FreeFem++ : un outil libre pour la résolution d EDP par la méthode des Eléments Finis Arnaud Lejeune

Transcription

1 FreeFem++ : un outil libre pour la résolution d EDP par la méthode des Eléments Finis Arnaud Lejeune Pôle Calcul Scientifique Département Mécanique Appliquée 20 Février 2014

2 Logiciels Libres et/ou OpenSource Logiciels Libres e-sw.fr.html «Logiciel libre» [free software] désigne des logiciels qui respectent la liberté des utilisateurs. En gros, cela veut dire que les utilisateurs ont la liberté d'eécuter, copier, distribuer, étudier, modifier et améliorer ces logiciels. OpenSource Un logiciel OpenSource est un logiciel qui peut être librement utilisé, modifié et partagé (avant ou après modifications) par quiconque Outils de CAO FreeCAD LibreCAD (2D) Mailleurs GMSH MESHLAB (3D) POST-TRAITEMENT Paraview VISIT Solveurs Eléments finis FreeFEM++, FENICS, GETFEM++, mepage/ ELMER, FEEL++, Les licences Gnu GPL, BSD,. sont des licences OpenSource créées initialement au USA Les licences CeCILL sont une adaptation au droit français (

3 FREEFEM++: Tour d horizon Caractéristiques Environnement intégré FreeFem++-cs Langage de script basé sur la syntae du C/C++ Librairie Eléments Finis avec éléments standards et non standards Résolution de systèmes linéaires performante ( SuperLU, MUMPS,UMFPACK,.) Raffinement adaptatif et partition de maillage Calcul de valeurs propres Interface MPI dispo Post-traitement inclus en version allégée Disponible sous Linu/Mac OSX et Windows

4 Processus Elément Fini Un élément fini est défini par (Raviart) : Un domaine (connee, compact, d intérieur non vide) Un ensemble fini de points Un ensemble de fonctions d interpolation Un processus EF nécessite la connaissance de : L espace de définition de la solution recherchée (test function) u et de la fonction test v (trial function) Géométrie de l élément de référence et le type d interpolation (ordre, nœuds, continuité) La méthode d intégration numérique

5 Principe de base d un solveur éléments finis Création du modèle Nœud 3 KU F Trouver u V telque u. d d f. v d Nœud 1 Choi de l élément Nœud 2 k kn 11 1 k k 1n nn Pt Intégration 3 Pt Intégration 2 Pt Intégration 1 Choi de l intégration L utilisateur se concentre sur : la formulation du problème le choi des éléments (espace fonctionnel, ordre, type d interpolation) Le choi des méthodes d approimation et de résolution

6 FREEFEM++: Tour d horizon Sorties graphiques/co nsole/dans un fichier Fichier.edp FREEFEM++ Création/ Import Géométrie/Maillage Résolution Traitement Numérique (lié à la discrétisation) Analyse Formulation Faible A la différence des logiciels commerciau, Pas de mode «Clic-bouton» l utilisateur doit maîtriser son modèle l utilisateur maîtrise / a conscience des techniques de résolution utilisées

7 FREEFEM++: Tour d horizon Construction/ Définition d un maillage Forme prédéfinie: mesh nommaillage = square ( n,m, [0+(1-0)*, y0+(y1-y0)*y]) : génération d un maillage régulier sur un carré [0,1][y0,y1] A partir de frontières définies par des courbes paramétrées: border nombord1 (t=debut, fin){=f(t), y=g(t), label=numlabel } mesh nommaillage = buildmesh(nombord1(valeur1)+nombord2(valeur2)+ ) 1: border a(t=0,2*pi){ =cos(t); y=sin(t);label=1;} 2: border b(t=0,2*pi){ = *cos(t); y=0.3*sin(t);label=2;} 3: plot(a(50)+b(+30)) ; // to see a plot of the border mesh 4: mesh Thwithouthole= buildmesh(a(50)+b(+30)); 5: mesh Thwithhole = buildmesh(a(50)+b(-30)); 6: plot(thwithouthole,wait=1,ps="thwithouthole.eps"); 7: plot(thwithhole,wait=1,ps="thwithhole.eps"); Note : Eemple repris du manuel utilisateur FreeFEM++

