Dérivation. 1. Nombre dérivé, tangente 2. Fonction dérivée 3. Fonction dérivée et variations 4. Fonction dérivée et extrema

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1 «À l utomne 97 le présdent Non nnoncé que le tu d ugmentton de l nflton dmnué C étt l premère fos qu un présdent en eercce utlst l dérvée terce pour ssurer s réélecton» Hugo Ross, mtémtcen, à propos d une nterventon télévsée du présdent mércn Non XVII Dérvton Bertrnd Russell, logcen et plosope Nombre dérvé, tngente Foncton dérvée Foncton dérvée et vrtons 4 Foncton dérvée et etrem

2 découverte découverte Prendre l tngente! Sot l prbole représentnt l foncton f( ) dns un repère ortonormé et le pont de d bscsse n note H le pont de d bscsse +, vec 0 Quelles sont les coordonnées du pont H? uvrr une nouvelle fgure Geogebr et trcer cette prbole Défnr lors un curseur comprs entre 0 et, vec un ps de 0,0 Pus trcer l drote ( H ) et fre ffcer son coeffcent drecteur pour 0, 5 ; 0, ; 0, 05 et 0, 0 De quelle vleur le coeffcent drecteur de l drote ( H ) semble-t-l se rpprocer u fur et à mesure que se rpproce de 0? De quelle poston l drote ( H ) semble-t-elle se rpprocer lorsque se rpproce de 0? 4 Utlser l commnde Tngente [, f ] dns l zone de sse pour trcer l tngente à l courbe u pont et vlder ns les réponses à l queston Cute lbre n lâce une blle, sns vtesse ntle, d une uteur de 80 mètres S l on néglge les forces de frottement de l r, l dstnce, en mètres, prcourue pr cette blle près t secondes s eprme pr d( t) gt n prendr g 9, 8 m s Vtesse nstntnée À l de d une clcultrce, dresser le tbleu de vleurs de l foncton d pour t comprs entre 0 et 5 (vec un ps de 0,) Clculer l vtesse moyenne de l blle (en m s ) entre les nstnts t et t Sot M le pont de l prbole d bscsse et M celu d bscsse Quelle nterprétton grpque peut-on donner du clcul donnnt l vtesse moyenne entre les nstnts t et t? 4 n cerce à détermner l vtesse nstntnée de l blle à l nstnt t Pour cel, on évlue l vtesse moyenne de l blle entre les nstnts t et t postves de plus en plus proces de 0 Smplfer l epresson () + où prend des vleurs d( + ) d(), pus reprodure et compléter le tbleu suvnt : ( + ) 0, 0,0 0,00 () () représente l vtesse moyenne de l blle entre les nstnts t et t + Que penser des vleurs prses pr () lorsque se rpproce de 0? = 0,5 À retenr : Cette vleur «lmte» est ppelée vtesse nstntnée de l blle à l nstnt t H lgortme de clcul Voc un lgortme écrt vec le logcel lgobo (l foncton F est défne pr F()=49*pow(,) dns l onglet Défnr une foncton numérque) INF Dns lgobo l n-ème pussnce de se note pow(,n) Reprodure cet lgortme ou le progrmmer sur une clcultrce fn d estmer l vtesse nstntnée de l blle u nstnts t et t,5 d L vtesse nstntnée de l blle u moment t 0 est l lmte du quotent ( t0 + ) d ( t0 ) d( t0+ ) d( t0) lorsque le nombre se rpproce de 0 Smplfer le quotent et démontrer ( t0+ ) t0 que l vtesse nstntnée u moment t 0 est donnée pr l formule v( t) 9,8 t 0 0 L lo de l cute lbre des corps été énoncée pr Gllée dns son Dscours concernnt deu scences nouvelles (68) : «S un moble, prtnt du repos, tombe vec un mouvement ccéléré, les espces prcourus en des temps quelconques pr ce même moble sont entre eu en rson double des temps, c est-à-dre comme les crrés de ces mêmes temps» Une légende tence veut que Gllée t testé son ypotèse en lâcnt des obets pesnts depus le sommet de l tour de Pse : en ft, l l vérfée en fsnt rouler des boules sur des plns nclnés Foncton dérvée uvrr une nouvelle fgure Geogebr, en fsnt pprître les es et l grlle Trcer l courbe représenttve de l foncton : f en écrvnt =^ dns l zone de sse Créer un curseur de type nombre comprs entre 5 et 5 vec un ps de 0, ; pus créer le pont M de coordonnées ( ; ) en écrvnt M=(,f()) dns l zone de sse Touours dns l zone de sse, écrre T=Tngente[,f] pour trcer l tngente T à l courbe u pont d bscsse 4 Créer le pont N de coordonnées (; Pente(T)), lu ttrbuer l couleur rouge et ctver s trce nmer le curseur (clc drot sur le curseur et cocer «nmer») Quel est le leu géométrque du pont N? En dédure l epresson de f () en foncton de, pour tout 5 Vérfer le résultt de 4 en écrvnt Dérvée[f] dns l zone de sse et en lsnt son epresson dns l fenêtre lgèbre n défnt ns une foncton sur, ssocnt à cque réel le nombre dérvé de l foncton f en : cette foncton, notée f, est ppelée foncton dérvée de l foncton f M N = 0,8 5 Dérvton 5

3 cours Pour ben comprendre : l notton lm t() l, se 0 prononce «lmte qund tend vers 0 de t() égle l» Elle sgnfe que, lorsque le nombre devent très proce de 0, l epresson t ( ) prend des vleurs très vosnes de l (uss vosnes que l'on veut) Ce téorème est démontré pge 64 Nombre dérvé, tngente Dns tout ce qu sut : I est un ntervlle ouvert nclus dns l ensemble de défnton de l foncton f ; est un réel pprtennt à l ntervlle I ; f est l courbe représenttve de l foncton f dns un repère ortogonl Nombre dérvé d une foncton en un pont Sot un réel non nul tel que + I f ( + ) f ( ) Le tu d ccrossement de f entre et + est le rpport t ( ) n dt que l foncton f est dérvble en lorsque le tu d ccrossement t ( ) devent uss proce que l on veut d un nombre réel l lorsque est suffsmment proce de 0 Le nombre l est lors ppelé nombre dérvé de l foncton f en et on note : f ( + ) f ( ) l f ( ) lm 0 Pour obtenr l vleur, éventuellement pprocée, du nombre dérvé d une foncton en un pont (s'l este) sur une clcultrce : Cso TI F4 (CLC) F (d/d) 8:nbreDérvé Interprétton grpque, tngente à l courbe Sot f une foncton dérvble en Sot 0 tel que + I; les ponts f ( + ) M ( ; f ( )) et M ( + ; f ( + )) sont deu ponts dstncts de l courbe f f () Le tu d ccrossement : T t ( ) f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) ( + ) + est le coeffcent drecteur de l drote ( M ) Lorsque tend vers 0, le pont M se rpproce du pont, et l drote ( M ) se rpproce de l tngente en à l courbe f Le coeffcent drecteur de cette tngente est donné pr l vleur lmte de t ( ) lorsque tend vers 0, c'est-à-dre le nombre dérvé f ( ) Sot f une foncton dérvble en et ( ; f ( )) le pont d bscsse de l courbe f L tngente à l courbe f u pont est l drote pssnt pr de coeffcent drecteur f ( ) L équton rédute de cette tngente est donnée pr y f ( )( )+f( ) pplctons Clculer le nombre dérvé d une foncton en un pont I Sot f l foncton défne sur pr f ( ) Démontrer que f est dérvble en et clculer f ( ) Sot un réel non nul t ( ) f( + ) f( ) ( + ) ( ) ( 4 ) ( ) Comme 0 ( ), on t ( ) L epresson t ( ) devent uss proce que l on veut de 4 lorsque est suffsmment proce de 0 Cec se note lm t ( ) 4 0 L foncton f est donc dérvble en et f ( ) 4 Détermner l équton d'une tngente REMRQUE n peut sément vérfer ce résultt à l clcultrce : I Sot g l foncton défne sur 0 ; + pr g( ) et s courbe représenttve dns un repère ortogonl Démontrer que g est dérvble en ; trcer l tngente à l courbe u pont d bscsse, pus en donner une équton g( + ) g( ) ( ) Sot un réel non nul t ( ) Lorsque tend vers 0, t ( ) tend vers : l foncton g est donc dérvble en et g ( ) Le coeffcent drecteur de l tngente (T) à l courbe u pont est Cette tngente psse pr et pr le pont de coordonnées ( ; ), c est-à-dre ( ; 0 ), ce qu permet de l trcer L équton crtésenne de l drote (T) est donnée pr : y g ()( ) + g() r g ( ) et g ( ), donc cette équton est y ( ) +, c est-à-dre y + 6 Lre grpquement un nombre dérvé Sot une foncton dont l représentton grpque est donnée c-contre L drote (T) est l tngente à l courbe u pont d bscsse Détermner grpquement ( ) + + I p L courbe représenttve de l foncton dmet une tngente u pont P d bscsse, donc est dérvble en ( ) est le coeffcent drecteur de cette tngente Ic, le coeffcent drecteur m yq yp de l drote (T) est m 7 5 n donc ( ) Q P (T) : y = Q 54 Dérvton 55

4 cours Certns de ces résultts sont démontrés pr lleurs Le résultt pour l foncton n est dms ttenton, l foncton rcne crrée n'est ps dérvble en 0 (vor À vous de ouer pge 64) Le recours à un logcel de clcul formel pourr se révéler dpté lorsque le clcul de l dérvée est délct (vor l'eercce 64 pge 77) L formule ( uv) u v+ uv est démontrée pge 6 Une foncton rtonnelle est un quotent de polynômes Foncton dérvée Défnton et eemples n dt que l foncton f est dérvble sur I lorsqu elle est dérvble pour tout réel de I L foncton qu, à tout réel de I, ssoce le nombre dérvé de f en, est ppelée foncton dérvée de f et est notée f n ns f f ) Fonctons dérvées des fonctons usuelles Foncton f défne pr f( ) Dérvble sur f ) k, vec k 0 n, vec n * n n ;0 0; + 0;+ pértons sur les fonctons dérvées Sot u et v deu fonctons dérvbles sur I dont les fonctons dérvées respectves sont u et v Foncton f Dérvble sur f ku vec k I ku u + v I u + v uv I u v+ uv pour tout de I tel que v v v ( ) 0 v u v pour tout de I tel que u v v ( ) 0 v Les fonctons ffnes et polynômes sont dérvbles sur Les fonctons omogrpques et rtonnelles sont dérvbles sur leur ensemble de défnton uv pplctons pplquer les formules du cours pour clculer une dérvée I Dérver les fonctons suvntes, près vor précsé sur quel ensemble elles sont dérvbles : l foncton f défne sur pr f ( ) 5 + ; 5 b l foncton g défne sur ; ; + pr g( ) ; 4 c l foncton défne sur + pr ( ) L foncton f est une foncton polynôme ; elle est donc dérvble sur L dérvée d une somme de fonctons est l somme des dérvées de ces fonctons Pour tout : l dérvée de l foncton l dérvée de l foncton l dérvée de l foncton est 6 5 est 5 5 ; est ; ; l dérvée de l foncton constnte est 0 n en dédut que, pour tout, on f ( ) b L foncton g est une foncton omogrpque ; elle est donc dérvble sur son ensemble de u défnton Elle est de l forme, où u ( ) 5 pour tout et v( ) 4 pour tout v n lors pour tout u ( v ) ( ) uv ( ) ( ) 54 ( ) 5 4 : g 0 v ( ) ( 4 ) ( 4 ) c L foncton est le produt des deu fonctons u et v défnes pr u( ) pour tout et v ( ) pour tout + D une prt, l foncton u est dérvble sur et d utre prt, l foncton v est dérvble sur 0 ; + L foncton est donc dérvble sur 0;+ et, pour tout 0, on : ( ) u ( v ) ( ) + uv ( ) ( ) + près smplfcton Utlser un logcel de clcul formel Sot f l foncton défne sur ; + pr f ( ) détermner l dérvée de f I 5 Utlser un logcel de clcul formel pour L foncton f est une foncton rtonnelle, elle est donc dérvble sur son ensemble de défnton L commnde dff(f) permet de clculer l dérvée de l foncton f précédemment défne pr l commnde f:= L commnde smplfy(ns()) permet de smplfer l epresson obtenue u clcul précédent n urt pu combner les deu commndes en smplfy(dff(f)) pour obtenr drectement ce résultt XCS donne le dénomnteur sous forme développée, ce que l on ne recerce ps en générl dns un clcul à l mn 56 Dérvton 57

