 lors : Dés lors ls mmrs d gch t d drot ot mêm modl t mêm rgmt

7 Por ls modls cl do : c st-à-dr OOB OB st socèl O Et por ls rgmts : ; ; ; rg rg rg rg π π π OB O O OB Doc : OB st rctgl socèl O c : BM M M st éqdstt d t B doc M pprtt à l médtrc d sgmt [B] sml rchrché st doc l médtrc d sgmt [B] c Comm OB st socèl O OOB doc O pprtt à l médtrc d [B] doc à E Est os os clclé c t c doc : c C pprtt doc à E lors E st tr q l drot OC J Doc O O C rgmt d O C st : C O; Or l rgmt d mmr d drot : - st π Doc C t O sot prpdclrs d où l résltt tr méthod :

8 O st l méd ss d O d trgl OJK Por démotrr q l s gt d l htr ss d O d OC l st d pror q O st prpdclr à C c q rt à pror q : O C O O C c C O C C q prmt d coclr E : spéclté 7k S mod 7 c d mod 7 lors l st : kk trs rlts tls q : dés lors : c d 7 k 7k d 7k d 7kd 7k 9kk d 7 dk k 7kk d 7K c où K dk k 7kk q st tr rlt doc o : c d mod7 mod 7 lors : t mod 7doc : mod7 Spposos à prést q por : mod 7 lors pplqt c c t d lors : mod7 c st-à-dr : mod 7 Doc pr récrrc por tot tr trl : mod 7 S lors 8 mod 7 S : 9 mod 7 doc pplqt c t o : mod 7 mod 7 : mod 7 S st o dsl pr 7 lors ls rsts r possls d l dso Ecld d pr 7 sot 5 t doc : r mod7 Il st doc d près d pror por r5o l résltt S r c st trl psq S r : lors comm mod 7 d près : mod 7 mod 7 S r : os os déjà ds q : mod 7 S r lors : D près : mod 7 mod 7 S r5 lors : 5 55 t pr dso Ecld : 557 doc : 5 mod 7

9 S r lors tojors d près : mod 7 mod 7 D où l résltt qk r lors os sos q : mod7 d près l qsto précédt Ms : k q kq r kq r r k Or pr déto mod7 k doc d près : q mod 7 mod 7 r r r r k r r r Doc os otos d près c : c d mod7! : mod7 mod7 r q rt à : mod 7 ms r mod7 doc : mod 7 c Dés lors comm pr déto d r r étt strctmt érr à k k st pls l pls tr tl q : k mod7 doc c st srd s s r psq mod7 Ms r sg ctmt q étt dsl pr k Doc : k { } c Nos plotos ls résltts troés ds por t : por os os troé k os os troé k Por o tro k por 5 o tro k por o tro k 5 Nos llos plotr l t q por 5 t mod 7 doc : mod 7 mod 7 mod 7 q q O ct l dso Ecld d pr Est démotros q s mod 7 c d mod 7lors : c d mod 7 E t : Il st kk tr rlts tls q : c 7k d 7kdoc : c d 7 k k d 7K c : Kkk q st tr rlt Doc o : c d mod7 C résltt s géérls l somm d plsrs trs l d d ctt proprété o lors : 5 5 mod mod 7 mod 7 mod 7 mod7

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