8 FREEFEM++: Tour d horizon Définition de l espace d interpolation fespace nomespace (nommaillage, type Elément Finis) FreeFEM ne connaît pas : Les éléments coque/plaque Définition du problème variationnel Familles Crouzei-Raviart Lagrange Discontinu Lagrange Nédélec Raviart-Thomas problem nomproblem (u,v, [solver]) a(u,v)-l(v) + (cdl) Note : On peut également utiliser la commande varf pour définir séparément les formes bilinéaires et linéaires

9 FREEFEM++: Eemple Simpliste Eemple Basique : u u u f sur le domaine Ω d sur le bord Γ u g sur le bord Γ n Formulation faible: Trouver u V telque u. v d f. v d Elément Fini utilisé: Lagrange - 3 nœuds ordre 1 d n N g. v d v V 0 // Creation du maillage mesh nommail= square(10,20,[1+2*,-1+3*y]); // Creation de l espace d interpolation fespace Vh(nomMail, P1); // Definition de l inconnue et de la variable virtuelle Vh u,v; // Definition de la formulation variationnelle problem problem1(u,v) = int2d(nommail)(d(u)*d(v)+dy(u)*dy(v)) int2d(nommail) (1*v) + on(2, u=5); // Résolution problem1; // Sortie graphique plot(u,fill=1,wait=1,value=true,ps="simpliste.eps"); u d g f 5 0, y 1

10 Elasticité linéaire div f sur Ω u u d sur Γ. n g sur le bord d Γ n 0 Trouver u V telquev V0 u. v d f. v d g v d. n0. n 0sur le bord Γ u g g f d y 0 g(20 y) 0, y 0 E 40e9 0.2 n 1 g // Création du domaine int Dirichlet=1,Neumann=2; border horizontal(t=0,1){ =10*t; y=0;label=dirichlet;} border vertical(t=0,1){ =0; =20*t; label=neumann;} border diagonal(t=0,1){ =10*t; y=-20*t+20;} // Création du maillage mesh barrage= buildmesh(horizontal(10)+diagonal(- 15)+vertical(-20)); plot(barrage,wait=1,ps="barrage.eps"); // Création de l espace variationnel fespace Vh(barrage,P1); Vh u,uy,v,vy; // Définition des paramètres real rho=1000.0; real gravite=9.81; real longueur=10.0; func g= rho*gravite*(20-y); real f=0.; real E = 40e9, nu = 0.2, mu= E/(2*(1+nu)); real lambda = E*nu/((1+nu)*(1-2*nu));

11 Elasticité linéaire Trouver u V tel quev V0 u. vd f. v d g v d. n0 // Définition de la fonction de calcul des déformations macro epsilon(u,uy) [d(u),dy(uy),(dy(u)+d(uy))] // Définition de la fonction divergence macro div(u,uy) ( d(u)+dy(uy) ) // Definition et resolution de la formulation variationnelle solve problemebarrage([u,uy],[v,vy])= int2d(barrage)(lambda*div(u,uy)*div(v,vy) +2.*mu*( epsilon(u,uy) * epsilon(v,vy) ) ) - int2d(barrage)(f*vy) - int1d(barrage,neumann)(g*v) + on(dirichlet,u=0,uy=0); // sauvegarde des deplacement en et y plot(u,wait=1,value=1,fill=1,ps="barrageu.eps"); plot(uy,wait=1,value=1,fill=1,ps="barrageuy.eps"); // sauvegarde du maillage déformé real coef =10000 ; mesh barrage1 = movemesh(barrage, [+u*coef, y+uy*coef]); plot(barrage1,wait=1,value=1, fill=1, ps=«deform.eps"); real dma = u[].ma; real dyma = uy[].ma; // Sortie console des deplacements ma cout << " - u ma = "<< dma<< " uy=" << dyma << endl;

12 Conclusions et Regrets Bilan Résolution d edp par MEF: linéaire, non linéaire, statique, quasi-statique, d évolution, multi-domaines, maillage adaptatif, Solveurs actuels et parallélisation disponibles Applications : Fluides incompressibles Navier-Stokes incompressible Elasticité Interaction fluide-structure.. Point fort descendance de Pironneau Large Communauté d utilisateurs/développeurs Evolution pernanente : freefem++-cs REGRETS Absence d éléments quadrangle, heaèdre Manque éléments coque et plaque (ajout non trivial) Post-traitement parfois délicat