5 cours Le téorème est démontré pge 64 Foncton dérvée et vrtons Sot f une foncton dérvble sur un ntervlle I S f est crossnte sur I, lors pour tout I on f ) 0 S f est décrossnte sur I, lors pour tout I on f ) 0 S f est constnte sur I, lors pour tout I on f ) 0 Détermner le sgne de l dérvée à prtr des vrtons de l foncton I Sot f une foncton dérvble sur dont l courbe représenttve est donnée c-contre Donner le sgne de l foncton dérvée de f selon les vleurs de pplctons Se souvenr que, pour I, f ( ) est le coeffcent drecteur de l tngente à l courbe représenttve de f u pont d bscsse n peut donner une nterprétton grpque de ce téorème en dsnt que : S f est crossnte sur I lors, pour S f est décrossnte sur I lors, pour tout I, le coeffcent drecteur de tout I, le coeffcent drecteur de l tngente u pont d bscsse est postf l tngente u pont d bscsse est négtf Sur les ntervlles où l foncton f est crossnte (resp décrossnte), l foncton dérvée est postve (resp négtve) L foncton f est strctement crossnte sur ; ; s foncton dérvée f est donc postve sur ; L foncton f est strctement décrossnte sur ; ; s dérvée f est donc négtve sur ; L foncton f est strctement crossnte sur ; ; s dérvée f est donc postve sur ; L foncton f est strctement décrossnte sur ;+ ; s dérvée f est donc négtve sur ;+ n peut résumer ces résultts dns un tbleu + f ( ) Détermner les vrtons d une foncton à prtr du sgne de s dérvée I 8 f ( ) L récproque est très utle lorsqu l s gt d étuder les vrtons d une foncton Sot f une foncton dérvble sur un ntervlle I S pour tout I on f ) 0 (suf en un nombre fn de ponts pour lesquels f ) 0), lors f est strctement crossnte sur I S pour tout I on f ) 0 (suf en un nombre fn de ponts pour lesquels f ) 0), lors f est strctement décrossnte sur I S pour tout I on f ) 0, lors f est constnte sur I ns, connître le sgne de l dérvée, c est connître les vrtons de l foncton : sur les ntervlles où l foncton dérvée f est négtve (éventuellement nulle en un nombre fn de ponts), l foncton f est strctement décrossnte ; sur les ntervlles où l foncton dérvée f est postve (éventuellement nulle en un nombre fn de ponts), l foncton f est strctement crossnte Remrque : S l dérvée est un outl très effcce, dns certns cs d utres moyens plus smples permettent d étuder les vrtons d une foncton n donne c-contre l courbe représenttve de l dérvée d une foncton f À l lecture de ce grpque, donner les vrtons de l foncton f sur Sur les ntervlles où l dérvée est postve (resp négtve), l foncton f est crossnte (resp décrossnte) L dérvée est strctement négtve sur ;, nulle en : l foncton f est donc strctement décrossnte sur ; L dérvée est strctement postve sur ;, nulle en et en : l foncton f est donc strctement crossnte sur ; L dérvée est strctement négtve sur ;+, nulle en : l foncton f est donc strctement décrossnte sur ; + n peut résumer ces résultts dns un tbleu + f ( ) f ( ) f( ) f( ) 58 Dérvton 59

6 cours 4 Foncton dérvée et etrem Détermner les etrem d une foncton () pplctons I Le mot etremum désgne sot un mmum, sot un mnmum de l foncton Cec est une condton nécessre, ms ps suffsnte, pour que l foncton f dmette un etremum en 0 (vor le contreeemple de l foncton cube à l pge 6) Sot f une foncton défne sur un ntervlle I n dr que f dmet un mmum locl (resp mnmum locl) en 0 I s l este un ntervlle ouvert J nclus dns I et contennt 0 tel que, pour tout J, on t f ) f( 0 ) (resp f ) f( 0 )) Cec sgnfe que «loclement», u vosnge de 0, l foncton f ne prend que des vleurs nféreures (resp supéreures) à f( 0 ) Pr opposton, on dt que f dmet un mmum bsolu (resp mnmum bsolu) en 0 I lorsque, pour tout I, on f ) f( 0 ) (resp f ) f( 0 )) Eemple : sur l ntervlle 4 ; 6 l foncton représentée c-dessus dmet un mnmum locl en (qu vut 5) et un mnmum bsolu en 6 (qu vut ) Sot f une foncton dérvble sur un ntervlle I S f dmet un etremum locl en 0 I, lors on f 0) 0 S f est dérvble en 0 et dmet un etremum locl en 0, lors l courbe représenttve de f dmet une tngente orzontle u pont d bscsse 0 L récproque du téorème précédent n est ps vre, l fut outer une ypotèse Sot f une foncton dérvble sur un ntervlle ouvert I Sot 0 I S f 0 ) 0 et s f cnge de sgne en 0, lors f dmet un etremum locl en 0 L foncton f dmet donc un etremum locl en 0 lorsque, u vosnge de 0, l foncton dérvée présente un de ces deu tbleu de sgnes : I 0 J mmum locl en 0 mnmum locl en f ( ) + 0 f ( ) 0 + Sot f une foncton défne sur pr f ( ) L foncton f dmet-elle un etremum sur? S ou, précser l vleur de cet etremum et l vleur de pour lquelle l est ttent L foncton f est une foncton polynôme du second degré, donc dérvble sur D près les formules du cours, pour tout, on f ( ) + 4 L dérvée est une foncton ffne n détermne le sgne de cette foncton sur : pour tout, on + 4 0, sot f ( ) 0 ; pour, on f ( ) ; pour tout, on + 4 0, sot f ( ) 0 n constte que f ( ) 0 et que f cnge de sgne en L foncton f dmet donc un mnmum, ttent en, qu vut f( ) C est un mnmum bsolu sur cr, pour tout, on peut démontrer que f( ) f( ) Détermner les etrem d une foncton () I n donne c-contre l représentton grpque de l dérvée d'une foncton f défne sur c-contre dns un repère ortonormé L foncton f dmet-elle des etrem sur? S ou, précser les vleurs de pour lesquelles ls sont ttents REMRQUE + f ( ) + 0 n urt pu uss utlser les résultts étbls sur les fonctons polynômes du second degré vues u cptre y f'() n résout grpquement l équton f ( ) 0 : les solutons de cette équton sont et S l foncton f dmet des etrem, ceu-c sont donc à cercer prm ces deu possbltés f ( ) n dresse le tbleu de sgnes de l foncton f : f s nnule en, ms sns cnger de sgne : elle reste postve L foncton f est donc strctement crossnte sur ; et n dmet ps d etremum en En revnce f s nnule en en cngent de sgne : l foncton f dmet donc un etremum en Cet etremum est un mmum bsolu sur, cr f est crossnte sur ;, pus décrossnte sur ; + n donc, pour tout, f( ) f( ) Remrque : Nous n vons ucun moyen de clculer f( ) 60 Dérvton 6

7 logque et nottons Implcton et récproque Démonstrton commentée rsonnement mtémtque B mplcton s lors B S, lors B ypotèses B concluson entrîne, mplque I Proprété u v I f uv I f u v + uv B B B k 0 u I ku I k u I u () 0 I k ku () 0 I 4 ku I ( ku) = ku B B un contre-eemple I u v I uv u v + uv + B B vre vre ou fusse f I 0 I f 0 f ( 0) 0 f ( 0) = 0 f 0 contre-eemple f () 0 = 0 = 0 À vous de ouer Les mplctons suvntes sont-elles vres ou fusses? Sot f une foncton dérvble sur un ntervlle I f est strctement crossnte sur I f est strctement postve sur I f est crossnte et strctement postve sur I est décrossnte sur I f 6 y = ( )( + ) = y = + y = n clcule le tu d ccrossement de f pour utlser l défnton de dérvblté d une foncton f en un pont I (vor pge 54) n utlse c une stuce de clcul : comme on : u() v( + ) u() v( + ) 0 on peut outer ces deu termes u numérteur (en rouge) sns en cnger l vleur 4 5 L fctorston vse à fre pprître les quotents et u( + ) u( ) v( + ) v( ) qu vont être utles n utlse l ypotèse de déprt sur l dérvblté des fonctons u et v Ce résultt est c dms ; c est l «régulrté» (en Termnle, on prler de «contnuté») de l foncton v qu nous ssure de ce résultt 4 5 Démonstrton À vous de ouer Sur le même modèle, démontrer les proprétés suvntes Sot I et un réel non nul tel que + I Clculons le tu d ccrossement de l foncton f entre et + : f( + ) u( + ) v( + ) u() v() t() n peut écrre : u( + ) v( + ) u() v( + ) + u() v( + ) u() v() t() n fctorse prtellement le numérteur : u( + ) u() v( + ) + u() v( ) v() t() n «coupe» l frcton : u( ) u( ) v( ) v( ) t() v ( ) u ( ) n st que u est dérvble sur I, donc : u( + ) u( ) lm u 0 De même, v est dérvble sur I, donc : v( + ) v( ) lm v 0 () () De plus, lorsque tend vers 0, v( + ) se rpproce de v(, ) ce qu s écrt lm v( + ) 0 v( ) n en dédut que lm t() u() v() + u() v( ) 0 ns on démontré que f uv est dérvble sur I, et que, pour tout I, on f () ( uv) () u () v() + u() v( ) utrement dt, ( uv ) u v + uv Sot u et v deu fonctons dérvbles sur un ntervlle I L foncton g u + v est dérvble sur I et on g ( u + v) u + v Sot v une foncton dérvble sur un ntervlle I Supposons que v ne s nnule ps sur l ntervlle I lors l foncton est dérvble sur I et on v ( v ) vv Remrque : Dérvton 6

8 rsonnement mtémtque Démonstrton I Proprété f ) f f y f ()( ) + Démonstrton L foncton f est dérvble en ; on st donc que le coeffcent drecteur de l tngente u pont est f () Cette tngente dmet donc une équton de l forme y f () + b (E) où l ordonnée à l orgne b est un nombre réel à détermner r cette tngente psse pr le pont (; f()) ; les coordonnées de vérfent donc l équton de l tngente : f () + b sot b f () n remplce dns l équton (E) et on obtent l équton rédute de l tngente à l courbe f u pont : y f () + (() f f ( )) sot, en fctorsnt pr f ( ) : y f ( )( ) + f( ) I Proprété f I f I f () 0 I Démonstrton Sot 0 I et un nombre réel non nul tel que 0 + I n rsonne pr dsoncton de cs S 0, lors Comme f est supposée crossnte sur I, on f( + ) f( ) ; sot f( + ) f( ) 0 ns, le quotent t() postfs) f( 0 + ) f( 0) est postf (comme quotent de deu nombres S 0, lors Comme f est supposée crossnte sur I, on f( 0 ) f( 0 ) ; sot f( 0 + ) f( 0 ) 0 f( 0 + ) f( 0) ns, le quotent t() est postf (comme quotent de deu nombres négtfs) n donc t( ) 0 pour tout 0 Comme f est dérvble, lm t( ) este et on 0 donc, pr pssge à l lmte, f ( 0 ) 0 n démontré que, pour tout 0 I, on ben f ( 0 ) 0 À vous de ouer Démontrer que l foncton rcne crrée est dérvble sur 0;+ ms ps en 0 et que l dérvée de est l foncton Indcton : Utlser une métode dptée pour étuder les vrtons d une foncton Sot u et v deu fonctons dérvbles et crossntes (resp décrossntes) sur un ntervlle I Démontrer que l foncton somme u + v est églement crossnte (resp décrossnte) sur I Étuder le sens de vrton de l foncton f sur 0 ; + dns ccun des cs suvnts, en cosssnt l métode l plus pproprée : f: ; b f: + Sot u et v les fonctons dérvées respectves des fonctons u et v Supposons u et v crossntes sur I Les fonctons dérvées u et v sont donc postves sur I : pour tout I, on u () 0 et v () 0 r l dérvée de l somme u + v est l somme des dérvées : ( u + v) u + v Comme, pour tout I, on u () 0 et v () 0 et REMRQUE que l somme de deu nombres postfs est postve, on n démontre de l même fçon que, peut ffrmer que pour tout I, on u () + v () 0 s u et v sont décrossntes sur I, lors u + v est décrossnte sur I n en dédut que l foncton u + v est crossnte sur I L foncton f est l somme des deu fonctons : u : et v : n st que l foncton nverse est décrossnte sur 0 ; + Comme 0, on peut ffrmer que l foncton u : est églement décrossnte sur 0 ; + Pr lleurs, l foncton v est une foncton ffne : v( ) négtf L foncton v est donc décrossnte sur 0 ; + de coeffcent D près le résultt démontré dns l queston, l foncton f étnt l somme de deu fonctons décrossntes sur 0 ; + : on en dédut qu elle est décrossnte sur ]0 ; + [ b Clculons l dérvée de f et étudons son sgne pour connître ses vrtons sur I Pour tout 0, f () u () v ( ), sot : ( )( ) f () Pour 0, on 0 et ( + ) 0 Le sgne de f ( ) sur 0 ; + est donc le même que celu de l epresson Pr conséquent, l foncton f est décrossnte sur 0 ; et crossnte sur [ ; + [ Entrînez-vous n trouve Détermner le sens de vrton de l foncton f sur l ntervlle I en utlsnt l métode l plus dptée sur I 0; + b sur I MÉTHDE Il este pluseurs moyens pour étuder les vrtons d une foncton Mlgré son effccté, l dérvton n est ps touours l outl le plus fcle à utlser REMRQUE L foncton f est l somme des deu fonctons u : et v : L foncton u est décrossnte sur 0 ; + et l foncton ffne v, de coeffcent postf, est crossnte sur 0 ; + n ne peut donc ps pplquer le résultt démontré dns l queston précédente f est crossnte sur 0;+ b f est crossnte sur ; et sur ; +, ms décrossnte sur ; 64 Dérvton 65

9 Étuder une foncton polynôme de degré Dresser le tbleu des vrtons de l foncton f défne sur pr f( ) = ( 9+ ) 8 Détermner l équton de l tngente ( T ) à l courbe u pont d bscsse, pus de l tngente ( T ) u pont de l courbe d bscsse Dns un repère ortonormé (unté : cm), trcer sogneusement les drotes ( T ) et ( T ) ns que l courbe représenttve de f Étpe Dérvblté et clcul de l dérvée L foncton f est une foncton polynôme de degré, elle est donc dérvble pour tout dns et on f () ( 9) ( 6 9) ( ) Étpe Sgne de l dérvée et vrtons de l foncton f () est du même sgne que le trnôme dont le dscrmnnt est : ( ) 4 ( ) 6 Ce trnôme dmet donc deu rcnes dstnctes : 4 et + 4 Comme le coeffcent du terme en est postf, on peut ffrmer que l foncton dérvée f est postve sur ; ; + et négtve sur ; L foncton f est donc crossnte sur ;, décrossnte sur ;, pus crossnte sur ;+ Étpe Etrem locu de f et tbleu de vrtons n un mmum locl en (cr l dérvée s nnule en cngent de sgne) qu vut f( ) et un mnmum locl en qu vut f( ) Le tbleu de vrtons de l foncton f est donné c-contre Étpe 4 Équtons des deu tngentes ( T ) pour équton y f ( )( ( )) + f( ) 9 ( + ) + ( ), ou encore, sous forme rédute : y 9 + De même, on démontre que ( T ) dmet pour équton rédute y + Étpe 5 Trcés des tngentes et de l représentton grpque de l foncton f L tngente (T ) psse pr le pont de coordonnées ( ; f ( )), c est-à-dre ( ; ) Elle psse églement pr le pont de coordonnées( ; 6) : en effet, s on remplce pr dns l équton de ( T ), l vent y 9 ( ) + 6 Cette tngente permet de précser le trcé de l courbe u vosnge du pont L tngente ( T ) psse pr le pont B de coordonnées ( ; f( )), c est-à-dre ( ; ), et pr le pont de coordonnées ( ; ) L foncton dmet des etrem locu en et en L courbe représenttve de f dmet donc une tngente orzontle en ccun de ces deu ponts Cec nous permet de trcer sogneusement l courbe représenttve de l foncton f + f () B Écelle : crreu = cm eercces résolus Étuder une foncton rtonnelle et démontrer une néglté Sot un nombre réel strctement postf Sot g l foncton rtonnelle défne sur 0 ; + pr g ( ) = ( + ) n veut démontrer que, pour tout 0, on g() À l de d un logcel de géométre dynmque, ffcer pour pluseurs vleurs de l courbe représenttve de l foncton g fn de constter l néglté à prouver Étuder les vrtons de l foncton g sur 0 ; +, précser son mnmum et conclure vec Geogebr uvrr une nouvelle fgure Geogebr Créer un curseur comprs entre 0, et 0 Créer, dns l zone de sse, l foncton g : pus l drote (d) d'équton y Fre vrer l vleur du curseur n constte ns que pour tout 0, l courbe représenttve de g est touours stuée udessus de l drote (d), ce qu se trdut pr g () pour tout 0 Étude des vrtons de g sur 0;+ MÉTHDE Pour tout 0, l foncton g est une foncton Pour étblr une néglté, on peut étuder rtonnelle dont le dénomnteur s nnule en 0 les vrtons et détermner les etrem Cette foncton est donc dérvble sur 0;+ et d'une foncton ben cose sur un on, pour tout 0 : g ( ) ( ntervlle donné ) Pour 0, on 0 ; cette foncton dérvée est donc du sgne de r, sur 0;+, on : pour ; g () pour ; g 0 pour () g ( ) n obtent le tbleu des vrtons de g sur 0 ; + (vor c-dessus) n constte que, pour tout 0, l foncton g ttent un mnmum en sur 0 ; + et que ce mnmum vut : g ( ) ( + ) ( ) n en dédut que, pour tous 0 et 0, on g () et que l églté est rélsée pour Entrînez-vous Indce Démontrer que, pour tout, on Poser et étuder les vrtons de f sur ; + 66 Dérvton 67

10 eercces résolus eercces résolus 4 Détermner l epresson d une foncton Sot f une foncton défne sur pr f( ) = + b + c où, b et c sont tros nombres à détermner n représenté c-contre une prte de l courbe représenttve de f, ns que ses tngentes u ponts et B Utlser les nformtons dsponbles sur ce grpque pour détermner l epresson de l foncton f n eplote les nformtons données pr ce grpque Le pont B de coordonnées ( ; 0) pprtent à l courbe, on donc f( ) 0 En remplçnt pr dns l epresson de f, on obtent 8 + b + c 0 L tngente u pont B psse pr les ponts de coordonnées ( ; 0) et (0 ; ) Son coeffcent drecteur est donc égl à 0 0 r le coeffcent drecteur de cette tngente est f ( ) Donc f ( ) Pour tout, f ( ) + b En remplçnt pr dns l epresson de f on obtent : + b L tngente u pont est orzontle, son coeffcent drecteur est donc nul r le coeffcent drecteur de cette tngente est f () n donc f ( ) 0 Sot, en remplçnt pr dns l epresson de f, + b 0 Les nombres, b et c vérfent donc smultnément ces tros équtons ; ls sont solutons du système ( ) : 8 + b + c 0 ( ) + b + b 0 n peut résoudre ce système à l mn en commençnt, pr eemple, pr résoudre le + b sous-système lnére à deu équtons et deu nconnues + b 0 Ms l est églement possble de fre ppel à un logcel de clcul formel ; on utlse pour cel l commnde lnsolve([équton,équton,équton],[,b,c]) (ou son équvlent frncsé resoudre_systeme_lnere) dns XCS n en conclut donc que, b et c 6 ns, pour tout, on f( ) Entrînez-vous n trouve Sot g une foncton trnôme du second degré défne, pour tout, pr g( ) + b+ c n st que g( ), g ( ) 4 et g( ) 0 Détermner les vleurs des tros réels, b et c, b et c 8 9 B 5 Dresser le portrt-robot d une foncton Sot f une foncton défne et dérvble sur telle que : f est monotone sur ccun des ntervlles ;, ; et ; + ; les fonctons f et f vérfent les condtons c-contre Trcer, dns un repère ortonormé, une représentton grpque possble de l foncton f Vrtons de f L foncton f est supposée monotone sur ; S foncton dérvée f est donc de sgne constnt sur ; r on st que f (7) 4, qu est postf ; on en dédut que f est postve sur ; L foncton f est donc crossnte sur ; De l même mnère, on démontre que : f est décrossnte sur ; et crossnte sur ; + Constructon du premer pont et de l tngente à l courbe en ce pont f( 7) 6, donc l courbe représenttve de f psse pr le pont ( 7 ; 6) f ( 7) 4, donc l tngente à l courbe u pont pour coeffcent drecteur 4 Ces deu nformtons nous permettent de plcer le pont et de trcer l tngente T dns le repère Constructon du second pont et de l tngente à l courbe en ce pont f( ), donc l courbe représenttve de f psse pr le pont B( ; ) f ( ) 0 : l courbe dmet u pont B une tngente orzontle REMRQUE Ces deu nformtons nous permettent de plcer le pont B et de trcer l tngente T B dns le repère L foncton f dmet un mmum locl en ce pont Constructon des tros utres ponts et des tngentes à l courbe en ces ponts n procède de même pour les tros utres ponts : C( 0 ; ), D ( ; ) et E( 5 ; 0 ) L tngente T C u pont C pour coeffcent drecteur, l tngente T D est orzontle et l tngente T E pour coeffcent drecteur Constructon d une représentton grpque possble de l foncton f n trce une courbe pssnt pr les cnq ponts, B, C, D et E en prennt ben son de respecter l drecton donnée pr les tngentes T B T D f () T C T T E B C D E 68 Dérvton 69

11 eercces résolus 6 btenr un encdrement grâce à l étude des vrtons Démontrer que, pour tout réel! 60 on G + G 0 Sot f l foncton défne sur pr f( ) + Étpe Dérvblté de l foncton f et clcul de l dérvée : f est une foncton rtonnelle, elle est donc dérvble sur son ensemble de défnton Le dénomnteur ne s'nnule ms cr, pour tout!, on + 0 L'ensemble de défnton de f est donc Utlsons le logcel de clcul formel XCS pour clculer l dérvée de l foncton f : MÉTHDE Pour étblr une néglté ou un encdrement, on peut : I donné ; I ; eercces résolus 7 Résoudre un problème d optmston Dns une plque de crton crrée de,0 mètre de côté, on découpe des crrés u qutre cons fn de construre une boîte sns couvercle Comment fre pour obtenr une boîte de volume mml? MÉTHDE Pour répondre à un problème d optmston (c est-à-dre l recerce d un mmum ou d un mnmum pour une quntté donnée), on peut suvre l métode suvnte : ) trcer une fgure ou un scém qu reprenne les données du problème ; ) cosr une vrble et détermner l ntervlle I dns lequel dot se stuer cette vrble ; ) eprmer toutes les grndeurs utles à l de de cette vrble ; 4) détermner l epresson de l foncton à optmser ; 5) étuder les vrtons de cette foncton sur l ntervlle I et détermner ses etrem éventuels ) ) Sot l longueur, en mètres, du côté du crré à, m enlever à cque con de l plque de crton n = = dot vor 0 ; 0, 6 = = ) L «bse» de l boîte est lors un crré de côté, et s uteur est = = 4) Le volume, en m, de l boîte est donc donné pr : V() (, ) 4 48, + 44, Étpe Étude du sgne de l dérvée, vrtons, etrem : n peut églement, grâce à XCS, détermner le sgne de cette dérvée et les ponts où elle s nnule, en résolvnt Cec permet de dresser le tbleu des vrtons de l foncton f sur : les équtons et néqutons suvntes : 0 + f () Étpe Encdrement : n restrent l étude des vrtons à l ntervlle 60 Comme f( ) 0, on constte que l on ben : pour tout 0 ;! G G 0 0 f () = = 5) Il reste à étuder les vrtons de V sur 0 ; 0, 6 L foncton V est une foncton polynôme de degré V est donc dérvble sur son ensemble de défnton Sot, on : V () 4 4, 8 +, 44 9, 6 +,44 Le dscrmnnt de ce trnôme du second degré est : ( 9, 6) 4,44 9, 6 69,,04 4,8 V dmet donc deu rcnes dstnctes, qu sont : 96, 48, 96, + 48, 0, et 06, 4 4 n peut dresser c-contre le tbleu des vrtons de l foncton V sur 0 ; 0, 6 n constte que l foncton dmet un mmum en 0 0, et que ce mmum vut 0,8 (en m ) Il fut donc couper l plque de crton à 0 cm de cque sommet pour obtenr une boîte de volume mml Ce volume est de 8 cm REMRQUE n vérfe ben que ce volume est nul lorsque 0 (uteur nulle) et lorsque 06, (bse rédute à un pont) 0 0, 0,6 V () 0 0 V() V(, 0) 08, 0 0 Entrînez-vous Indce Entrînez-vous > n trouve + Démontrer que, pour tout 60;+6, on 0G G Poser + et étuder les vrtons de f sur + + Prm tous les rectngles de pérmètre donné, démontrer que celu qu l plus grnde re est le crré de côté 4 n note L l longueur du rectngle et l s lrgeur, pus on eprme l re du rectngle en foncton de et de L pr eemple 70 Dérvton 7

12 test test Dns les questons suvntes, détermner l (ou les) bonne(s) réponse(s) Pluseurs bonnes réponses sont possbles Indquer s les propostons suvntes sont vres ou fusses Sot 0 Le tu d ccrossement de l foncton défne sur pr f( ) entre et + est égl à : 4 b 4+ c 4+ d + L lmte, qund tend vers 0, de l epresson t() est : ( + ) b c 0 d elle n este ps L lmte, qund tend vers 0, de l epresson t() est : b c 0 d elle n este ps 4 Le nombre dérvé de l foncton nverse en est égl à : b c d 0 5 L tngente à l prbole d équton y u pont ( ; ) pour coeffcent drecteur : b c 0 d 4 6 L ordonnée à l orgne de l tngente à l prbole d équton y u pont est : b c d 7 L foncton dérvée d une foncton ffne est : nulle b constnte c crossnte d postve 8 L foncton dérvée de l foncton défne sur est l foncton : b c d 9 L foncton dérvée de l foncton ( ) défne sur est l foncton : b + c ( ) d 0 L foncton dérvée de l foncton défne sur \{} est l foncton : b ( ) c ( ) d ( ) L foncton est l dérvée de : l foncton 6 b l foncton c l foncton 6 d l foncton + L outl de dérvton est utle lorsqu l s gt de : Dresser un tbleu de vleurs d une foncton b Trcer l tngente à l courbe représenttve d une foncton c Détermner le mmum d une foncton d Fre l étude des vrtons d une foncton Pour les eercces à 5, f est une foncton défne et dérvble sur n donne c-dessous l représentton grpque de s foncton dérvée f L foncton f est nécessrement : postve sur b crossnte sur c crossnte sur ; + d décrossnte sur ; 4 L tngente à l courbe représenttve de l foncton f u pont d bscsse 0 pour coeffcent drecteur : 0 b c 4 d 4 5 L foncton f dmet : un mnmum en 0 b un mmum en 0 c un etremum en 0 d ucun etremum sur 6 En tout pont de l yperbole d équton y, l pente de l tngente est strctement négtve 7 En tout pont de l courbe d équton y d bscsse strctement postve, l pente de l tngente est nféreure à 8 Il est possble de trouver deu ponts dstncts de l prbole d équton y en lesquels les tngentes sont strctement prllèles 9 En tout pont d bscsse de l courbe d équton y, l équton de l tngente est y 0 Toute foncton est dérvble sur son ensemble de défnton L dérvée d une foncton trnôme du second degré est une foncton ffne L dérvée d une foncton omogrpque est une foncton omogrpque S une foncton dmet une dérvée strctement négtve sur son ensemble de défnton, lors cette foncton est strctement décrossnte sur son ensemble de défnton 4 Le produt de deu fonctons décrossntes sur un ntervlle I est une foncton décrossnte sur cet ntervlle 5 Une foncton f dérvble sur un ntervlle I dmet un mnmum en 0 I s, et seulement s, l dérvée de f s nnule en 0 6 S une foncton f est défne et dérvble sur et dmet un mnmum en 0, lors on f ( 0) 0 Pour les eercces 7 à, f est une foncton dérvble sur de s foncton dérvée f L foncton f dmet un mmum u pont d bscsse 9 L foncton f dmet un mmum u pont d bscsse 6 0 L foncton f est décrossnte sur ; + f( ) pour tout 6 L courbe représenttve de f dmet une unque tngente prllèle à l drote d équton y dont on donne c-dessous l représentton grpque 7 Dérvton 7

13 eercces eercces Nombre dérvé Tngente corrgé Détermner, s elle este, l lmte de ccune de ces epressons lorsque tend vers 0 t() + t() + t() + 4 t() corrgé Même consgne qu à l eercce t() ( ) t() 4 t() 4 t() corrgé Détermner pr lecture grpque les coeffcents drecteurs de ccune des tros drotes trcées c-dessous : (d ) (d ) (d ) 6 Même consgne qu à l'eercce 5 (d ) (d ) (d ) 7 corrgé Dns ccun des cs suvnts, écrre le tu d ccrossement de l foncton f entre et + (vec 0), pus clculer le nombre dérvé de l foncton f en, noté f ( ) : Même consgne qu à l eercce 7 ( ) Sot f l foncton défne sur 0 ; + pr : Sot un nombre réel non nul Écrre le tu d ccrossement t( ) de l foncton f entre 4 et 4 + Démontrer que, pour tout 0, t( ) MÉTHDE Penser à utlser l epresson conuguée du numérteur En dédure l vleur de f ( 4), nombre dérvé de l foncton f en 4 40 Dns ccun des cs suvnts, détermner à l de d une clcultrce une vleur pprocée du nombre dérvé de l foncton g en, pus clculer, en utlsnt le tu d ccrossement, l vleur ecte de g () g() + 7 et g() + et g() et 0 4 g() + et 4 corrgé n donne l représentton grpque d une foncton f défne sur et de deu de ses tngentes 4 n donne l représentton grpque d une foncton g défne sur, et de deu de ses tngentes B Pr lecture grpque, donner les vleurs de g( 0, ) g () 0, g() 4 et g ( 4 ) ugustn-lous Cucy ( ) est un mtémtcen frnçs qu psse pour être le fondteur de l nlyse moderne, notmment pr l rgueur de ses défntons et de ses démonstrtons En 8, dns son Cours d nlyse de l École Royle Polytecnque, l défnt le concept de lmte : «Lorsque les vleurs successvement ttrbuées à une même vrble s pprocent ndéfnment d une vleur fe, de mnère à fnr pr en dfférer uss peu que l on voudr, cette dernère est ppelée lmte de tous les utres» n lu dot églement l défnton du nombre dérvé d une foncton en un pont telle qu elle est touours ensegnée uourd u (y comprs dns ces pges) 4 Portrt-robot Dns un repère ortonormé d unté cm, trcer deu courbes représenttves possbles d une foncton f défne sur ; 5 obéssnt u contrntes suvntes : f( ) 4, f( 0 ), f( ), f( 5 ) 0, f () 0 et f ( ) 0 g( 5) 0, g( ), g( 0), g( ), g ( ) et g (0) 45 Sot u l foncton défne sur pr u( ) 6 Recoper et compléter ce tbleu de vleurs u() Clculer u (), u () et u (5) Dns un repère ortogonl d unté cm en bscsse et cm en ordonnée, plcer les ponts de l courbe représenttve de l foncton u ynt pour bscsses,,, 4, 5 et 6 4 Trcer les tngentes à l courbe u ponts d bscsses, et 5 5 Trcer sogneusement l courbe représenttve de l foncton u sur ; 6 46 Sot f l foncton défne sur 0 ; pr : Dns un repère ortonormé d unté cm, plcer les ponts de l courbe représenttve de l foncton f ynt pour bscsses,,,, 4, 5 et 6 Clculer f ( ), f ( ) et f ( ) Trcer les tngentes à l courbe u ponts d bscsses, et 4 Trcer vec son l courbe représenttve de f 47 Sot v l foncton défne sur pr : v() + 9 Dns un repère ortogonl d unté 4 cm en bscsse et cm en ordonnée, plcer les ponts de l courbe représenttve de l foncton v d bscsses,, 0,,,, et Détermner à l de d une clcultrce les vleurs de v ( ), v (0), v () et v () IDE Utlser l commnde nbredérvé (TI) ou d/d (Cso) Pr lecture grpque, donner les vleurs de f( 0, ) f () 0, 4 et f (4) CNSEIL Vor eercce résolu, 5 pge Dns un repère ortonormé d unté cm, trcer deu courbes représenttves possbles d une foncton g défne sur 5 ;, obéssnt u contrntes suvntes : Trcer les tngentes à l courbe u ponts d bscsses, 0, et 4 Trcer sogneusement l courbe représenttve de l foncton v sur ; 74 Dérvton 75

14 eercces eercces 48 Démontrer que l foncton vleur bsolue n est ps dérvble en 0 MÉTHDE Dstnguer les cs 0 et 0 49 Sot l courbe représenttve de l foncton f défne sur pr ( ) Clculer f () 0 et f ( ) Détermner les équtons des tngentes à l courbe u ponts d bscsses 0 et 50 Sot l courbe représenttve de l foncton g défne sur ; pr g( ) Clculer g ( ) et g () Détermner les équtons des tngentes à l courbe u ponts d bscsses et 5 Voc un progrmme écrt sur clcultrce, scnt que l utlsteur u prélble entré une foncton dns Y Qu eécute ce progrmme? Entrer ce progrmme dns une clcultrce, et l utlser pour vérfer les résultts des deu eercces précédents Remrque : ttenton à l mprécson due u mode de clcul du nombre dérvé pr l clcultrce! 5 Métode de Torrcell Sot l prbole d équton y et sot un pont de d bscsse Détermner le nombre dérvé de l foncton crré en, pus l équton de l tngente T à l prbole u pont Sot H le proeté ortogonl de sur l e des ordonnées, et I le pont d ntersecton de l drote T vec l e des ordonnées Détermner les coordonnées des ponts H et I en foncton de Que peut-on dre de ces deu ponts? En dédure une métode de constructon géométrque de l tngente en un pont quelconque de l prbole 4 Peut-on trouver une métode smlre pour trcer l tngente en un pont quelconque de l courbe représenttve de l foncton nverse? de l foncton cube? Pont store Evngelst Torrcell ( ), mtémtcen et pyscen tlen, proce de Gllée (l trvllé uprès de lu comme secrétre pendnt quelques mos en 64), est surtout connu pour ses epérences sur l presson tmospérque et l nventon du bromètre à tube de mercure 5 Tngentes pssnt pr un pont donné En utlsnt le résultt trouvé dns l queston de l eercce 5, peut-on dre s l prbole d équton y dmet une (ou pluseurs) tngentes pssnt pr le pont de coordonnées ( 5 ; 9)? S ou, en quel(s) pont(s)? Et quelles sont les équtons de ces tngentes? Même queston vec le pont de coordonnées ( ; ) Sot M un pont de coordonnées ( ; b ) À quelle condton sur et b este-t-l u mons une tngente à l prbole pssnt pr le pont M? Foncton dérvée 54 ssocer à ccune des fonctons de l colonne de guce s foncton dérvée dns l colonne de drote + 55 Même consgne qu'à l'eercce Pour les eercces 56 à 6, donner l ensemble de dérvblté de l foncton f et détermner s foncton dérvée : 56 f : f : f : + 5 f : 5 f : f : f : : f : f : 5 + f : 6 f : 58 f : f : 5 f : 4 f : 4 5 f : f : ( ) 59 f : (+ ) f : ( + )( ) f : ( + ) 4 f : (5 4) 5 f : ( + ) ( + ) 6 f : ( 5 )( + ) 60 f : + f : + f : f : 9 5 f : 4 6 f : + 6 f : f : 5 f : + + f : f : f : ( ) f : ( + 5 ) f : ( 4 ) 4 f : ( + ) 5 f : 6 f : 6 f : f : ( ) f : 5 f : 6 ( 5 )( ) 4 f : ( ) CNSEIL Ne ps se eter tête bssée dns l pplcton des formules du cours concernnt les dérvées de fonctons produt ou quotent 64 À l de d un logcel de clcul formel Détermner l ensemble de dérvblté, pus clculer les dérvées des fonctons suvntes à l de du logcel de clcul formel XCS, en utlsnt les formules dff(epresson) et smplfy(ns( )) f : f : ( 5 ) + f : + 4 f : + + ( + ) TTENTIN L «smplfcton» fte pr le logcel donne prfos une epresson dfférente de celle obtenue pr un clcul à l mn Notmment, le dénomnteur est développé et ne content ucun rdcl 76 Dérvton 77

15 eercces eercces 65 Qu sus-e? Je sus une foncton trnôme du second degré, dont l epresson est + b+ c, vec 0 Voc m courbe représenttve et une de ses tngentes : Détermner l epresson de l foncton dérvée de f en foncton des réels et b Pr lecture grpque, détermner les vleurs de et f () Démontrer que les prboles et, représentnt respectvement les fonctons f et f, dmettent une tngente commune en leur unque pont commun Donner une équton de cette tngente 7 Détermner l epresson de l foncton dérvée de f en foncton des réels et b Pr lecture grpque, détermner les vleurs de 0, et f () En dédure les vleurs des réels, b et c, pus écrre l epresson de CNSEIL Vor l eercce résolu 4, pge Qu sus-e? Je sus une foncton omogrpque, dont l epresson est, vec 0 + b Voc m courbe représenttve et une de ses tngentes : 0 En dédure les vleurs des réels et b, pus écrre l epresson de 67 Tngentes de drecton donnée Sot f l foncton trnôme du second degré défne sur pr 5, dont l représentton grpque est une prbole Trcer l prbole sur une clcultrce grpque Sot un pont de d bscsse Détermner le coeffcent drecteur de l tngente à u pont en foncton de Este-t-l un (ou pluseurs) pont(s) de l prbole pour le(s)quel(s) l tngente est prllèle à l drote ( ) d équton y? S ou, quelle est lors l équton de cette (ou ces) tngente(s)? 4 Sot m un nombre réel quelconque Sot ( m ) l drote d équton y m Dscuter, en foncton de m, du nombre de ponts de l prbole pour lesquels l tngente est prllèle à l drote ( m ) 68 Sot l foncton omogrpque défne sur \ pr (), dont l représentton grpque est une yperbole Trcer l yperbole sur une clcultrce grpque Sot un pont de d bscsse \ Détermner le coeffcent drecteur de l tngente à u pont en foncton de Este-t-l un (ou pluseurs) pont(s) de l yperbole pour le(s)quel(s) l tngente est prllèle à l drote ( ) d équton y? S ou, quelle est lors l équton de cette (ou ces) tngente(s)? 4 Sot m un nombre réel quelconque et ( m ) l drote d équton y m Dscuter, en foncton de m, du nombre de ponts de l yperbole pour lesquels l tngente est prllèle à l drote ( m ) 69 Sot f l foncton défne sur pr : ; et f l foncton défne sur pr : f () Sot g l foncton défne sur \ pr : g () + ; et g l foncton défne sur pr : g () + + Dns un repère ortonormé, trcer les courbes représenttves et de ces deu fonctons Démontrer l dentté suvnte : ( + ) ( + ) Démonter que les courbes et dmettent une tngente commune en un de leurs ponts d'ntersecton Trcer cette tngente et en donner une équton 7 Tngentes pssnt pr un pont donné Sot f l foncton défne sur pr + 5 Démontrer qu l este deu tngentes à l courbe représenttve de f pssnt pr le pont ( ; 5 ), et donner les équtons de ces tngentes Démontrer qu l n este ucune tngente à l courbe d équton y pssnt pr le pont de coordonnées ( ; ) Sot u l foncton défne sur 0;+ pr : u() + Este-t-l une tngente à l courbe représenttve de u pssnt pr le pont de coordonnées ( 0 ; )? 7 Quelle est l équton de l tngente à l prbole d équton y u pont ( ; )? uvrr une nouvelle fgure Geogebr Défnr un curseur comprs entre 5 et 5 (vec un ps de 0,), pus créer l drote d équton y dns l zone de sse ctver l trce de cette drote, pus nmer le curseur Que voyez-vous se dessner? DÉFINITIN n dt que l prbole est l enveloppe de l fmlle de drotes d équtons y, vec Quelle courbe ben connue est l enveloppe de l fmlle de drotes d équtons y, vec? n donne un perçu des représenttons grpques de deu fonctons f (en rouge) et g (en bleu) Lre grpquement les vleurs de f( 0, ) f (0), g( 0 ) et g (0) n donne les fonctons u f g et v Clculer u() 0, u (0), v( 0 ) et v (0) 74 Sot l prbole d équton : y 0, Trcer dns un repère ortonormé d unté cm Quelles sont les coordonnées du sommet de cette prbole? Détermner les équtons des deu tngentes à pssnt pr le pont ( 4 ; 9 ) n mgne un observteur, représenté en vert, debout u sommet de cette prbole, ses yeu se stunt en Détermner quel est l ensemble des bscsses (en bleu sur l fgure c-dessus) que cet observteur peut vor S B f g 78 Dérvton 79

16 eercces eercces Vrtons et etrem 75 corrgé ssocer l courbe représenttve de ccune des fonctons u tbleu de sgnes de s foncton dérvée 76 corrgé Voc l courbe représenttve d une foncton f défne sur 4 ; 6 Donner le sgne de s foncton dérvée f selon les vleurs de 78 Même consgne qu'à l'eercce 77 8 Sot f une foncton défne sur 4 ; 4 dont l représentton grpque est donnée c-dessous ssocer à cette foncton l représentton grpque de l foncton dont elle est l dérvée : 4 79 Sot f l foncton défne sur 5 ; dont l représentton grpque est donnée c-dessous : 77 Sot f l foncton défne sur ; 8 dont l représentton grpque est donnée c-dessous ssocer à cette foncton l représentton grpque de s foncton dérvée f () Hstore des scences B 0 + f () + 0 C 0 + f () 0 + D 0 + f () + + Résoudre grpquement sur ; 8 les équtons 0 et f ( ) 0 Résoudre grpquement sur ; 8 les néqutons 0 et f () 0 4 Josep-Lous Lgrnge (76-8) est né à Turn, dns l ctuelle Itle Lrgement utoddcte, l contrbue très fortement u mtémtques de son époque, et ser élu membre des prestgeuses cdémes de Berln et de Prs Dns un ouvrge pru en 797, nttulé Téore des fonctons nlytques, l propose une nouvelle notton pour les dérvées d une foncton f, qu demeure uourd u : «Pour plus de smplcté et d unformté, on dénote pr f l premère foncton dérvée de f, pr f l premère foncton dérvée de f, [ ] et ns de sute» 80 Dérvton 8

17 eercces eercces 8 Sot f une foncton défne et dérvble sur 0 ; 4, s courbe représenttve et l courbe représenttve de s dérvée Dns ccun des deu cs suvnts, dentfer les courbes et 8 Étuder les vrtons, sur, de ccune de ces fonctons trnômes de degré en utlsnt successvement les deu outls suvnts : les résultts de cours sur le second degré ; le clcul et l étude du sgne de l dérvée 6+ g() + () Étuder les vrtons sur de ccune des fonctons polynômes de degré suvntes : 4 g() + + () u() 5 v() 5 6 w () CNSEIL Vor eercce résolu, pge Sot f l foncton défne sur pr : Démontrer que, pour tout, on : + ( ) ( + ) Clculer l dérvée de l foncton f pus dresser son tbleu des vrtons sur Quelle est l équton de l tngente à l courbe représenttve de f u pont d bscsse 0? 4 Dns un repère ortonormé d unté cm, trcer sogneusement l courbe représenttve de l foncton f sur l ntervlle ; ns que s tngente u pont d bscsse 0 85 Sot f l foncton défne sur pr : f( ) Fctorser l epresson MÉTHDE n poser X Clculer l dérvée de l foncton f Dédure de l queston le sgne de cette dérvée, pus dresser le tbleu des vrtons de l foncton f sur 86 Sot l foncton défne sur pr : 4 () Clculer l dérvée de l foncton Grâce à un logcel de clcul formel, fctorser () MÉTHDE Dns XCS, utlser l commnde fctor(epresson) En dédure le sgne de cette dérvée, pus dresser le tbleu des vrtons de l foncton sur d 87 Sot f l foncton défne sur \ c pr : + b vec d bc 0 c + d d Démontrer que, pour tout c, on : f () d bc ( c + d) Que peut-on en dédure à propos du sens de vrton de l foncton f? Dre très rpdement s ces fonctons omogrpques sont crossntes ou décrossntes sur l ntervlle I : + ; + b g() + sur I ; c () + 5 sur I + ; + 88 Étuder les vrtons de ccune des fonctons rtonnelles données près vor détermné leur ensemble de dérvblté + 4 g() + + () CNSEIL u () Vor eercce résolu, pge Sot f l foncton défne sur + pr : 5 ( 4) + Démontrer que l foncton f est dérvble sur 0;+ et clculer s dérvée Sot u l foncton défne sur 0;+ pr u() Fctorser u( ) En dédure le sgne de u, pus celu de f sur 0 ; + MÉTHDE n poser X Dédure de l queston précédente le sens de vrton de l foncton f sur + et précser le mnmum de f sur + 90 Utlser une foncton ulre Sot f l foncton défne sur I 4; + pr : + 4 Démontrer que l foncton f est dérvble sur I et clculer s dérvée Sot g l foncton défne sur I pr : g() + + Étuder les vrtons de g sur l ntervlle I En dédure que, pour tout I, on g( ) 0 Dédure de l queston précédente le sgne de l foncton dérvée de f sur l ntervlle I, pus le sens de vrton de l foncton f sur I 9 Démontrer à l de de l dérvton que le produt de deu fonctons postves et crossntes sur un ntervlle I est une foncton crossnte sur I Démontrer à l de de l dérvton que l nverse d une foncton crossnte (et qu ne s nnule ps) sur un ntervlle I est une foncton décrossnte et sur I 9 Dns ccun des cs suvnts, étuder les vrtons de l foncton f sur l ntervlle I en cosssnt l métode qu vous semble l plus dptée + 5 sur I 0 ; sur I ; 0 + sur I 0 ; + CNSEIL Il est prfos plus rpde d nvoquer des résultts concernnt les fonctons de référence (vor cptre ) que d utlser l dérvée Vor eercce résolu pge 65 9 btenr une néglté Sot f l foncton défne sur I ; + pr : + 7 Démontrer que f est dérvble sur I et clculer s dérvée Dresser le tbleu des vrtons de l foncton f sur l ntervlle I Quel est le mnmum de l foncton f sur cet ntervlle? En quelle vleur de ce mnmum est-l ttent? En dédure que, pour tout, on f( ) 4 CNSEIL Vor l eercce résolu, pge Sot g l foncton défne sur pr : 4 g() Démontrer que, pour tout réel, on : ( )( + + ) Dresser le tbleu des vrtons de g sur et démontrer que g() 0 pour tout réel 95 Sot f l foncton défne sur pr : + + Démontrer que, pour tout 7 ; 7, on : 4 CNSEIL Vor eercce résolu 6, pge Sot g l foncton défne sur I 0 ; + pr g() 4 Démontrer que, pour tout 0, on : + 0 g() 8 Dérvton 8

18 eercces eercces 97 n cerce à étuder l foncton défne sur 0 ; + pr f( ) Voc le résultt de + dfférentes commndes utlsées vec le logcel XCS : Dédure de ces résultts : les vrtons de l foncton f sur 0;+ ; l vleur pour lquelle le mnmum de f sur 0;+ est ttent, pus l vleur de ce mnmum 98 En vous dnt d un logcel de clcul formel comme dns l eercce précédent, dresser le tbleu de vrtons de l foncton f défne sur pr 7, pus précser ses etrem locu + 99 Sot f et g deu fonctons dérvbles sur 0;+ telles que f( 0) g( 0 ) et, pour tout 0 : f () g ( ) Démontrer que, pour tout 0, on f( ) g ( ) MÉTHDE n consdèrer l foncton f g Hstore des scences Une volente querelle opposé, à l fn du XVIII e sècle, le br tn nque Isc Newton (64-77) et l llemnd Gottfred Wlelm von Lebnz (646-76) à propos de l pternté du clcul nfntésml Nous svons uourd u qu ls ont tous les deu opéré de mnère ndépendnte 4 ptmston 00 corrgé Sot BC un trngle équltérl de côté et MNPQ un rectngle nscrt dns ce trngle équltérl Sot H le ped de l uteur ssue de C dns le trngle BC n note l dstnce HM vec 0 ; 0, 5 Rélser l fgure à l de du logcel Geogebr et émettre une conecture qunt à l vleur mmle de l re du rectngle MNPQ Clculer l uteur CH, pus eprmer MQ et MN en foncton de Eprmer l re du rectngle MNPQ en foncton de Étuder les vrtons de l foncton () sur l ntervlle 0 ; 0, 5 4 Pour quelle vleur de l re du rectngle MNPQ estelle mmle? Quelle est l vleur ecte de cette re? 0 Un fbrcnt de produts lmentres veut utlser des boîtes de conserve pour condtonner ses produts n suppose qu une boîte de conserve est un cylndre prft de contennce ltre Le fbrcnt cerce donc à détermner les dmensons de l boîte de conserve fn que : le volume contenu sot de ltre ectement ; l quntté de métl (supposée proportonnelle à l re totle du cylndre) utlsée pour l fbrquer sot mnmle Sot r le ryon de l bse du cylndre et s uteur Eprmer en foncton de r Étblr que l re totle du cylndre est donnée pr : () r r r + r Étuder l dérvblté pus clculer l dérvée de l foncton sur l ntervlle 0 ; + 4 En dédure les vrtons de l foncton sur 0 ; + Pour quelle vleur de r cette re ltérle est-elle mnmle? Montrer que, dns ce cs, on r 5 Quelles dovent être, u mllmètre près, les dmensons de l boîte de conserve (ryon de l bse et uteur) pour répondre u contrntes fées pr le fbrcnt? N C M H Q P B 0 Cylndre nscrt dns une spère But de l'eercce : connître le volume mml d un cylndre nscrt dns une spère de ryon Prte - vec Geospce uvrr une nouvelle fgure de l espce Créer un pont lbre pus l spère S de centre et de ryon Créer un pont lbre sur l spère S pus le pont B symétrque de pr rpport à Enfn créer le segment [B] Rendre l spère opque et psser en ffcge «prtes ccées en pontllé» Créer un pont M lbre sur [] pus le pont N symétrque de M pr rpport à Créer les plns p et p, perpendculres à (B) respectvement en M et N pus créer les cercles c et c ntersectons respectves de l spère S vec les plns p et p Créer un pont C lbre sur c pus créer le cylndre d e [MN] et de ryon MC Hcurer ce cylndre en rouge 4 Créer un premer ffcge (Menu Créer > ffcge) donnnt l longueur du segment [M] vec 4 décmles Créer le clcul géométrque donnnt le volume du cylndre (Menu Créer > Clcul géométrque > Volume d un solde) et fre ffcer ce volume vec 4 décmles 5 Ploter le pont M u clver fn de fre vrer les dmensons du cylndre et donner une vleur pprocée de l longueur M pour lquelle le volume du cylndre est mml Prte B - Pr le clcul n pose M, vec 0 ; Eprmer, en foncton de, le ryon R de l bse du cylndre pus le volume du cylndre Dresser le tbleu des vrtons de l foncton () sur l ntervlle 0 ; Pour quelle vleur (ecte) le volume du cylndre est-l mml? Quel est ce volume? 0 Dns un repère ortonormé est l prbole d équton y, le pont de coordonnées ( ; 0) et M un pont quelconque de de coordonnées ( ; ) But de l eercce : détermner l poston du pont M de telle que l dstnce d(, M) sot mnmle Rélser l fgure vec Geogebr fn d émettre une conecture Étblr que d(, M ) est mnmle s, et seulement s, d(, M) est mnmle Sot f l foncton d(, M) 4 Démontrer que Clculer l dérvée de l foncton f Démontrer que f () ( )( ) 5 En dédure les vrtons de l foncton f sur 6 Pour quelle vleur de, le crré de l dstnce d(, M ) est-l mnml? Répondre u problème posé 04 Fonctons de coût Une entreprse soute fbrquer, pus commerclser un produt Elle estme que le coût totl de fbrcton (en mllers d euros) de q produts (en mllers d untés) peut être modélsé pr l foncton : C() q 005, q + 0, q+ 0 où q vre entre 5 et 0 Bénéfce mml Cette entreprse envsge de vendre ce produt u pr untre de,0 Eprmer en foncton de q l recette R() q ssue de l vente de q untés b Démontrer que le bénéfce (lgébrque) rélsé pr l entreprse est lors eprmé pr: B() q 005, q +, q 0 Dns quel ntervlle dot se stuer l producton de cette entreprse pour être rentble, c est-à-dre pour que ce bénéfce sot postf? rrondr à l dzne c Pour quelle producton ce bénéfce est-l mml? 84 Dérvton 85

19 eercces eercces Coût moyen n défnt le coût moyen d une unté comme le coût de C() q producton pr unté produte : CM ( q) q Eprmer CM () q en foncton de q b Étuder les vrtons de l foncton C M pour q 50 ; c Pour quelle producton q 0 ce coût moyen est-l mnml? Coût mrgnl n défnt mntennt le coût mrgnl comme le coût occsonné pr l producton d une unté supplémentre : Cm () q C( q+ ) C() q Clculer Cm ( 5) et comprer le résultt trouvé vec C (5), où C est l foncton dérvée de C Le svez-vous? En prtque, on ssmle le coût mrgnl C m à l foncton dérvée du coût totl C En effet : C( q+ ) C( q) Cm () q C( q+ ) C() q ( q + ) q peut être nterprété comme le coeffcent drecteur de l sécnte pssnt pr les ponts d bscsses q et q + S l on consdère ces deu ponts comme très proces, lors l poston de cette sécnte est très proce de celle de l tngente u pont d bscsse q : l est donc nturel d ssmler C m à C b Sot q 0 l bscsse du mnmum de l foncton coût moyen C M trouvé à l queston c Démontrer que Cm( q0) CM ( q0) pus que l tngente à l courbe représenttve de l foncton coût totl C u pont d bscsse q 0 psse pr l orgne du repère 05 Une proprété du mnmum de l foncton coût moyen n veut démontrer que le résultt énoncé dns l queston b de l eercce précédent est vre quelle que sot l foncton coût totl C de déprt Sot q C() q l foncton coût totl défne et dérvble sur un ntervlle I C() q Sot q CM () q l foncton coût moyen q n ssmle l foncton coût mrgnl C m à l dérvée de l foncton coût totl C n suppose que l foncton coût moyen C M dmet un mnmum en q 0 Démontrer lors que : C( q0) q0c( ) En dédure que CM ( q0) C ( q0) et en donner une nterprétton grpque Démontrer que l tngente à l courbe représenttve de l foncton coût totl C u pont d bscsse q 0 psse pr l orgne du repère 5 ppromton ffne 06 Zoom sur le pont de tngence Prte uvrr une nouvelle fgure GeoGebr Trcer en bleu l courbe représenttve de l foncton f défne sur pr = : Plcer le pont de coordonnées ( ; ) pus trcer en rouge l tngente à l courbe u pont : En mntennt le clc drot de l sours enfoncé, délmter une zone utour du pont et relâcer pour zoomer, usqu à ce que l fenêtre t une lrgeur de 0, unté envron Que peut-on dre de l courbe et de s tngente à cette écelle? En dédure qu une vleur pprocée du nombre 0,998 0, 998,996 À SVIR Le ft que l courbe représenttve d une foncton et s tngente soent très proces lorsqu on zoome sur le pont se trdut pr l proprété suvnte : Pour une foncton f dérvble en I, s est vosn de (c est-à-dre très proce de ), lors est vosn de f ()( ) + n note ( + ) + et on dt que l foncton f ()( ) + est une ppromton ffne de l foncton f u vosnge de Prte B À l de de l encdré c-dessus, donner une ppromton ffne des fonctons suvntes u vosnge de : en b en c en En utlsnt les résultts de l queston, donner une vleur pprocée des nombres,999, 0, et, 00 Comprer vec les vleurs obtenues à l de d une clcultrce 07 Métode d Euler But de l'eercce : Trouver des fonctons f défnes et dérvbles sur 0;+ qu vérfent les deu condtons 0 f () n démontrer en clsse de Termnle l estence et l uncté d une telle foncton REMRQUES ET MÉTHDES L lecture nverse du tbleu des dérvées ne nous est d ucune de c, ucune foncton usuelle ne semblnt convenr Nous llons vor comment construre pont pr pont une ppromton de l courbe représenttve de cette foncton f sur l ntervlle [ ; ], en consdérnt que, sur de tous petts ntervlles, l courbe et s tngente sont prtquement confondues Quelques crctérstques de l foncton recercée Démontrer que l foncton f est strctement crossnte sur 0;+ b De l condton f( ) 0, dédure le sgne de l foncton f sur 0 ; + Intlston n se plce u vosnge de, dont on connît l mge pr f pusque f( ) 0 Démontrer qu une ppromton ffne de f u vosnge de est f () ( ) + En dédure qu une vleur pprocée de f(, ) est 0, b Démontrer qu une ppromton ffne de f u vosnge de, est f(, )(, ) + f(, ) En dédure qu une vleur pprocée de f(, ) est donnée pr f(, ) f (, ) 0, + f(,) et clculer cette vleur pprocée c Rétérer ce rsonnement fn d étblr que : f(, ) f (,) 0, + f(,) et clculer cette vleur pprocée de f(, ) Utlston d un tbleur n vent d étblr que, pour tout n 0 et en posnt 0, on peut trouver une vleur pprocée de f( n ) à prtr de celle de f( n ) : f( n ) f( n + 0, ) f( n) 0+, f( n) n églement clculé les coordonnées de tros ponts de l courbe représenttve de f n peut poursuvre en térnt cette tâce grâce à un tbleur Reprodure cette feulle de clcul : en rentrnt l formule 4 + $ B$ dns l cellule 5 Quelle formule fut-l entrer dns l cellule B5? b Sélectonner les deu cellules 5 et B5 et trer vers le bs pour recoper l formule usqu à l lgne 4 c Sélectonner l plge de cellules 4:B4 et construre l courbe relnt les vleurs de l colonne à celles de l colonne B, 0,8 0,6 0,4 0, 0,,,,4,5,6,7,8,9,,,,4,5,6,7,8,9 n trcé, pont pr pont et vec un ps de 0,, l courbe recercée sur l ntervlle [;] Cette foncton, qu ne s eprme ps grâce u fonctons usuelles, s ppelle logrtme népéren et ser étudée en clsse de Termnle d Pour comprer les vleurs obtenues vec les vleurs réelles, entrer l formule = LN (4) dns l cellule C4, l recoper usqu en bs du tbleu pus ntégrer l courbe relnt les vleurs de l colonne à celles de l colonne C (c en rouge) u grpque précédent :, 0,8 0,6 0,4 0, 0,,,,4,5,6,7,8,9,,,,4,5,6,7,8,9 Il est possble d ugmenter l précson en cngent le ps de l procédure (pr eemple en prennt 0,0) 86 Dérvton 87

20 eercces eercces Le svez-vous? Les fonctons logrtmes (et prm elles l foncton logrtme népéren du nom de son «nventeur» le Brtnnque Jon Neper) ont été ntrodutes dns le but de smplfer des clculs de produts ou de quotents prtculèrement rdus, notmment en stronome L foncton logrtme népéren, notée ln, fer l obet d une ttenton toute prtculère en clsse de Termnle 08 n veut trcer, pont pr pont, vec un ps de 0, et sur l ntervlle 0 ;, une ppromton de l courbe représenttve de l foncton qu vérfe les deu condtons f( 0) 0 f () + n v pplquer l métode d Euler vue à l eercce 07 Pour cel, on conçu l lgortme suvnt vec lgobo : Reprodure cet lgortme près vor complété les lgnes floutées et l eécuter près vor ss dns l onglet «Utlser une foncton numérque» l foncton F ( ), et réglé l fenêtre à Xmn 0, + Ymn 0etY m dns l onglet «Dessner dns un repère» Leonrd Euler (707-78) est consdéré comme l un des plus mportnts mtémtcens : l grndement contrbué à tous les domnes des mtémtques Pr eemple, dns le cdre de l résoluton de problèmes pysques concrets (blstque, mécnque céleste), Euler nvent l métode qu porte son nom et qu lu permt d obtenr des solutons pprocées u équtons dfférentelles (c est-à-dre des équtons lnture foncton à ses dérvées) qu l ne pouvt ps résoudre pr des moyens clcultores Il publ cette métode dns un trté nttulé Insttutonum Clcul Integrls en pplquer l métode d Euler pour trcer pont pr pont, vec un ps de 0, et sur l ntervlle 0 ;, une ppromton de l courbe représenttve de l foncton qu vérfe les deu condtons : f(0) f () n pourr utlser le tbleur, lgobo ou une clcultrce Le svez-vous? L foncton soluton de cette équton dfférentelle est ppelée eponentelle ; elle est très fortement lée à l foncton logrtme népéren et est prmordle en mtémtques et dns les utres scences Elle ntervent dns les modélstons de très nombreu pénomènes (électrcté, bologe, rdoctvté, etc) Elle fer elle uss l obet d une étude pprofonde en clsse de Termnle 6 Problèmes À SVIR L vtesse nstntnée d un moble est l vleur que prend l vtesse moyenne entre deu moments très vosns utrement dt, s t () t est l équton orre du mouvement de ce moble, l vtesse nstntnée à l nstnt t 0 est donnée pr l lmte, lorsque tend vers 0, du quotent : ( t0 + ) ( t0) L vtesse nstntnée est donc le nombre dérvé de l u pont t : v( t ) ( t ) Un obet tombe d une uteur de 80 mètres vec une vtesse ntle nulle n néglge les effets des frottements de l r L équton orre du mouvement de ce moble est donnée pr : () t 49, t + 80 où t est le temps (en secondes) et () t est l lttude du solde à l nstnt t (en mètres) À quel nstnt le moble v-t-l toucer le sol? Quelle ser l vtesse de l obet u moment de l mpct? (n donner des vleurs pprocées u dème) Le moble utoporteur Un moble utoporteur se déplce sur une tble plne orzontle en suvnt un mouvement rectlgne n enregstre à des ntervlles de temps régulers ( 0 ms) l poston du proeté du centre d nerte du moble u bout d un certn temps, on coupe l turbne qu éecte l r Voc l enregstrement obtenu : M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 Détermner l vtesse nstntnée (en ms ) du moble à l nstnt t 5, en l ssmlnt à l vtesse moyenne du moble entre les nstnts t 4 et t 6 : M4M6 v5 De l même mnère, évluer l vtesse nstntnée du moble à l nstnt t 8 D une mnère plus générle : cette métode permet d évluer l vtesse nstntnée du moble en un nstnt t en clculnt, pour pett, le quotent : ( t + ) ( t ) où ( t ) est l poston du moble sur l e du déplcement à l nstnt t M 9 S ce quotent dmet une lmte lorsqu on ft tendre vers 0, on dt que l foncton t () t dmet une dérvée symétrque en t Il este un len entre cette dérvée symétrque et le nombre dérvé tel qu on l vu dns le cours : Démontrer que, s l foncton t () t est dérvble, lors s dérvée symétrque en t et son nombre dérvé sont égu Le cœur et l csserole Ms que vent fre ce cœur u fond de m csserole? Cette fgure est obtenue pr réfleon des ryons lumneu sur les bords du récpent Nous llons recréer cette stuton grâce à Geogebr, en se plçnt dns le cs où les ryons lumneu pro-vennent du solel et sont donc consdérés comme prllèles Modélston mtémtque n se plce dns un repère ortonormé de centre Sot un cercle de centre et de ryon 5 et sot d l drote d équton 0 Sot M un pont moble sur l drote d, dont l ordonnée t est comprse entre 5 et 5 Un ryon lumneu prt du pont M prllèlement à l e des bscsses Il vent frpper le cercle en un pont Le ryon réfléc est détermné comme étnt le symétrque du ryon ncdent pr rpport à l normle u cercle u pont (l normle étnt l drote perpendculre à l tngente u cercle) Rélser l fgure correspondnte vec Geogebr t = 5 ctver l trce de l drote représentnt le ryon réfléc, pus nmer le curseur t fn de constter le pénomène M 88 Dérvton 89

21 eercces eercces 90 Une voture roule sur une utoroute, son conducteur perçot un obstcle et commence à frener L équton orre du mouvement de cette voture à prtr de l nstnt où l commence à frener, est donnée pr () t 5t + 40t, où s eprme en mètres et t en secondes Clculer l vtesse de l voture vnt que son conducteur ne commence à frener, en ms pus en km Clculer l vtesse de l voture près une seconde de frenge, en m s pus en km u bout de comben de temps l voture s rrête-telle? Quelle dstnce -t-elle prcouru vnt l rrêt? 4 Les mrors prbolques Les mrors prbolques ont une proprété ntéressnte que nous llons découvrr grâce à une modélston vec Geogebr pus démontrer pr le clcul Prte I - Modélston mtémtque Sot l restrcton de l prbole d équton y à l ntervlle ; Sot d l drote d équton y et M un pont moble sur l drote d, dont l bscsse t est comprse entre et Un ryon lumneu prt de M prllèlement à l e des ordonnées ; l rencontre l prbole en un pont Le ryon réfléc est détermné comme étnt le symétrque du ryon ncdent pr rpport à l normle à l prbole u pont RPPEL L normle en est l drote perpendculre à l tngente à l prbole u pont Rélser l fgure suvnte vec Geogebr M t = 08 ctver l trce de l drote représentnt le ryon réfléc, pus nmer le curseur t Que constte-t-on? Prte II - Démonstrton Sot M le pont de coordonnées ( t ; ), à l orgne du ryon ncdent représenté pr l drote ( M ) Nous llons clculer les coordonnées du pont M, symétrque de M pr rpport à l normle pus détermner l équton de l drote (M ) représentnt le ryon réfléc Nous pourrons lors conclure Clculer l équton de l tngente Démontrer que l équton de l normle est donnée pr y + + CNSEIL Utlser l proprété qu dt que s deu drotes, non prllèles u es, sont perpendculres, lors le produt de leurs coeffcents drecteurs est égl à Détermner l équton de l drote perpendculre à l normle (donc prllèle à l tngente ) et pssnt pr le pont M 4 Démontrer que les coordonnées du pont H, ntersecton des drotes ( ) et ( ), sont données pr : ( + ; ) 5 En utlsnt l églté vectorelle MM MH, démontrer que les coordonnées du pont M sont : ( + ; ) 6 En dédure que l équton de l drote (M ) est donnée pr y Démontrer que, pour toute vleur de, l drote (M ) psse pr le pont F de coordonnées ( 0 ; 4 ) Le svez-vous? Le pont F est ppelé foyer de l prbole C est en ce pont que se concentrent tous les ryons réflécs dont l drecton est prllèle à l e de l prbole C est pour cette rson que les ntennes plcées sur les tots sont ppelées «prboles» : leur forme permet u ondes de se réflécr en se concentrnt u foyer de l prbole, où se trouve un cpteur qu en ft le trtement Vce-vers : s une source lumneuse est plcée en F, tous les ryons réflécs seront prllèles à l e de l prbole Ce prncpe est utlsé pour les pres de voture : une mpoule est plcée u foyer d une prbole réflécssnte, de telle mnère que les ryons lumneu sont tous réflécs dns l même drecton 5 Tngente commune Sot et les prboles représentnt les fonctons f et f respectvement défnes sur pr : f () + + et f ( ) + n cerce à svor s l este une ou pluseurs tngentes communes à ces deu courbes, c est-à-dre un ou pluseurs couples (, b ) de nombre réels tels que l tngente à u pont ( ; f( )) et l tngente à u pont B( b; f ( b)) soent confondues Trcer ces deu prboles dns un repère ortonormé d unté cm Détermner, en foncton de, l équton de l tngente à u pont pus, en foncton de b, l équton de l tngente à u pont B Étblr que, s ces deu tngentes sont confondues, lors nécessrement et b sont solutons du système : + b + b 0 4 Résoudre ce système pr substtuton, sns oubler de vérfer que les couples de solutons trouvés convennent 5 En dédure qu l este deu tngentes communes u deu prboles et et trcer ces deu tngentes 6 Rccordement de courbes L courbe c-dessous est formée de deu rcs de prbole qu se rccordent u pont I I L courbe est tngente à l e des bscsses u pont et, pour que le rccordement entre les deu rcs de prboles sot ben «lsse», les pentes des deu demtngentes u pont I sont égles à Détermner les équtons des deu prboles dont les rcs ns rccordés forment l courbe B 6 Fonctons convees DÉFINITINS L dérvée seconde de f, notée f, est l dérvée de l foncton f ; utrement dt f = (f ) Une foncton f deu fos dérvble sur un ntervlle I est dte convee s s dérvée seconde est postve sur I Démontrer que l foncton f est convee sur I s, et seulement s, l foncton f est crossnte sur I Sot f une foncton convee et sot I Posons, pour tout réel de I : { () f ()( ) + Quelle nterprétton grpque peut-on fre de l foncton {? b Étuder les vrtons de l foncton { sur I et démontrer que l foncton { dmet un mnmum en qu vut 0 c Que peut-on dre à propos de l poston reltve de l courbe d une foncton convee et de ses tngentes? DÉFINITINS n dr d une foncton f qu elle est concve s son opposée f est convee Démontrer qu une foncton trnôme du second degré + b + c est sot convee, sot concve sur quelle condton est-elle convee? concve? b Démontrer que l foncton rcne crrée est concve sur 0;+ c De l même fçon, étuder l conveté d une foncton omogrpque b c + + (vec c 0 ) sur ccun d des deu ntervlles ; d c et d c ; + Le svez-vous? «L découverte du clcul nfntésml, que Newton fte, donné leu de dre u svnt Hlley* qu l n est ps perms à un mortel d ttendre de plus près l dvnté» Voltre, Le sècle de Lous XIV, 75 *Edmund Hlley (656 74) étt un stronome brtnnque, qu donné son nom à l célèbre comète Dérvton 9

22 eercces en route vers le BC en route vers le BC eercces Dns les questons suvntes, détermner l (ou les) bonne(s) réponse(s) Pluseurs bonnes réponses sont possbles 8 Sot f l foncton défne sur pr et sot f s courbe représenttve dns un repère ortogonl En comben de ponts de cette courbe l tngente estelle prllèle à l drote d équton y? en ponts b en ponts c en pont d en ucun pont 9 Sot le pont de coordonnées ( 5 ; 6) et l prbole d équton y Comben este-t-l de tngentes à pssnt pr le pont? une seule tngente b deu tngentes c tros tngentes d ucune tngente 0 L foncton g défne sur + pr () est : crossnte sur ; b crossnte sur + c décrossnte sur 0; d monotone sur + Dns cque cs, ndquer s l proposton est vre ou fusse et ustfer votre co 4 En tout pont de l yperbole d équton y, l pente de l tngente est strctement nféreure à 5 L drote d équton y 5 est tngente à l courbe d équton y 4 6 Sot f une foncton trnôme du second degré Pour tout 0 et tout *, on : f( 0 ) f( 0 ) f ( 0) 7 L foncton défne pr f( ) + + b+ c est strctement crossnte sur s, et seulement s, b Sot u une foncton défne, dérvble et ne s n-nulnt ps sur un ntervlle I L dérvée de l foncton u est : u b u u c u d u uu Sot et b deu nombres réels postfs tels que + b L vleur mmle du produt b est : b 4 c d n donne c-dessous l représentton grpque de l dérvée de l foncton f L foncton f est crossnte sur, 0 b L foncton f dmet un mnmum bsolu en c L foncton f dmet un mmum bsolu en 0 d 4 8 S une foncton f défne et dérvble sur un ntervlle I est strctement crossnte sur I, lors on f () 0 pour tout I 9 Sot f une foncton strctement crossnte et dérvble sur un ntervlle I L foncton est églement strctement crossnte sur I 0 Sot f l foncton défne sur pr f( ) + Il este une unque foncton F défne et dérvble sur dont l dérvée est l foncton f Sot f une foncton dérvble en n rppelle que l tngente à l courbe représenttve de f u pont ( ; f( )) est l drote pssnt pr et de coeffcent drecteur f () Démontrer que l équton rédute de cette tngente est donnée pr y f ()( ) n consdère l foncton défne sur pr : Démontrer que l équton rédute de l tngente à l courbe représenttve de f u pont ( ; f( )) est donnée pr y ( ) c Este-t-l un pont pour lequel l tngente est prllèle à l drote d équton ( y )? b Este-t-l un pont pour lequel l tngente psse pr l orgne du repère? Sot v une foncton dérvble sur un ntervlle I, ne s nnulnt ps sur I Démontrer (à l de des tu d ccrossement) que l foncton v est dérvble sur I et que l on, pour tout v () I, ( v ) () v() n donne c-dessous l courbe représenttve d une foncton f dérvble sur Les ponts, B et C sont des ponts de l courbe, les drotes (T ), (T B ) et (T C ) sont les trngentes à l courbe u ponts, B et C respectvement (T ) C f (T B ) (T C ) Sot g f Quel est l ensemble de dérvblté de l foncton g? Dédure des vrtons de l foncton f, les vrtons de l foncton g sur B C b En vous ppuynt sur le grpque, donner les vleurs de f( ), f(, ) 5, pus de f ( ), f () et f (5) c En dédure les vleurs de g( ), g(, ) g() 5, g ( ), g () et g ( 5) d Utlser les résultts de l queston précédente pour trcer l courbe représenttve de l foncton g dns un repère ortonormé Prte I n suppose connus les résultts suvnts () S u et v sont deu fonctons dérvbles sur un ntervlle I, lors l foncton produt (u v) est dérvble sur I et on, pour tout I : ( uv ) () u () v() u() v() () S v est une foncton dérvble sur un ntervlle I ne s nnulnt ps sur I, lors l foncton est dérvble sur I v v () () v() Démontrer que s u et v sont deu fonctons dérvbles sur un ntervlle I et s v ne s nnule ps sur u, lors l est dérvble sur I et, et on, pour tout I, ( v ) foncton quotent ( vu ) pour tout I, ( vu ) () u () v() u() v B Prte II v() Sot f l foncton défne sur I ; pr : + Démontrer que f est dérvble sur I et clculer f ( ) pour tout Sot g l foncton défne sur I pr : g( ) + + Démontrer que g est dérvble sur I et clculer g () pour tout b Étuder le sgne de g () pour I, et en dédure les vrtons de l foncton g sur I c Démontrer que g( ) 0 pour tout En dédure que f () 0 pour tout pus que l foncton f est strctement crossnte sur I () 9 Dérvton 9

23 TP INF TP INF lgortme de Newton-Rpson Trouver des vleurs pprocées de l rcne d une équton que l on ne st ps résoudre lgébrquement n cerce à trouver une vleur pprocée de l unque soluton de l équton : + 0 Pour cel, on consdère l foncton défne sur pr + Nous llons vor comment Isc Newton bordt ce problème u XVII e sècle, selon une métode touours utlsée ctuellement pr certns modèles de clcultrces pour l résoluton pprocée des équtons Mse en plce et fgure ntle uvrr une nouvelle fgure Geogebr Cosr d ffcer les nombres décmu vec 5 décmles uvrr l fenêtre Tbleur et fermer l fenêtre lgèbre b Créer l foncton défne pr f( ) + et trcer s courbe représenttve en rouge c Créer le pont de coordonnées ( ; 0) pus le pont de coordonnées ( ( ) ; f( ( ))) d Créer l tngente à l courbe pssnt pr e Créer le pont B ntersecton de cette tngente vec l e des bscsses Itérton Répéter l pse précédente pour créer les ponts B, C, D et E sur l courbe, et les ponts C, D et E sur l e des bscsses Fre des zooms successfs sur les ponts B, C, D et E pour ben dstnguer l courbe de ses tngentes et lre précsément les bscsses de ces ponts Utlser le tbleur de Geogebr Démontrer que l tngente à l courbe représenttve de f u pont de coordonnées ( ; f( ))(vec f ( ) 0) coupe l e des bscsses u pont ( ; 0 f () ) b Créer l foncton f dérvée de l foncton f MÉTHDE Pour fre un zoom, fre un clc drot et lsser le bouton de l sours enfoncé pour délmter l zone à grndr c Dns l fenêtre tbleur : Entrer ( ) dns l cellule, pus l formule f( )/ f ( ) dns l cellule B MÉTHDE À vor dns les menus ptons et ffcge Entrer B dns l cse, et coper dns l cellule B l formule écrte dns l cellule B Sélectonner les cellules et B, et trer les formules sur quelques lgnes L colonne B donne des vleurs de plus en plus proces de l vleur de l rcne recercée À vous de ouer De l même mnère, détermner des vleurs pprocées les plus précses possbles des rcnes des équtons : 0 ; b MÉTHDE Utlser l zone de sse pour créer l foncton, les ponts et les tngentes grâce u commndes = (,0) =((),f(()))] Tngente [,] MÉTHDE Dns l zone de sse, écrre f =Dérvée[f] Les cemns de trverse Étuder une foncton rrtonnelle grâce à un logcel de clcul formel Une personne court le long d un cmp de longueur 00 m ; l prt de et dot se rendre le plus rpdement possble en B en coupnt à trvers le cmp à prtr d un pont M (vor c-dessous) Scnt qu l court à l vtesse de 6m s sur l route ms seulement à 4 m s dns le cmp, détermner l poston du pont M permettnt de rélser ce prcours dns un temps mnml cmp Modélser le problème pr une foncton C = 00 m n pose M, vec 0 ; 00 Détermner en foncton de le temps de prcours (en secondes) sur le tret M pus celu sur le tret MB, et enfn le temps de prcours sur le tret complet Est-l possble, en l étt de vos connssnces, d étuder de fçon smple les vrtons de l foncton f obtenue? Trtement de l stuton pr un logcel de clcul formel uvrr une nouvelle sesson XCS b Défnr l foncton f en précsnt son ntervlle de défnton c Fre clculer l dérvée de f pr le logcel d Résoudre grâce u logcel les néqutons f ( ) 0 et f ( ) 0 Dresser le tbleu des vrtons de f sur 0 ; 00 e Détermner l vleur ecte et une vleur pprocée du nombre 0 qu mnmse l foncton f f Trcer l courbe représenttve de l foncton f sur 0 ; 00 M B CB = 0 m Répondre u problème posé smplfy, evlf, et plotfunc (vor l grde-vnt) À quelle dstnce ecte du pont cette personne dot-elle qutter l route pour couper à trvers le cmp pour effectuer le tret de à B voulu en un mnmum de temps? À vous de ouer Dns un repère ortonormé, on donne les ponts (0 ; 0), (0 ; ), B(5 ; ) et P(5 ; 0) Sot M un pont du segment [P] Détermner l poston du pont M sur [P] pour lquelle l longeur du tret MB est mnmle Consel : Rélser d bord l fgure vec Geogebr pour conecturer le résultt, pus utlser XCS pour étuder l foncton donnnt l longueur du tret MB en foncton de l bscsse du pont M C route REMRQUE n nommer f cette foncton défne sur 0 ; 00 MÉTHDE Pour défnr l epresson d une foncton f défne sur ; b écrre : ssume(( ) nd ( b)) ; :=epresson pus tper sur Entrée ttenton à l synte! MÉTHDE Utlser les commndes dff(), solve (() f 0), fmn(), 94 Dévton 95

24 ctvté de recerce méters 96 Ryon de courbure Énoncé Connître l drote tngente à une courbe en un pont fournt des nformtons sur l spect locl de cette courbe (notmment s «drecton» sur une très pette écelle) Il est possble d encore meu pprocer le comportement locl de l courbe u vosnge du pont : en utlsnt un cercle plutôt qu une drote n défnt ns le cercle osculteur (du ltn osculre qu sgnfe embrsser) de l courbe u pont comme le cercle qu «épouse» le meu l courbe u vosnge de Pour être plus précs, le cercle osculteur de l courbe u pont est le cercle qu psse pr, qu prtge l même tngente que l courbe u pont, et dont le centre est l poston lmte du pont d ntersecton de l normle u pont et de l normle en un pont M de l courbe qu se rpproce ndéfnment du pont (n rppelle que l normle à une courbe u pont n est utre que le drote perpendculre en à l tngente) Enfn, on défnt le ryon de courbure d une courbe u pont comme le ryon du cercle osculteur de cette courbe u pont, qund ce cercle este Problème Sot l prbole d équton y =, l yperbole d équton y = et Détermner, uss précsément que possble, les ryons de courbure suvnts : l courbe d équton y = de l prbole u pont de coordonnées (0 ; 0) ; de l yperbole u pont de coordonnées ( ; ) ; de l courbe u pont de coordonnées ( ; ) S orgnser, communquer Commencer pr dscuter collectvement de l mse u pont d une ou de pluseurs métodes (utlston d un logcel de géométre dynmque, d un logcel de clcul formel, utlston des formules du cours, dessns u nstruments ) susceptbles de donner ou d pprocer les résultts demndés Selon les métodes envsgées, réprtr l clsse en tros groupes, cque groupe trvllnt sur une des questons de l énoncé Rendre compte Mettre en commun et commenter les résultts trouvés, en fsnt eposer orlement pr le rpporteur de cque groupe l démrce mse en œuvre et les clculs ou ctons ynt perms d boutr à un résultt nlyser, crtquer et conclure Quelle métode s est révélée être l plus effcce? Celle donnnt les résultts les plus précs? Dns quel(s) domne(s) pourrt-on mgner que l noton de ryon de courbure pusse trouver des pplctons? Pour ller plus lon Est-l possble de trouver une formule donnnt le ryon de courbure de l prbole ou de l yperbole en un pont quelconque d bscsse? M L météorologe est une scence rendue très complee pr le nombre et l vrblté des prmètres à prendre en compte pour l étude du clmt et l prévson des pénomènes tmospérques Elle requert des outls mtémtques très poussés : pour obtenr des prévsons fbles, l fut détermner pus résoudre des équtons décrvnt l évoluton des condtons clmtques Ces équtons sont des équtons dfférentelles, qu font ntervenr des fonctons (presson, tempérture, vtesse de l r ) et leurs dérvées pr rpport u temps ou u dfférentes coordonnées sptles : on obtent ns ce que l on ppelle un système d équtons u dérvées prtelles (EDP) Ces systèmes d équtons sont souvent mpossbles à résoudre «à l mn» : on utlse lors des ordnteurs très pussnts pour les résoudre de mnère pprocée «J obtenu un bc S et e sus entrée à l ENM (École Ntonle de Météorologe) à Toulouse près vor été reçue u concours de tecncen supéreur près deu ns d études été ffectée dns un CDM (Centre Déprtementl Météo) sur le ste d un éroport en Normnde, où occupe un poste de prévsonnste, en relton étrote vec les opérteurs de l tour de contrôle Ils ont beson de mo pour trnsmettre u plotes des vons en pproce, les condtons météo ectes u nveu des pstes» Ntle J Les tecncens supéreurs en météorologe - flère eplotton - ont des mssons en prévson opértonnelle Les tecncens supéreurs en météorologe - flère nstruments et nstlltons - ntervennent dns l mse en œuvre des systèmes de mesure Il est possble d évoluer vers un poste d ngéneur des trvu de l météorologe, ccessble près un concours nterne Un concours de recrutement d élèves ngéneurs météorologues est ouvert u cnddts ssus d une clsse préprtore u grndes écoles (CPGE) Envron gents trvllent à Météo Frnce (étblssement publc), dont l moté sont des tecncens supéreurs de l météorologe de postes sont proposés cque nnée Bc scentfque (opton pysque consellée) Concours eterne Épreuves de Mtémtques, Pysque, Frnçs et Lngues Vvntes École Ntonle de Météorologe ( ns) Dérvton 97

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